（系统理论专业论文）时滞递归神经网络稳定性研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 人工神经网络是对人脑若干特征利用数学方法进行的抽象模拟，是一种模仿人 脑结构及其功能的非线性信息处理系统若以拓扑结构进行分类，则人工神经网络 可分为前馈网络和反馈网络反馈网络又称递归神经网络，是一类大规模自适应非 线性动力系统在一个递归神经网络中，时滞的发生是不可避免的时滞的引入，使递 归神经网络的动力行为变的更加丰富和复杂相应地，对时滞递归神经网络的稳定 性分析需要更深的数学理论和更强的方法技巧在前人工作的基础上，本文对时滞 递归神经网络的渐近稳定性和鲁棒稳定性做了进一步的探讨 在第一章中，研究了时滞区间静态神经网络的全局鲁棒稳定性在静态神经网 络中引入时滞并考虑到系统参数的扰动，提出时滞区间静态神经网络模型，并给出 网络具有全局鲁棒稳定的平衡点的一些判据 在第二章中，研究了变时滞递归神经网络的全局指数稳定性在不要求激活函 数有界的前提下，获得网络存在全局指数稳定的平衡点的充分条件，推广了有关学 者的研究成果仿真示例表明了所得结果的真实性， 在第三章中，研究了多重变时滞递归神经网络的全局渐近稳定性，给出网络中 平衡点全局渐近稳定的一些判据，改进了有关文献中的一些结果 在第四章中，研究了多重s 一型分布时滞非自治递归神经网络的全局指数稳定 性，获得一些保证解的有界性以及平衡点的存在性和全局指数稳定性的充分条件 由于s 一型分布时滞包含离散时滞和分布时滞这两种相互独立的时滞形式，故所得 结果具有广泛的适用性 平衡点的存在性及其稳定性分析是递归神经网络用于联想记忆和优化计算的理 论基础，是对递归神经网络基本性能研究的核心问题本文的研究结果，对时滞递 归神经网络的设计与应用具有一定的参考价值 关键词：递归神经网络；时滞；平衡点；稳定性 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t a sa na b s t r a c ts i m u l a t i o nt os o m ec h a r a c t e r i s t i c so ft h eb r a i nb ym e a n so f m a t h e m a t i c a l m e t h o d s ，a r t i f i c i a l n e u r a ln e t w o r k sa r e ac l a s so fn o n l i n e a r i n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs y s t e m st h a ts i m u l a t et h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo ft h e b r a i n t a k i n gt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r ei n t oa c c o u n t ，a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k sc a n b ec l a s s i f i e di n t of o r w a r dn e n r a in e t w o r k sa n df e e d b a c kn e u r a ln e t w o r k s f e e d b a c k n e u r a ln e t w o r k s ，n a m e l yr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ，a r eac l a s so fl a r g ea d a p t i v e n o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m s i nt h er e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ，t i m ed e l a y sa r e i n e v i t a b l ye n c o u n t e r e di nt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h en e u r o n s ，w h i c hm a y b et h es o u r c e s o fo s c i l l a t i o na n di n s t a b i l i t y t h ee x i s t e n c eo ft i m ed e l a y sm a k e st h ed y n a m i ca c t i o nm o r e a b u n d a n ta n dc o m p l i c a t e d s u b s e q u e n t l y , t h es t a b i l i t ya n a l y s i so fd e l a y e dr e c u r r e n t n e u r a ln e t w o r k sn e e d sm o r ed e e pm a t h e m a t i c a lt h e o r i e sa n dm o r es m a r tm e t h o d s b a s e d o nt h ep r e s e n tr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e ，t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i t yf o r d e l a y e dr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sa r ef u r t h e r s t u d i e di nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h eg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yo fd e l a y e di n t e r v a ls t a t i cn e u r a l n e t w o r k si si n v e s t i g a t e d at i m ed e l a yi si n t r o d u c e di n t ot h es t a t i cn e u r a ln e t w o r k s a n da tt h es a m et i m ew eh a v ec o n s i d e r e dt h ef l u c t u a t i o no ft h es y s t e mp a r a m e t e r s t h u st h em o d e lo fd e l a y e di n t e r v a ls t a t i cn e u r a ln e t w o r k si sb r o u g h tf o r w a r d ，a n d s o m ec r i t e r i aa r eo b t a i n e df o rt h eg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rt h i s n e u r a ln e t w o r k i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fd e l a y e dr e c u r r e n t n e u r a ln e t w o r k si si n v e s t i g a t e d w i t h o u ta s s u m i n gt h eb o u n d e d n e s so ft h ea c t i v a t i o n f u n c t i o n s ，ac r i t e r i o ni sp r e s e n t e df o rt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rac l a s so fn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ， w h i c hg e n e r a l i z e st h ep r e v i o u sr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e a ne x a m p l ei s g i v e nt o i i l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h eo b t a i n e dr e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r , t h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fac l a s so fr e c u r r e n tn e u r a l 2 聊城大学硕士学位论文 n e t w o r k sw i t hm u l t i p l et i m e - v a r y i n gd e l a y si si n v e s t i g a t e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a r ep r e s e n t e df o rt h i sn e u r a ln e t w o r k ，w h i c hs h o w nt ob el e s sc o n s e r v a t i v et h a ns o m e r e c e n tr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e i nt h ef o u r t h c h a p t e r , t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o fac l a s so f n o n a u t o n o m o u sn e u r a ln e t w o r k sw i t hs - t y p ed i s t r i b u t e dt i m ed e l a y si si n v e s t i g a t e d s o m ec r i t e r i ae n s u r i n gt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u m p o i n tf o rt h i sn e u r a ln e t w o r ka r ed e r i v e d 。s i n c es - t y p ed i s t r i b u t e dt i m ed e l a y si n c l u d e d i s c r e t et i m ed e l a y sa n dd i s t r i b u t e dt i m ed e l a y ss i m u l t a n e o u s l y ，t h er e s u l t st u r no u tt ob e w i d e l ys u i t a b l e a st h et h e o r yb a s e m e n tf o rt h er e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sb e i n gu s e di nt h e a r e a ss u c ha sa s s o c i a t i v em e m o r ya n do p t i m i z a t i o n ，t h ee x i s t e n c ea n dt h e c o r r e s p o n d i n gs t a b i l i t ya n a l y s i so ft h ee q u i l i b r i u ma r et h ec o r ep r o b l e mi nt h es t u d y o ff u n d a m e n t a lp r o p e r t yo fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s t h er e s u l t si nt h i sp a p e rw i l l c o n t r i b u t et ot h ed e s i g n m e n ta n da p p l i c a t i o no fd e l a y e dr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s k e yw o r d s - r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ；t i m ed e l a y s ；e q u i l i b r i u mp o i n t ； s t a b i l i t y 聊城大学硕士学位论文 前言 i 问题提出与研究背景 随着人类社会的发展、文明的进步以及由此带来的“科技以人为本”理念的不断深 化，一些模拟人脑对客观对象进行识别、分析、判别和处理的研究，即对具有复杂、模糊、 高度非线性问题识别能力的知识体系研究，逐渐引起科学工作者的广泛关注近四十年 来，计算机科学的迅速发展，使从外功能和内结构上模拟人脑的智能成为可能为了再 创大脑的智能行为，人们发现必须模拟大脑神经系统的结构，这就诞生了“人工神经网络 ( 砧州：a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ) 这门科学人工神经网络是对人脑若干特征利用数 学方法进行的抽象模拟，是一种模仿人脑结构及其功能的非线性信息处理系统若 以拓扑结构进行分类，则人工神经网络可分为前馈网络和反馈网络反馈网络又称 递归神经网络，是一类大规模白适应非线性动力系统递归神经网络具有模式识别、 优化计算、联想记忆、模式重构、抗失真抗噪音、自适应性和容错性等功能特征8 0 年代以来，在递归神经网络的模型结构、算法原理、应用与实现等科研领域都取得 了长足进展展望递归神经网络的成功应用，将为探索更加完善的智能计算机系统 和相应的人工智能技术开辟新的途径，并可能使优化求解、自动控制、信号处理等 领域产生重大突破和变革 目前，对递归神经网络的研究方兴未艾就递归神经网络的基本理论而言，研 究工作主要集中于网络的基本性能、网络的非线性结构、网络的计算能力与信息存 贮容量等领域 1 1 作为优化计算和联想记忆的理论基础，稳定性是对网络基本性能 研究的一个核心问题事实上，在网络的学习训练中但凡涉及到收敛性的，通常也 可归结为一个稳定性问题 2 1 在递归神经网络的硬件实现过程中，由于组成神经元的核心部件一放大器的开 关速度有限以及神经元之间信号传递的时延，时滞的存在不可避免时滞对递归神 经网络的性能具有很大影响一方面，在某些实际应用中，时滞的引入可以使网络 具有更好的性能例如，时滞细胞神经网络已经在动态图象处理中得到了成功应用 【3 1 另一方面，时滞也能够使网络产生周期振荡、分叉甚至不稳定现象 4 ，5 1 而干扰网 聊城大学硕士学位论文 络的性能 近年来，对时滞递归神经网络( 时滞h o p f i e l d 归神经网络、时滞细胞神经网络、 时滞双向联想记忆神经网络等) 渐近稳定性和鲁棒稳定性的研究成果层出不穷 6 - 1 7 在探讨时滞递归神经网络的稳定性时，对时滞的假定逐渐由常时滞转向变时滞、分布 时滞甚至s 一型分布时滞，一些重要的理论工具( 如l y a p u n o v 泛函、h a l a n a y 时滞不等 式、m 一矩阵、线性矩阵不等式等) 得到了巧妙的应用当前，在对网络激活函数和网 络参数( 权值、时滞) 较宽松的假定下，对具有广泛适用性的稳定性判据的探讨，已成 为时滞递归神经网络稳定性分析的热点问题 研究内容与研究思路 递归神经网络可分为静态神经网络和局域神经网络两种类型文献 1 8 】研究了 这两种递归神经网络内在的等价稳定性，文献 1 9 提出一种参考方法，指出在研究 一种递归神经网络的稳定性时可以用另一种递归神经网络的稳定性作为参考在本 文第一章中，在递归神经网络中引入时滞并考虑到系统参数的扰动，提出时滞区间 静态神经网络( d i s n n s ) 和时滞区间局域神经网络( d i l f n n s ) 两种时滞网络模型 其中d i l f n n s 包含文献 3 中的时滞细胞神经网络和文献 4 中的时滞h o p f i e l d 神经 网络在这一章中，我们利用l y a p u n o v 泛函方法、拓扑度理论和m 一矩阵分析技巧获 得了d i s n n s 中存在全局鲁棒稳定的平衡点的一些判据，结合文献中关于 d i l f n n s 的稳定性结果，为d i s n n s 和d i l f n n s 相互参考的稳定性分析创造 了条件 在过去近二十年来，对于常时滞递归神经网络的渐近稳定性、鲁棒稳定性等已 有大量文献进行报道而对于变时滞递归神经网络的稳定性问题的研究成果相对较 少然而，在神经网络的动态变化过程中，常时滞只是变时滞的一种理想化的近似 在本文第二章中，我们利用l y a p u n o v 泛函方法和线性矩阵不等式( 三m ) 分析技巧， 研究了一类变时滞递归神经网络平衡点的唯一性和全局指数稳定性，所得结果推广 了文献 7 1 0 中的结果 2 0 0 5 年，廖晓峰教授等在文献 1 4 引入了一类多重时滞递归神经网络模型，并 给出网络中平衡点全局渐近稳定的若干充分条件在本文第三章中，我们在不要求 聊城大学硕士学位论文 网络的激活函数具有严格单调性的前提下，利用l y a p u n o v 泛函方法和脚分析技巧， 对这类多重时滞递归神经网络的全局渐近稳定性作了进一步的研究，获得的稳定性 判据优于文献 1 4 1 中的一些结果 从泛函微分方程的角度考虑，常时滞和变时滞均可归结为离散时滞，而离散时 滞与分布时滞又隶属于s 一型分布时滞从而对具有s 一型分布时滞的递归神经网络 的稳定性的研究，在理论和应用上都有重要意义2 0 0 2 年，王林山教授1 1 7 首次将 s 一型分布时滞引入双向联想记忆神经网络，并给出网络中存在全局渐近稳定的平 衡点的一些充分条件本文第四章建立了一类多重s 一型分布时滞非自治递归神经 网络模型，并利用l y a p u n o v 泛函方法、m 一矩阵理论和拓扑度理论获得保证网络中 解的有界性以及平衡点的存在性和全局指数稳定性的一些判据这些结果简易有效， 且具有广泛的适用性 聊城大学硕士学位论文 第1 章时滞区间静态神经网络的全局鲁棒稳定性 1 1 引言 分别以神经元的外状态和局域状态为基本变量，可将递归神经网络归结为静态 神经网络 仃譬：- x + g ( w x x w x + ，)( 1 1 )仃一= + fli1 1 d f 和局域神经网络 譬： + w g ( y ) + i o - - yw g ( y ) ( 1 2 )2 + ( 1 2 ) 两种网络模型1 8 1 9 1 其中x ，y = w x + 1 分别为神经元的外状态和局域状态， g ，形分 别为网络的激活函数和突触连接矩阵，仃 0 为常数 不计参数的实际意义，反传神经网络模型和最优化神经网络模型都可归结为 系统( 1 1 ) ，而系统( 1 2 ) 贝j j 包括细胞神经网络、h o p f i e l d 神经网络、双向联想记忆神经 网络等著名的网络模型徐宗本等m 1 通过对比研究揭示出系统( 1 1 ) 、( 1 2 ) 在一定程 度上具有等价的平衡集、稳定性、渐近稳定性、指数稳定性等性质随后，乔红等 1 9 1 提出了一种参考方法( 即在研究一种系统时以另外一种系统作参考) 并给出了有关 系统( 1 1 ) 、( 1 2 ) 的一系列新的、一般的稳定性理论 在递归神经网络的硬件实现时，由于组成神经元的核心部件放大器的开关速度 有限以及神经元之间信号传递的时延，时滞的存在是不可避免的在递归神经网络 的实际应用中，时滞的引入可以改善网络的某些性能例如，在擅长处理静态图像 的细胞神经网络中引入时滞后，可以对动态图象进行处理 3 1 然而，时滞也可能使 得网络产生振荡、分叉、甚至不稳定现象h 5 1 而影响网络的性能另外，在递归神经 网络的数学建模中，由于种种客观的原因( 例如原始数据不能精确测定，计算上的 舍入误差以及某些必要的简化等) ，不得不忽略一些随环境变化的参数扰动，这就使 得建模有着一定的误差从而，研究带有时滞递归神经网络的参数在某个区间内扰 动时该系统的稳定性，即时滞区间递归神经网络的鲁棒稳定性问题，更具实际意义 4 聊城大学硕士学位论文 分别在系统( 1 1 ) 和系统( 1 2 ) 0 0 引入时滞f ( 0 f f ) ，考虑时滞区间静态神经网 络( d i s 一朋恬) 仃掣：一x ( f ) + c ( w o x ( f ) + 彬x ( f f ) + j ) ( 1 3 ) “f 和时滞区间局域神经网络( d i l f n n s ) 盯掣：一y ( f ) + v o c ( y ( f ) ) + 彤g ( y ( 卜f ) ) + ， ( 1 4 ) d t 其中，x = 【五，x 2 ，吒】r ，y = y l ，y 2 ，y o r ，g ( ) ) = g l ( 五( ) ) ，g ：( z ：( ) ) ，g 。( ( ) 3 1 r ， g ( 少( ) ) = 蜀( m ( ) ) ，g ：( ( ) ) ，邑( 以( ) ) 】2 ，仃= d i a g ( o - i ) ，w o = ( 嵋) 。，= ( 嵋) 。网 络中的参数仃，v 矿o ，彬在以下区间内扰动： q = 仃= d i a g ( c r i ) ：0 g 仃，i e 0 b ( 4 b ，么+ b ) 表示矩阵对应元素满足 ” ”( ”，”+ ”) 关系；对任意的a = ( q ，口2 ，乜。) r ，b = ( ) 。，定义 刎+ = ( i 口。i ，i 以：i ，h 叭【b + = ( j b o 。 此外，定义 = m a x q 4 ，鸬，鸬) ，子= d i a g ( ，袭。( 匦| ) ) ，i + = ( 增) 。= ( 珊嘲甾i + i 蔼i + l 骘l + i 蔼i ) ) 。 定义1 1 系统( 1 3 ) 是全局鲁棒稳定的，若对任意的 盯= a i a g ( ( r , ) 。q ，w o = ( 弼) 。w o ，= ( w 驴1 ) 。也， 系统( 1 3 ) 有唯一的全局渐近稳定的平衡点 定义1 2 若实矩阵t = ( 乃) 满足下列条件： ( 1 ) 乃 0( i = 1 ，2 ，玎) ，乃0o = 1 ，2 ，刀，j = 1 ，2 ，刀) ； ( 2 ) 行列式 互，互： 互。互： 五互： 互， 互f 乃 o 则称丁是一个m 一矩阵 引理1 1 若矩阵t = ( 乃) 为一个m 一矩阵，则有 ( c 1 ) 丁的逆矩阵t 。1 存在且t 1 0 ； ( c 2 ) 存在p = 【量，】 0 ，使得p 丁 o ； ( c 3 ) 存在o = q 1 ，q 2 ，q r 0 ，使得旭 0 6 聊城大学硕士学位论文 1 2 鲁棒稳定性分析 定理1 1 若t = e 一丘矿+ 为m 一矩阵，则系统( 3 ) 是全局鲁棒稳定的 证明i 平衡点的存在性 令 f ( x ，) = x g ( ( w o + 彬) 石+ i ) = 0 构造同伦映射 f ( x ，兄) = ( 1 一兄) z + a 厂( x ，) ，旯 o ，1 由( 1 5 ) 式知 g ( s ) + p + + g ( o ) + ， 从而 f 】+ = ( 1 2 ) x + 2 g ( ( w o + w 1 ) x + ，) + ( 1 一旯) x + + 允+ 一( g ( o ) + + n ( w o + 彬) x + 盯) ) ( 1 一允) x + + 旯 x 】+ 一丘 甄+ + x + 一( g ( o ) + + 应 ， + ) ( 1 - 纠玎+ 旯 ( e 一丘_ + ) 玎- ( g ( o ) 】+ 埘盯) 因为t = e 一面矿+ 为m 矩阵，故由引理1 1 知t 一1 o ，j t 有qer , q 0 ，使得 旭 0 令 u ( r ) = 工： x 】+ r = q + j ) ， 其中 j = t 。( g ( o ) + + 局 盯) o 则由( 1 9 ) 式和( 1 1 0 ) 式可得 ，】+ ( 1 一a ) x + + 允z q o ，x a u ( r ) ，兄 o ，1 由同伦不变性定理 2 0 知 7 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 聊城大学硕士学位论文 d ( h ，u ( r 。) ，o ) = d ( f ( x ，1 ) ，u ( r 。) ，o ) = d ( f ( x ，0 ) ，u ( r 。) ，o ) = 1 ， 其中d ( f ，u ( r 。) ，0 ) 为拓扑度根据拓扑度理论2 1 1 ，可以推断( 5 ) 式在u ( r 。) 中至少有一 个零点，从而系统( 3 ) 中至少有一个平衡点x 1 i i 平衡点全局鲁棒稳定性 因为t = e 一西形+ 为m 一矩阵，引理1 1 知，存在p 0 ，p r r ”，使得 p t 0 ( 1 1 1 ) 构造l y a p u n o v 泛函 y ( v ) = p 陋m _ x 1 + + 詹 彤】+ 。【砸_ x 1 ， ( 1 1 2 ) 则y ( ，f ) 沿系统( 1 3 ) 轨线的导数为 矿( ，t ) l ( 3 ) 尸 1 x o ) 一x l r + g ( w o x ( t ) + w i x ( t f ) + j ) 一c ( w o x l + x 1 + ，) 】+ + 届彬+ ( 【x ( f ) 一x 1 】+ 一m r ) 一x 1 】+ ) ) p - x ( t ) - x 1 + + 厨 ( x ( f ) 一x 1 ) + 彬( x ( t - r ) 一x 1 ) 】+ + 届( 彬+ x ( f ) 一x 1 】+ 一+ x ( 卜f ) _ x l 叫 p - x ( f ) 一x 1 + + 丘( 吩+ + ) 眦) 一x 1 】+ ) p _ ( e 一豇谚+ ) x o ) 一一】+ 一t p x ( t ) 一x 1 + ， ( 1 1 3 ) 其中，为满足垆一p 丁 i 1 乙；，p j ：w ：i ，川，2 ，川 ( 马) 燃u w j , 0 使得 扛艘形p 。 定义2 2 设x + 为系统( 2 1 ) 的一个平衡点，若对任意的i e r ”，存在常数m 0 和 k 0 ，使得 0 x ( t ) - x * i i 。；c r ：，p 。，q s r p s 。；c r ，q o , p - s q 1 s r 。 引理2 2 2 2 1 设q l ，q 2 ，0 3 为维数适宜的实矩阵并且0 3 0 ，则有 研q 3q l + 谚0 ；1 0 2 研q 2 + 讲q 1 引理2 3 2 3 1 若条件( 日) 满足并且c 一a l d s ，则对任意的，r ”， 日( x ) = 一c x + 4 厂( x ) + ， 是r “上的一个同胚映射 引理2 4 设0 1 与q 2 是维数相同的实对称矩阵，若q 0 ，则存在正常数使得 q 1 一q 2 0 证明因为 l i m 一九( q l 一国q 2 ) = 九( q 1 ) 0 ， d ，_ + 0 故存在c o o o 使得 聊城大学硕士学位论文 即有 丸( q l 一q ：) 0 ， q 一q 2 0 2 2 指数稳定性分析 定理2 1 假定条件( 日) 成立并且o 砸) 刁 o 和 q = 魄k o 使得 耻 2 1 一鼍卜缈”- p p n ) oi 。， 亿2 ) i f 1 一l 。 、7 则对任意的i r ”，系统( 2 1 ) 存在全局指数稳定的平衡点 证明i 平衡点的存在唯一性 由引理2 1 ，若q 0 ，则有 2 p c 2 一刚一彳r p - b ，q 8 一( 1 7 7 ) 一1p q 一1 p 0 ( 2 3 ) 因为0 叩 0 易见 c z 一( 彳+ b ) l d s 若条件( 奶成立，则由引理2 3 知对任意的i 彤， h ( x ) = 一c x - t - ( a + b ) 厂( x ) + ， 是r “上的一个同胚映射从而存在唯一的x + r ”，使得 日( ，) = 一c x + ( 么+ b ) 厂( f ) + ，= 0 即，对任意的i r ”，系统( 1 ) 有唯一的平衡点x + 聊城大学硕士学位论文 由( 2 2 ) 式知，存在k ( o ，丸( c ) 2 ) 使得 2 p ( c 一2 翘) - 一p p a 一彳r p b 7 缈。一刁- ，p 矿：打q 。， 其中，e 为，z 单位矩阵 由引理2 4 知，存在常数q 0 使得 l 带掣- 午p a - a r p - b r q b ( 1 一- p r ) e - z 打qh 兰p 埘一却。l - p ( 1 一 1 i 趣i 、 1 。 由引理2 1 得 2 c 0 1 ( c 一旭) 一c o l a q e r = l q 2 p ( c 一2 一以一彳丁p b r q b p i o ( 2 5 ) q e p ( 1 一r ) e - 2 打q 令“( ) = z ( ) 一x + ，系统( 1 ) 可改写为 _ d u ( t ) ：一c u ( f ) + 么g ( “( f ) ) + b g ( “0 一f o ) ) ) ，( 2 6 ) d t 其中，砸) = 【m 刚r ，g ( ) ) = 【g 。( “。( ) ) 9 2 ( “：( ) ) 邑( ( ) ) 】r ， 且有 g j ( u j ( ) ) = f j ( u 必) + 巧) 一乃( 巧) ，= 1 ，2 ，z 因为乃( ) ，歹= 1 ，2 ，z 满足条件( 日) ，易 见 g j ( o ) = o ，o g j ( s ) s q ，s 尺，s o ，= 1 ，2 ，z ( 2 7 ) 构造径向无界的l y a p u n o v 泛函如下： 啪) ) - 舻幻“飞m 卅2 矿喜只r 眯矽州乙e 2 b t ( 蚓矿蚴翻蝣( 2 8 ) 沿( 2 6 ) 式的的轨线计算矿 ( f ) ) 的导数得 嘶o ) ) = 2 c q k e 搪“丁( t ) u ( t ) + 2 c q e 腑“r ) 【一 o ) + 匆 o ) ) + 磁( “( f f ( f ) ) ) 】 + 4 妇2 灯nbr g 艏) d 亏+ 2 e 2 _ i g r ( “( f ) ) p 卜 ( f ) + 如( “( f ) ) + 磁( “( 卜f ( f ) ) ) 】 聊城大学硕士学位论文 + e 2 幻g r ( 甜( f ) ) b 丁q b g ( u ( t ) ) 一( 1 一r ( f ) ) 9 2 一7 g r ( “o 一彳o ) ) ) b r q b g ( u ( t f ( f ) ) ) ( 2 9 ) 窆i = 1 只r 如g ，( 孝) d 孝窆i = 1p ，r g 知心) ) d 孝= g r ( “( f ) ) 砌( f ) ， g r ( u ( t ) ) p ( 2 k e c ) “( f ) g r ( u ( t ) ) p ( 2 k e c ) x g ( “o ) ) ( 2 10 ) 由( 2 5 ) 式、( 2 9 ) 式、( 2 1 0 ) 式以及0 r ( t ) 丁，0 f ( f ) 叩 o ，若存在p = d i a g ( p i ) o 和 使得 卟2 p c z i - p a - a 印却伽胡地 亿 则对任意的i r ”，系统( 2 1 ) 存在全局指数稳定的平衡点 注2 1 当系统( 2 1 ) 中r ( t ) 三f 0 时，文献 1 0 给出了如下结果：若条件( h ) 成立 并且存在矩阵p = d i a g ( p ，) 0 ，s 0 ，以及常数 0 使得 a = 2 p c e 一p a a r p 一b r s b 一一p s 1 p 0 ， 则系统( 1 ) 的平衡点是全局渐近稳定的易见，判据中的正常数是一个冗余的参 数令g = s ，则由引理2 1 知条件与推论2 1 的条件是一致的从而，推论2 1 在 以下三个方面优于了文献 1 0 中的结果：1 ) 在不要求激活函数为有界函数的前提下， 保证了平衡点的存在唯一性；2 ) 保证了平衡点的全局指数稳定性；3 ) 其条件具有三脚 的形式，利用m