（基础数学专业论文）一些数论函数的均值估计及一类函数方程的可解性.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众所周知，数论函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的地位， 许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展都必 将对解析数论的发展起到重要的推动作用! 著名的美籍罗马尼亚数学家f l o r e n t i n s m a r a n d a c h e 对数论做出了许多贡献，其中一项就是他源源不断提出来的一系列 出色的问题，他在1 9 9 3 年发表的0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! 一书中提出 了1 0 5 个尚未解决的问题和猜想，很多学者都在研究这些问题和猜想，并且有些学 者已经得到了一些十分重要的结果 本文应用初等数论及解析数论等知识对其中所提出的部分问题进行了研 究，并将其推广，并获得了一些均值定理运用初等的方法研究了一类函数方程的 可解性，并得到了其实数解具体说来，本文的主要成果和内容包括在以下几个方 面： 1 研究了关于f s m a r a n d a e h e 平方补数的均值性质并得到其极限值，同时也 解决文献3 1 中的第1 6 个问题 2 s m a r a n d a c h e 原函数品( 礼) 在数论的研究中具有很重要的地位本文利用 初等方法研究了关于s m a r a n d a c l ，e 原函数( n ) 的一些渐近性质，并将其推广，得 到了一般形式的渐近公式 3 运用求函数条件极值的方法研究了一类函数方程的可解性，并获得了它的 所有实数解从而推广了美籍罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n c h e 教授的一个问 题 关键词：s m a r a n d a c h e 函数；数论函数；渐近公式：均值；极限；函数方程；实数 解：拉格朗日乘数法 a b s t r a c t ( 英文摘要) 上v 1 e a nv a l u eo ns o m ea r l t n m e t l c a li u n c t l o n sa n q r11n1 s o l v a b i l i t yo ft h ef u n c t i o n a le q u a t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i sw e uk n o w nt h a tt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fa r i t h m e t i c a lf h n c t i o n sp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a n dt h e yr e l a t et om a r l y f a m o l l sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a i l yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l d w i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o 珥 p r o f e s s o rf s m a r a n d a c h ei sar o m a 面a nf a m o u sn u m b e rt h e o r i s t 0 n eo fh i s n u m e r o u sc o n t r i b u t i o n si st h ee x c e l l e n tu n s 0 1 v e dp r o b l e m st h a ta r ep r e s e n t e db y h i mc o n t i n u a u ，ni n1 9 9 3 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d“0 n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s ! h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o l l j e c t u r e sa b o u t t h e s ef u n c t i o n sa n d s e q u e n c e si ni t m a i l yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es e q u e n c e sa n d f u n c t i o i l si nt h i sb o o k ，a n do b t a i n e dm a i l yi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，r eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h o d st o s t u d ys o m ep r o b l e m sw h i c h 、e r eg i v e ni n“o n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s ! ”a n d “u n s o l v e dp r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ”，e s p e c i a l l yt os t u d yt h ea l i t h m e t i c p r o p e r t i e so ns o m es p e c i a ls e q u e n c e s ，a n dg i v es e v e r a l i n t e r e s t i n ga l s y m p t o t i cf o r - m u l a e t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf b u o w s ： 1 i nt h ef i r s tp r o b l e m ，w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt 1 1 em e a n v a l u ep r o b l e m so ft h ef s m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n t a d rn u m b e r ，a n do b t a i n i t sl i m i t 、饿l u e 2 i nt h es e c o n dp r o b l e m ，w eu s et h ee l e i n e n t a 珂m e t h o d st os t u d yt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs k ( n ) ，a n dg i v ea ni n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf 0 r m u l af 6 ri t 3 w bs t u d yak i n do ff u n c t i o nb yu s j n gt h ee l e m e n t a i 。y 珈e t h o d ，a n dg e ta l l r e a 】s o 】1 】t i o n sf ( ) ri t k e y w o r d s ：s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ；a r i t h n l e t i c a lf u n c t i o n s ；a s y m p t o t i cf o r m u l a ； m e a nv a l u e ；l i m i t ；e q u a t i o n s ；r e a ls 0 1 u t i o n s ；l a g r a n g em e t h o d i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：壹生雏指导教师签名：喜幺名以珥刍 五磁年么月o 日 舻年月徊日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：剖蚴 立( ) c 1 8 年石月g 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 众所周知，关于一些特殊数列算术性质的研究一直以来都在初等数论研究中 占有十分重要的地位，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取 得任何实质性的进展都必将对初等数论起到重要的推动作用 当自变量n 在某个整数集合中取值，因变量可取复数值函数可= ，( n ) ，这种函 数称之为数论函数，由于很多情形下他们可以看成特殊的数列，因而关于数论函 数的研究也非常重要尽管很多重要数论函数的单个取值往往很不规贝0 ，然而它 们的均值f 。厂( 佗) 却体现出很好的规律性，因而数论中对数论函数的性质的研究 磊 经常是在均值意义下进行的函数的均值估计是数论研究的重要课题之一，是研 究各种数论问题不可缺少的工具 罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授所做出的许多贡献中，其中一项 就是他源源不断提出来的一系列出色的问题，1 9 9 3 年在他所著的0 n l yp r o b 1 e m s n o ts o l u t i o n s 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的问题，其中许多问题具有 一定的研究价值，对其中的一些问题进行研究并给以一定程度上的解决，是有趣 并有一定理论意义的研究课题 基于对s m a r a n d a c h e 问题的兴趣，我们应用初等数论、解析数论等知识对他 提出的几个数论中未解决的问题进行研究主要研究了数论中一些均值性质并将 其推广同时还研究了一类函数方程的可解性，从而推广了美籍罗马尼亚著名数 论专家f s m a r a n c h e 教授的一个问题 1 2主要成果和内容组织 正如前面所述，本文主要研究了关于f s m a r a n d a c h e 平方补数的均值性质，并 得到了它的极限；并对s m a r a n d a c h e 原函数& ( n ) 的渐近性也进行了研究并将其推 广；运用初等的方法研究了一类函数方程的可解性，并得到其实数解具体说来， 本文的主要成果和内容包括在以下几个方面内容，分布在第二章至第四章： 1 研究了关于f s m a r a n d a c h e 平方补数的均值性质并得到其极限值，同时也 解决文献f 3 1 中的第1 6 个问题 2 s m a r a n d a c h e 原函数( n ) 在数论的研究中具有很重要的地位本文利用 初等方法研究了关于s m a r a n d a e h e 原函数品( 扎) 的渐近性质，并将其推广到一般形 式 3 运用求函数条件极值的方法研究了一类函数方程的可解性，并获得了它的 所有实数解从而推广了美籍罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n c h e 教授的一个问 题 1 第一章绪论 1 3 数论简介与基本内容 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的 概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正 整数和负整数中间的中性数叫做0 它们和起来叫做整数1 ，2 ，3 这些简单的正 整数，从日常生活以至尖端科学技术都是离不开的其它数字，如负数、有理数 等等，则都是以正整数为基础定义出来的所以研究正整数的规律非常重要! 并 且利用整数的一些基本性质，可以进，步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是 这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又进 一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科在整数 性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料 ，要深入研究整数的 性质就必须研究质数的性质因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的 关注数论是最古老的数学分支，又是始终活跃着的前沿数学领域它的出现却 是迟至十九世纪初的事人们公认高斯在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究是 数论作为一门独立学科诞生的标志数论最基本的特有研究方法就是高斯在这一 天才著作中所创立的同余理论 数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法 也在不断发展如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数 论和几何数论四个部分 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究 整数性质的分支比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重 要的内容初等数论中某些问题的研究促成新的数学分支的产生如对不定方程 和高次互反律的研究促进了代数数论和类域论的形成和发展初等数论中仍有许 多问题没有解决近十几年初等数论在计算机科学，组合数学，代数编码，计算方 法，信号的处理等领域得到广泛的应用 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支数学分析是以 函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科用数学分析 来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡 献解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具比如，对于“质数有无限 多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷 级数的若干知识二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多大创造性的提出了 “三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用我国数学家 陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支它以代数整数，或者 代数数域为研究对象不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研 究因此代数数论是整数研究的个自然发展代数数论的发展也推动了代数的 发展 代数数论主要起源于对费马猜想的研究，另外，高斯关于二次域的研究是代 2 西北大学硕士学位论文 数数论的另一种要起源代数数论也是活跃的数学前沿理论，一方面是对一些古 典问题得m 新的结果：另一方面又不断开辟新的研究领域代数数论的大特点 是：不仪由它可解决一系列整数规律问题，而且它的成果几乎可以用到每一个数 学领域中 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的几何 数论研究的基本对象是“空间格网”什么是空间格网呢? 在给定的直角坐标 系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网空间 格嗍对几何学和结晶学有着重大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂，必 须具有相当的数学基础才能深入研究数论是一门高度抽象的数学学科，长期 以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用 但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用比如在计 算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成 果；有文献报道，现在有些国家应用“孙了定理”来进行测距，用原根和指数来计 算离散傅立叶变换等此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差 集合、快速变换等方面得到了应用特别是现在由于计算机的发展，用离散量的 计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能 1 4数论在数学中的地位 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做 “皇冠卜的明珠 ，以鼓励人们去“摘取下面简要列出几颗“明珠”：费尔 马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开始， 在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、 闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论 方面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后，数论的研究得到了更大的发展特别是 在“筛法 和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩特别 是陈景润在1 9 6 6 年证明“歌德巴赫猜想 的“一个大偶数可以表示为一个素数 和一个不超过两个素数的乘积之和 以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞 陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点至今，这仍是“歌德巴赫 猜想”的最好结果 数论应用在近几年来的发展，已改变了传统对数论的看法，也改变了5 0 年代 对数论功能的认识1 9 9 0 年，格莱姆在科罗拉多( 波尔多) 大学一次公开演讲宣称： 现在，数论是最有用的数学分支! 高斯把数论置于科学之巅，他把数论描述成“一座仓库，贮藏着用之不尽、 能引起人们兴趣的真理 希尔伯特则把数论看成“一栋出奇地美丽而义和谐的 大厦”，“它有简单的基本定律，它有直截了当的概念，它有纯正的真理”闵可 3 第一章绪论 夫斯基比喻数论“以柔美的旋律来演奏强有力数论音乐”总之，数论是“纯正 洁白”的 4 西北大学硕士学位论文 第二章关于f s m a r a n d a c h e 平方补数的一些问题 2 1引言 对于任意正整数n ，如果s s c ( n ) 定义为使得& c ( 佗) 扎为完全平方的最小的正整 数，则称s s c ( 他) 为扎的平方补数即： s s c ( n ) = m i n m ：仇佗= u 2 ，u ) 比如：s s c ( 1 ) = 1 ，s s c ( 2 ) = 2 ，s s c ( 3 ) = 3 ，s s c ( 4 ) = 1 ，s s c ( 5 ) = 5 ，s s e ( 6 ) = 6 ， s s c ( 7 ) = 7 ，s s c ( 8 ) = 2 ，s s c ( 9 ) = 1 ，s s c ( 1 0 ) = 1 0 ，在参考文献 1 】中， f s n - a r a n d a c h e 教授要求我们研究平方补数s s c ( n ) 的性质，关于此问题，许多人对 其已做过研究，并且得出很有趣的结果，参阅文献 2 ， 3 】r l i c er u s s o 在文献 3 】中 研究了平方补数c ( 珏) 的许多数学性质，并给予证明列如： ( 1 ) s s c ( n 2 ) = 1 ，n = 1 ，2 ，3 ， s s c ( p ) = p ，p 是任意素数 融= b 嚣p 一裁 s s c ( 矿q 6 s 。铲) = p 。d d ( 。口。d d ( 6 ) s d d d ( c ) o d d ( 引，p ，口，s ，是不同素数， 且。捌函数定义驷f ： 蒯= 淼萎，甄 ( 5 ) 如果n = p n q 6 r 3 ，则s s c ( n ) = s s c ( p d ) s s c ( 9 6 ) s s c ( r 8 ) ，p 口，r 是 任意素数 同时他还提出2 1 个未解决的问题，乐茂华在文献 4 】中已解决了第5 76 ，7 个问 题，在文献 5 ， 6 中解决了第1 3 ，1 7 个问题，本文将采用初等的方法米研究第1 4 个， 1 6 个及1 9 个问题，并给出证明 定理2 1 ：设s s c ( 礼) 定义为n 的平方补数，如果o 2 ，我们有渐近 公式 塞掣。( 訾) 第二蕈关于f s m a r a n d a c h e 平方补数的一些问题 从这个定理中我们可以得到。卜列推论 推论2 1 ：设s s c ( ，2 ) 为任意正整数n 的平方补数，那么我们就可以得到下 面的极限 熙三芝掣乩 显然此推论解决了文献【3 】中的第1 6 个问题 2 2 定理的证明 在这一部分中，我们将完成定理的证明 首先证明定理( 2 1 ) 为了方便起见，不妨令 ( ( z ) 是r i e m a n n z e t a 函数，即 他，= 筘 此处z 是一复数显然有& c ( 礼) 佗对于任意数n ，因此就有 s l 芝( ( n ) 又因为当o n 1 时( ( n ) 是发散的，因此s 1 发散，即 发散 下面证明定理( 2 2 ) 为了证明方便起见，令 & = 薹，n 南侉羹赢南 可以变形为 = 薹c 叫n 南= 薹毫c ( 2 m + 。赢 茵为 融c 2 胪憾笺搿；，) ，罨篙淼 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 赤 脚 = 研 一n n l一“ 一s c ，) 脚 西北大学硕士学位论文 从( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式及s 可以得到 s 2 = 一s + 三s + s + 三s + s + 所以岛是发散的，定理( 2 2 ) 得到证明 最后我们来证明定理( 2 3 ) 对于任意的正整数n ，显然存在唯一的正整数f 和m 使得n = m 2 f ，此处的f 是非平方数，因此我们有s s c ( n ) = s s c ( c ) = f 和 壹等掣 注意到 rm f ) | l n c 厶l n ( m 2 f ) m 2 l n 、7 沙( f ) 1 1 nz 妥( 壶一丽篇面) z n m 、厚、 、 “ l 1 一) l 羔 s 几 m s 子 s n m s 、早 i _ ( f ) l 羔，( 2 1 3 ) 三去刊+ 。( 三) ： = 志+ 。( 三) ：2 而加l ；j ： 三去= 2 缸+ ( ( 三) + 。( 去) 上面( 2 3 ) 式右边的第一项为 ff ：i ：一 m s 瓶f 录 肛( 2 ) i = 脚) m 2 z n = p ( d ) m 2 2 nd 2 l z = p ( d ) = 肛( d ) 1 d 面 m 2 象 = p ( d ) 1 d 1 及正整数n ，我们定义函数鼠( n ) 为其阶乘能被p 整除的最小正整数即 就是： 鼠( n ) = m i n 1 和任意正整数n ，我们有渐近公式 跏，刮p 叫卅。( 南，nn ) ， 尼的标准因子分解式为后= 西1 p 呈2 霹，n 一1 ) 2 摆慧 q i 慨一1 ) ) 3 2几个引理 为了完成定理的证明，需要下面几个引理： 首先，对任意给定素数p 及正整数诧，如果n = n l 矿z + 8 2 p a ：+ + 8 。p 乜。 s 日q 。 a 。一1 a 1 o ，其中1 o i p 一1 ， = 1 2 ，s ，设n ( n ，p ) = q i ， i = 1 关于数论函数n ( p ) ，我们有以下两个引理 引理3 1 ：对任意实数佗1 ，我们有恒等式 嘶啦船 - 击”咖) ， 其中吲表示不超过z 的最大正整数 证明：由m 的性质町知 由此，我们有 = 竖地半【 p 。 j = o s l q l 0 ，其 中1 口i p 一1 ，( i = 1 ，2 ，s ，) 则根据q ( n ，p ) 的定义可知 。( 礼，p ) = n i 一1 ) = ( p 一1 ) s i = li = 1 另一方面，利用数学归纳法我们很容易推出不等式： n = n l p a l + 0 2 p 0 2 + + o s p 0 8 n s p 弧， 或者 s 掣s 罂 n 1pi np 结合( 3 1 ) 及( 3 2 ) 式，我们立刻得到估计 n ( 叩) 南l n 仇 引理( 3 2 ) 得证 3 3 定理的证明 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 在这一部分中，我们将用引理( 3 1 ) ，( 3 2 ) 来完成定理的证明对于任意 同定正整数是和任意正整数诧，令& ( 铊) = 观，和惫= p 1 劣2 霹，则根据函 数瓯( 几) 的定义可知艮nim ! 及忌n 十( m 一1 ) ! 因此我们得到硝 1 p 呈州p 7 nl m ! 和西1 n p 呈叫霹n 十( m 一1 ) ! 从f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的定义我们可以立刻得 到& ( n ) = m 2 摆瑟 s ( p 笋m ) ) 为了方便起见，我们令 m i = s ( 霄挪) ， 1 1 一1 。r厶芦1一旷 第三章p 次幂原函数的推广 凼此有 仇2 跫慧伽i ，1 屈1 o ，从函 数s ( 赡n ) 的定义可知，疗mim i ! ，勘孑mt ( m i 一1 ) ! 于是展1 1 注意到m 0 的标 准冈子分解式为 m i ! = 矿口( m ， q m 其中兀表示对所有小于或等于觋的素数求积，并且( m 0 = l 孑i 由引 口、m tj 5 1 一 一 理( 3 1 ) 可以得到不等式 i ( m i ) 一屈1 o ，那么由不等式我们 就可以得到 ；+ 三矿2 卢n 三n z 毋n 譬2 n ， 当且仅当z = 1 时等式成立这就证明了当o 1 时方程( 4 1 ) 有且仅有一个整数 解z = 1 然后讨论当o o o 为了证明z o = 1 我们运用反证法，假设z o 1 ，则0 z o 1 时证明 和o 0 因为o n o 这就与，”( z ) 在开区间( z o ，) 内有一个零点相矛盾也 oz n 就证明了当0 o 0 得唯一解 将此结果代入方程( 4 6 ) 中得 z 12z 22 = z 几= 1 ，( z l ，z 2 ，z 礼) = 扎n ( 4 7 ) 由此可见，当o o 时方程( 4 2 ) 在条件( 4 3 ) 下有唯一组实数解z 1 = z 2 = = z n = 1 2 当口 o 的情况，在前面己讨论，它只有唯一组实数解z 1 = z 2 = = z n = 1 16 西北大学硕士学位论文 综合以上两种情况可知，无论n 是正数还是负数，方程( 4 2 ) 在条件( 4 3 ) 下有且 仅有，组实数解z l = z 2 = = z n = 1 于是完成了定理( 4 2 ) 的证明 然后再用初等的方法证明定理( 4 3 ) 1 当n 为奇数时，若o 0 ，方程( 4 4 ) 右端 0 ，则左端 0 ，必有z 0 1 ) 当o 1 时，若方程( 4 4 ) 有解，则z 必为正数，此时有不等式 罢n z + 九专+ 僦：+ 击n z ”2 ( 佗+ 1 ) 。， zz “ 当且仅当z ：兰时等号成立即有 z 2 = 1 ，解得z = 1 ， 故当o 1 ，方程( 4 4 ) 只有唯一解z = 1 下面来证不等式( 4 9 ) 由基本不等式 生竺生坐孤丽， 并将兰以z 和死z o ；各分别拆成基本不等式中的凡项， + 矾击孙+ 1 ) 叫扣缈痧zvz “ 而 “痧= 。譬， 再对该式右端。的指数应用基本不等式，就有 同法可证 ! 口z + z n o 击( 扎+ 1 ) 口 z + 刍。扩( 佗+ 1 ) 。 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 珂( 4 1 u ) 【4 儿) 网武万别水利驯侍( 4 9j 2 ) 当o o 。，由对称性去也是方程的一个 根，不妨设o z o 1 ，则o 铷 0 于是， 当0 n 1 时除z = 1 外无其它实数解 下面证明：当o 0 ，0 n 0 ，则不定方程( 4 4 ) 的非负实数解为z = 1 的证明， 同( 1 ) 中n 为奇数的情形这里略去 故定理得证 1 9 第五章小结与展望 第五章小结与展望 在0 n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s 一书中，罗马尼亚著名数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授提出了许多有待解决的数论问题本论文主要研究了 其中的一些数论函数的均值，用初等方法和解析的方法得出了一些较好的结 果其中第四章对一类函数方程的可解性进行了研究，并得到其实数解然而该书 中还有许多问题期待我们去解决，这些是作者继续研究的对象彻底解决或者作 出实质性的进展将是我们最终的目标! 2 0 1 f s m a r a n d a c h e ， 1o 】 c h i c a g o ，1 9 9 3 ，2 5 参考文献 o n bp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ，x i q u a np u b l i s h i n gh o u s e ， l em a o h u a ，s o n l ep r o b l e n l se o n c e r n i n g t a r yf u n c t i o n ( i ) ，s m a r a n d a c h en o t i o n s t h es m a r a l l d a e h es q u a r ec o m p l e m e n j o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ，2 2 0 2 2 1 f b l i c er u s s o ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h es m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n t a r v f h n c t i o n ，s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 6 0 1 7 3 l em a o h u a ，s o m ep r o b 】e m se o n c e r n i n gt h es n l a r a n d a e h es q u a r ec o m p l e m e n t a r yf u n c t i o n ( i i ) ，s m a r a n ( 1 a c h en o t i o n 8j o u r n a l ，2 ( ) 0 4 ，1 4 ，3 3 0 3 3 2 l em a o h u a ，s o m ep r o b l e m sc o n c e r n i n gt h es m a r a n d a c h e8 q u a r ec o m p l e m e n t a r yf u n c t i o n ( i i i ) ，s m a r a n ( 1 a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ，3 3 3 3 3 4 l em a o h u 瓠s o m ep r o b l e m se o n c e r n i n gt h es m a r a r l ( i a c h e8 q u a r ec o m p l e m e n t a r yf u n c t i o n ( i v ) ，s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ，3 3 5 3 3 7 f s m a r a d a c h e ，o n l yp r o b l e n l s ，n o ts o l u t i o n s ，x i q u a np u b l i s h i n gh o u s e ， c h i c a g o ，1 9 9 3 ，4 1 4 2 。 z h a n gw 6 n p e n g ，l i ud u a n s e n ，o n a s y n l p t o t i cp r o p e r t y ，s m a r a n d a c h e t h ep r i n 】i t i v en u m b e r so fp o w e rpa n di t s n o t i o n sj o u r n a l 2 0 0 2 ，1 3 ，1 7 3 1 7 5 y iy u a n ，o nt h ep r i m i t i v en u n l b e r so fp o w e rpa n di t sa s y m p t o t i cp r o p e r t y ， s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ，1 ( 1 ) ，1 7 5 1 7 7 x uz h e f e n g ，s o m ea r i t h m e t ，i ( a 1p r o p e r t i e so fp r i m i t i v en u m b e r so fp o w e r p ， s c i e l l t i am a g n a ，2 0 0 6 ，2 ( 1 ) ，9 一1 2 【11 】z 1 1 a oy h a n e ，a ne q u a t i o ni n 、0 1 v i n gt h ef u n c t i o n s ；( n ) ，s c i e n t i an i a g n a ，2 0 0 6 ， 2 ( 2 ) ，1 0 5 啊1 0 7 f 1 2 】7 i b mm a p o s t 0 1 ， i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，n e wy 6 r k ， s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 1 3 】z h a n g1 、7 n p e n g ，0 na ne q u a t i o no fs m a r a n d a c h ea n di t si n t e g e rs o l u t i o n s ， s n l a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 7 6 1 7 8 【1 4 潘承洞，潘承彪，初等数论，北京大学出版社，1 9 9 2 ，7 2 9 5 1 5 】复旦大学数学系，数学分析，高等教育出版社，1 9 8 3 ，1 9 6 2 0 0 【1 6 】刘端森，李超，杨存典，数学的实践与认识，2 0 0 3 ，3 3 ( 9 ) ? 1 2 6 1 2 8 【1 7 】w a n gy 6 n g 妇n g ，o nt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h e p r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 5 ，1 0 3 一1 0 6 【1 8 】 f 19 】 l ih a i l o n g ，z h a ox i a o p e n g ，o nt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o na n dt h ek t hr o o t s 蝉a p o 脚i m e g 粤! r e s e a r c h