（系统分析与集成专业论文）鲁棒控制理论及其应用.pdfVIP

摘要 本文主要研究了处于控制理论中的鲁棒控制理论，其中重点研究与 分析了线性二次型高斯控制理论和时滞不确定系统的鲁棒稳定理论，对其 进行了一定的理论推导，并得出了这两种控制理论在实际系统中的运用方 法。本文首先运用线性二次型高斯控制理论对宏观经济系统进行了分析和 控制，力求消除或减少系统中的模型化误差及其本身和外部的扰动信号等 不确定性的影响，并借助m a t l a b 设计软件进行仿真，以得出最佳控制 策略。另外还给出了一种使时滞不确定系统开闭环双稳定的鲁棒控制器的 设计方法。 ， 对于宏观经济系统通过合理地运用财政和货币这两大经济杠杆，能 够丧持宏观经济系统的稳定性并且可以准确跟踪并达到预先给定的各项 经济指标。对于所设计的线性时滞不确定系统的鲁棒控制器，要求能够在 开闭环状态下都保持稳定，其中不确定性是时变的。通过解两个黎卡提方 程，得到这类不确定性时滞系统开闭环双稳定的充分条件。a ，一y 一 关键词鲁棒控制 - _ _ _ - _ 一 时变时滞 、_ _ _ _ 一一 专q 1 3 - i 划理论 窭婴丝壅丕纽 开闭环双稳定 t h e t h e o r yo f r o b u s t c o n t r o l a n dt h e a p p l i c a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h et h e o r yo fr o b u s tc o n t r 0 1 s p e c i a l l yw ed i s c u s sa n da n a l y z e t h et h e o r yo fl i n e a rq u a d r a t i cg a u s s i a nc o n t r o la n dt h et h e o r yo fi m p l e m e n t i n gt h e s t a b i l i t yo fau n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e mw h i c hi n c l u d ei nt h et h e o r yo fr o b u s tc o n t r o l ， a n dd e d u c e ss o m et h e o r i e si nd e t a i l ，a n dg e t st h eu s i n gm e t h o do ft h et w ot h e o r i e si nt h e a c t u a l s y s t e m s i n t h i s p a p e r w ef i r s td i s c u s sa n d a n a l y z e t h e u n c e r t a i n t y o ft h e m a c r o e c o n o m i cs y s t e mb yt h et h e o r yo fl i n e a rq u a d r a t i cg a u s s i a nc o n t r o l ，a n dt r yt o a v o i dt h ee f f e c to f t h em o d e l i n ge r r o ri ns y s t e ma n dt h ed i s t u r b e ds i g n a lf r o mt h es y s t e m a n do u t s i d e b yu s i n gt h em a t l a bs o f t w a r et os i m u l a t e ，w ec a l lg e tt h eo p t i m a lc o n t r o l s t r a t e g y i na d d i t i o n ，w ed e s i g nad u a l - s t a b i l i z i n gc o n t r o l l e ro f at i m e d e l a ys y s t e mw i t h u n c e r t a i n t y w ec a nk e e pt h es t a b i l 埘o ft h em a c r o e e o n o m i cs y s t e ma n do b t a i nt h eg u i d e l i n eb y u s i n gt h ep o l i c yo f f i n a n c ea n dc u r r e n c yp r o p e r l y f o rt i m e - d e l a ys y s t e mw i t hu n c e r t a i n t y w ec a nk e e pd u a l - s t a b i l i t yb ys o l v i n gt w or i c c a t ie q u a t i o n s ， k e y w o r d s r o b u s tc o n t r o l ，t h et h e o r yo f l q gc o n t r o l ， m a c r o e c o n o m i cs y s t e m t i m e d e l a ya n dt i m e - v a r y i n g ，d u a l s t a b i l i z i n gs y s t e m ， 学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究j 】：作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其钝 夫嚣经发表或撰写过静研究成果，也不包禽为获褥南京气象学院或其值教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在 论文中作了明确的说明共表示了澍意。 签名日期：地。羔：， 关于学位论文使用授权黪说骧 戤哔一羲谬魄一j 珥 运 1 前言 1 1 反馈控制理论的发展阶段 1 1 1 经典控制理论 上世纪5 0 年代来形或体系的经典控锱瑾论疑基于频率概念来进行拄稍 系统的分析和设计的，主要有零极点分析方法、奈魁斯特( n y q u i s t ) 稳定性 判摄以及劳裁( r o t h ) 帮赫尔维茨( h u r w i t z ) 稳定性粼据、频率响应法、缀 轨迹法、越前滞届补偿方法等，特别是p i d ( p r o p o r t i o n - - i n t e g r a t i o n - - d i f f e r e n t i a t i o n ) 控制原理被广泛地运用到工业控剑领域。 尽管缝典控翻理论和技术被广泛地运用于解决复杂的控制问题，但是其 仍然存在饕很大的局限性，主要表现在经典控臻理论用予线性时不变的单l 翕 入单输斑爱馈控制系统，最采用井部描述方法来讨论控制系统的输入与输出 关系，不能提供最优控制的方法和葶段。 经典控锚瑗论在齄理不确定性所带来鹤影响方面主要有两大类迸展： 1 ) 魁斯特稳定性判据指出，反馈控制系统稳定的充要象饽是拜巧传递 函数的奈魁斯特轨迹逆时针绕复平面上l ，_ ，o ) 点的次数正好等于 拜环系统褒右半平面静极点数，这样氍满足了对控翻系统住能方衡 麴设计要求，叉 ；i 证了控裁系绕承受誉确定性影魄的能力“。 2 ) 维纳利用某些随机过程的数学模型来代替外界干扰信号，把反馈控 制系统豹设诗蠲惑转换残数学上嚣菜些优纯簿题，撬密了最忧滤波 理论。从而为最优控制研究奠定了基础，并导致了由经典控制理论 赘；现代控制理论的转变1 2 j i 3 l 。 1 1 。2 现代控制理论 上世纪6 0 年代到8 0 年代是现代控制理论的发展阶段。现代控制理论是 基于时域概念在经典控制理论的基础上发展起来的，它以状态空间方法为 主，研究控制系统状态的运动规律，并实现晟优化设计。主要有状态空间模 型以及能控性和能观性分析方法、l q r ( l i n e a r q u a d r a t i c r e g u l a t o r ) 和l q g ( l i n e a rq u a d r a t i cg a u s s i a n ) 最优控制方法、卡尔曼( k a l m a n ) 滤波器方法、 极点配置方法和基于状态观测器的反馈方法等，其中l q g 方法是最有代表 性的控制方法 4 1 。 现代控制理论在处理不确定性所带来的影响方面主要有两大类进展： ( 1 ) l q o 控制方法在外界扰动可以表示为白噪声模型或白噪声经过滤波 后的噪声模型时，能够获得非常理想的设计结果。 ( 2 )逆奈魁斯特阵列法、特征根轨迹法和回差矩阵法都是把经典控制理论 中的频率响应法应用于多输入多输出控制系统的设计中，形成了多输 入多输出控制系统的频率设计方法。 然而，上述两个方面的控制系统设计方法还不能很好地处理模型不确定性和 扰动不确定性问题，因此引出了鲁棒控制理论的发展。 1 1 3 鲁棒控制理论 2 0 世纪六七十年代，状态空间结构理论的形成。并与最优控制、卡尔曼 滤波以及分离性理论一起，使现代控制理论成了一个严密完整的体系。但所 有这些研究要求受控对象的数学模型是完全已知的，而大多数实际的工程系 统都运行在变化的环境中，要获得精确的数学模型是不可能的。现代控制理 论的这一局限性促进了鲁棒控制的发展。文献嘲首先提出了鲁棒控制这 一概念。上世纪8 0 年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起了众多学者的 高度重视。鲁棒控制理论是以基于使用状态空间模型的频率设计方法为主要 特征，提出从根本上解决控制对象不确定性和外界扰动不确定性问题的有效 方法。鲁棒性分析和设计方法主要有日。控制方法、结构奇异值方法、 2 基于分解的参数化方法、在l q g 控制的基础上使绸l t r ( l o o pt r a n s f e r r e c o v e r y ) 技术的l q g i f f r 方法、二次稳定化方法以及基于平衡实现原理、 卡里托诺夫( k h a r i t o n o v ) 定理和棱边定理的方法等。 鲁棒控制理论发嶷的最突出撵志是抒。控制和弘方法。1 9 8 1 年詹姆斯 ( z a m e s ) 提出了最优是敏度控制方法【”，多伊尔( d o y l e ) 和斯坦因( s t e i n ) 提出了在频域内进行回路成形( l o o ps h a p i n g ) 的重要性”，使褥在控制系 统设计中许多鲁棒稳定往和鲁棒佳能韵指标可l 三l 表达为特定闭环传递函数 矩晦的h 。范数，此蜃发展越来的好。控制理论是解决系统不确定性的一种 有效工具。以上这些鲁棒性分析和设计方法的不断完善，正逐步构筑起鲁棒 控涮理论韵完整体系”。 1 2 鲁棒控制理论研究的基本闯题 控制系统就是使控铷瓣象按照预期垦标运费的系统，大鼯分懿控裁系统 是基于反馈原理来进行设计的。反馈控制已经广泛地运用于工业控制、舷空 航天释经济管理等各个领域在实繇控制河蹶中，不确定性是普遍存在的。 不确定性可能来良f 舞捶述的掩割慰象的模整饯误差，也霹耗来爨外界扰韵豹 多样性。因此，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影响。8 0 年代以来， 反馈控弗理论获褥7 惊a 酶发展，已经变得更加严密，夏加符合实际。建立 起来的鲁捧控翻理论为处撰不确定性提供了育效的手段。 鲁棒控制理论主要研究分析和综合这题方嚣的蝇题。在分拼方嚣要研究 的楚：当系统存在各种不确定性及外加干扰时，系统性昭变化的分析，包括 系统静动态性能帮稳定性等。在综合方话簧研究的燕：采用什么控制结构、 用什么设计方法保证控制系统具奢更强的鲁捧牲，包括妇侮对付系统存在的 不确定性和外干扰的影响。 反馈控制系统设计的基本要求包括稳定性、渐进调节、动态特性和鲁棒 性等四个方面。 ( 1 ) 稳定性：它是控制系统设计的最基本要求并意味着控制系统从工作点附近 任意初始状态出发的轨迹在时间趋于无穷时收敛于工作点。 ( 2 ) 渐进调节：它意味着对于一类给定的目标输入r 和外部扰动d ，一个反馈控 制系统必须能够保证l i m e ( t ) = 0 即保证控制系统的稳态误差为0 。渐进调节 的特性反映了控制系统的稳态性能。 ( 3 ) 动态特性：它是指反馈控制系统的动态性能必须满足一组给定的设计指标。 ( 4 ) 鲁棒性：它是指当不确定性在一组给定的范围内发生变化时，必须保证反 馈控制系统的稳定性、渐进调节和动态特性不受影响。 一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就 是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐进 调节和动态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确 定性影响的能力。鲁棒性又可以分为鲁棒稳定性、鲁棒渐进调节和鲁棒动态 特性。 ( 1 ) 鲁棒稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳 定性。 ( 2 ) 鲁棒渐进调节是指在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的 渐进调节功能。 ( 3 ) 鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。 一个反馈控制系统的设计问题就是根据给定的控制对象模型，寻找一个 控制器，以保证反馈控制系统的稳定性，使反馈控制系统达到期望的性能， 并对模型不确定性和扰动不确定性具有鲁棒性。具有鲁棒性的控制系统称为 鲁棒控制系统。抓住不确定性变化的范围界限，并在这个范围内进行最坏情 4 况下的控制系统设计，这就是鲁棒控制系统设计的基本思想【3 】。 1 3 本文研究内容的概述 1 3 1 宏观经济系统的分析与综合 宏观经济系统模型是在宏观总量水平上把握和反映经济运动的全面特 征，研究宏观经济主要指标间的相互依存关系，描述国民经济和社会再生产 过程各环节之间的联系，并可以用以进行宏观经济的结构分析、政策评价、 决策研究和发展预测。 宏观经济系统本身是一个动态系统8 l 【”，其模型具有本身的缺陷和参数 估计误差，而且系统本身存在自身和外部的扰动信号。因此我们必须注重信 息的传递、反馈和控制，必须注重对经济系统运行机制的描述。运用鲁棒控 制理论中的l o g 鲁棒控制理论对宏观经济系统进行分析与优化控制，能够 保持经济系统的完全稳定运行，并且保证受控变量能够准确跟踪预先给定的 目标【1 0 】。 同时宏观经济系统的数学模型具有以下不确定性的特征： ( 1 ) 宏观经济系统的模型化误差。例如：模型中的某些重要解释变量未 被考虑进去或者参数估计中的误差。 ( 2 ) 宏观经济系统本身和外部的扰动信号。例如：宏观经济政策的波动 和突发战争等因素的影响。 鉴于此，我们借助m a t l a b 设计软件并运用l q g 鲁棒控制理论可以消除经 济系统的模型化误差及其本身和外部的扰动信号等不确定性的影响，得出最 佳经济控制策略，合理地运用财政和货币这两大经济杠杆从而能够保持经 济系统的完全稳定并且可以准确跟踪并达到预先给定的目标。 1 3 2 一类时滞不确定性系统的鲁棒h ”控制器设计 近年来，时滞不确定系统的鲁棒控制研究一直得到学者的关注，并取得 了一些成果【1 1 1 7 。本文研究的这类系统的状态和控制存在定常时滞，而且系 统的状态和控制输入均含有不确定性，其不确定性满足范数有界条件。通过求 解一个a r e 给出了可使这类系统二次镇定和满足从干扰输入到控制输出 h 。范数约束的鲁棒h 。控制器存在的充分条件。在时域中，采用二次型稳 定性概念来处理线性不确定系统；在频域中，则利用h 。范数的定义来处理。 2 鲁棒控制理论叫， 1 9 ， 2 0 ， 2 1 不确定性系统的描述及分类 2 i i 不确定性系统的描述 具有不确定性的系统称为不确定性系统。鲁棒控制是针对不确定性系统 的控制系统设计方法。鲁棒控制理论主要研究的问题是不确定性系统的描述 方法、鲁棒控制系统的分析和设计方法以及鲁棒控制理论的应用领域。 不确定性系统的描述包括公称模型和不确定性的摄动与公称模型的关 系以及摄动的最大值这三个方面的描述。其中公称模型是指在控制系统设计 中采用的控制对象模型往往没有考虑控制对象的模型不确定性。 不确定性可分为非结构不确定性和结构不确定性这两大类。前者用于表 示那些结构不明确的不确定性，后者用于表示那些整个控制对象和不确定性 之间相互关系的结构是非常明确的不确定性 2 1 2 非结构不确定性 采用某些典型的非结构不确定性来描述不确定性系统不仅是控制系统 设计的需要，而且可以较容易地作出一些精确的结论。下面以加法和乘法的 不确定性为对象进行讨论。 我们把实际控制对象的传递函数只( j ) 与公称模型的传递函数p ( s ) 之 6 差 a ( s ) = 只( s ) 一p ( s ) ( 2 1 ) 描述为不确定性。一个实际控制对象的加法不确定性传递函数模型可以描述 为 只( s ) = p ( s ) + ( s ) ( 2 2 ) 在乘法不确定性的描述中，我们把实际控制对象的传递函数只( s ) 与 公称模型的传递函数尸( j ) 之相对差 z x ( s ) = 【只( s ) 一p ( j ) 】p “( j ) ( 2 3 ) 描述为不确定性，一个实际控制对象的乘法不确定性传递函数模型可以描述 为 只( s ) = 【1 + ( j ) 】户( s ) ( 2 4 ) 为了确定这个非结构化的集合，我们必须限定a ( s ) 的大小，其表达式 为 1( 2 5 ) 则( 2 2 ) 式和( 2 4 ) 式分别变为 只( s ) = p ( s ) + w ( s ) a ( s ) 只( s ) = ，+ ( s ) ( j ) 】p ( j ) 其中加权函数( s ) 表示不确定性依赖于频率的程度。 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 因此，我们通过适当的加权函数w ( s ) 把不确定性规范化了。图2 1 和 图2 2 分别描述了( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式的情况。 7 图2 1 ：具有加法不确定性的系统 图2 2 ：具有乘法不确定性的系统 2 1 3 结构不确定性 结构不确定性是指描述动态特性的方程式具有已知的形式，即模型的结 构是已知的；但方程式中具有不确定的系数，即模型参数的值是不确定的。 先考虑下面由状态空间模型描述的线性时变系统 膏o ) = 铆7 ( f ) k ( ) + 研5 ( r )( 2 8 ) ly ( r ) = c x ( t ) 其中x q ) 是状态，“( f ) 是控制输入，y ( t ) 是输出，r ( f ) 和s ( t ) 分别是个系数矩 阵不确定性的参数向量。 我们用实际的系数矩阵与系数矩阵的公称值之差表示系数矩阵的不确定性， 8 即 爿 r ( f ) = 爿p ( f ) 卜a a b s ( t ) 】_ b p ( r ) 卜b ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 其中a 和b 分别为各系数矩阵的公称值，a , 4 e r ( t ) 和a b s ( t ) 】分别是有界时变 的不确定性的值。 2 2 h m 鲁棒控制理论 2 2 1h 。鲁棒控制理论的概念及实质 h 。鲁棒控制理论是在h 。空间通过某些性能指标的无穷范数优化而获 得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。h ”空间是在开右半平面解析且有界 的矩阵函数空间，其范数定义为 。= s u p 可f ( s ) 】- s u p 研f ( j ) 】 r 爿s ) 蛐e 即矩阵函数f ( s ) 在开右半平面的最大奇异值的上界。h ”范数的物理意义是它代 表系统获得的最大能量增益。 h ”鲁棒控制理论的实质是为多输入多输出且具有模型驱动的系统提供了一种 频域的鲁棒控制器设计方法。a 鲁棒控制理论很好地解决了常规频域理论不适于 i v h m o 系统设计及l q g 理论不适于模型摄动情况两个难题，其计算复杂的缺 点已因计算机技术的飞速发展及标准软件开发工具箱的出现而得到克服，故近十 年来已成为控制理论的一个热点研究领域，并取得了大量的实际应用成果。 2 2 2h 。鲁棒控制理论的发展过程 控制界将h 。鲁棒控制理论的发展过程分为两个阶段，分别以加拿大学者 9 z a m e s 7 1 和美国学者d o y l e 【2 1 等人发表的两篇著名论文为标志。称前一阶段 的理论为经典h ”鲁棒控制理论，称后一阶段的理论为状态空间h 。鲁棒控制 理论。从1 9 8 8 年d o y l e 等人发表著名的d g k f 论文( 在该文中提出了简化的 状态空间h 。控制器求解公式，仅需解两个r i c c a t i 方程便可求得h 。优化控 制器，其阶次等于广义对象的阶次。后d o y l e 和g l o v e r1 2 ”，g h a r g o n e k a r 2 4 1 等人进一步给出更简单的求解方法，提出状态反馈h 。控制问题可通过求解一 个r i c c a t i 方程来求得，这类方法不仅设计简单，计算量小，而且所求得的 控制器阶次控制器阶次较低，结构特征明显) ，到z h o u 等人的专著鲁棒及 最优控制，s k o g e s t a d 和p o s t l e t h w a i t e 的专著多变量反馈控制【2 6 】 标志着h 。控制理论已基本成熟，至今已整整十五年了，在这十五年中对h 。控 制理论的研究取得了大量引人注目的成果。 2 2 3h ”鲁棒控制理论的特点 i )将经典频域设计理论具有一定得鲁棒性和现代控制理论状态空间 方法适于m i i o 系统的两个优点融合在一起，系统地给出了在频域 中进行回路成形的技术和手段。 2 )出了鲁棒控制系统的设计方法，并充分考虑了系统不确定性的影 响，不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些性能指 标。 3 )用状态空间方法，具有时域方法精确计算和最优化的优点。 4 )多种控制问题均可变换为h 。鲁棒控制理论的标准问题，具有一般 性， 并适于实际工程应用。 1 0 2 2 4主要算法和理论的回顾 本节主要给出小增益理论、回路成形及u 分析的主要内容。至于h ”鲁 棒控制理论的混合灵敏度问题，不少文献中已有详细介绍，本文不再赘 述。 图1h ”控制标准问题图2 标准反馈控制系统结构 1 ) 增益理论 h 。范数的重要特性来自于小增益理论的应用。小增益理论如 下：如果t 删k t ，则对所有稳定的且0 j l 0 ，b o ，d 0 ，s ( t + 1 ) 为储蓄额。 ( 4 )消费需求方程 c ( f ) = 】，( f ) 一s ( t ) 一r ( r ) 其中t ( t ) 为税收收入。 ( 5 )税收收入方程 ( 4 1 5 ) 丁( r ) = ”y ( t ) ( 4 1 6 ) 其中“ 0 为税率，它是税收总量占g n p 的总比重。 ( 6 ) 货币需求方程 l = l r + l ， ( 4 1 7 ) 其中l 为货币总需求，l ，为货币交易需求，l ，为货币投机需求。 ( 7 )货币交易需求方程 l 7 ，( f ) = e + g r ( t ) 其中e 为常数，g 0 。 ( 8 ) 货币投机需求方程 三，( f ) = h + z x i ( t ) 其中h 为常数， 0 为调节系数。 式( 4 1 2 ) 式( 4 2 0 ) 构成一个简单的宏观经济模型如下 r ( t ) = l ( t ) + c ( f ) + ( r ) l ( t + 1 ) = a x y ( f ) + b x f ( f ) s ( t + 1 ) = q x y ( r ) + d f ( f ) c ( r ) = y ( f ) - s ( t ) - r ( t ) r o ) = “x y ( f ) l ( t ) = l r o ) + l s ( f ) ，( f ) = e + g x y ( f ) 岛( f ) = 厅+ ，x f ( f ) f ( ，+ 1 ) = f ( f ) + 后( 上( f ) 一且，( f ) ) 4 5l q g 控制理论在宏观经济系统分析中的应用 若令： ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) a = 0 4 ，b = 一2 7 9 = 0 2 5 ，d = 3 ，“= 0 2 ，e = 0 3 ，g = 0 1 ，h = 0 4 ，z = 1 ，k = 0 0 5 jf丫(。t+01)，j，ul0：95i：o：，o，5q。py(，,n1i+一。5。5jflg凹(tp+1-il-、,-jj - 、j j l + 。宇5 = m 甜：j s t e pr e s p o n s e s t e pr e s p o n s e l i m e ( s e e )币m e ( s e c ) ( a ) 原闭环系统 ( b ) 带l q o 调节器的闭环系统 图4 3 ：系统阶跃响应 从图4 3 ( a ) 可得出原闭环系统存在明显的系统波动和不稳定性，而图4 3 ( b ) 表明 l q g 调节器使闭环系统的阶跃响有显著的改善。因此。鲁棒控制理论能够保证宏观 经济系统的稳定地运行。 4 6小结 本文提出的理论和方法将对中小规模的宏观经济系统具有较大的应用价值，并 且能够帮助宏观经济决策层进行宏观经济系统的分析，正确运用财政和货币两种调 控手段，避免宏观经济的较大波动，使得宏观经济平稳快速的增长。 o口nl盖e 啦口暑盖e 但同时也应该指出，大规模一般均衡经济系统的稳定性分析与大规模非线性动 态经济系统的鲁棒控制理论是十分艰深与复杂的研究课题，2 0 0 多年来，许多著名 的经济学家、数学家和控制理论专家，如：瓦尔拉斯( w a l r a s ) 、阿罗( a i t o w ) 、德布 鲁( d e b r e u ) 、希克斯( h i c k s ) 、萨缪森( s a m u e l s o n ) 、列昂惕夫( l e o n t i e o 等对此不断 深入地进行了研究，然而仍有许多深刻的问题等待人们去解决【3 3 1 。 5 ：一类时滞不确定性系统的鲁棒h 。控制器设计t “1 3 5 1 s 1 系统描述和定义 本文考虑下述不确定时滞系统 x ( f ) = o 工( f ) + a l x ( t 一凶) + u ( t ) + s l u ( t 一如) + h w ( t ) = ( 凡+ 凡( f ) ) x ( f ) + ( 爿1 + a o ) ) x ( f 曲) + ( b o + b o ( t ) ) u ( t ) + ( 岛+ a s l ( t ) ) u q 一如) + d w ( t ) z = e x ( t ) 片( f ) = 矿( f ) ，t 【- d ，0 】，d = m a x a l ，如)( 5 1 ) 其中x r “是状态向量u e r “是控制输入向量，w ( t ) e r 9 是属于2 1 0 ，) 空间 的干扰输入向量，z ( t ) r 9 是控制输出向量，a o ，4 ，b o ，b ，d ，e 是具有相应维数 的已知矩阵，a o ，a t ，b o ，b i ，删o ，鲋i ，蛾，蛆，是具有合适维数的用以表述系统不 确定性的实矩阵。 不失一般性，设系统的不确定性满足下述形式的范数有界条件 a a o ( t ) = h o f ( t ) e o ，a 1 ( t ) = h i f ( t ) e l ，a b 0 ( t ) = h 2 f ( t ) e 2 ， a b i ( t ) = h 3 f ( t ) e 3 ，f t ( t ) f ( t ) 蔓i ( s 2 ) 其中h ( ) r n x $ e ( ) r q x 。，而f ( t ) r ”9 则是一个具有l e b e s g u e 可测元的未知矩阵 函数。 2 6 给出状态反馈控制器u ( t ) = k x ( t ) ， k = 一s - l b o t p ， 其中s 是待定的正定加权矩阵，p 是后面定义的正定加权矩阵。 5 2 主要结论 引理5 1 3 6 1 对于适当维数的向量x ，y 有不等式： 2 x t y _ x t x + y t y ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 55 ) 定理5 1 己知不确定性系统( 5 1 ) ，假设w ( t ) = o ，s 是正定对称矩阵，k 由( 5 4 ) 式定义若存在一个正定对称矩阵p 满足下述不等式 q = p a 0 + a o t p + p b o k + k t b o r p + p a l a i t p + p b l b i t p + p h o h o t p + p h l h i t p + p h 2 h 2 t p + p h 3 h 3 t p + i + k t k + e o t e 0 + e i t e l + k t e 2 t e 2 k + k t e 3 t e 3 k o ( 5 6 ) 那么不确定系统( 5 i ) 与控制器( 5 4 ) 所组成的闭环系统二次稳定。 证明：取李雅普诺夫函数为 v _ x t p x + f _ d l x ( 0 x i + e i t e i ) x ( o ) d o + d ：x ( o x k t k + k t e 3 t e 3 k ) x ( 0 ) d 0 为方便起见，令x d l = x ( t - d 1 ) ，x d 2 = x ( t d 2 ) ，则其导数 矿：z e x + 2 7 p x + x 7 x + x 7 e 1 7 e , x + x 7 k 7 k x + x 7 k 7 e 3 7 e 3 k x x d f x a t x a l r e l t e | x n x a 2 r k t k xd - - x d 2 t k t e ：e 3 k x d 2峭- ) 将( 5 2 ) 式代入( 5 7 ) ，并利用引理5 1 ，则有 寸x t ( p a 。+ a0 t p + p b o k + k t b o t p + p a l a i t p + p b l b i t p + p h o h o t p + p h l h l t p + p h 2 h z r p + p h 3 h 3 7 p + i + k 7 k + e 0 7 e o + e 1 7 巨+ k 7 e 2 7 e 2 k + k 7 e 3 7 e 3 k ) x 0 ( 5 ，e 即审x f 2 x ，则若q 0 ，闭环系统二次稳定，由此易知定理5 1 成立。 注：按照常规的试凑方法适当选择有关参数的值解黎卡提不等式，将所得的p 值代 入( 3 ) 式即可得到所需的控制器。但若经过多次尝试仍无结果，则此方法可能失效， 这是采用黎卡提方程方法的最大缺点。 定理5 2 已知不确定性系统( 5 1 ) ，t 是给定的正常数，s 是正定对称矩阵若 存在一个正定对称矩阵p 满足下述不等式 中= p a o + a o t p + p b o k + k 7 b o t p + p a l a i t p + p b i b l t p + p h o h o t p + p h l h l t p + p h 2 h 2 t p + p h 3 h 3 t p 七i + k t k + e ：e o + e ? e l + k t e ：e ：k + k r e ：e 3 k + 专e r e + i ，p d d t p o ( 5 9 ) 那么闭环系统( 5 1 ) 二次稳定且满足约束条件f 阻z w ( s ) s y 。 由定理5 1 知只需要证明满足约束条件忙z w ( s ) y 。 从干扰输入向量w ( t ) 到控制输出向量z ( t ) 的闭环传递函数为 h ( s ) = e ( s l x o - - 五l e 一8 6 。+ 百o s b o t p + b i s - l b o t p e “0 2 ) 一1 d ， 显然，存在一个正定对称矩阵r 满足 ! e r e ：一f 一! p d d t p + t + ( j w ) p + p t ( j w ) 一。一t + ( j w ) p p t ( j w ) y丫 其中， r ( j w ) = j w l 一五一五日一州，+ l s 。1 8 0 7 p + b i s “b 0 7 p e 一川z 2 r ( 5 1 0 ) ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) 为方便记述，定义记号： 0 = ( a 1 t p e j w d l i ) ( a l t p e j w 4 l i ) + ( f t h i t p e 吡一e 1 ) + ( f t h i t p e j w d t e 1 ) + ( f h o t p e o ) + ( f 1 h o t p e o ) + ( f 7 h 2 t p + e 2 k ) ( f h 2 t p + e 2 k ) + ( f t h 3 t p + e 3 k e j w d 2 ) + ( f t h 3 t p + e 3 k e j w d 2 ) + ( b l t p + k e j w d 2 ) + ( b 1 t p + k e j w d 2 ) 则将( 5 2 ) 式平口( 5 4 ) 式代八p i u 有 i _ _ e t e ：一r 一1 p d d t p + t 。( j w ) p + p t ( j w ) 一 ( 5 1 3 ) 又定义：q ( j w ) = d 1 p t 一1 ( j w ) d 对( 5 1 3 ) 式左乘t d 7 t - ( j w ) ，右乘t ( j w ) o ，则有 h z w ( j w ) h z w ( j w ) = t 2 i 一( q ( j w ) 一7 1 ) + ( q ( j w ) - y 1 ) 一y d t t 一+ ( j w ) ( r + 0 ) t 一1 ( j w ) d 7 2 i 即忡z w ( s ) 7 至此可知定理5 2 成立 5 3 例子 下面用一个例子来验证本文结论。给出系统矩阵如下： a 。= = ?_ l ： ，a 。= = 8 。：t a 。：t ， 小 揣卜= 弦卜1 卅 b 。= ； ，b 。= b 。：( t ， b 。= 之1 ，b 。= b 1 警 ，。= 1 其中f q ( f ) b 】，若取a o ，a 1 ，b 。，b 1 = o 1 ，妒( t ) = o 1 ，s = i ， 将上述参数代入c s s ，解黎卡提不等式得p = 。i 6 ，4 。3 ，2 ，0 。，7 。4 。7 7 。 此时得到不确定时滞系统的鲁棒控制器u = - 2 2 4 1 8 x 。 6 结论与展望 本文针对宏观经济系统的不确定性和一类时滞不确定系统的鲁棒h 。控制器设 计问题，分别运用线性二次型高斯控制理论和h 。控制理论进行宏观经济系统和控 制器的分析与控制，结果表明对于实际系统鲁棒控制理论能够较好地消除系统中的 模型化误差及其本身和外部的扰动信号等不确定性的影响，同时借助m a t l a b 设计 软件进行仿真，可以得出最佳的控制策略。在本文中，对于宏观经济系统可以合理 地运用财政和货币这两大经济杠杆，从而能够保持宏观经济系统的稳定性并且可以 准确跟踪并达到预先给定的经济增长指标。对于所讨论的时滞不确定系统采用采用 黎卡提方程方法，求解两个r i e e a t i 方程，使得所设计的鲁棒控制器闭环系统二次稳 定且满足约柬条件肛 z w ( s ) j 。s y 。 但同时应该指出本文研究的具体控制问题都是基于简单和特定情况下的，还不 具有广泛的普遍性，所作的工作只是进行了初步的探讨，鲁捧控制理论是一门较新 的理论，尽管这种设计理论本身已经趋于完善，但是关于实际应用的研究大多是处 于实验室开发阶段，投入_ t 程实际应用的还较少，还有如下许多闯题有待于进行深 入的分析和研究。 1 针对本文研究的日。控制问题的具体方法和日。控制策略的求解，还有待于做 进一步的实证研究，并逐步缩短与实际应用之间的距离。 2 针对风险巨大的经济金融领域，在应用鲁棒日。技术控制技术解决风险管理 3 0 问题方面有着巨大的潜在研究空间。 3 日。鲁棒控制理论的标准问题无论理论上还是算法实现上都已基本成熟，其难 点在于指标的设定和权函数的选取。不同对象、不同设计指标需要不同的权函数， 但相互之间并没有特定的规律可循，更多的是依赖于设计者的经验。故基于经验的 提取变成专家系统的规则，进而形成工程上可用的确定加权函数的软件包或专家系 统软件，将是研究的一个方向。l u n d s t r o m 【3 7 】等人和p o s t l e t h w a i t e 3 8 1 等人给出了日。 权函数选择的方法，提出在频域内选择加权阵，再转换成在时间域进行优化设计计 算。此方法比较简单，但求出的此优化控制器离最优控制器相差多远尚难估计。另 外，对于坏条件数的h 。鲁棒控制问题以及模型降阶问题，也是一个需要研究的方 向。 总之，实际系统的鲁棒控制系统的研究还刚刚起步，在经济系统和社会系统中，不 确定性和时滞现象普遍存在，如何运用有关理论是很有发展前景的研究方向。 参考文献 1 n y q u i s t h r e g e n e r a t i o n t h e o r y b e l ls y s t e m t e c h n i q u ej o u r n a l ，1 9 3 2 ，1 1 2 d o y l e jc ，f r a n c i sba ，t a n n e n b a u ma r ，f e e d b a c kc o n t r o lt h e o r y , n e wy o r k ： m a c m i l a np u b l i s h i n gc o m p a n y , 1 9 9 2 3 d o y l ejc ，s t e i ng c o n c e p t sf o rc l a s s i c a l m o d e r ns y n t h e s i s ，i e e et r a n sa u t o m a t i c c o n t r o l ，1 9 8 1 ，2 6 ( 1 ) ：5 0 - 6 2 【4 】蔡尚峰，自动控制理论，北京：机械工业出版社，1 9 8 0 【5 】d a v i s o ne j t h eo u t p u tc o n t r o lo fl i n e a rt i m ei n v a r i a n tm u l t i v a r i a b l es y s t e m sw i t h u n m e a s u r a b l ea r b i t r a r yd i s t u r b a n c e i e e et r a n s a u t o m a tc o n t r , 1 9 7 2 ，a c 一1 7 6 】p e a r s o njb ，s t o a t sp w r o u b u s tc o n t r o l l e r sf o rl i n e a rr e g u l a t o r s i e e et r a ma u t o m a t c o n t r , 1 9 7 4 ，a c - 1 9 【7 】 z a m e sg f e e d b a c ka n d o p t i m a ls e n s i t i v i t y ：m o d e l r e f e r e n c e t r a n s f o r m a t i o n s ，m u l t i p l i c a t i v es e m i n a r s ，a n da p p r o x i m a t ei n v e r s e s i e e et r a n s a c t i o n o na u t o m a t i cc o n t r o l ，1 9 8 1 ，2 6 ( 1 ) 8 1 张钟俊、周斯富、司舂林等，经济控制论- 控制理论在经济管理中的应用，西安 电子科学技术大学出版社，1 9 9 1 9 1 黄小原、钟麦英，辽宁省宏观经济模型及其h 。控制，控制理论与应用，2 0 0 0 - 1 7 ( 5 ) ，7 8 1 7 8 3 1 0 c a r a r a n ie o nh - c r i t e r i af o rm a c r o e c o n o m i cp o l i c ye v a l u a t i o n j 】jo f e c o n o m i c d y n a m i c sa n dc o n t r o l ，1 9 9 5 ，1 9 ( 5 - 7 ) ：9 6 1 - 9 8 4 f l1 】杨富文，时滞系统的h 。状态反馈控制控制与决策，1 9 9 7 ，1 2 ( 1 ) 1 2 】毛维杰。孙优贤。不确定性系统的输出h 。控制。信息与控制，1 9 9 7 ，2 6 ( 3 ) 1 3 n t x 如，王守臣，钱积新。一类具有状态及控制滞后的不确定系统的鲁棒h 。控 制。控制理论与应用，1 9 9 9 ，1 6 ( 2 ) 【1 4 1 曹永岩，孙优贤。不确定性滞后系统时滞相关鲁棒h 。控制。自动化学报，1 9 9 9 ， 2 5 ( 2 ) 1 5 俞立，潘海天，具有时变不