（系统理论专业论文）焦点量计算公式及两类对称系统的极限环.pdf

海交通人学研究生学位论j 焦点量计算公式 及两类中心对称系统的极限环 摘要： 咱1 9 0 0 年h i l b e r t 提出研究平面多项式系统的极限环的个数 及其分布问题以来，有很多数学家研究这一问题，其中给定系统 的焦点量公式、阶数及其产生极限环的个数一直是个颇受关注的 v - - r，、j 问题。j 本文往已有工作的基础给出沫一般平面多项式系统的前 六个焦点量的公式与算法( 在此之前人们只知道一般平面多项式 系统的前四个焦点量的公式) ，这是目前为止最新的结果。作为 应用，利用计算机这一现代工具，较详细地研究了具有三次曲线 解的中心对称三次系统和原点为鞍点的中心对称三次系统这两 类对称三次系统的极限环分支情况，我们发现具有三次曲线解的 中心对称三次系统可以出现四个极限环( 在此之前的结果是两个 极限环) ，而以原点为鞍点的中心对称三次系统可以出现八个极 限环。 关键词：焦点量，细焦点，中心对称三次系统，三次曲线解，极 限环 海交通人学州究生学位论义 f o r m u l ao ft h ef o c u sv a l u e sa n dt w oc l a s s e s o fc e n t r a l s y m m e t r i c c u b i c s y s t e m s a b s t r a c t ： i nt h i s p a p e r , w es t u d ys y s t e m si nt h ep l a n eh a v i n gac r i t i c a lp o i n tw i t hp u r e i m a g i n a r ye i g e n v a l u e s a n dr e a c h w i t h c o m p u t a b l ee x p r e s s i o n s o ft h ef i r s t s i x l i a p u n o vc o n s t a n t s ， v 3 ，v 5 ，v 7 ，v 9 ，”1 1 ，v 1 3 a n dt h er e l a t i v ea l g o r i t h m t h er e s u l tw e p r e s e n ti s ad e v e l o p m e n to f 6 】a sa l l a p p l i c a t i o no ft h e s er e s u l t s ，w es t u d yt w o c l a s s e so fc e n t r a ls y m m e t r i cc u b i cs y s t e m s f o rt h ec e n t r a ls y m m e t r i cc u b i c s y s t e m w i t hc u b i cc u r v e s o l u t i o n ，w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sa tl e a s tf o u rl i m i tc y c l e s ，w h i c hi s b e t t e rt h a nt h er e s u l tg i v e ni nt h ea r t i c l e 【7 f o rt h ec e n t r a ls y m m e t r i cc u b i cs y s t e m w i t has a d d l e o r i g i n ，w ep r o v e t h a tt h e r ee x i s t sa tl e a s te i g h tl i m i t c y c l e s k e y w o r d ：f o c u sv a l u e ，f i n ef o c u s ，c e n t r a ls y m m e t r i cc u b i cs y s t e m ，l i m i tc y c l e v 海交通人学研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 著名数学家d h i l b e r t 于1 9 0 0 年在国际数会上提出了二十三个数学难题，其 中第十六个问题的后一半就是研究平面多项式系统的极限环的个数及其分布问 题。有关这个问题，有很多数学家做了大量的工作。其中给定系统的焦点量公式、 阶数及其产生极限环的个数一直是个颇受关注的问题。 计算焦点量是研究极限环问题的重要方法。通过计算焦点量，可以判定方程 的奇点是中心还是焦点，并确定焦点的最高阶数。对已知阶数的细焦点，则可确 定系统经过小扰动以后，能由此焦点产生极限环的最多个数。但对一般平面多项 式系统，其焦点量计算及中心与焦点的判定非常复杂。文献【1 1 1 3 0 对这问题 进行了大量的研究。 1 2 本文主要结果 本文的主要工作是对一般平面系统的焦点量进行了推导计算，并利用所得焦 点量算法对两类对称系统的极限环分支情况进行了讨论。主要有下列三个方面的 工作： 1 有关焦点量公式的已有结果及本文结果 文 6 中给出了平面系统的前三个焦点量的计算公式。本文第二章对文 6 中 的方法进行了化简改进，通过引进一些中间变量，使得推导计算过程得以简化， 给出了前六个焦点量的计算公式，并且给出了适于计算机进行计算的算法。同时 提出了具有推广意义的化简猜想定理2 1 。 2 以y = 唧3 为解的三次对称系统的已有结果及本文结果 文 7 证明了以y = o t x 3 为解的三次对称系统至少有一对对称的极限环。本文 第三章利用前面得出的焦点量计算方法构造证明了以y = 3 为解的三次对称系 统至少可以有两对对称的极限环。 3 以原点为鞍点的对称三次系统的极限环的结果 以原点为焦点的对称三次系统在原点的焦点阶数至多是5 ，从而在原点邻域 内至多有5 个极限环。( 见 8 ) 本文第四章讨论了以原点为鞍点的对称三次系统的极限环个数。这类系统具 有形式： 第1 页 i ：海交通人学研究生学位论义 f 量= a x + 砂+ a 3 0 x3 + a 2 1 x 2 y + a 1 2 x y2 + a o j y 3 i 岁= b x + a y + b 3 0 x 3 + 6 2 i x 2 y + b 1 2 x y 2 + b 0 3 y 3 设该系统有一对对称的细焦点，利用第二章得出的焦点量计算方法证明了该系统 在扰动下至少可以产生四对对称的极限环。 注：文中所有标记为圆圆匡圈的内容均指本文的工作。 1 3 预备知识 给定微分方程组 j j 一+ ? ，。) 【y 2 “十缈， 和 髓薹：砂d y ：端i z ， i 夕= “+ + p ( x ，y ) ， “7 其中d ，b ，c ，d 是实数，垂( x ，y ) ，p ( x ，y ) 为非线性项，垂( o ，0 ) = p ( o ，o ) = 0 。 定理( 4 ，5 ) 设o ( o ，o ) 是( 1 1 ) 的中心，又设( 1 2 ) 的附加项西( x ，y ) 和w ( x ，y ) 都满足西( x ，y ) ，p ( x ，y ) = o ( ，) ，r _ 0 ，则奇点0 是( 1 2 ) 的中心、焦点或中心焦 点。若西，妒= o ( 1z ，y i2 ) 为解析函数，则原点是( 1 2 ) 的中心或焦点。 对解析系统( 1 2 ) ，一个重要问题是判别( 1 2 ) 的奇点o ( o ，o ) 何时是中 心，何时是焦点，常称这一问题为中心和焦点的判别。 定义1 1 ( 4 ，5 ) 当线性方程组( 1 1 ) 的奇点0 是焦点时，如果非线性项 满足条件西( x ，y ) ，p ( x ，y ) ；d ( r ) ，一0 ，则奇点0 仍是( 1 2 ) 的焦点，这时称奇 点。为( 1 2 ) 的粗焦点；当奇点0 是( 1 1 ) 的中心，而是( 1 2 ) 的焦点时， 这时的奇点d 称为( 1 2 ) 的细焦点。粗焦点是结构稳定的，细焦点是结构不稳 定的。 设奇点0 ( 0 ，0 ) 是系统( 1 1 ) 的中心，则其特征根是一对纯虚数，记为i , u 。 易知其系数日，b ，c ，d 满足a + d = 0 且口d b c = 22 0 。可经如下非退化线性变换 f x = c x a y 沁肠i y ， “3 将系统( 1 1 ) 和( 1 2 ) 变为 第2 贝 海交通人学研究生学位论文 i c = - f l y ( 14 ) ( 1dl 陟= 一， 和 髓z 篇搿y j ， 【岁= x + p ( x ，) ， 其中，p 由西，p 与( 1 3 ) 确定。进一步，若( 1 5 ) 为c 。系统，则对任自 然数k ，可引入近恒等变换，使( 1 5 ) 化为下述标准型： i 打= 一v + ( 口，“一6 ，v ) ( “2 + v2 ) + d ( i “，v p ) ， i = l (1k 6 ) 廿= v + ( a u + a ，力 2 + v 2 ) + d ( j 材，v j2 “2 ) ， 定义1 2 ( 1 ) 设女疗i ，且系统( 1 6 ) 在极坐标下，当r 斗0 时方程的 标准形式为面d r ：d n r 2 n + l + d ( r 2 “) ，d 。，则称。( o ，o ) 为( 1 2 ) 的即阶细焦点。 下列结果是经典的( 见 1 ) ： 定理1 , 2 设o ( o ，o ) 为系统( 1 2 ) 的t 阶细焦点，则( 1 2 ) 的任何c 。扰动系 统在原点的小邻域内至多有t 个极限环。 第3 贝 海交通大学研究生学位论文 第二章计算平面系统焦点量公式 2 1 引言 对于一般的平面多项式系统，其焦点量的最高阶数至今未解决。文献 6 考 虑了平面系统( 1 5 ) ，通过将该方程组转化为复数形式，利用比较系数方法，给 出了一般平面系统的前三阶焦点量的系数表达式。本章在此基础上，通过引入中 间变量，对其推导过程进行了化简和改进，给出了一般平面系统的前六阶焦点量 的计算表达式和具体的算法。利用该算法，借助m a t h e m a t i c a 软件，对文献 6 中给出的几个系统进行了计算和验证，对本文后面两章提到的两类平面三次系统 的焦点量进行了计算，计算结果表明本章的结论和算法是正确有效的。 2 2 计算平面系统焦点量公式的改进方法 变换时间尺度f f ：一t ，可将系统( 1 j ) 化为 j - ：一_ y - + 上掣( x t ，y t ) ， 岁- ：x + 上p ( x t ，_ y ) ， 设z = x + i y ，则该系统可以写成如下复数形式 j = 拓+ e ( z ，j ) ，z c k 2 其中( z ，手) 为k 次齐次多项式，即t ( z ，手) = e a 。z + 手。，k 2 。 i + y = k ( 2 1 ) ( 2 2 ) 将系舭z ，变换为极坐标腻醐 痃，口t a n ( 鬻卜以 三= e “9 ，得到 一d r ：扣兰霉：! 丝髦2 堑： d e瑟一z | 1 + ( n f z ) 2 i r 2 注意到f ( z ，三) = r f k ( e ”，p 1 。) ，则当r 充分小时，可将上述方程可改写为 2 ( 见e 6 ) ： 第4 页 海交通大学研究生学位论文 其中 生：型竺竺 d p 1 + r ti m ( 1 ( 目) )- ) l = r 女( 臼) r ( 2 3 瓯( 目) = e - t o e ( p ”，p 。9 ) ( 2 4 ) 由( 2 3 ) 可得，r e ( s 女( 口) ) = 风( 口) r il + ，i m ( s ( 臼) ) l 。由 6 知将 2 2女2 2 2 l， 右端展开后比较左右两边，”的系数，可得 r 。= = r e ( s 。) i m ( s + ) r 一女 ( 2 5 ) 设，( 护，p ) 为微分方程( 2 3 ) 的满足初值r f 。= p 解。将r ( 矽，p ) 展开，得： “以僦(o)：u2(0)pm2+u3(0)。p0 02 3 + ( 2 6 ) 其中( ) = ，。 易知p ( 户) = r ( 2 z ，p ) 为对应护= 0 的p o i n c a r e 映射。因此系数序列妣( 2 万) 决 定了微分方程( 2 1 ) 在原点附近的定性性质。特别地，当且仅当对所有的k 2 ， 都有( 2 z ) = 0 时，原点为系统( 2 1 ) 的中心。反之，若存在k 使得“。( 2 z ) 0 时，原点为系统( 2 1 ) 的焦点。蜥( 2 z ) 的符号决定了原点的稳定性。 可证式( 2 6 ) 中右端第一个非零系数虬( 2 x ) 对应的k 为奇数。设k = 2 m + 1 ， 则v 2 。l = s t 2 ( 2 z ) 称为聊阶l i a p u n o v 常数。 为使论述简明准确，在后面的论述中我们引入下面的一些记号。 对给定的三角多项式 p ( 护) = p 女p “+ 岛 其中k 为非零整数集z 0 ) 的一个有限子集。我们定义： ( 2 7 ) 翮唰啦r 砌脚2 k e k 譬1 k ”- 1 ) 协口 ( 2 _ 8 ) 对三角多项式r k ( 目) ，七2 ，在不引起歧义情况下我们将其记为r 。 将式( 2 6 ) 代入方程( 2 3 ) ，两边分别对0 求导，得到： ( 目) p 。= r 。( 口) 驴( 曰，p ) ) ” 2 2 ( 2 9 ) 第5 页 海交通大学研究生学位论文 由文 6 】可知 似哕”2 l 擎c 咖j ，副 2 荟i 。量；。赤瓢劬扎日， l d l + 2 a z + ( t 一1 l 吼一l = t ( 2 1 0 ) ( 其中下标q ，日：，呜，吼一都是非负整数，下同) 。将上式代入方程( 2 9 ) 后， 对比左右两边p 的系数，可得： 引2 磐 l 。量雨等对扎印时徊) ”2 ：；茁：j 翟投氧，i1 2 。“ 依次求解这些方程，可求得： “函。c 目， ( 2 1 1 ) 啦( e ) = 蓬 u 3 ( e ) ：蔼+ 砭2 1 】4 ( 。) ：瓦+ 2 焉菇+ 茜毫+ 3 u 5 ( e ) = 嫣+ 2 式_ 避+ 2 菘瓦+ 3 璃+ ，铲毫+ ；+ 2 瓦面+ 1 1 6 ( e ) ：威+ 2 焉+ 3 i 毫+ 3 瓦霹+ 3 蛩i + 4 菘瓦琏+ 4 焉畸3 + 菘嚼+ 2 哥葛砭+ 3 运葛瓦2 + 3 瓦焉+ 鼋i + 4 焉2 蕙+ 3 蠢夏鹂+ 焉1 蠹+ 5 当七逐步增大时，“。( 0 ) 的表达式将变得越来越大，不利于后面的公式的推导。 事实上，我们可以利用一些记号将这些公式化简，从而求出t 较大时的虬( 目) 表 达式。定义 k ：码，工：+ 码眨，工5 ：r 5 + 2r t 琏+ r 3 2 ，k ：r 6 + 3 民琏+ 3r 4 蔑2 + 码2 一般地，定义： l k ：圭嘴r ，瓦“。 ( 2 1 2 ) 利用厶，可将“。( 0 ) 简写为 第6 贞 ! 塑至望查兰竺垄竺兰竺丝兰 1 , 1 3 = 坛+ 啦= + 2 坛u 2 + 遽 码：乓+ 2 五啦+ 3 而递+ u 2 + ：学 u 6 = 乓+ 2 焉啦+ 3 遽+ 4 坛遽+ 遽+ 3 坛+ 妄+ 4 与2 啦 u 7 = 圬+ 2 式啦+ 3 毫遁+ 4 遽+ 5 瞄u 墨+ 遁+ 3 乓坛+ 2 工5 遗+ 8 圬u 2 + 2 l 4 蠢1 】2 + 1 。5 蜉遁+ ：坛3 + 2 群 瑚= 瑶+ 2 高u 2 + 3 式遽+ 4 圬遽+ 5 式u 墨+ 6 豸遁+ + 3 瑶蔼+ 3 五妄+ 8 乓坛l | 2 + 4 五五啦+ 1 5 丘丘噶+ 3 i i 遽+ 1 2 坛2 遽+ 4 i ；式+ 工5 云+ 5 i ；2 u 2 + 1 主5 坛2 + 3 坛i 五+ ii 辞+ 8 蜉啦 对t 3 ，再定义w 。为上述中所有不含“：项的和，即 。吼、：o ，。3 ( 2 1 3 ) 则必成立： | 3 = 与 w 4 = w 5 = i ；+ ；与2 w 6 ：丘+ 3 乓+ 蠢 聊= 茑+ - 5 坛3 + 2 2 + 3 乓坛+ 2 云 均= 骂+ 3 式茑+ 3 i 蠢+ 4 葛丘+ 谣+ i 1 5 丘葛2 + 3 坛l 适+ ：乎 那么可以验证有如下结论： i 定理2 1i 对s 1 3 雌1 ，有 并且有 证明 z 。，嚣黑筠蕊暑一。 a z = 0 。+ ! z ：三i ；f + 3 j 牙：t 而悖吩咿 ( 2 1 4 ) 熹蜉时 口i ! 口21 口 一l ! 4 ( 2 1 5 ) 当t = 3 时，w 3 = 厶= 如一“；，即有心= w 3 + “；，并且码= 厶；当：4 时 对十七 1 3 ，猜想该结论也是成立的。 一 2 甜 。d i l “ 0 。目 1 1 坼 ! ：塑銮望尘兰竺壅圭兰垡! 生 w 4 ：i = “。一2 u ：云一“；= “。一“：( 2 w ，) - u ；，即有“。= w 4 + “：( 2 w 3 ) + “；，并且 w 4v = l 。；当k = 5 时 w ，：云+ = 3 e ，2 = “，一“：( 2 w 4 ) 一“；( 3 i ) 一“；= “，一1 4 2 ( 2 w 。) 一“；( 3 w o 一“：4 二 即有“5 = w 5 + 甜2 ( 2 w 4 ) + u ；( 3 w 3 ) + “；，且有= l 5 + 3 ( 3 岛) = l 5 + l 3 ( 3 w 3 ) 当k = 6 时， w 6 = l 6 + 3 l 4 l 3 + 4 3 = “6 一u 2 ( 2 l 5 + 4 l 3 ) 一“；( 3 4 ) 一u ；( 4 l 3 ) 一“； = “6 1 12 ( 2 w 5 + w ；) 一u ；( 3 w 4 ) 一u i ( 4 w 3 ) 一“； 即有“6 = w 6 + 甜2 ( 2 w 5 + w ；) + “；( 3 w 4 ) + u i ( 4 w 3 ) + “i ，并且 w 。t = 厶+ l 4 ( 4 i ) + l 3 ( 3 一l 4 ) = 三5 十l 4 ( 4 w 3 ) + l 3 ( 3 w 4 ) 当k = 7 时， 一一3 1 一一= w 7 = 7 + 三三3 + 2 l 4 + 3 l 5 l 3 + 2 l 5 l 3 ：“，一“：( 2 w 6 ) 一“；( 3 w ，) 一u ；( 4 w 。) 一“；( 5 w ，) 一“；一2 u ：云i 一3 u ；云。 = “7 一甜2 ( 2 w 6 + 4 w 4 w 3 ) 一甜；( 3 w 5 + 3 w ；) 一“；( 4 w 4 ) 一“；( 5 w 3 ) 一“； 即有“7 = w 7 + u 2 ( 2 w 6 + 4 w 4w 3 ) + “；( 3 w 5 + 3 w ；) + u i ( 4 w 4 ) + u ；( s w 3 ) + “； w 7 = l 7 + l 5 ( 5 l 3 ) + l 4 ( 4 l 4 ) + l 3 ( 3 l 5 + 之5 工32 ) 一一一1 一 = l 7 + l 5 ( 5 w 3 ) + l 4 ( 4 w 4 ) + 3 ( 3 w 5 + 3 w ；) 当k = 8 时， 一一= 一一= 1 e 2 = 1 = 2 = 8 + 3 l 6 l 3 + 3 l 6 三3 + 4 l 5 l 4 + 上5 4 + 詈l 4 3 + 3 l 3 4 3 + 吾4 3 = “8 一“2 ( 2 w 7 ) 一甜；( 3 ，) 一u ；( 4 w 5 ) - u ；( s w 4 ) - u ；( 6 w 3 ) 一“； 一“：( 2 l 5 l 3 + l 42 + 3 i 3 ) 一“；( 6 i 云) 一“；( 6 i 2 ) = “8 一u 2 ( 2 w 7 + 2 w 5 w 3 + 2 w ；) 一u ；( 3 w 6 + 6 w 4 w 3 ) 一u ；( 4 w 5 + 6 w ；) - u ；( s w 4 ) 一u i ( 6 w 3 ) 一“； 即有 “8 = w 8 + “2 ( 2 w 7 + 2 w 5w 3 + 2 w ；+ “；( 3 w 6 + 6 w 4 w 3 ) + u i ( 4 w s + 6 谚) + “；( 5 w 4 ) + 材i ( 6 w 3 ) + “； 一一一 2 一= w 8 = l 8 + l 6 ( 6 l 3 ) + 上5 ( 5 工4 ) + 三4 ( 4 三5 + 1 2 l 3 ) + 3 ( 3 l 6 + 1 5 l 4 l 3 + 3 l 4 l 3 ) = 8 + l 6 ( 6 w 3 ) + l 5 ( s w 4 ) + l 4 ( 4 w 5 + 6 w ；) + l 3 ( 3 w 6 + 6 w 4 w 3 ) 对于k = 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 可作同样的计算。 进一步，将等式 第8 负 二海交通人学研究生学位论文 “t 2 喜盱1t i i + 。萎。，。高2 嵋2 嵋，2 i 十口2 + + 口t 1 2 h i 一t i 右端的和式逐项展开，易知与前面“。的计算结果是一致的。将等式 k = 三。 月= 3 i 皇w ；，瞄一嵋三 a i ! 口21 a 一l ! 。 一 d ，十。2 m a 2 + - + ( + k - i 一) a 。一k _ 1 ；女 右端的和式逐项展开，易知与前面的计算结果是一致的。 对于 1 3 ，部分计算表明这个结论可能也是成立的，但尚无法证明。 注意到“2 ( 2 石) = 0 ，因此由( 2 1 4 ) 式可得： “女( 2 t ：) = w ( 2 万) ，| i 3 ( 2 1 6 ) 从而计算u + ( 2 万) 可转为计算( 2 石) ，而由方程组( 2 1 5 ) 可求出的表达式。 用方程组( 2 1 5 ) 先求出进而求出，方程中没有了所有含有“：的项， 这比起文 6 】中直接采用方程组( 2 1 1 ) 来进行推导求解u 。，方程形式和计算过 程都大为简化，使得我们可以求出更高阶的“。 由方程组( 2 1 5 ) 可求得 u 3 ( e ) = 岣( e ) = 与 1 】4 ( e ) ；( e ) = 瓦 屯( e ) ；屯( e ) ：兰亨+ 茑 1 1 6 ( e ) ：( e ) ：3 葛苴+ 亏i + 丘 u 7 ( e ) ：砷( e ) ：i 5 辞+ 3 骂骂+ 2 哿+ 2 i i + 薪 l 】e ( e ) = w e ( e ) ：芸学+ 3 乓i 五+ i 3 亏气+ 4 i 菇+ i i + 3 葛丘+ 3 i 五+ 乓 u 9 ( e ) ；( e ) ：孳：+ 9 坛彳+ 4 茹亏i + 2 氘+ 萼葛。露+ 三享+ hz 6 与i 五+ 4 云气+ 4 式e + 2 百五+ 3 e 葛+ 4 i 三+ 葛 u 1 。( e ) = m 。( e ) = 3 i 5 学+ 竿+ 萼菇2 瓦+ i 9 葛孑i + i 5 寻三+ 蠢云+ 1 8 与圬+ 5 i i + 8 亏i + 3 骂i 乏+ 6 蠢i 江+ 辈茸乓+ 5 乓式+ 9 坛i 三+ 1 5 一哥三+ 五三+ 4 苴葛+ 3 i 三+ 3 葛骂+ 5 i 三+ 葡 第9 页 ! ：查銮望叁兰坐壅圭兰竺堡生 1 1 1 1 ( e ) 。 n ( e ) ：昱f + 3 0 群群+ 1 8 西五焉+ 3 坛等+ 6 丘聋 h 工_ + 6 弓坛丘l 4 + 6 孑i + j 3 5 坛3 圬+ 1 4 i 圬+ 2 2 1 焉与2 + 1 5 坛2 五+ 1 0 式坛i 二+ 1 2 菇气+ 8 毛3 + 4 云+ 2 2 + 4 毒圬+ 1 8 焉丘式+ 6 五磊+ 3 + 1 2 i 焉i ：+ 6 骂孟+ 1 2 畸+ j 1 5 群岛+ 5 圬薪+ 1 2 葛看+ 1 2 i 乎三+ 2 唁云+ 4 i + 4 最五+ 3 乓工；+ 6 云云+ 瑶 毗( e ) 一3 f 1 5 菇4 蓝+ 2 7 蝠岔+ 1 3 5 岔运云+ 1 4z , ；2 菇+ 4 i 5 菇2 矗2 i + 1 互5 为再+ 百3 5 寻i + 8 t 磊瓦+ 5 丽+ 3 菇磊云+ ：孑瓦+ 6 0 i 竽叠坛+ 2 1 i ；若圬+ 1 二5 坛2 坛+ 1 6 矗磊2 + 3 6 1 , 3 z ；i + 1 2 菇i 毛五+ 1 6 五辞云+ 1 二5 五2 e 云+ 5 坛若i + 1 8 砖噶五云+ 2 0 辞叠+ 2 五云五三+ 3 丘蠢云+ 2 矗三+ 一3 5 坛3 坛+ 1 4 2 式+ 2 1 诘坛磊+ 1 2 五三茂+ i 4 5 等云五+ 1 5 磊i 己+ 4 i 5 五孑三+ 萼孑五+ 8 五i 五+ 5 寻乏+ 3 菇i 云+ 9 五蠢己+ 埔菇五茑+ 6 五五为+ 6 菇为+ 1 6 面+ 9 蜢i + 2 0 丽+ 蠢= + 磊+ 1 2 5 岔瑶+ 5 运舀+ 1 5 诗i 云+ i 3 5 寻+ 3 云i + 4 五茸+ 5 云“+ 3 菇i 面+ 7 坛一i e 4 0 + i 砬 第1 0 负 【：海交通大学研究生学位论文 m ( e ) ：啪( e ) ：2 3 ：芋6 + t 1 2 7 5 岔砰+ ! j 笋+ 6 。菇2 丘瓦+ 1 2 焉五三2 + 2 7 而等+ 9 咭岔i 二+ 1 0 矗3 五+ 1 5 菇2 毒矗云+ 1 8 焉云2 五+ 1 5 岔i 云+ 3 坛2 玷i 二“+ 4 矗五i 二+ 8 妄丘矗i = + 3 等云i + 3 。1 5 焉4 坛+ 8 1 坛i 2 坛+ 3 2 蠢云焉+ 1 。云t 东+ 学i 矛孑+ 兰望2 + 3 5 坛3 乏云+ 2 8 岔矗e + 4 2 坛焉云五+ 1 4 i 三+ 3 0 i 擎孑i ：+ 2 0 坛蠢气+ 2 4 姑孑云+ 1 6 岔五+ 1 8 路i 云云+ 6 云i 五i + 2 4 丘云五妄+ 6 焉i 0 + 1 8 云i 三+ 2 i i 二1 6 + 1 2 菇若蠢i + 1 1 6 寻i 三+ 2 矗蠢三+ 菇2 丘式+ 2 4 磊瓦弦+ 9 斧云瑶+ 3 2 坛毛瑶+ 6 矗i ：磕+ 1 2 坛i 竽+ m 坛哥：e ：+ 1 8 菇i 二坛五+ 1 8 式云己+ 3 0 丘毛2 云+ 1 5 姑2 i i + 1 0 瓦云五+ 3 6 玛蠢矗五+ 4 5 曾i + 6 蛄云i k + 4 i 云乏+ 8 云i 云+ 6 云i i ：+ 娑i 竽菇+ 1 4 孑菇+ 2 1 五磊茹+ “矗云菇+ 7 窖+ 3 0 等吾云+ 2 0 南+ 3 6 岵君三+ 3 2 君三+ 1 2 云三+ 9 乎云+ 6 菇毒云+ 1 6 蠢矗三+ 1 8 岛蝠+ 6 五工二噶+ 6 坛焉+ 2 0 式坛+ 1 2 蛄五三+ 3 0 若i + 2 毫i 二1 日+ 2 云五+ 1 5 岔舀+ 5 坛五+ 1 8 坛坛+ 2 4 岔三“i + 4 反面+ 6 五l e 。o + 3 菇醯+ 8 矗五+ 玷 臣委夏固系统( 2 1 ) 的前6 项l i a p u n o v 常数的计算公式 v 3 = u 3 ( 2 w ) = 码= “5 ( 2 ”) 2 f “i 弓 j 0 r “1 5 由 j o 聊= 嘶( 2 ”) = r ”( 2 骂k + 功) 凼 v 9 = u 9 ( 2 7r)=r“(2骂iii+4葛215+2茸k+4蘑l7+瑚dej0 、u2 u l j ( 2 月) = j 了”( 6 坛2 互工- 4 + 8 掌1 5 + 2 砰工5 + 4 茸葛1 5 + 1 2 茸丘k + 1 2 群b + 2 e 功+ 4 式工日+ 6 坛z 9 + z 哇1 ) c b 1 1 3 = u j 3 ( 27 t ) = 2 ”f 1 5 坛3 k + 3 群云i q + 8 弓丘焉k + 3 写2 矗i 噜+ 1 6 k + 1 8 坛蜉工5 + j o 2 豸1 5 + 1 6 坛2 王；工5 + 2 焉1 5 + 4 5 f 目2 丘k + 6 葛豸三k + 8 葛蓐k + 6 焉式k + 3 2 牙功+ 9 砰i 叶+ 1 6 骂圬i - 7 + 3 0 坛式i e + 2 i i k + 2 i ；工弓+ 2 4 蜉1 9 + 4 式l 9 + 6 h 。+ 8 焉z n + z 0 由 海交通人学研究生学位论文 证明 这里我们仅证明”1 3 。而v ，v 。的证明显然要简单一些，类似可证。 由方程组( 2 1 i ) ，我们求得了“， ) 的计算式。当计算 13 ) 在日= 2 n 的值时， 注意到此时有v 3 = v 5 = v 7 = v 9 = v l i = 0 ，即“2 ( 盈) = “3 ( 幼) 一“1 2 ( 撕) = 0 。在 此前提下，有 砒，- o ，玑。= o ，巩。一o ，匣+ 强：。一o ，( ：瓦+ 说。一o ， b 3 瓦- - 2 + 瓦+ ，一l 3 l 6 + 孔：。= 。 利用这些条件对“。，徊) 进行化简，即可得结论。 由上面的公式我们可以得出计算焦点量的改进算法： 陌网 ( 1 ) 利用变换( i 4 ) 将系统化为标准型( 1 5 ) ； ( 2 ) 利用变换x = 三笋，_ y 2 百z - - z 将系统化为复数形式( 2 2 ) ； ( 3 ) 利用( 2 4 ) 求得； ( 4 ) 利用( 2 5 ) 求得r 。： ( 5 ) 利用( 2 1 2 ) 求得。； ( 6 ) 利用定理2 2 求得v 。 利用上述算法，借助# a t h e m a t j c a 软件，我们对文献 6 中给出的几个系统 进行了计算和验证，并求得了若干三次系统及其他一些平面系统的焦点量。对于 一般的平面系统，当n 在7 以上时，相应的焦点量v 。将变得相当庞大，其项数甚 至达数百万之巨。但对于含参数个数不多的平面系统以及某些特殊的平面系统， 上面给出的焦点量公式还是能够在不长时间内计算出正确的结果的。实际上很多 系统的参数个数都不超过3 个，可以利用上述算法进行计算。在具体的计算过程 中还有很多化简、减小计算量的技巧，文 6 中也给出了一些化简计算的方法， 这里就不列举了。 j f 孚交通人学研究生学位论文 第三章具有三次曲线解的中心对称三次系统 的极限环分支 3 1 引言 文 7 证明了具有三次曲线解y = 似3 的中心对称三次系统可以存在极限环， 从而纠正了文 3 1 认为具有三次曲线解的中心对称三次系统不可能存在极限环 的错误结论。 本章在文 7 的工作基础上，利用第二章给出的焦点量算法进行了计算，构 造出了具有两对对称的极限环的以y = 唧3 为解的三次对称系统的例子，从而证 明了具有三次曲线解y = 似3 的中心对称三次系统至少存在两对对称的极限环。 3 2 具有三次曲线解的中心对称三次系统的极限环分支 中心对称三次系统的一般形状为 ”a l o x + a m y 蜘”扣2 1 i q 2 7 1 3 ：。 ( 3 1 ) i 夕= b l o x + b r a y + b 3 0 x3 + b 2 1 x ! y + b 1 2 x y 2 + b o s y 3 对于系统( 3 1 ) ，文 7 中给出了以下几个引理： 引理3 1 ( 7 ) 系统( 3 1 ) 具有三次曲线解y = 口x 3 的充要条件是该系统 具有如下形式： 膏=ktxy+一k鼎lx：麓崭k6y-),k3 3 a x k l x3 y ( k 。九k 5 x y + k 6 y ：工 z ， 【j = ，=( y 一口x 3 ) + 2 (+ j j 2 y ) + 4 x 2 + + 2 ) ， 其中k 1t 2 ，k 6 ，a 0 均为任意常数。 引理3 2( 7 3 ) 系统( 3 2 ) 至多只有一对中心对称的有限远奇点不位于 三次曲线y = a x 3 上，如果存在，它们必不会位于x 轴上。 引理3 3( 7 ) 对系统( 3 2 ) 作任意伸缩变换后，系统( 3 2 ) 的形式 不变。 根据引理3 2 ，可设系统( 3 2 ) 的奇点m ( x 。，) 的坐标为肘( 1 ，1 ) 。注意此 时1 ，否则m o , b 将会落在y = a x 3 上。这样系统( 3 2 ) 的系数应满足条件 如= 3 ( 焉+ k 2 ) ，= 一k l k 2 一k s 一 上述条件成立时，系统( 3 2 ) 变成 ；!笺：。+k2y，_(一ki+k2，+一k5。+。，k+6)x3。+。一ks。x，2+y如+k+6xy，2,k2y3 c d c 2 xk 2k 6x 2 一y + 3 k s w ：+ 3 k 。y ，c 。s ，【岁= 3 ( 七l +) 一一3 【七l +( 1 一口) + 如+ 】 +2 + 6 y 3 第1 3 贞 ! ：塑窒望盔兰堑塑皇兰竺笙苎 为研究系统( 3 3 ) 的奇点m ( 1 ，1 ) 的性质，对系统( 3 3 ) 作变换 x = 工+ 1 ，y = y + 1 ，得 量= 一( e k l + 3 七2 + k 5 + 2 k 6 ) x + ( 七2 + k 5 + 2 七6 ) y 一( 3 k l + 3 k 2 + 2 七5 + 3 克6 ) 一2 + ( 2 盘5 + 2 盘6 ) x y + 盘6 x y + 盘6 y “ 一( k l + k 2 + k 5 + k 6 ) x 订+ 七5 x “y + 七6 x y ， 岁= 一( 6 k l + 6 七2 + 3 a k 2 + 3 也+ 6 七6 ) x + ( 3 a k 2 + 3 七5 + 6 七6 ) y ( 3 4 ) 一( 3 丘1 + 3 七2 十6 a k 2 + 3 k 5 + 3 k 6 ) x 一6 ( k ，+ k 2 一a k 2 十七6 ) x y + 3 ( k 5 + 3 k 6 ) y 一3 a k 2 3 3 ( k l + k 2 一a k 2 + k 5 + k 6 ) x y + 3 k 5 x y “+ 3 k 6 y ” 令新系统的原点处的散度为0 ( 消去k 。) ，即令 七5 = 女i + _ 3k ：( 1 一口) 一2 6 ( 3 5 ) 代入系统( 3 4 ) ，得： 膏1 = ( 一3 k 。一9 k 2 + 吾日：) x + ( 七，+ 吾女：一寻口：) y + ( - s k 】一6 k 2 + 3 a k ：+ k 6 ) 工2 + ( 5 七2 - 3 a k ：一2 k 6 x y + k 6 y 2 + c z t 一三t ：+ 三a k , _ + k 6 ，x 1 3 + c k i + 吾k 2 - 吾a k 2 - 2 k 6 ，x f 2 + 七。z y ”， j = ，_ = ( 一9 k l 一竽”缸沙峭+ 兰妒i 3 啦 ( 36 ) + ( - 6 t l 一1 2 5 k ：- 2 1a k 2 + 3 七。) x 2 - 6 ( l + t 2 一日i 2 + 七6 ) x j ， + ( 3 k 、+ 兰铲孰麟。胪s 口t 2 x 3 + ( - 6 k ，一萼”和2 + 3 x + 3 ( k l + _ ，3k 2 一j 3a 七2 2 k 6 ) x y t 2 + 3 j i 6 j ，” 以上的部分推导可参见文 7 。为了进一步研究系统( 3 6 ) 的原点的性质， 需要将系统( 3 6 ) 化为标准型。考虑到系统( 3 6 ) 中有四个参数k ，k ：，k 。，a 0 计算很复杂，文 6 中给出了k = 1 ，k 2 = 1 ，k 。= 1 时的几个特殊情形，证明了具有 三次曲线解的中一t 5 对称三次系统可以存在一对极限环。作为前面给出的焦点量公 式的应用，下面我们将进一步证明具有三次曲线解的中一t 5 对称三次系统至少存在 两对极限环。 令t 。= o ，：= 1 ，女。= o ，则( 3 5 ) 成为如= 昙( 1 一日) ，且( 3 6 ) 可化简为： 第1 4 页 海交通人学研究生学位论文 量= 了3 a 一互9 虹+ ( 三一警沙+ ( 3 口一6 扩+ ( 5 3 口) 叫+ ( 孚一争x 3 + 吾( 1 一d 矿只 岁= ( 孚一竽虹+ ( 詈一丁3 a ) y + ( 一了3 a 一争x2 6 ( 1 一a ) 叫+ 兰( 口+ 1 旷 + 9 ( 1 - a + 萼”肌2 y ( 3 7 ) 根据第二章给出的焦点量公式进行计算，可得： f 8 l a 4 7 2 0 a 3 + 1 3 0 7 a 2 + 1 7 0 a 一8 2 ) r r 。4 8 4 6 6 a ( a 一7 ) ( a 一1 ) 2 1 h2 丽丽忑i 永j 而 ( ( 2 2 9 6 3 5 a 9 5 4 8 1 3 5 l a 8 。4 9 6 1 8 4 9 4 a 7 2 1 2 4 7 4 0 1 6 a 6 。4 3 3 7 1 2 2 2 3 a5 3 5 8 8 6 6 9 9 9 a 4 + 4 4 1 7 5 4 4 0 a 5 + 2 4 7 7 6 8 5 4 a 二一7 3 6 5 4 4 0 a - 4 - 5 5 8 2 0 0 ) n - ) 设方程 v ，：一( 8 l a 4 - 7 2 1 0 ：a ：3 + ：1 。3 0 7 a - + 1 7 0 _ a _ - 8 2 ) , r r ：0( 3 8 ) 一瓦雨露石j 石五r “ 剐 四个根为a l ，a 2a 3 ，q ，易知只须求解方程8 1 d 4 7 2 0 a 3 + 1 3 0 7 a 2 + 1 7 0 a 一8 2 = 0 ， 用数值解法求解得到该方程的四个根的数值解分别为： a 1 = - 0 2 9 4 1 3 4 ，a 2 = 0 2 0 2 2 1 ，a 3 = 2 7 1 7 5 8 ，a 4 = 6 2 6 3 2 3 为使v 3 ，v 5 有意义，方程的根应满足口 0 ，并且当盯在a = a ：附近变化时，函数值f ( 口) 如下 图所示： 第1 5 武 上海交通大学研究生学位论文 o 黔 0 0 5 0 0 3 【 0 o l 图3 1 所以当n = 口2 时，v 3 = 0 且，v 5 0 。从第一章定理1 2 我们知道，原点为 系统 州丁3 a 2 一i 9 灿嘻一孚 ( 3 a 2 - 6 矿+ ( 5 - 3 a 2 切+ ( 孚一j 5 矿+ ( 1 - a 2 矿弘 户= ( 孕一竽h + ( 詈一争y + ( 一丁3 0 2 一莩炉一6 ( 1 - a 2 协+ ；( a ：+ 矿 + ( 1 - a 2 ) 砂2 + i 1 5 ( 口2 一1 ) x 2 y ( 3 9 ) 的2 阶细焦点，该焦点在扰动下至多可产生2 个极限环。 因为v s o ，剿= 2 0 2 8 6 1 0 ，我们可以对系统( 3 9 ) 的系数中的口2 i a = a ， 做一个微小扰动而成为a = a 2 一占l ，0 s i 1 ，使得扰动后的系统v 3 0 ，此时 原点已由不稳定变为稳定，稳定性发生改变，因此系统( 3 7 ) 在扰动s ，下原点 附近出现一个极限环。 进一步，注意到k l = k 。= 0 ，k z = l ，口= a 2 一蜀，再对k ，做一个微小的扰动 k 。= 三( 1 一口) + 占，( 0 岛 蜀) ，则此时系统( 3 4 ) 在原点的稳定性又发生改 。 2 。 变，由稳定的细焦点变为不稳定的粗焦点，因此系统( 3 4 ) 在扰动下原点附近 将出现两个极限环。对应原系统( 3 3 ) ，其在( 1 ，1 ) 点附近将出现两个极限环。 利用系统( 3 3 ) 的对称性可知在( 一l ，一1 ) 附近也将出现两个极限环，即原系 统( 3 3 ) 在扰动下将出现4 个极限环。原系统( 3 3 ) 在原点附近的大致相图如 图3 2 所示( 较粗的黑线为三次曲线解) 第1 6 页 p 圭塑窒望盔兰墅塞生兰垡笙奎 于是成立 、4 缈 一_ 2 、。：二= t ： - s i ，蛰 一 、2 ，一一一、 7j ， ， - - 4 图3 2 画设霸= - o ，铲1 ，屯= 三( 1 叫+ 乞，口码唧 0 占2 毛 b ，对应的系统为： 弘鲥+ b y 蜘3 0 2 1 x - y 彻t e x y l 口0 3 y 。( 4 2 ) 【岁= b x + a y + b 3 0 x3 + 6 2 l x 2 y + b 1 2 x y 2 + b 0 3