（应用数学专业论文）三元细胞神经网络系统的动力学分析.pdf

、 o nt h ed y n a m i ca n a l y s i so ft h r e e c e l lc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s b y c h e n z h o n g g u i b s ( h u n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gl i h o n g m a y ，2 0 1 1 l 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：阿干杜 日期：2 口1 1 年箩月 ；口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 i 保密口，在- 年解密后适用本授权书。 2 不保密血 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 弦中桂 日期：工。t 1 年f 月多口日 导师签名： 日期b 。1 年j 啁三日 l 三元细胞神经网络系统的动力学分析 摘要 细胞神经网络系统被大量应用于生物，物理以及各种控制当中，具有非常广 泛的应用背景，而在这些应用当中都将要求细胞神经网络系统满足一定的条件， 如稳定性，系统具有极限环，渐近性等，以便更好的加以人工控制本学位论文 对三元细胞神经网络系统的动力学性质进行了分析，讨论了神经网络模型平衡点 的存在性，局部稳定性，以及系统的完全稳定性全文共分三章： 第一章简单回顾了神经网络的发展历史，阐述了其发展现状，以及本学位论 文所研究的细胞神经网络的应用背景和研究目的，提出了本文将要讨论的问题， 最后简述了本文的主要工作 第二章介绍了本学位论文需要用到的一些基本定义和基本定理，主要涉及到 有关矩阵理论以及有关微分系统定性理论等内容 第三章是本学位论文的主要部分，通过对比研究了不具有外部输入和具有外 部输入的三元细胞神经网络模型的一些动力学首先利用微分方程定性理论，通 过分析微分方程的特征方程和与方程相对应的雅克比矩阵的特征根来研究不具有 外部输入的三元细胞神经网络模型的奇点的存在性与稳定性，进而得到系统平衡 点附近的局部稳定性；随后在有关细胞神经网络完全稳定性研究成果的基础之上， 利用微分方程的稳定性理论讨论了具有外部输入的三元细胞神经网络模型其饱和 域内平衡点的存在性以及平衡点的性质，并在此基础之上讨论了系统的完全稳定 性，即系统的每一个解都收敛到平衡点 关键字：存在性；稳定性；神经网络；饱和域；完全稳定性；平衡点 l i 硕士学位论文 a b s t r a c t c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ( c n n ) i sa p p l i e dt ok i n d so ff i e l d s ，s u c ha sb i o l o g i c a l ， p h y s i c a la n dc o n t r o l ，s 0t h er e s e a r c hh a sb r o a dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e ，a n ds t a b i l i t y , l i m i tc y c l ea n da s y m p t o t i cs t a b i l i t ya r et h ek e yi s s u e si nt h e s ea p p l i c a t i o n so fc n n i n t h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fs t a b l ee q u i l i b r i u m p o i n t s ，t h el o c a l s t a b i l i t ya n dt h ec o m p l e t e l ys t a b l eo ft h en e t w o r kw i t ht h r e e c e l lc e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k s t h ep a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to fn e u r a ln e t w o r k sa r eb r i e f l y i n t r o d u c e d t h eb a c k g r o u n da n dt h ea i mo ft h i s s t u d ya r ea l s og i v e n ，a n dw er a i s e s o m ep r o b l e m sw h i c hw o u l db ei n v e s t i g a t e d ，a n di n t r o d u c et h em a i nw o r ki nt h i s p a p e r i nc h a p t e rt w o ，w el i s ts o m eb a s i cd e f i n i t i o n s ，l e m m a sc o n c e r n i n gw i t hm a t r i x t h e o r ya n ds o m ep r o p e r t i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h el a s tc h a p t e ri st h em o s ti m p o r t a n tp a r ti nt h i s t h e s i s f i r s t l y , w eu t i l i z e q u a l i t a t i v et h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n da n a l y s et h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ej a c o b i a nm a t r i xt od e a lw i t ha n e t w o r kw i t ht h r e e - c e l lc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t h o u te x t e r n a l i n p u t w h i c hh a s s u b s e c t i o n m e s s a g e f u n c t i o n w eo b t a i nt h e c o n v e r g e n c eo ft h es y s t e mt o e q u i l i b r i u m sa n dt h es t a b i l i t yo fp o i n t su n d e rs o m ec e r t a i nc o n d i t i o n s f i n a l l y ，w e e s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ea n dt h ep r o p e r t yo ft h ee q u i l i b r i u m p o i n tb e t w e e ns t a t e s t a b i l i t ya n do u t p u ts t a b i l ! t yo ft h en e t w o r kw i t ht h r e ei d e n t i c a ln e u r o n s o nt h i sb a s i s ， w eo b t a i nt h a tt h en e t w o r ki n v o l v e di s c o m p l e t e l ys t a b l ei nt h es e n s et h a te v e r y t r a j e c t o r yc o n v e r g e st oa ne q u i l i b r i u mp o i n t k e y w o r d s ：e x i s t e n c e ；s t a b i l i t y ；n e u r a ln e t w o r k ；s a t u r a t i o nf i e l d ； c o m p l e t e l ys t a b i l i t y ；e q u i l i b r i u mp o i n t i i i l 三冗细胞神绎网络系统的动力学分析 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要j 1 i a b s t r a c t i i i 第l 章绪论l 1 1 神经网络研究的历史与发展概况l 1 2 细胞神经网络模型与概念2 1 3 本文的主要研究工作4 第2 章基本理论知识一7 2 1 矩阵及相关的预备知识7 2 2 有关稳定性的一些基本理论8 2 3 三阶微分系统奇点及其稳定性判定9 第3 章三元细胞神经网络的动力学分析1 1 3 1 无外部输入的三元细胞神经网络的稳定性一1 1 3 2 具有外部输入的三元细胞神经网络模型的完全稳定性1 5 3 2 1 具有外部输入的三元细胞神经网络模型介绍1 5 3 2 2 主要结论17 3 2 3 定理的证明一l8 3 2 4 应用举例2 7 结论3 2 参考文献3 5 致谢3 8 i v 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 神经网络研究的历史与发展概况 人工神经网络是建立在生物学基础之上，模拟真实人脑神经网络的结构和功 能，从而构成了一种信息处理系统随着科技日新月异的发展，人工神经网络被 广泛应用于众多领域，受到了很多研究者的关注人工神经网络的研究始于二十 世纪四十年代初，六十余年的研究与发展历经曲折，跌宕起伏1 9 4 3 年，美国心理 学家m c c u l l o c h 和数理逻辑学家p i t t s 合作建立了第一个神经元的数学模型，即 m p 模型【l 】，其基本构造是神经元，它是处理人体内各部分之间相互信息传递的 基本单元，虽然他们引进的神经元的功能很弱，存在很多需要改进的地方，但是 这为以后的研究工作提供了依据之后心理学家d o m a l dh e b b 通过对大脑神经细 胞学习和条件反射的观察，于1 9 4 9 年提出了神经元之间连接强度变化的规则，并 由此提出了h e b b 学习模型【2 j 19 5 7 年，计算机科学家r o s e n b l a n t t 研制出了历史上 第一个具有学习型神经网络特点的模式识别装置，试图模拟动物和人脑的学习和 记忆功能，这是第一个完整的人工神经网络，也是第一次把神经网络模型应用于 工程19 6 0 年，美国工程师w i n d r o w 和h o f f 提出了自适应线性单元，找出了学习 规则，并对过去一段时间就细胞神经网络的研究工作做出了总结，这鼓励了大量 的数学家和科学家们从事神经网络的研究，促使人工神经网络的研究达到第一个 高潮19 6 9 年m i n s k y 和p a p e r t 出版了关于感知机的书籍，但是这并没在阻止神经 网络的研究工作低迷期的到来，但是即使研究工作处于低潮期，仍然有一些有坚 强毅力的科研工作者继续从事神经网络的研究美国生物物理学家h o p f i e l d 于 19 8 2 年，19 8 4 年在美国科学院院刊发表的两篇文章【3 ，4 】，采用互连型神经网络模型， 首次引入了网络能量函数一l y a p u n o v 函数，成功的求解了计算复杂程度为n p 的完全型的旅行商问题，并给出了网络的稳定性依据，利用提出的网络模型可实 现电子电路，开拓了神经网络用于联想记忆的优化计算的新途径，并为神经计算 机的研究奠定了基础自从h o p f i e l d 模型提出后，又一次促使大量的科学家和数 学家加入了神经网络的研究行列，继续从事这一模型的研究工作，希望能得到更 接近人脑的功能特征随着理论工作的发展，神经网络的应用研究也取得了突破 性进展，科学家们提出了许多具有不同信息处理功能的神经网络模型，涉及面非 常广泛，如信息处理、模式识别、优化计算、人工智能、神经计算机研制、智能 控制等 近年来，神经网络理论已经引起了世界各国的研究者，研究机构甚至企业界 三元细胞神经网络系统的动力学分析 的普遍关注在美国，神经计算机产业已获得军方的强有力支持，神经网络已被 国防部高级研究计划局认为是解决机器智能的唯一希望；欧洲，日本等国均在神 经网络研究上投入了大量的人力和财力与此同时，我国也不甘落后虽然我国在 人工神经网络方面的研究开始的时间比较晚，但是在这短短的时间里我们取得了 显著的成果从1 9 8 8 年北京大学组织的第一次关于神经网络的讨论会，到1 9 9 0 年由8 个单位联合发起和组织的中国第一次神经网络会议，再到之后的第二届神 经网络会议，不断涌现就神经网络方面研究的论文，回忆录等有意义的研究成果 19 9 2 年在国际神经网络学会等国际学术组织的帮助下，我国神经网络委员会正式 成立，这也标志这我国神经网络的研究工作正规化，并与世界神经网络研究工作 接轨，促使我国在神经网络方面研究大踏步前进同此同时我国神经网络研究的 开始与发展更是离不开国家科学基金与国防预研基金为神经网络的研究提供的资 助，这也可以看出我国对神经网络研究的关注与重视随着计算机网络的发展和 全球一体化的推行，神经网络的研究也不再局限于一个国家或地区，各种国际性 的神经网络学会相继成立，定时或不定时召开地区性，国际性的有关人工细胞神 经网络方面的会议，或举办有关这方面的研讨这些投入使得自1 9 5 8 年第一个神 经网络诞生以来，其理论不断更新，应用成果更是不胜枚举，新的模型、新的理论、 新的应用成果正在层出不穷地涌现出来 1 2 细胞神经网络模型与概念 细胞神经网络( c n n ) 是由c h u a 和y a n g 于1 9 8 8 年提出的一种人工神经网 络在细胞神经网络中，细胞之间的连接具有局部性，信号连接函数为分段函数， 其信号处理具有实时性，每个细胞都只与其最相邻的细胞连接，这使得每一模块 的连接较少，从而可以用于大规模的计算，这有利于实现大规模集成电路( v i s l ) ， 能高速并行计算，提高运行速度，具有双阀值输出等特点一个集成电路的基本 单元就是神经元细胞，每个细胞只与它相邻的细胞连接，不相邻的细胞可能存在 间接影响，相邻的细胞直接影响 考虑一个二维的m n 细胞神经网络，其状态方程为 c 譬乒= 一万1 叱旷叫，蔷仉，以爿( ，) + e 删“，( f ) + 乃， 1 f m ，1 n i i i g l ， uu 、o u 。 j r ，) e ，( ，) 其中连接函数为分段线性函数： = f ( v x 。j ) = 丢( i 匕，+ 1 h - 1 i ) ， 2 硕f ：学位论文 其中，( f ) ，v , j ( o 和( f ) 分别是细胞c ( f ，) 的状态，输出和输入信号，乃是偏差电 流，c 和疋分别是电容和电阻，厂为分段线性连接函数，4 和吃爿分别是反馈算 子和控制算子 当每一个细胞的输入是常数，边界条件为固定边界时，将细胞按一定的方式 重新排成一列，则c n n 的状态方程可写成向量方程 戈( f ) = - r x ( t ) + a y ( t ) + u ，( 1 1 ) 其中输入向量“是一个常向量，x 和y 分别为状态向量和连接函数，a = ( q ，) 。为 连接矩阵，r = d i a g ( r , ，) 是正对角矩阵，连接函数为分段函数 1 y ( f ) = 去( 1 x ( f ) + 1 | - i x ( o 一1 1 ) z 在标准化参数( r ，= c = 1 ) 下，即尺为单位矩阵，c n n 的状态方程为 文( f ) = - x ( t ) + a y ( t ) + z f ( 1 2 ) 大量文献讨论细胞神经网络的动力学性质时都是在系统( 1 2 ) 的基础之上进行 的 在细胞神经网络的许多应用领域，无论是带有外部输入还是不带有外部输入 的网络系统，其中稳定性是一个非常关键的问题，如仪器仪表的j 下常工作需要系 统的稳定性；一些应用要求所用的网络有多个稳定的平衡点，甚至有很多的应用 要求系统平衡点不仅稳定，还要求平衡点位于饱和区域内，如模式识别、联想记 忆等：还有一些应用要求所采用的模型是具有完全稳定性的，即网络所对应的动 力系统中的每一个解都收敛于平衡点，如在图像处理中，要求所对应的网络模型 系统有饱和域内的平衡点，网络系统的主要作用是把一个输入像转变为相应的输 出像，同时输出像对应一个稳定的平衡点，这时也要求系统对应的状态方程有饱 和域内的平衡点在另一些应用中，如最优控制，要求系统模型有唯一的全局渐 近稳定平衡点因此，分析判断细胞神经网络模型的完全稳定性的条件具有非常 重要的意义在文献【5 】中不仅得到了饱和域内平衡点存在的条件，并得到在饱和 域内平衡点存在时，二元细胞神经网络是完全稳定的，于是大量的研究就此展开， 寻找饱和域内平衡点的存在性与系统的完全稳定性之间的联系，如文献【6 9 】对稳 定平衡点做了深入的研究，文献 1o 】研究了细胞神经网络模型( 1 2 ) 的完全稳定性， 得到具有对称连接矩阵的细胞神经网络模型( 1 2 ) 是完全稳定的；文献【1 1 】得到了 若存在一正对角矩阵d 使得d a 是对称矩阵，则细胞神经网络模型( 1 2 ) 是完全稳 定的；文献【l2 】得到了若a 一，是非奇日矩阵时，细胞神经网络模型( 1 2 ) 也是完全 稳定的 二元及三元细胞神经网络是结构最为简单的细胞神经网络，对二元和三元细 胞神经网络的研究不仅具有现实意义，且对大规模神经网络的研究1 3 州1 具有指导 和借鉴作用同时在数学中，我们通常采用动力系统为理论依据，以微分方程或 三元细胞神经网络系统的动力学分析 者差分方程为工具对神经网络模型进行研究在此基础上，我们在二元和三元细 胞神经网络方面的研究得到了很多的结果，如：袁朝晖，黄立宏【l5 】等研究了一类 离散三元时滞神经网络模型文献 5 ，15 - 2 5 均对二元或三元神经网络模型做了研 究文献 2 6 】研究了时滞细胞神经网络的全局稳定性，文献【2 4 ，2 7 对非对称细胞 神经网络进行了研究，得到稳定平衡点的存在性和渐近稳定性文献 1 6 ，2 8 3 1 】研 究了细胞神经网络模型的完全稳定性，文献【2 6 ，3 2 3 5 研究了带有时滞的细胞神 经网络模型的稳定性，文献【3 6 】研究了信号不连续神经网络模型渐近稳定性文 献【5 】讨论了不带外部输入的两个细胞组成的系统的动力学性质，从而得到系统 在有饱和域内稳定平衡点存在的情况下是完全稳定的文献 16 】在文献【5 】的基础 之上研究了具有外部输入的二元细胞神经网络的完全稳定性，研究结果表明由两 个细胞组成的细胞神经网络，如果存在饱和域内的平衡点，则系统是完全稳定的， 同时文献 3 6 】中给出了两个例子说明三元细胞神经网络并不具有类似的性质，即 饱和域内的稳定平衡点的存在性不能保证系统的完全稳定性：对于三元细胞神经 网络来说，外部输入不仅会影响系统的完全稳定性，还会影响到饱和域内稳定平 衡点的存在性同时文献【2 8 ，3 7 1 针对一般的细胞神经网络模型的完全稳定性做了 更深入的研究，得到了一些完全稳定性的充分条件 1 3 本文的主要研究工作 本学位论文将在二元细胞神经网络模型一系列研究成果的基础之上，利用微 分方程定性与稳定性理论【3 8 4 1 】研究三元细胞神经网络，并通过对比研究不具有 外部输入和具有外部输入的三元细胞神经网络模型得到外部输入对三元细胞神 经网络模型一些动力学性质的影响具体研究内容为不具有外部输入的三元细胞 神经网络平衡点的存在性和稳定性，以及具有外部输入的三元细胞神经网络的完 全稳定性我们的结果表明：在满足一定的条件之下能够得到存在稳定平衡点， 进一步得到网络的完全稳定性，而且在这种情况之下外部输入不影响其完全稳定 性，即：细胞神经网络的自反馈就已经能够控制来自其他细胞的抑制作用与已 经被研究过的二元细胞神经网络模型相比较，三元细胞神经网络有着更复杂的动 力学性质，同时有着更为广泛的应用 本论文共分三章，各章内容简介如下： 第一章简要回顾了神经网络模型研究的发展历史以及发展现状，并针对三元 细胞神经网络的发展历程作出了较详细的说明，提出了本文将要讨论的问题，简 述了本文的主要工作 第二章介绍了本学位论文需要用到的些基本定义和基本定理主要涉及到 有关矩阵理论以及有关微分系统定性理论等内容 第三章是本文的主要部分，对两个网络模型进行了研究首先讨论了如下三元细 4 硕上学位论文 胞神经网络模型 l s q = 一而+ t l i i 厂( 而) + 口1 2 f ( x 2 ) + a 1 3 f ( x 3 ) ， 岛= 一x 2 + a 2 l 厂( 五) + a 2 2 f ( x 2 ) + 口2 3 f ( x 3 ) ， 【南= 一x 3 + a 3 l 厂( 而) + a 3 2 f ( x 2 ) + a 3 3 f ( x 3 ) ， 其中连接函数为分段线性函数 1 厂( 口) = 去( 1 秒+ 1 i i o - 1 1 ) ， 二 通过分析微分方程的特征方程和与方程相对应的雅克比矩阵的特征根来研 究模型的稳定性，得到模型系统在连接矩阵满足一定条件下平衡点的存在性与稳 定性，进而得到微分系统在平衡点附近的局部稳定性 然后讨论了具有外部输入的三元细胞神经网络模型 i 毫= 一x i + 口l l m ( x z ) + a 1 2 y 2 ( x 2 ) + q 3 y 3 ( 恐) + ， 岛= 一x 2 + t 1 2 l y l ( x 1 ) + a 2 2 y 2 ( x 2 ) + 口2 3 y 3 ( x 3 ) + “2 ， 【毫= 一x 3 + 口3 l y l ( x , ) + a 3 2 y 2 ( x 2 ) + a 3 3 乃( 屯) + u 3 其中连接函数为分段线性函数 1 m ( 薯) = i 1 ( 1 t + l l - l x , 一l i ) ，f = 1 ，2 ，3 在有关细胞神经网络完全稳定性研究成果的基础之上，利用微分方程的稳定 性理论，得到微分模型系统在满足一定条件下外部输入不影响饱和域内平衡点的 存在性以及平衡点的稳定性，然后在此基础之上讨论了系统的完全稳定性，即系 统的每一个解都收敛到平衡点 在得到具有外部输入的三元细胞神经网络模型的完全稳定性的充分条件之 后，我们举出了两个例子：第一个细胞模型可以利用条件判断其完全稳定性，并 且其连接矩阵并不满足以往已经得到的完全稳定性的条件；第二个例子是文献 【2 8 】中已经得到的不完全稳定的三元细胞神经网络模型，我们可以看出模型的连 接矩阵并不满足我们此次得到的充分性条件，因此我们此次得到的充分性条件不 能对第二个例子进行判断由这两个例子我们可以得出：第一，我们得到的完全 稳定性的充分性条件优于之前已经得到的充分性条件；第二，关于三元细胞神经 网络的完全稳定性判断的条件还存在不断完善的空间，需要我们对其进行继续研 究，得到更加完善的结果 通过分别对具有外部输入的三元细胞神经网络模型和不具有外部输入的三 元细胞神经网络进行研究，我们发现，对于三元细胞神经网络，一般情况下外部 输入将会影响细胞神经网络系统的动力学性质，如细胞神经网络的稳定性，完全 稳定性只是在满足一定的条件之下，外部输入将不影响细胞神经网络的一些动 力学性质由于关于三元细胞神经网络模型的完全稳定性的研究才刚开始起步， 三冗细胞神经网络系统的动力学分析 得到的结果还比较的粗糙，因此结果还存在需要不断改进，而且就整个细胞神经 网络的发展以及本学位论文对三元细胞神经网络系统的动力学研究来看也是存 在一些有待完善的地方，这些将是我们下一阶段的研究方向和工作重点 6 硕十学位论文 第2 章基本理论知识 为了方便后面章节的讨论和行文，本章主要介绍本学位论文中将要用到的有 关微分方程中的一些基本定义，重要定理和基本性质以及微分方程定性理论研究 的基本知识在这里我们只是叙述相关定理本身，详细的证明过程很容易在相关 的文献中找到 2 1 矩阵及相关的预备知识 设a = ( ) 是一个实常数矩阵 定义2 1 若矩阵a 的所有特征值具有正( 负) 实部，则称a 为正( 负) 稳定， 其中负稳定矩阵简称为稳定矩阵 定义2 2 设a 的非对角元素是非正的，而对角元素是非负的，若它的所有特 征值具有非负实部，则称a 为m 矩阵；若它的所有特征值具有正实部，则称彳为 非奇m 矩阵 定义2 3 设彳有正对角元素，彳的比较矩阵c = ( c ：f ，) 定义为： = q ，勺= 一i 嘞i ，若它的比较矩阵c 是非奇( 奇) m 矩阵，则称a 为非奇( 奇) 矩阵 定义2 4 设矩阵a = ( ) ，满足a i ，a f ，i ，i = 1 ，2 ，门我们称矩阵a 为严格对 j j 角占优矩阵 定义2 5 1 1 5 ，1 6 j 设x ( f ) 是微分方程 毫( f ) = 一薯( ，) + a , j y j ( t ) + a ；y j ( t - v j ( t ) ) + u f ，t - 0 ，f = l ，2 ，门 j = l j = l 过( o ，矽) ( 矽c ) ( 其中c 表示从【一f ，0 】映射到尺”的连续函数构成的b a n a c h 空间) 的解， 若l i m x ( t ) 存在且极限是微分系统的一个平衡点( 即缈( 0 ，矽) 是一个平衡点) ，则称 x ( ，) 是收敛的 定义2 6 若在定义2 5 中微分系统的每一个解都是收敛的，则称由定义2 5 中微分系统为模型的细胞神经网络是完全稳定的 定义2 7 设a 是具有j 下对角元素的矩阵，若存在正数z ，f = l ，2 ，刀，使得满足 7 三元细胞神经网络系统的动力学分析 4 j = l 嘭阱江1 ，2 ，棚 j 新 则称矩阵么为拟对角列支配，为方便我们将该类矩阵的全体记为r 若对矩阵 a r 至少存在一个指标k 满足 2 2 有关稳定性的一些基本理论 本文主要研究的对象为如下的细胞神经网络模型 i ( f ) = 一x ( f ) + a y ( t ) + “， ( 2 1 ) 与不带外部输入的细胞神经网络模型 文o ) = 一x ( f ) + a y ( t ) ， ( 2 2 ) 其中输入向量“是一个常向量，x 和y 分别为状态向量和连接函数，a = 【】为 连接矩阵，连接函数为分段线性函数 y ( ，) = 去( 1 x ( f ) + l i i x o ) 一1 1 ) 本节先引入一些有关微分系统( 2 1 ) 与( 2 2 ) 的性质与稳定性定理，为后面结论 的证明做准备 定理2 1 【4 2 1 若存在两个对角矩阵d 和尸使得d a p 为对称矩阵，而d p 为正对 角矩阵，则系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 都是完全稳定的 定理2 2 【4 2 1 若彳一，是非奇h 矩阵，则系统( 2 2 ) 是完全稳定的 定理2 3 4 3 1 假设p = ( 既) 是一个具有正对角元素的”行矩阵，存在一个正对 角矩阵d = d i a g d i ，吐，以) 使得肋是严格对角控制的，即 d , p i 。 哆m i = 1 2 ，疗 j = l ，f 当且仅当p 的比较矩阵是非负m 一矩阵 定理2 4 3 7 1 设a 是非奇h 矩阵，则存在正对角矩阵d = d i a g ( d t ，畋，吃) ，使 得d a 是严格对角列控制或a d 是严格对角行控制，即 8 l 吃d 。d 岩瞄 人i 为 体 或 全 的 4 阵 k 匕 抽网的质陛种 这 有具记什我 硕f ：学位论文 t zi i或d 3 a o z1 l ， j = l ，2 ，刀 i = 1 i = 1 l t jl 车j 定理2 5 2 4 1 对于细胞神经网络模型( 2 2 ) ，假定 1 ，a i ，则系统( 2 2 ) 在 全体饱和域内存在一个稳定平衡点 2 3 三阶微分系统奇点及其稳定性判定 设a 是三阶常系数方阵，且l a l 0 ，x r 3 ，考虑三维线性微分系统 j = d x ， 易知点o ( o ，0 ，0 ) 为此线性微分系统的孤立奇点，并且此奇点没有零特征根 设彳的特征根互异，则微分系统经过非奇异线性变换x = 曰亭后，系统的特征 方程可以化为下述两种类型之一： f 0 0 1 ( 1 ) 特征值均为实根，则善= 10 如0i f ， 100 五j f ，口01 ( 2 ) 特征值有虚根，则孝= i 一口0l 孝， l 0 0 五 其中，乃，待1 ，2 ，3 和口i f l 均为矩阵a 的特征值，且0 因此根据丑和口，值的 不同情况可分成如下情形： ( 1 ) 如 以 0 时，奇点o ( o ，0 ，0 ) 为微分系统的稳定结点； ( 1 ) 0 如 五时，此时将系统中的t 改为一f ，即与情形( 1 ) 中轨迹走向相 反，即此时奇点o ( o ，0 ，o ) 为微分系统的不稳定结点； ( 2 ) 五 0 五时，奇点o ( o ，0 , 0 ) 为微分系统的鞍一结点； ( 2 ) 丑 0 如 五时，类似( 1 ) 转换为( 1 7 ) ，将系统中的，改为o ，即与情形( 2 ) 中轨迹走向相反，即此时奇点o ( o ，0 ，0 ) 仍为微分系统的鞍结点； ( 3 ) 口 以 0 时，奇点o ( o ，0 ，o ) 为微分系统的稳定结一焦点； ( 3 ) 0 五 口时，类似( 1 ) 转换为( 1 ) ，将系统中的f 改为- f ， 轨迹走向相反，即此时奇点o ( o ，0 ，o ) 为微分系统的不稳定结一焦点； ( 4 ) 五 口 0 时，奇点o ( o ，0 ，0 ) 为微分系统的稳定结一焦点； ( 4 ) 0 口 五时，类似( 1 ) 转换为( 17 ) ，将系统中的，改为一r ， 轨迹走向相反，即此时奇点o ( o ，0 ，0 ) 为微分系统的不稳定结焦点； ( 5 ) 口= 五 0 时，奇点o ( o ，0 ，o ) 为微分系统的稳定结焦点； ( 5 ) 0 口= 五时，类似( 1 ) 转换为( 1 ) ，将系统中的f 改为一t ， 9 即与情形( 3 ) 中 即与情形( 4 ) 中 即与情形( 5 ) 中 三元细胞神经网络系统的动力学分析 轨迹走向相反，即此时奇点o ( o ，0 ，o ) 为微分系统的不稳定结一焦点： ( 6 ) 口 0 以时，奇点o ( o ，0 ，o ) 为微分系统的鞍焦点； ( 6 ) 五 0 口时，类似( 1 ) 转换为( 1 ) ，将系统中的t 改为o ，即与情形( 6 ) 中 轨迹走向相反，即此时奇点0 ( 0 ，0 ，0 ) 仍为微分系统的鞍焦点； ( 7 ) 丑 口= 0 时，奇点0 ( 0 ，0 ，0 ) 为微分系统的中心焦点； ( 7 ) 口= 0 以时，类似( 1 ) 转换为( 1 7 ) ，将系统中的t 改为_ f ，即与情形( 7 ) 中 轨迹走向相反，即此时奇点o ( o ，0 ，0 ) 仍为微分系统的中心焦点 如果矩阵a 有重特征根( 或两重，或三重根) ，那么经过非奇异线性变换 x = 骘后，系统的特征方程则可以化为下述两种类型之一： ( 3 ) 特征根为两重根： ( 4 ) 特征根为三重根： i 疋 孝= l 0 io 【 f = 10 lo 当a 五 0 时，( 3 ) 式和( 4 ) 式的奇点都为结点，且 五 0 时，奇点0 ( 0 ，0 ，o ) 为不稳定 的结点 1 0 ， 孝 f 、_、一、j 0 0 五0 0 a o o o 丑o 硕十学位论文 第3 章三元细胞神经网络的动力学分析 在细胞神经网络的大多数应用当中都要求其微分系统具有稳定性在这些稳 定的系统当中，也有些应用对稳定性有更为苛刻的要求，要求微分系统具有完全 稳定性，即微分方程的每一个解都收敛到平衡点 本章中我们首先考察了一类不带有外部输入的三元细胞神经网络模型在连接 矩阵满足一定条件下，利用微分方程的特征方程和与方程相对应的雅克比矩阵的 特征根研究微分系统平衡点的存在性和稳定性，得到微分系统在各平衡点附近的 局部稳定性 随后我们将研究带有外部输入的三元细胞神经网络模型饱和域内稳定平衡 点的存在性与系统的完全稳定性李雪梅的博士论文中讨论了两个细胞组成的 c n n 的完全稳定性，得到若外部输入为0 时，若网络存在饱和域内的稳定平衡点， 此时网络是完全稳定的，并且外部输入不会影响网络稳定平衡点的存在性和完全 稳定性同时举出两个例子说明对于三元细胞神经网络这一结果并不成立，针对 这一现象，本章将对带有三元细胞神经网络的完全稳定性方面展开讨论，并找到 使之成立应满足的条件 3 1 无外部输入的三元细胞神经网络的稳定性 考虑如。f 的三元细胞神经网络模型 1 南= 一+ a j l f ( x 1 ) + a 1 2 f ( x 2 ) + a 1 3 f ( x 3 ) ， x 2 = 一x 2 + a 2 l 厂( 而) + a 2 2 f ( x 2 ) + a 2 3 f ( x 3 ) ， ( 3 1 ) 【x 3 = 一x 3 + a 3 1 厂( 五) + a 3 2 f ( x 2 ) + a 3 3 f ( x 3 ) 其中，a v ( i ，= 1 ，2 ，3 ) 为常数，连接函数厂为分段线性函数 1 ( 臼) = 去( 1 秒+ 1 1 - 1 0 - 1 1 ) 对于微分系统( 3 1 ) ，连接矩阵为a = ( ) ，。，令b = a - i = ( ) ，刚矩阵色表示 6 ，的代数余子式假设a j ， i d e t ( b 1 3 ) l 一d e t ( b 1 1 ) ，d e t ( b z 2 ) l d e t ( b 2 1 ) i 一d e t ( b 2 2 ) ， d e t ( b 3 ，) l d e t ( b 3 ：) l 一d e t ( b 3 ，) 成立我们将根据微分方程定性与稳定性理论对微分 系统( 3 1 ) 的奇点进行定性研究，得到系统平衡点的存在性与稳定性，进而得到系 统在平衡点附近的稳定性通过分析我们得到如下结论： 定理3 1 当嘭3 a j 2 = 0 时，系统( 3 1 ) 的平衡点是稳定的结点；当 三冗细胞神绎网络系统的动力学分析 ( 吗3 0 2 2 ) 2 + 4 a 2 3 a 3 2 o 时，系统( 3 1 ) 的平衡点为稳定的结一焦点 定理3 2 当口i ：a 2 。= 0 时，系统( 3 1 ) 的平衡点是稳定的结点；当 ( 口l l 一0 2 2 ) 2 + 4 口1 2 a 2 l 0 时，系统( 3 1 ) 的平衡点为稳定的结焦点 定理3 3 当a 1 3 a 3 。= 0 时，系统( 3 1 ) 的平衡点是稳定的结点；当 ( q i 一口3 3 ) 2 + 4 a 1 3 a 3 l l ， = x ，i x , l - l ， 【一l ， 一1 我们先研究如下三个子空间d + ，d o ，口中均含有系统的平衡点，现我们主要针 对这三个子空间讨论系统平衡点的性质其中区域d + ，d o ，厦为： fd + = ( 一，而，而) 7 r 3 ：五l ，i 而l l ，i x ，l 1 ) ， o o = ( 而，x 2 ，j c 3 ) 7 r 3 ：h 1 ，蚓 l ，i x ，l ， 【口= ( _ ，恐，x 3 ) 7 r 3 ：x 1 - 1 ，x 2 1 1 ，i x 3 l 1 ) 首先我们分别考虑三个区域内可能的平衡点： 区域q 内平衡点只坐标为： x：10 a ll a 2 3 a 3 2 - ( a 3 3 - 1 ) ( a 2 2 - 1 ) + a 1 2 a 2 1 ( a 3 3 - 1 ) - a 2 3 a 3 1 + a 1 3 a 3 1 ( a 2 2 - 1 ) - a 2 1 a 3 2 口2 3 a 3 2 一( a 3 3 一o ( a 2 2 一1 ) 。2 i a i 2 , ( a 瓦3 3 - j 1 ) - 丽a 2 3 a 3 1 ， 屯。2 面a i 3 , ( a 瓦2 2 - j 1 ) - 丽a 2 1 a 3 2 区域域内平衡点为e o = ( o ，0 ，0 ) 7 ， 区域口内平衡点为只= 一只 下面的讨论都将在使得上述平衡点分别位于子空间d + ，成，d _ 中进行在每一 个平衡点附近，微分系统轨线的动力学性质都将由相应的雅克比矩阵的特征值决 定于是我们可以将平衡点附近的微分系统写成如下形式： = 血+ ，= a ( x p ) ， 其中，x = ( 五，屯，屯) 7 ，a 或为以或为4 ，1 ，或为v 0 或为v ，p 或为2 o 或为最 在区域口中， 1 2 硕士学位论文 在区域或中， 在区域n 中， 圳+ = p 一。麓 r q 、 v + = la 2 l1 l 口3 j - i o = 4 = = ； - 1 0 = 以 v 口1 2 1 + 口2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 1 + a 3 3 = 雌0a 3 一- l + a 3 ，卜l 2 3 一、1 2 j 在区域d + 和口中雅克比矩阵有一样的特征值，且均由如下的特征