（计算数学专业论文）kawahara方程初值问题解的整体存在性.pdf

摘要 本文分三誊第一章应用j c o l l i a n d e r 等人新近发展起来的七一乘子和凫一线性 泛函方法【8 1 1 一，建立了k a w a h a r a 方程初值问题 ia t + u o x u + a 堂：0 ，u ：r 【o ，t 】一r ， l “( o ) = 妒( 茁) h 一( r ) 的高阶几乎守恒律和高阶乘子的点态估计，并得到了关于b o u r g a i n 空间范数下的 次线性估计，进而结合局部解的最新结果【圳，证明了k a w a h a r a 方程初值问题当初 值属于日。( r ) ( 8 一1 ) 时解的整体存在性 第二章讨论了具有耗散和色散相互作用的非齐次k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问 题 ia + 仙a 0 钍一n a 星t + 卢a 堂t = ，( z ，t ) ， 缸：r 1 0 ，卅一r ， l 钍( z ，o ) = t 1 0 ( z ) ， z r ， 其中n ，p 分别为耗散系数和色散系数我们得到了该初值问题解的稳定性、唯一 性，并讨论了解的爆破行为 第三章研究了k a w a h a r a - b u e g e r s 方程的c a u c h y 问题 io t u + o z u + u o z u a a 2 u + 口罐u = 0 ， t ：r f 0 ，+ 】i - - - - - - + r ， 【让( z ，o ) = 他) ， z r ， 其中口 0 ，卢 0 ，卫r 分别为耗散系数和色散系数我们得到了该问题解的唯一 性和稳定性，并讨论了t 一+ o o 时，i i o 。u ( ，t ) l l 及0 u ( ，t ) 的衰减性质 关键词：k a w a h a r a 方程；初值问题；整体解；k - 乘子；b o u r g a i n 空间；非 齐次k a w a h a r a 方程；k a w a h a r a - b u e g e r s 方程 a b s t r a c t t h j 8d i s s e r t a t i o nc o n s i s t st h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 b yu s i n gt h em e t h o do f t h ek - m u l t i p l e ra n dt h ek - l i n e a rf u n c t i o n a l ，w eo b t a i nas e q u e n c eo fa l m o s tc o n s e r v e d q u a l i t i e sa n dt h es u b l i n e a re s t i m a t e si nt h eb o u r g a i n 88 p a c ef o rt h ef o l l o w i n gi n i t i a lv a l u e p r o b l e mt ot h ek a w a h a r ae q u a t i o n ：蒜篙伽x 【0 和r ， f u r t h e r m o r e ，b yc o m b i n i n gw i t ht h el o c a lw e l l - l x 目e d n e s sr e s u l t sg o t t e ni n 【1 3 】，w ee s t a b l i s h ：二善并刚一叫= 啪卅一 篡篇一础州牡：附一r a b s t r a c t k e y w o r d ：k a w a h a r ae q u a t i o n ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ；g i o b a ls o l u t i o n ；k - m u l t i p l e r ； b o u r g a i ns p a c e ；n o n - h o m o g e n e o u sk a w a h a r ae q u a t i o n ；k a w a h a r a - b u r g e r se q u a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 土， 签名：盘堕! 盆 日期：丝田生鱼1 3 璺 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后 应遵守此规定) 上- j - 刖罱 众所周知，调和分析中建立的许多分析工具诸如交换子方法、算子插值方法、极大 函数法、球调和函数理论、位势理论和一般可微函数空间等是研究偏微分方程的必备 工具近3 0 年来，随着调和分析理论的发展和逐步完善，它在偏微分方程中的应用显得 尤为突出在现代物理、流体力学和机械学对孤立子和混沌理论研究中，越来越多的非 线性色散方程进入到偏微分方程的研究领域，这些方程初值问题适定性的研究已经获得 了丰硕成果近年来，j b o u r g a i n l s 一，c o l l i a n d e r - k e e l - s t a t f a l a n i - t a k a o k a - t a o s - l l , z 5 l 以及 k e n i g - p o n c e - v e g a p 8 - 列1 等著名数学家的杰出工作使得这个领域的研究更为活跃，这方面 的研究可参见g u o - m i a 0 1 - 科洲和t a o - c u i 1 2 1 3 , 2 6 2 7 ，2 9 , 4 2 4 4 等人的工作 色散方程是一类重要的非线性发展方程，如果一个发展方程的线性部分具有形式 瓦o u p ( i 1 瓦0 ) t = 弛，t ) ， 则称其为色散方程，其中p ( ) 是一个实系数多项式此时称 r p ( o = 0 为相应方程的色散关系，这类方程出现在很多科学研究领域，其中，双曲型方程是最简 单的色散方程，而非双曲型色散方程也是很多的，例如：线性和非线性s c h r s d i n g e r 方程， k d v 方程，k p - i 方程和k p - i i 方程等 k a w a h a r a 方程也是一类重要的非线性色散方程，于1 9 7 2 年由日本数学物理学家 k a w a h a r a i t s 首先提出的，其描述当b o n d 数小于并接近1 3 ，f r o u d e 数接近1 时长波在 弱介质中的传播问题1 2 】a b r a m y a n - s t e p a n y a n t s 1 1 ，g o r s h k o v - p a p k o f r l ，以及k a r p m a n - b e l a s h o v p s l 分别将k a w a h a r a 方程推广到二维在一些文献中，k a w a h a r a 方程有时也 被称为五阶k d v 方程或者奇异摄动k d v 方程 6 , 1 4 , 1 8 】已经被证明，同k d v 方程一样， k a w a h a r a 方程也存在孤立波解并在无穷远处衰减，但又不同于k d v 方程而带有震荡尾 巴 1 5 ，2 4 , 3 1 - 4 0 1 由于k a w a h a r a 方程的象征为r p ，在方法处理上有些类似于k d v 方程 ( 其象征为7 - 一p ) ，但本质上有好多困难需要克服 本文共分三章，第一章讨论非线性k a w a h a r a 方程的初值问题 前言 la u + t 也t - f 醒t = 0 ，u ：r | o ，刀h r ， lu ( o ) = 妒( 。) 日。( r ) 的解在负指标的s o b o l e v 空间中的整体存在性在【1 2 】中，通过建立该初值问题的 s t r i c h a r t z 型估计证明了当初值属于伊( r ) ( s 1 4 ) 时解的局部存在性，从而利用 k a w a h a r a 方程的一阶和二阶守恒律，得到当822 时解的整体存在性在【1 3 l 中，建立 了该初值问题的解关于b o u r g a i n 空间的双线性估计，并由此得到了当s - - 1 时解在 h m ( r ) 中的局部存在性，从而由l 2 守恒律得到当初值属于妒时解的整体存在性类似 的结果可参见 2 6 - 2 7 ，4 二4 4 】最近在【2 9 】中，对k a w a h a r a 方程c a u c h y 问题的适定性傲 了进一步的研究，利用高低频分解的方法得到了在s o b o l e v 空间中当s 一 时解的局部 适定性以及当s 一i 1 时解的整体适定性本章首先应用j c o u i a n d e r 等人新近发展起 来的一乘子和七一线性泛函方法1 8 - n , 2 s ，建立了k a w a h a r a 方程初值问题的高阶几乎守 恒律和高阶乘子点态估计，并得到了关于b o u r g a i n 空间范数下的次线性估计，进而结合 局部解的最新结果，证明了当初值属于日4 ( 噩) 扣 一1 ) 时解的整体存在性，并对文【8 】中 的几处错误作了修正 第二章研究了如下具有耗散和色散相互作用的非齐次k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问题 让& 。u z ，+ 。，u ：o u 。幻- 。z a ，磋u + p 磋t | = ，( z ，。2 ：r 【0 卅p _ + r 我们得到了该初值问题解的稳定性、唯一性，并讨论了解的辱破行为 第三章利用第二章中的方法，研究了k a w a h a r a - b u e g e r s 方程的c a u c h y f 司题 r 【o ，+ o o h r ， 我们得到了该问题解的唯一性和稳定性，并讨论了t 一十o o 时，i i 瓦t ( ，t ) 9 及i i u ( ，t ) 的 衰减性质 2 u r ， 枷 z 霹 目 卜 扯 霹 口 一 u 娩巩+ “缸卜 + 冉 缸啦 ，-ll，、_【 第一章k a w a h a r a 方程初值问题解的整 体存在性 本章研究下列非线性k a w a h a r a 方程的初值问题 舢+ 蝴埘归仉引舣【o ，明一r ( 1 1 ) lu ( o ) = = ( z ) 日。( r ) 的解在负指标的s o b o l e v 空何中的整体存在性本章的主要定理是 定h 1 1 设s 一1 ，h s ( r ) ，则初值问题( 1 1 ) 存在整体解 我们将通过局部解关于时间的存在小区间1 0 ，棚向任意区间1 0 ，卅( v t 0 ) 延拓的方 法来完成定理1 1 的证明延拓过程将主要依赖于第一节建立的k a w a h a r a 方程的几乎守 恒律和第二节得到的关于b o u r g a i n 空间范数下的次线性估计 根据【1 3 】中局部解的存在性结果并结合k a w a h a r a 方程的l 2 ( r ) 守恒律【1 2 1 ，便得到初 值问题( 1 1 ) 当初值属于l 2 ( r ) 时整体解的存在性，因此我们只需对一1 2 定义时，我们有 i 蝎( 6 ，已，6 ) i 曼m i n ( i ，n 2 ，n s ) ( 1 2 5 ) 证啊由对称性及6 + 6 + 6 = 0 ，不妨设l n n n s 若飓魁一i ，则m j 丑( l ，飓，飓) = ，又m 2 被其自身控制 所以m 2 临) 一 m 2 ( 已) ，则 i 盹( 6 ，已，6 ) i = i 【r 护( 6 ) 矗】。i = i m 2 ( 6 ) 6 + m 2 ( 白) 已- i - m 2 ( 6 ) 6 i = i m 2 ( 6 ) 6 一m 2 ( 6 + 6 ) 6 一m 2 ( 6 - i - 6 ) 6 + m 2 ( 岛) 矗i si f l i i f ( 6 + 6 ) 一m 2 ( 6 ) 矗i + i 专3 i i m 2 ( 6 ) + m 2 ( 已) i 9 第一章k a w a h a r a 方程初值问题解的整体存在性 由引理1 1 得 i 娲i _ 蚓m 2 ( 6 ) + i 矗l l m 2 幅) + m 2 ( 6 ) is1 6 im x ( m 2 恤) ，m 2 ( 已) ，m 2 ( 6 ) ) 若2 一3 ，则( 1 9 ) 式显然成立引理得证口 关于乘子m 4 ，我们有下面估计 u i m l 4 设m j i i i ( 1 式所定义，则在区域蚓一眦，i 白+ 矗i 一上，有 i m 4 ( f 1 ，已，6 ，矗) i 羹囊因为 其中o 3 = 一等 ( 1 2 6 ) 地( l ，6 ，6 ，矗) = 一争 如( f - ，已，6 + 6 ) ( 6 + 矗) 】 ， ( 1 2 7 ) m s ( 6 ，已，6 ) = - i 【m ( 6 ) m ( 已+ 6 ) 6 + 岛 】。， = ；【，舻( 6 ) 6 + m 2 ( 6 ) 已+ m 2 ( 6 ) 6 】， ( 1 2 8 ) 眦觚沪一“煎坠警糌凳产l z 。， 一纠2 绌端鬻掣- t - l n 。， 【5 矗6 ( 艚+ 彦矗已) j 一。 、7 ( 1 3 0 ) 式中的第一项可写为 1 2 m 2 嗡) f l 专3 矗 1 2 【廷l 已6 矗( g + 镗+ f l 岛) j 一 = ( 一面石麦瓦) 矗6 6 ( 磊蔫+ 琶羲+ 舀蔫) + 6 已矗( 磊裁+ 萌可m 1 2 陌( f 2 ) + 磊蔫 拍6 矗( 燕+ 燕+ 燕 + 巳6 矗( 燕+ 爵蒜+ 磊羲 1 0 ) ) ) ) 第一章k a w a h a r a 方程初值问题解的整体存在性 由m 是偶函数及6 + 巳+ 6 + 已= 0 的事实，( 1 3 0 ) 式中的第二项可写为 lf m 2 ( f l + 已) ( f l - 1 - 巳) 6 矗1 2 【5 6 巳6 矗( 奸+ 镗- t - 6 已) j ，。 ， t 、f r - 2 ( 6 1 + ) ( f 1 6 6 - t - 6 专3 矗) m 2 ( 6 + 6 ) ( 矗白& + 缸6 矗) 2l 砸丽五八百砭再百广十百砭再丽厂 m 2 ( 1 + 矗) ( 6 如6 - 6 巳6 矗) m 2 ( 已+ 6 ) ( 6 6 6 + 1 3 矗) 髫- t - 器- 1 - f 1 矗 酲+ 器- 1 - 如6 m 2 ( 已+ 矗) ( 6 6 6q - , f 1 6 矗) m 2 ( f 3 + 6 ) ( f l 已6 - i - 6 矗) 1 1 器+ 疆+ 已矗器- 1 - 岛+ 岛矗j + 兵对称化绩果口j 表不为r 皿彤瓦 舰( 6 ，6 ，6 ，白) = 一丽廷天1 磊五 6 矗( 燕+ 丽m 2 ( f 2 ) + 瓢m 2 ( 6 ) + 掣) + 渤( 燕+ 燕+ 掣+ 燕) + 姒( 燕+ 警+ 燕+ 燕) + 巳6 矗( 掣+ 丽m 2 ( f 2 ) + 燕+ 丽m 2 ( f 4 ) ) r n 2 ( f l + 岛) ( 1 6 矗q - f 2 6 已) m 2 ( f 1 - t - 岛) ( 1 已矗- i - 巳矗矗) 【器+ 酲+ 1 6 鳍- i - 露+ f 1 矗 m 2 ( f i + 矗) ( f l 已6 + 已6 矗) 。m 2 ( 缸- i - 6 ) ( 矗6 矗+ 1 6 矗) 。 行+ 器- i - 6 矗鲁- i - 器+ 已6 m 2 ( f 2 + 矗) ( 6 如6 + 6 6 矗) m 2 ( f 3 + 矗) ( 矗已6 - t - 6 6 6 ) 11 器+ 岛- i - 6 矗器- i - 爨- i - 6 矗jj + 击 警+ 掣+ 丁m 2 ( f 3 ) + 掣) ( 1 3 1 ) 下面我们将根据m ，k 的大小关系分情形讨论由 毛的对称性，不妨设b i i 已i21 6 l l 矗l ，相应地，我们假设l 飓3 4 因为当譬时m 2 ( f ) = 1 ， 因此m ( 1 3 0 ) 式，显然当b is 譬时 矗= 0 因此我们可以假设1 6 i n 因为 f l + 6 + 6 + 6 = 0 ，则必有1 6 i n 以l 1 2 1 3 1 4 ( 研+ 孵+ 孵+ 婀) 替换( 1 2 6 ) 式右端的i 毗1 假设1 2 等，1 3 0 ， ( 1 3 7 ) 解“( 而t ) 满足 i i x u l l 趔si p 妒i i l , ( 1 3 8 ) ”j + 7 我们的目的是在任意给定的时间区间【o ，t 】上建立初值问题( 1 1 ) 的解，从而得到整 体解的存在性设u ( 曩t ) 是初值问题( 1 1 ) 的解，记u x ( z ，t ) = a - 4 t ( ，矗) ，容易验证u 是 初值问题( 1 1 ) 当初值为机( z ) = a 一( a - 1 ) 时的解对t 0 ，我们将选取正数a ，使u 为初值闷题( 1 1 ) 在区间【o ，a 5 t 】上的解，从而完成定理1 1 的证明 我们有以下简单的计算事实 i i i l = sa 一 “n i i i i h 参数n = n ( t ) 将在后面选取，参数a 的选取应满足 a 一；一。一。0 咖1 1 日。= e o 1 = a n 一南 ( 1 3 9 ) 我们去掉t 的下标a 使得 l i 砷怯= c 0 1 ( 1 如) 我们的目的是构造初值问题( 1 1 ) 在时间区间【0 ，a 5 卅上的解 引理1 9 设j 如( 1 9 ) 式定义，m 如( 1 2 4 ) 式定义，当s = - 1 + 时，则 i 研( t ) 一研( t ) isi u ( t ) l l b + i 扎( 训l 知 ( 1 4 1 ) 证明 因为研( t ) = e , ( t ) + a s ( a 3 ) + a 4 ( 吼) ，则只需证明 3 a 3 ( ( r 3 ；u l ，t 2 ，“3 ) ls1 ii i i u j ( t ) l l 铲，( 1 4 2 ) j = l 4 1 4 ( - 4 ；m ，u 2 ，u 3 ，弛) is i i i u j ( t ) i i l ，( 1 鸲) j = l 不妨假设嘞0 ，由第二节中关于如的定义，注意到( 1 9 ) ，( 1 1 1 ) ，及( 1 1 8 ) 式，则 1 4 第一章k a w a h a r a 方程初值问题解的整体存在性 ( 1 4 2 1 式的证明归结为 | a 3 ( 老筹舞辚蔬m 池均) 卜卧3 n 删 i “3 k 石石石露f 玎孽干石石两瓦五而再五i 磊页西u 1 u 2 u 3 i 之拦“q 2 ” 设l 矗i 一胍( d y a d i c ) ，且l 飓n s 若1 譬，则m 2 ( 6 ) = 1 ，i = 1 ，2 ，3 昔 a s = 0 所以可假设l n 22 n 3 我们考虑下列两种情形：n 3 n ，n 8 乏n i n 3 n 因为6 + 已+ 6 = 0 且m 2 被其自身控制，由( 1 2 1 ) 可得i m 2 幅姆+ m 2 池埯十 , n 2 ( 6 ) 6 i 3 i 赁+ 鲤+ 6 巳l = l 曾一6 6 i = b l i 矗一6 l 1 6 1 2 ，m ( 3 ) = 1 ，所以此时 我们需要控制a 3 ( 番斋带) 但此项由a 3 ( 3 町3 i 3 ) 控制，所以( 1 4 4 ) 式的证明归结 为 令岫( z ) 为 l 6 + 6 + 矗= 0 ，1 6 l 2 反( f ) = n , - 5 峨( f ) x i l 。，( ) ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) ( 1 4 5 ) 的左边可改写为 蕊( 一6 ) 贡( 锄蕊临) = ( 磊，筋) = ( 丽，u - 忱) = 如u t 岫如( 1 4 7 ) 估计得圮o o c o c o ，所以( 1 4 5 ) 的左端估计为 i l i l 尹0 u 1 i k 尹0 忱0 堙 最后，据( 1 4 6 ) 中岫的形式，应用s o b o l e v 空间理论可得 i i i l 字si i 佻0 碍 即( 1 4 5 ) 式成立 i i 3 之n 由m 的定义，设8 = 一1 + 一i 1 i m 2 ( f 1 ) 6 + m 2 ( 勃) 已+ m 2 ( 6 ) 6 isn 一知( n i + “+ 埘+ “埘+ “) 一n 一“埘+ “ 所以，( 1 4 4 ) 中乘予可控制为 器s 丽n o n 一而n 3 丽q n p s n 4 n r n 2 “n “n ”n p n ；“n 1 5 驴啦 。m 他 毗 町 。n 斟 第一章k a w a h a r a 方程初值问题解的整体存在性 sn 2 。+ j 2 l _ _ a a 2 - ! a - 由e 磋e 3h 6 1 d e r 不等式得( 1 4 4 ) ，从而( 1 4 2 ) 得证 最后我们证明( 1 4 3 ) 注意到 im 2 ( 6 ) 6 + m 2 ( 已) 已+ m 2 ( 矗) 矗i l6 6 矗( 器+ 彦+ 矗已) m ( 1 ) m ( ) m ( 6 ) l ，n - 2 。埘帕 式n 碣s 哦+ l n s n l sn 4 f 1 岈1 ，( 1 4 8 ) m ( i 2 0 ) ，( 1 2 6 ) 式，及( 1 1 5 ) 中幽的定义，需证 4 ( 瓦丙历再再瓦丽击币四示丽；u - ，坳，均，蛳) s 4 o 吻怯( 1 4 9 ) 由乘子仇的定义及s = 一l + ，( 1 4 9 ) 左端乘子可估计为 s 币南焉矗n 南， ( 1 卿 钿；如埘押明扣“嫉盘山 ”7 则( 1 4 9 ) 的左端由l * l 。俨l ”h 6 1 d e r 不等式，并应用s o b o l e v 空间理论得( 1 4 9 ) ， 即( 1 4 3 ) 成立r - i 因为我们的修正解满足i l 埘0 知= 鼋 1 ，则必有 研( o ) = 研( o ) + d ( c 3 ) ， 且当i i l u ( t ) l l 刍= 研 2 c o 时， 研( t ) = 研( t ) + d ( ) ( 1 5 1 ) 由( 1 3 4 ) ，修正解满足对所有t 【o ，l 】，有 研( t ) 研( o ) + 侠3 一5 + ( 1 5 2 ) 因此 j i i u ( 1 ) l l 刍= 碚+ 0 ( 4 ) + c d n 一导+ 妒t 。n 一7 t ( 1 5 3 ) 成立事实上，在说明a 和的选取之前，先给出用上面方法得到的k a w a h a r a 方程的 修正整体解的两个性质：t 0 ，成立 s u pi m t ) i i h 一 i + 。s u pl l u ( t ) l l n a + 。s u pi i x u x ( t ) l l 口，( 1 5 4 ) teloxteo，舻明telo,xorl i i j 以i l 驴sn 一。l i 妒 i l r 一n 一。a 一 一。1 1 4 1 1 - ( 1 5 5 ) ( 1 5 4 ) 和( 1 5 5 ) 的证明可归结为 s u p4 地( t ) h 驴ss u p0 j 以0 p ( 1 , 5 6 ) 由于l i u ( t ) l l 驴= 研( t ) ，由( 1 4 1 ) 式 i 研o ) 一研( t ) lsi l t 0 ) l 易+ i i x u c t ) l l 乞 根据( 1 1 6 ) ，差研( t ) = a s ( m 5 ) 及( 1 3 4 ) 式有- 研( t ) 一研( o ) sn l l u l l 羔。 根据( 1 3 8 ) 得研( t ) s 研( o ) + n 一9 l l j 训伊，又研( o ) = 研( o ) + o ( 豸) ，其中l i i 怯= f 0 所以对所有的t 【o ，1 1 ，有 研( t ) s 鼋+ 0 ( 4 ) + 弼一5 + 4 4 = 4 1 1 t 1 1 刍 i ：t ：1 ( 1 5 1 ) ，有 1 1 1 , 4 1 ) 1 1 2 。= 3 + 0 ( 4 ) + c 4 n 一5 + 一1 时整体解的存在性，从而完成 了定理1 1 的证明口 1 8 第二章一类非齐次k a w a h a r a 方程的 c a u c h y 问题 本章研究如下一类具有耗教和色散相互作用的k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问题 芝之芒意障_ ，( 叫2 n 驴r ， 其中q ，卢分别为耗散系数和色散系数本章主要在驴范教意义下研究初值目囊( 2 1 ) 的 解的稳定性、唯一性和爆破行为 为了方便，本章使用下列记号：| i 1 1 ；= j 竺u 2 ( 霉，t ) 出 除特别说明外，积分= ，( z ) 出一律简记为ff ( x ) d x ，积分常数均记为c ，而不管 它们之问的差别 2 1 非齐次k a w a h a r a 方程c a u c h y 问题解的稳定性 ；j 1 t 2 1 l a a l设e ( t ) 满足：e ( t ) e ( o ) + m 名e ( f ) 打+ f ( 7 - ) 打，则不等式 e ( t ) e m e ( o ) + n e m ( 一7 ) f ( r ) d r ( 2 2 ) j 0 成立，其中m ，为正常数 定理2 1 设函数u ( t ) c ( h 1 ( r ) ，【o ，卅) 是满足初值问题( 2 1 ) 的解，并且u ( t ) e ( 铲( r ) ，【o ，邪) ，则有以下不等式成立 i l u l l ；o ( 1 1 伽1 1 ；+ 0 ，0 参c 弘( i ) ，【o ，司) ) ( 2 3 ) 证明 给( 2 1 ) 式方程两端同乘以“( z ，t ) ，然后积分得 橱池+ u 2 0 u 如一a u 砖础+ p “磋础= ，础 显然有 碱t 如= 互l 夏d 删至 1 9 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 第二章一类非齐次k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问题 根据分部积分法及u ( t ) 在无穷远处衰减的性质，有 t t 2 以诎= 。， n 碱础= _ 0 i i 驯睦 p 厂谴础= 。 触：弘2 + u 2 ) d x = 扣嚏州国 将( 2 5 ) 一( 2 9 ) 代入( 2 4 ) ，由口 0 ，可得 鬲t tl i u l l 2 2 ；删训臣 两边5 k o 到t ( o t 即积分，则 ，t，t f i 训偿i i , 0 1 1 2 2 + l i f l l ；d r + i 阻蛇d r ， ，0 j 0 由引理2 1 ，财有 e t ( 1 l t o l l ；+ l l u l l ；d r ) 0 ( 1 1 o l l ；+ i i i l l 2 。( 驴( r ) ，【o ，明) ) 从而定理2 1 得证r l 推论2 1 在定理2 1 的条件下，初值问题( 2 1 ) 的解在工2 范数意义下是稳定的 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 事实上，( 2 3 ) 式表明如果1 1 t 0 1 1 2 ，i i 川伊( 伊( | ) 。【o 卅) 都很小，则初值问题( 2 1 ) 的解“的p 范数也很小 2 2 非齐次k a w a h a r a 方程c a u c h y 问题解的唯一性 有 定理2 2 在定理2 1 的条件下，k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问题的解是唯一的 证啊 设初值问题( 2 1 ) 有两个解为u ( z ，f ) ，t ，( z ，t ) ，令w ( x ，t ) = u ( z ，t ) 一t ，0 ，t ) ，则 髋o t w + 唧u o z w ，一秽卅= 眦【o ，和r ( 。加， 则只需证问题( 2 1 0 ) 只有零解，给( 2 1 0 ) 中的方程两边同时乘以，再从一到+ o o 积分 第二章一类非齐次k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问题 得 ；差o w ( 毛列瑶+ 彬2 ( 以”一；良“) 如+ 。o 以w 旧= 。， ( 2 1 1 ) 由h 6 1 d e r 不等式，( 2 1 1 ) 式可变为 象o 眩o 嘞良t ，一；如让1 1 ； 0 ，恒有( $ ，t ) o ； 2 ) 对于z r ，t 0 ，恒有( x ，t ) 0 ； 3 ) 存在一实数o t 0 ，使得f j u d x 1 笋( ，“2 如) 2 ， 则必存在t o 0 ，使得 t 1 i r a l l t l h = + 证明令i ( t ) = f u 2 d x = i l u l i i ，两端求导并由已知条件得 m ) = 2 婀础= 2 ( 一铲以“+ 删让一删钍+ “，) 如 ( 2 1 2 ) 因为由已知条件知当m o o 时，u 及其各阶导数都充分快地迅速趋于0 ，所以上式变为 j ，( t ) = 2 ，如 由条件3 ) ，则 ，( t ) ( 1 + o ) ，( t ) 0 ( 2 1 3 ) 故j ( t ) 严格增，又j ( o ) = ，舻( z ，0 ) 4 = 0 伽旧 0 ，结合( 1 3 ) 式可知，存在区间 t 【o ，币而1 干可) ，使在其内有估计式t ( 0 = t ：蹁，e p 存在数t o = 了i 石瓜1 干可，当t t o 2 1 第二章一类非齐次k a w a h a r a 方程的c a u c h y 问题 时，有撬i 。+ o 。 从而定理2 3 得证口 第三章k a w a h a r a - b u e g e r s 方程c a u c h y 问 题解的性质憨胖i i 士厥 设x 是b a n a c h 空间，相应的范数记为恢若n r 是l e b e s g u e 可测集，记 口( 0 ) 是p 次可积函数构成的b a n a c h 空间，其范数为 盯娜，= 加圳如) 。 在不发生混淆的情况下，将p ( a ) 简记为2 ，i i 列p ( n ) 记为i i 川p 若，p ( q ) ，具有有直到直到k b l 的导数，且伊，p ( n ) ( i q l 七) ，则 i e f 砧( n ) 不难证明，这样的函数类构成一个b a n a c h 空间，其范数为 。州雌( n ) = i a 9 ，i p ( n ) 1 a l 0 ，p 0 ，z r 分别为耗散系数和色散系数，在h 一+ 时，其 第三章k a w a h a r a - b u e g e r s 方程c a u c h y 问题解的性质 解t ，以，醒t | ，磋，让，磋u 速降到零，且设磋t 工2 ( r r + ) 定理3 1 设u ( x ，t ) 是初值问题( 3 1 ) 的解，且f 日1 ( r ) ，则 1 ) l i t ( - ，t ) l l i l f l l ，j 。j ：( a k u ( 卫，s ) ) 2 d x d s j l 。1 1 2 ； 2 ) 对任意的t 【o ，习，解“( 霸t ) 在p 范数意义下是唯一、稳定的 证啊 1 ) 用u ( z ，t ) 乘以初值问题( 3 1 ) 中方程的两端，积分后根据“( z ，t ) 及其各阶导 数在无穷远处趋于o 的性质化筒得 爰e 馋如= - - 2 0 t ；o o ( 酬删2 如 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 式表明j ：= “2 ( z ，t ) 如是关于t 的单调非增函数，在【o ，明上积分得 cu 2 ( x 出= e 件) 如_ 2 nre(o。u(zs)2dzdsu i t , ，t ) 出= ，2 ( z ) 如一2 n (，s ) ) 2 j 一j 一 ， 一 又，( 功日1 ( 1 艮) ，则有 ( ，t ) l isi i 川 厂e ( 酬叩) ) 2 出d s 去l l f l l 2 2 ) 设撕( z ，t ) 0 = 1 ，2 ) 分别是初值问题( 3 1 ) 满足初始条件t ( z ，0 ) = 五0 = 1 ，2 ) 的两 个解，令 则有 u = t 2 1 1 , 1 ，庐= 如一，l 。o t 。u z ，+ 。，o ；。u 砂+ 。力u o ，t 1 2 + 札l a 。一a a 2 u 二篡? 。 u ：r x 【o + 。j p _ + r c s 。， 化简( 3 3 ) 式可得 丢e t l 2 如+ e 以施t 1 2 一肌n 慷让1 1 2 _ o 由h 6 1 d e r 不等式，上式可变为 羞怕1 1 2 h 2 0 2 以t 1 2 一巩t 0 2 c l l u l l 2 ， 上式两边从o 到t 积分，由初值条件得 i l u l l 2 曼m | 2 d r ， 第三章k a w a h a r a - b u e g e r s 方程c a u c h y 问题解的性质 由g r o n w a l l 不等式并结合1 ) 结论知 ，+ r + o o 铲( ，t ) 如扩( z ) 如 因此k a w a h a r a - b u e g e r s 方程c a u c h y 问题的解在酽范数意义下在【o 卅上是唯一的、 稳定的 从而定理3 1 得证口 3 2 t 一+ 时，0 如让( ，t ) 0 及f | u ( ，圳o 。的衰减性及其它结论 定理3 2 设t ( z ，t ) 是c a u c h y 问题( 3 1 ) 的解，h 1 ( r ) ，则当t 一十时 1 ) 8 以t ( ，t ) 一o ； 2 ) 陋( ，t ) l l 。l 2 ( rxr + ) ，- r l l u ( ，创。一0 证啊 1 ) 由定理3 1 的1 ) ，显然j 芝( 良t ( 曩t ) ) 2 d x 在l 1 ( r ，) 上有意义，因此，当 一+ o o 时，自然0 蟊t l ( ，t ) 8 0 2 ) 由于i 2 ( z ，t ) = 2j = 乙r t 如2 1 1 - ( ，t ) l i l l o = u ( ，t ) l l ，由定理3 1 的2 ) ，则 i l 钍( - ，t ) i l l 2 1 1 1 1 1 1 以u ( ，母i l ， 又& “三2 ( r x r + ) ，则 0 t ( ，t ) l l 。l 2 ( r r + ) 同1 ) 的证明，有t 一+ o o 时，陋( ，t ) 0 。一0 从而定理3 2 得证r l 定理3 3 设t 0 ，t ) 是c a u c h y 问题( 3 1 ) 的解，日1 ( r ) ，则 1 ) 。里，= ( 以仳) 2 出= o ； 2 ) t 里t 。f 一+ 。o o m 1 a 让) 2 + u 4 d x = o ； 3 ) 0 隐2 讹( ，t ) 1 1 = 0 证明 1 ) 用谚t l 乘以( 3 1 ) 中方程两端，积分后化倚得 ；墨e ( 训2 如一e 碱碱础+ a c 2 出一o ( 3 a ) 则 ；丢e ( 圳2 出= c 碱碱础一a e ( 2 如 第三章k a w a h a r a - b u e g e r s 方程c a u c h y 问题解的性质 ，十，4 - a o t 晚鹾诎m l u ( ，t ) l l 。i 以碱诎1 j - - c o j - - a o 而j ：= 允t a 2 t “b = 0 ，又由定理3 1 的2 ) 知 ( t ) = j = = ( 以t ) 2 d x 铲( r + ) ，且关于t 是单 调非增的，因而有 口( 8 ) 幽v ( s ) d s o f ) ( t ) ， 其中1 是很大的正数进一步，有 f + o o 上”( 8 冲；里s u p t v ( ) 选择足够大的r ，由上式有 慨上。( 以u ) 2 d x = 0 2 ) 由( 3 1 ) 式两端同乘以矿，积分得 ：差e u 4 d x 他e 媳妒d x 一卵c 铲良趔础- o ( 3 s ) 同1 1 证明，又记 1，十f - - o o，+ 口( ) 2i 上。如3 p 上。舻见删础酬乱( ，。) 上。以趔础| 因而有 ，十 l i mt u 4 d x = 0 ， t - - , + o o ，一 故而 占。上。 限缸