（应用数学专业论文）banach空间中立型脉冲泛函微分包含初值问题解的存在性.pdf

河北工业大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中立型脉冲泛函微分包含初值问题解的存在性 摘要 l 盖( 譬7 ) 一9 ( ，玑) j f ( ，张) ， 8 e ，= 0 ，t 】，壤，k = l ，2 ，m i v p ( 1 ) 篓z 捉x 美黑 【g ( t ) = ( t ) ，t 【_ r ，o 】，y l ( o ) = q ，0 r o o 1 岳b ( t ) 一g ( t ，玑) l f ( ，玑) ，a et j = 【0 ，t 】，t t k ，k = 1 ，2 ，m i v p ( 2 ) a y l t ：“= 厶匆( ) ) ，= 1 ，2 ，m l ( ) = ( t ) ，t 【一，1 ，o 】，0 r 0 0 本文利用文f 1 1 】提出的增算子不动点定理，采用半序方法，建立 了i v p ( 1 ) 和i v p ( 2 ) 解的存在性去掉了【8 】和【9 】要求的紧性条件和 l i p s c h i t z 连续性条件 关键词：脉冲微分包含，集值映射非紧性测度，可测选择，不动点 b a n a c h 空闻中立型脉冲泛函微分包含初值问题解的存在性 s o i j v a b i l i t yo fl m p u l s i v en e u t r a lf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n si nb a n a c hs p a c e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u e p r o b l e m sf o ri m p u l s i v en e u t r mf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a li n c l u s i o n si nb a n a c h s p a c e sa sf o l l o w s ： f 击b ( ) 一9 ( t ，y t ) 】f ( t ，啦) ，aee j = f o ，t 】，t k ，= 1 ，2 ，m i v p 川= ( y ( ) ) ， 21 ，2 ”。 。i m ：“= “( 9 ( ) ) ，k = 1 ，2 ，m 【9 0 ) = 咖0 ) ，t 【一r ，o l ，y ( ( ) ) = 吼0 r o 。 i v p ( 2 ) 岳b ( t ) 一9 ( t ，y t ) l f ( t ，乩a - e j = 【o ，卅，t 垴= 1 ，2 ， z g k ：“= 厶 ( ) ) ，k = l ，2 ，“，m y ( t ) = ( ) ，t 卜r ，9 1 ，0 r 8 s k 。= ， l 1 ( j ，e ) ：f y ( t ) = ，( t ，) f ( t ，g t ) ，a e t j ，v q ) 9 y k 表示y 在 = ( t k ，t k + l l ，k = 0 ，1 ，m 上的限制 1 0 蟊= 妇： 一r ，丁 一e ，y k c ( j k ，e ) ，k = 0 ，1 ，m ；g ( i ) ，y ( t ：- ) 存在，且 ( o ) = g ( t i ) ，k = 1 ，2 ，m ，v ( ) = 审( ) t 【一_ 0 1 ，集合q 在范数 i i 彘= m a x l l y k j k ：k = 0 ，1 ，m 下是一个b a n a c h 空间 1 1 n 1 = y ：【一r ，t 】一e ，y k w 2 , 1 ( j k ，e ) ，= 0 ，1 ，m ；y ( t i ) ，y ( t d 存在 且y ( t ) = ( ) ，= 1 ，2 ，m ，( t ) = ( 。) 卜r ，o 】) ，集合n l 在范数 0 ”0 n l = m a x l y k w 2 ，1 ( ，e ) ：= 0 ，1 ，t ) 下是一个b a n a c h 空间 1 2 n 2 = ：卜r ，t 】一e ，y k w 1 , 1 ( 以，f ) ，k = 0 ，1 ，m ；y ( i ) ，( t 古) 存在， 且”( 札) = ( 石) ，k = l ，2 ，m ，口( t ) = 咖( t ) t 卜r ，o l ，集合q 2 在范数 训n 2 = m a x 删姚1 1 w - 1 ( 以，e ) ：k = 0 ，l ，m 下是一个b a n a c h 空间 1 3 妒：x y 是从x 到y 的集值映射，b c y 记 妒一1 ( b ) = z x l 妒( z ) c 日) 称为b 的小逆象， 瓜1 ( b ) = 忸x i 妒( z ) n b 0 ) 称为b 的大逆象 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，也不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 学位论文作者签名：隹4 山於t - j 朝：w 眄；1 1 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权河北 工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编甄供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：“三仙凇h 期：o - 0 5 - b ，7 导师签名 劫7 哲镌 日期 第一章绪论 法国数学家j p a u b i n 1 ，2 ，q 认为通常的微分方程模型主要是用于描述确定性系统，但 对于经济学与生物学等涉及的宏观系统则不一定合适，因为这类系统中总有不确定性，其中 包括由于认识上的限制所引起的不确定性从数学角度看，这类系统的模型一般不应该用微 分方程来描述，而是应该用下列的形式的微分包含来描述 z ( ) f ( t ，z ( ) ) ，z ( t o ) = z o 其中z ( t ) 是某个线性赋范空间的元；f 是集值映射，即它的取值是个集合，而不是单点 微分包含系统的目标与控制论的目标不同，它不追求系统发展的最优轨线，而是随着外 界环境的不段变化为求生存而不段演化，追求系统的可生存性这与传统的优化原理存在着 本质的区别，这也是a u b i n 提出并建立生存理论的基础 微分包含问题源于控制理论考虐具有集值状态反馈的控制问题： 一( ) 2 ，( t ，碱“( ) )f 2 ) i 缸( ) u ( z ( ) ) 其中状态x ( t ) 属于有限维矢量空闻x ，控制( ) 属于有限维失量空间z ，集值映射u ： x z 称为先验反馈，它描述了可实理的控制对状态的依赖 t 述系统的解是一个t 的函数z ( f ) ，它对某个控制( ) 满足方程( 2 ) 若令集值映射 f ( t ，z ( t ) ) ：= ，( ，。( t ) ，t ( t ) ) ：( t ) u ) ，则动态系统就变为微分包含的形式 ：? 主：寥；。，。，。，：。，u ， c s ， if ( ，z 0 ) ) ：= ( ，( # ，z ( t ) ，珏( ) ) ：“( ) u 对于上述，与u 描述的系统，集合k 具有可生存性是指对于任何的初始状态x o k ， 系统至少存在一个从x o 出发的可生存解x ( t ) 满足： v te 【0 ，t i ，z ( t ) k 利用b o u l i g a n d 提出的相依锥概念，f 1 】给出了生存理论的基本定理( a u b i n ，c e l l i n a ， n o h e la n dh a d d a d ) ，从镜t , - ) - 包含包含初值问题解的存在性角度看，生存理论的基本定理实 际上就是，在一定条件下。微分包含包含初值问题解存在性定理 近3 0 年来，人们就已经对微分包含问题进行了充分的研究，并取得了丰富的研究成果 ( 详觅文1 4 1 一【7 】等) 作为混杂系统模型的代表，脉冲微分包含已成为近年来非线性科学和微 分方程等领域科研人员研究的核心阍题之一 下面主要介绍与本文密切相关的一些结果 1 _ 星垒翌兰皇窒塑主兰型壁生鎏里丝坌垒童垫笪坚望堡丝堡垄丝 2 0 0 2 年mb e n c h o h r a ，& h e n d e r s o n ，s kn t o u y a s 8 ，在不同条件下，证明了i v p ( 1 ) 解的存性： f 岳【口7 ( ) 一g ( t ，y t ) 】f ( t ，玑) a et j = 【o ，t 】，t t k = 1 ，2 ，m i v p ( 1 1 y l t = t 2 矗( ( ) ) ，k = 1 ，2 ，“ l 1 _ “= ( ( t i ) ) ，= 1 ，2 ， c - t 【( t ) = 咖( ) ，t 【一r ，o l ，y l ( o ) = q ，0 r 0 ，使得 i g ( t ，“) i ! c 1 i t 5 i + c 2 ，t j ，u c ( - r ，o 】，e ) ( i i ) 函数9 是全连续( 有界集映成紧集) 的，且对任意的有界集acq ，有 一g ( t ，y t ) ：y a ) 是等度连续的 文【9 1 利用的是度量空间中压缩映射的不动点定理该文去掉了f ( t ，“) 钓凸性条件和 转化后的积分算子是紧算子的条件，但在某种距离意义下，要求f ( t ，u ) 和9 ( ，“) 关于“ 满足l i p s c h i t z 条件 2 0 0 4 年洪世煌，得到了如下问题解的存在性结果 1 ”( t ) f ( t ，y t ) a et j = 0 ，t i ，t t k ，k = 1 ，2 ，m i v p ( h 1 掣l t = “= 矗( ( 坛) ) ， k = 1 ，2 ，m ， 。i 饥：“= 磊b ( ) ) k = 1 ，2 ，m 【 ) = 咖0 ) ，t 一r ，o l ，y l ( o ) = 叩，0 r o 。 文 1 0 利用的是集值增算子不动点定理，该不动点定理是在2 0 0 3 年由洪世煌给 出的 【1 0 】要求f ( ，t ) 是单调的，没有要求与 8 l 和 9 | 对应的凸性条件结果如下： 定理【1 0 , p a 3 8 j ：如果条件( i ) 一( v ) 被满足，则i v p ( h ) 中至少存在一个解 ( i ) ，元( = 1 ，2 ，m ) 是增算予，且8 u p i 奴0 ( “) ) l ：z e ，1 m ) 。： s u p l i k ( ，：( t k ) ) i ：z e ，1s m ) o 。 ( i i ) 对每一个固定的t 上f ( t ，z ) 是关于z e 的增算子，且vz ( ) e ，t j f ( ，z ) 是e 中的全序子集 2 河北工业大学硕士学位论文 i u 搀) ) 茎( t s ) f ( t ，u o ( t ) ) ( s ，t ) h a u o l t ：k i k ( u o ( t k ) ) + ( t t k ) ( 1 k ( ( u o ( t k ) ) k = 1 ，2 ，m 【u o ( o ) 咖( o ) + 铆t 。， ( i v ) s u p 1 w ( t ) 1 ：w ( t ) f ( t ，z ) ) sa ( t ) a e t jz e ，这里o t 满足卢( ) 后o ( s ) 出l 1 ( 工r 十) ( v ) 存在一个函数：j r + 一见 ，使v t j 对每一个mcd 且满足s u p i x ( t ) f ：。m ，t ( 一no 】) ! ( ，8 ) 成立，这里( ，s ) 由 ( i v ) 给出，此外p ( t ) = 0 ，t t ，是 一 p ( t ) 2 u ( t ，s ，p ( s ) ) 出，a e tt j j 0 在工1 ( 正r + ) 中的唯一解 本文运用洪世煌在文1 1 1 中提出的增算子不动点定理，采用类似于【1o 】的方法，证明 了i v p ( 1 ) 和r v p ( 2 ) 解的存在性具体结果如下r 定理1 若假设( h 1 ) 一( h 8 ) 均被满足，则在n n n l 中i v p ( 1 ) 至少有一个解 ( h 1 ) f ： o ，卅c ( - r ，o l ，e ) 一p l 。( e ) ，其中f 是c a r a t h 6 0 d o r y 算子；对于几乎 所有的t zf ( t ，“) 是关于u a ( 【r ，o 】，e ) 的增算子；当t j ，y 咒时，f ( t ，t ) 是e 中的全序子集； 注1 ：g ( 卜n o l ，e ) 中的序由221 2 给出，2 e 的序由22 1 1 给出 注2 ：厄= z b i t 0 ，u 0 n ) ( h 2 ) 对v t 9 ( t ，u ) 是关于“的单值增算子，并且vy n ，9 ( ，玑) 关于t 连续 ( h 3 ) 存在常数m 0 ，使得 9 ( t ，u ) fsm ，t “a ( ( 一no l ，e ) ( h 4 ) 所有的i k ，五是增算子，且存在常数d k ，五，= l ，2 ，m 使得 s u p i ( ( i ) ) ：( i ) e ，1 r n d k s u p 1 磊( g ( t i ) ) i ：g ( i ) e ，1 茎k 茎m ) d k b a n a c h 空间中立型脉冲泛函微分包含初值问题解的存在性 i u j ( s ) ) s ( 一s ) f ( s ，) ，s j k a u o l t ：。k ( o ( ) ) + 0 一k ) ( u 0 0 i ) ) ， k = 1 、2 ，7 n iu o ( o ) ( o ) + t h 一9 ( 0 ，) 】+ j ：9 ( s ，y 。) d s ，j ( h 6 ) 存在o l 满足p ( t ) = f ：a ( s ) d s l 1 ( 工r + ) ，使得 s u p l f ( t ，c ) i ：f ( t ，) f ( t ，y t ) 曼o ( ) ，ae t j ( h 7 ) 存在一个函数k l 1 见 ) ，使得 7 ( f ( t ，m ) ) 兰( t ) 1 ( m ) ，a et j 这里mce ( - n0 】，e ) 且s u “蚓：z m ) so ( t ) ，o ( ) 的定义在( h 6 ) 注：由命题3 1 2 知，f ( t ，u ) 存在c a r a t h 6 0 d o r y 选择f ( t ，u ) ，为了保证f ( t ，玑) 关于 t 可积，本文作如下假设， ( h a ) 对f ( t ，) 的c a r a t h 6 0 d o r y 选择f ( t ，u ) ，当y q 时，f ( t ，y t ) 关于可测 利用证明定理1 的方法还可以给出【8 1 ，【9 讨论的如下一阶中立型脉冲泛函微分包含解 的存在性 f 击b ( t ) 一9 ( ，跏) 】f ( t ，蛳) ， a et j = i o ，卅，t 如，k = l ，2 ，m w p ( 2 ) a y l t ：“= 厶( g ( 坛) ) ，k = l ，2 ，m 【( t ) = 咖( t ) ，t 【一r ，o 】，0 r 0 0 定理2 若假设( h 1 ) ，( h 3 ) ，( h s ) ，( h 7 ) ，( h s ) 及( n 1 ) ，( h ：) ，( h ；) 均被满足，那么在n n i l 2 中，i v p ( 2 ) 至少有一个懈 其中 ( h ) 对v t j , g ( t ，u ) 是关千 的单值增算子，并且集合 t 一9 ( t ，v , ) l v n ) 在了 上等度连续 ( h ：) k 是增算子，且存在常数d k ，k = 1 ，2 ，m 使得 s u p 0 ，使得当h 州的任意有艰个不交- t - k nf a i ， ，= 1 ，忆一 满足( 吣一娜) 6 时，有e l z ( b ) 一。( 町) 1 0 ，使得当【a ，b 】的任意有限个不交子区闻 a j ，b j ，j = 1 ，n ， 满足苎( 6 j 一叼) 5 时，有量i z ( 吩) 一z ( q ) l ，则称函数z ：陋，翻一e 是绝对连续 j = 1 j = 1 的 2 1 3 可测性【1 3 1 在测度空间( q ，a ，p ) 中定义，在实b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数z ( t ) 称为强可 测的，是指存在一可数值阶梯函数列 z 。( t ) ) ，使得 z ( t ) = 熙。n ( ) ，a e t q 2 1 4 可导性吲 设z ( t ) 是从数集dck 到b a n a c h 空间e 内的抽象函数，那么我们称z ( ) 在点 t o d 是强可导的，是指存在一元。o e ，使得 觊i 掣 6 2 1 5 可积性1 1 3 1 设z ( ) 是从数集dck 到b a n a ( ：h 空问e 内的抽象函数，z ( ) 是b o c h n e r ( 博赫 纳) 可积的，必须且只须( ) 是强可测的，并且i z ( ) i 是l e b e s g u e 可积的 2 1 6 空间l p ( a ，6 】，e ) f 1 5 1 空间l 9 ( 【n ，b 】，e ) 是由强可测函数z 【a ，b i e 所组成的b a n a c t l 空间，其中l z ( 蚓 是l e b e s g u e 可积的，其范数定义如下： l i z | j l p ( 【h ，e ) ：= ( l z ( ) 1 9 d ) ； o o ，1 p 0 ：s 可表为有限个集的并s = u 翟l & 且每个鼠的直径不大干d ，y ( s ) q 做s 的k u r a t o w s k i i ( 库拉托夫斯基) 非紧性测度 2 2 9 t s 设e 是一个实b a n a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸闭集，并且满足( z ) z pa 0 裔 z p ；( i i ) z p ，且一z p ；z = 目，p 表e 中零元素则称 p 是e 中一个锥 r 河北工业大学硬士学位论文 2 21 0 1 8 j 设e 是一个实b a n a x h 空间，p 是e 中的锥，锥p 可导出e 中的半序! ( 即若一z p ，则zsy ) ，则e 中的全序区间定义如下： u ，u = z e ：“z 1 ，) 2 2 1 1 1 q 令a ，b 2 e ，如果对v 1 2 a ，jb b 使得 a 6 则称a 不大于甘，记为a b 22 1 2 【1 0 l 空间l p ( a ，b 】，e ) ( 1 p o 。) 的半序三定义如下： 如果对vz ，y 工( k h i ，e ) 有x ( t ) v ( ) a et j ，则称y 2 2 1 3 1 0 1 如果集值映射f ：j g ( 1 一t o ，e ) 一2 8 满足( i ) 、( i i ) ，则称f 是 c a r a t h 6 0 d o r y 的 ( i ) 对v “g ( 卜n 0 1 ，e ) ，t f ( t ，u ) 是可测的； ( i i ) 对v t zu f ( t ，u ) 是连续的； 2 2 1 4 1 9 设( q ，) ，( x ，r ) 是两个可测空间，y 是拓扑空间，f ：n 圣一2 ，若 对l ，的任意闭子集b ，有 f 一1 ( b ) e o r 则称f 是联合可测的，记为：p ，司一f 扣，z ) 是可测的 第三节基本引理及不等式 引理2 3 1 【1 0 】( 集值增算子不动点定理) 设x 是一个实的序b a n a c h 空间，p ( x ) 表示x 的所有非空弱闭子集对t l , 0 x ，：f z x ：。“o 是x 的一个给定的有序- t - f 耩如果集值算子a ：x p ( x ) 满足下列条件： ( a 1 ) a 是增算子，且对v x 丘，a x 是x 的全序子集； ( 2 ) “o ) a u o ，u o x ； ( a 3 ) 如果c = 。) ck 可数、全序且ccc f ( z l u a ( g ) ) ，则c 弱相对紧，这里 d ( b 1 表示范数意义下口的闭包 则算子a 至少有一个不动点 注：对于度量空间x ，记7 x 是接x 的度量导出的拓扑，b ( x ) 是由 r x 导出的x 上 的a 一代数，按此意义，度量空间x 成n - - + n n g n 引理2 3 2 1 1 9 如果( n ，) 是一个可测空间，x 和y 是可分的度量空间，f ：n x p ，( y ) = f ace ：e 的非空闭子集) 且满足： n 旦竺! 尘窒旦主塞型壁鲨莲重塑坌鱼宣塑堡塑望生丝查垄丝 ( i ) 对vz x ，u _ f ，o ) 是可测的； ( i i ) 对v u n ，z f ，o ) 是连续的； 那么p 、z 1 一f ，z ) 是可测的 引理2 3 3 【1 9j 如果，) 是一个完备的可测空间，x 是一个完备的度量空间，y 是 可分的b a n a c h 空间，f ：n x p ，。( y ) = acy ：y 的非空闭凸子集1 且满足： ( i ) p ，z 一f ( u ，x ) 是可测的； ( i i ) 对v u n ，z f ，o ) 是下半连续的； 那么f ( “，z ) 存在c a r a t h 6 0 d o r y 选择列，n ：n x y 1 1 使得 ( w ，茁) ) 。l = f ( u ，z ) ，p ，叫n x 引理2 3 4 1 1 0 】【2 q 设d = z 。) cl 1 e l ，如果ju l 1 r 十】使得对所有的 z n d 有i z 。( t ) | u ( t ) ，a e t j 则： 1 ( 詹z 。( s ) d s ：n 1 ) ) 2 蛞1 ( d ( s ) ) d s 这里1 是定义在e 上的k u r a t o w s k i i 非紧性测度 引理2 3 5 f 1 0 1 1 2 z l 假设p ( o ，。1 ，mcl 尸( z e ) 是可数集，且对vu m ，j l 2 ( r + ) 使得l 札( ) i ( t ) ，a bt j 则： 如果m ( t ) a e t j 在e 中相对紧，则m 在三9 ( j e ) 中弱相对紧 不等式2 3 6 【1 5 1 ( g r o n w a si n e q u a l i t y ) 如果对任意的l 1 ( 工r ) 有 ，t f ( ) sc 1 f ( s ) 幽， ae t 1 0 ，丁】，c l 芝0 j 0 则 f ( t ) = 0 ，ae t 【0 ，列 1 0 第三章主要定理的证明 第一节引言和预备引理 本章记： e 是一个实的可分的序b a n a c h 空间，其范数记为i i ； j = 0 ，7 1 ，0 = t o t l t r r , t i n + i = e f ：j e ( 【一n o ，e ) - op ，。( e ) = a e ：a 是非空闭凸集) 是一个集值映射； y ：【一r ，t 】一e 在卜_ r ，明一 o ，t 。) 上连续； y t e ( 【一r ，o l ，e ) ，y t ( 0 ) = ( + 日) ，t j 1p 【一r ，0 】 g ：j g ( 【_ 0 ，e ) + e ，毋c ( 【一r j0 ，e ) 如，厶c ( e ，e ) k = 1 ，2 ，m 是有界的 9 1 f = t 。= ( t 考) 一( ) 表示( t ) 在t = “处的跳跃； g 仉：。= y l ( t ) 一y l ( ) 表示y r ( t ) 在t = t k 处的跳跃； 口( ) ，g ( t 毒) 分别代表g ( t ) 在t = t k 处的发、右极限； y j ( ) ，! ，( 毒) 分别代表y l ( t ) 在t = t k 处的左、右极限； 注3 1 ：在完备的n 有限可测空间中，强可测和弱可测是一致，故本文对此不加区别 注3 2 ：g ( 【一r ，o t ，e ) 和n 的序沿用定义2 2 1 2 中的序 考虑如下形式的二阶脉冲泛豳微分包含的可解性： l 岳【9 7 0 ) 一9 ( t ，靴) 】f ( t ，玑) ，a et j = 【0 ，t i ，t k ，k = l ，2 ，m i v p ( 1 ) l t 2 札2 蹙( ”( 2 i ) ) ，k 2 1 12 1 ，m f 口龟：“= 矗0 ( t i ) ) ， k = l ，2 ，m 【( t ) = 曲( ) ，t 【_ r ，o l ，y l ( o ) = 7 e ，0 r o o 其中妒g ( ( 一n o l ，e ) 下面列出假设条件( h 1 ) 一( h 7 ) 并重述本文的主要定理： 定义3 2 1 如果y 彘n n l 几乎处处满足i v p ( 1 ) ，则称y 是i v p ( 1 ) 的解 定理1 若假设( h 1 ) 一( h 8 ) 均被满足，则在晓n n l 中w p 0 ) 至少有一个解 其中假设如下： ( h 1 ) f ：( 0 ，t 1 c r ( 卜r 0 1 ，e ) - - op ，。( e ) ，其中f 是c a r a t h d o d o r y 算子；对于几乎 所有的t 正f ( t ，u ) 是关于c ( i r ，o l ，e ) 的增算子；当t j 1 y 赶时。f ( t ，玑) 是e 中的全序子集； 注l ：g ( 卜no 】，e ) 中的序由2 2 1 2 给出，2 e 的序由2 2 1 1 给出 注2 ：厄= z f z u 0 ，u 0 n ) 1 1 b a n a c h 空问中立型脉冲泛函微分包含切值问题解的存在性 ( h 2 ) 对vt 工g ( t ，n ) 是关于u 的单值增算子，并且v y 晓，o ( t ，啦) 关于t 连续 ( h 3 ) 存在常数m 0 ，使得 l g ( t ，u ) l m ，t 工“c ( i r ，o l ，e ) ( h 4 ) 所有的厶，矗是增算子，且存在常数出，五，k = 1 ，2 ，m 使得 s u p l i k ( y ( t i ) ) i ：f ( i ) e ，1 m ) d k i ( u ：( s ) ( t s ) f ( s ，u o s ) ，s j k a u o _ “h ( t 幻( ) ) + ( t t ) 靠( u o ( ) ) ，k = 1 ，2 ，“ 【u o ( o ) s ( o ) + t q 一9 ( o ，庐) 】+ 届g ( 8 ，y 。) d s ，t j ( h 8 ) 存在n 满足口( t ) = 名c l ( s ) d s l 1 ( l ，r + ) ，使得 ( h 8 ) 对f ( t ，u ) 的c a r a t h 6 0 d o r y 选择f ( t ，“) ，当矗时，( t ，玑) 关于t 可测 舭( o ) 十脚班”。乏。愀h 。 ( t ) ：( o ) + t ，( o ) + ( t - s ) y ( s ) 幽+ 似t ) 一( ) + ( t 一k ) 叭t ) 一g m i ) ” “ o t k t 河北工业大学硕士学位论文 假设t k t 墨t k + l ，= 1 ，2 ，m 这里( t o = o ，t m + l = t ) 则 g ( t 1 ) 一y ( o ) = y l ( s ) d s r t ( 幻) 一( t ) = y ( s ) d s 2 ， j 1 ( t ) 一”雠) = ( s ) d s r 【 j 札 注意到在而中， y ( t k ) = 0 i ) 各式相加便可得( 1 ) 式 同理对导函数协) 有类似的结果，即 心) = ( o ) + h ”( s ) 凼十叭t ：) 一y l ( t i ) 】 ( 3 ) j 0 o t k t 将( 3 ) 式代入( 1 ) 式有： h + 球即，+ f 0 8y ( r ) d r + o 黜心抄v 刊) d 8 + o 。：t k t 叭嘲吲 = 9 ( 。) + t ( 。) + z 。z 。9 ”( r ) d d s + 。e k 。 【g ( 毒) 一g ( i ) + ( 一t t ) 【g ( 荨) 一( t i ) 1 ) 由f u b i n i 定理有 z z 3 ( r ) 打d s = 上。( t s ) ( s ) 出 因此有： 绯h ( o ) 删。) + 小刮，( s 胁。象。伽滢m 刘钟刮扒砒i 婴 命题3 1 2 如果f ：j e ( 1 一no l ，e ) 一巧。( e ) 是c m a t h 6 0 d o r y 集值映射，则 f ( t ，y ) 存在c a r a t h o d o r y 选择列 ( ，y t ) f ( t ，玑) 使得对v y n ，v t j ，有 百i 耳五订j 西= f ( t ，y t ) 且f ( t ，玑) c 工1 ( j c ( 【一no 】，e ) ，e ) 证明：由于f ：j g ( 【一r ，o l ，e ) 一p ，。( e ) 是c a r a t h 6 0 d o r y 算子，即 ( i ) 对v “c ( i - r ，o 】，e ) ，t f ( ，u ) 是可测的； b a n a c h 空间中立蛩脉冲泛函微分包含初值问题解的存在性 则由引理2 3 2 知 ( i i ) 对v t j ，“一f ( t ，“) 是连续的 由引理2 3 3 及性质( i i ) 知 t ，“】一f ( t ，u ) 可测 f ( t ，u ) 存在c a x a t h 6 0 d o r y 选择列厶( ，u ) 使得 ，n ( ，u ) 。1 1 = f ( t ，u ) vy 晓，用叭c ( i - r ，o l ，e ) 代替上式的u 有 f ( t ，y t ) 存在c a r a t h 6 0 d o r y 选择列，n ( t ，玑) 使得 ，n ( t ，玑) ) 。1 1 = f ( t ，y t ) 由假设( h 8 ) 知： ，n ( t ，m ) 关于可测 由假殴( h 6 ) 知：存在q l 1 ( z r + ) 使得1 ( t ，玑) iso ( t ) ，a et j 则 i = z 1 f , 。( t ) l d t = j ( t i m t 00 m 眦 慨 1 1 厶v i i = i= m ) i 出 + o o j j 若 坤，玑) 。熙厶( t ，虮) 由假设( 凰) 和控制收敛定理知： f ( t ，玑) 关于tb o c h n e r 可积 则 f ( t ，y ) l 1 ( j 1 g ( 【_ n o 】，e ) ，e ) 故而有 i 鬲可i 五j t 石= f ( t ，叭) 且f ( t ，玑) cl 1 ( ，e ( 【一n o l ，f ) ，e ) 记 跨= 矗l 1 ( 正e ) ：f y ( t ) = f ( t ，y ) f ( t ，y c ) ，a e t v 彘) 取凡磷j ，考虑 1 4 口 吼 ， i | 托 册 玑惦性嚣州鼢呐一嘞 卅咄刮y 非洲茚星出“ n 、珂北工业大学硕士学位论文 命题3 1 3g n n n l ，是i v p o ) 的懈，当且仅当y n 是下面积分方程的解 舭) = 们) + h 一卵l + z 小m ) d s + o ( 叫m 胁) d s + 陬( ( i ) ) 十( t 一k ) 矗( ) 0 k 证明：先证：若y 磊n n l 是i v p o ) 的解，则y 必为积分方程( 4 ) 的解 因为y 晓n n l 是i v p ( 1 ) 的解，所以y 的二阶弱导数存在，进而有 y n ( t ) = f ( t ，y t ) + 9 沁，y t ) a e ，6 j 将上式代入命题3 1 1 的( 2 ) ，有 ( ) = g ( o ) + t y ( o ) 十0 一s ) ，( s ，y 。) d s 十( 一s ) 9 7 ( s ，y s ) d s j 0 j 0 + 【“( g ( ) ) + ( t t k ) 厶( ( 坛) ) 】 0 “ t = 庐( o ) + 【叩一9 ( o ，毋) 】+ ( 一s ) ，( s ，y s ) d s + 9 ( s ，y s ) d s j o j 0 十 陬( v ( t i ) ) 十( t 一k ) 磊( 口( ) ) 】 连接上式左右两端，知为积分方程【4 ) 的解 下证：若y 而是积分方程( 4 ) 的解，则y n 必为i v p ( i ) 的解 由于y 是积分方程( 4 ) 的解，那么 ( t ) = ( 。) + t b 一9 ( 。，) 】+ tg ( s ，驰) d s + o 。一s ) ，( s ，s ) d s + ( ( t i ) ) + ( t 一“) 五( ( t 洲 因为f ( t ，y ) 岛则由命题2 1 1 0 知，上式右端导数几乎处处存在，关于t 求导得 ( ) ：_ 一g ( o ，咖) + g ( t ，) + ，( s ，啦) d s + 五( v ( t i ) ) a - e t j j o o t k 则有： 9 小h = ( 0 ，卅办刚油+ 。象。撇功a e 挺j 再一次关于t 求导有： d y ( t ) - g ( t , y t ) l ：f ( t ，玑) a e t ， d t ”。 星! ! ! ! ! 窒回主皇型壁鲨望里丝坌望宣塑堡塑星堡盟左垄丝 叉因为 那么 郇 ) = 。l i m + 。y 2 螂) 地卜们 + 如幽) 如 十z ( * s ) ，( s ，s ) d s + 。1 i 。r a 。+ 。e 。i k ( ( t i ) ) ( ) 2 罂。9 ( ) = + 。k 加一9 ( o ，) 】+ 1 0 f t k9 ( 5 ，弘) 如 + z “( m s ) ，( s ，s ) d s + t l i t m _ 。 t k t 厶( g ( t i ) ) y i # “= ( t ) 一( 坛) = 乓( ( i ) ) = “0 ( “) ) 同理利用上面求出的v 7 表达式及假设( h 2 ) ，有 y 心护。一g _ h 矾卅孙棚a + 小岿d s + l i m 。象。诎训 协沪。罂= 目刊哪m 帆) + f o t 2 f 曲+ 。罂。三。驰( 纠) 则有 a y 飞：“= 五( ( t i ) ) = 咏j ) 一( 坛) v ( t ) = 庐( t ) ，t 【一r ，0 ，y l ( o ) = ” 故y 为i v p ( 1 ) 的解 为证明本文定理2 ，仿照命题3 1 3 取 s f l ”，考虑 f 甍b ( ) 一g ( t 撒) 1 = 弛m ) ，t j = i o ，t 】，k ，2 l 2 ， w p ( 2 “a y h ：“= 厶( 9 ( t i ) ) ，k = 1 ，2 ，一m i9 ( t ) = 咖( ) ，t 【一r ，0 】，0 r o o 按命题3l3 的证明方法，利用命题3l1 中的 命题3 1 4y 彘n n 2 ，是i v p ( 2 ) 的解 ( 1 ) ，可以证明以下命题 当且仅当y 矗是下面积分方程的解 口 f ( t ) ：毋( o ) 一9 ( o ，曲) 十9 ( t m ) + f f ( s , y s ) 出+ i k ( y ( t ) ) ，tej ( 5 ) 小) - 烈0 ) 叫( o 力) + 烈屯玑) + 上 出+ 。象。 旬l j 嫡 蛳+ = 隐淼戳害粼- s ) f ( s , y s ) d s p ( 亡) ： 咖( o ) + t h 一9 ( o ，庐) 】+ 露9 ( 8 ，