（基础数学专业论文）泛分解与广义moorepenrose逆.pdf

泛分解与广义m 0 0 r e _ p e n r 0 8 e 逆 中文摘要 n e d h o l m 给出n e d h o l m 积分算子的广义逆，得到了n e d l l o i m 积分 算子方程的解，p e n r o s e 利用四个矩阵给出了矩阵广义逆的更为简洁 定义，此后，矩阵广义逆研究得到了迅速的发展。态射的m 0 0 r e - p e n r o s e 逆是矩阵m o o p e n r o s e 逆在有对合的范畴中的推广。 本文研究了范畴中态射的广义m o o r e p e r o s e 逆及具有满单泛分 解条件的m o o r e - p e n r o s e 逆，首先，我们引进了态射的满单分解和态射 的广义分解以及态射的广义m o o r e p e n r o s e 逆的概念，接着，我们在这 一基础上研究了具有满单分解态射的广义m 0 0 r e p e m o s e 逆和具有广 义分解态射的广义m o o r e p e n r o s e 逆，从而从一个新的角度对态射的 广义逆进行了刻画。最后，我们首次定义了具有满单泛分解的概念， 得到了具有满单泛分解态射m o o r e p e n r o s e 逆存在的充要条件。进而 使得态射的广义逆理论进一步得到了拓展。本文的主要结果和具体内 容如下： ( 1 ) 在第一章中，我们研究了具有满单分解态射广义m o o p e n r o s e 逆存在的充要条件和表达式，得到了如下结果： 定理1 5 ：设_ ，：x + y 是有对合+ 的范畴c 的一个态射，= 凡 是，的满单分解，那么以下命题等价： 1 ) ，关于 ，k 的广义m o o r e - p e r o s e 逆存在； 2 ) 靠尼 ，2 _ 1 定左( 或右) 可逆； 3 ) ， 关于 ，的广义m o o r e p e r 0 8 e 逆存在； 4 ) 矗m ，2 尼_ 1 庀是满( 或单) 态射，疗吼，五- 1 定关于 ，七的 广义m o o r e _ p e r o s e 逆存在； 5 ) ，+ 是满态射，2 - 1 广是单态射，+ h ，1 ，2 一1 ，+ 关于九，k 的广义m o o r e _ p e r o s e 逆存在； 6 ) 疗m ，2 - 1 疗是满( 或单) 态射，广，2 - 1 ，+ 关于 ，七的 广义m o o r e - p e r o s e 逆存在 ( 2 ) 在第二章中，我们在引进态射的广义分解的基础上研究了具 2 硬士学位论文 有广义分解态射广义m o o r e - p e n m s e 逆存在的充要条件和表达式，推 广了具有泛分解广义m o o p e n r o s e 逆的相应结果。得到了如下结果： 定理2 ，1 1 ：设态射，= 瑚g 为广义分解，且g 1 ) 庐，则以下等价： 1 ) ，的广义m o o r e - p e n r o s e 逆存在； 2 ) 鲫h 1 ，3 ) 庐，且胁，k 1 ，4 ) ； 3 ) 存在态射口1 ，啦使n l 广，御= g = 口g 七一1 广0 2 ( 3 ) 在第三章中，我们首次定义了泛分解态的满单分解，给出了具 有满单泛分解态射m o o r e - p e n r o s e 逆存在的充要条件。得到了如下的结 果： 定理3 5 ：在具有对合+ 的范畴c 中，日o m ( x ，x ) ，= p 鲫，且存 在态射p 日口m 。x ) ，g 日m ( x ，y ) ，使得p 忉= 9 = 9 9 口7 则下列等 价： 1 ) “l ，3 ，4 ) 妒； 2 ) p 9 1 ，3 ) ，g g l ，4 ) 咖； 3 存在口日哪，x ) ，使得p 9 = 口，9 ，9 9 = 9 9 ，+ 口； 4 忉是+ 一左可消去的，且0 9 ) 4 p g 是正则的，卯是+ 一右可 消去的，且g g ( 鲥) + 是正则的。 定理3 6 ：在具有对合+ 的范畴c 中，h m ( x ，x ) ，= 瑚q ，存在 态射p ，日d m 瞰x ) ，q ，日m ( x ，y ) ，使得p 7 p g = g = g q q ，且满足p g 是满态射，g g 是单态射，则下列等价： 1 ) ，关于 的m o o r e - p e n r o s e 逆存在； 2 ) ，+ 册左可逆，9 9 r 右可逆； 3 ) 伽) + 朋，g g ( 9 q ) + 都可逆。 关键词：态射；广义逆；对合；满单分解 泛分解与广义m o o r e _ p e r o s e 逆3 a b s t r a c t t h eg e n e r a l i z e di n v e r 8 eo ft h ef r e d h o l i n t e g r a lo p e r a t o r sw a sg i v e nb y f r e d h o l m ，a n dt h es o l u t i o no ft h ei n t e g 瑚叩r a t o r 8e q u a t i o nw a so b t a i n e d t h e s i m p l e rc h a r t e r i z a t i o no fg e n e r a l i z e di i l v e r s ew a sg i v e nw i t hf o l l rm a t r i c e s e q u a t i o nb yr p e n r o s e s i n c et h e n ，m a l l ym a 七h e m a t i c i a 珊h a v eb e e i le n g a g e di i l s t u d 咖gt h eg e n e r “z e di n v e r 8 eo fm a t r i c e s t h e 面mo ft h i sp a p e ri st os 亡u d yt h eg 印e r a 工i z e dm 0 0 r e - p e 丑m s ei n v e r s e a n dg e n e r 村i z e dm o o r e _ p e n r o s ei i e r 8 ew i t he p i c m o n i cm l i v e r s a lf a c t o r i z a t i o o fm o r p h i 8 m s t h em 8 i nt e 8 u l t s 村eh s t ei t h ef o l l 五n g ： ( 1 ) i nt h en r s tc h a p t e r ，w es t u d yt h eg e n e r a l i z e dm o o r e - p e n r 0 8 ei n v e r s e w i t he p i c m o n i cf a c t o r i z a t i o n ，t h em 址nr e s u l t sa r ep r o v e da sf o l l o w s ： t h e o r e m1 5 ：l e t ，：x 叶yb eam o r p h i s mo fac 咖g o r yc ，= ，1 厶i s a n 印i c m o n i cf a c t 叮i z a t i o no f ，c h e nt h ef 0 1 l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： 1 ) ，h a sag e n e r 矗i z e dm o o r e p e r o s ei n v e r s e 耐t hr e s p e c tt o ，后； 2 ) 片h ，矗k _ 1 定el e 托( o rr i g h t ) i n v e r t i b l 。； 3 ) ，1 ，2h a sag e n e r a z e dm o o r e _ p e r o s ei 1 1 v e r s e 们t hr e s p e c tt o 氕，七； 4 ) 矗 ，2 知- 1 尼a r ee p i c ( o rm o n i c ) m o r p h i s m s ，矗 ，1 ，2 南- l 庀h a v e g e n e r a l i z e dm o o r e p e r o s ei n v e r 8 ew i t hr e s p e c tt oh ，矗 5 ) ，+ i sa ne p i cm o r p h i s m ，2 南一1 ，i sa nm o n j cm o r p h i 8 m ， ，2 七一1 ，+ h a v eg e n e r a l i z e d o o r e _ p e r o s ei n v e r s ew i t hr e s p e c tt o 危，七； 6 ) 片h ，l ，2 七q 劈a r ee p i c ( o rm o n i c ) m o r p h i s 瑚，4 h ，2 七- 1 ，牟h a v e g e n e r a l i z e dm o o r e _ p e r 0 8 ei 玎v e r s ew i t hr e s p e c tt oh ，七， ( 2 ) i nt h es e c o n dc l l 印t e r ，t h ea u t h o ri n t m d u c e dg e n e r a l i z e df a c t o r i z a t i o n a n dd i s c u s sn e c e s s 蛳7 舭l ds u 伍c i e i l tc o n d i t i o n sf o r 出t e n c ea de ) 【p r e s s i o n0 f g e n e r 出i z e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s ew i t hg e n e r a l i z e df a c t o r i z a t i o n ，w eg e n e r 以i z e t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fm o 。p h i s m sw i t hu n i v e r s a lf a c t o r i z a t i o n ，t h e l a j n r e s u h 8 跗ep r o v e da sf 0 1 1 0 w 8 ： 、 r h e o r e m2 1 1 ：l e t ，= 阳叮b eag e n e r 曲z e df a c t o r i z a t i o n ，a n dg 1 ) 4 硕士学位论文 曲，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a 止e m e n t sa r ee q u i v m e n t ： 1 ) ，h a 8ag e n e r a l i z e dm o o r - f k r o s ei v e r s e ； 2 ) p 9 h ，k 1 ，3 ) 母，a dg q h 。k 1 ，4 审； 3 ) t h e r ee x i 8 t 8 l ，0 2s u c ht h a 七n l ，+ 印g = g = g 口七一1 ，0 2 ( 3 ) i t h et 1 1 i r dc h 印t e rw ed i 血e de p i c m o n i cu i l i v e r s a lf a c t o r i z a t i o no f m o r p h i s m s ，姐d 百v ee 】( i s t e n t i a lc o n d i t i o n sa n d 唧r e s s i o n sf o r 七h ee p i c m o i l i c u n i v e r 8 a 1f a c t o r i z a t i o o fm o r p h i s m s w ep r o v et h ef 0 1 l 帆哇n g ： t h e o r e m3 5 ：l e t ，日o m ( x ，x ) ，一p 9 qb e8m o r p h i 8 mo fac a t e g o r y h a 8ai n v 0 1 u t i o n ，t h e r e 两s tm o r p h i s m 印7 日o m ( kx ) ，口7 日o m ( x ，y ) ， s u c ht h a t 矿阳= 9 = 夕q 口，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s 盯ee q l l i v a l e t ： 1 ) ， l ，3 ，4 ) 妒； 2 ) p 夕 1 ，3 ) 妒，g q l ，4 ) ； 3 t h e r e 喇s t 口日d 仇( x ，x ) ， s u c h 恤a t 瑚= 盯广瑚，g q = 9 口，+ 口； 4 ) p gi s 一l e t fc a n c e l a b l e ， a n d ( 2 孵) 8 刀i sar e g i l l 缸，夕qi s 一r i g h 七 c a n c e l a b k ，a n d 夕g ( 9 q ) + i 8ar e g u l a r 。 t h e o r 眦3 6 ：l e t ，日o m ( x ，x ) ，一p 9 9 b e a m o r p l 曲m o f a c a t e g o r y h a s ai n v o l u t i o n 十，t h e r e 谢s tm o r p h i s m 8 日d m ( rx ) ，9 7 h o m ( x ，y ) ，s u c h t h a tp ，册= g = g g 一，a n dp gi sa ne p i cm o r p h i s m ，姐i 8a nm o n i cm o r p l l i 日m t h e t h ef 0 1 i o w i n g8 t a t e m e n t sa r ee q l l i v a l e n c ： 1 ) ，h a sam o o r e - p e f o s ei n v e r s ew i t hr e s p e c tt o4 ； 2 ) ，4 p 9i sl e 能i n v e r t i b l e ，9 q ，i 8r i g h ti m ，e r t i b l e ； 3 ) ) + 阳，9 9 ( 9 口) + a r eb o t hi n v e r t i b l e 。 k e yw o r d s ：m o r p h k m s ；g e n e r “i z e di n v e r s e ；i i l v d l u t i o n ；e p i c _ m o n i cf a c t o r _ j z a 土j n o 栏分解与广义m o o r p e n r o s e 逆 广义逆的概念最早由n e d h o h n 于1 9 0 8 年提出来的，他给出了n e d h o l m 积分算子的广义逆。h u r w i t z 于1 9 1 2 年利用n e d h o l i n 积分算子的 零空间给出了此类广义逆的一个简单代数表征，h i l b e t 于1 9 0 4 年讨论 广义g r e e n 函数时曾提出了微分算子的广义逆，之后许多学者研究了 微分算子的广义逆1 9 7 2 年，d a v i 8 和r 0 b i n s o n 发表论文态射的广 义逆之后，高度抽象的范畴中的广义逆理论广泛地渗透到半群，群 论，环论，模论及矩阵理论中，将广义逆理论推进到新的阶段，并成 为广义逆理论的一个主要研究方向。 p u y s t j e n s 和r o b i n s o n 在1 9 8 1 年定义了态射的本质唯一满单分解。 称( ，l ，z ，五) 为态射的本质唯一满单分解，若( 爿，z 7 ，矗) 为的另一个满 单分解，则存在唯一可逆态射”，使得爿= u ，矗= ”- 1 如。并由此给出 了态射，的m o o r e - p e n m s e 逆存在的充要条件是( ，啊，z ，2 ) ，( ，z ，2 ，+ ) 分别为，+ ，的本质唯一分解。 1 9 8 5 年，p u y s t j e l l s 和r o b i n s o n 研 究了具有满单分解态射的群逆，得到了态射，的群逆存在的充要条 件是( ，l ，z ，五) ，( ，z ，丘，) 均为，2 的本质唯一分解。 国内庄瓦金1 9 8 8 年研究了态射的( 1 ，i ) 逆存在的一些充要条 件，证明了m o o r e p e n r o s e 逆的九个表式，从而得到p 一除环上矩阵关 于正定对合+ 的m 0 0 r e p e n r o s e 逆的相应结果。1 9 9 1 年李桃生给出了 满态射，单态射和有满单分解态射m o o r e p e n r o s e 逆存在的几个充要 条件和计算公式，这些结论公式包括了矩阵的m o o r e - p e r o s e 逆的著 名结果。江声远，刘晓冀在1 9 9 7 年给出了泛分解的定义，研究了范畴 中态射乘积p 鲫的广义逆。假设有态射p 7 和口，使得p 伽= 9 = g 口9 7 ， 并用矿给出了乘积刀g 的m o o r e p e n r o s e 逆存在的充要条件及其表达 式2 0 0 1 年曹永知给出了与预加范畴中具有泛分解的态射的( 1 ，- 一i ) 逆存在的条件及其表达式，特别地，得到了这类态射的m o o r e p e n r o s e 逆和群逆存在的一些新的充要条件和新的表达式。陈军和陈建龙在同 一年给出了预加范畴中态射的广义分解的概念，并研究了具有广义分 6 硬士学位论文 解的态射的( 1 ，t ) 逆，和m o o 睁p e n r o s e 逆存在的条件及其表达式， 得到了态射的群逆及d r a z i n 逆存在的充要条件，推广了具有泛分解 态射的广义逆的相应结果。 本文也是沿着这一方向进行了一些研究，从一些新的角度对态射 的广义逆进行了刻画，从而迸一步丰富了态射的广义逆理论在第一 章，我们在f 9 】的基础上首次给出了满态射，单态射和有满单分解态 射广义m 0 0 r e - p e n r o s e 逆，得到了态射，关于九，七的广义m o o 睁p e n r 0 8 e 逆芷。存在的充要条件，并进一步得出了它的一些等价命题和表达 式；在第二章中，我们在| 7 1 中提出广义分解的概念的基础上，研究了 具有广义分解态射的广义m o o r e p e n r o s e 逆存在的等价条件及其表达 式，推广了具有泛分解态射广义m o o r e - p e n r o s e 逆的相应结果；在第三 章中，我们首次定义了具有满单泛分解态射的概念，着重讨论了态射 ，的 1 ，3 ，4 卜逆存在的充要条件，并进一步讨论了具有泛分解态射， 在有满单分解的条件下的m o o t e _ p e n r o s e 逆存在的充要条件 泛分解与广义m 0 0 r e - p e r o s e 逆 7 第一章有满单分解态射的广义m o o r e - p e n r o s e 逆 随着范畴中态射广义逆的研究的不断深入，现在探讨满足态射+ 一 可消态射的广义( j ) 逆，给出了其存在的一些充要条件，同时给出 了广义m 0 0 r e _ p e l l r 0 8 e 逆的显式表达，推广了态射m o o m p e n r 0 8 e 逆的 相应结果。当九，非对称可逆态射时，即使可逆态射，其广义m o o r e - p e n r o s e 逆都未必存在，因而本章以及后面的章节仅考虑 ，为对称 可逆态射时的情形。并且为了方便起见，本文中态射的合成顺序都是 从左到右。 1 1 预备知识与引理 设c 是一个范畴， ：x + z ，2 ：z y 是c 的两个态射，态 射的合成按以下顺序进行： h 1 2 ：x _ y 如果对于态射，：x + y 存在c 的一个对象z ，使得 ：x + z 是 满态射，止：z + y 是单态射并且，= ，2 就称，“有满单分解” 若对于范畴c 中的任一个态射，：x + y ，存在态射，：y + x 满足( ，4 ) = ，并且当 ：y + z 有( ， ) + = 舻，+ ，就称+ 是范畴的一 个对合显然，若，是单( 满) 态射，则广是满( 单) 态射；l 爻= l x ， 若，是可逆态射，则，+ 也是可逆态射，并且( ，+ ) - 1 = ( 厂1 ) + 当广一， 时，称，为对称态射。 c 是有对合+ 的范畴，：x + y 是c 的一个态射若存在态 射9 ：y + x 使得： | g | ：i 堪、 g ，9 = ， ( 2 ) 8 硕士学位论文 ( ，g ) = ，g ( 3 ) ( g ，) + = 9 ， ( 4 ) 则称9 是的，关于对合+ 的m o o r e - p e n r o s e 逆。 如果，有m o o r e - p e n r o s e 逆，则，的m o o r e _ p e n r o s e 逆唯一，记为 ，+ ，当，+ 存在时，( 广) + 也存在，并且( 广) + = ( ，+ ) + ，因( ，+ ) + = ， 故反之亦然。 c 是有对合+ 的范畴，：x + y 是c 的一个态射 ：x x ，七：y + y 可逆态射，若存在态射9 ：y * x 满足： ，g ，= ， ( 1 ) 9 如= ，( 2 ) ( h ，g ) = h ，g ( 3 ) ( 幻，) + = 蛔， ( 4 ) 则称9 为，的广义m o o r - p e n r o s e 逆记作纯 引理1 1 ：设，：x + y 是有对合+ 的范畴c 的态射，一 丘 是，的满单分解，则以下命题等价： 1 ) ，关于 的m o o r e _ p e n r 0 8 e 逆存在； 2 ) 广，l 左可逆，2 ，+ 右可逆； 3 ) 靠，l ，2 矗都可逆。 并且，当p ( 广 ) = 1 9 = ( ，2 ，+ ) 口时， p = o p ； t r 心。= p 链， ( ，2 庀) 4 = 疗盯 当l f 。筒；可蘧髓， j + = | 粕2 齐。嗽f 1r = 篷l j i f f ；、_ 1 f i ， 广 的左逆p = ( 疗 ) “( ，2 庀) - 1 ，2 ， 五，+ 的右逆a = ( 矗 ) _ 1 ( ，2 定) _ 。 泛分解与广义m o o r e - p e m s e 逆 9 1 2 广义m o o r e - p e n r o s e 逆存在的充要条件 定理1 2 ：设，：x 一y 是有对合t 的范畴c 的态射，= 五 是，的满单分解，则以下命题等价： 1 ) ，关于危，广义m o o r e - p e r o s e 逆存在； 2 ) 广h ，l 左可逆，丘一广右可逆； ， 3 ) 疗 ，五- 1 尼都可逆。 证明：1 ) 爿2 ) 设埝= 9 存在，则： 一s g | 一 g | g s = ，g 一1 ，9 ， = ，9 - 1 ( ，9 ) + ， = ，9 危一1 9 + ，+ ， 那么 ，2 = ，2 9 危一1 扩广 ，2 止g h 。9 + ，+ h = 1 ；即， 左可逆 = i g = | g s g s = ，麻1 ( 后口，) + 9 ， = ，惫一1 ，4 9 + 盘9 ， 黜；l 托= f l f 2 k 一1 f 4 旷k g f l f 2 = = ，2 _ 1 广矿幻 = 1 ：即，2 一1 ，+ 右可逆。 2 ) = = 1 ) 由广h ，l 左可逆， 厶一1 广右可逆，则存在p ，l 使得：p ，+ ，1 = 1 ：= ，2 女- 1 ，+ r 并且疗h ，矿= 1 ：= l ：= r + n 一1 e 令9 = 一1 ，+ f p 广 则可 以得出以下结果： q ： g j = h 2 k 。 4 t p f h h | 2 = f l p h | l k = l k = f ； 翰：g g = k _ 1 t p f h h 瘟。 t p h = f 1 f t p | h = 雕 3 ) ：( ，9 ) + = ( ，一1 ，+ r p 厂4 ) + = ( 岛一1 ，f p ，+ ) + 1 0 硕士学位论文 = ( 危 p ，+ 危) + = ，j ，+ ，_ 九= ，后一1 ，+ r ，+ ，p + ，：九 = h f k - 1f 4 t p 挖r h | 矿 ；h = h | k 。 f p p h 一危，9 ； 4 ) ：( 七g ，) + = ( 七七一1 ，+ f 户，+ ，) + = ( ，+ r p ，4 ，2 ) + = 妒t 硒+ = 挖t = 挖r k 1 f t p f 飞f = 跨rf k _ 1 诧f t p p m 一琵r t p h j = 七南一1 ，丁p ，+ ， = k g f 2 ) 3 ) 设存在n r 使得p ，+ = 1 ：= ，2 一1 广7 - ，并且矗 ，矿一1 ：= 1 ：= r + ，。疗则( p 矗) ( 矗 ) = 1 ：， ( 矗 ) ( p 庀) 疗= ( 片 ) ( p 疗) ( 疗 ，矿) 疗 = t r h | 心b | h o h d r = t r h h f 2 n f ； = 1 ；，+ 因为片是单态射，所以片右可消，从而可以得到：( 疗) ( p 庀) l ；，即片h 可逆 ( 五女- 1 龙) ( 矗r ) = l ：； 定( 片r ) ( ，2 女4 定) = 疗( r n - 1 庀) ( 矗r ) ( 如_ 1 尼) = 矗( r ( ，2 女- 1 广r ) ( ，2 - 1 庀) = 定( r ，- 1 e ) = 矗l ： 因为矗是满态射，所以疗左可消，从而可以得到 1 ：，即，2 女- 1 定可逆。 3 ) = = 争2 ) 设片m ，2 - 1 矗都可逆： ( 疗r ) ( ，2 女- 1 疗) 搓分解与广义m o o r e - p e n r o s e 逆 1 1 令： 则 p = ( 疗危 ) - 1 ( 厶_ 1 尼) _ 1 ，2 自。 r = ( 圩 ) _ 1 ( ，2 - 1 ，主) _ 1 ： p ，4 = ( 疗危 ) - 1 ( ，2 女- 1 嚣) _ 1 ，2 - 1 庀订h ，l = 1 ：， ，2 - 1 ，+ r = ，2 _ 1 疗疗危，1 ( 片危，1 ) - 1 ( ，2 4 龙) _ 1 = l ： 定理1 3 ：设，：x + y 是有对合+ 的范畴c 的一个满态射，那么 下列命题等价： 1 ) ，关于 ，女的广义m o o r p e m s e 逆存在； 2 ) ，+ ，左( 或右) 可逆； 3 ) 广 ，可逆。 证明： 1 ) 考2 ) ，1 ) = = 3 ) ，是满态射，有满单分解，= ，1 y ， 若髓。存在，则由定理12 ：广h ，左可逆， 设p ( ，+ ，) = 1 y 贝( ，+ ，) p ( ，+ ，) 一( ，+ ，) = ( 1 y ，+ ，) ，由，。 ，左可 逆知， ，是满态射，所以广 ，= ( ，+ h ，) + 是单态射，右消去得( ，h ，) p = 1 v ，则，+ h ，右可逆，即可逆 3 ) 2 ) 显然； 2 ) 葺1 ) 若p ( 广 ，) = 1 y 则，+ h ，矿一1 y 则一1 ，+ h ，矿= a 1 k = 1 y 从而得 到( 1 y 七。，+ ) ( h ，矿忌) = 1 y ，即1 。- 1 广右可逆，由定理1 2 ：戚存在；或 直接计算广义o r e - p e r o s e 逆的四个方程可知芷。= ( 广 ，) - 1 广 定理1 4 ：设，：x + y 是有对合+ 的范畴c 的一个单态射，那么 下列命题等价： 1 ) ，关于 ，的广义m o o r p e r o s e 逆存在； 2 ) ，一1 广右( 或左) 可逆； 硕士学位论文 3 ) 拈- 1 广可逆。 证法与定理1 3 对偶，当，。广可逆时： 珐= 七一广( ，k 。1 广) 。1 定理1 5 ：设，：x + y 是有对合+ 的范畴c 的一个态射，= ，2 是，的满单分解，那么以下命题等价： 1 ) ，关于 ，的广义m o o * p e r o s e 逆存在； 2 ) 疗 ，2 _ 1 疗左( 或右) 可逆； 3 ) ，l ，2 关于 ，的广义m o o r e - p e r o s e 逆存在； 4 ) 片m ，2 一1 疗是满( 或单) 态射，靠，m - 1 疗关于 ，的 广义m o o r e _ p e r o s e 逆存在； 5 ) 广m 是满态射，2 k - 1 广是单态射，广m ，2 - 1 广关于 ，k 的广义m o o r e - p e r o s e 逆存在； 6 ) 疗 ，2 _ 1 疗是满( 或单) 态射，+ ， - 1 广关于 ，的 广义m o o p e r o s e 逆存在 证明：由定理1 3 和定理1 4 知：1 ，2 ，3 等价； 2 ) 号4 ) 显然； 4 ) = = 争2 ) 由( 疗 ，1 ) ( 疗 ) ( 片h ) = 疗 及疗h ，l 是满( 或单) 态射，因 而也是单( 满) 态射，从而得到： ( 靠 ) 氘( 矗 ，1 ) = 1 y ( 疗 ) ( 疗h 厂1 ) 矗k = 1 y 同理可证，2 女。劈左( 或右) 可逆。 1 ) 哥5 ) 硪存在，则广h 左可逆，2 - 1 ，右可逆，所以广 是满态 射，2 _ 1 广是单态射，设p 广m = 1 y = 厶一- 广r 则： p2 ( 靠，) - 1 ( 厶“龙) _ 1 ，2 _ 1 1 - = ( 片 ) 一1 ( ，2 一1 矗) 泛分解与广义m 0 0 r e _ p e n m s e 逆1 3 直接计算广义m o o r e p e r o s e 逆的四个方程可知 ( ，4 危 ) 去= p ，( 尼七一1 ，4 ) 矗= 7 _ 5 ) = 串1 ) 由( 广) ( ，+ 峨) 氘( 广) = 广及广是满态射知：广 左 可逆； 类似地证明，2 “，+ 右可逆，由定理1 2 可得：黠。存在 5 ) 爿6 ) 广 = 疗( 片九 ) 是满态射，所以疗 是满态射，因而是单态射。 同理可证，2 - 1 疗是单态射也是满态射 6 ) 争5 ) 由疗，疗 是满态射知广是满态射，若疗是单态射，则 疗哳是满态射，因而，+ 惭是满态射 同理可证，2 - 1 r 是单态射 1 4 硕士学位论文 第二章具有广义分解态射的广义m o o r e _ p e n r o s e 逆 众所周知，矩阵分解，态射的分解在广义逆存在性问题的研究中 十分重要，文 1 ，3 研究了环上具有泛分解的矩阵的m o o r e - p e n r o s e 逆 和群逆，文 5 在预加范畴中给出了具有泛分解的态的m o o r e - p e n m s e 逆和d r a z i n 逆存在的条件及表达式，而文【6 】又讨论了形如a = g d h ( g ，d 分别是右，左高矩阵) 的广义逆，文陋1 0 】也在相关方面做 了不少的工作。本章在7 1 中提出一种新的分解式一广义分解的基础 上研究了广义m o o r e p e n r o s e 逆存在的充要条件，推广了具有泛解态 射的广义m o o r e - p e n m s e 逆。 2 1 基本性质 定义2 1 ：设c 为一范畴，称态射，日o m ( x ，w ) 具有泛分解，如 果，= 鲫q ，p 日( x ，y ) ，g 日册z ) ，g 日o r n ( z ，w ) 且有态射p 7 日x ) 和一日( w z ) ，满足p 忉= 9 = 9 9 q 7 。这里x ，z ，w 0 6 c 定义2 2 ：设范畴c 具有对合+ ，吼6 是c 的态射，如果对于任意 态射e ，当矿k e = 。功a ，( e n 6 n = ，。材) 时有n e = n ，( e n = ，) ，则称 n 是关于6 t 一左( 右) 可消，当两者都满足时，则称之为关于6 + 一可 消，当6 为单态射时，即为通常的6 + 一可消 定义2 3 ：设c 为一范畴，称态射，日d m ( x ，) 具有广义分解， 如果，= 册q ，p 日o m ( x ，y ) ，g 日o m ( z ) ，g 日d m ( z ，) 且满足： 1 ) 如果对咖1 ，曲2 日m y ) 且满足l 鲫= 屯g 吼这里p 0 6 c ，则 咖1 9 = 妒2 9 ； 2 ) 如果对_ p l ，妒2 日m ( z ，q ) 且满足鲫妒l = 册仇，这里q 。配， 则9 妒l = 9 p 2 由以上定义知，泛分解均为广义分解，但反之不然。 泛分解与广义m 0 0 r e - p e n r o s e 逆 1