（理论物理专业论文）ads弦的κ对称性与可积性及相关研究.pdf

摘要 a d s c f t 对应在弦m 理论中起着重要作用，并且有广泛的应用。由于低维空闷 便于计算和研究，所以研究低维空间r p 的a d s c f _ r 对应对于照好的理解a d s c f t 对 癍番重要麴髂溺。本文中我翻鞋a d 是字弦为嘲，辑究它戆k 对稼经以及幸# 耀量麴霹 积性等，然后将此结果推广判一般a d 8 弦。 首先，我们介绍超陪榘方法，并且用它掏造了a d 岛s 2 披的作用量。同时给出趟 弋数筇滗1 1 2 ) 的m “抟r ，g 黼杰残辫噩攘导了魏模型静运动方程，在罨箨戆遘程t p 验证了a d 岛铲弦的作用量具有局域的一对称性。然后采用n a m b u - g o t o 作用量形式 改簧a i 岛铲弦豹作用擞，我们给戡a d 岛妒弦的k 对称性的靶空间形式。 其次，借助手连续的箍曲对儒变羧，我们褥翔a d & 驴弦煎依赖予自由参数a 的平联络和非定域的守恒衙。接着我们将此结果推广到其它的a d s 弦，例如：a d 岛 s 3 弦，鼻d 铲弦，掰魁北方法对霏醢界弦理论一a d 岛s 1 弦墩同样适用。 在a d 铲弦的情形，我们证明扭腩对偶变换与b p r 薛方法是等价的，箍然我们的 方法比b p r 的方法更直接有效，但熄扭曲对偶变换的物理含义仍然需要进一步的研 究。之蓐，番l 搠擎联络，我粕绘出连d s 。扩空瓣中著名豹k i l n n g 旋量方程。 最后，采用与k r r 参数化不同的方案，我们给出越群如下形式的非线性窝 现g ( z ，弘口) 一m ( 9 2 ( z ) 蚰( 们，这个形式使得我们的计算比k r r 参数化方案更加 蠢接、篱萃。僚霸予超群鹁参数毒 二，懑过鋈定k 对拣经，我嚣l 绘澎a i 岛妒弦在k 涵i 塔 规范下用超空间的坐标明箍写出的作用量的简洁形式。接着，通过类比的方法，我们 将此结果推广到a d s s 5 弦，得到与k r r 参数化方案完全一致的结果。本文最后， 我# 】介绍了相芙的可积场谂，通过辩二维霹积赫论的研究，我# 】给赉圈缎闲空闻y 酽 m 珧场规范化的w z n w 作用量。 关键词：g p e e n 一h 越弦，矗然弦，母较壤，s 对称牲，缝篷薅藕交按 s t u d yo nks y m m e t r ya i l di i l t e g r a b i l i t yo fa d ss t r i n g a n dr e l a t e dr e s e a r c h a b s t r a c t t h ea d s c f tc o r r e s p o n d e n c el l a sp l a y e da nl m p o 此a n tr o l ea n dh a saw i d e i yu s e i 8 t r i n g m t h e o r yi ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ea d s c f tc o r r e s p 。n d e n c ei n 恤ec a s e s w i t hl o w e rd i m e n s i o ns p 8 c e ，s i n c e 嬲at o ym o d e l ，恤e y 甜ee 抽i e rt oh a i l d l ef o rb e t t e r u n d e r s t a n d i n gt h ec o r r e 8 p o d e n c e i nt h i sp a p e r ，w ef o e u so nt h ea d 岛s 2s t r i n g ， t h e ng e n e r a l i z e 叫rr e 8 1 1 1 t st oo 恤e ra d ss t r i n g f i r 8 t l 弘w er e v i e wt h es u p e r c o s e tm e t h o da n da d 岛s 2s t r i n ga c t i o n w ea l s 0 g i v et h em a i l r e 卜c a r t a ne q u a t i 呻sb a s e 蛆o nt h e “( 1 ，1 1 2 ) s u p e r a l g e b r aa i l dd e r i v e e q l i a t i o i l so fm o t i o o fa d 岛s 2s t r i “g ，a n dt h eks y m m e t r yo f 4 d s 2 s 2s t r i n g a c t i o ni 8v e r m e ( 王a tt h es a m et i m e u s i n gt h en a m b u g o t oa c t i o no fa d 岛铲s t r i n g ， w ep r e s e n ta n 越t e r n a t i v ef o r m u l a t i o nf o rks y m i n e t r yo nt a r g e ts p e s e c o n d l 孔b ym t r o d u c i n gt h et w i s t e dd u mt r a i l s f o r m a t i o 玎，w ec o n s t r u c tt h e 丑a t c u r r e n t 8 ，a n dc o n s e r v e dn o n l o c a lc h a r g ew i t ho n ef r e ep 缸a h l e t e ra ，f 研t h es u p e r s t r i n g j na 娼铲b a c k g r o u n d7 r h e 卫w eg e n e r 胡j z eo u rj i 】e t h o dt oo t b e ra ( i s8 t 血g s ，s u c h a sa d 岛s 3s t n n g ，a d xs 58 t r i n g ，a n d 出s on o n c r i t i c 砒s t r i n g ：a d s 1s t r i i 堰 i na d s 5 s 5c a 8 e ，w e6 do u rm e t h o di se q i v 出e n tt ob p r sm e t h o d ，h o w e v e r ，o l l r t i w s t e dd u a lt r a n s f o 哪a t i 衄i sm u c hm o r ed i r e c t l ya n de 毋c i e n t l mb e 8 i d e 8i t 8p h y s i c a l m e a n i n gi ss t i j lu n k n 啪l i na d d i c t i 衄，w i t ht h e 丑a tc u f r e n t sw e 西v e 曲【ef a m 叫s k i l l i n ge q u a t i o ni n 且d t h i r d l y ，d i 脑e n t 而t ht h ek r r sm e t h o d ，w eg i v et h en o n _ h n e a rr e a l i z a t i o no ft h e s u p e r g r o u pi ng ( z ，玑目) = g l ( p ) 9 2 ( z 廊( ) f o r m ，w h i c hm a k e st h ec a l c u l a t i o nm u c h m o r e8 i m p i e ，t h e nw es i m p i i f y 恤ej 4 d 岛铲s t r i i ：曙a c t i o ni nk i i i i n gg a u g eb y 丘) 【i n gt h e k 母删e t y _ a 1 8 0 ，w eg e n e r a h z et h i sr e s u l t st oa d & s 58 t r i n ga n dg e tt h es a m ef 曲m f o rt h ea d s 5s t r i n ga c t i o na st h a ti nt l l ek r r sm e t h o da tl 船tw ep r e s e n t8 咖l e r e l a t e di n t e g r a b l e6 e l dt h e 0 w c o n l p a r i n gt ot h ec a s eo f2 di n t e g r a b l en e l dt h e o r y 1 l 骶g i 垤t h eg a u g e dw z n w a c t l o nf o ry a n 廿m 1 l l s 扣e l d si n 矗m rd i m e n s i o n a lm i n k o w s l 【i s p 8 c e k 刑o r d s ：g r e e n s c h w a r zs u p e r 8 t r i n g ，a d s8 t r i n g ，i n t e g r a b i l i t y ，ks y m m e t r y t w i s t e dd u a lt r a n s f ( ) r m a t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 ys 9 2 5 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子舨。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 左。二 学位论文作者签名：立避指导教师签名：! 坚! i 弘口6 年步月，尹目 d6 年s 月护日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：力唠摊 沙。占年岁月j 9 目 第一章引言 建立大统+ 的理论是物理学的宏伟目标之一。爱因斯坦建立相对论之后自然地想 到要统一当时公知的两种相赢作用：万有引力和电磁力。他花费了后半生近4 0 年的主 要精力去寻求和建立个统一理论，但未能成功。现在我们知道自然界中总共有四种 相互作用，而且在建立统一理论方面已取得很大的成功。粒子物理的标准模型已经将 除引力外的其余三种相互作用( 电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用) 统一起来， 并且取得了巨大的成功，理论预言电子的磁矩是1 0 0 1 1 5 9 6 5 2 1 9 3 个玻尔磁子，实验给出 的数值是1 0 0 1 1 5 l 6 5 2 1 8 8 ，两者在误差范围内是完全一致的，精确度达1 3 位有效数值。 所以它是迄今为i 最为成功的理论，然而标准模型却不能将引力纳入它的理论框架之 中。我们知道，相对论和量子理论是现代物理的两大基石，广义相对论是目前为止描 述引力最成功的理论，在小至太阳系，大至整个宇宙范围里，实验观测与理论很好地 符合。但在极端条件下。引出了时空奇异，显示了理论自身的不完善。就我们现在的认 识水平，量子场论和广义相对论是相互不自治的，因此量子场论和广义相对论应该在 一个更大的理论框架里统一起来。目前展有希望的候选者就是超弦理论。 超弦理论是人们抛弃了基本粒子是点粒子的假设而代之以基本粒子是一维弦的假 设建立起来的自洽的理论，自然界中的各种不同粒f 都是弦的不同振动模式f 1 ，2 1 。弦 理论是在1 9 6 8 年v e n e z i a n o 提出来解决强相互作用问题的矧，但是没有成功，因为理 论中总是存在自旋为2 的无质量粒子。我们现在知道最好的描述强相互作用的理论仍 然是量子色动力学，后来s c l l w 口z 等人将弦论中自旋为2 的无质量粒子解释为引力子， 使得弦理论重新获得了活力，变成一个包含引力在内的统一理论4 _ 6 1 。超弦理论自然 地要求引力存在，也包括规范场描述的电磁、弱和强相互作用。s c l l w ”z 作为弦理论的 创始人之一，在弦理论发展的过程中作出了巨大的贡献，我们本文讨论的问题大多都 跟他的工作相关。正是由于s c h w a r z 的杰出贡献，才使得弦理论在弦论发展的第次革 命之后，从只有几个人研究的对象变成全世界范围内研究的热门课题。 随着更多人的参与研究，人们发现弦理论包含着丰富的内容。在弦理论中不可避 免的包含超对称，额外维( 为了保证时空的l o r e n t z 协变性，玻色弦的时空维数是2 6 维， 超弦是1 0 维) 等，而且弦理论研究的对象也不仅仅是一维的弦，还会有点粒子，膜等。同 第一章引言 2 时人们发现理论上存在自洽的超弦理论不止一个，而且它们之问可能会有联系。现在， 人们已经知道十维的超弦理论，有五种不同的理论形式，它们分别是：i 型超弦、i i a 型 超弦、i i b 型超弦、bob 杂化弦、s d ( 3 2 ) 杂化弦。这些不同超弦理论可以用对偶性 建立起相互联系。弦论第二次革命的主将一w l t t e n ，系统的研究了对偶性，说明这 五种超弦理论都可统一在十一维的m 理论中。 超弦理论还成功地解释了( 极端) 黑洞的熵和辐射，这是第一次从微观理论出发， 利用统计物理和量子力学的基本原理，严格了导出了宏观物体黑洞的熵和辐射公式， 利用d _ b r a i l e 对黑洞熵的计算，是由s t m l i d 驴r 和v 也等人在1 9 9 6 年完成的| 7 1 。超弦 理论对黑洞熵的计算利用了“强弱对偶性”，即在具有一定超对称的情形下，超弦理论 中的某些d _ b r a n e 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变。利用这种对称性，处 于强耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下与 原先黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多n b r a e 构成，对这些n b r b i l e 状态进行统计所得到的熵和b e k e s 钯i n - h a w k i n e 公式完全一致，这是超弦理论最具体 的理论验证之一，充分说明了超弦理论是一个关于引力和其他相互作用力的正确理论。 弦理论作为一种大统一的理论，有很多引人注目的特点以及大量了不起的发现， 在调和引力与量子场论之间的矛盾方面显示出它自身的优越性，但是理论的清晰面貌 还没有完全呈现出来，所以下面我们仅介绍与本文相关的一些基础知识。 1 1 玻色弦 1 1 1 相对论性粒子 一个质量为m 的点粒子在d 维弯曲时空中的运动可以用第一原理描述，即通过作 用量的变分给出。因为一个经典自由粒子的运动总是沿着测地线，所以它的作用量应 当正比于点粒子世界线的长度 m l 如 这里我们采用自然单位制( = c = 1 ) 。在这个描述中时空的度规是由下式给出的 如2 = 一鼬。( x ) d x ”d x ”，( 1 2 ) 这里9 ，( x ) 描述了时空的几何，其中p = o ，d l 。因为在这里我们采用闵空间的 第一章引言 3 符号约定( 一十+ ) ，所以( 1 2 ) 式的右边添加负号，这样就能保证对于类时的轨线的 长度d s 是实的。粒子的世界线，也就是粒子的轨线选用r 作为参数可以记为x n ( r ) ，但 是它的作用量不依赖于参数化的选择方式。作用量( 1 1 ) 式可以改写为重参数化不变的 形式 岛：一m d r 正磊面历， ( ，3 ) 这里x 代表对r 的一阶导数。 在非相对论极限下作用量( 1 1 ) 式变为 s 。= 一m | 诉西二礤 = 一m 出以= 否 圭一m 出( ，一；铲+ t ) c - a ， 上式中第一项( 常数项) 就是著名的e = m c 2 项，第二项就是非相对论粒子的作用量( 动 能项) 。 上面给出的作用量( 1 1 ) 式，它的优点是物理意义非常明确t 但是却包含一个平方 根，所以它的量子化是非常困难的，而且很明显它还不能用来描述无质量的粒子。这 个问题可以通过引入辅助场e ( r ) 来克服，作用量( 11 ) 式改写为 岛= ；d r ( e 。戈2 其中 膏2 = 9 ，( x ) 膏“膏。 作用量( 1 5 ) 对辅助场e ( r ) 作变分，可以得到辅助场e ( r ) 的运动方程 m 2 e 2 + 戈2 ：0 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 从此运动方程中解出辅助场e ( r ) 带入到作用量( 1 5 ) 就给出了原来的作用量( 1 1 ) 式，这 说明岛和岛这两种形式是等价的。但是作用量( 1 5 ) 克服了( 1 1 ) 式的缺点。这两种形式 将在后面被推广用来构造玻色弦的作用量，分别就是我们下面要讲到的n a l b u _ g o t 0 作 用量和p 0 l y a k o v 作用量。 第一章引言 4 1 1 2n 鼬小g 0 t o 住粥量和p o l y 鞠k ( ) v 作用爨 这节里我们来讨论一椎弦在d 维的平直的m i n k o w 幽时空中的运动。弦作为一维的 耩对论秘葵，程d 维静霹窝串运费，藏会在嚣空审翱遘一巾二维瑟，这个二维嚣藏豫为 弦的世界面( w i d s h 喊) 。世界面上的点可以用坐标口o = r 和口1 = 口标记。如果口是周 期的，它就描述阅弦，如果取值在一个有限的区间，就对应搿弦。 弦的运动蜀以用弦的德莽蟊嵌入剩d 维的平蠹鲍m i n k o w 融时空来攒述。它静捧搠 量可以用与点粒子类比的办法得到 s 然tf 毒如， ( 1 8 ) 这里t 是弦的张力。缸2 是二维世界面的面积微元 酗= a 厨否=( 1 ) 其巾弦的世界颇上的诱导度规 ( k 一鱼。，凌x ”a 溶一( 1 1 0 ) 因丽( 18 ) 式可以改写成 s 一? ，出积在2 x t 擘t 碧) 2 ， ( t m ) 冀中 旁= 警，= 警， ( 1 1 1 2 ) 并且标量积定义为( a 口一。斗) 。这就是著名的n 龇n b u g o t o 作用爨。在n a l b l p g 啦。的形式中积分代表了二二维世界耐的面积，所以弦在d 维的平直的m i n 如w s k i 时空 串盼运动蔬取弦的整赛露驻最小蟊积嵌入到髓空。因两n 南* g 。t o 海弼壤氇有 i 常 好的物理解释一一就是弦的世界面的丽积。尽管如此，n a m b m g o t o 作用缴因为也包含 一个平方摄，所以同样存在量子他的灏难，但是它嗣撵也舂一个等价翡描述形式，那 就楚p b l y 豳w 棒雳量。 采用p 0 1 蝴作用量米描述时，我们引入二维世界面上的度规 “，它的作用相当 于稳嚣我们g | 入貔辘劲场8 ( r ) 。定义 = d e t ，一= ( “) ， ( 1 1 3 ) 第章引吉 5 翊p o l y 如v 髂用量写成 s 一去d 池确“蜘挠x “魄一 ( 1 1 4 ) 式中为r e g g e 斜率，是一个与弦的纂本长度有关的常数。豫的基本长度定义为 g = 2 7 r d ( 1 1 5 ) p 0 1 ) 稍v 作用量较n a m b u g o t o 形式多 f 入个辅助场懿k 。与前丽的讨论类戗， 我们可以得到辅助场量k b 的运动方程 鼙抖。菇x ”磊x ”一熹b 女 4 鼬，磊x 一壤x ”一o ，( 1 1 镑 将上式带入剐p 0 1 ”k o v 作用量，就给出了n a n l b m g 。t o 作用擞。换言之，对于辅助场 爨矗赫来说，p o l 洳箨弱藿在壳瓣壤形藏是n a 瓣b u 。g 。扔雩# 瓣蘩。 同时p o l y 洳v 作用爨的对称性也增加了。恩体地，p o l y 娥o v 作用量肖以下的对称 性： d 维p 鞠l c a r e 瓣称镶 x ”竺a # x ”十n ”( 1 ，1 7 ) 越翼螬是l o 删z 转动，扩表示平移。 世界瑟上的微分同胚不变性 x 。“( 萨，r ) 一x ”( 口，r ) ( 1 。1 8 ) 世界丽上的局域w i y l 不变性 屹= 一”b ，科p = o ，( 11 9 ) 在( 1 1 9 ) 式的褒换下， 、， 写一e 晰7 ) 鬲，护一e 叫州扩 ( 1 2 0 ) 这两项的贡献芷好抵消摔了，所以n l l y a l 【d v 作用麓在此变换下不变，这怒p o l y 豳v 作 用量独有的对称性，在n 如u _ g o t o 作用量中没有这样的对称性。这是由( 1 ，1 6 ) 式保诳 瓣，嚣藐魂量强量是无逶鹣，困毙辅萌场董矗女蠢p 。l y 豳v 筝臻羹没畜动簸瑗，蘑 三l 辩 它的变分就给如了能动鬣张量。 第一章引言 6 1 2超弦和g r e e n - s c h ，a i r z 超弦 玻色弦尽管有漂亮的数学形式，但是理论中也存在很大的缺陷，例如理论中没有 费米子但是却存在快子。要解决这个问题可以通过引入费米子来实现超对称，从而消 除快子。在玻色弦理论中引入超对称，就得到超弦理论。在超弦理论中，引入超对称的 方式有两种：一种是在弦的世界面上引入费密自由度，即在二维世界面上引入超对称， 这种超弦模型被称为n e v e u s c h w a * 砌l 1 0 n d ( n s r ) 模型 8 1 ；另一种是在时空中直接 引入超对称，所得到的模型称为g r e e n s c h w a r z ( g s ) 超弦模型| 9 ，10 1 。 p i e r r er a m o n d 是在弦理论中最早引入费米子的人，1 9 7 1 年，当时弦理论刚刚流行 起来，r a i n o n d 就考虑如何在弦理论中引进带半整数自旋的激发态( 即费米子) 1 1 。作 为狄拉克矩阵的推广，他在弦运动起来的世界面上引进了费米场，并满足周期条件。非 常类似狄拉克，m i m o n d 的理论中所有弦的激发态都是时空中的费米子。虽然m i i i l o n d 引入了费米子，但是o n d 的理论中仍然没有时空的超对称，因为r l o d 的理论 中只有时空中的费米子，而弦的世界面上既有费米场，也有玻色场，所以世界面上具 有超对称。勋m o n d 的理论现在又叫r a m o n d 分支( 砌i l o n ds e c t o r ) ，因为它是两种可 能的分支之一。弦理论中另外一个分支是n e v e u s c 1 w ”z 分支。n e v e u 和s c h w 8 r z 希 望能在m o n d 的模型中加入时空中的玻色子。为了避免狄拉克矩阵的出现，他们要 求l o n d 的世界面上的费米场没有零模，这样所有的模的阶就必须是半整数，即要求 世界面上的费米场满足反周期条件。这样构造出的弦的激发态都是时空中的玻色子。 这个新的分支叫n e v e u s d l w w z 分支，对于n e v e u _ s c h w a r z 分支来说，世界面上仍有超 对称。将费米弦的两个分支，m i i o d 分支和n e v e u s c h w a r z 分支，合起来似乎就有了 时空超对称，但超对称的一个基本要求还没有被满足，就是给定一个质量，必须有相 同多的玻色子和费米子。1 9 7 6 年，g l i o z z i ，s c h e r k 和o l i v e 三人引入g s o 投射 12 】，去 掉酗m o n d 分支以及n e v e u s c h w a r z 分支中一些态，这样时空中就有了超对称，特别是 原来的快子也被投射出去，同时消除了真空稳定性问题。 n s r 弦模型的特点是在二维面上( 弦的世界面) 引入超对称，费密场量在十维的时 空中表现为玻色量的性质，这样卜维时空中超对称的起源就不容易理解了。时空中的 玻色子与费密子分别对应于选取不同的边界条件，即n e v e u s c h w a r z 分支和m i i n o n d 一 砌。0 n d 分支。通过g s o 投射，可以实现时空的超对称。n s r 模型弦的作用量是线性 第一章引言 7 的，并且是很容易量子他，所以我们程p 。i c h i i 斌i 的书中经常觅到的就怒这种模型。 超对称的另外一种引入方式是g r e e n s c h w w z 硼描述方式，即直接在十维时空l 入蛰寒子， i 蠹趣弦豹毽雾嚣秘然是拿玻色瓣二维囊，这辑，辩空豹起对称睦鸯然满 照。g r e e m 8 c 1 1 w a r z 超弦的作用量形式具有明显的协变性，同时它还有局域的费米对称 性【1 0 ，l 司：k 对称性。但这种模型的作用量是高度非线性的，对它进行协变量子化是非 辩蕹难鹣。本文辛我 l 簸楚采露g f e e s 磕超弦箍述方式，簧越下露筏嚣】套绍麴簪l 构造出g r n s c h w ”z 超弦的作用量。 g n 珞e b m r z 超弦的作用量是g f e e n 和s c h m m “受超对称粒子的作用量的启发构 造出来豹掰狱我 】首先弱颇超对称粒子於俸瘸鬟。其有协爱往的超对称扩充隽a 臻q 糙子的作用擞是 1r 、2 s ip 旷 如一 即叫 ( 1 融) 一。 = l 这里的y _ 1 为粒子世界线的积分测度。作用量具有局域的世界线上的熏参数不变性， 势且还具有熬体豹超p o i n c 8 r e 不变蛙以及v 扩充的整体超对称不变性 最舻一e 蠡= l 穸扩， 丘y = 0 f 1 2 2 ) ( 1 鹑) f 1 2 4 ) 接e 薛f 1 3 l 发瑰上述瓣作翊量狳筵毒整律豹越澍稼牲照，羚葬重它还其毒是壤豹赞 米对称性。s i e g e i 为了与藏体的超对称性区分，他将这种局域的超对称性称之为k 对称 性：( 勰t 称性是s i e g e l 最早发现的，赝以经常也被猕之为s i e g e l 对称性) 其中 以x p 一一驴7 + 4 最扩= 订，p ， & y = 4 矿酞 矿一童# 一舻矿萨 ( 1 2 5 】 ( 1 嘲 ( 1 2 7 ) ( 2 8 ) 第一章引宙 8 嚣要指出的燕，k 对称髓既不是平常的时空超辩称，也不建趣粒子整界线上的超对称 性。事实上，我们在粒子的世界线上就没有引入旋量。 与超对琢浆粒子憾搅类叛，g e 和s c h 掏造出具肖弱域x 对称性的超弦的作 粥量f 1 0 1 s 。如打( l l + 厶) ， ( 1 捌 二l = 一妻、，：蚕矿芦嚣拳f l 舻，( 1 3 嘭 五2 = 一魄蛰萨羁缈一铲蚀勘扩) + e 啦萨7 “魄口1 沪印萨( 1 3 1 ) 逡里 i 瑶一魄x 一一l 驴矿菇驴( 1 勰) 容易验证，上述所构造的超弦作用量在整体超对称变挽下( 1 ，2 2 _ 1 2 4 ) 是不变的。同 撵匏，这辩麓弦弱终弱爨氇其舂羁域匏费寒对称瞧：藤称谯。 为了得到世界面上的狲变理论，我们要求夜傲局域超对称变换时，无穷小变换参 数n 应该携骺世界面上的矢量指标。这时，s 有三个指标：n “n 。这里 = l ，2 ，对应 子扩，表示= 2 瓣超对称，砖静取缓也可敬遥纯兔其喜一个，罪薤对歉= l 熬怒辩 称。o = 1 ，2 是超弦世界衙上的矢量指标。o 是时空的旋量指标，经常省略不写。利用投 影冀子璎9 ，可以将世界灏上的矢璧分为自偶与反自缓部分。投影算予定义为： 掣一；士务) 葵孛，g 胡为弦世器嚣上豹度援，f 印楚二跨静k g i 访t a 蛰号。这撵定义豹投影棼予 满足： 聪4 鼽噬5 一蠼6 ，( 1 3 4 ) 霹8 9 融霉一o ， ( 13 国 f 埠q 2 ：鹾8 ，( 1 ，3 6 ) 翠乎= 掣掣。( 1 翮 第一章引亩 9 一在a = l 时对应于反自髑的情形，a = 2 对应予自偶的情形，郎 s “= 掣砖， n 2 “一珲4 喀 于是局域的超对称变换如下 ( 13 ) ( 1 3 9 ) 文日1 一就璎f 竺8 k 5 ，( 1 妁) 最萨一2 澄! 强嚣8 蠕，1 4 1 ) 6 。x “= 一酽1 “6 。酽，( 14 2 ) 炙乒为。9 ) 一一强弓( 掣掣凳；岛8 1 + 甲群5 霉岛8 2 ) ( 1 4 3 ) 这里的一1 和舻可以有相同溅者相反的十维手征性，它们分别对应于i m 与i l a 超弦理论。 利用g r e e n s h w a r t z 恒等式，作用量在超对称变换下变为， 蹦一如打 一i 6 ( v 7 = 每护8 ) n ：n 印一4 i ，二：( ，妙嘞萨瑚1 + 黟如扩船2 ) 3 ( 1 ，4 4 ) 由上式容易证明作用量程髑域的超对称变换( 1 ，) 一( 1 4 3 ) 下怒不变的。 对作用巅作变分可以得到运动方程： n 苫n 肟拦；强辟矿5 n # n 脚， ( 1 4 5 ) h ：建4 岛口1 0 ，( 1 4 6 ) “：卑4 审口2 一o ， ( 14 7 ) 魄( j ( 扩4 幽j p 一2 l p l 4 口1 如口1 2 ；肆4 俨鳓口2 ) ) = o ( 1 鸫) 上述的第一个方程是作用纛对度规变分得到酶，它相当于能动量张量等予攀。显然这 些方程都是戴杂的非线性方程，处理起来是比较困难的，但是在光锥靓范下，这些方 穗碍瑷丈夫链他，量子她的程_ 亭也可以进行。 第一章引言 1 0 童。3a d s 弦 在十维的超引力理论中存在一种特殊的背最解一，d 繇s 5 空间，具有最大时 空对称性，它是d 3 瀵释瓣援赛辫近鹣凡嚣 。2 3 i ) 2 如2 一帚( 一舻+ 出如) 十等2 + r 。搠：) + 扛：l 2 3 n e = 景( 一舻+ 如痧) + 筹护+ r 诵吾 ( 1 4 9 ) 挥l 此即为a d 魏s 5 的度规形式，它是i i b 超弦理谂中具有最大时空对称憔的解之一f 1 4 ， l 镶。簸上瑶酌褒褒我嚣j 罐绫看出的鼻撼迭赛其窭辘是我秘熟悉静鞫臻阂空闻。表蕊上 辫起来a 碱背景中i i b 越弦理论与它的边界上的超对称规范理论毫无联系，因为超弦理 论是与量子g l 力有关的理论，面超对称援范理论不包含引力俸用。1 9 9 7 馨，m a l d 8 c e n 8 1 6 ，1 司研究了在脚爵妒背景中酌l i b 超弦理论与3 + i 维时空的一4 鳇超弧糖 m i l l s ( s y m ) 理论之问的关系，提出了个大胆的猜想：a d 岛s 5 背景中的i i b 超 弦理论完全等傍予靼维 厂= 4 的其蠢超共形对褥性的超对称撬范理论，这蓑是著寮 的m a l d a c e n 满想，现在人们也经常称之为a d s c f t 对应。其实，早在二十世纪七十 年代，t h o o f t 就提出：在大n 情况下，规范场论中的平面费蜕圈将给出生要贡献【1 8 1 ， 麸这一缝谂爨发，p 霜￥灏f 荦就猿溅大n 攫蔻场论霹鞋雳( 菲旗赛) 波理论来攒述 f l9 1 。m a l d a c e n a 猜铡当然非常之大胆，以至于当时很多人都不敢接受它。之后，、矶t t e n 和p o l a y a k o v 分别作了细致深入的分析和研究，才使得a d s g f t 对应的猜想被人们髓 涟接受 2 嘲。事实主由予$ 理论秘撬范理论按述熬不目，簧绘逡a d s ，g f 零对瘦貔煮接 诚据是非常豳难的。尽管人们现在还不能完全给出a d s c f t 对应的证据，但是目前人 们已经发现缀多迹象说明豫理论和规范理论之潞存在着某些对应关系f 2 l ，2 2 】，更重娶 的是在p p 波释景下| 2 翻，a d s ，c 譬辩应已经褥到魄较好静疆实。 a d s c f i 对应将 d 既s 5 背壤中i i b 超弦理论与a d 边( 四维时空) 上具有拱 形对称性鳃一4 超对称燕范理论联系起来。翔栗我们毒一方的犍确理论，根 据a d s c f t 对应的猜想，我们就可褥捌对虚另一方的理论描述。铡如由a d s g l t 对 威，d = 4 ，= 4 的非微扰规范理论，等价予在4 d 背景中的缀典的( 树图近 锨) l l b 超弦臻论 l 麓。削s g 雅对应蠢缀多瘟鼹秘摊广。在菜摊意义上巍，a d s ，疆礞j l 重 成实现了全息原理，全息原理预言一定空间区域中的量子引力理论可以用此空间的边 籍一章引言 群上的鑫由瑾来描述f 2 4 2 翻。按照蟊翡的麓点，a d s 疆t 对庭可鞋推广翻更为普遍的 情形，即超豫的背景时空可以是非a d s 时空，并腻对应另一方可以是不鼠有共形对称 性舱超对称规范理论瑶穰。 a d s 舻背景中的l l b 超弦理论，由于背案中含有m 目0 n d - r a m o n d 四阶反对猕 张量场o ，用超弦的r n s 形式来描述是非常困难的【2 6 1 ，而采用具有明鼹时空超对称 静g s 形式是比较方便静。搬s 形式燕在毽器瑶! = | 入舄域熬超对爨；g 8 形式是妻接 在十维时空中引进超对称，是将玻色的世界面嵌入到陪集趣空问晶翟s ；中，越 空间的玻色坐标是1 0 个，赞密坐标是3 2 个。1 9 9 8 年m e t s 8 e v 和i 铆_ 1 i 发明了超陪集 豹方法，蓄壳擒遣壅血s 蕃s 5 鹜景巾运动静 薹bg s 穗f z 趣弦夔捧嗣萋翻， 此模型可以看作是一个在陪集丽簧；嚣上含有w e s s - z u i n i n o 项的二维非线性口模型 ，2 8 1 ，它在激平直极限时就剜到我们前面介绍的1 0 维闽空间的g s 弦的作用量。此模 型不仅其富熬体p s f ( 2 ，2 1 4 ) 超对称赣，嗣时还暴露超弦毽赛藤上届域的越对称往：对 称性。之后超陪集的方法被广泛应用，并且构造出其它的a d s 弦模型f 2 卧3 4 1 ，其中包 拯一d 壤s 3 弦和a d s 2 妒弦等，这蹙背景基本上都是l o 维趣g 力d 膜解在视界附避 的时空。下面我们列出凡斡常觅的a d s 背景及其辩应的d 膜倥形和超陪豢： a d s 背景d 膜位形超陪集 碾珐 p s h 拉。霸4 ) s o f 4 ，l o s o f 辞 m u f l 1 1 2 2 a d 岛铲 d l d 5 s o ( 2 ，1 1 0 s o 侣) 删岛铲d b d p s u ( 1 ，1j 2 ) s o l ，1 ) 窟s o f 2 ) 氇诲歪燕入们对a d s g 薹鼍对痤豹滚簿装趣，使得弦理论秽篾范理论帮褥至l 广泛豹 研究。研究表明，在四维的量子规范螨理论中存氍着一些可积结构f 3 5 _ 3 8 1 。特别是i 琏 年来在对一4 的超对称媲范理论研究时，发现宅存在着与囟旋链系统相嗣豹可积结 构f 3 9 - 4 率谯劈一方露。b e n a 陲3 ， 等发瑶 d 酝xs 5 努最巾的g f e e * s c b w a r z ( g 辩 i i b 超弦在世界面上存在蓿无穷多的非局域守恒流，这意味糟g si i b 超弦的二维世界 藤的理论是可获瓣疆嗣。遴勰告诉我 f j 酉以剩翊可歉摸型中的方法来研究g s 弦h 6 ，4 7 。 最近有关a d s 弦的可积结构等方面的闷题得到充分的研究。像是a d s 背景中的g s 弦由 予作用量的高度非线性，从文献【2 7 1 中我们可以肴出它的作用量用超空问的坐标几乎 楚不霹毵写爨来熬，瑰褰我嚣】絮遘a d s 弦豹捧薅蘩援在某些特豫情况下考霹强硬显撼 写出，例如光锥规范，p p 波极限等。k 棚。s h ，m 山m f e l d ，r a j 8 r a m a i i ( k r r ) 在k i l l i l l g 撬 第一章引言 范下，通过固定k 对称性，消除了费米量的高次项，得到一个有限形式【4 p 5 1 。本文 的后半部分，我们采用同样的规范，但是采用与k r r 不同的参数化方案，给出简化 的a d s 2 s 2 弦的作用量，并将此结果推广到a d s 5 s 5 弦，得到的形式与k r r 的结 果完全+ 致，但是我们的方案要比他们的简单，容易的多。这从另外一个角度也说明 了a d s 弦的作用量不依赖于具体参数化的选择，即作用量具有重参数化不变性。g s 弦 由于作用量的高度非线性，所以理论的量子化是非常困难的问题，最近，b e 曲v i t s 等 人通过引入p u r es p i n o rf 52 1 ，介绍了一种协变量子化的方案 5 3 ，叫，此方面的工作仍 在进一步研究中f 5 5 _ 5 9 1 。 m a l d 8 c e 携测非常重要，而且有广泛的应用。目前，尽管人们还不能完全证 实m a l d a c e 精测，但是许多人都在从事这方面的研究。而且试图从不同的角度去验 证m a l d 8 c e n 捕测。作为前期的准备工作，我们的工作将有助于此方面的研究工作。本 文中我们着重研究a d s 弦的作用量，k 对称性以及它的可积性。由于a d s 2 伊弦维数 小，便于计算和书写，而且它与其它a d s 背景中的g s 弦非常类似，所以不失一般性，我 们将以a d s 2 s 2 弦为例，仔细研究a d s 弦的k 对称性与可积性。第二章通过超陪集的 方法构造a d 岛铲弦的作用量，推导运动方程，研究它的k 对称性；第三章我们利用 二维世界面上连续的对偶变换构造含有自由参数的平联络，证明a d 岛铲弦是可积 的，并且给出了一般a d s 背景上的k i l l i n g 旋量方程和k i l l i n g 旋量，此旋量将在后蘧简化 作用量时非常重要：第四章我们给出了k 对称性的靶空间形式；第五章我们给出超群的 具体的参数化，利用前面给出的k i l l i n g 旋量将a d s 2 铲弦的作用量用超空间的坐标明 显表达出来；第六章介绍了相关的可积场论，通过对二维可积场论的研究，我们给出 四维闵空间y a n g m i l l s 场的规范化的w z n w 作用量。 鼙二睾众露两铲弦麓俸掰量 在a d 岛s 2 背景中运动的g s 超弦简称且d 岛铲弦，它的作用量可以利用超陪煞的 方法构造。怒空闻嘉翟嚣；潞兹玻热帮分为器爨；i ；嚣= 蠢妫，霆熬 娲黟弦 可以看作为陪集超空间蕊第； 丢；i = 的s 逗m a 模型，它的作用量由动能项和w z 项组 成 3 q 。下蒯我们先来介绍舻u ( 1 ，1 1 2 ) 超代数。 2 1 妒“( 1 ，1 1 2 ) 超代数 趣臻筠扩f l ，l 2 ) 夔璇色生或元蹩蔗娲鞫舻土戆平移鞠转动葬予 r ，j 和r ， 一f 窀瓣费米生或是是嚣令嚣维窒阕熬辅8 矗w 磅l 旋量q 。，j ( 8 ，曩= l ，2 j = l ，2 ) 。 程本文的讨论中我们采用与文献 2 7 】相同的约浅。对于a d 虢铲弦，通常的拉丁字 母n ，6 = o ，l 阁来标记s 0 ( 1 ，1 ) 矢量指标( a d 靶空闻) 。带撇的拉丁字母，= 2 ，3 蠲皋嚣记卵f 2 ) 矢量箨稼逶常靛希瓣字母8 ，芦一l ，2 霜来轹记s 0 ( 1 ，1 ) 旋董撵拣。鬻 撇的希腊字姆一，= 1 ，2 甩来标记s 0 ( 2 ) 旋量指标。同时我们约定2x2 的反对称矩 阵q ，= 一m # = l ，并且s ”i 戒螂( 1 ，一1 ) 用来缩并指据，= l ，2 。翱维的d i r 8 c 矩 阵r 臣及楣斑盼电荷共辘矩阵g 表毋如下 r 。拦oj ，r 一= j o 一，c = c o d ，( 2 1 ) 这攫f 是2 2 的单位艇阵。骝( 1 ，1 ) 帮s 0 ( 2 ) q i 如r d 代数的生成元爨2 2 矩阵一k 和， ：) ：) ， 拣， 一2 铷， w ，船一2 w 1 3 ( 2 2 ) ( 2 3 ) o o o 8 ，f，f，l | i | l h 强 ；，7 0 ；o 0 o 、哪 ，ffl，f，l | | 一一 第二章a d 铲弦的作用量 这堡。= d i 裙 一l ，l ，稚f = d i 蜒 l ，l 。芬基窀蘸共辘怒簿舞 剧= ( ：三) 同时共轭的趣荷o 。d ，定义为 q f = ( q j ) 2 。 p 8 “( 1 ，l 2 ) 怒代数如下 圪，只】= 山， 隰t ，转l = 一五 【如，吲= 【如，如卜o ， 殴，文 = 轴只一珞 只，矗d 】= 啦，乃，日， 融，翻= 一；哪国 口，鼗，】_ ；啪q j ， ( 2 4 ) ( 2 + 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 ，9 ) ( 2 1 0 ) f 2 1 1 ) (