（系统理论专业论文）smooth拓扑研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 1 9 6 8 年，作为模糊集的应用c h a n 9 1 2 1 第一次给出模糊拓扑的概念，随后l o w e n 和 h u t t o n 给出了稍有不同的定义根据a e s o s t a k 1 ，前面的模糊拓扑只是把集合模糊化了， 而开集的模糊化并未被考虑，即拓扑结构仍是分明的这似乎是拓扑在模糊化过程中的一 个缺憾因此在1 9 8 5 年，a p s o s t a k l 7 1 给出了一种新的模糊拓扑的定义并继续发展了这 理论此后，一些学者因为没有注意到a e s o s t a k 的工作而又提出了与之类似的s m o o t h 模 糊拓扑的概念 1 1 , 1 6 1 本文沿用“s m o o t h 拓扑空间”这一概念，并把它推广到模糊格工上， 称为l s m o o t h 拓扑 定义”1 若映射f ：l 。斗l 满足 ( 1 ) f ( o ) = r ( 1 ) = 1 ， ( 2 ) f ( l 2 ) r ( u 1 ) a f ( 2 ) ，f o r a l l t l ，2 l x ， ( 3 ) f ( 兰f ) 盒7 ( i ) ，f o ra n y f ) f 。，l x 称序对。，f ) 为l - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e 紧性理论是拓扑学中最重要的内容之一，自从s m o o t h 拓扑提出以来，有很多学者对 此作了研究，也得到了很多不错的结果，如文”“”3 等但这些紧性大多是针对s m o o t h 拓扑 空间( x ，f ) 定义的，因此这种紧与分明拓扑中讨论的紧性相比是有明显缺憾的，如我们不 再能讨论s m o o t h 紧的闭遗传性等为了克服这一缺陷，本文的第一部分，利用s m o o t h 拓 扑的层次性及良紧的优越性，将s m o o t h 紧推广到每一个模糊集上，并讨论了这种新的紧 与其他文献中几种紧的关系其定义和主要结果如下： 定义设( r ，) 为l s t s ，映射z ：l 。一三定义如下 ( 兄) = ( a r l o i 丑是，一紧的，a l x ) 7 称g ( ) 为 的紧度，映射z 为l s m o o t h 紧 这种l s m o o t h 紧具有如下性质： ( 1 ) 是闭遗传的( 2 ) 是连续像保持的( 3 ) t y c h o n o f f 乘积定理成立 l s m o o t h 拓扑的核心观点是赋予每一模糊集一开度，那么按照这一思想连通的概 聊城大学硕士学位论文 念也就不合时宜了，我们代之以连通度( 模糊集做成连通集的程度) 本文的第二部分定义 了一种l - s m o o t h 连通，借助于文”给出了其樊畿式刻画，并讨论了连通分支的概念 定义设( r ，f ) 为l - s t s ，a r 称映射c o n ：l 。斗工 c o n ( a ) = ( 妒：，l o , 彳为，一连通集 ) 为l s m o o t h 连通，c o n ( a ) 称为模糊集一的连通度 这种l s m o o t h 连通具有如下性质： ( 1 ) 是基于每一个模糊集定义的( 2 ) 是连续像保持的 ( 3 ) 对( x ，f ) 有t y e h o n o f f 乘积定理成立 研究分明拓扑空间的紧性时，我们只考虑那些能够覆盖空间的开集族，而那些 不能覆盖x 的开集族是不起任何作用的，这未免有些绝对于是s o s t a k 在定义s m o o t h 拓 扑的紧性时，使每一个层次上的开集族( 无论它是否覆盖了所讨论的模糊集) 都起到了 同样的作用但是这似乎又走了另一个极端因为从感觉上来说，那些能够覆盖所讨论模 糊集的开集族所起的作用似乎应该更大些，而不是与那些不能覆盖所讨论模糊集的开集 族具有同等的作用，而王国俊教授m 1 引入的r 。一算子恰恰克服了这一缺陷：既强调前者 而又不忽略后者的作用于是我们选取r 。一算子定义模糊蕴涵，进而定义模糊集的 s m o o t h 紧性本文第三部分采用逻辑思想，借助于r 。一算子，定义了一种模糊蕴涵，并 讨论了几种s m o o t h 紧 定义设( x ，f ) 为s t s ，v u ，。，a ( o ，1 定义u 在a 层上的紧度 k 乙( ) = i n f i n f u 7 - - v o vs u p u 5 专v o o ：占 r ，1 ) ，o o 0 ) ：r ( 护) 口) ：r 【o ，i ) 1 这种s m o o t h 紧具有如下性质： ( 1 ) 是基于每一个模糊集定义的( 2 ) 是连续像保持的 关键词：模糊拓扑学，l s m o o t h 拓扑，s m o o t h 紧，模糊逻辑，模糊蕴 涵。s m o o t h 连通 i i 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n 1 9 6 8 ，p r o f e s s o rc h a n gp u tf o r w a r dt h ec o n c e p to ff u z z yt o p o l o g ys p a c ea s t h e a p p l i c a t i o no ff u z z ys e ta n dl a t e rl o w e na n dh u r o n r e d e f i n e di ti nas o m e w h a td i f f e r e n tw a y a c c o r d i n gt oa p s o s t a k 【7 i na l lt h e s ed e f i n i t i o n s ，af u z z yt o p o l o g yi sac r i s ps u b f a m i l yo f s o m ef a m i l yo ff u z z ys e t sa n df u z z i n e s si nt h ec o n c e p to fo p e n n e s so faf u z z ys e th a sb e e n c o n s i d e r e d ，w h i c hs e e m st ob ead r a w b a c ki nt h ep r o c e s so ff u z z i n e s so ft h ec o n c e p to ft h e t o p o l o g i c a ls p a c e t h e r e f o r es o s t a ki n t r o d u c ean e w d e f i n i t i o no ff u z z yt o p o l o g yi n19 8 5 吵 l a t e ro n ，h ed e v e l o p e dt h et h e o r yo ff u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e a f t e rt h a ts e v e r a la u t h o r sh a v e i n t r o d u c e dt h es m o o t hd e f i n i t i o na n ds t u d i e ds m o o t hf u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e sb e i n gu n a w a r e o f s o s t a k sw o r k s i nt h i sp a p e r ，w ea c c e p tt h en a m e “s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e s f o rf u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e s o l ls o s t a k s s e n s e m a n y s c h o l a r ss t u d i e ds m o o t ht o p o l o g y 6 - 1 1 1 y o n g 【6 】r e d e f i n e dt h i sc o n c e p tf r o m ，t of u z z yl a r i c el a sf o l l o w s ： d e f i n i t i o n 【1 1 】af u n c t i o nr ：l x 斗li sc a l l e da nl - s m o o t ht o p o l o g yo nxi fi t s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) f ( o ) = r 0 ) = 1 ， ( 2 ) f ( 1 2 ) r ( a 1 ) r ( 卢2 ) ，f o ra l l 卢l ，t 2 l j ， ( 3 ) f ( 昌i ) 垒f ( j ) ，f o r a n y ；) 州f t h e n ( l x ，f ) i sc a l l e da nl - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e c o m p a c t n e s si s o n eo ft h ei m p o r t a n tc o n c e p t so fg e n e r a t o p o l o g y s i n c e t h e i n t r o d u c t i o no fs m o o t ht o p o l o g y , m a n ys c h o l a r s 。1 0 1 9 】h a v es t u d i e di ta n da c h i e v e dg r e a t a c h i e v e m e n t s b u ti ts e e m su n s a t i s f a c t o r yt h a ta l lt h e s es m o o t hc o m p a c m e s si d e a sa r e d e f m e df o rt h ew h o l es m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c eb u tn o tf o ra na r b i t r a r yf u z z ys e t ；t h e r e f o r e t h e ya r ef a rf r o mt h ec r i s pc o m p a c t n e s s f o re x a m p l e ，i ti si m p o s s i b l et od i s c u s st h er e d i t a r y p r o p e r t y ( w i t hr e s p e c tt oc l o s e ds u b s e t s ) o fs m o o t hc o w l p a c t n e s s f o l l o w st h i sp o i n t ，f o re a c hf u z z ys e ti na l ll - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e ，t h eg r a d eo f c o m p a c t n e s si sd e f i n e d ，i nt h e f i r s t p a r to ft h i sp a p e r i na d d i t i o n ，t h en c o m p a c t n e s s i n t r o d u c e db yw a n g 2 2 a n dz h a o 2 3 1i sb e t t e r f o ra l l f u z z yc o m p a c t n e s s a n dh e n c ew e i i i 聊城大学硕士学位论文 d e f i n et h eg r a d a t i o no f c o m p a c t n e s sb yi t d e f i n i t i o n l e t ( l x ，r ) b ea n l - s ，t s ，w e d e f i n ea m a p p i n g g ：l x l a s f o l l o w s 孽( a ) = ( a r l oi i s ，一c o m p a c t ) ， r w ec a l l ( a ) t h eg r a d a t i o no fc o m p a c t n e s so f 兄a n dt h em a p p i n glt h ec o m p a c t n e s s o f l - s m o o t h gp o s s e s s e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： ( 1 ) f o ri tt h eh e r e d i t a r yp r o p e r t yw i t hr e s p e c tt oc l o s e ds u b s e t sh o l d s 化) t h ec o n t i n u o u si m a g e sf o ri ta r eg r a d a t i o no f c o m p a c t n e s s ( 3 ) f o ri tt h et y c h o n o f f p r o d u c tt h e o r e mh o l d s a sw ea l lk n o w , t h eb a s i ct h i n ko fl s m o o t ht o p o l o g yi st o a s s i g nt h ed e g r e eo f o p e n n e s st oe v e r yf u z z ys e t f o l l o w st h i si d e a ，t h ec o n c e p to f c o r m e c t e d n e s si so u to f t i m e ，s o w ei n 仃o d u e et h eg r a d eo fc o r m e c t e d n e s so fl - s m o o t hf o re a c hf u z z ys e t b yw a n g ，w e g i v et h ef a n j id e p i c t i o na n dg i v ean e wd e f i n i t i o no f c o n n e c t e dc o m p o n e n t s d e f i n i t i o nl e t ( l x ，f ) b ea nl - s t s ，w ed e f i n ea m a p p i n gc o r ：l x la s f o l l o w s ，a n dc a l l e di tt h ec o n n e c t e d n e s so f l - s m o o t h c o n ( a ) = ( 妒：r l iai s ，一c o n n e c t e d ) w h e r e ，c ，( ) = ：a ，f ( 旯) ，) t h ec o n n e c t e d n e s so f l s m o o t hp o s s e s s e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： ( 1 ) t h ec o n t i n u o u si m a g e sf o ri ta r ed e g r e eo f c o n n e c t e d n e s s ( 2 ) f o r ( x ，f ) t h et y c h o n o f f p r o d u c tt h e o r e mh o l d s w h e ns t u d y i n gt h ec o m p a c to ft o p o l o g y , w eo n l yc o n s i d e rt h e s ec o l l e c t i o n s ，w h i c ha r e o p e nc o v e r i n go fx t h i sm a yb eab i t e ra b s o l u t e l y s os o s t a k 嗍t h o u g h ta l lo p e n s u b c o l l e c t i o n ( w h e t h e ro rn o tt 1 1 e yc o v e rt h ef u z z ys e tw h i c hi sd i s c u s s e d ) h a dt h es a m ee f f e c t w h e nd e f i n e dt h ec o m p a c to f s m o o t ht o p o l o g y i ts e e m sa n o t h e re x t r e m i t nf o rt h ee f f e c to f t h o s ec o l l e c t i o n s ，w h i c ha r eo p e nc o v e t i n go f xi sm o r ei m p o r t a n tt h a nt h a to ft h o s e c o l l e c t i o n s ，w h i c hc a n tc o v e = f x ，r o o p e r a t o ro v e r c o m e st h i sd e f e c t ，n o to n l ye m p h a s i z e s o nt h ee f f e c to ft h ef o r m e rb u tn o ti g n o r e se f f e c to ft h el a t t e r s oi ts e e m sm o r er e a s o n a b l e 聊城大学硕士学位论文 t h a tw es e l e c t r o o p e r a t o rt od e f i n ef u z z yi n c l u s i o nm o r e o v e rt o d e f i n e t h es m o o t h c o m p a c to ff u z z ys e t s i nt h et 1 1 i r dp a r to f t h i sp a p e rw ea d o p tt h el o g i ci d e a st od e f i n eas o r t o f f u z z yi n c l u s i o nu s i n gr o o p e r a t o ra n dd i s c u s ss o m ek i n do f s m o o t hc o m p a c t d e f m i t i o nl e t ( x ，f ) b es t sa n dh ，。，口( o ，1 】，t h e nt h ed e g r e eo fn c o m p a c t n e s s o fuw i t hr e s p e c tt o n l e v e li sd e f i n e db y e 0 ) = i n f f i n f “斗v 印vs u p u ”斗v 吼】：j ，i ) ，回：r ( 口) 口 ：r 0 ，1 ) j w ec a l l n c 。t h e s m o o t hc o m p a c t n e s s t h ed e g r e eo fs m o o t hc o m p a c tp o s s e s s e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ( 1 ) i ti sd e f i n e df o ra r b i t r a r yf u z z ys u b s e t s ( 2 ) t h ec o n t i n u o u si m a g e sf o ri ta r ec o m p a c t n e s so fl - s m o o t h k e y w o r d s ：f u z z yt o p o l o g y , l s m o o t ht o p o l o g y , s m o o t hc o m p a c t ， f u z z yl o g i c ，f u z z yi n c l u s i o n ；s m o o t hc o n n e c t e d n e s s v 聊城大学硕士学位论文 刚舌 为了给模糊现象以定量表述，1 9 6 5 年，l a z a d e h 建立了f u z z y 集理论1 9 6 8 年， c h a n g 给出了i 拓扑空间( 即f u z z y 拓扑空间) 的概念j a g o r g u e n 引入了l f 集的概 念，稍后便出现了l 拓扑在此之后的十年内，虽有b h u r o n ，m a e r c e g 等人的出色工作， 但由于没有找到理想的f u z z y 点与f u z z y 集的邻属关系，使无点化学派的发展受到限制 而停滞不前 1 9 7 7 年，刘应明教授在分析了的f u z z y 点及其邻域系理论的弊病后，首次打破传统 的属于关系和邻域方法，创造性地引入了“重域”这一新的f u z z y 点与f u z z y 集的邻属 关系，成功地建立了m o o r e - s m i t h 式收敛理论。从而给f u z z y 拓扑学带来了无限生机 之后王国俊教授引入了“远域”概念，它适用于更广泛的具有逆序对合对应的完全分配 格( 分子格) 从此以后，有点化学派的研究迅猛发展，短短几年间便已硕果累累 不过，在这类空间中，只有集合被模糊化了，而拓扑结构仍是分明的，这似乎是一个缺憾 拓扑学家们很快意识到了这一点1 9 8 0 年h 6 h l e t 3 1 对一些拓扑概念引入了度的思想在这 一思想下，拓扑概念不再拘泥于0 和1 这两个绝对端点，而是取值于【o ，1 1 9 9 1 年，y i n g 由逻辑的观点出发定义了一种，一模糊拓扑空间r b a d a r d t 5 1 称这种拓扑为s m o o t h 拓扑 随后 彳艮多学者对此做了深入研究拍。1 ”其中y o n g 陋1 将这一概念推广到了模糊格上，并称 之为l 广地z y t o p o l o 醪这里我们沿用r b a d a r d 的说法，称之为l - s m o o t h 拓扑 总之, l - s m o o t h 拓扑的核心观点是将拓扑概念度量化基于这种思想，本文主要做了 以下几方面的工作： 第一，基于模糊拓扑的层次性，对每一模糊集定义了一种l s m o o t h 紧，并推广了 l s m o o t h 乘积拓扑的定义 第二，对每一模糊集定义了一种l s m o o t h 连通，并借助文 1 3 给出了它的樊畿式刻 画 第三，采用逻辑思想，借助于王国俊教授引入的胄。一算子”2 1 ，定义了一种模糊蕴 涵，并研究了几种新的s m o o t h 紧 聊城大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 9 8 5 年，s o s t a k 川通过满足一些公理的映射r ：，。一，。在集合x 上定义了种模糊 拓扑，这里，。表示所有从x 到= o ，1 】的模糊集组成的集族1 9 9 2 年， k c c h a a o p a d h y a y 9 1 重新定义了这一拓扑结构并称映射f ：j 。寸，。为“ag r a d a t i o no f o p e n n e s so n 工”同年，r a m a d a n 1 定义了一种类似的模糊拓扑空间。称之为“s m o o t h t o p o l o g i c a ls p a c e ”( s t s ) ，并且由 0 , 1 推广到了更广泛的格但是为了讨论起来方便，今后我 们所做的工作主要在带有逆序对合对应的完全分配格l ( 简称，格) 和 o ，1 】上进行，并称 之为l s m o o t h 拓扑，其定义如下： 定义1 1 若映射r ：l x 呻满足 ( 1 ) f ( o ) = r 0 ) = 1 ， ( 2 ) r ( p 1 2 ) f ( 1 ) f ( 2 ) ，f o r a l l l ，2 l x ， ( 3 ) r ( v p ，) 台7 ( f ) ，f o r a n y ， f 。l x 称f 为l - s m o o t ht o p o l o g y ( l 吨t ) ，称序对( r ，f ) 为l - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e ( l - s t s ， 简写) 易证( r ，f ，) 为l - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ( l f t s ，简写) ，这里 r ，= 饥l xf ( 五) ，) ，r l o ，l o = 三一 o ) 称f ，为r 层上l - f u z z y t o p o l o g y ( l f t ) 定义1 2 【1 1 1 设( r ，f ) 为l - s t 且“l x 定义映射f + ：r 寸为f + ( “) = f ( m ) 易证 3 + 满足 ( 1 ) f + ( o ，= f + ( 1 ) = 1 ， ( 2 ) r + ( 1v a 2 ) r + ( 1 ) f ( 卢2 ) ，f o r a l l ，2 l ， ( 3 ) f + ( 全i ) 台7 + ( f ) ，f o ra n y 卢f ) w l x 称( p ，f + ) 为l - s m o o t h 余拓扑，f 。( ) 和f ( “) 分别表示“为闭集和丌集的程度 定义1 3 6 设( ，f ) 和( ，o - ) 为l - s t s 若v a l r 均有仃( 旯) 3 ( f 一1 ( 兄) ) ，则称映 聊城大学硕士学位论文 射f ：l 。专r 为l s m o o t h 连续映射 定义1 4 ”4 1 设( l x ，f ) 是一个l - s t s ，对于每一个，l o ，爿，b l x 定义映射 c l ，：l x 哼r 为c i ，( 4 ) = b i b 一，f ( 占) ，) 则称a ，( 爿) 为a 的，一闭包，映射a ，为r 一闭包映射 定理1 5 1 设( ，f ) 是个l - s t s ，对于每一个，j l o ，a ，b ( 1 ) 若a b ，则c i ，( 4 ) c l ，( 占) ( 2 ) a c i ，( 爿) ( 3 ) 若r s ，贝0 c l ，( 爿) c l , ( 爿) ( 4 ) c i ，( c t ，( 彳) ) = c l ，( 彳) 定义1 6 m 1 设厂：x j y 是普通映射，则，诱导出一个从到r 的序同态，称为工 值z a d e h 型函数，仍记作厂：l x 斗r ，这里 又 va l 。，( 4 ) ( y ) = v 一( x ) i 厂( x ) = y ) b l r , 厂- 1 ( b ) ( z ) = v a l xi ，( 一) 兰b = b 。厂 此外，本文中未提到的概念和符号均合于文m i 、文m i 及文【1 5 1 聊城大学硕士学位论文 第二章l s m o o t h 紧 关于s m o o t h 紧已有不少文献涉及，也得到了很多不错的结果，如文限“1 等但是这 些紧多是针对整个s m o o t h 拓扑空间( x ，f ) 定义的，本文讨论的s m o o t h 紧基于完全分配 格上，定位于每一个模糊集并兼顾整个s m o o t h 拓扑空间最后我们将给出了这种新的紧 与其他文献中定义的几种紧的关系 2 1 基于n - c o m p a c t 的l - s m o o t hc o m p a c t 定义2 1 1 1 设( 上。，6 ) 为l - f t s ，吼c 6 ，尸乜) 如果v x ，有r 孵使 u ( x ) 甚r ，则称孵为x 的r 一覆盖，或简称为r 一覆盖设a + ( ，) 是，的由异于1 的素元组成 的极大集如果存在s 口+ ( r ) 使锨为s 一覆盖，则称婀为r + 一覆盖 定理2 1 2 3 1 l f t s ( l x ，占) 是n c o m p a c ti f f 每一个，一覆盖孵都有有限子族甲构 成r + 一覆盖( r 为异于l 的素元) 定义2 1 3 设( r ，f ) 为l - s t s ，r l o 若z l x 在( l x ，f ，) 中是n c o m p a c t ，则称a 为，一c o m p a c t 定理2 1 4 设( l x ，f ) 为l - s t s ，r ，s l o r s r 若 l x 是，一c o m p a c t ，则 必为 s c o m p a c t 定义2 1 5 设( l x ，f ) 为l - s t s ，映射g ：l 。斗上定义如下 粤( 兄) = ( 人 r l oi 旯i s ，一c o m p a c t ) ，a l 。 称g ( 2 ) 为 的紧度，映射g 为l - s m o o t h 紧 设q = 秘l o ：旯为s c o m p a c t ，显然g 研) = ( g ) 定理2 1 6 设( l 。，r ) 为l s t s ，则有下述定理成立： ( 1 ) l ( 0 ) = 1 ( 2 ) 五l x ，若s u p p 2 1 为有限集，则l ( 五) = 1 4 聊城大学硕士学位论文 ( 3 ) l 以v ) 0 ) z 以) ，v 五，l x 证明：( 1 ) 和( 2 ) 容易， ( 3 ) v s o ，c u ，则a ，为s vr c o m p a c t ，即a ，在( p ，f ) 中n c o m p a c t ，由文 1 3 1 得旯v 在( l x ，f ) 中是n - c o m p a c t 所以o v ，) q 。，从而 z ( 旯v 卢) = 。兰，。即k 。q o vr ) = ( ，盒3 ) 。( ，色7 ) = 2 ( a ) 。2 ( 即 p ( 旯v 1 1 ) z ( a ) 孽【) 定理2 1 7 设( r ，r ) 为l - s t s ， ，p l 。若r ( f l7 ) = 1 ，则z ) f ( 旯) 证明：设f ( ) = ( g ) = ，则 q = ，v s g ，有s 1 且 为s c o m p a c t 的，即 五在( ，t ) 中n c o m p a c t 因为r ( 卢) = 1 ，故r 1 f ，j f ：j 旯 ( l x ，r ，) 中 n c o m p a c t ，即a 为j c o m p a c t ，从而s c z 。，于是 q q 。j q q 。jp ( 旯) 冬z ( a ) - 定理2 1 8 设( r ，f ) 和( ，盯) 为l - s t s ，映射，：l x 一是l s m o o t h k 奎 z a d e n 型 函数- 贝0 对任意a l x ，有2 。( 厂( a ) ) z 。( 旯) 证明：设a l x 为，一c o m p a c t ，则a 在( ，f ，) 中是n c o m p a c t 的，由文得厂( 旯) 在( r ，盯，) 中n - c o m p a c t 所以，厂( a ) 为，一c o m p a c t ，从而 巴cc ，( 椰j g c i t j f ，( 五) z 。( ，( a ) ) 定义2 1 9 设r 。为一族l - f u z z ys e t s 若对任意，b a l 且 _ f 2 定理2 1 1 2 设l ，f 2 为x 上l - s t 若q - f 2 且a 在( r ，f 2 ) 中是，一c o m p a c t ，则兑在 ( r ，1 1 ) 中也r c o m p a c t 定理2 1 1 3 设r 1 ，f 2 为x 上l f t 若l 三f 2 且 在( l x ，q ) 中n - c o m p a c t ，则五在 ( ，f 2 ) 中n - c o m p a c t 定理2 1 1 4 ( t y c h o n o f f p r o d u c tt h e o r e m ) 设( x 7 ，r i ) ( i i ) 为s t s s ，( x ，f ) 为乘积s t s 则有下述定理成立 ( 1 ) v r ，s or s s 所以存在 j 使r , o e ，于是 f ，t ( 2 ) 令 ( 川) 小缈则2 ( a ) 2 州 ) 证明：v f ，设g i ( 五) = 样由z 。的定义 g ：( 五) = 舾l i 扭s c o m p a c t ) = k i o j r ) 所以v 0 ，存在s i o = s = v _ j i 即g ( a ) 台七净。ag t ( ；) 因为只：( l x ，f ) 一( 矿，r ) l s m o o t h 连续z a d e h 型函数，所以对任意f ，有 舭) z t ( 丑) j # ( z ) 台z ，( 丑) b y e z ( 旯) = 台2 舰) 例2 1 1 5 ( 1 ) 最粗的l s t 易得映射f o ：l x 斗三 h 器f 讹2 = 0 , 1 ， 的确是l - s t ，并且它比z 上的任何其他l s t 都要粗，称之为l - s m o o t h 平庸拓扑 v r l o ，有0 0 = o ，l 易得v a l 。，凡是，一c o m p a c t 所以， ( a ) = ( r ：，三o ) = 0 = 1 ( 2 ) 最细的l 广s t 易得映射f 1 ：l 。斗，卜1 的确是l - s t ，并且它比x 上的任何其他l - s t 都要细，称 之为l 。s m o o t h 离散拓扑 ( 3 ) 设占为一l f t ，则占可以诱导出l - s ：t 聊塑查兰堕主兰堡垒壅 一一 一一 一巩芦h 佬氅急 显然若占是一平庸( 离散) i ，t ，则f 5 = 矿( f 5 = 一) 令丑：三： o ，1 ，取x 上的 l s m 。t h 离散拓扑f 1 则v r l o 有 f ：饥：a l x 五，。r 0 ) 由下式确定： m ，：譬：。意瓤胚m m = 悟：赢& 悱n 由于 ，、：如x ：丑0 ) 参= 世， ， ，所以扛 ：工4 扣) 即是a 的所有高度为 的分子组成的集合张 如，不蕊设工= _ ( 女，2 ) ，j 段 敝 一e 使 胁( 曲：1 一古 l 一 = 兄( x ) ，因此 儿 一是 的 一远域族 v se 卢+ ( ) = 【o ，曲，易得- ；j2 圹 若。【o ，铜3 ，所以号。为 的高度为s 的分子v n n ，有。皓) ：娃) = j ，所以 。) 。不是z 的s 一远域族，更不是a 的 一一远域族- ：g ss 售， ) 慨 小不妨设工= ( 七n ，女2 ) 有p 。( 上) 2 古 o ，故一与b 不是，vs v t 一隔离的，从 而a v b 为，vs v f 一连通的 定理3 1 1 0 若爿，曰不是t 一隔离的，则c o n ( a v b ) c o n ( a ) c o n ( b ) t 证明：令r = r ：r e l o ，a 为，一连通的) ，s = p ：s l o ，b 为s 一连通的 则 c o n ( a ) = ( r ：，r ) ，c o n ( b ) = ( 舾：s j ) ，从而 c o n ( a v b ) ( p vs v t ：r r ，s s ) = ( p ：，胄) ) ( 缸：s s ) t = c o n ( a 1 c o n ( b ) t 推论3 1 1 1 若v r l 。，a ，b 均不是，一隔离的，则 c o n ( avb ) c o n ( a ) c o n ( b ) 推论3 1 1 2 设a ，o t ) 是一族非空模糊集，记f = 厂：v s ，t t ，a 。与a ；不是厂一隔 离的 ，则”( 吕4 ) - - t a e r c o n ( 一r ) ，、 v f ：厂s f ) 推论3 1 1 3 设4 ，0 即是一族交非空模糊集，则c o n ( 善a ，) 念月( 4 ) t 3 2 连通度的性质 定义3 2 1 设( r ，f ) 和( l r ，盯) 均为l _ s t s ，若映射厂：斗是序同态且是 l s m o o t h 连续的，则称，为l s m o o t h 连续序同态 聊城大学硕士学位论文 定理3 2 2 设( ，r ) n ( ，盯) 均为l - s t s ，映射厂：l x 寸l 7 是三一s m o o t h 连续序同态 当且仅当，是序同态且v 兄l x n r ( 丑) 仃( 旯) 定理3 2 3 设( ，f ) 和( f f ，仃) 均为l - s 瞄t ，若映射厂：r 寸l - s m o o t h l - q ：续序i n 态，l o 则 o v a 盯：，厂。1 ( 爿) f ： 2 ) v a l x ，( c l , ( 4 ) ) d ，( 厂( 爿) ) 3 ) v b l r ，c i ，( ，_ 1 ( b ) f - 1 ( c i , ( 占) ) 证明：o v a 仃：，显然f + ( ，。( 4 ”o - ( _ ) r 所以f - 1 ( a ) f ： 2 ) 由续同态的基本性质得a f 1 ，( 一) f 。( c t ( 厂( 4 ) ) ) 由于 f + ( ，( c t ，( ，( 爿) ) ) ) 盯+ ( c i ( ，( 爿) ) ) ，所以 c i ，( 厂1 ( c ，( ，( 4 ) ) ) ) = f 。( c ，( ，( 爿) ) ) ，从而 c 1 , ( 爿) 厂( c t ，( 厂( 彳) ) ) 即厂( c 1 , ( 一) ) c i ，( 厂( 爿) ) 3 ) 令4 = f 一1 ( 曰) ，由2 ) , j 导- f ( c l ，( ，一1 ( 口”c i ，( f f - 1 ( b ) ) c 1 ，( b ) 由此即得3 ) 定理3 2 4 ( l x ，r ) 和，盯) 均为l - s t s 映射厂：f 斗r 是连续l s m o o t h i 奎续 序同态，a l x ，贝4 c o n ( f ( a ) ) c o n ( a ) 证明：记r = r ：爿为r 一连通的 ，则n ( 一) = ( 念7 ) 易证若一是，一连通的，则 ，( 4 ) m r 一连通的所以 c 。n ( 厂( ) ) = ( 扣：，( 国为s 一连通的) ) ( 念，) c o n ( a ) 定理3 2 5 设( r ，石) 和( r ，r ) 都是l - f t s ，且占cf 若( r ，r ) 是i g n ，贝l j ( u ，r ) 也 是连通的 定理3 2 6 设( x ，f ) ( f ，) 是一族s t s ，( x ，f ) 是其乘积空间，则 c o n ( 1 x ) = a c o n ( 1 )