（统计学专业论文）相依情形下的经验Bayes统计分析及应用研究.pdf

西北 ：业大学硕十学位论文 摘要 本文在样本相依情形下，将b a y c s 、经验b a y e s 理论应用于正指数族参数、刻度 指数族参数及单参数总体参数的统计分析研究，并对相依部件串、并联系统的可 靠性指标进行了b a y e s 分析。主要内容包括以下几个方面： 1 运用同分布p a 样本密度函数的核估计，构造了一类正指数分布族参数的经 验b a v e s 检验，讨论了它的渐近最优性，并建立其收敛速度。在适当的条件下，证 明了该收敛速度可以任意接近c j ， 2 在非对称l i n e x 损失函数下，讨论了一类刻度指数族参数的经验b a y e s 估计 ( p a 样本情形) 问题，证明了e b 估计的渐近最优性，并给出了收敛速度的阶。 3 在肌相依样本情形下，用经验b a y e s 方法对单参数总体中的未知参数进行研 究，得到其相应的线性经验b a y e s 估计，并给出了渐近最优的收敛速度d | 圹牡c ) 4 对具有不同失效率的n 个相依部件组成的串、并联系统进行研究，在建立相 应失效模型的同时，给出系统分布参数、可靠度及失效率等可靠性指标的b a y e s 估 计。 关键词： 损失函数：b a y e s 估计； 经验b a y e s 估计；经验b a y e s 检验； 渐近最优性；收敛速度； 相依部件；系统可靠性指标 西j 匕1 业人学硕十学何论文 a b s t r a c t i n t h i sp 印e r ，b a y e s i a nt h e o 巧a 1 1 de m p i r i c a lb a y e s i a i lm e o r ya r eu s e dt os t u d yt l l e p a r 锄e t e re s t i m a t i o no ft h ed i s t r i b u t i o nf a m i l i e s u s i n ge m p i c a lb a y e sm e t h o d s ，t l l e p a r a m e t e r sf o rp o s i t i v ee x p e n t ；a 1f a m i i ya n ds c a l ee x p o n e n t i a if a m i l ya r ed i s c u s s e dj n 出ec a s eo fp as a m p l e s m o r e o v e lo n e p a r a m e t e rd j s 一b u f i o n 蠡m i l yp a r a m e t e ri s d i s c u s s e d 鹪t h es a m p l e sa r emd e p e n d e n t i nt h ee n d ，m er c l i a b i l i t yp e r f o m l a l l c e sf o r s e r i e sa n dp 啪l l e ls y s t e m sw i t hn d e p e n d e n tc o m p o n e m sa r es t u d i e d 1 b yu s i n gt h ek e m e l - t y p ed e n s i t ye s t i m a t i o ni nt h ec a s eo fi d e n t i c a l l yd j s t r i b u t e d a n dp o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ( p a ) s a m p l e s ，t h ee m p 矾c a lb a y e s ( e b ) t e s tr u l e sf o rt h e p a m m e t e ro fap o s i t i v e l ye x p o n e n t i a lf h m i l y a r ec o n s t r u c t e da n dt h ea s y m p t o t i c o p t i m a | i t yi so b t a i n e d i ti ss h o w nt h a tt h ec o n v e r g e n c er a t e so ft h ep r o p o s e de bt e s t n i l e sc a r ia r b i t r a l 1 yc l o s et o ( ，u n d e rc e n a i nc o n d i t i o n 2 f o rt h es c a l e e x p o n e n t i a i f h m i l y ， t h e e m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o no ft h e p a r a m e t e ra r ee x h i b i t e du n d e ra s y m m e t r i cl i n e x 】o s sf u n c t i o n c o m b i n i n gp as a m p l e s ， t h ee be s t i m a t o r sa r ed j s c u s s e da n dt h er a t e so fc o n v e 唱e n c ea r ea l s oo b t a i n e d 3 b a s e do n埘 d e p e n d e n ts a m p l e s ，t h el i n e a re be s “m a t i o n0 ft h ep a r a m e t e ri s d i s c u s s e d a l s ot h ea s y m p t o t i c a l l yo p t i m a lr a t e so f c o n v e r g e n c ec 广。c ) i so b t a i n e d 4 f o rt h er e l i a b i l i t yp a r a m e t e r si nnn o n i n d e p e n d e ms e r i e sa n dp a r a l 】e ls y s t e m s 、v i t hd e p e n d e n tt i m ef a i l u r er a t e s ，t h ec o n i e s p o n d i n gf a 订u r em o d e i sa r ec o n s t r u c t e d m e a n w h i l e ，、v eg i v et h eb a y e s j a ne s t i m a t i o no fr e l i a b i j i t yp e r f o m l a n c e ss u c ha ss y s t e m p a m m e t e r s ，r e l i a b i k t ya n d 蠡i i u r er a t e s k e yw o r d s ： l o s sf u n c t i o n ： e m p i r i c a ib a y e s i a ne s t i m a t i o n a s y m p t o t i co p t i m a l i t y ； n o n i n d e p e n d e n tc o m p o n e n t s ； b a y e s i a ne s t i m a t i o n ； e m p 衙c a lb a y e s j a l lt e s t ； c o n v e r g e r l c er a t e ： s y s t e mr e l i a b i l i t yp e r f o n l l a n c e s “ 西北丁业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 统计学中的b a y e s 学派自诞生以来发展非常迅速，如今已与经典统计学派，即 一般教科书上所讲的频率学派，成为国际数理统计界的两大学派。这两个学派一 直在争论中发展，至今仍未见分晓。 这两个学派都假设我们所研究的总体服从某种分布类型，但对于分布类型中 参数的认识却持着截然不同的观点。例如对一批产品进行抽样检查，其次品服从 二项分布，这批产品的次品率p 是未知参数：又如全国成年人的身高服从正态分布， 它包含两个参数，一个是平均身高h ，另一个是描述各人身高参差不齐程度的方差 a 2 。但是，这两个学派对于分布类型中所含的参数，如上述p ，“0 2 的认识却截 然不同，这也正是他们争论的焦点。频率学派认为这些参数是客观存在的，在未 得到全部数据( 这往往是不可能的) 前，它是未知的，是通过抽样的结果来估计 的，这种估计、推断的理论建立在频率解释的基础上。他们只利用当前随机抽样 的数掘( 不涉及其他数掘) 来估计这些参数，或者对这些参数的某些假设进行推 断，看假设是否正确。而贝叶斯学派认为这些参数本身也是随机的，它也服从某 种类型的分布，称这种分布为先验分布。 这批产品，次品率的确是一个未知常值， 例如产品抽样的例予中，对当前受检的 但从该工厂生产这种产品来看，肯定不 只生产一批，而是有很多批，每批的次品率显然不尽相同。但它们是在同一工厂、 在同样设备和工艺条件下生产的，每批产品的次品率大致相差不多，它也受某种 随机规律的制约。贝叶斯学派认为，从生产历史长河来看，同一工厂生产的同种 产品的次品率是随机变量，服从某种先验分布，当前受检的这批产品的次品率只 是这个随机变量的一个实现。在估计当前受检产品的次品率时，应当考虑这个事 实，不仅要用当前抽样的数据，还要利用先验分布所提供的信息。该学派的理论 是：利用当前抽样的数据及先验分布，由贝叶斯公式建立后验分布，以后一切统 计推断，如估计、假设检验，皆在后验分布的基础上进行，这就是贝叶斯学派的 观点。从数学论证来看，如果先验分布选择得恰当，利用贝叶斯学派方法进行的 统计推断就较为准确。这就相当于你见某人一面后对他的认识，不如你了解此人 一些历史状况后再见此人一面所得到的认识深刻。这里的关键在于如何准确地确 定先验分布。 近年来，贝叶斯理论在许多国家有广泛的应用，尤以经济领域居多。贝叶斯 学派著名学者l i n d l e y 曾预言：“统计学的未来一个贝叶斯的二十一世纪“p 不论这一论断是否偏颇，近些年束统计学的发展确实很快。翻一下国内外杂志， 尤其是美国统计学会的j a s a 和英国皇家学会的j r s s 等，几乎每期都有贝叶斯统 计方面的文章。可以说，贝叶斯统计是当今国际统计科学研究的热点。尽管这两 西北一 业人学硕十学位论文 第一章绪论 个学派的争论仍在继续，但它对统计学的发展却起到了巨大的促进作用。正如 e f r r o n 所指出：“由于这场争论而使统计学领域叶繁花茂w ” 经验贝叶斯理论就是这场争论的产物。这个理论是由美国统计学家| l r o b b i n s 于1 9 5 5 年首先提出的。它吸收了贝叶斯学派的不孤立地利用当前抽样数据来进行 统计推断的好思想，而避开或少用先验分布的假设，使用当前抽样数掘及有关历 史抽样数据来进行统计推断。这样统计推断的精度能接近在先验分布准确条件下， 用贝叶斯方法进行的统计推断。这种推断的解释仍采用频率理论。这就是说：这 种理论采用两派的一些优点，形成自己的观点。经验贝叶斯观点相对于贝叶斯学 派的观点而言，避开了贝叶斯学派的某些主观成分，全依靠客观数据，“是非常有 价值的一种思想( ，j j ”。 本章的主要任务是：简单介绍以后各章节所用到的基本知识，给出本文的 主要内容及论文的基本框架。 1 1 b a y e s 方法及经验b a y e s 方法 1 1 1b a y e s 方法 b a y e s 方法在实际中已被广泛应用，特别是在可靠性分析中有着重要的应用 它利用当前抽样的数据及先验分布，由b a y e s 公式建立后验分布，之后的一切统 计推断，如参数估计、假设检验等，皆在后验分布的基础上进行 b a y e s 学派的基本观点是：参数空间0 中的任一参数目都被看作随机变量，可 以用一个概率分布来描述p 的未知状况，这个概率分布是在抽样前就有的关于目的 先验信息的概率描述，即所谓的先验分布，记为g p ) 且d g p ) = 万p ) d 矽于是， 样本的联合分布密度函数就可看成是在随机变量口给定某个值时，x 的条件密度 函数，故应记为p i 口) ，其中x = ( 而，而，) 为观察向量，口= ( q ，岛，幺) o 从b a y e s 学派的观点柬看，样本= ( ，z ，以) 的产生要分两步进行：首 先，设想从先验分命刀( 口) 产生一个观察值口，然后再从条件分布p ( 石i 口) 产生样本 观察值x = ( 玉，恐，矗) ，这时样本x 的联合条件密度为 h p ( x i 目) = iij 口( i 护) ，z l 这个联合分布综合了样本信息，又称为似然函数 由于口是未知的，想要把先验信息与样本信息综合起来，需要结合先验分布 万( 口) 这样，样本x 与参数口的联合分布厅( x ，矽) = p ( 引口) 万( 口) ( 1 ) 就成功地把先验信息与样本信息综合到一起了 为了对未知参数口作出统计决策，需要对联合分布作出如下分解 两北1 二业人学硕士学位论文 第一章绪论 厅( 工，口) = 石( 口iz ) 加( x ) 其中彤( x ) 是x 的边缘密度函数 m ( 工) = l “p 矽= l p ( x i 口) 石( 口) 彬 ( 2 ) 它与一无关，或者说肌) 不含目的任何先验信息，因此能够用来对口作出统计决策 的仅是条件分布石( 占i 工) ，它的计算公式是 砌2 帮2 赫 这就是b a y e s 公式的密度函数形式，这个在样本给定下口的条件分布称为后 验分布，在样本给定的情形下，它集中了样本与先验分布中有关口的一切信息，要 比先验分布万( 护) 更接近于实际情况，因此使用后验分布万( 口i x ) 对口作统计决策要 比用先验分布刀( 目) 作出的决策更合理。上述的b a y e s 公式是在，o 都是连续型 随机变量场合下得到的，其他场合下的b a y e s 公式也可类似写出，例如：当z 是离 散型随机变量时，只需把其中的密度函数p ( x i 臼) 改为概率尸( 肖= x l 口) ，而当口是 离散型随机变量时，只要把其中先验分布函数牙( 口) 改为分布列石( 只) ， ( f = j ，2 j ，疗) ，积分号改为求和号即可 。 在统计学上，我们把所采取的决策或行为的全体成为决策空间或行动空间， 记为d ，d = d 统计推断的任务就在于建立一个定义于样本空间x 而取值于决策 空间d 的函数6 ( 工) ，使得当有了样本x 时，就采取决策6 ( x ) ，即：当观察值为 x = ( 船，船，函) 时，采取决策d = 6 ( x ，肋，而) ，称函数6 ( x ) 为决策函数或统计 判决函数。 在具体决策问题中，可供选择的判决函数很多，如何在决策空l 日j 中选择一个好 的判决d ，我们引入风险函数来衡量其优劣。设三( o ，d ) 为损失函数，则由下式定 义的口的函数 r ( o ，6 ) = e ( 帅) 三( e ，6 ( 石) ) = j ( o ，6 ( x ) ) p ( x lo ) d o 称为判决函数6 的风险函数。从定义可知，风险函数即在真实参数为口时，采 取判决函数6 ( x ) 的b a y e s 风险 ( 6 ) = 局 r ( o ，6 ) = 晟删 ( o ，6 ) 兀( o ) d e 运用后验分布式( 3 ) 可得 尼j ( 6 ) = ( e ，6 ( x ) 扣( ox ) d e 棚( 工) 出 ( 4 ) 将任满足条件m ( 6 c ，) = f m ( 6 ) 的判决函数6 a ( x ) ，称为所研究统计决策问 题的b a y e s 解，在估计问题中，它就称为b a y e s 估计。 通常情况下，我们习惯采用平方损失函数，即 3 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 ( o ，6 ) = ( o 一6 ) 2 此时，目的b a y e s 估计恰好为目的后验分布均值，即 6 a = 占( e f x ) = f0 7 【( e i 善) 册 b a y e s 理论及其方法的使用，关键在于如何确定先验分布。当然，比较令人 信服和易为使用者所接受的选择，是基于历史资料或有根据的理论所得出的结果， 为此目的，寻找某些一般性的选择先验分布的办法就是一件很有意义的事，但是， “企图规定一种放之四海而皆准的选择先验分布的法则，几乎是不可能的1 4 9 】。” 对先验分布的研究，张尧庭 1 9 9 1 给出了确定先验分布的方法：贝叶斯方法、 共轭分布法、杰弗莱原则和最大熵原则；s a y c h u kv 1 a d i m i rp m 1 给出了共轭分 布法与最大熵原则相结合确定先验分布的方法；f a b r i c eg u 舒i n 2 0 0 3 从相依性 研究角度给出了建立先验分布的一种方法；韩明【2 0 0 3 给出了确定先验分布的多层 b a y e s 方法；金少华 2 0 0 3 利用分布函数的凹凸性质，合理她构造了一类先验分布： h u m b e r t og u t i 6 r r e z p u l i d o 2 0 0 5 给出了一种在可靠性中获取先验分布的综合 方法。 1 1 2 经验b a y e s 方法 经验b a y e s ( e m p i r i c a lb a y e sp r o c e d u r e ) 方法简称e b 方法，是在b a y e s 方法 的基础上发展起来的，其基本思想是用样本所估计的先验分布代替真正的先验分 布，然后做出b a y e s 统计推断与决策。 假设我们有一批历史数据( ( m ，e 囊( ，e ：) ，( ，o 一) ) 与当前数据( x ，e ) ，其 中m ，彤，而，x 是可以观察的，是已知的，e ，o v “，e 。，0 是不可观察的，是样本 对应分布中的未知参数，这里我们只就估计而言，对于假设检验可以同样叙述。 参数吼，良，o 。0 虽然未知，只是随机变量矽的实现，但它们遵从同一先验分 布万f 们，寻求经验b a y e s 估计的任务就是要找一个依赖于凰，j 乙，兄，x 的函数 色( ，皿，鼠，) 来估计护，并使它接近先验分布厅( 毋) 已知时的b a y e s 估计。 e b 方法认为样本是由刖( x ) 中抽取出来的，其中肼( x ) 是由式( 2 ) 给出的边缘密度 函数。因此，可以先用葺，艺，估计研( x ) 或其特征，由于假设p ( x i o ) 是已知的， 再根据式( 2 ) 估计先验分布刀p ) 或其特征，最后结合当前样本，应用b a y e s 方法获 得口的e b 估计。 在求e b 估计时，可以参考由历史资料( ，x 矿一，兄) 获得的关于先验分布 万( p ) 的信息，选定一个判决函数6 卜) ，记为6 。o f 船，船，知) ，称任何同时依赖 于历史样本( m ，m ，z ，) 和当前样本x 的判决函数6 。( x l 乩勋，赫) 为经验判决 函数。 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 当( 兄，尼，凰) 已知时，6 一“l 勋，肋，而) 的b a y e s 风险为 尼( 6 一o f 蔚，柏，赫) ) = 且州 上( o ，6 一o i 肋，勋，赫) ) = p ( e ，& o i 如，勋，) ) p ( x l e ) 兀( e ) 出d e 由于上式仍是而，恐，矗的函数，故对( m ，凰，兄) 的联合分布求数学期望，得 到6 一( 工i 工，x v 一，舶) 的全面b a y e s 风险 尼( & ) = 蜀“n 川 尼( & ( x i 勋，勋，赫) ) = 弘( 6 。( 巾。m ，而) ) n p ( 五i o ) 如如如 定义1 1 1 称 6 一( x i 新，髓，) 是渐近最优的经验b a y e s 估计，简记为a o e b 估计，如果一串经验判决函数 & b f ，船，而) 满足条件 缎r ，( 6 。) = ( 6 。) 即& 的全面b a y e s 风险的极限等于b a y e s 估计的b a y e s 风险 定义1 1 2 称6 。是具有收敛速度为g 的经验b a y e s 估计，如果 r ( 6 。) 一心( 6 。) = d ( 胛1 ) 其中4 口 1 2 1 可靠性的定义 1 2可靠性的基本概念 可靠性又称生存率，用于衡量产品的性能指标。它综合反映了产品的耐久性、 无故障性、维修性、经济性和有效性等。国军标g j b 4 5 1 9 0 对可靠性做如下定义： 可靠性是指产品在规定条件下和规定时问内，完成规定功能的能力。该定义 的三要素是三个“规定”：规定条件、规定时间、规定功能。 规定条件包括使用时的环境条件、工作条件、维修条件和工作方式等，如温 度、湿度等。在不同的舰定条件下，同一产品的可靠性是不同的。 规定时问是指产品规定的任务时间。同一产品在不同的使用时间范围，其可 靠性水平是不同的。这里的时洲定义是广义的，可以是统计的r 历小时，也可以 是工作循环次数、行驶罩程等，它将根据产品的具体特性而定。要确定产品规定 的环境条件、工作条件和任务时| 日j ，必须对产品的寿命剖面和任务剖面进行分析 研究。 西北 ：业大学硕士学位论文第一章绪论 规定功能是指产品规定的必须具有的功能及其技术指标。产品功能的多少和 其技术指标的高低，直接影响到可靠性指标的高低。只有规定了清晰的功能和性 能界限，才能明确产品的故障判据。产品的功能判掘不同，将得到不同的可靠性 评定结果。 1 2 3 可靠性的主要特征量 可靠性评估是己知产品的寿命分布和一组数据，如何去估计产品的可靠住的 问题。在研究产品的可靠性时，就需要各种数量指标，以便说明产品的可靠性程 度。我们把表示和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可靠性指标( 可靠性特 征量) 。产品的可靠性特征量主要有可靠度、失效率、平均寿命等。 ( 1 ) 可靠度 可靠性的概率度量称为可靠度，即产品在规定条件和规定时间内完成规定功 能的概率，一般用r ( f ) 来表示。它是时间的函数，表示为： 冗( 磅= f f ) ( 5 ) 式中：r ( f ) 可靠度函数： r 产品故障| ； 的工作时问： ，规定的时间。 由可靠度的定义有： 晡) = 掣 ( 6 ) 式中：n f = o 时，在规定条件下工作的产品数； ，( ，) 在。到f 时刻的工作时间内，产品的累计故障数。 ( 2 ) 失效率 失效率( f a i l u r cr a i e ) 五( ，) 是系统、机器、设备等产品一直到某一时刻f 为止， 尚未发生故障的可靠度r ( f ) 在下一个单位时问内可能发生故障的条件概率。换句 话说，五( ，) 表示在某段时间，内圆满地工作的百分率r ( f ) ，在下一个瞬间将以何种 比率发生失效或故障。因此，失效率的表达式为 俐= 黼一篇= 器( ， 。) ( 7 ) 或；一生坐塑 ( 8 ) 片( f ) 由式( 6 ) 可知，z ( ，) 是瞬时失效率，也可称为r ( ，) 条件下的厂( f ) 。 若可靠度函数霆g ) 或不可靠度函数f ( f ) = i 一震( 玲已求出，则可按式( 6 ) 求出 6 西北丁业大学硕士学位论文第一章绪论 五( r ) 。反之，若失效率函数五( ，) 已知，则由式( 7 ) 亦可求得r ( ，) ，即 r ( f ) = e x p l 一【a ( f ) 出l ( 9 ) 即可靠度函数五( ，) 是把a ( f ) 由0 到t 进行积分之后作为指数的指数型函数。由 此可见，产品的失效率越小，产品的可靠性就越高；反之，失效率越大。产品的 可靠性就越低 ( 3 ) 平均寿命 平均寿命是最为常用的寿命特征指标，是一个标志产品平均能工作多长时间 的特征量。对于不可修复产品，平均寿命是产品发生失效前的工作时间或储存时 间的平均值，或称为失效前平均时间，记为m 1 v r f ( m e a i lt i m e t of a i l u r c ) 。对于可 修复产品平均寿命指相邻两次故障间的平均工作时间，通常称为平均无故障工作 时间，记为m t b f ( m e a nt i m eb e t w e c nf a i l u r e ) 。如果我们仅考虑首次失效前的一 段工作时间，那么，对于可修复和不可修复产品，平均寿命在理论上就没有什么区 别了，所以我们将二者统称为平均寿命，记作0 。 若产品总体的失效密度函数( ，) 已知，出概率论中数学期望的定义，可知产品 的平均寿命为 曰= e ( 7 ) = f 矿( ，) 廊= f r ( ，) 西 ( 1 0 ) 1 3 本文主要内容与结构 自经验b a y e s ( e b ) 方法引入以来，e b 估计和e b 检验问题就成为b a y e s 理论的 研究热点，到现在已有几十年的历史，存在很多文献。在指数族方面，有j o h n s ，v a i l r y z i n 阢3 ”，韦来生“，陈希孺，r s s i n 曲2 5 1 和薛留根分别对离散和连 续型单参数指数族参数的单、双侧e b 检验及e b 估计进行了讨论；胡太忠和潘国华 【4 “，s i n g l l 和w e i 【”，魏莉】，及王立春”1 对刻度指数族参数的单、双侧e b 检 验和e b 估计进行了研究。而在截断型分布族方面，师义民。“，康会光口”，韦来 生【”l ，梁华| 4 9 1 等对单、双边截断型分御族参数的e b 检验和e b 估计做了一些研究。 以上这些结论都是在独立同分布样本下得到的，然而在实际中，尤其在可靠 性理论、渗透理论和某些多元分析问题中，我们遇到的随机样本常常不是i i d ，而 是具有一定的相关性，如：正相依( p a ) 样本( p a 样本定义见2 1 ) 和m 相依样 本( m 相依样本定义见4 1 ) 。对于在相依样本下进行参数的经验b a y e s 统计分析 研究有重要的意义。 本文主要运用经验b a y e s 方法研究分御族参数的统计推断及其在可靠性分析 中的应用。第一章给出了本文以后各章节所需要的基本概念。第二章在p a 样本情 形下给出了一类币指数分柿族参数的经验b a y e s 检验，讨论了它的渐近最优性，并建 西匕工业大学硕十学位论文第一章绪论 立其收敛速度在适当的条件下，证明了该收敛速度可以任意接近g ) 第三章在同 分布p a 样本下，考虑了非对称损失函数l i n e x 损失下刻度指数族参数的e b 估计问 题，获得收敛速度并给出渐近最优性的证明。第四章对肌相依样本时线性经验 b a ”s 估计进行了研究，得到一维聊相依样本单参数总体中参数e 的线性经验b a y e s 估计，并给出了渐近最优的收敛速度。第五章对一类具有相依部件的串、并联系 统的可靠性指标估计问题迸行了研究，建立了合理的失效模型，计算机模拟结果 表明所给出的方法是可行的。 在相依情形下，研究参数的经验b a y e s 估计与检验及其收敛速度和渐近最优 性，具有理论和应用价值。 西北工业大学硕士学位论文 第二章p a 样本f 正指数族参数的经验b a y e s 检验 第二章p a 样本下正指数族参数的经验b a y e s 检验 2 1 问题的提出 自j o l l i l s ，、，觚r y z i n 阱对离散型和连续型指数族关于砌样本情形的单边检验 提出以来，已有不少文献对其进行研究瑚太忠等h 讨论了刻度指数族参数在线性损 失下的单侧e b 检验问题，s i n g l l 和w 萌i 州研究了双侧的e b 检验，这些都是在硼样本 情形下进行的在可靠性理论、渗透理论、和某些多元分析等实际问题中，遇到的随 机样本常常不是独立同分布的，而是具有某种相关性，正相协( p a ) 和负相协( n a ) 样本 就是常见的两种文献 1 ，2 ，8 ，4 1 ，4 4 】均在n a 样本下，分别研究了截断型分布族参数的 单边及双边e b 检验和e b 估计问题 本章运用同分布p a 样本密度函数的核估计，构造了一类正指数分靠族参数的经 验b a y e s 检验，讨论了它的渐近最优性，并建立其收敛速度在适当的条件下，证明该收 敛速度可以任意接近g ) 最后，给出适合定理条件的一个例子 下面首先引入p a 序列的定义【”j 定义l 称随机变量”z 。0 j ) 是p ：a 的( p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ) ，如果对于月4 上 任意两个使协方差存在且对每个变元均非降( 或非升) 的函数 和 都有 c o v o f ? 眯i ，x2 x j ， 2 0 x l ，x2 ，x m 2 0 称随机变量序列 z ， 是p a 的，如果对任意自然数疗，x ，x ，x 。都是 p a 的 考虑如下讵指数族：设随机变量在给定参数e 时的条件密度函数为： 厂( 0lx ) = c ( e ) “( x ) e x p ( 一e x ) j 【，o 】 ( 1 ) 其中样本空间3 c = ( o ，佃) ，参数空间o = f o o ，c ( o ) 一= f “( x ) e x “缸) 出 0 且关于工是不减的设g ( 0 ) 为0 的未知先验密度且扣( e ) = g ( o ) 棚考虑假 设检验问题 爿0 ：0 o 。 鳃p a ( ，) ( 9 ) 又知0 【g ( x ) ，托( x ) 是x 的连续函数，根掘连续函数的介值性定理，存在一点使得 p 。( ) = o 。测有 f p g ( 工) 肛g 【p 。( x ) o 。x ， 因此b a y e s 判决函数可表示为 淋) 2 ：裟 c t 其b a y e s 风险为 民= 节r ( 6 。，g ) = f 6 。o ) 钆一p 。( x ) 尼( x ) 出+ c 6 当先验分布g ( e ) 已知且6 ( x ) = 6 。( j ) 时，吃完全可以精确达到，但由于此处先 验分布g ( e ) 未知，因此6 。( x ) 对我们来说也是未知的且不可用这就需要导入e b 检 验方法 2 2e b 检验函数的构造 设 一，o ，) ， 托o ， 以，o 。 和 x ，e 为同分布样本，其中葺，局，( 历史样 本) 与x ( 当前样本) 具有共同的密度函数厂o l e ) ，如式( 1 ) 所定义o ，( f = ，2 ，胛) 与 e 有共同的先验分布g ( 9 ) ，又设x ，以x 。( 一2j ) 为同分布p a 随机变量序列，由 式( 1 ) 所示的概率密度函数可得其对应的边缘密度为： 1 0 西北工业大学硕士学位论文第二章p a 样本下正指数族参数的经验b a y 。! ! 垒堕 尼( 工) = l 厂( z l o p g ( e ) 文中假定p a 序列是弱平稳的且满足条件( a ) ：c d v ( x ，一) c ， 为了获得e b 检验函数，首先构造弘( 曲，0 c g ( x ) 。讹( x ) 的估计量这里采用核估计 的方法设x ( y ) ( f = 口，) 是b o r e l 可测有界函数且满足下列条件( b ) ( 口，) k ( y ) = d ，当y 茌( 以，) 时 rjf = f ( 岛) rj ，k ( y ) 砂； d ，f f = d ，j 一 【丑 忙。 ( 口，) k ，( y ) 在局上除有限点集易外是可微的且，器曼。l 置气y ) l c o 。根据 鼢d 【卅，厶( ，) 的核估计如下： 驰) = 去弘【竿 其中p _ o ( 门一。) 且，砌嘭= m ( 1 1 ) 则伐。( x ) ，( ) c ) ，狰话( x ) 的核估计可表示为 “小寿蓦k 。( 罕 c a 小，= 南善片，( 竿) c ( 工) = o 。y 。( x ) 一a 。( 石) 下文，我们仅讨论g ( e ) e t n ，乃) = g f r e g ( o ) co o ，p 。) 其中 d d ，m 。( x ) d “( x ) 一m 。( x ) 出 这罩及以下均以e 表示对( x ，以，x 。) 的联合分布求均值按定义若 触e 魄湖一( z ) i = p ， 炽e n ( x ) 卜7 。( x ) | _ 口， 堕塑业盔堂堡堂堡垒文多二章p a 样本下上 指数旅参数的经验b a y e s 检验 触e i m 。( x ) 卜m 。( x ) | = d 则称o c 。( 工) ，靠( 工) ，o ) 分别为a 。o ) ，( x ) ，o ) 的一致渐近无偏估计量 若! 鳃r = ，则称( 6 。 为参数e 的渐近最优e b 检验若对g 口，有 r = d ( ”一9 ) ，则称e b 检验函数 6 。 的收敛速度的阶为g 约定：文中出现的c ，c o ，c 均表示与胛无关的常数，它们在不同的表达式中可 以表示不同的值，即使在同一表达式中也是如此 2 3 主要结论及其证明 为导出e b 检验函数 6 。) 的渐近最优性及其收敛速度，先给出如下引理： 引理1 令肖和y 是两个p a 随机变量，皆有有限方差，则对任意两个可微函数岛和岛， 有 v ( g ，( x ) ，( y ) ) s 母k 5 0 0 ) 节k ；。) | c o v ( t y ) ( 1 7 ) 当蜀和分别在有限或可列集e ，和e ，上不可微时，有 一( 占小) ，( ，) ) 蔓煅| 占 ，( ，) is 即眇( 刈( w ) ( 1 7 ) j e r ，一t 。1 ，e r f 一， 证明：式( 1 7 ) 的证明见文献【9 】引理4 2 当面和毋分别在蜀和蜀上不可微时， v ( 蜀( 功，( y ) ) 在乘积空间( r 厂e ，) ( 尺，一e 。) 上积分与在尺j 上积分相等，类似可 证式( 1 7 ) 定理1 设y 。p ) ，c 。( z ) 分别为式( 1 2 ) 和( 1 3 ) 所示，其中蜀，奠，鼍是服从同一分布的 p a 序列，且满足假设( a ) 和( b ) ，甜( x ) d 且“( x ) 是x 的严格增函数，对魄x ，若 丫g ( x ) 连续且s 印7 。( x ) ：c o o ，则有 ( 1 ) 伽( h ( x ) ) c ( 以吃“( x ) ) 一十c ( 疗嘭) ( 1 8 ) ( 2 ) 胁( d 。( x ) ) c ( 一霸“( x ) ) + c 0 引。 ( 1 9 ) 证明：( 1 ) 踟r ( y 。o ) ) = 寿哳l 弘( 竿 南i t 南e 卟竿) 南。( 罕 南 = 去喜惭卜阵 南 + 高磊盖铆 ( 竿 南，屹降碥 = t + l l = 去扣m 竿 高 = 匆晰 ( 竿) 南 1 2 s 而南e 竿 2 去r 峨群( 警灿沪( 蜀阿 2 面r 群( v ) 7 。( h 以v 沙 由脚g ) = 吖i ? ，t 。厶) 存在s 阶导数则 能e h ( x ) 卜a a ( 叫= d 恕e n ( x ) 一y c ( x ) i = d 舰e l ( x ) 一m 。( 刮5 d 证明：由c 卜一不等式和j e s s e n 不等式，对任意函数厂( x ) ，z ( 工) ，当d ，时，有 e i ( x ) 一，( 石) l 2 占肚( x ) 一厂( x ) 吖2 + 2 e 峨( x ) 一( x ) l s 2 踟矾( x ) r + 2 i 阢( x ) 一厂刚 利用泰勒展开定理和假设( a ) ，有 e m ( x ) = i ：畅( v 耽( x + v ) 咖 = c ( e ) 唧( 一盼) j ：弼( r ) 唧( 一e 。吃v ) 舢( e ) ：l c ( 。) 唧( 一帆) l ，+ 生譬等r v 。( d 唧( 一。耵) 十( e ) 砘( 小等量。q e ) 唧( 也) 抄酏) 唧( 也v 。) 砷删 其中v 【d ，v 】胜意到k 。( ) 的有界性( 不妨设j 局( ) i b ) 及d e 印( 一e 。v ) j ，可 得 ! 翌e i y 。( 工) 一( 石) i = ! 鳃2 砌r 丫。( 工) 班 十恕2 l 等。c ( e ) 唧( 一哟 f v ( v ) 唧( 一e v ) 咖 棚( e ) l 鳃南( e ) 酬也) 叫。) ，f m “= d h 同样 e m 石) = 一丢f x 小) a 。( h 吃v ) 咖 1 4 堕j ! 三些盔堂堡学惶塑 第二章p 氏样本下j i = 指数族参数的经验b a y e s 检验 = 一 上c ( o ) 唧( 骶) f 巧( v ) 唧( 一眠v ) 枷( 。) 一寺l c ( 。) 酬m ) 卜。+ 警铲p 州咄印( 0 ”) 一v b 。) = 叫小譬上8 吲8 ) 唧( 嘶) 雎昭小) 唧( 一e 矿) 面卜( o ) 其中矿【d ，v 】，注意到i k ，( ) i c 口及d e 印( 一。以v ) j ，则 ! 鲤ej o c 。( 工) 卜a 。 ) | ! 鳃2 阮r 口。( 石) 以 也2 降二。侧卅骶) 眇砷) 计。州十( e ) f 硝池+ 力上o 。e ( o ) 唧( 也) 搬( e ) ( 乃) 由于p q 日是关于x 的严格减函数且陆( 肛) = e 。，故存在岫，( p 。，6 ) ，使 订 吣 一，=ll 筠 二誉l 恕 两北1 ：业人学硕十学位论文 第二章p a 样本下正指数族参数的经验b a y e s 检验 q = e 异 糯( 习0 j 批( 功 o “( 刁弘( 习 肋( 刁一岛 出 9 = r 异 牖( 习 o ，化( 习o “( 功丫o ( 习 。一艮( 功 出 9 = 牖( 砷 o ，耽( z ) o “( 功 一耽( 刁：陋 定理3 设6 ：( x ) 由式( 1 5 ) 定义，x ，z ”z 。为同分布弱平稳p a 样本序列，满足条件 ( b ) ，并假设下列条件成立： ( a ) l d g ( e ) ( b ) 对v x x ，( x ) 是关于工的连续不减函数，丫g ( x ) 存在，( ，1 ) 阶导数 则当疗磁斗o 。0 专o 。) 肘有 ! 鳃r 。( 6 。，g ) = r 。 证明：要证明! 鳃尺。( 6 。，g ) = 心，即证明：塑( 9 + q 2 + 9 + q 4 ) = o 由于p 。( j ) 是关于x 的减函数，则对坛( p g j ，) p 。( ) 一o o p 。( ) 一o o = o ， o o p a ( p a ：) o o p c ( p a ) = o ( 2 5 ) 9 e 2 甜( z ) 弘( x ) 膨( e 。+ 1 ) l c ( o ) 印( - 0 一) 粥( e ) 如( ) 出 s 2 肼( e 。+ 1 ) 上o “c ( e ) t 甲( 一肌) 施( o ) p ( 印) = d ( 腻) 9 c 22 “o ) 7 c ( x ) 肼( o 。+ 1 ) o “c ( o ) 唧( 一o n ) d g ( o ) 乃。o ) 出 2 蹦( e 。+ 1 ) 工o “c ( o ) 唧( 一e n ) 扣( e ) 乃“( n ) = o ( 掰) 另外，对v x ( n ，p o ) ，有肋( x ) = 丫g ( x ) ( e 。一p 。( 工) ) 所。( x ) 一( o 。+ 1 ) 掰上o c ( o ) 唧( 一h ) 粥( e ) 1 = 一耽 2 2 1 肋 2 ( 习 岛一f j g ( 习 一( 岛+ 1 ) 蹦上e ，c ( 。) g 印( 卅c 灯( 。) ( n ) e 0 一d 。( 肛) 一( o o + 1 ) 箔o c ( e ) 印( 聃) 粥( 9 ) 1 6 。尹。尹 。_。_。_ ，l，! 叫州叫一苄： 一2一2一2 = = ，、 ，i 弘 弘 12一2 + + 对对 = 圭m ( j ) o 由定理l 知 胁 川。( 瑚= 惭 e 吖。( x ) 一a c ( x ) 2 0 5 胁m ( x ) + 2 脚陋( x ) 蹦+ 去+ 端+ 熹 ，廊- “( x ) 刀，疗