（基础数学专业论文）带有临界点的hamiltonian系统的周期函数的性质.pdf

上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 非线性动力系统，也可以叫做“非线性科学”或者是“混沌理论“，是一个非常重要 的学科。它在很多科学研究中都起到了很重要的角色，包括数学、机械、航天、电路、 控制系统、人口问题等等。一般情况下，动力系统都会包括某种参数( 通常叫做分支参 数或控制参数) 。这些参数的变化对研究动力系统的行为起到了很大的作用。复杂动力 系统的研究主要包括非稳定性，分支和混沌。可以把非线性动力系统大概分成两个方 面：局部分析和全局分析。这两种类型应该用不同的方法和理论加以研究。其中分支理 论是针对依赖于参数的系统研究当参数在某一特定值附近作微小变化时，其性质发生本 质变化的情况。在微分方程的分支理论中，主要研究参数在某一临界值附近发生变化时 奇点个数的变化、奇点稳定性的变化、周期解个数的变化等问题。分支现象普遍存在于 自然界当中，因而也大量存在于描述自然现象的数学模型中。 本文主要研究h a i i m t o n i a i l 系统的周期函数的全局性质，主要包括周期函数的单调性和 凹凸性。研究的方法主要使用了计算机的数值计算和符号运算功能。例如使用计算机画 出了研究系统的轨线分布图，进行大量复杂的数学计算。本论文的内容安排如下： 第一章为引言，主要内容是介绍所研究课题的来源、现状、以及本文的研究方法和主 要结论。 第二章则介绍了与本论文相关的符号表示和一些预备定理知识。 第三章研究了具有一种形式的h a i i l i l t o n i a i l 系统周期函数，并且证明了此类周期函数是 单调递增的并且是凸函数。 最后，在第四章首先证明了另外一种形式的h a i i l i l t o n i 锄系统周期函数性质的判定定理 并且我们给出了证明。并且就一种形式的六阶h a i i i i l t o n i a i l 系统的周期函数加以证明，证 明了周期函数是单调递增且是凸函数。 关键词：h a i i l i l t o n i 觚系统，周期函数，单调性，凹凸性，多项式 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rd y n a m i c s ，m o r eg 瑚d l yc 甜l e d ”n o l l l i n e a rs c i e n c e ”o r c h a o st l l e 0 巧”，i sa l li m p o r - t a l l ts u b j e c t ，w h i c hp l a y s 锄i m p o r t a n tr 0 1 ei nm es t u d yo fa l m o s ta nd i s c i p l i n e s0 fs c i e n c e i n c l u d - i n gm a t t l e m a t i c s ，m e c h a n i c a l ，a e r o s p a c e ，e l e c t r i c a l ，c o n n i o ls y s t e m s ，p o p u l a t i o np r o b l e m sa n ds o o n i ng e n e r a l ，d y n a l i l i c ss y s t e m sw i nb ei n c l u d e di nc e r t a i np a r 锄e t e r s ( u s u a l l yc a l l e db i f u r c a t i o n p a l r a m e t e r so rc o n 臼o lp a l r 锄e t e r s ) c h a n g e si nt h e s ep 锄m e t e r so f l es t u d yo ft i l eb e h a v i o ro f d y n 锄i c a ls y s t e m sh a sp l a y e das i g n i f i c a i l tr o l ei n n ec o m p l e xd y n a n l i c sp h e n o m e n a ，i n c l u d i n g i n s t a l ) i l i 吼b i 觚a t i o na n dc h a o s n o n l i n e a rd y n a i n i cs y s t e m sc 锄b er o u 曲l yd i v i d e di m ot w o 雒p e c t s ：l o c a l 柚a j y s i sa n d9 1 0 b a l 觚a l y s i s b o t l lt ) r p e ss h o u l du s ed i 侬躺n tm e t h o d s 锄dm e 嘶e s t 0s t i l d y o n eb r a n c ho fm e o 巧i sd e p e n d e n to nt h ep a r 锄e t e r sf b rt h es y s t e mw es m d i e dt h ep a - r a m e t e r so fap 碰c u l a rv a l u eo ft l l ev i c i n i 哆s m a l lc h a i l g e s ，f u n d a i i l e n t a jc h a i l g e si nt 1 1 en a t u r e0 f m es i t i l a t i o n b 啪c hi nt 1 1 em e o 叮o fd i 彘r e n t i a le q u a t i 伽s ，m a i n l yi na 砸t i c a lv a j u eo fp 跚唧e t e r c h a l l g e sn e a rt h ec r i t i c a lp o i n tw h e nt 1 1 en u n l b e ro fc h a n g e s ，c h 柚g e si l lt l l es t a b i l 姆0 fs i i l 9 1 l l a r p o i m s ，p e r i o d i cc h a n g e si nm en u n l b e ro fi s s u e s b r 卸c hi sc o 咖0 ni nn a n 鹏t 1 1 e m ，卸dt h u sl a 略e n u m b e r si nt l l ed e s c i i p f i o n0 fm em a l l l e m a t i c a lm o d e l so fn a t 组p h e n 鲫e n a 1 l l i sp a p e rs t u d i e sp e r i o d i cf i l n c t i o no ft h eg l o b a ln a t u r e0 ft 1 1 eh a i i l i l t o n i 彻s y s t e m ，i n c l u d i n g m o n o t o n i c i t ya n dc o n v e c o n c a v e r e s e a r c hm e t h o dm a i n l yu s e di nc o m p u t e rn u m e r i c a lc a l c u l a - t i 伽姐ds y m b o l i co p e r a l i o n f 0 re x 锄p l e ，as t u d yu s i n ga c 伽叩u t e rd r a ws y s t e m ，仃旬e c t o r ym a p ， t 0a l a 略en u m b e r0 fc 彻叩l e xm a 血e m a t i c a lc a l c u l a t i 伽s t h ec o n t e m so f 嘶sp a p e ri s 船f o l l o w s ： a s 锄i n 仃o d u c t i o n ，i nm ef i r s tc h a p t e rw ei n 仃o d u c et h eb a c k g r o u n do f0 1 1 rr e s e a r c h 矾dm a i n t o p i c st l l a tw e w i l ls t i l d yi nm e f o l l o w i n gc h a p t e r s w r ea l s o 垂v ead e s 翻砸0 no fo l l rm e m o d sa l l d r e s u l t sd e t a i n e di nt h i st l l e s i si nt 1 1 ef i r s tc h a p t e r t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e st l l es y m b o l s 豁s o c i a t e dw i lt l l ep a p e rs a i d ，缸l ds o m eh o w i - e d 【g eo f l ep r 印a r a t o r yt l l e o r e m s c h a p t e r is t i l d i e saf o mo fh a n l i l t o n i a i ls y s t e m sw i t hap e r i o d i cf u n c t i o n ，a n dp r o v e dt h a t 吼j c hap e r i o d i cf u n c t i o ni sam o n o t o n ei n c r e a s i n g 锄di sac o r l v e xf u n c t i o n f i n a l l y i nc h a p t e r ，t h ef i r s tp r o o fo fa n o t h e rf o 肿o fh 帅i l t o n i a ns y s t e m st 0d e t e m i n et h e n a n 鹏o f p e r i o d i cf u n c t i o na n dw e 百v e l ep r o o fo ft l l e o r e l n p e r i o d i cf u n c t i o nt ob ep r o v e do f 锄o t l l e rf 洒，锄dp r o v e dt h a ts u c hap c r i o d i cf u n c t i o ni sam o n o t o n ei n c r e a s i n g 觚di sac o n v e x f i 】n c t i o n k e yw b r d s ： h 锄i l t o n i a i ls y s t e m ，p e r i o d i cf u n c t i o n ，m o n o t o n i c i t y c o n v e x c o n c a v e ，p o l y - n o i i l i a j n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：区b 盎垣日期：皇趁! 红 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：匿溘拖 导师签名：日期：趁丝! 厶 i 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 本章的主要内容分别就极限环、周期函数、椭圆h 锄i l t o n i a n 系统的周期函数研究发展 加以阐述并引出本文主要研究的问题。 1 1 极限环 仁嬲 ， 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 于一般的平面多项式系统或者对于特殊阶数的系统我们通过提高他的下界来接近它的上 界。我们可以通过计算机软件( 如m a p l e ，m a t l a b ) 的帮助，通过计算焦点量的值( 或者 l y a p u n o v 常量，或者h o p f 分支的正规范型) 来可以研究h o p f 临界点分支出的极限环。 这些方法都收到了很好的效果。 1 2 周期函数 自从十九世纪八十年代，越来越多学者已经开始了平砸微分系统中的临界周期的研 究。1 9 9 3 年c 叫c o n e 和f d u m o n i e r 【7 】证明了在平面紧集中对于解析向量场，如果周期 环带不是等时的，那么临界周期的数目是有限多个。关于平面微分系统中的二次系统， 当有一个中心在原点时，h z o l a d e k 将系统分为四种情况：h a i i l i l t o n i a i l q 争，r e v e r s i b l e q 多， h 锄i l t i d n i 卸t r i a n 9 1 e ，q 40 f c o d i m e n s i o nf o u r 。在【8 中证明了h a i i l i l 白d n i a i l q 芋和h 锄i l t o n i 锄 t r i a i l g l e 的周期的单调性。系统q 4 被转化为与其等价的h a i i l i l t o n i a i l 系统且相应的单调性问 题也已经解决。对于删i b l e q ，非单调周期函数在【9 】中给以介绍，但是他给出的是一 个特殊的系统圣= 一可+ z 可，雪= z + 2 暑，2 一2 其中1 4 c 1 4 7 。 更多的研究集中在如下形式的微分方程 + ，( z ) = o ， c h o w 和s a i l d e r s 在【l 】中研究了d e g ( f ) 3 和d e g ( f ) = 4 的情况，他们用p i c a r d f u c h s 方程证明 了当d e g ( f ) = 3 时，它的周期函数是单调的。当d e g ( f ) ；4 时，周期函数最多有三个临界 点。应用【l 】中的p i c a r d f u c h s 方程，在【2 】中g 删l o v 研究了r ( 口) ? ( o ) 满足的融c c a t i 方 程的相图，从而证明了当d e g ( f ) = 4 时周期函数最多有一个单临界点，但是此种方法 应用到d e g 5 时却显得很麻烦。对于d e g ( f ) = 5 时，李路【3 】给了我们另外一种证法。 得到了当周期环带围绕着一个非退化的奇点时，周期函数是单调增加的；其余的 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 情况周期函数只有一个临界点。更具体的还有一些结果，j s m o l l e r 和a w a s s e 衄a n 在【1 0 】中考虑了厂( z ) = 一z ( z n ) ( z c ) ，证明了当n 0 c 时丁( 危) 是单调的。 当，( z ) = 一z 2 ( z q ) ( z 1 ) ，0 q l ，( z ) = ：一z 4 + 。3 和，( z ) = z ( z 2 一1 ) 2 ， 在【l l 】和【1 2 】中都有涉及。 1 3 主要研究问题 正乏 3 力 胃扛，彩= 萼+ f 扛) ， f ( z ) = z 霉，( s ) 如 t ( ) ：多出 ，l h i - _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ 一 又由圣= 可得 t 一z 。警 其中积分的方向为逆时针且由向量场( 1 3 2 ) 决定。 本文主要研究( 1 3 2 ) 中，( z ) 的形式为 以及 其中 ，( z ) = z ( 矿一铲) ，( z ) = z ( z 2 一t 正2 ) ( z 2 一可2 ) 0 乱 0 ，原点( o ，o ) 是中心，围绕它的周期轨道为三 且通过点( o ，危) 且 ( 0 ，) ，其中是 正的。令q 0 ，原点( o ，o ) 是中心，围 绕它的周期轨道为f 且通过点( o ，九) 且九( o ，) ，其中是正的令q o 时，( 5 ( ，) 2 3 ，7 ，朋) ( z ) o ，当z 满足，7 ( z ) = o 时，扛) ，( z ) o 时，( 5 ( 厂) 2 3 ，7 ，胛) ( z ) o ，当z 满足，7 0 ) = o 时， ) ，扛) o ；当z ( q ，p ) ，囊( o ，) 时，如果条件r 剀成立，那么r ( ) o 。 在【3 】这篇文章中，李一路考虑了关于( 1 3 2 ) 的平面h a m i l t o n i a i l 系统，文章给出了如下 两个条件： ( c ) ：当存在z ( n ，o ) 满足， ) o ：当存在 釜三童堡鱼! 塑 上海师范大学硕士学位论文 z ( o ，p ) 满足，7 ) 0 ， ( d ) ：当存在z ( 口，0 ) 满足，7 ( z ) o 时，( 3 ，( 2 f ，7 一，2 ) 一2 f 厂，) ( q ) o ；当存在 。( o ，) 满足厂7 ( z ) o 时共有两族周期环带，把它们记为 l o ( 危) ， 而) ， l 1 ( 九) ，九以) 。它们分别围绕点( 一乱，o ) 和( 乱，o ) ，其中五= ( o ，鬼) ，i = o ，1 。通过计算 日( t ，) = f ( o ) ，日( 一乱， 1 ) = f ( o ) 解得= 乎t t 2 ，允l = 譬u 2 。 7 因此有 y 、厂 厂一。 、 ， | j 1 io l l f | 、- - 1 _ - 一 f i g 1 p h a s ep o r t m i t so f ( 3 1 ) l o ( ) n ( t 正，y ) 可 o ) = ( u ，危o ) ， l l ( 九) n ( 一u ，秒) 可 o ) = ( 一钆， 1 ) ， 把相应的周期函数记为蜀( 危) 和乃( ) 。下面首先来研究( 危) 的性质。 引理3 1 1 ：当危如时，周期函数( ) 是单调增加的且为凸函数。 证明：由，0 ) = z ( 户一u 2 ) ，由日( 0 ，o ) = 日( z ，o ) 解得z 1 = 、孔，z 2 = 一以u 。当 五时，z ( o ，伽) 其中让 o 。进行变量替换，令亡= z u 得t ( 一心，以乱一u ) 其 中乱 0 。这样就把( 3 1 1 ) 中的，( z ) 变成g ( t ) 。得 q ( t ) = t + “) ( t + 2 u ) 那么口( o ) = o ，q ，( o ) = 2 乱2 o 。当t ( 一仳，佩一让) o ) 时t 口( t ) o ，满足条件( 2 o 1 ) 通过计算 g ，( 亡) = 3 亡2 + 6 t t + 2 u 2 ， 矿( 亡) = 6 t + 6 u ， ( t ) = 6 e ( t ) ：= 5 ( ，( t ) ) 2 3 9 他) g ，( t ) = 1 2 6 t 2 + 2 5 2 乱t + 1 4 4 r 上海师范人学硕：卜学位论文 第三章日= 簪+ p ( z ) 类型的周期函数性质 为了证明条件( a ) 的前半部分成立，首先证明当t ( 一u ，以u u ) 时，e ( t ) o ，其 中0 o ， e ( 屈一让) ：2 7 0 札2 o ， e ( 亡) l ：1 1 2 6 亡2 + 2 5 2 t + 1 4 4 乱2 舌( 一1 ，以一1 ) 由判别式小于零得e ( t ) i 怛l o 。假设存在一个咖满足咖 o 。使得e ( t ) l 。：1 = o 对于 t ( 一咖，伽。一坳) 有根。将u 值从u = 1 连续变化到牡= 钍o ，由函数的连续性，我们 必能找到一个缸，其中矗 0 。使也满足 e ( t ) l 砬= o ，( t ) i 屯= 0 ， ( 3 1 2 ) 若此方程组有一个根亡，使t 满足t ( 一色，伽一砬) 从( 3 2 3 ) 的方程组中消掉亡，可以得 到 一3 6 砬= 0 从此式中可以看出符合条件砬是不存在的。由此矛盾我们得到对于亡( 一“，瓜一u ) 有e ( ) 0 。这样就证明了条件( a ) 的第一部分。接下来证明条件( a ) 的第二部分。此 时满足口他) = o 的值有= 。二墨笋让，t 1 = 二学札此时我们只需考虑t l = 丑乎u ，计 算g ( 二墨学牡) ( 二墨学“) = 一2 u 4 o 当t = 二墨学札时，q ，( t ) = o 。令q = 立学u 我们有 3 口，( 2 驯_ 9 2 ) - 2 删) ( - 3 + 怕3 u ) = 堂塑掣 。 第三章日= 誓+ p ( z ) 类犁的周期函数性质上海师范大学硕士学位论文 满足条件( c ) 应用定理1 ，定理2 就证明了此引理成立。 引理3 1 2 ：当九 时，周期函数丑( 九) 是单调增加的且为凸函数。 证明：由厂( z ) = z ( z 2 一u 2 ) ，由日( o ，o ) = 日( z ，o ) 解得z 1 = 、孔，z 2 = 一钜让。当 九 时，z ( 一概，o ) 其中u o 。进行变量替换，令亡= z + u 得t ( 一 h + 仳，珏) 其中让 0 。这样就把( 3 1 1 ) 中的，( z ) 变成g ( t ) 。得 g ( 亡) = t t 正) ( t 一2 u ) 那么q ( o ) = o ，g ，( o ) = 2 牡2 o 。当亡( 一讵钍+ 牡，让) o 】时芒口( ) o ，满足条件( 2 o 1 ) 通过计算 9 7 ( 亡) = 轧2 6 让t + 2 扎2 ， ( t ) = 6 t 一6 仳， g ，( t ) = 6 e ( t ) ：5 ( g ，( 芒) ) 2 3 9 他) g ，( t ) = 1 2 6 t 2 2 5 2 乱亡+ 1 4 l 乱2 为了证明条件( a ) 的前半部分成立，首先证明当亡( 一讵“+ 仳，u ) 时，e ( 亡) o ，其 中u 0 。使用m a t l a b 软件计算可以得到 e ( 一面+ u ) ：2 7 0 仳2 o ， e ( u ) d 8 缸2 o ， e ( t ) i u ：l 岛2 6 亡2 2 5 2 t + 1 4 4 亡( 一以+ 1 ，1 ) 由判别式小于零得e ( t ) i 忙l o 。假设存在一个让。满足u o o 。使得e ( 亡) l 忙1 = o 对于 亡( 一 + 乱，u o ) 有根。将乱值从u = l 连续变化到u = 珏o ，由函数的连续性，我们必 能找到一个砬，其中砬 0 ，使砬满足 e ( t ) k = o ，( 亡) i 缸= o ， ( 3 1 3 ) 若此方程组有一个根t ，使t 满足亡( 如+ 也，也) 从( 3 1 3 ) 的方程组中消掉，可以得到 一3 6 也= 0 1 0 上海师范大学硕：f ：学位论文第三章日= 簪+ p ( z ) 类型的周期函数性质 从此式中可以看出符合条件砬是不存在的。由此矛盾我们得到对于亡( 一屈+ u ，“) 有e ( t ) 0 。这样就证明了条件( a ) 的第一部分。接下来证明条件( a ) 的第二部分。 此时满足q ，( 亡) = o 的值有t o = 学u ，芒1 = 学u 此时我们只需考虑亡1 = 学乱，计 算口( 墨学乱) g ( 墨学钍) = 一2 “4 o ， q ，( o ) = 2 钆2 o q ，( 乱) = 一让2 o 满足条件( c ) 应用定理1 ，定理2 就证明了此引理成立。 定理3 1 ：当缸 o 时，当，( z ) = z ( z 2 一u 2 ) ，l ( 危) 表示围绕单个非退化奇点的周期轨道， 那么相应的周期函数是单调增加且是凸函数o 3 2 ，( z ) 形式为z ( z 2 一u 2 ) ( z 2 一u 2 ) 的研究 考虑( 1 3 2 ) ，其中，( z ) ( 3 2 1 ) 其中0 乱移在这种情况下，我们有 脚) = 半山字z 。 ( 3 2 2 ) 依据u ，秽取值的不同，使用软件m a p l e 我们得到如下四组相图。首先考虑图( 3 2 ) 中的 l l 动八 三 即 俨 。 一 啦 b 一 囝 p 一 鸭 妒 护 l l = “童 可 |f、一、一l y v、 ? 卜钥 ， 、厂 丫i 、 、 、 、7 ( 2 ) 0 t 正= ， f 、， l o i i | 、，_ - _ 一 f i g 1 p h a s ep o r t r a i t s0 f ( 3 2 ) 第一种情况，即0 o ) = ( t ，危3 ) ， 二4 ( 危) n ( 一 ，y ) 可 o ) = ( ， 4 ) 相应的周期函数记为正( 九) ，b ( 九) 和五( 九) 。下面首先就来研究正( 九) 的性质。 引理3 2 1 ：当九以时，周期函数疋( 危) 是单调增加的且为凸函数。 1 2 上海师范人学硕十学位论文 第三章日= 簪+ p ( z ) 类型的周期函数性质 证明：由，( z ) = z ( z 2 一u 2 ) ( 。2 一口2 ) ，7 l 也，围绕奇点( o ，o ) ，其中z ( 一让，乱) 且 o o 。通 过计算 ，7 ( z ) = 5 2 4 3 ( u 2 + 御2 ) z 2 + t 正2 u 2 ， ，( z ) = 2 0 2 3 6 z ( “2 + 钍2 ) ， ，胛( z ) = 6 0 2 2 6 ( 钆2 + 钉2 ) 订( z ) ：= = 5 ( ，( z ) ) 2 3 ，7 ( z ) ，州( z ) ， = - 11 0 0 2 6 一( 5 7 0 u 2 + 5 7 0 让2 ) z 4 + ( 7 2 u 2 u 2 + 1 2 6 u 4 + 1 2 6 钉4 ) z 2 + 1 8 u 2 4 + 1 8 让4 口4 为了证明条件( a ) 的前半部分成立，首先证明当z ( 一札，仳) 时，m ( z ) o ，其 中0 u 0 ，0 让 0 ，o o 假设有一个点( 让o ，t j o ) 满足o 咖 使得 m ( z ) l ( 伽，珈) = o 对于一咖 z u o 有根。将( u ，v ) 从点( 1 ，2 ) 连续变化到点( 锄，移o ) ，其中 o 咖 伽。由函数的连续性，我们必能找到一点( 面，移) ，其中0 豆 雷。使此点满足 m ( z ) h 矛) = o ，m ( z ) h 。) = o ， ( 3 2 3 ) 若此方程组有一个根。( 一u j 面) ，从( 3 2 3 ) 的方程组中消掉z ，可以得到 矗( 9 矛4 2 雹2 移2 + 9 面4 ) ( 8 3 3 西8 + 2 7 3 2 豇2 矛6 + 6 4 3 8 面4 移4 + 2 7 3 2 砬6 0 2 + 8 3 3 面8 ) = 0 。从此式中可 以看出符合条件0 o ， ，7 ( 一t 正) = 2 u 2 ( 仳2 一 2 ) 0 ， ，( n ) = 2 “2 ( u 2 一可2 ) 0 很显然厂7 ( z ) = o 共有四个单跟。1 ( 一让，o ) ，z 2 ( o ，“) ，z 3 ( 一u ，一乱) ，z 4 ( 仳，u ) 。 在此只需考虑z 1 和z 2 。由z ，( z ) o ，当o o ，得 ，( z 1 ) o ；当o i z z 2 l 1 时，7 ( z 2 ) 一z 2 ) o ，得，( z 2 ) o 应用定理l ，定理2 就证明了此引理成立。 引理3 2 2 ：当 以时，周期函数乃( 危) 是单调增加的且为凸函数。 证明：由厂( z ) = z ( z 2 一u 2 ) ( 护一u 2 ) ，九以，围绕奇点( u ，o ) 。使用m a t l a b 计算，由 日( u ，o ) = 日( z ，o ) 方程共有六个解，z = 一乱，一乱，乱，乱， 了瓦f 丽，一； j 瓦f 丽。 因此z ( 乱， 迈语而) 且o 0 。 1 4 通过计算 q ，( ) = 5 t 4 + 2 0 口亡3 + ( 一3 u 2 + 2 7 u 2 ) t 2 + ( 一6 牡2 口+ 1 4 秽3 ) 亡+ ( 2 4 2 口2 u 2 ) ， 其中 g ( 亡) = 2 0 亡3 + 6 叻t 2 + ( 一6 札2 + 5 4 秒2 ) 亡+ ( 一6 u 2 u + 1 4 3 ) ， ( 亡) = 6 0 2 + 1 2 0 优+ ( 一6 钍2 + 5 粕2 ) ( 亡) ：= ；5 ( ( t ) ) 2 3 9 ，( t ) g 胛o ) = 1 1 0 0 亡6 十6 6 0 0 口t 5 + m t 4 十佗3 垆+ t 2 t 2 + n 1 亡+ n o 毗= 1 5 9 3 0 2 5 7 毗2 ， 他= 1 9 7 2 0 3 2 2 8 “2 ， 礼2 = 1 3 2 0 6 钉4 + 1 2 6 一3 3 4 8 u 2 u 2 ， 佗1 = 2 5 2 u 4 一2 1 3 6 乱2 可3 + 4 5 7 2 5 ， 礼o = 1 4 4 让4 口2 4 8 0 u 2 u 4 + 6 5 6 6 为了证明条件( a ) 的前半部分成立，首先证明当亡( 乱一秽， j 殍可百万一u ) 时，( z ) 0 ，其中o 0 ( 亡) i ( u ，口) ：( 1 ，2 ) = 矗1 0 眦6 + 1 3 2 0 眦5 + 6 3 1 5 眦4 + 1 5 3 2 0 0 矿 + 1 9 8 0 3 毗2 + 1 2 9 7 2 0 t + 3 4 8 0 0 o ，亡( 一1 ，孕一2 ) ( z ) h 口) ：( 1 ，2 ) o 可以用同样的方法得到。假设有一个点( 仳o ，珈) 满足o 乱o 使 得( t ) l ( 诋加) = o 对于t ( “一口， j 瑟骊一口) 有根。将( u ，口) 从点( 1 ，2 ) 连续变 化到点( 砒，铷) ，其中0 锄 如。由函数的连续性，我们必能找到一点( 色，0 ) ，其中 1 5 第三章日= 譬+ p ( z ) 类型的周期函数性质上海师范人学硕士学位论文 0 砬 0 ，使此点满足 ( t ) 毋) = o ，印) i ( 砬。) = o ， ( 3 2 4 ) 若此方程组有一个根，使亡满足t ( 砬一o ， 乏虿丽一谚) 从( 3 2 4 ) 的方程组中消掉 t ，可以得到( 4 2 移2 舻+ 2 ) ( 8 3 3 0 8 + 2 7 3 2 0 6 缸2 + 6 4 3 8 砬4 0 4 + 2 7 3 2 砬6 西2 + 8 3 3 缸8 ) = o 。 从此式中可以看出符合条件0 0 ， 口7 ( 一让一钉) = 2 u 2 ( 仳一 ) ( 乱+ u ) o ， 口，( 钍一口) = 2 牡2 ( 乱一口) ( 乱+ 可) o ， 口7 ( 移一让) = 2 ( t 正一口) ( 4 0 u u 2 3 4 u 3 1 3 口 2 + u 3 ) o ， 因此q ，( 亡) 很显然在舌1 一t ，o ) 有一个单根。在亡( ；乏露百一t ，) 没有根。因此 当t 1 ( u 一口，o ) 时，g ( t 1 ) o 。 因此口( 亡1 ) 口，( t 1 ) o 应用定理1 ，定理2 就证明了此引理成立。 引理3 2 3 ：当 五时，周期函数乃( 九) 是单调增加的且为凸函数。 证明： 由，( z ) = z ( z 2 一t | 2 ) ( z 2 一钐2 ) ， ，围绕奇点( 一钞，o ) 。则z ( 一 乏孕而，一“) 。进行变量替换，令t = z + u 得t ( 一j j 弘而+ 口，u 一仳) 。 1 6 这样我们就把( 3 1 1 ) 中的厂( z ) 变成口( t ) 。得 q ( 亡) = ( t 一2 ) ( t 一 ) ( t + 乱一u ) ( t u t 正) 通过计算g ( o ) = o 且g ，( o ) = 2 口2 ( u 2 一牡2 ) o 。当t ( 一 j 瓦f 而+ u ，u 一让) o ) 时，幻( t ) o 通过计算 其中 9 7 ( ) = 5 亡4 2 0 u t 3 + ( 一3 u 2 + 2 彻2 ) 2 + ( 6 札2 口一1 4 3 ) t + ( 2 刨4 2 u 2 u 2 ) ， g ( 亡) = 2 0 t 3 6 0 u 亡2 + ( 一6 u 2 + 5 4 口2 ) t + ( 6 t 正2 口一1 4 秒3 ) ， g 胛 ) = 6 0 亡2 1 2 0 口亡+ ( 一6 u 2 + 5 4 u 2 ) ( ) ：= 5 ( 夕( 亡) ) 2 3 夕7 ( 亡) 夕删( t ) = 1 1 0 眦6 6 6 0 0 口炉+ m t 4 一礼3 t 3 + 亡2 t 2 一n 1 亡+ 几o n 4 = 1 5 9 3 0 口2 5 7 0 u 2 ， n 3 = 1 9 7 2 叻3 2 2 8 叻u 2 ， 他2 = 1 3 2 0 6 u 4 + 1 2 6 一3 3 4 8 秒2 u 2 ， 佗l = 2 5 2 u 4 一2 1 3 6 u 2 u 3 + 4 5 7 2 口5 ， 伽= 1 4 4 t 正4 伊一4 8 0 t 正2 口4 + 6 5 6 口6 为了证明条件( a ) 的前半部分成立，首先证明当亡( 一 了瓦r 函驴+ 钐， 一u ) 时，( z ) 0 ，其中0 0 ( t ) l ( u ，u ) ：( 1 ，2 ) ：11 0 0 t 6 1 3 2 0 0 t 5 + 6 3 1 5 0 t 4 一1 5 3 2 0 0 t 3 + 1 9 8 0 3 0 t 2 1 2 9 7 2 0 t + 3 4 8 0 0 o ，t ( 2 一孕，1 ) 1 7 第三章日= 嬖+ p ( z ) 类型的周期函数性质 上海师范大学硕： 学位论文 ( ) h ) ：( 1 ，2 ) o 可以用同样的方法得到。假设有个点( 咖，伽) 满足o 咖 使得 ( t ) i ( 。舢) = o 对于t ( 一 j 蕊闹+ 铷，咖一咖) 有根。将( u ， ) 从点( 1 ，2 ) 连续变 化到点( u o ， o ) ，其中o 让o 伽。由函数的连续性，我们必能找到一点( 砬，o ) ，其中 o 缸 0 。使此点满足 ( t ) h 。) = o ，他) h 番) = o ， ( 3 2 5 ) 若此方程组有一个根t ，使满足t ( 一迈矛孺+ o ，o 一色) 从( 3 2 5 ) 的方程组中消 掉亡，可以得到( 9 移4 2 0 2 色2 + 9 砬2 ) ( 8 3 3 移8 + 2 7 3 2 移6 砬2 + 6 4 3 8 砬4 谚4 + 2 7 3 2 色6 0 2 + 8 3 3 也8 ) = o 从此式中可以看出符合条件o 0 ， g ，( 一u + u ) = 2 u 2 ( 乱一口) ( u + ) 0 ， 9 7 ( t 正+ u ) = 2 t 正2 ( u 一口) ( 让+ 钞) 0 ， q ，( 一口一u ) = 2 ( 一 ) ( 4 0 钍 2 3 4 3 1 3 u u 2 + u 3 ) o ， 因此g ，( t ) 很显然在t 1 ( o ，可一u ) 有一个单根。在亡( 一 乏孕孺+ u ，o ) 没有根。 因此当1 ( o ，u u ) 时，口( t 1 ) o 。因此q ( 亡1 ) ( t 1 ) 0 应片j 定理1 ，定理2 就证明了此引理成立。 1 r 上海师范大学硕士学位论文 第三章日= 等+ p ( z ) 类犁的周期函数性质 3 3 ，( z ) 形式为z ( z 2 仳2 ) 2 的研究 本节主要考虑在图中第二种情况下让一口 o 。在此种种情况下，( 1 3 2 ) 中的， ) 变 成，( z ) = z ( z 2 一“2 ) 2 则f 0 ) = ；z 6 一j u 2 一+ 乱4 2 2 。在此种情况下只有一族周期环带， 记为三。( ) ， 以，围绕奇点( o ，o ) 。以= ( o ，“3 丽) 。因此有 三5 ( 危) n ( o ，可) 秒 o ) = ( o ，九5 ) 把相应的周期函数叫做耳( ) 。 引理3 3 1 ：当九以时，周期函数死( ) 是单调增加的且为凸函数。 证明：由，p ) = z ( z 2 一u 2 ) 2 ，其中z ( 一让，u ) 且o o 。且当z ( 一仳，乱) o ) 时，z ，