（岩土工程专业论文）地下工程开挖对临近隧道变形的影响分析.pdf

摘要 摘要 越来越多的地下开挖工程位于已建隧道之两侧，其开挖必然引起周围地层 移动而导致隧道的纵向变形，严重威胁隧道安全。如何预测和控制地下工程开 挖所引起的隧道纵向变形，确保隧道安全运行成为急待解决的问题。 天然地基土一般呈层状分布，而目前计算地基附加应力和沉降多是基于各 向同性的弹性半空间地基模型，为了很好地解决成层地基的计算问题，本文将 地基视为分层均质的弹性层状半空间地基模型。 从各向同性弹性力学基本方程出发，基于轴对称空间课题应力与位移的一 般解答，直接推导出单层地基的初始函数解答，即传递矩阵，并采用传递矩阵 的方法来求解多层地基问题。利用传递矩阵法推导出多层地基在轴对称荷载作 用下的附加应力与位移的解析解，可以方便地求出层状地基中的附加应力和位 移。 采用两阶段分析方法，基于弹性地基梁有限差分原理，提出了临近开挖对 既有隧道纵向变形影响的简化计算方法。第一阶段计算出由于开挖引起的土体 附加应力或土体自由位移场；第二阶段基于弹性层状半空间地基模型将既有隧 道视为弹性地基无限长梁，并将土体附加应力或土体自由位移施加于隧道，最 后建立求解隧道纵向变形的差分方程式，通过分析计算从而得到隧道纵向位移。 最后结合典型算例和文献算例进行分析，研究了影响隧道纵向变形的不同 因素，验证了本文方法的有效性，可为合理制定临近开挖对既有隧道的保护措 旌提供一定的依据。 关键词：地下隧道；纵向变形；层状地基；有限差分法；弹性地基梁； 弹性层状半空间地基模型 a b s t r a c t a b s t r a c t m o r ea n dm o r eu n d e r g r o u n de x c a v a t i o n sa r eb u i l ta d j a c e n tt ot h et u n n e l s i n s u c hac l o s ed i s t a n c e ，i tw i l li n d u c et h ed e f o r m a t i o no fs o f t - c l a y ，r e s u l ti nt h e l o n g j l t u d i n a ld e f o r m a t i o no ft u n n e l sa n dt h r e a t e ng r e a t l yo nt u n n e l h o wt op r e d i c ta n d c o n t r o lt h el o n g i t u d i n a ld e f o r m a t i o na n dh o wt op r o t e c tt u n n e li sav e r yi m p o r t a n t p r o b l e m n a t u r a l l y ，s o i li sd e p o s i t sl a y e r e d h o w e v e re l a s t i ch a l f - s p a c ef o u n d a t i o nm o d e l o fi s o t r o p i ci ss t i l la p p l i e dt oc a l c u l a t ea d d i t i o n a ls t r e s sa n ds e t t l e m e n t t or e s o l v et h e p r o b l e m so fl a y e r e ds o i l ，i tc o u l db er e g a r d e da se l a s t i cl a y e r e dh a l f - s p a c ef o u n d a t i o n m o d e lo fu n i f o r mh o m o g e n i z a t i o ni ne a c hl a y e r b a s e do nt h eg e n e r a ls o l u t i o no fa x i s y m m e t r i cs p a t i a lp r o b l e m ，w eu s et h eb a s i c e q u a t i o no fi s o t r o p i ce l a s t i cm e c h a n i c st od e r i v et h ei n i t i a lp a r a m e t e rs o l u t i o no f o n e - l a y e rs u b s o i l - t h e t r a n s f e rm a t r i x t h et r a n s f e rm a t r i xm e t h o di sd i r e c t l yd e d u c e d a n da p p l i e di nt h es o l u t i o no fl a y e r e ds u b s o i lp r o b l e m s t h ea n a l y t i cs o l u t i o n so f i s o t r o p i ce l a s t i cl a y e r e ds o i lu n d e ra x i a l l ys y m m e t r i cl o a d sw e r ed e r i v e df r o mb y m e a n so ft r a n s f e r m a t r i xm e t h o d b yt h er e s u l t ，t h ea d d i t i o n a ls t r e s sa n dd i s p l a c e m e n t i nl a y e r e ds o i lc a l le a s i l yb ec a l c u l a t e d as i m p l et w o - s t a g em e t h o db a s e do nf i n i t ed i f f e r e n c ep r i n c i p l eo fe l a s t i c f o u n d a t i o nb e a mf o rd e t e r m i n i n gt h el o n g i t u d i n a ld e f o r m a t i o no fe x i s t i n gt u n n e l si n s o i lc a u s e db ya d j a c e n te x c a v a t i o nw a sp r e s e n t e d t h ea d d i t i o n a ls t r e s so fs o i lo rt h e f r e es o i ls e t t l e m e n ti n d u c e db ya d j a c e n te x c a v a t i o nw a sc a l c u l a t e di nt h ef i r s ts t a g e ；i n t h es e c o n ds t a g et h ee x i s t i n gt u n n e lw a sr e g a r d e da st h eb e a mw i t hi n f i n i t el e n g t ho n e l a s t i cf o u n d a t i o nb a s e do ne l a s t i cl a y e r e dh a l f - s p a c ef o u n d a t i o nm o d e l ，c o m p o s i n g a d d i t i o n a ls t r e s so fs o i lo rf r e es o i ls e t t l e m e n tt ot u n n e l ，t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o ni n o r d e rt os o l v el o n g i t u d i n a ld e f o r m a t i o nw a sb u i l tu p ，a n dt h ea n a l y t i c a lc a l c u l a t i o n f o r m u l ao f l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n tw e r eo b t a i n e d f i n a l l yt h ev a l i d i t ya n da c c u r a c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o dw a sd e m o n s t r a t e dw i t h t h et y p i c a le x a m p l ea n dd o c u m e n tc a s e ，a n dt h ed i f f e r e n tf a c t o r sw h i c ha f f e c t e d l o n g i t u d i n a ld e f o r m a t i o nw e r es t u d i e d ，i tm a yp r o v i d ec e r t a i nb a s i st od r a wu p c o r r e c t l yp r o t e c t i v e m e a s u r e m e n t so f e x i s t i n g t u n n e l si n f l u e n c e db ya d j a c e n t e x c a v a t i o n 1 1 a b s t r a c t k e yw o r d s ：t u n n e l ；l o n g i t u d i n a ld e f o r m a t i o n ；m u l t i - l a y e r e df o u n d a t i o n ；f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ；e l a s t i cf o u n d a t i o nb e a m ；e l a s t i cl a y e r e dh a l f - s p a c e f o u n d a t i o nm o d e l i i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 高褥 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：韶嗬、 ) 盯锌多月) - oe t 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 论文研究背景和意义 城市地下空间的开发是大城市发展的必然趋势，也是衡量城市现代化的重 要标志。近年来，随着上海地区城市地下工程的迅猛发展，施工区域与临近既 有隧道的距离越来越近，从而对既有隧道的结构安全造成严重威胁。因此，针 对地下工程开挖所引起的隧道变形问题进行研究，就显得非常有必要。 类似距离地铁结构仅3 m 远的大型深基坑开挖、大面积的隧道上方卸载、大 管径管道从地铁结构上下方近距离穿越等项目并不鲜见。同时，随着城市地下 空间开发的规模越来越大，新的问题也越来越多，多条地下隧道的交叉穿越也 越来越频繁，如：上海m 8 线地下二层的人民广场站与一号线车站共用地下围护 结构；明珠二期地下三层的上海体育馆站从一号线地下二层车站的底板下方穿 过；明珠二期区间紧靠明珠一期高架桥墩基础；明珠二期隧道下穿地铁二号线 隧道( 如张杨路到浦电路站盾构交叉下穿地铁二号线，最小净距仅1 4 4 m ) 等。 临近基坑开挖和隧道开挖等地下工程施工将会对地铁隧道的纵向不均匀变 形产生直接影响，严重者将导致隧道管片接缝过度张开甚至漏水，隧道的纵向 变形及其结构性能开始引起工程界的高度重视，然而，对于地铁隧道纵向结构 变形的研究却远远滞后于工程实践，迫切需要在理论上寻求解决方法及提出相 应的隧道保护措施。 大多数工程建设和环境因素变化并非直接向地铁隧道作用附加荷载，而是 由于改变了工程周围地层的位移场间接影响隧道结构的，地铁隧道的直接反应 是发生隧道的横向和纵向变形，特别是纵向变形，由于隧道本身的结构特点而 对其非常敏感，然而正是由于这种作用于隧道结构上附加荷载的非直接性及其 与土体间的相互作用，使得问题变得非常复杂。变形分析是隧道结构计算中的 一个重要的内容，和隧道研究的整体发展水平相适应，对隧道变形的认识目前 主要在其横向结构特性上，如通过计算和实测收敛值判断隧道的结构稳定性。 然而，隧道的抗纵向变形能力很脆弱，引起隧道变形的因素通常是导致隧道变 形向不利的方向发展。在隧道纵向变形或曲率半径达到一定的量值后，就可能 第1 章绪论 出现管片环缝张开量过大而漏水或管片纵向受拉破坏。为保证地铁运行的安全， 研究和正确分析地铁的纵向变形显得非常重要。 这一状况随着研究人员对隧道纵向变形性能的关注正在发生改变，工程环 境变化引起的地铁隧道纵向不均匀变形问题的日益增多，也使得技术人员对隧 道结构的空问问题越来越重视，对隧道纵向变形结构性能的研究正在成为软土 隧道理论发展方向之一。 地铁是城市的生命线工程，对隧道变形甚为敏感，地铁隧道所处环境复杂， 影响其变形的因素众多，并且随着城市建设的快速发展不断发生变化，加上目 前对软土隧道本身及其周边土工环境相互作用机理认识的不足，地铁保护往往 也采用比较高的标准。以上海地铁工程为例，上海地铁专家针对上海地质条件、 上海地铁结构特点、列车性能及运行条件，参照了国内外相关资料，在进行了 大量工程和技术比较后制定一套适合本市实际情况的地铁保护技术标准，量化 地提出了施工引起地铁隧道变形的控制值，并以此标准来保护地铁安全、指导 设计施工。目前已制定对建成地铁保护的暂行技术标准： 由于深基坑开挖、盾构或顶管推进等各种卸载和加载的建筑施工活动，对 已建成地铁工程设施的综合影响的定量尺度，必须符合以下标准： 在地铁工程( 外边线) 两侧邻近的3 m 距离范围内不能进行建筑施工。自地 铁车站中心线起算的5 0 m ( 区间隧道中心线起算为3 0 m ) 两侧施工，要严格符 合以下条款：地铁结构的绝对沉降量及水平位移量均应小于等于2 0 m m ，地铁隧 道产生纵向位移引起圆形管片衬砌结构的径向变形应小于等于l o m m ( 包括各种 加载和卸载的最终位移量) ；隧道水平和纵向变形曲线的曲率半径应满足 r 1 5 0 0 0 m ：隧道相对弯曲小于等于1 2 5 0 0 。 1 2 国内外研究现状及文献综述 1 2 1 弹性层状地基理论 天然地基土并非是均质的，一般呈层状分布，往往我们可以把地基土视为 分层均质的。而目前计算地基附加应力和沉降多是基于均质各向同性半无限弹 性体的b 0 u s s i n e s q 解，为了很好地解决成层地基模型的计算问题，许多学者已经 致力于这方面的研究。 2 第1 章绪论 最早研究层状地基的b i o t ( 1 9 3 5 ) 和b u r m i s t e r ( 1 9 4 5 ) 等，根据各土层交界 处的四个连续条件和边界条件，通过联立方程组确定各土层微分方程解答中的 任意常数，从而确定圆形荷载作用下的地基位移和应力，该法求解比较麻烦， 当层数较多时计算工作量非常大。 b u f e r ( 1 9 7 1 ) 和b a h a r ( 1 9 7 2 ) 各自独立地提出了传递矩阵法，利用c a y l e y - - h a m i t o n 定理，分别对二维和三维的各向同性弹性层推出了它们的传递矩阵。 王凯( 1 9 8 2 ) 根据弹性力学基本方程式，运用逐步“递推回代法 ，由有关的 线性代数方程组解出了任意n 层弹性连续体系各层应力和位移积分公式中积分 常数的表达式。通过对表达式的分析及相应的数学运算，得到适用于n 层体系的 应力、位移积分计算的一系列公式，该方法也比较繁琐。 朱照宏、王秉纲等( 1 9 8 5 ) 采用静力学中的截面法，根据各层脱离体的定 解条件，即边界条件和层间结合条件，引入了l o v e 位移函数，得到了多层弹性 半空间的轴对称问题的应力和位移的解析式。该方法中每一层有4 个积分常数待 确定，对于n 层情况，需求解( 4 n 一2 ) 个方程。王林生( 1 9 8 6 ) 利用l a p l a c e - - - h a n k e l 变换，首先从空间轴对称问题的位移法基本方程出发，直接导出多层地基在轴 对称荷载作用下，两种边界条件( 完全固定边界、刚性光滑边界) 和两种接触 条件( 完全接触、光滑接触) 的表面沉陷的统一公式。 张子明和施祖元( 1 9 8 6 ，1 9 8 9 ) 等从应力函数一l d v e 位移函数出发，采用 f o u r i e r - - b a s s e t 积分变换和矩阵递推法推导出多层地基在轴对称荷载作用下的 位移和应力解。钟阳( 1 9 9 2 ，1 9 9 5 ) 从静力平衡方程、物理方程和几何方程出 发，构造应力位移关于竖向及径向坐标偏微分之间的矩阵关系式，再对该关系 式进行关于径向坐标的h a n k e l 变换，得到任意层的状态向量与初始状态向量之间 的关系式。任意层的状态向量可以用相应层的传递矩阵与初始状态向量的乘积 表示，最后只要求解二元一次方程组就可以得到任意层的关于h a n k e l 变换的解， 再对其进行h a n k e l 逆变换，得出该层的位移和应力解，该方法相对简单。 此后金波( 1 9 9 3 ，1 9 9 6 ) 、孟凡顺( 1 9 9 7 ) 、陈光敬( 1 9 9 8 ) 、唐和生( 1 9 9 9 ) 、 艾智勇( 1 9 9 9 ) 、田波( 2 0 0 0 ) 等利用传递矩阵法的思想对层状地基在轴对称 荷载作用下的弹性、粘弹性及横观各向同性问题进行了探讨。 1 2 2 地下工程开挖对隧道纵向变形影响 3 第1 章绪论 众所周知，地下工程开挖将引起自由场土体的变形，而这种变形会对临近 土体中埋藏的既有隧道或市政管线的安全产生不利的影响。既有隧道或市政管 线的抵抗变形以及不均匀变形的能力是有限度的，显然单纯保证开挖过程中土 体自身的稳定已经不能满足周围环境对变形的要求。目前很多学者对地下工程 开挖引起隧道纵向变形的研究方法，主要还是集中在利用整体有限元方法进行 分析计算。 整体分析方法是在模拟施加土体某一局部开挖的同时，将周围土体与隧道 作为一个整体分析，通常利用整体有限元法进行分析计算。 c h a n ( 1 9 9 5 ) 、a k a q i 、k o m i y a ( 1 9 9 7 ) 、吉茂杰( 2 0 0 0 ) 、m a r t a ( 2 0 0 1 ) 、 s h a r m a 等( 2 0 0 1 ) 、李大勇等( 2 0 0 1 ) 、吴波等( 2 0 0 2 ) 、王卫东等( 2 0 0 4 ) 、戚 科骏( 2 0 0 5 ) 都分别采用整体有限元方法分析了地下工程开挖对临近已建隧道 的影响。其中a k a q i 、k o m i y a ( 1 9 9 7 ) 分别采用二维、三维有限元研究土体开挖 时隧道纵向变形问题。吉茂杰( 2 0 0 0 ) 在基坑下方穿越隧道位移的实测分析的 基础上，考虑时空效应和空间效应的影响，根据对隧道位移的有限元分析，推 导出上方基坑施工时隧道位移的理论预测方法。m a r t a ( 2 0 0 1 ) 结合某地铁附近 的深基坑工程，利用平面有限元方法进行分析，模拟了基坑施工的整个过程以 及坑内堆载的情况，预测了由于基坑开挖所引起的周围土体和隧道衬砌的位移 和应力改变，模拟结果与实测值吻合较好。李大勇等( 2 0 0 1 ) 考虑了基坑围护 结构、土体与地下管线的耦合作用，建立了地下管线、土体以及基坑围护结构 为一体的三维有限元模型，分析了地下管线的管材、埋深、距离基坑远近、下 卧层土质以及管道弹性模量与周围土体弹性模量比等因素对地下管线的影响规 律，并总结归纳了地下管线的安全性判别方法及地下管线的工程监测和保护措 施。吴波等( 2 0 0 2 ) 基于a n s y s 软件平台，将地下管线模拟成三维弹性地基梁， 建立了隧道支护结构一土体一地下管线耦合作用的三维有限元分析模型，对施 工过程进行了仿真分析，并对地下管线的安全性进行了预测，给出了管线安全 性的评价标准。王卫东等( 2 0 0 4 ) 通过二维有限元分析，建立了某基坑工程的 数值分析模型，数值模型对实际施工工况进行模拟，动态地分析了施工过程中 开挖卸荷对地铁隧道的影响。 纵上所述，由于整体有限元分析方法能够模拟盾构隧道的管片、接头、周 围岩土介质以及结构物与土体的共同作用，它能较好地模拟隧道与土体的共同 作用这一三维空间问题，复杂的施工过程也可以较好地模拟，但这种方法工作 4 第1 章绪论 量较大，往往需要专业的软件建模，因而不易被般的工程人员所接受。 除了整体有限元方法之外，两阶段分析方法也可以为工程施工提供变形控 制的标准。两阶段分析方法比较简单明确，它将地下工程开挖对既有隧道的影 响分成两个阶段来分析：第一阶段分析由于开挖所引起的隧道的附加应力或周 围土体的位移，第二阶段将附加应力或周围土体的位移施加于隧道，然后应用 各种方法来分析隧道的纵向变形和内力的变化。根据地下工程施工影响施加到 临近隧道或市政管线上的不同方式( 附加应力或自由位移) ，可以将两阶段分析 方法分为两类：应力法和位移法。 a t t e w e l l 等( 1 9 8 6 ) 、c h a n g ( 2 0 0 1 ) 、林永国( 2 0 0 1 ) 、k l a r 等( 2 0 0 5 ) 、陈郁 ( 2 0 0 5 ) 、戴宏伟等( 2 0 0 6 ) 采用两阶段应力方法进行了研究。其中a t t e w e l l 等 ( 1 9 8 6 ) 采用两阶段分析方法研究了隧道开挖对地埋管道的影响，在分析的第 二阶段利用有限元法将附加应力旋加到管道上进行求解。k l a r 等( 2 0 0 5 ) 基于 w i n k l e r 地基模型，采用v e s i c 所提出的地基基床系数计算公式首先计算了单点荷 载作用下管轴线的竖向位移分布，并据此推导了无限长梁在附加荷载作用下的 最大弯矩的解析表达式，解析结果与a t t e w e l l 等提出的数值解吻合很好。同时， k l a r 等还将连续弹性解和w i n k l e r 解析解进行比较，研究隧道开挖对已有管线的 影响，结果表明，采用v e s i c 地基基床系数尽管在两种方法中可以得到同样的弯 矩和位移，但是由于低估弯矩，解答并不适合这类问题，因此采用了改进的地 基基床系数，在w i n k l e r 和弹性连续体系中可以得到同样的最大弯矩。 c h a n g 等( 2 0 0 1 ) 在研究基坑开挖对临近地铁隧道的影响时，在分析的第二 阶段利用有限元法将附加荷载施加于隧道上分析内力位移。林永国( 2 0 0 1 ) 和 陈郁( 2 0 0 5 ) 分别采用两阶段应力法对基坑开挖造成临近地铁隧道的影响做了 初步研究，其中林永国所建立的计算模型只考虑了隧道轴线与荷载中轴线平行 的情况，与实际工程有一定差距，陈郁在此理论的基础上推导了隧道轴线与荷 载中轴线存在任意夹角的情况下的分析。戴宏伟等( 2 0 0 6 ) 采用两阶段应力法 对地表加载对临近地铁隧道的影响，其中在第二阶段应用有限差分法将地表加 载引起的附加应力施加于隧道上分析内力位移。 两阶段位移分析方法由c h e n & p o u l o s ( 1 9 9 9 ) 在研究隧道开挖对桩基影响时 提出。同时，l o g a n a t h a n 等( 2 0 0 1 ) 、王占生等( 2 0 0 2 ) 以及黄茂松等( 2 0 0 6 ) 也采用两阶段位移法评价了隧道施工对桩基的影响。a t t e w e l l ( 1 9 8 6 ) 等和k l a r ( 2 0 0 5 ) 等除了按两阶段应力法进行研究外，同时还基于w i n k l e r 地基模型将隧 5 第l 章绪论 道开挖引起的土体自由位移施加到管线上，得到了管线最大弯矩的解析表达式。 其中k l a r 等研究了因隧道开挖造成土体扰动而引起已有管线的最大弯矩，还给 出了位移法的解题思路。即第一阶段采用p e c k 沉降槽公式来描述管线位置处的 土体自由位移，然后在第二阶段将附加荷载转化为土体自由位移形式施加到管 线上进行求解。 v o r s t e r ( 2 0 0 5 ) 采用两阶段位移法详细研究了因隧道开挖造成土体扰动而引 起已有管线的最大弯矩和位移，由于c e l e s t i n o 等( 2 0 0 0 ) 和j a c o b s z ( 2 0 0 2 ) 研 究发现，在许多情况下p e c k 经验曲线并不能准确描述土体沉降，因此v o r s t e r 在第一阶段采用了修正的p e c k 曲线拟合土体自由位移，在第二阶段采取连续弹 性解法将土体自由位移施加到管线上进行求解。 1 。3 本文的主要研究内容和创新点 1 3 1 本文研究的主要内容 本论文的主要研究工作包括以下几个方面： 第一章绪论论述了本文研究的背景和意义，总结评述了国内外参考文献， 重点研究了弹性层状地基理论和地下工程开挖对既有隧道纵向变形的影响。概 括了本文研究的主要内容和主要创新点以及研究方法路线。 第二章基于弹性力学的三大方程，推导了在弹性半空间体表面作用任意轴 对称荷载时和在弹性半空间体内作用一竖向集中力时引起的应力及位移，在此 基础上，利用传递矩阵法又推导了在弹性层状半空间体表面作用任意轴对称荷 载时和弹性层状半空间体内作用一竖向集中力时引起的应力及位移。 第三章简单介绍了两阶段分析方法中的应力法和位移法。对弹性层状半空 间地基模型进行讨论，给出了其柔度矩阵和土体位移方程。基于弹性地基梁理 论和有限差分原理，推导出地下开挖作用下的隧道位移方程，根据它们的变形 协调条件得出了在层状地基中地下开挖工程对既有隧道纵向变形影响的差分方 程。 第四章采用上章所述方法计算出基坑开挖及隧道开挖引起地下隧道纵向变 形的影响因素。并与文献算例进行比较分析，指出两者存在差异的原因。在计 算分析的基础上，通过基坑开挖和隧道开挖对地下隧道的影响规律，为合理的 6 第1 章绪论 采取保护隧道运营安全的施工工艺、施工措施提供理论依据。 第五章对全文进行一个总结，并提出进一步工作的建议。 1 3 2 本文研究的主要创新点 从上一节的国内外文献中可以看出，地下工程开挖对既有隧道纵向变形影 响的研究，很多都集中在整体有限元方法，虽然它能较好地模拟隧道与土共同 作用的问题，但它的建模复杂，工作量太大，难以被一把工程人员所接受。而 算法相对简单的两阶段计算方法，绝大多数是基于弹性半空间地基模型，并没 有考虑地基的分层性，这与实际的层状地基土体是有差别的。 因此在本文中，对于基坑开挖引起既有隧道纵向变形问题，采用两阶段应 力法。第一阶段中，根据弹性层状半空间地基模型推导出由于基坑开挖作用引 起隧道的附加应力分布公式；第二阶段将既有隧道看作弹性层状半空间地基上 无限长梁，将土体附加应力施加于隧道并利用有限差分原理建立求解隧道纵向 变形的差分方程，从而得到基坑开挖对既有隧道影响的纵向位移值。 对于新建隧道开挖工程对既有隧道的影响问题，采用两阶段位移法。第一 阶段采用l o g a n a t h a n 和p o u l o s ( 1 9 9 8 ) 提出的解析解计算由于隧道开挖引起的 土体自由位移场；第二阶段基于弹性层状半空间地基模型将既有隧道看作无限 长梁，将土体自由位移施加于隧道并建立求解隧道纵向变形的差分方程，从而 得到新建隧道开挖对既有隧道影响的纵向位移值。 最后结合算例进行影响因素分析，并与文献算例进行了对比。 7 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 2 1 弹性空间课题的一般解 本章首先基于弹性力学的三大方程，推导了在弹性半空间体表面作用任意 轴对称荷载时和在弹性半空间体内作用一竖向集中力时引起的应力及位移，在 此基础上，又推导了在弹性层状半空间体表面作用任意轴对称荷载时和弹性层 状半空间体内作用一竖向集中力时引起的应力及位移。 如果弹性体的几何形状、约束条件、和所受的外荷载因素都对称于某一轴， 则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴，这类问题称之为轴对称问题。 由于弹性半空间体和弹性层状半空间体在水平向和垂直向都是无限的，因此其 结构本身一定对称于某一轴，为了推导方便，本章的荷载也假设为是轴对称荷 载。 在描述轴对称空间课题中的应力、变形和位移时，采用圆柱坐标( 厂，口，z ) 要比直角坐标( x ，y ，z ) 方便得多。如果弹性层状体系以z 轴为对称轴，则所有 的应力、变形和位移分量都将只是r 和z 的函数，而不随极角0 变化。 根据弹性理论，轴对称问题如果不计体力，则其平衡微分方程为： 堕+ 堡+ 堡二鱼；o a r8 zr 堡+ 堡+ 互：0 a z毋， ( 2 一1 ) 式中：1 7 ，和分别为径向应力和环向应力；口：为z 方向上的轴向应力；而f ，为 作用在水平面上治，方向的剪应力。 几何方程为： f ，= 罢d r = 等 一掣o z 儿一罢d z + 掣o r ( 2 2 ) f ，鲁_ ，疗= 一，z 一_ ，y 口薯_ + _ lz z ， ， 式中：u 和w 分别为，方向和z 方向上的位移；，。，：分别为，0 ，z 方向上的 正应变；) ，：，为剪应变。 物理方程为： 8 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 p 吉p ，一y ( o r e - f o r = ) 铲吉b 寸一y ( 0 r 4 o z ) 】 ：= 吉b ：一v p 。+ q ) y ， 1 石毛 2 ( 1 + ，) e z 口 式中：为杨氏弹性模量；g 为剪切弹性模量；，为泊松比。 物理方程也可以用形变分量表示应力分量，即： e ，1 、 o r r5 而( 西了e + c e r ) 巴， ， 、 2 而( 西了e + e o ) 已 ， ， 、 口z 2 而( f 石e + e z ) 勺2 夏而y 4 式中：e = ，+ 口+ s ：，为体积应变。 将几何方程代入物理方程，就可以得到弹性方程： e ， i vo u 、 q 。而( 西了石) e ，1 u 、 2 而( 西了一) e ，o w 、 吼。而( 西了 l r z r 4 2 ( 1 + ，)c 詈+ ( 2 3 ) ( 2 3 a ) ( 2 4 ) 将弹性方程代入平衡微分方程，并采用记号v 2z 导+ 詈熹+ 蔷，得到： 9 ( 2 5 ) 兰， 0 一 = 越 w v v 把一打抛一瑟 1一1一 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 这就是按位移求解空间轴对称问题时所需用的基本微分方程。 为了求解空间轴对称问题，l o v e 引用一个位移函数9 ( ，z ) ，并把位移分量 表示成为： 1a2 妒 u = 一l 2 go r o z w 2 水圳n 卦 ( 2 6 ) 将式( 2 - - 6 ) 代入基本微分方程，可见位移函数缈应满足的条件是： v 4 驴；0 ( 2 7 ) 这就是说，9 应当是重调和函数。 将式( 2 6 ) 代入弹性方程，可以得到应力分量的表达式： 旷昙2 一嘉砌 咿昙2 一垮妒 a 21 矿j 伊 a 21 矿p ( 2 8 ) 由此可见，我们只需找到恰当的重调和函数9 ( ，z ) ，使得式( 2 - - 6 ) 给出的 位移分量和式( 2 - - 8 ) 给出的应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正 确解答。函数9 ( ，z ) 称为l o v e 位移函数。 利用l o v e 法来求解轴对称空间问题时，需要解算重调和方程，求解重调和 方程v 4 妒= 0 可以采用h a n k c l 积分变换法。我们先介绍一下函数导数的h a n k e l 变换。 设函数9 ( r ) 的零阶h a n k e l 变换为瓦( 亭) ，那么根据b e s s e l 函数的微分关系 可以得到函数妒( 厂) 的导数与h a n k e l 变换死信) 之间的关系： 警= 乒乌d ro ( 多) 影亭；毋“错2 d 宇 ( 2 9 ) 上式经过反演，可以写成函数导数的一阶h a n k e l 变换式： 1 0 v 9 咿 咿 一 一 2 1 一k-k- a 一瑟 a 一打 = = 彳 r 哆 o 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 聒) 2 善争- ( 争) r d r , , - 甄( 2 - - 1 0 ) 其中，瓦( 亭) 2 p 。( 争) 胁 对于弹性理论中的轴对称课题，由于采用了圆柱坐标，此时，如果位移函 数为妒( ，z ) ，则它的零阶h a n k e i 变换为瓦一硫( 亭，z ) 。 将式( 2 - - 9 ) 再施加一次导数，并根据b e s s e l 函数的微分关系，可以得到 函数驴的二次导数与h a n k e l 变换瓦( 亭，) 之间的关系： 争每瓤鳓亭= 尹觥3 诉吾球翳2 矗亭( 2 - - 1 1 ) 驴对z 的二次导数为： 粤卒要“争) 髟亭 ( 2 1 2 ) o z 2 - 5o z 2 w “ 一锨r ，z ，2p lo 斗彬m 心卅m 2 叫执化- 1 2 ) 代入，可得： 响加科誓髻瓦卜燃( 2 - - 1 3 ) 上式也可写成驴的l a p l a c e 算式的h a n k e l 变换式： j v 2 伊( ，z y 。( 争) 胁= q d 歹2 一宇2 ) 死( 宇，z ) ( 2 - - 1 4 ) 01_ 其中，瓦( 亭，z ) 2 p ( r , z ) j 。( 争) 胁 下面我们采用h a n k e l 积分变换法求解重调和方程v 4 妒t0 。 对重调和方程v 4 9 ；0 进行零阶h a n k e l 积分变换可得： 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 4 如，z y 。( 萤r ) r d r 一扣0 2 v 2 力 。( 哥) 胁 = ( 箬髻扣( ，砒( 肿 一丢髻咖州。( 壹r ) r d r ：( _ d 2 r 一亭z ) z 死( 亭，z ) d z 。 吼 ( 箬) 2 瓦( 豇) 1 0 ( 2 - 1 5 ) 可见，通过h a n k e l 积分变换，将重调和函数转化为关于z 的常微分方程， 该方程的通解为： 瓦( 宇，z ) 一；+ 乓z ) e 一复+ ( c ；+ 4 z ) e 莹 加，z ) ；和b ；+ b z ) e 一参+ ( c + 缺咖莹】，。( 争) d 芋( 2 - - 1 6 ) 式中，亭为积分参变量，a ，b 宇，c ；，d ；均为亭的函数，其值由边界条件和 层f b j 结合条件来确定。 至此，我们可以根据应力与位移分量同位移函数之间的微分关系式( 2 - - 6 ) 和( 2 8 ) 桌求得轴对称课颢下应力与位移分量的一般表达式： q 参，恒；一( 1 + 知一莹) 乓p 一陆宇+ ( 1 + 加+ 莹) 见 复 ，。( 争) d 亭+ 争 仃。加弘3 ( 乓e 哮+ 。；e 乒y 。( 争) d 亭一半 呸；话，忉；+ ( 1 - 加+ 复) 乓 一一函；一( 1 - 知一复) 4 参p 。( 争) d 亭 f ，：于芋，西；一( 知一乒) 乓 一乒+ 艮；+ ( 知+ 髟) d ； 星p 。( 争) d 亭 归一半u ； 一警2 恒“2 一知例b ；h 陆；- ( 2 一和剖4 地洲亭 1 2 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 上述应力与位移分量的一般表达式适用于任何类型的空间轴对称课题，只 要根据其边界条件和层间结合条件，求得4 ，b ；，c ；，d ，就能求得该课题 的全部精确解答。 2 2 表面作用任意轴对称荷载时弹性半空间体的分析 为求解方便，我们令彳= 芋3 4 ，b = 亭2 b e ，cz 宇3 c 宇，d = 亭2 d ，则应力 与位移分量的一般表达式可改写如下： q ：孑亭缸一( 1 + 加一髟归l 一一 c + ( 1 + 知+ 髟) d l 量p 。( 多矽芋+ 等 咿砖( 矿蛾饥( 洲亭一等 0 。 吼；于芋缸+ ( 1 一知+ 复徊 一一 c 一( 1 一扫一髟归 复扣。( 争) d 亭 ：弘缸一( 知一复归 辱+ c + ( 知+ 复) d 孕p 。仔) d 宇 “一l + vu e w = 一半弘+ ( 2 一知喇b p + p - ( 2 一和剞。 乒腊 ( 2 1 8 ) 式中，u ；j 缸- ( 1 一复) b p 一 c + ( 1 + 复) d 乒p 。( 洲宇 若弹性半空间体表面上作用有轴对称垂直荷载p ( r ) 和轴对称水平荷载 g ( r ) ，那么只要根据本课题的边界条件，求得轴对称课题中应力分量和位移分量 一般积分表达式中的参数a 、b 、c 、d ，就可求得任意斜向轴对称荷载作用 下弹性半空间体的应力和位移分量的一般表达式。 1 3 7 一2 皇j 、 d 争 y 复 1 b ， d 髟 + 艮 一 复 b 髟 一一 恒 皇j 、 ，o =u 中式 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 ，p v ， 1 弋n j 一 n f r 一， ? 一 一 g ( r ) - z r 舔糖 罅蕊。 r ) 图2 - 1 弹性半空间体表面作用任意轴对称垂直荷载p ( 厂) 和水平荷载g ( 厂) 边界条件：z = 0 处，仃，一一p ( r ) ，f ，一一g ( r ) 。 当厂和z 无限增大时，所有的应力与位移分量都必须趋近为零，即： ，一o o ，h ，盯f ，仃：，f 口，h ，w j - o ( 2 1 9 ) z 一，p ，吼，f 口，“，w j _ o ( 2 2 0 ) 由于当厂_ 时，。( 争) 和j ，( 争) 都趋近于零，根据应力与位移分量一般积 分表达式，所有应力与位移分量都能满足式( 2 - - 1 9 ) 的要求。若要使式( 2 2 0 ) 的条件得到满足，只有c = d = 0 ，才能使得当z 无限增大时应力与位移分 量趋近于零。 如果将c = d ，0 和z = o 代入到式( 2 - - 1 8 ) 中仃，和f ：，的积分表达式，则表 面边界条件可写成下列两式： ，亭- + ( 1 一知徊p 。( 争) d 亭一一p ( ，) 户。一坳y ，( 争矽占；一g ( ，) ( 2 2 1 ) 写出以上两式的h a n k e l 积分变换的反演公式，便可得到如下两个联立的方程式： 彳+一o-2；,一)n虿(-宇)-歹宇(2-22)a 2 v b一 ；一虿f 亭1i 式中：歹佶) = r p ( 厂y 。( 争) 办，虿( 宇) = r g ( r ) j 。( 争) 办 u u 1 4 第2 章弹性层状半空间应力与位移的分析 解上述联立方程式，得参数a 、b 如下： a = 一 2 汤( 亭) + ( 1 一加) 虿( 亭) 】 b = 一防( 宇) 一虿( 宇) 将a 、b 值带入式( 2 1 8 ) 中，便可得到任意斜向轴对称荷载作用下弹性 半空间体的应力与位移表达式如下： q = j 亭 ( 1 一章) f ( 亭) 一( 2 一复) 虿( 亭) i ，。( 争) d 亭+ 等 0 = 一听亭防( 争醋) 哮以洲芋一等 0 仃：= 了宇 ( 1 + 髟) 歹( 宇) 一盆虿( 亭) 一乒j 。( 争) d 亭 z 。一巾陆( 亭) + ( 1 一髟) 虿( 亭) 一孕歹。( 争) d 亭 距：一l + vu e w = 半弘2 一知喇贴) - ( 1 一知喇醋炒( 洲亭 ( 2 2 3 ) 式中，u = 几1 2 v 一复) 歹( 亭) 一( 2 2 v 一莹) 虿( 宇) l j 。( 争m 亭 0 如果弹性半空间体表面上仅有垂直荷载p ( ，) 作用，即是说g ( r ) t0 ，则可将 虿售) = 0 代入式( 2 2 0 ) ，可以得到任意垂直轴对称荷载作用下弹性半空间体的 应力与位移分量的表达式如下： 第2 章弹性层状? 空间应力与位移的分析 q 一书e 勺。( 洲亭+ 等 0 。 驴一寸黔勺删宇一等 o ：= - y ：( 1 + 莹) 歹( 亭) e 一乒j 。( 争) d 亭 t 。= 一z 芦事娉x 畸j l 悖谶 “；一i + vu w = 笥( 2 _ 加捌贴) e - 乒j o ( 驯亭 式中，u 2 f ( 1 2 v 一莹) 万( 亭) e 一乒j - ( 争) d 亭 0 ( 2 2 4 ) 从式( 2 - - 2 1 ) 可以看出，当轴对称垂直荷载p ( r ) 己知时，就能得到该荷载 作用卜的具体解答。当轴对杯壅直衙载为一集甲力时，该课题就成为b o u s s i n e s q 课题。这