（系统分析与集成专业论文）网络控制系统的鲁棒稳定性研究.pdf

塞童黧蔑杰曼 摘要 电- 舌a - , g 与自动化学腕二0 0 顽士学伍硷之 网络控制系统的分析与综合是近年来国际控制领域研究的热点之一。作为一种最新 的理论，网络控制理论自从提出以来，其研究和应用得到了迅速发展。在网络控制中， 由于网络环境的影响主要表现为数据包传输时延和丢失，而丢包在某些情况下可以转换 为时延，因此网络控制系统是典型的时滞系统。而在网络控制所有研究中，不管哪个研 究分支，稳定性都是基础，所以网络控制系统的稳定性研究受到越来越多专家和学者的 关注。本论文基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式( l m i ) 处b n 方法，讨论了具有 时滞依赖的网络控制系统的稳定性问题，对其全局渐近稳定性和鲁棒稳定性进行了分 析。所得结果很容易在m a t l a b 中实现，因而对于控制实用稳定的网络系统具有较 高的理论指导意义。论文共分为五章： 第一章介绍了网络控制系统的背景及其发展历史，时滞网络控制系统的稳定性研 究现状，并简单介绍了本文的主要工作。 第二章介绍了网络诱导时滞的特性，l y a p u n o v 稳定性理论，时滞系统稳定性分析 的基本方法以及本论文将要用到的重要引理和l m i 理论。 第三章基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式( l m i ) 技巧，通过构造 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，研究了一类输入输出通道时滞相同的多胞不确定性网络控 制系统的鲁棒渐近稳定性问题，给出了这类网络控制系统鲁棒渐近稳定的准则。 第四章利用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式( l m i ) 技巧，通过模型变换 和参数分解，研究了一类多输入输出通道时滞不同的带非线性扰动的网络控制系统鲁棒 渐近稳定性问题，以线性矩阵不等式的形式给出了这类网络控制系统鲁棒渐近稳定的条 件，所得条件可用m a t l a b 中的l m i 工具箱验证。 最后对全文进行了总结，指出了下一步的研究工作，对网络控制系统的稳定性研究 进行了展望。 关键词： 网络控制系统：时滞系统；鲁棒稳定性；l y a p u n o v 。k r a s o v s k i i 函数； 非线性扰动：线性矩阵不等式 电气信怠与自动化学院二0 0 顽士学位诠之 a b s t r a c t t h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fn e t w o r kc o n t r o ls y s t e m si so n eo ft h em a i n t o p i c so ft h ei n t e m a t i o n a lc o n t r o lf i e l d a sal a t e s tt h e o r y , t h er e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o no fn e t w o r kc o n t r o ls y s t e mi sd e v e l o p e dr a p i d l ys i n c ei ti sp r o p o s e d i nt h en e t w o r kc o n t r o l ，t h en e t w o r ks y s t e mi sat y p i c a lt i m e d e l a ys y s t e ms i n c e t h ei m p a c to ft h en e t w o r ke n v i r o n m e n ti su s u a l l ym a n i f e s t e da sp a c k e t sd e l a y a n dl o s ti nt r a n s m i s s i o nw h i l ep a c k e t sl o s tc a nb ev a n s f o r m e di n t o d e l a y s o m e t i m e s t h e r e f o r e ，f o ra l lt h er e s e a r c ho fn e t w o r kc o n t r o ls y s t e m s ，t h e s t a b i l i t yi st h ef o u n d a t i o nn om a t t e rw h i c hb r a n c hw es t u d y t h e r e f o r e t h e r e s e a r c ho fn e t w o r ks y s t e m ss t a b i l i t yi sa t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s m o r e o v e r , s o m er e m a r k a b l ea c h i e v e m e n th a sb e e ng a i n e d b a s e do nt h e l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m t ) t e c h n i q u e ，t h i s d i s s e r t a t i o n i n v e s t i g a t e st h es t a b i l i t yp r o b l e mo ft h en e t w o r ks y s t e m sw i t h d e l a y d e p e n d e n t ，w h i c hi n c l u d e st h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n a l y s i sa n dt h e r o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i s t h er e s u l t so b t a i n e di se a s i l yt or e a l i z ei nt h em 久r i ，a b a n d t h u sh a sh i g ht h e o r e t i c a li n s t r u c t i v es i g n i f i c a n c ef o r t h ed e s i g no fp r a c t i c a l c o n t r o ls y s t e m t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n s i s t e do ff i v ec h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do ft h en e t w o r kc o n t r o ls y s t e m a n di t sd e v e l o p m e n th is t o r y , t h ec u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no ft h es t a b i l i t yo f n e t w o r kc o n t r o l s y s t e m w i t h t i m e d e l a y , a n db r i e f l y s t a t e st h em a i n c o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o n t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h en e t w o r k - i n d u c e d d e l a y , l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , t h eb a s i sm e t h o d so ft i m e d e l a ys y s t e m s ，a n d t h en e c e s s a r yl e m m a sa n dt h el m i t h e o r yu s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r , b a s e dt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) t e c h n i q u e s ，b yc o n s t r u c t i n gal y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n ， w es t u d yt h er o b u s ta s y m p t o t i cs t a b i l i t yp r o b l e mf o rac l a s so fi n p u t o u t p u t c h a n n e lp o l y t o p i cu n c e r t a i nn e t w o r kc o n t r o ls y s t e m sw i t hs a m et i m e d e l a y a l s o ， t h ec r i t e r i af o rt h er o b u s ta s y m p t o t i cs t a b i l i t yi sp r e s e n t e df o rt h i ss y s t e m i nt h ef o u r t hc h a p t e r , b a s e dt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) t e c h n i q u e s ，b yt h em o d e lt r a n s f o r m a t i o na n dt h ed e c o m p o s i 一 豸i ；乒峨君许奔芹w袖i ； 九一( a ) d i a g ( ) i n f ( ) s u p ( ) | | i | 阵 表示实对称矩阵a 的最大特征值 表示“定义为” 表示对角矩阵 表示函数的下确界 表示函数的上确界 表示向量的欧几里德范数或矩阵的谱范数 水 表示矩阵中的对称项， x y ( x y )表示x y 是半正定矩阵( 正定矩阵) 与自动化学腕二0 0 顽士学位砼之 1 ：! ：； 4 6 6 9 11 2 4 本文用到的主要引理及l m i 理论1 4 2 5 本章小结15 第三章一类输入输出通道时滞相同的多胞不确定性网络控制系统的鲁棒 渐近稳定性1 6 3 1 模型建立及问题描述16 3 2 主要结果1 7 3 3 仿真实例2 2 3 4 本章小结2 3 第四章一类多输入输出通道时滞不同的带非线性扰动的网络控制系统的 鲁棒渐近稳定性2 4 4 1 模型建立及问题描述2 4 4 2 主要结果2 8 4 3 仿真实例3 5 4 4 本章小结3 8 第五章总结与展望3 9 参考文献4 1 致谢，4 6 劝q u f u 霹n o r 舞m a l 籍u n i v 嬲e r s i t y 谢榭一骷拳 孵识簇f 芎瘸弼貉辫辫嚣守r 缓辑嚣 糯1 1 弼络靛别系统的般结构 在对n c s 的研究中，涉及控制论、计算机科学、信息论、机械电子工程、软件工程、 可靠性理论等多学科领域。每个学科都从不同角度、不同层面对n c s 进行了深入分析并部 分应用于实际。其中，控制论、计算机科学和信息论是系统分析的理论基础，而机械电子 工程、软件工程和可靠性理论则是工程实现中为设计方法提供指导。n c s 综合了数字通信 技术、计算机技术、自动控制技术、网络通信技术和智能仪表等多种技术手段，从根本上 突破了传统的“点对点”式信号控制的局限性，构成了一种全分散j 全数字化、智能、双 第l 页 翅蚤曼童缝杰篓 电气信怠与自动化学院二口一0 顽士学位硷乏 向、互连、多变量、多接点通信与控制的实时反馈控制系统。因此，n c s 的研究是一个跨 越多个学科的研究领域，已成为既具有复杂性又富含挑战性的研究课题。 尤其是近些年来，网络控制系统的分析与综合已成为国际控制领域研究的主题之一。 不同于传统的计算机控制，网络环境的影响使得网络控制系统具有许多新的特性，直接采 用传统的控制理论，已无法设计出有效的控制策略，因此，需要针对网络控制系统的特点 提出新的研究思路和研究手段。最近，i e e es y s t e m sm a g a z i n e 和i e e et r a n sa u t o m a t i c c o n t r o l 等刊物相继出版了网络控制系统研究方面的专刊，每年国内外重要的学术会议也 有大量网络控制方面的研究报告。 1 2 网络控制系统的特点及其影响因素 传统计算机控制系统中，信号传输环境较为理想，外界影响很小，甚至可以忽略不计。 而网络控制系统的性质在很大程度上依赖于网络结构及相关参数的选择，包括传输率、接 入协议( m a c ) 、数据包长度、数据量化参数等，网络环境的影响是无法忽略的，包括以下 几个方面： ( 1 ) 信道带宽的限制 任何网络单位时间内所传输的信息量都是有限的，例如i e e e 8 0 2 1 1 协议的无线网略 带宽指标为2 2 m b p s ，在许多应用系统中，信道带宽的限制对整个网络控制系统运行会有很 大的影响，常见的有水下控制系统、传感网络系统等。 ( 2 ) 采样和时滞 一个连续的时间信号要通过网络传送，首先要对信号进行采样，即信号经过编码处理 后经网络传送到接收端，接收端再对它进行解码。与传统的数字控制系统不同，由于传输 过程中非确定因素的影响，网络控制系统信号的采样频率通常是非周期且时变的，有些需 要根据网络的现行状态及时调整采样频率，以缓解网络传输压力，保证网络环境的良好状 态。另外，在网络控制系统中，时间上的延迟，即时滞，无处不在，网络时滞影响系统性 能及其稳定性。 ( 3 ) 数据丢包 为了保证数据传输的可靠性，未到达接收端的数据信息往往被多次重复发送。网络控 第2 页 墓曼缝杰篓 它气信息与自动化学院二d 一口顽士学位硷之 制系统对数据的实时性要求较高，所以，旧数据的重复发送并不适用。实际情况是当新的 数据到达，未发出的信号将被删除，由于数据的破坏或网络的拥塞等原因，都将可能导致 到达终点的数据与传送端传送的数据不一致，这些现象都被视为数据的丢失，即数据丢包。 数据丢包对网络控制系统的影响是必须考虑的问题，一般的反馈控制设备能容忍一定数据 的数据丢包，但需要考虑当数据包只有一定传输率时的系统是否稳定。 ( 4 ) 单包传输与多包传输 单包传输指的是将数据集中在一个数据包里，然后进行传输，而多包传输允许传感器 或控制器数据被分在不同的数据包内传输。多包传输的主要原因有两个：一个是因为许多 网络环境中只允许传输比较小的数据包，例如d e v i c e n e t 网络允许传输数据包的大小为8 个字节，而e t h e r n e t 则允许传输包含1 5 0 0 字节的数据量；另一个原因是，在一个网络控 制系统中，传感器与驱动器往往分布在不同的物理位置，将数据放在一个数据包里是不可 能的。 ( 5 ) 数据包时序错乱 在网络控制中，由于数据的多路径传输、节点冲突、网络拥塞和连接中断等原因，同 一节点发送到同一目标的数据包不可能在相同时间内到达，一定会产生数据包先后顺序的 错乱，称为数据包时序错乱。数据包时序错乱将导致传输率降低，间接地增加网络时滞。 1 3 时滞网络控制系统的稳定性研究状况 由于网络控制系统是控制系统与计算机网络相结合的产物，因此，研究方向有两个： 一是针对网络自身的控制，主要是对通信网络的网络路由、网络流量等的调度与控制；另 外一个是对被控系统的控制，网络只是作为一种传输通道，研究时考虑网络自身存在的问 题对系统的影响，对整个闭环系统进行建模、性能分析以及控制器的设计等。本文的研究 主要针对后一种情况。 网络系统中存在时滞，即除了控制器计算带来的时滞外，数据信号通过网络进行传 输时也会导致时滞，所以网络控制系统事实上是一类时滞控制系统，时滞控制系统的相关 理论 7 - 8 1 为网络控制系统的研究和发展起了非常重要的作用。稳定性是控制系统的重要性 能，是系统正常运转的首要条件，是任何控制系统研究的最基本问题，网络控制系统也不 第3 页 统的模型，将求取最大允许时延问题转化为基于l m i 方法的次优化允许等价时滞界求解问 题，并提出了相应的求解方法。h e 1 7 】提出了自由权矩阵方法，这种方法利用自由权矩阵来 表示牛顿一莱布尼茨公式中各项之间的相互关系，通过解线性矩阵不等式来克服其利用固 定权矩阵带来的保守性，但是自由权矩阵的引用，使稳定性条件中l m l 个数增加，这给控 制器设计带来了困难，这种方法还有很多改进的地方。随后，w u 和h e 1 8 - 1 9 1 【4 们，y u e 和 h a n 2 0 1 ，s h a o 3 5 1 - 3 7 1 等学者运用各种技巧不断对自由权矩阵方法进行改进，使得到的结果 保守性更小，计算更方便。网络控制系统实际上是个多输入多输出的时滞系统，很多改进 的稳定性方法也推广到了多输入多输出系统【5 2 1 - 5 3 】，【5 5 1 - 5 7 m 1 1 。 1 4 本论文的主要工作 本文将针对网络控制系统中出现的时滞，利用l y a p u n o v 稳定性理论、 l y a p u n o v k r a s o v s k ii 泛函法及l m i 工具，运用改进的交叉项界定方法、新的描述模型方 程以及参数矩阵分解技巧对得到的网络控制系统模型的稳定性进行了分析研究。 本文分为五章，第一章介绍了网络控制系统及其发展历史，并综述了时滞网络控制系 第4 页 墓童缝杰矍 电气信总与自动化学腕二口一d 须士学位硷之 统稳定性的研究现况。第二章分析了网络诱导时滞的特性，介绍了l y a p u n o v 稳定性理论、 时滞系统稳定性分析的基本方法以及本文将要用到的重要引理和l m i 理论。第三章运用 l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式工具，通过构造l y a p u n o v k r a s o v s k ii 泛函，利 用改进的交叉项界定方法研究了一类输入输出通道时滞相同的多胞不确定性网络控制系 统的鲁棒渐近稳定性问题，数据实例表明所得的结果比已有的结果具有更小的保守性。第 四章利用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式工具，通过一种新的等价的描述模型变 换和对参数矩阵进行分解的技巧研究了一类多输入输出通道时滞不同的带非线性扰动的 网络控制系统的鲁棒渐近稳定性问题，获得了基于线性矩阵不等式最大允许诱导时滞的方 法，数值实例和仿真说明了这种改进的有效性和比已有结果更小的保守性。最后对全文进 行了总结，指出了下一步需要研究的工作，对网络控制系统稳定性的未来进行了展望。 第5 页 曼童缝缫 电气信总与自动化学院二0 一d 顽士学位轮之 第二章预备知识 本章我们主要论述四个方面的问题：一是对网络控制系统中网络诱导时滞的特性进 行分析；二是阐述了本论文的理论基础l y a p u n o v 稳定性理论；三是介绍了时滞系统 稳定性分析的基本方法；最后介绍了以下章节中将要用到的重要引理及l m i 相关理论。 2 1 网络控制系统中的时滞特性分析 2 3 网络系统是个典型的时滞系统，我们从时滞的组成、时滞产生的原因等几个方面对网 络控制系统的时滞特性进行分析。 2 1 1 网络控制系统中时滞的组成 在传统的点对点连接的n c s 中，时滞不但由设备的处理能力决定，还取决于网络协议 的传输机制。两个节点间的信息传输时滞可以分解成四部分：预处理时间( 疋。) 、等待时 间( 瓦。，) 、传输时间( 瓦) 和接收处理时间( 乙，) ，如图2 1 所示。 二i ；j f 赢a餐点b r 。j 图2 1 消息从源节点到目标节点的时间划分图 其中预处理时间和等待处理时间在源节点产生，接收处理时间在目标节点产生，传输时 间包括信息发送时间和信息传播时间。所有由设备控制和通信网络引起的总时滞可用下式 表示： f = + 瓦神+ 瓦+ 第6 页 堂童缝缫 电气信总与自动化学院二0 0 顽士学伍硷之 预处理时间t 。：包括源节点的应用程序产生应用层信息包的时间和将其转换为合适 的网络传输格式所需要的时间，依赖于源节点设备软、硬件的性能，是可预测的，可以假 定为常值；等待时间l 硼：数据链路层数据帧在发送缓存中等待m a c 协议发送的时问， 包括信息在缓存队列中的排队时间和进行信道竞争等待信道空闲的时间，影响瓦。，的主要 因素是m a c 层协议、信息连接方式和网络流量；传输时延瓦：包括物理层信号发送到信 道上的发送时间和信号在物理信道上的传输时间，是控制网络中最具确定性的参数，因为 它只依赖于网络带宽和两节点之间的距离：接收处理时间乙，：将数据帧解析还原为应用 层信息并传递给任务的时间，与目标节点设备的软、硬件性能有关。 对于一般的网络控制系统，其结构如图2 2 所示。在一个采样周期内，传感器采样被 控对象的数据信息经网络传输给控制器，控制器计算控制信号，再将控制信号经网络传输 给执行器发送给控制对象，整个过程的时滞分为三部分：传感器到控制器的时滞r ”、控制 器到执行器的时滞r “以及控制器的计算时滞r 。 f c 图2 2网络控制系统的一般结构 ( 1 ) 传感器到控制时滞r ”：当传感器的测量数据通过网络发送给控制器时，会产生 该时滞。它由下式定义：s c = r 。一r 8 ，其中r 8 ，r 。分别是传感器发送数据时刻和控制器 收到数据并开始执行运算时刻。包括传感器的预处理时滞乙和从传感器到控制器的传输 时滞瓦。 ( 2 ) 控制器到执行器时滞f “：该时滞由控制器发送控制信号到执行器时产生，由式 第7 页 厂 i 鳓廖墨评雾乒亏 兰丝! ! ! ! 竺! 竺竺：! ! ! ! ： 一一一一一 电气信怠与自动化学院二0 一口顽士学位轮之 f = r “一r 矿定义，其中f 。、f 矿分别是执行器收到控制量的时刻和控制器完成控制算法并 将其发送出去的时刻。包括从控制器到执行器的传输时滞砭和执行器的接收处理时滞 。 ( 3 ) 控制器执行运算产生的时滞f 。：该时滞是指控制器开始计算到控制量计算完成 并发送的这段时间，由式f 。= f 矿一f “定义。计算时滞相对来说变化不大，在网络控制系统 设计时，通过选择合适的硬件和进行高效率的软件编码，可以减少计算时滞产生的影响， 因而在分析设计网络控制系统时，可以把计算时滞f 包括在r ”内一起考虑。值得注意的是， 当控制算法在控制器中执行时，f ”通过测量是已知的，而r 。是将要发生的但还没有发生 的，是不可测的只能估算，是影响系统性能的主要不确定性因素。 2 1 2 网络控制系统中时滞的原因 n c s 中时滞产生的原因很多，最主要的原因有两个，即通信协议( 网络) 和控制设备。 下面从数据链路层角度讨论两种主要的网络协议，即令牌传递方式和随机存取方式， 对网络诱导时滞的影响。 ( 1 ) 令牌传递方式 网络运行在令牌传递方式之下，网络中的节点组成一个逻辑环，令牌在环中传输，在 某一时间只有获得令牌的节点可以传输数据，数据可以依据事先设定的顺序传输，所以数 据帧不会发生冲突。典型的令牌网有m a p 、p r o f i b u s 和c o n t r l o n e t 等，都是一种确定性 网络。而数据包传输的最大等待时间( 时滞) 可用令牌轮转时间描述。针对定时令牌协议具 有较好通信可预测性的特点，令牌协议在高负载的情况下能提供稳定高效的吞吐率和网络 利用率。 ( 2 ) 随机存取方式 与令牌方式传输的网络不同，采用随机存取方式的网络不存在中央控制，网络上的各 个节点都有权认为在网络空闲的时候发送数据。于是可能有多个节点同时传输数据从而造 成冲突。以太网是最典型的随机存取网络，它采用c s m a c k 协议，传输速度较高且简单实 用，在各个领域应用很广。以太网在轻载时几乎无时滞，重载时由于冲突的增加造成网络 诱导时滞急剧上升，并有可能导致传输失败。可见，与令牌网比较，采用随机存取方式的 网络诱导时滞呈现很强的随机性，并有可能不能保证端对端的实时传输。 控制设备也是时滞的成因之一。首先，控制器和整定单元的性能将直接影响网络中的 第8 页 jffjjjjijiijiiiliiiiiiiiiiiiii 擞缝缫 电气信息与自动化学院二0 0 顽士学佐玲之 数据处理时间。但如前所述，当设备确定下来后，预处理时间和后处理时间也固定了。其 次，对于网络控制系统来说，设备的驱动方式和采样周期对网络诱导时滞也有影响。也就 是说，在系统中控制器和远程整定单元采用不同的驱动方式和采样周期，会形成不同大小 和分布的时滞。其中控制器既是数据的发出端，又是最终的接受端，与整定单元比较，控 制器的驱动方式对时滞的影响更大。这里主要讨论设备驱动方式对时滞的影响，可将驱动 方式分为时钟驱动和事件驱动两种。 ( 1 ) 时钟驱动 时钟驱动是指设备有固定的动作周期，每隔一个周期执行一次操作，比如对于控制器 来说，每隔l o o m s 从整定单元获得更新的参数，同时计算一次控制信号并输出至整定单元。 数据传输失败，即丢包。控制器一般会抛弃旧数据而采用较新数据。在网络控制系统中采 用时钟驱动的控制器，整定单元到控制器的往返总时滞将是采样周期的整数倍。 ( 2 ) 事件驱动 事件驱动是指当前设备只要收到上级设备的数据，马上动作并把数据传输到下级设备。 对于事件驱动整定单元，只要收到控制器发送的数据就马上运行算法，得到新的控制器参 数，并发送给控制器。而事件驱动的控制器也是如此，网络控制系统中采用事件驱动的控 制器，一般情况下整定单元到控制器的往返总时滞不是采样周期的整数倍。 除了通信协议和控制设备因素外，网络控制系统中的时滞还与网络协议、网络负载、 信息优先级、信息长度、网络速率、节点间距离、采样技术和信息调度算法等诸多因素有 关，在实际应用中，应综合考虑各种因素，使时滞符合系统要求。 2 2 l y a p u n o v 稳定性理论【2 4 h 2 5 】 1 8 9 2 年，俄国力学家a m l y a p u n o v 首先提出运动稳定性的一般理论，这一理论把由 常微分方程组描述的动力学系统的稳定性分析方法区分为本质上不同的两种方法，即李亚 普诺夫第一方法和第二方法。李亚普诺夫第一方法也称为间接法，包括了利用微分方程的 显式解进行系统分析的所有步骤，属于小范围稳定性分析方法；李亚普诺夫第二方法也称 为直接法，属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方法，可以在不求出状态方程解的条 件下，确定系统的稳定性由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，因 第9 页 曼童缝缫 电气信息与自动化学院二0 0 顽士学位轮之 此这种方法显示出极大的优越性 尽管采用李亚普诺夫第二方法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和技巧 ( 主要在构建李亚普诺夫函数上) ，然而，当其它方法无效时，这种方法却能解决非线性系 统的稳定性问题本论文所有结果都是基于李亚普诺夫第二方法的，因此下面介绍李亚普诺 夫第二方法的主要定理 定理2 1 李亚普诺夫主稳定性定理】。考虑如下非线性时变系统 i ( t ) = ( x ( f ) ，f ) ， f ( o ，f ) 三0 ，对所有f t o , 0 0 ) 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数，且满足以下条件： 1 、y ( x ( f ) ) 正定； 2 、矿( x ( f ) ) 负定； 3 、当_ o o ，有y ( x ( f ) ) _ c o ； 则系统在原点处的平衡状态t = 0 是大范围一致渐近稳定的 定理2 1 是l y a p u n o v 第二法的主稳定性定理，下面对这一重要定理作如下几点说明 ( 1 ) 定理具有普适性和直观性，可同时适用于线性和非线性、时变和时不变等各种动 态系统，具有极其一般的普遍意义。 ( 2 ) 判据的充分性属性，定理给出的条件只是保证系统为大范围一致渐近稳定或具有 其他稳定不稳定属性的一个充分条件，充分条件的局限性在于，如果给定系统找不到满足 定理条件的李亚普诺夫函数矿 ( f ) ) ，并不能对系统的相应稳定性作出否定性的结论。 ( 3 ) 对于渐近稳定的平衡状态，l y a p u n o v 函数一定存在。 ( 4 ) 对于非线性系统，通过构造某个具体的l y a p u n o v 函数，可以证明系统在某个稳 定区域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定区域外的运动是不稳定的。对于线性系统， 如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。 时不变系统为时变系统的一种特殊情形，其相应的定理为： 定理2 2 李亚普诺夫主稳定性定理】考虑如下非线性时不变系统 i ( t ) = 厂 ( f ) ) ，f ( o ) 兰0 ，对所有f 【o ，。) 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数，且满足以下条件： 1 、矿 ( f ) ) 正定； 2 、矿( x ( f ) ) 负定； 第l o 页 固癌q u f u 叁h o r 鲰m t 。l 笔u n i v 士e r s 逸i t y 电气信总与自动化学院二0 0 顽士学位诠之 3 、当_ o o ，有y ( f ) ) _ 0 0 ； 则系统在原点处的平衡状态萨0 是大范围渐近稳定的。 显然，定理2 1 仍有一些限制条件，比如矿 ( ，) ) 必须是负定函数，将导致结论过于保 守，如果在矿 ( 劝上附加一个限制条件，放宽一下，即除了原点以外，沿任意轨迹矿( x ( f ) ) 均不恒等于零，则要求矿( x ( f ) ) 负定的条件可用矿( 石( r ) ) 取负半定的条件来代替。 定理2 3 考虑如下非线性时变系统 圣( f ) = 厂 ( f ) ，f ) ， f ( o ，f ) 兰0 ，对所有忿f 。 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数y ( r ) ) ，且满足以下条件： 1 、 y ( f ) ) 正定； 2 、 矿( x ( f ) ) 负半定； 3 、对于任意乇和任意0 ，在f 乇时，i ? ( o ( t ；x o ，岛) ) 不恒等于零，其中( f ；而，t o ) 表示在气时从而出发的轨迹或解； 4 当_ o 。时，有y ( f ) ) _ 则系统的原点平衡状态兑= 0 为大范围渐近稳定。 注l ：若矿 ( f ) ) 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲面 y ( f ) ) = c 相切，然而由于对任意岛和任意x o 0 ，在t 气时矿 ( f ；，t 。) ) 不恒等于零，所 以，典型点就不可能保持在切点处( 在这点上，矿 ( f ) ) = 0 ) ，因而必然要运动到原点。 注2 ：如果存在一个正定的纯量函数y ( f ) ) ，使得矿0 ( r ) ) 始终为零，则系统可以保持 在一个极限环上，在这种情况下，原点处的平衡状态称为在l y a p u n o v 意义下是稳定的。 2 3 时滞系统稳定性分析的基本方法c 2 6 1 一 2 7 ， 从工程实践的角度来看，时滞的存在往往导致系统性能指标下降，甚至使系统失去稳 定性。例如系统 文( f ) = 一0 5 x ( t ) 是稳定的，但加入时滞项后，系统 戈o ) = 一0 5 x ( t ) + 1 3 x ( t 一1 ) 变得不稳定。 第n 页 固癌q u f u 驾i 。o r 鲰m a l 篡u n i v 击e r s 秀i t y 电气信总与身动化学院二0 0 须士学伍论之 时滞系统包括奇异时滞微分系统、脉冲时滞微分系统、l u r i e 时滞系统、中立型时滞 系统和随机时滞系统等，本文采用的泛函微分方程来描述时滞系统。 时滞系统稳定性分析方法可分为三种，即：无限维系统理论方法、代数系统理论方 法和泛函微分方程理论方法。下面我们重点阐述泛函微分方程理论方法。 目前，研究时滞系统主要是应用泛函微分方程理论，研究范围涉及稳定性分析、控 制器设计、以控制、无源与耗散控制、可靠控制、保成本控制、比滤波、k a l m a n 滤波及 随机控制等，不管研究哪个分支，稳定性都是基础，对最终形成控制方案具有重要的理论 和现实意义。时滞系统稳定性分析的目的是希望找到计算简单、切实有效并且保守性尽可 能小的稳定性判据。研究方法主要有两类：频域法和时域法。 ( 1 ) 频域法： 频域法是最早提出的稳定性方法，它基于超越特征方程根的分布或l y a p u n o v 矩阵 函数方程的解来判别稳定性，方法有图解法、解析法和复l y a p u n o v 方法。频域法理论上 容易得到系统稳定性的充要条件，但在考虑控制器设计时，由于涉及系统特征方程的处理， 计算非常复杂，并且难于处理含有不确定项以及参数时变的时滞系统。 ( 2 ) 时域法 时域法是目前时滞系统稳定性分析与综合的主要方法，易于处理含有不确定项、参 数时变的系统以及非线性时滞系统。时域法主要包括l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法、 r a z u m i k h i n 函数法、l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 型定理法、时滞不等式方法等。其中， l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法是目前应用最广泛的方法，下面我们作重点阐述。 1 9 6 3 年，k r a s o v s k i i 发表了一篇文章心引，用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法取代传统意 义上的二次正定l y a p u n o v 函数，针对时滞系统给出了一类新的稳定性分析方法 l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函法，其基本思想是l y a p u n o v k r a s o v s k i i 稳定性定理2 9 1 。对复杂 系统或非线性系统，l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函的构造需要很高的技巧，并且得到的条件基 本上都可以转化为类r i c c a t i 方程( 或不等式) ，在发展过程中先后出现r i c c a t i 方法、内点 法等有效方法。 由于利用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法只能得到稳定性的充分条件，减小条件的保守 性是努力的方向。在过去的1 0 年里，很多学者致力于这方面的研究 4 0 1 ， 4 1 1 - 1 【4 5 1 ，【4 8 h 5 0 1 ，利用 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法，结合l m i 这一工具对时滞系统进行稳定性分析，得到的结果 第1 2 页 骢缝缝 电气信怠与自动化学院二0 0 须士学位硷之 便于进行控制器的设计和综合，因此成为控制理论和控制工程领域研究的热点问题。 不管采用哪种方法进行稳定性分析，按照是否依赖于时滞的大小，得到的稳定性条 件都可分为两类：时滞依赖稳定性条件和时滞独立稳定性条件。后者优点是较为简单，容 易验证，且易于控制器的设计；缺点是对于小时滞系统具有较强的保守性。而时滞依赖稳 定性条件要求当时滞为零时，系统是稳定的，这样，由于系统解对时滞的连续依赖，一定 存在一个时滞上界万，使得对于v 办 o ，h i ，系统均是稳定的，相应地，最大允许时滞界万 就成为衡量时滞依赖条件保守性的主要指标。 减少结果保守性主要采用3 种方法：交叉项界定方法、模型变换方法以及 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函适当的选取。 交叉项界定方法是针对l y a p u n o v 函数时间导数项中的交叉项，采用矩阵不等式对其 进行不同程度的放大，使得导出的稳定性条件具有不同的保守性，先后出现p a r k 不等式o o 、 m o o n 不等式、张积分不等式 3 2 1 以及韩积分不等式【3 3 1 等。 模型变换方法在时滞系统稳定性分析中也是经常采用的方法。模型变换容易引入原 系统没有的极点，又称为附加动态特性，使得变换后的模型与最初的系统模型之间不等价， 结果导致原系统失稳。另外，由于模型变换导致的不等价，也可能导致得到的稳定性准则 相对保守。 模型变换中经常要用到牛顿一莱布尼兹公式 x ( t 一办) = z ( f ) 一- i 一 i ( s ) 凼 常见的还有 ( 1 ) 戈o ) = ( 彳+ b ) x ) 一占i 一 叙( s ) + 觑( s - - h ) d s ( 2 ) 中立型变换 a 饿t x ( f ) + b x ( s ) = ( 彳+ b ) x ( f ) l 文( f ) = 少( f ) ( 3 描述模型变换 1 0 ：一y o ) + ( 彳+ b ) x 。) 一b j ，( s ) d s 目前得到的时滞依赖稳定性结果都是基于以上一个或多个技术的结合，本文采用的减 少保守性的方法既是以上多个技术的结合。 第1 3 页 踅多曼童缝杰篓 电气信总与自动化学腕二0 0 研士学伍鲶之 2 4 本文用到的主要引理及l m i 理论 弓i x2 1 ( s c h u r c o m p l e m e n t t 2 6 ) 对给定的对称矩阵s = 要： 维的，以下三个条件是等价的： ( i ) s 0 ( i i ) 墨。 o ，是：一s ：7 s l _ 1 墨2 o ( i i i ) $ 2 2 o ，向量函数 x ( 。) c ( 一h ，o ，r ”) ，使得接下来的积分不等式成立： ( r 戈( j ) 凼tm ( r 戈( s ) ) 办p ( s ) 尬。) d s 引理2 4 1 对于给定的矩阵q = 0 7 1 ，和具有适当维数的矩阵h ，er ：r r 0 q + h f e + e t f t h t 0 ，使得 q + e , h h 7 + s 一1 e7 r e 。当1f ：，屯， = 0 ，1 ，2 ，3 ， 时，意味着 网络传输中不存在丢包；如果i k + l = i k + 1 ，意味着h + r 州 r 。因此，系统( 3 2 a ) 可以 第1 6 页 其中，a ：a 疋疋 r 表示一个不确定向量，满足 a ，= l ，丑0 i = 1 并且 4e 】为适当维数的矩阵，表示多面体孵的第i 个顶点 本章中，我们考虑时滞d ( t ) 的如下两种情况： 情况i ： 0 d o ) h ， 矗o ) r 0 ，m 0 和巨驴满 足： 其中， 甲f + 甲：一