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基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 摘要 近年来，我国近海海域赤潮事件频发且规模不断扩大，严重破坏了海洋的生 态环境，制约了我国沿海经济的可持续发展，这引起了我国政府及科学界的高度 重视。我国政府从不同层面对赤潮发生的机制、预警、预报与防治方法的研究进 行了大量的投入，其中自动识别有害赤潮藻是有效预防和快速鉴定赤潮藻种的重 要工作，而赤潮藻显微图像分割结果的好坏直接影响自动识别的效果。本文的主 要工作就是研究一种适合赤潮藻显微图像的分割方法。 变分法和水平集方法是偏微分方程理论中两种常用的有效的数学方法，采用 这两种方法的图像分割模型基于变分法的参数化活动轮廓模型( s n a k e 模型) 和 基于水平集方法的几何活动轮廓模型集中体现了偏微分方程图像处理的优越性。 本文针对参数化活动轮廓模型满足能量极小化原理和几何活动轮廓模型适应曲 线拓扑结构变化各自的优点，并结合我国沿海常见有害赤潮藻种类繁多、形态各 异和其显微图像噪声多、信息模糊等的特点提出一种较为理想的赤潮藻显微图像 分割方法一变分水平集赤潮藻显微图像分割方法。 利用变分水平集进行图像分割的方法中，基于图像边缘的分割方法利用图像 边缘的梯度信息进行图像分割，不适用于噪声多、信息模糊的赤潮藻显微图像； 基于图像区域的分割方法利用图像的全局区域信息，具有良好的优化分割效果， 本文详细分析和介绍了其经典的两种模型：m s 模型和c v 模型。m s 模型的 能量函数包含了对图像的区域、活动轮廓曲线的描述，通过优化该模型的能量函 数，可以一次获得原始信息模糊、噪声较大的图像的边界、区域以及平滑图像。 有人提出用水平集方法来解决m s 模型能量函数的优化问题，即建立m s 模型 的简化模型c v 模型。c - v 模型不依赖于图像梯度，而且水平集函数的初始位 置可以定义在图像的任何地方，但c v 模型存在不足之处，在曲线演化过程中 水平集函数需要不断的重新初始化，因此，本文结合李纯明等提出的在能量函数 中融入距离保持项( 惩罚项) 的思想，提出无需初始化的变分水平集图像分割方 法，并在此基础上，通过同时考虑图像的边缘和区域信息，得到适合多数赤潮藻 种显微图像分割的方法基于边缘和区域的变分水平集赤潮藻显微图像分割 方法。最后通过实验证实了该方法的有效性。 关键词：赤潮藻：显微图像；图像分割；活动轮廓模型；变分水平集 n r e s e a r c h e so nt h em i c r o s c o p i ci m a g e s e g m e n t a t i o no f h a r m f u l a l g a eb a s e do nv a r i a t i o n a ll e v e ls e t a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，r e dt i d e sw i t hs e r i o u sh a r m a p p e a rm o r ea n dm o r ef r e q u e n t l yi n c o a s t a lw a t e r s ，w h i c hd e s t r o yt h eo c e a ne n v i r o n m e n ts e r i o u s l ya n dr e s t r i c t st h e e o n t i n u a b l ed e v e l o p m e n to ft h ee c o n o m yo fc o a s t a lr e g i o n si nc h i n a o u rc o u n t r y a r r a n g e dr e s e a r c h e so nm e c h a n i s m ，e a r l yw a r n i n g ，f o r e c a s t i n g ，p r e v e n t i o nc o n t r o l m e t h o d so fr e dr i d ef r o md i f f e r e n ta s p e c t s ，t h ea u t o m a t i cm o n i t o r i n go fr e dt i d ep l a y s a l li m p o r t a n tr o l ei np r e v e n t i n gt h eo c c u ro ft h er e dt i d e sa n d c l a s s i f y i n gt h ed o m i n a n t s p e c i e so fr e dt i d er a p i d l ya n de f f e c t i v e l y , m o r e o v e rt h er e s u l t so fm i c r o s c o p i ci m a g e s e g m e n t a t i o nf o ra l g a lb l o o m sa f f e c tt h ea u t o m a t i cm o n i t o r i n g t h em a i nj o bo ft h e p a p e ri st or e s e a r c ht h em e t h o d so f m i c r o s c o p i ci m a g es e g m e n t a t i o nf o ra l g a lb l o o m s v a r i a t i o na n dl e v e ls e tm e t h o d sa r et w oi m p o r t a n ta n de f f e c t i v em a t h e m a t i c a l t o o l so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i m a g es e g m e n t a t i o nm o d e l sb a s e do nt h et w o t o o l sc o n t a i n p a r a m e t r i c a c t i v ec o n t o u r - s n a k em o d e lo fv a r i a t i o nm e t h o da n d g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u rm o d e lo fl e v e ls e tm e t h o d ，t h et w om o d e l se r n b o d vt h e a d v a n t a g e so fi m a g ep r o c e s s i n gb a s e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n r e f e rt ot h e p a r a m e t r i ca c t i v ec o n t o u r - s n a k em o d e li sa ne n e r g ym i n i m i z a t i o nm o d e la n d g e o d e s i c a c t i v ec o n t o u rm o d e li se a s yi nd e a l i n gw i t ht h ea d a p t a b i l i t yo f t o p o l o g i c a lc h a n g e s ， a n dt h e r ea r em a n yk i n d so fh a r m f u la l g a li nt h ec h i n a sc o a s t a lw a t e r s ，w h i c hh a v e t h ed i f f e r e n tb i o l o g i c a lm o r p h o l o g i c a lf e a t u r e s ，m o r e o v e r , t h em i c r o s c o p i ci m a g ei s n o i s ya n db l u r r y , t h ep a p e rp u t sf o r w a r da ni d e a lm e t h o do fm i c r o s c o p i ci m a g e s e g m e n t a t i o no f h a r m f u la l g a l ，w h i c hi sb a s e do nt h ev a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o d t h em e t h o do fi m a g es e g m e n t a t i o nb a s e do nv a r i a t i o n a ll e v e ls e tc o n t a i n st h e e d g e - b a s e dm e t h o dw h i c hu s e si m a g e sg r a d i e n ti n f o r m a t i o na n di sn o ts u i t a b l e t o n o i s ya n db l u r r ym i c r o s c o p i ci m a g e s ，a n dr e g i o n - b a s e dm e t h o dw h i c hu s e st h e i m a g e sr e g i o n a li n f o r m a t i o na n dh a sb e a e ro p t i m a ls e g m e n t a t i o ne f f e c t s t h i sp a p e r a n a l y z e sa n di n t r o d u c e st h et w oc l a s s i cm o d e l si nd e t a i l ，w h i c ha r em sm o d e la n d c vm o d e l t h ee n e r g yf u n c t i o no ft h em - sm o d e ld e s c r i b e st h ei m a g e sr e g i o n a l l t l i n f o r m a t i o na n dt h ea c t i v ec o n t o u r , a n dg e t st h ei m a g e sc o n t o u r , r e g i o na n ds m o o t h i m a g ev i ao p t i m i z i n gt h i se n e r g yf u n c t i o no n l yo n c e ，a l t h o u g ht h eo r i g i n a li m a g ei s b l u r r ya n dn o i s y s o m e b o d yp r o p o s e su s i n gt h el e v e ls e tm e t h o df o rs o l v i n gt h e o p t i m i z a t i o nq u e s t i o n ，w h i c hi st ob u i l dc vm o d e lo ft h es i m p l em sm o d a l t h e c - vm o d e ld o e sn o tr e l yo nt h ei m a g eg r a d i e n ti n f o r m a t i o n ，b e s i d e st h ei n i t i a l p o s i t i o no ft h el e v e ls e tf o r m u l a t i o nc a nl o c a li na n yi m a g e sp l a c e ，b u tt h ec - v m o d e l h a s t h ed i s a d v a n t a g eo ft h el e v e ls e te v o l u t i o nn e e d i n gr f i n i f i a l i z e dc o n t i n u a l l y t h e r e f o r e ，t h i s p a p e rp r o p o s e s t h ev a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o dw i t h o u t r e - i n i t i a l i z a t i o no ft h ei m a g es e g m e n t a t i o nr e f e r r i n gt ot h el ic h u n m i n g sm e t h o d w h i c ha d d st h ed i s t a n c er e g u l a r i z a t i o nt e r m - p e n a l i z i n gt e r mi nt h ee n e r g yf u n c t i o n b a s e do nt h e m e t h o d ，b yc o n s i d e r i n ga n du t i l i z i n gb o t ht h ee d g ea n dr e g i o n a l i n f o r m a t i o n ，t h ea u t h o r o b t m n st h en e wm e t h o do ft h e m i c r o s c o p i ci m a g e s e g m e n t a t i o nw h i c hi ss u i t a b l ef o rt h em o s ta l g a lb l o o m s _ 一e d g ea n dr e g i o nb a s e d v a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o do fm i c r o s c o p i ci m a g es e g m e n t a t i o no fh a r m f u la l g a e f i n a l l y t h ep a p e rp r o v e st h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o dv i a t h er e s u l t so ft h e e x p e r i m e n t a t i o n k e yw o r d s ：h a r m f u la l g a e ；m i c r o s c o p i ci m a g e ；i m a g es e g m e n t a t i o n ；a c t i v e c o n t o u rm o d e l s ；v a r i a t i o n a ll e v e ls e t i v 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 1绪论 1 1 引言 有害赤潮这一世界性的生态灾害，是国内外共同关注的重大海洋环境问题 【l 羽。近年来，我国近海赤潮的发生呈不断上升的趋势，而赤潮的频发严重破坏 了海洋的生态环境，制约了我国沿海经济的可持续发展，这引起了我国政府及科 学界的高度重视降1 7 】。为保护海洋环境，减少经济损失，我们迫切需要研究赤潮 发生的机制，探索并建立一套完整的预警、预报和防治的体系。为减轻有害赤潮 对海洋环境和人类健康的负面影响，通过快速鉴定赤潮藻藻种实现自动识别技术 来有效预防赤潮的发生显得尤为重要【8 】。 人工识别法是传统的鉴定赤潮藻藻种的方法，经验丰富的藻类专家根据各种 赤潮藻藻种的生物形态学特征在显微镜下通过人工目视对其进行分类实现目标 识别 1 2 】。这种传统的识别方法虽然可行，但却存在许多弊端。比如，现阶段我 国缺少具有丰富的海洋专业知识和分类经验的研究者，而且完成人工识别需要消 耗大量的时间，无法应对紧急情况。 在计算机视觉理论中，目标识别的首要任务是从复杂的背景图像中提取出感 兴趣的目标，即实现图像分割，完成图像分割后再进行后续的特征提取和目标识 别，可见图像分割是所有工作的基础，其分割的结果将直接影响到后续的工作 t t 3 l 0 为了克服人工识别法的弊端，我们提出赤潮藻藻种自动分析和识别的方法， 建立赤潮自动识别系统。其中，赤潮藻显微图像是赤潮自动识别系统中识别赤潮 ， ， 藻种的重要依据，实现自动识别方法的主要工作有：首先对赤潮藻在显微镜观测 下进行拍照，得到各种赤潮藻细胞的显微图像，根据显微图像提取赤潮藻细胞， 然后对赤潮藻细胞的特征进行目标描述，建立数据库，最后设计完成赤潮藻自动 识别系统，实现对赤潮藻的自动分析和识别。其中从赤潮藻显微图像中获取赤潮 藻细胞是自动识别方法中的关键工作，赤潮藻细胞的获取是通过图像分割来完成 的，因此，对赤潮藻显微图像分割方法进行研究变得尤为重要。本文通过对各种 活动轮廓模型图像分割方法的分析与比较，并结合我国沿海常见有害赤潮藻种类 繁多、形态各异和其显微图像噪声多、信息模糊等的特点，提出一种适合多数赤 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 潮藻显微图像分割的方法基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法。 1 1 1 赤潮 赤潮通常是指一些海洋微藻、原生动物或细菌等在适当的海洋环境下暴发性 繁殖，或高度密集在一起而使海水变色，并危害到人类健康和海洋生态环境的事 件。赤潮发生时往往伴有泡沫和浮垢，有的为红褐色，因此称为赤潮【体1 5 】。 近年来赤潮频发、规模扩大，使得海洋生态环境遭到严重破坏，海洋生态系 统失衡不断恶化，渔业资源和海产养殖业受损，并威胁滨海旅游业和人民的生命 安全，这引起了各国政府及科学界的高度重视。赤潮的危害形式主要有：有些赤 潮藻能产生毒素，这些毒素直接危害到鱼类贝类等海洋生物；有些赤潮藻产生的 毒素对海洋生物不构成直接的威胁，但鱼类贝类等海洋生物进食这些赤潮藻后， 毒素会积聚在体内，人类食用后会威胁到人类的身体健康；有些赤潮藻虽然不产 生毒素，但因其过度繁殖而大量耗氧，导致海洋生物因缺氧而窒息死亡【1 5 - 1 3 l 。 1 1 2赤潮藻显微图像的特点 本论文中，赤潮藻显微图像的特点主要表现在以下几个方面f 1 9 1 ： 在藻种获取的过程中，存在海水中的泥沙、未知悬浮物颗粒及藻种细胞 自身阴影等的随机干扰，使藻细胞的原始图像中不可避免地叠加了大量 噪声【2 0 1 ； 显微镜光源的亮度影响图像的质量，显微镜光源亮度不合适会导致图像 不清晰、对比度差，藻细胞轮廓断裂等现象； 拍摄过程中由于藻细胞运动、液体流动等因素的影响，使藻细胞周围产 生“水涡 状噪声； 赤潮藻图像采集过程中，赤潮藻种细胞较小，图像采集卡分辨率不足容 易导致藻细胞边缘的模糊。 可以看出赤潮藻显微图像的主要特点就是噪声大、信息模糊，另外赤潮藻细 胞的种类繁多、形状各异，因此对其实现正确的分割，就需要一种方法能够排除 噪声的影响，充分的利用有限的图像信息，同时又适应各种形态的藻类细胞。鉴 于此，为了提取赤潮藻显微图像中的藻细胞，即目标前景，同时又去除图像中存 2 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 在的各种噪声，即噪声背景，我们研究了图像分割的方法。 ： 1 2图像分割概述 图像处理中的主要方法图像分割，是从原始图像中提取出感兴趣目标的技术 和过程。对于分割提取出的感兴趣的目标部分通常称为前景或目标，其他部分称 为背景，它们是图像中特定的、具有独特性质的同质区域。图像分割是自动识别 和特征提取的基础，通过图像分割将目标提取分离出来，才能完成识别和分析等 工作，才能实现对目标进一步的利用。 图像分割( i m a g es e g m e n t a t i o n ) ，就是按照一定的准则把图像分割成若干互 不重叠的区域，被分割的区域应满足唯一性和同质性【6 l 】。其中，唯一性是指分 割区域是具有独特性质的特定区域，明显不同于相邻的其它分割区域；同质性是 指分割区域是具有相同特性的区域，如灰度、纹理等特性。图像分割算法要实现 的任务就是划分不同质图像区域，划分出来的同质区域即为图像分割的结果，表 示图像中感兴趣的目标部分，图像分割的结果为实现图像识别和分析等提供重要 的依据。对图像分割有不同的解释和表达，借助集合概念对图像分割可给出如下 比较正式的定义【2 0 之1 6 1 1 ： 令集合r 代表原图像的整个区域，对图像的分割可看作是将r 分成个非空 子集墨，r ，其满足以下五个条件，表示原图像的子区域： u r = 尺； 对所有的j 和，f ，有r n 弓= 痧； 对i = l ，2 ，n ，有p ( r ) = t r u e ； 对f 歹，有尸( 墨u 局) = f a l s e ； 对f _ 1 ，2 ，n ，r 表示连通的区域。 其中，矽表示空集，以r ) 是所有在集合r 中元素的逻辑谓词。 条件指出图像的分割应将图像中每一个像素都分到某个子区域中去，或者 说图像分割的结果中应包括图像中所有像素，是全部子区域的并集；条件指出 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 在图像分割的结果中一个像素只属于一个子区域，不能同时属于两个子区域，或 者说在图像的分割结果中各个子区域是互不相交的；条件指出在图像的分割结 果中对于同一个子区域中的所有像素应具有某些共同的性质，或者说在图像的分 割结果中每个子区域的性质是特定的；条件指出在图像的分割结果中，不同的 子区域的性质是不同的，各个子区域间没有公共的元素；条件指出在图像分割 的结果中，在同一个子区域中的像素是连通的。 学习研究图像分割的众多方法中，我们根据使用知识的特点与层次，主要介 绍传统的图像分割方法和基于水平集的图像分割方法两大类。 1 2 1传统的图像分割方法 传统的图像分割方法，一般的主要有：基于边缘检测的图像分割方法，基于 区域提取的图像分割方法，基于边缘和区域相结合的图像分割方法，基于模糊理 论的方法及其他方法【2 。 本文主要分析研究上面方法中的前三种。基于边缘检测的图像分割方法，利 用方向导数实现分割，此分割方法对噪声图像、边缘模糊图像或纹理图像的效果 不理想，并且在使用这种分割方法前往往需要对图像进行一些预处理，如需要使 用高斯滤波去除图像中的高斯噪声、对图像要进行边缘连接等。基于区域提取的 图像分割方法，利用图像的全局信息，实现图像不同质区域的划分，但由于分割 过程中，缺少边缘信息，导致分割出的目标边界不准确，如区域生长法，分割步 骤往往比较复杂。基于边缘和区域的图像分割方法，结合了基于边缘和基于区域 的分割方法的优点，克服了各自的缺点，实现优化分割f 2 2 j 。 1 2 2基于水平集的图像分割方法 水平集方法是研究时间演化过程中处理封闭运动界面几何拓扑结构变化的 有效的计算方法，起源于界面传播等研究领域，并逐步发展起来。近年来，水平 集方法被广泛的应用在图像处理领域中，尤其在图像分割中取得了很大的进展。 事实上，用水平集来进行图像分割的实质，就是水平集方法与活动轮廓模型相结 合构建新的几何轮廓模型以实现图像分割，一种典型的几何活动轮廓模型的图像 分割方法就是变分水平集图像分割方法。该方法是基于偏微分方程的图像处理方 4 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 法【2 3 - 2 6 。 因此，基于活动轮廓模型的图像分割方法完全具备偏微分方程图像处理方法 所具有的优点【2 6 】： 具有很强的局部自适应性。在连续的图像数据上建立偏微分方程，使得 图像中每一个像素的值在随时间f 的演化过程中都仅仅依赖于该像素点 的一个“无穷小的邻域，从这方面来说该方法具有“无穷小 的局部 自适应能力。 较强的扩展性。可以将多种图像处理理论很好的结合到偏微分方程的理 论框架下，使得各种图像处理方法的合成十分自然。 形式上的规范性。使用偏微分方程可以用广义上连续的二维函数对图像 建模，进而对图像进行求导和积分等操作，这使图像处理问题的描述在 形式上变得简单，对不同的图像处理问题，在处理方法上更加统一。 高度的灵活性。基于该方法可以直接处理图像的梯度，曲率、法向量等 几何特征，能较方便地建立一些基本的数学模型，而且可以将其作某些 修改或扩充，得到性能更完善、应用面更广的处理方法。 基于活动轮廓模型的图像分割方法包括基于变分法的参数化活动轮廓模型 ( s n a k e 模型) 和基于水平集方法的几何活动轮廓模型，这两种方法具有偏微分 方程图像处理方法的优点，集中体现了其优越性，目前是研究图像分割方法中的 一个热点领域。 1 3 课题背景及研究意义 ， 本课题主要来源于国家高技术研究发展计划( 8 6 3 计划) “有害赤潮生物诊断 系统技术研究”( 编号：2 0 0 6 a a 0 9 2 1 7 8 ) 。 本课题主要针对我国沿海常见的4 0 种有害赤潮藻，采集不同生长时期、不 同角度观测下的赤潮藻，在显微镜观测下进行拍照，建立中国海常见有害赤潮藻 显微图像数据库；以传统的生物形态分类学为依据，利用图像分析、统计学习和 模式识别技术，研究赤潮藻种的多视点综合表示特征，建立赤潮藻显微图像识别 系统。 本课题的研究目的是要实现有害赤潮藻种的自动识别技术，从而建立一套完 5 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 整的预警、预报和防治有害赤潮发生的体系。 ： 1 4本文内容及结构安排 结合基于变分法的参数化活动轮廓模型和基于水平集方法的几何活动轮廓 模型这两种几何活动轮廓模型各自的优点，提出基于变分水平集方法的赤潮藻显 微图像分割方法。活动轮廓线的演化方程可以直接通过极小化关于水平集函数自 身的能量函数而得到，即水平集函数的演化方程，称此方法为变分水平集方法。 该方法具有参数化模型的优点，同时也具有水平集方法的优点。 变分水平集方法，利用图像边缘信息实现基于边缘的变分水平集图像分割； 利用图像全局信息实现基于区域的变分水平集图像分割。基于区域的变分水平集 图像分割中，经典的c - v 模型【2 5 】为了保证数值解法的稳定性和模型演化的精确 性，在轮廓曲线的演化过程中，水平集函数需要周期性地进行重新初始化。李纯 明【2 7 】等在能量模型中融入能量惩罚项2 勉9 j ，提出无需初始化的变分水平集模型， 有效地去除了水平集函数的重新初始化步骤，但该模型仅利用了图像的边缘梯度 信息，不适用于信息模糊的赤潮藻显微图像。利用李纯明提出的方法的优点，我 们在c v 模型中加入能量惩罚项，实现无需初始化的c - v 模型，该模型利用了 图像的全局区域信息，但没有很好地使用图像的边缘信息。 基于上述模型各自的优缺点和赤潮藻显微图像的特点，本文提出了使用基于 边缘和区域信息的变分水平集图像分割方法实现对赤潮藻显微图像藻种细胞目 标的提取，此方法继承了以上模型的优点，而且克服了它们各自的缺点。 本文主要工作是对有害赤潮藻细胞的显微图像的分割方法进行研究和探索。 第二章主要提出了偏微分方程图像处理中的变分法和水平集方法。 第三章提出了基于活动轮廓模型的图像分割，详细论述了其主要的两种分割 模型：基于变分法的参数化活动轮廓模型( s n a k e 模型) 和基于水平集方法的几 何活动轮廓模型。 第四章是本文主要工作的详细介绍，首先介绍了变分水平集方法，然后从分 割方法分类的角度分别介绍了基于边缘的和区域的变分水平集图像方法。针对这 些方法在分割过程中存在的不足，提出了变分水平集图像分割方法的改进模型。 通过几种赤潮藻显微图像进行分割实验验证了本文方法的有效性。最后是对本文 6 一 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 一- ： 的总结和对未来工作的展望。 7 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 2变分法和水平集方法 2 1变分法 变分法( c a l c u l u so f v a r i a t i o n s ) ，是处理函数的函数的数学领域，和处理数域 上的函数的普通微积分相对；变分法是研究变分问题的学科，是偏微分方程图像 处理中一种有效的数学方法【3 0 1 。这一节将从变分问题出发，介绍变分法和梯度 下降流方程。 2 1 1变分问题及变分问题求解 变分问题是对泛函求极值的问题，使泛函取得极值的函数称为变分问题的 解。 ( 1 ) 泛函的定义，x ，y 分别是定义在同一数域p 上的赋范线性空间和实 数空间，设d 是x 的一个子集，若存在某种对应法则r 使得对任意数x d ，都 有唯一确定的j ，= 丁( 力= 乃y 与之对应，则丁称为泛函数，简称为泛函嘲。这 里，我们只考虑x 是h i l b e r t 空间上的泛函。 简单的说，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一 个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，泛函 是从函数空间到数域的映射。 ( 2 ) h i l b e r t 空间上的泛函：表示为映射，：x r ，其中x 为h i l b e r t 空间，r 为实数域， 其满足线性条件：对任意的x , y x ，口，b r 都有 l ( a x + b y ) = a l ( x ) + b l ( y ) 。若存在常数c ，使得 l ( x ) l 0 ) 图2 4 为曲线基于曲率演化的“曲线变短流和基于常量演化的“面积变化 流”的对比。 ( 1 ) “曲线变短流”( 2 ) “面积变化流” 图2 _ 4 “曲线变短流”与“面积变化流”的对比 通常，活动轮廓曲线是指演化的平面闭合曲线。活动轮廓曲线的动态演化可 以使用曲线参数化的方式来表达，用这种方法描述的活动轮廓曲线在演化过程 中，具有计算复杂度低的特点，并且不一定必须保持为闭合形态，然而这种使用 参数化的方式计算曲线的固有参数，如曲率和法向矢量等，需要高阶微分计算， 1 3 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 计算起来比较困难、计算量大且很麻烦，在曲线演化过程中曲线的拓扑结构将发 生变化，因此使用参数化方式处理曲线的演化过程将是一个相当复杂的处理过 程，尤其是对维数更高的情形，比如对三维的情形 6 4 1 。因此，利用几何参数实 现曲线的演化，是一种非常自然的处理曲线演化的计算方法，本文重点研究了其 中的水平集方法f 2 4 】。 2 2 2 水平集函数及演化方程 在2 0 世纪8 0 年代，美国加州大学的o s h c r 教授和s e t h i a n 教授在研究遵循 热力学方程的火苗外形变化时发现，火苗外形的高动态性和拓扑结构变化的随意 性使用参数化曲线或曲面描述已是无能为力。为了更好地追踪这种复杂运动下的 界面火苗外形，o s h e r 和s e t h i a n 提出水平集( l e v e ls e t ) 方法【2 3 。2 4 排3 5 】。 水平集方法是一种简单有效的计算和分析空间中界面运动的方法，该方法在 处理平面曲线演化过程中，与演化曲线的位置无关，是将运动界面作为零水平集 嵌入到高一维的水平集函数中，由水平集函数的演化方程得到闭超曲面的演化方 程，而嵌入的闭超曲面总是其零水平集，最终只要确定零水平集即可确定运动界 面演化的结果。使用水平集方法的闭合曲线演化会发生分裂、合并等拓扑结构的 变化，而水平集函数作为隐函数仍会保持为一个有效的函数，这正是水平集方法 的大特点【6 5 】。 在水平集方法中，平面闭合曲线c 用隐函数来表示成为一个具有相同函数值 的同值曲线，嵌在三维连续函数曲面矽( 石，y ，t ) 中，通常 = 0 ) 表示同值曲线，称 为零水平集，痧( z ，y ，t ) 称为水平集函数。在处理曲线演化的过程，水平集函数遵 循一定的规律在坐标平面上不断地更新演化，最终曲线演化的形状就是求出的零 水平集所在的位置。如图2 5 所示。 ( a ) 图中初始二维曲线c 0 被视为嵌h ( b ) 图中的水平集函数曲面的零水平集 谚：o = 0 ) ，即c o = c ( t = 0 ) = 扛i 丸，：o = 0 ) 。这样，二维曲线的演化就转换成t - - 维水平集函数曲面的演化。( c ) 图是( b ) 图的水平集函数在f 时刻的演化结果唬，从 中抽取零水平集 办= 0 ) ，就得到了c o 在f 时刻的演化曲线c r ，如( d ) 图所示。 1 4 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 釉 卿 图2 5 水平集方法原理不意图 举例函数f ( x ，y ，z ) = x 2 + j ，2 + z 2 对应于常数c 的水平集是以( 0 , 0 ，o ) 为球心， c 为半径的球面。 当以= 2 ，称水平集为水平曲线( l e v e lc u r v e ) 。 当刀= 3 ，称水平集为水平曲面( l e v e ls u r f a c e ) 。 水平集图像处理的核心思想是把拧维描述视为高一维( 雅+ 1 ) 维的水平集，或 者说是把门维描述视为有门维变量的水平集函数厂的水平集。这样一来就把求解 刀维描述的演化过程转化为求解关于有刀维变量的水平集函数厂的演化过程【3 6 1 。 考虑零水平集工( f ) 所对应的水平集函数矽，则有 矽( x ( f ) ，t ) = 0 ( 2 10 ) 对式( 2 1 0 ) 两边求关于时间的偏导数，有 詈删( 碱小瓦o x = 。 假设f 为外法向方向的速度，勇l v z , 堡，l ：f ， 优 到基本方程式： 警州v 怍。( 2 - 1 2 ) 其中，f 表示曲线上各点的演化速度，方向沿着曲线的法线方向，通常与图像梯 、，j flr m 孺 女 m 腹 ( 门我此因 石y一工缈 v v l l 中其 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 度和曲线曲率有关。 我们称此方程式( 2 一l2 ) 为汉密尔顿雅克比( h a m i l t o n j a c o b i ) 方程【2 4 】，是水 平集函数及相应的水平集在法向力，的推动下的演化方程。 一般的，定义水平集函数为初始曲线c ( t = 0 ) 生成的符号距离函数( s i g n e d d i s t a n c ef u n c t i o n ，s d f ) 。首先，定义符号距离函数： 矽( x ，t = o ) = d( 2 1 3 ) 其中，d 表示点x 到初始闭合曲线c ( t = 0 ) 的e u c l i d e a n 距离，其符号取决于 点x 在曲线的内部还是外部，通常在外部取正号，在内部取负号，在曲线上取值 为零。由距离函数具有的基本性质iv 矽i - 1 ，表明矽( x ，t = o ) 的变化率处处是均匀 的，这样有利于数值计算的稳定性。我们伊平而上的单位圆为例： 矿( x ，y ) = x 2 + j ，2 1 = 0 。这里，初始曲线即零水平集是一个单位圆，即 d = 1 ( t = 0 ) ，其几何意义是，以矽( 墨y ) = 0 即单位圆轮廓为边界，将平面划分成 两个子区域，其中在单位圆的内部区域时矽( x ，力 0 。如图2 - 6 所示： 憩罗 镒懑豢滋 鬟 图2 - 6 距离函数d = 1 ( f = 0 ) 的水平集曲线图 1 6 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 2 2 3 水平集函数的数值计算 实现水平集函数的数值计算，关键是其演化方程汉密尔顿一雅克比方程如何 高效稳定地用离散的形式来表示，其定义域在连续的h i l b c r t 空间中【6 6 1 。以二维 水平集曲线为例，算法主要步骤如下。 根据水平集方法的特点，就是在曲线演化过程中水平集函数将始终保持为一 个函数，可得水平集函数( x ，y ，t ) 可以用离散网格来表示。设h 表示离散网格的 f g n ，en 时刻，纪= 妒( 访，乃，n a t ) ，纪表示在网格点( f ，j ) 处的水平集函数，a t 为时间步长，则汉密尔顿雅克比式( 2 1 2 ) 可以离散化为： 华吲nv 卅。 ( 2 - 。4 ) 只3 为，r 时刻网格点( f ，_ ，) 处的速度。矽( x ，y ，f ) 的有限差分v 纪必须采用适当 的形式以防止几何轮廓模型中轮廓曲线以常量速度运动导致的水平集函数奇异 性问题，即必须基于波前传播的“熵守恒 理论，也就是在曲线的传播上曲线不 会两次经过平面上的一点，“熵守恒 的意义可以理解为：用正在纸上燃烧传播 的火焰来表示演化的闭合曲线，如果纸的某个位置旦被火烧过，则该位置不可 能再次燃烧，将一直保持为烧过的状态。如图2 7 所示波前传播的“熵守恒 原 理，箭头表示波的传播方向，图( a ) 是燕尾形解，两波面相交不满足“熵守恒 ， 是不恰当的解；图( b ) 是满足“熵守恒”的解。 ( a ) 燕尾形解( b ) 熵守恒解 图2 7 波前传播的“熵守恒”原理 满足“嫡守恒”理论的迭代格式为： 1 7 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 硝j 1 = 蠼j + a t ( m a x ( f t o ) v + + m i n ( 只，o ) v 一一k ，“磷；) 2 + ( d ! ；：；) 2 ) ) ( 2 - 1 5 ) 其中，址为时间步长， v + = ( ( m a x ( 五口，o ) ) 2 + ( m i l l ( d ：；：j ，o ) ) 2 + ( m a x ( p 孑，0 ) ) 2 + ( m i n ( p 菇，o ) ) 2 ) v 一= ( ( m i n ( 叼，o ) ) 2 + ( m a ) 【( 叼，o ) ) 2 + ( m i n ( p 孑，o ) ) 2 + ( m a x c d 孑，0 ) ) 2 ) 践j ，琏j ，d i ：硪：，d i j ，毯：为： 赡= 学，咙= 链竽 叼= 华，叼= 华 叼= 华，叼= 华 h 为空间离散步长。 这种差分方法称为有限差分迎风格式( u p w i n df i n i t ed i f f e r e n c e ) 。式( 2 1 5 ) 中当曲线的演化速度大于0 时，曲线的演化方向为v + 的方向，而当曲线的演化 速度小于0 时，曲线的演化方向为v 一的方向。v + 和v 一的方向是由水平集函数 的差分决定的，其中v + 是一个坐标向前的方向，而v 一是一个坐标向后的方向。 其中，速度项f = g ( 1 w f ) ( k + 功，k 为水平集函数的曲率，定义为： 如挑c 尚= 气麓产 亿旧 y 为常数，g ( ) 为非递增函数，一般取： 蒯w 归可去可( 2 - 1 7 ) 其中q 是方差为o r 的高斯函数，幸表示卷积，盯取1 或2 。 通过差分方程式( 2 1 5 ) ，利用迭代法不断更新水平集函数。每次迭代后，利用轮 廓检测法进行检测，得到较新的零水平集，当迭代终止时，得到的最新的零水平 集就是演化后的闭合曲线。然而，这种7 k 平集函数的计算方法具有计算量大，计 基于变分水平集的赤潮藻显微图像分割方法研究 算速度慢的缺点，因为水平集方法本身是将曲线演化的问题由低维扩展到了高 维，即胆维问题扩展到n + l 维问题，维数的扩展自然会增加计算的复杂度、降低 计算的速度。将正方形平面均匀离散成大小为n xn 的网格点，表示其水平方 向和竖直