（应用数学专业论文）n维欧氏空间超曲面的微分几何.pdf

硕士擘住论文 m a s t e r 。st h e $ 1 s 摘要 曲面的微分几何是运用微积分的知识讨论曲面的几何性质的- - i 3 学科，它在理 论与实践中有广泛的应用。本文将系统地讨论疗维欧氏空间超曲面的微分几何，推 广曲面微分几何的一些经典概念和结论。 本文分三个部分：第一部分介绍丹维欧氏空间的向量代数、向量分析和等距变 换，第二部分讨论打维欧氏空圆的超盐面的定义，两个基本形式、曲率张量以及基 本定理，第三部分讨论爱因斯坦超曲面，证明了爱因斯坦超曲面的分类定理。 关键词：超曲面；曲率张量；高斯方程；高斯定理 a b s t r a c t t h ed i f f e r e m i a lg e o m e t r yo f s u r f a c e so f 3d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e si sas u b j e e t t h a td i s c u s s e st h eg e o m e t r i c a lp r o p e r t i e so ft h es u r f a c e s , a n dh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s i nt h e o r e t i c a la sw e l la sp r a c t i c a l i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t es y s t e m a t i c a l l y t h e d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fh y p e r s u r f a c e so fnd i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e s s u c ha st l l e f 的觚dt l l e c o n df u n d a m e n t a lf o r m s ，t h ee t l r v a u l r et e n s o r s , t h eg a u s s i a ne q u a t i o n s ，t h e g a l l s s i a nt h e o r e ma n dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo fh y p e r s u f f a c e s ，a n dg e n e r a l i z et h e d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo f s u r f a c e s k e y w o r d s ：h y p e r s u r f a c e s ，c u r v a t u r et e n s o r , g a n s s i a ne q u a t i o n s , g a u s s i a n t h e o r e m 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得 的研究成果除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 作者鲐慈轰栩日期：帅厂月蛐 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留并向国 家有关舒门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名：荽寓竹 日期讪7 年厂驴日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重迨塞逞銮蜃澄厦；旦圭生；旦= 生i 旦三生蕉查： 作者签名：李良南讨 日期：川年厂月汹 导师签名： 日期：年月 日 第一部分欧氏空间 1 i 欧氏空间的向量代数 ”维欧氏空间 定义1 1 1 数域f 上的一个n 维向量是一个由f 中的珂个数构成的有序数组 0 1 ，_ f n ) ，其中a 。叫该向量的第i 个分量或坐标；如果两个向量对应的分量相等， 就称这两个向量相等；两个向量对应分量的和作为相应的分量构成一个向量，叫这 两个向量的和；分量全为零的向量叫零向量；如果两个向量的和为零向量，称其中 一个向量是另一个向量的负向量。 向量一般用小写黑体英文或希腊字母表示；两个向量a , b 相等记为口；b ，两个 向量盯与b 的和记为a + 西，向量a 的负向量记为叫，零向量记为0 向量口与向量由 之和叫口减去b 的差，记为口一b 。 设痒= ( a i c o , c i ”) ，b = ( 6 ，6 ”) ，贝 a + b = ( 口1 + ，口4 + 6 ”) ，口= ( ，口”) ， 口- b = ( 口1 6 1 ，口”- b ”) 4 一口= 0 。 定义1 1 2 设有数域f 的数k 以及数域f 上的盯维向量a = ( a l c 矿) 数k 与 向量4 的数乘是向量( 幻1 ，k a “) ，记为妇 数域f 上的全体玎维向量的集合记为r ，集合f 中按上述方式定义了加法和数 乘之后就成为一个玎维向量空问 注意，向量空间作为一个集合，它的元素代表该集合的一个点；而作为向量空 间，它的元素又代表一个向量。点与向量的区别在于前者不能进行运算，也不能进 行平移，而后者可以。今后，当我们强调一个元素是一个点的时候，就用大写英文 字母表示；当我们强调一个元素是一个向量的时候，就用小写黑体英文或希腊字母 表示。有时候，我们说一个向量是一个点，是指将该向量进行平移，使得它的的起 点与原点重合，它的终点就是该向量所代表的点。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理1 1 3 设a , b , c 为f 中的向量，意，是数域f 中的数向量的加法及数乘满 足： ( 1 ) 交换律a + b = b + a ； ( 2 ) 结合律口+ ( 6 + c ) = ( 口+ + c ； ( 3 ) 0 + 口= 口： ( 4 ) 任意向量口，其负向量叫= ( 一1 ) 口即：如果仃= ( a i , 口2 ，矿) ，则 吨- - ( - a ，一口2 ，一矿) ； ( 5 ) l a = 口： ( 6 ) k ( t a ) = ( k t ) a ； ( 7 ) 似+ ，扣= 妇+ a ； ( 8 ) k ( a + 6 1 = k a + 肪 证明：由定义直接验证，从略_ 注意，数域f 上的抽象的向量空间是一个集合，其中定义了“加法”和“数乘”， 并且这些“加法”和“数乘”满足上述定理中的( 1 ) 至( 8 ) 这八条公理 向量空间的基 设口，口。，a 2 ，q 是数域f 上的一组疗维向量。如果存在f 的一组数p ，_ i 2 ， 使得口= p a l + 七2 a 2 + + 七7 q ，则称吐是q ，o - 2 ，q 的线性组合，或称a 由 o l ，a 2 ，哆线性表示：如果向量组q ，呸，窿，中至少有一个向量可由其余的向量线 性表示，就称这组向量线性相关，否则就说它们线性无关 由线性代数的知识，我们有： 定理1 1 4 0 为半径的开球定义为 e ( p ) = 红e ”l d ( x ，p ) 0 ，j 占 0 ，使得当0 q t - f o l o ，使得当0 q t - t o i 艿时有 i r ( t ) 一口i 0 ，则称【户；q ，乞】是正 标架或右手标架或右手系。显然，【只岛，e a 是正标架的充分必要条件是混合积 ( e i ，巳) 0 f 的全体正交标架的集合记为芦可以验证正交标架与等距变换一一对应( 如 下图) 少。 定理1 3 6 设r 是三阶正交矩阵，a , b 是舻的两个向量，则 a t b t = ( d e t t ) ( a x b ) t 2i 岛kl ，t j = ( f l l ， 2 ，f 1 3 ) ，f 2 = ( ，2 ，乞，k ) ，f 3 = ( ，3 l ，2 ，岛) r 3 2 f 3 3 j 我们首先证明特殊情况： i t x i t = ( d e t t ) ( i x j ) t ， i t x k t = ( d e t t ) ( i x k ) t ， j t x k t = ( d e t t ) ( j x k ) t 。 令汀= ，j t = t 2 ，k t = ，3 。因为正交变换保持向量的长度和夹角，所以有 i t x j t = j 丁，即f l x t 2 = 鸸 为了确定t 3 前面的符号，由( f l x t 2 ) 毛= ( ，t 2 ，t 3 ) = d e t t 可知t 3 前面的符号为 d e t t 因此我们有汀j f r = ( d e t t ) k t = ( d e t t ) ( i x j ) t 另外两个等式的证明类似 现在我们证明一般的情况设 口= 口i + a 2 j + a 3 露。b = b i + b 2 j + b 青， 则 1 6 设一h h = 明 r 证 a t x b t - = 如6 2 - b 1 口2 ) i r j r + ( a b b l a 3 ) i t x k t + ( 口b b 2 a 3 ) j t x k t = ( 口1 b 2 一b l a 2 x d e t d k t 一( 盯b 3 6 1 口3 ) ( d e t t ) i t + ( 口”b b 2 a 3 ) ( d e t r ) i r - - ( d e t t ) ( a b 2 一b j a 2 ) 露一( 口b 2 一b l a 2 ) ，+ ( 口2 b 3 一b 2 a 3 ) 1 1 r = ( d e t t ) ( a 6 1 r 证毕。- 欧氏空间的共形变换 定义1 3 7 若干个数乘变换和等距变换的复合叫相似变换。 定义1 3 8 变换x w , x o + r 2 兰叫关于以而为中心、以r 为半径的球面的 i 工一x o l 反演交换，简称反演变换。 定义1 3 9f 中保持曲线的夹角不变的变换叫f 的共形变换。全体共形变换 构成的群叫共形变换群。 定理1 3 1 0 ( 刘维尔定理) 从e 3 的开集到开集的共形变换是相似变换以及反 演的复合。 定理的证明见s p i v a k ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，v 0 1 3 ，p 3 1 0 。 2 1 超曲面的概念 第二部分超衄面的基本理论 定义2 1 1 设g 是e ”的个开区域，一个连续映射，：g 专e ”1 叫e ”1 的一张 ( r a 维) 超曲面；设该映射用向量函数表示为，= r ，矿) ，称为该超血面的参 数表示；设r ( g ) = s ，有时也称s 是超曲面如果超曲面的参数表示是c 可微的， 则称曲面是c 可微的；如果映射r 的j a c o b i 距阵的秩为m ，则称该超曲面是正则 超曲面我们常用m ：，- - r ( u ，) 表示超曲面 设，( “1 ，u “) = ( 一( ，矿) ，x ”u i , - - - , 矿”，则，的j a c o b i 距阵为 j = 苏1 缸” a a “1 ： 叙1苏”“ 抛”o u ” 设c = 百o r ，f = l ，2 ，埘。则膨：，寸，( ，矿) 为正则超曲面的条件等价于 d 巳a - a 。记靠= 黼，叫曲面的单位法向量 对于正则超曲面s ：，- - r ( u 1 ，矿) ，吒，在曲面上每一点p 线性无关，因 此张成一个肌维的线性空间，记为耳s ，叫s 在p 点的切空间。在切空问，每一个 切向量v 都可以唯一表示为，的线性组合，即存在实数一，v 4 ，使得 p = v 五+ + v ”。我们称( 一，矿) 为p 的仿射坐标。例如d r = r i d u + + r , d u 。， 因此( d u l ，d u 。) 就是d ，的仿射坐标。 1 8 第一基本形式 定义2 1 2 设m ：，r ( u 1 ，矿) 是酽+ 1 的超曲面，称i = d r d r 为超曲面的第 一基本形式。 下面我们采用爱因斯坦求和约定，即上下重复的指标表示在指标的变化范围内 求和我们的指标i ，j ，k ，珀变化范围规定为 1 ，2 ，m ) 不难计算i = r j d u d u 。下面我们设岛= - ，则i = 勖d u d u g l 为i = d r d r 是正定的二次型，所以( 岛) 是可逆矩阵，我们记它的逆为( ) 第二基本形式 定义2 1 3 超曲面的第二基本形式定义为n = 以d 2 ， 记= 翥，则i i = t * r , j d u d u j = h ，d u f l u j , 其中= 加= 一一不难证明 i i = 一d r o n 。 不论是i 还是，它们既依赖于曲面上的点p ，又依赖于切空间的向量 ( d l l l ，d u ”) 。这些依赖往我们一般省略。但有时我们需要强调对切向量的依赖性， 就把i 、分别记为l ( d u l ，d u ”) 和i i ( d u l ，r - r ，d u ”) 。 例2 1 4 计算超曲面= = ，( 一，x 2 ，矿) 的第一、第二基本形式。 解该超曲面有向量表示： ，= ，) ；( ”i ，x t n ，( 一，) ) 于是有 ， c5 ( 0 , - - - , 1 , - - , 0 ，只) ，2 掣，吼) ， 其中只= 善，岛= 丽0 2 f ，= t , 2 , - - - , m ) 由此可得岛= c = 乞+ p ，马其中岛= 器；i 主于是 1 9 因为 所以 从而 所以超曲面z = f i i i = ( 磊+ p , p j ) d u d u 。 i l 2 _ g i n + l j l ooa ，； = 1 0 1 0 p 2 i 【0 0 1 = ( 一1 r ( 一a ，- p m ，1 ) ， 栉= 揣= 普( 啷，一 k i 、f 妻一 ：w ：粤 j 1 + 蔷 ( 一，) 的第二基本形式为 2 蓐批蓐貉、1 + 善开1 + 善霄“ 儿，1 ) d x d x j 。 第二基本形式的几何意义 定理2 3 5 设s 是e ”中的c 2 类正则超曲面，户s 。在超曲面上p 点附近任 取一点尸，p 在z 上的垂直投影点q 的仿射坐标设为( d ，d u ”) 。令艿是从q 到 p ，的有向距离，即艿= 萨月那么，i i ( d u l ，d u ”) z 2 8 。 证明设s ：r = r ( 4 ，矿) ，p 刮一( ”1 ，矿) 设曲线 c ：，= ，( s ) ；，( z ，( s ) ，“”( s ) ) 是s 上过p 点的一曲线，j 是自然参数。设尸，是曲线c 上在p 点邻近的一点， 2 0 p = ，( j ) tp = ，0 + 丛) 。利用泰勒公式 两= ，o + 血) 一r ( s ) = ，缸+ 吉( ，+ s ) 缸2 ，其中她。= o 。 得： 万= f 弹= 【，o + s ) 一，p ) 】月= 委( 开，+ 庸。) a s 2 ， 因为s 是一个无穷小量，所以当开，o 时，万的主要部分是 三矗-j恤2=一12 2 席最酽= 三2 一d d “j = 三2 ， 证毕。- 2 2 超曲面的曲率张量 克氏符号 设有正则超曲面s ：r = ，( “1 ，“。) ，它的第一基本形式为i = g v d u d u 7 ，第二基 本形式为i i = 妇d u 7 ，国”) = ( 岛) 一。 定义q k = 五l g l d 巧i a g 万t l + 鲁一等) ，我们称之为( 第一类) 克里斯托斐耳 ( c h r i s t o f f e i ) 符号，简称克氏符号 基本公式 定理2 2 1 ( 超曲面的基本公式) 白2 奎：协“都，i ，l ， 【垮= 9 9 壤， ” 其中，第一式称为高斯公式，第二式称为w e i n g a r t e n 公式 证明设 j = 露吒+ 乃 k = o ， 下面来确定这些式子的系数、乃和( f ，工k = 1 ，m ) 把第一式点乘矗，并注意气厅= o 得乃= 詹= 2 1 硕士季位论文 m a s t e r st i - i e s i s 对岛= 求导数得： 等= 个印等= 竹吩，- 嘞j = 白 所以有 三2 謦+ 等一= ，；r c = 粕、抛。劫锄 口”一 因( ) 是( ) 的逆矩阵，即 g “岛= 彰= 爱耋；i ；，= ，小 则有 露= 舷，g a = j 1g t - 娩茹；+ 盟o u 一，f ，肌小肌 最后我们来确定第二式中的系数。用r k 去点乘第二式得到 衫g 且= 以r k j k ，f ，k = l ，m ， 因此形；一g 砖k = 一_ 曲率张量 定义2 2 2 设 欧= 鲁一吾+ r ：r k f ：r ：，= 鼬磙， 我们将啄和毛“都叫黎曼曲率张量 通过直接验证，可得 定理2 2 3 ( 1 ) 砟= 一惑，硌+ 畋+ 确= o ； ( 2 r 归= 一r 9 瞻，r 懈= r 哪，r 4 h + r 。晦+ r t 睁= o 证明注意e = l ( 1 ) 由曲翠张量的定义直接验证即司。 ( 2 ) 第一式的证明：= g m ，= 一赈= 一。 第二式的证明：用定义以及( 1 ) 的结论可得 一，+ r 蛐+ r 壮= g | 。嘞+ g i 。+ g 。礞 = g 栅( r 品+ 墨昌+ 曩茹) = o 再证第三式：由t = i g u 謦+ 等一等) 得 等+ 等一等= 2 州，等+ 等一等= 2 9 j ，r ：。 两式相加得 鼍：g j | 邝j n 。 氛 。 驴，r 州m ( 等一争+ ( 咿p 孵概 = 塑笔产嵋等一塑瓷2 嵋等蚂咿咿孤 = 堕鼍字母( 咿沁丹) 一堕鼍2 q ( 甜凡) + ( r 二f ；一巧吆) = 塑笔乒一塑铲哪磁驴r 品哪啦一刃鼬 + r ：j j g 。r p j l im g 。i = 主刍謦+ 等一争 嘉謦+ 孑一等， 一r ；r 互占，一r 二r 二+ r ：r ，t , g ，。+ r ；彤g + r 二r ；占。一r ；r 磊j 9 “ = 三刍謦+ 等一百a g l k ，* 砉謦+ 蒡一争 一r p pm 女g m + r 缸0 9 ” = 三2 穗d u d u 一枭d u d u + 貉o u 一籍o u 州峨 、| i l a 0 t a m j h p 。弘”。 而 由上式我们有= 一 最后证明第四式：由第二式得 r 巾+ r 呻+ r 啦| = 0 ，r i 啦+ r j 睡+ r j 凇= 0 ， r 嘲+ r 哪i + r 碡h = o r 1 吨+ r l j b 十r 嘲= 0 。 四式相加得并运用第一、三式得= i 高斯方程与w e i n g a r t e n 方程 定理2 2 4 我们有 ( 1 ) 心啦= 红，吃m 一舷； ( 2 ) 鲁一等- ( r ：u 其中第一式叫高斯方程，第二式叫科达齐( c o d a z z i ) 方程。 证明将高斯公式两边求导得 = 雾渺小参毗吃。2 j 方五+ 1 ，珞+ 磊芦矗+ 吃4 再将高斯公式代入上式得 = 雾：吼+ r ：聃鲁川机巧。 类似地有 = 导：r ；+ r ：九开学弹一k g m 嘶。 由于刮匆，比较上面两式的巧，眨的系数得 吾一雾+ r ；略一r ：艺= 苫“( 勺一) ， 即= g “( k 一瓦) - 此式等价于定理中的第一个方程a 比较，白中露的系数得定理中的第二个方程i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 高斯绝妙定理 定义2 2 5 令x = 器，q 曲面s 的高斯蟀 定理2 2 6 ( 高斯绝妙定理) e 2 ”1 的超曲面的高斯曲率k 由第一基本形式决定， 即高斯曲率是内蕴量。 证明由高斯方程可知l 乏乏l = 一。再用l 印- a c e 公式将2 丹阶行列式 d c t ( ，) 按某两行展开成一些2 阶行列式与其代数余子式( 2 n 一2 阶行列式) 的乘积 之和，而其中的二阶行列式就是一些黎曼曲率。然后再将其中的2 n 一2 阶行列式用 l a p l a c e 公式展开，经过有限次这样的工作，可以证明d e t ( 吃) 是一些黎曼曲率张量 的乘积之和。这说明超曲面的高斯曲率是内蕴量。_ 主曲率与主方向 设s ：，= ，矿) 是e “的正则超曲面，p s 定义一个线性映射 形：昂s r , s ，w ( d r ) = - a n ，叫超曲面在尸点的w e i n g a r t e n 映射a 定理2 2 7w e i n g a r t e n 映射是对称的，即对任意的y ， e 肘，有 ( d ，= v 形( 忉。 w e i g a r t e n 映射w 的特征值叫超曲面的主曲率，特征向量叫主方向。 超曲面沿切向量，弓s 方向的法曲率定义为) = i i i ( 万v ) 定理2 2 8 ( 欧拉公式) 设h ，是超曲面s 在p 点的主方向，一，蚝是 对应的主曲率。则对任意v 耳s ，r ( v ) = x , c o s 2 q ，其中6 ：是v 与哆的夹角。 证明不妨设_ ，和y 都是单位向量，于是它们构成弓s 的单位正交基。再 设p 的仿射坐标为( d ，d u ”) ，也就是设p = d ，。因为y = p e ) tt 所以 硕士擘位论文 m a s t e r s t h e s i s 竹，= 等= 警学= 等= 势咿咐吩= 姜删2 q i i 2 3 超曲藤的基本定理 定理2 3 1 ( 超曲面基本定理) 设g 是e “的单连通区域，i = g y d u d u 7 、 l i = h d u d u 。是g 上的两个二次型，其中第一个是正定的。如果岛，岛满足高斯一科 达齐方程，则存在超曲面，：g 哼e ”1 ，以i 为第一基本形式，以i i 为第二基本形式。 并且这样的超曲面在忽略e ”的等距变换下是唯一的。 证明考虑一阶线性偏微分方程组( 以，c ，厅为未知函数) ： ( 2 3 1 ) a r 丽2 嘉= r ， “小，m 砉= 咖 由偏微分方程理论，这一方程组有解的充分必要条件是 f _ = 厶 ( 2 3 2 ) ( ) 皿= ( c ) 自 【2 由( 2 ，3 1 ) 得= 参= 嘞+ 呜厅= 等= 白，因此( 2 3 2 ) 的第一式成立，而( 2 3 2 ) 的后两式则是高斯方程和科达齐方程，所以条件( 2 3 2 ) 成立。于是，给定一点 ( 以，蜡) 和一个初始正标架【；( ) o ，“，( 乇) 。，】满足 l ( ) o ( ) 。= 岛( 以，“；) ( 2 3 3 ) n o 驰) o - - 0 i n o 。押o2 1 则方程组2 3 1 有唯一一组解 ( 2 3 4 ) 满足初始条件 ( 2 3 5 ) f ，= ，( 以，昭) = i ( 瑶，簖) 卜= 刀以，留) f ，( 越，) = ( 碥，“孑) = ( c ) o 【村心，略) = 嘞 下证由此得到的，= ，( 瑶，铬) 即为所求。 分三步进行：第一步证明，；，撑构成右手系，即混合积 ( ，一，栉) = ( a a r m ) 以 0 ， 同时有_ = 岛，露= o ，疗n = l 第二步证明曲面s ：r = ，( 以，) 以i ，i i 作为第 一和第二基本形式。第三步证明唯一性。 第一步为了证明吒，卅，弹构成满足给定条件的右手系，需要计算 ，露。稃，靠。为此，我们考虑微分方程组 ( 2 3 6 ) 三掣= r ：彤似_ p 席 瓦o ( n - 广r 1 ) = r 1 2 ，；n + f ：z r z 卅k 枷 - ( 吃g 1 + 吃，g 2 吒) 可以验证上述方程组有唯一一组解满足下列初始条件 f “) o = 岛( 瑶，留) 扭t t ) 。= 0 i 印峨= 1 另一方面岛，o ，1 也满足上述条件和方程组( 2 3 6 ) ，由唯一性得 k 打= 1 厶班慝；l o 第三部分爱因斯坦超曲面 设“是r ”1 的超曲面，是它的黎曼曲率张量。我们把巧= j 叫m ”的 k - i 黎齐曲率张量。如果存在常数p ，使得岛= ，我们就称膨”是爱因斯坦超曲面。 这一部分，我们将对爱因斯坦超曲面进行分类。为此，我们先讨论全脐超曲面的特 征。 3 1 全脐超曲面 定义3 1 1 如果超曲面的第二和第一基本形式成比例，即旱是超曲面上点的 函数而与方向无关，则称这样的超曲面是全脐超臼面。 例3 1 2 超平面和超球面都是全脐超曲面。l 定理3 1 3 正则超曲面是全脐曲面的充要条件是它为超平面或超球面。 证明只需证明必要性。设m ”：，= ，( ，矿) 是全脐超曲面，则存在函数 k = k ( u 1 ，矿) 使得= 舡，即嘻= 。因此有 ( + 钒t ) + = 一九+ 鱼= o 。 因此我们有 ( 3 l4 ) 对( 3 1 4 ) 式求偏导得 ( 3 1 5 ) 将此式的f ，交换，得 ( 3 1 6 ) 两式相减得 ( 3 1 7 ) + 钒，= 0 。 7 0 一+ 幻一。，+ 屯，= o 。 n 一。+ h 一一+ k t l ，= 0 。 屯乞，一0 乞，= o ， 2 9 由此得= o ，即| 是常值函数 如果七= o ，则i l = o ，所以。0 - - 0 - 这说明= 0 ，于是席是常向量，膨”就 是平面。 如果k 0 ，则由( 3 1 4 ) 以及七为常数可知n + w = c ( 常向量) 。由此得 h = 阱高，所以曲面是以詈为桃以南为半径的球面。i 3 2 基本公式 设0 是超曲面的w e i n g a r t e n 算子，将高斯方程改写成 ( 3 2 i ) g ( r ( x ，r ) z ，) = g ( ar ，z ) g ( a x ，矿) 一g ( 魃，z ) g ( a r ，) ， 科达齐方程改写为 ( 3 2 2 ) ( v z a ) r = ( v r a ) x 。 则由高斯方程可得黎齐张量r i c 满足 ( 3 2 3 ) r i c ( x ，j ，) = ( 也4 ) g ( 剧，y ) 一g ( 彳2 z y ) 。 选取局部单位正交标架场岛，；，使得前刀个与m 相切，而+ ，与肜垂直， 并使4 成对角形，对角元依次为 ，五。 令x = y = e ，i = 1 ，九。则( 3 2 2 ) 变成 ( 3 2 4 ) 冠，= ( t i 彳) 五一彳， 式中民= p d c ( e , ，q ) 。 如果肘“是爱因斯坦的，即r i c ( x ，1 9 = p g ( x ，r ) ，p 是常数，则( 3 2 4 ) 式变成 ( 3 2 5 )a 2 一j a + p = 0 ， 其中s = n 爿= n h ，h 是m ”的平均曲率。因此肘最多有两个不同的主曲率。 3 3 几个引理 下面设膨”是r “的连通的爱因斯坦超曲面，且n 3 。 引理l 设m ”在某点而有两个不同的主曲率五，其重数分别为p , q = n - - p ， 并且非零的那一个的重数大于l ，则五，p ，g 均是常数。 证明由( 3 2 5 ) 以及5 的定义有： ( 3 3 1 )五+ = j ， ( 3 3 2 )础= p ， ( 3 3 3 ) p i + q l t = j 。 从而有 ( 3 3 4 ) ( p - 1 ) 2 +