（应用数学专业论文）两类单食物链模型的定性分析.pdf

中文摘要 摘要 种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是迄今为止数学在生态学中应用 最为广泛和深入，发展最快的系统成熟的分支近年来，种群生态学中的单食物链 模型的研究引起了广大数学工作者和生物学家的广泛关注，但具有密度制约的单 食物链模型的研究比较少本文主要研究具有密度制约的两类功能反应函数的单 食物链模型，得到的结果部分改进或推广了已有文献的相关结论 文章的第一部分对种群生态学的研究背景、意义以及研究现状进行了简单的 介绍，并指出了在本篇文章中我们将要做的主要工作第二章简单介绍研究种群 生态学用到的数学理论知识第三章研究了一类具有密度制约和h o u i n g - i i 型功能 反应函数的单食物链模型，它是具有密度制约和h o l l i n g 型功能反应函数的二维捕 食被捕食模型的推广用常微分方程定性理论得到了在何种条件下食饵、被捕食 者将会灭亡的充分条件；并讨论了该模型平衡点的局部稳定性和全局渐近稳定性； 利用构造l i a p u n o v 函数的方法获得了该模型j 下平衡点全局稳定的充分条件第四 章研究一单食物链模型的h o p f 分歧性质模型中被捕食者种群和捕食者种群的增 长函数分别取为m o n o d 类型和b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 类型，得到系统解的有界性及 被捕食者、捕食者灭绝的条件，讨论了系统半平凡平衡解的存在性和局部稳定性， 分析了系统正平衡解的存在性分别利用r o u t h h u r w i t z 准则和h o p f 分歧定理证明 了该系统在半平凡解处不存在h o p f 分歧和在正平衡解处存在h o p f 分歧的结论最 后，就本文所做的主要工作进行了总结和展望 关键词：单食物链模型：密度制约：正平衡点：稳定性：h o o f 分歧 英文摘要 q u a l i t a t i v ea n a l y s i sf o rt w ok i n d so fs i n g l ef o o dc h a i nm o d e l s a b s tr a c t t h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e mi sav e r yi m p o r t a n tp a r ti ne c o l o g y , a n dt h em a t h e m a t i c a l m e t h o dh a sb e e nw e l la p p l i e di nt h er e s e a r c h r e c e n t l y , t h es i n g l ef o o dc h a i ns y s t e mh a s r e c e i v e dag r e a td e a lo fa t t e n t i o no fm a t h e m a t i c i a n sa n db i o l o g i s t s h o w e v e r , t h es i n g l e f o o dc h a i ns y s t e mw i t hd e n s i t yd e p e n d e n c er e c e i v e dl i t t l ea t t e n t i o n t h i st h e s i sm a i n l y s t u d i e st h ed y n a m i c so ft h es i n g l ef o o dc h a i ns y s t e mw i t ht w ok i n d so fd i f f e r e n t f u n c t i o n a lr e s p o n s eb a s e d0 1 1d e n s i t yd e p e n d e n c e as e r i e so f r e s u l t sa r eo b t a i n e d ，w h i c h o ft h e mi m p r o v eo re x t e n dt h er e s u l t si nt h el i t e r a t i o n s i nt h i sp a p e r , t h eb a c k g r o u n da n dt h er e c e n tw o r k so ft h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e ma r e i n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h em a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ew h i ru s e di ns t u d yo f t h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e mi ss i m p l yg i v e n i nt h et h i r dc h a p t e r , a na u t o n o m o u ss y s t e mo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd e a l e dw i t ha n dt h e e x i s t e n c e - u n i q u e n e s s o fp o s i t i v e e q u i l i b r i u mp o i n tt ot h ep r o b l e mi so b t a i n e d ，a n dt h e nt h el o c a ls t a b i l i t ya n dg l o b a l a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n ta r ee s t a b l i s h e db ym e a n so ft h e s t r e t c h i n gm e t h o da n dl i a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d , r e s p e c t i v e l y i nt h ef o u r t hc h a p t e r , h o p fb i f u r c a t i o na n a l y s i so fas i n g l e f o o dc h a i nm o d e lw i t hm o n o dt y p ea n d b e d d i n g t o n - d e a n g e l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s ei sf o c u s e d t h ee x t i n c t i o nc o n d i t i o n so ft h e p r e ya n dp r e d a t o ra r ee s t a b l i s h e d t h ee x i s t e n c ea n dl o c a ls t a b i l i t yo ft h es e m i t r i v i a l e q u i l i b r i u mp o i n t sa n dt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ee q u l i b r i u mp o i n ta r es t u d i e d 。a l s o ， h o p fb i f u r c a t i o na n a l y s i so ft h es e m i - t r i v i a le q u i l i b r i u mp o i n t sa n dt h ep o s i t i v e e q u l i b r i u mp o i n ti sd e a l e dw i t hb yu s i n gr o u t h h u r w i t zs t a b i l i t yc r i t e r i o na n dh o p f b i f u r c a t i o nt h e r o y r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , t h ek e yw o r kd o n ei nt h ep a p e ri ss u m m a r i z e d a n ds o m eo u t l o o ki sg i v e n k e yw o r d s ：t h es m o ef o o dc h a i nm o d e l ；d e n s i t yd e p e n d e n c e ；t h ee q u i l i b r i u m p o i n t ；s t a b i l i t y ；h o p fb i f u r c a t i o n 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成硕士学位论文 = = 匦羞垫食物壁撞型数定性盆楹：除论文中已经注明引 用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公 开发表的成果 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名铆 w 年乡月谚日 j 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编学位论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于：保密口 不保密团( 请在以上方框内打“”) 谳骊 日期： 两类单食物链模型的定性分析 第1 章绪论 1 1 引言 随着数学在生态学领域的渗透，人们已经成功的对许多生命现象建立了数学 模型，并运用现代数学理论加以研究，不断取得令人鼓舞的进展 种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是迄今为止数学在生态学中应用 最为广泛，发展最快的系统成熟的分支数学在生态学中最主要的任务就是建立 模型，这些数学模型的建立能够解决生物学中的许多问题生态学的很多理论是 建立在假说的基础上的，我们需要模型来描述我们的理论用数学模型来描述生 物的生存与环境的关系，利用数学的方法研究这个关系，以使一些现象得到解释 数学生态学的建立和发展促进了生态学进行量化的研究，同时数学生态学的建立 与发展也给数学带来了无限的生机与活力：一方面为古典数学的方法的应用提供 了新的领域：另一方面为新的数学问题的提出提供了可能 近二十年来，种群生态学得到了蓬勃的发展，国内外对数学生态学研究的专 著和论文不断涌现比如陈兰荪等所著【l 】介绍了生命学科数量化研究中建立动力 学数学模型的一些方法，以及这些数学模型的分析研究方法和国内外最新研究情 况，并提出进一步要研究的问题此外，国外的专著【2 】研究了微生物种群动力学 在应用数学模型研究生态系统时，最初是从单种群模型开始的，这种单种群模型 只有在实验室里才能做出逼真的模拟，而在自然界中，真正单一的种群是很少的 为了更好的模拟现实世界，科学家们提出了两种群生态模型，即捕食者食饵模型 捕食者和食饵之间的动力学关系是生态数学领域的中心研究课题之一1 9 2 0 年， a l 仔c x il o t k a 和v i t ov o l t e r r a 两人分别发表了各自的论文，最早提出了捕食食饵模型 的研究v o l t e r r a 提出了一个模型用来描述在a d r i a t i c 河中不同种类的鱼之间的相互 影响，进而解释在那里捕鱼数量的波动情况与此同时，l o t k a 翅i 过相互作用的化学 成分，提出了相似的模型，该模型同样展示了振动的动力学行为我们现在称这两 个模型为l o t l ( a v o l t e r r a ( 方程【3 1 l v 方程是最简单的描述两个相互影响的种群 的密度随时间演变的模型由模型的方程式可以看出，在缺少了捕食者的情况下， 食饵的数量将会无限制的增长，实际上这是不可能的因为周围特定的自然环境 的限制，食饵的数量应该有一个上限，这也就是常说的环境的承载能力常数以后 第1 章绪论 的许多学者在此模型的基础上改进发展和完善，给出了很多更有意义、更完善的捕 食食饵模型并且得到了些模型的许多重要的相关结论三个种群相互作用显然 要比两个种群的相互作用要复杂，但是构造数学模型的规律基本相同在三个种 群中，每两个种群之问的关系，都可以有两个种群相互作用时的关系 在生态数学模型中，还出现了大量的微生物培养模型【4 】微生物连续培养是近 年发展起来的一门数学与微生物学的交叉学科，是用微分方程来建立数学模型以 描述微生物连续培养的生物应用技术研究者关心的主要是所研究的生物群体在 时间充分大后是持续生长还是灭绝微生物的连续培养通常可分为单种微生物的 培养、多种微生物的培养与食物链微生物的培养恒化器( 英文名为c h e m o s t a t ) 是 一个用于连续培养微生物的实验装置，c h e m o s t a t 的研究对商业用微生物生产、污 水处理、生物制药、食品加工及其它领域都有十分重要的作用近年来，研究者对 微生物连续培养模型作了进一步的研究，并获得了许多新的成果对由营养基和 单微生物构成的二维系统文献 5 】取消耗率为一次函数，增长函数为m o n o d 函数， 得出在一定条件下系统存在周期解的结论文献【6 】研究了消耗率为二次函数，增 长函数为具有内在代谢，利用f r i e d r i c h 方法得到该系统存在h o p f 分歧，并判定了 周期解的稳定性文献 7 】用单特征值分歧定理证明用于描述上述模型的常微分方 程组正周期解的存在性，并用c r a n d a l l r a b i n o w i t z 稳定性定理证明了周期解的稳定 性文献 8 】研究了均匀搅拌的恒化器中微生物连续培养的单食物链模型模型的 特点是在营养输入项中引入时变环境，以便更逼真地模拟自然现象用单特征值 分歧定理得到了周期解存在的条件，用c r a n d a u r a b i n o w i t z 定理证明了单种群分歧 解的稳定性文献 9 】讨论了具有内在代谢的微生物连续培养的单食物链模型，得 到系统在第一卦限内的正平衡点外围存在周期解和关于正平衡点全局渐近稳定的 条件 种群在复杂环境中的生长问题一般用微分方程( 组) 来描述，并利用微分方程的 理论和方法来研究这些方程解的性质研究者关心的主要是所研究的种群体在时 间充分大后是持续生长还是灭绝可是由于一个生态系统中往往存在相当复杂的 关系，不可能直接去研究各种群直接的关系数学研究者通过对这些模型的稳定 性和周期解等问题进行系统分析来预测该种群的最终生存状态 两类单食物链模型的定性分析 1 2 种群动力学的研究现状 1 2 1 单种群的数学模型 单种群模型只有在实验室里才能做出逼真的模拟，而自然界中，真正的单一 的种群即使有，也是很少的一般来说，每一种群在生物圈中必属于某一层次例 如，人们常说的“大鱼吃小鱼，小鱼吃虾米 ，这里的大鱼、小鱼、虾米分别属于 某一层次。每一个种群都有： ( 1 ) 低一层次( 营养层次) 种群，即它们的食物供应者，例如上例中的虾米 就是小鱼种群的低一层次的种群： ( 2 ) 同一层次的种群，即它们的捕食者，例如上例中各种类的小鱼种群； ( 3 ) 高一层次的种群，即它们的捕食者，例如上例中的大鱼种群，即为小鱼种 群的捕食者 当然，每个种群的发展还要受自然环境中各种因素的影响 在研究自然界的单一种群时，可以把各层次种群的影响以及物理环境的影响， 都归结到单种群模型的参数中，即把它们概括为某种“内禀增长率”、“容纳量”等 等，使得问题简化生态模型中常有两种情况： ( 1 ) 生命长，世代重叠并且数量很大的种群，常常可近似地用连续过程来描述， 通常表为微分方程 ( 2 ) 生命短，世代不重叠的种群，或者虽然是生命长、世代重叠的种群，但在其 数量比较少时，常用不连续过程来描述，通常表为差分方程 如果种群的增长可以被认为是一个连续过程，就能用简单的微分方程引出种 群变化的数学模型我们假设种群密度随时间t 的变化率与当时种群密度成正比， 模型为 坐：r t j 。 ( 1 2 1 ) 一= i1 z _ j d f 这里，称为种群的内禀自然增长率( 等于出生率减去死亡率，厂是常数) ，在初值 x ( o ) = x o 下求得解为 z ( f ) = x oe x p ( r t ) 容易看出：当t 专0 0 时有工( f ) 专0 0 ，这显然与实际情况不符，它只在短时间内与实 第l 章绪论 验吻合为了使( 1 2 1 ) 在长时间的情况下与实验相一致，方程( 1 2 1 ) 必须进行修正 1 9 3 8 年v e r h u l s t p e a r l 认为实际增长率不是内禀增长率，而是在一定的环境中， 种群的增长总存在一个上限k ，当种群的数量( 或密度) x ( f ) 逐渐向着它的上限k 值 上升时，实际增长率就要逐渐的减少，因而提出v e r h u l s t p e a r l 方程 一d x ：麒坠! ( 1 2 2 ) 一= r i 一 i1 厶厶， 其中k 称为容纳量( c a r r y i n gc a p a c i t y ) 这时实际增长率为r ( k 一曲k ，种群数值达 到k 值时，专0 这说明增长率，与种群密度之间为反比的关系，当密度增大时 增长率则下降，生态学家称为对增长率的密度制约效应如果当t = 0 时种群密度 为而，即x ( o ) = x o ，则( 1 2 2 ) 的解为 工( 。2 再5 k 焉鬲， ( 1 2 2 ) 有一个全局稳定的平衡位置x = k 实验证明方程( 1 2 2 ) 比( 1 2 1 ) 更接近于实 际但是方程( 1 2 2 ) 仍有缺点，即没有考虑到种群的年龄分布对于寿命长的、世代 重叠多的种群，用此方程描述仍会产生很大的偏差只有低级的动物，例如细菌、 酵母或浮游藻类才与之比较吻合，用于人口问题偏差就很大从方程来说，偏差的 产生是由于对密度制约效应的线性化假设所至，我们把方程( 1 2 2 ) 写为 而1 一d x d t = ，( 1 一塑k ) = ，一塑k x ( f ) 、77 这里的，同前面上式右端是工( f ) 的线性函数，若更为接近实际情况，则应该用非 线性密度制约函数，即方程应写为 去查：，一( x ) ， 一一= ，一，r - x ( f ) d t 一” 或 i d x ：x f ( 工) ，一= 工- d t 一 这就是单种群的一般模型( 人们也称( 1 2 2 ) 为l o g i s t i c 模型) 1 2 2 两种群的数学模型 1 9 3 5 年，g a u s e 和w i t t 认为对于非常简单的种群，( 例如酵母，细胞等) ，可以近 两类单食物链模型的定性分析 似的表示为l o t k a v o l t e i l a 模型【2 】 一般我们总假设a l l o ，a 2 2 0 ，其中若a i l 0 表示彳种群是密度制约，a 2 2 o ，y 0 ； ( 2 ) ( x ，y ) 是局部稳定的； ( 3 ) a 。 o ，a 尥 0 ，a 2 0 时，说明x 种群和】，种群是互惠共存的关系； ( 3 ) a 1 2 0 ，a 2 l 0 时，说明x 种群和y 种群是相互竞争的关系； ( 4 ) 一般假定a i 。0 ，a 2 2 0 若a l i 0 ) 表示x 种群( 】，种群) 可以依靠此系统之外 的食物为生，而a 。 o ( a ：。 t o 时，在原点邻域q ：0 x 0 o ( v ( x ，t ) o ( i = l ，2 ，刀) ； ( 2 ) 所有特征根具有负实部的必要条件是，特征方程的所有系数珥 0 o = 0 ，玎) 2 4 三类功能反应函数 在建立生物数学模型的时候，通常会考虑影响模型非线性因素之一的功能性 反应，即捕食者种群对食饵种群的捕食能力常见的功能性反应有h o l l i n gc s 曾提 出i 拘h o l l i n g - i ，h o l l i n g - i i 和h o l l i n g - i i i 等功能性函数 ( 1 ) 第1 类功能性反应函数为 ： 聪x o ( 2 4 1 ) t c x o 工 而 其图形如图2 4 1 所示，它适用于藻类，细胞等低等生物 o 0； 0； 一 ； o 口； 两类单食物链模型的定性分析 m ( x ) ox 图2 4 1 f i g 2 4 1 ( 2 ) 第1 i 类功能性反应函数为 矽( 工) = 导 1 + w x 其图形如图2 4 2 所示，它适用于无脊椎动物 ( x ) ox 图2 4 2 f i g 2 4 2 ( 3 ) 第1 i i 类功能性反应函数为 衲= 矿g c x 了2 其图形如图2 4 3 所示，它适用于脊椎动物 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 第2 章预备知识 o ( x ) ox 图2 4 3 f i g 2 4 3 许多学者对这些功能性反应做了大量研究工作【1 2 1 1 a n d r e w s 给出了 h o l l i n g - i v 类功能性函数( 又称为m o n o d h a l d a n e 函数) 徐瑞，谭德君等人对 m i c h a e l i s m e n t e n 型功能性反应做过研究j s u g i e 等对s i g m o i d 功能性反应做了研究 1 9 7 5 年b e d d i n 舀o n 在研究寄生物与寄主的相互关系时提出b e d d i n 群o n d c a n g e l i s 型 功能性反应函数，其表达式为 f ： 丝 口+ x + j b y ： 同时，d c a n g e l i s 在研究经典的捕食者一食饵理论( h o l l i n g 类功能性反应) 的实验中单 独提出类似的功能性反应函数，所以也将be d d i n g t o n 型功能性反应叫做 b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 型功能性反应近年来，也有学者对该功能性反应做了相关 研究【3 2 删 2 5 两种群密度制约的情况【u 考虑被捕食者种群具有密度制约的情况下的第1 i 类功能性反应模型： 这里g ( 工) 是无捕食者时被捕食者种群的密度制约，口，d ，e ，w 为正参数，坠为捕 l + w 食者种群的第1 i 类功能性反应假设这个模型有正平衡点( 工，y ) ，r o ， 0 满 南a 、， f 可 幢 灭 出一出咖一出 两类单食物链模型的定性分析 足方程 如) - 苦= o ，一d + 百e a i x = 0 ( 2 5 2 ) 由此得到 x ：，y ：三g ( 。x ) ( 1 4 - w x ) x2 _ ，2 一) 【i j 要想此平衡点为正，则必有e a w d ，g ( x ) 0 ，为了简单起见，我们记 l ( i + w x ) ( 1 + w x ) ( 2 5 3 ) 定理2 5 模型( 2 5 1 ) 为大范围稳定的充分条件为： ( 1 ) 存在唯一j 下平衡位置( x ，y ) ， ( 2 ) 对于一切x 0 ，y 0 ，但工工有 ( x - - x ) 【g ( x ) - g ( x ) + a w y + s ( x - - x ) 】 o ，工q ，有矗骧i n f j w ( 力一以石) ) o ： ( 3 ) a v ( q ) 那么对于任意工q 都有w ( x ) v ( x ) 第3 章具有h o l l i n g - i i 型单食物链模璎的正平衡解的存在性与全局稳定性 第3 章具有h o i iin g - i i 型单食物链模型的正平衡解的存在性与 全局稳定性 3 1 模型的建立 本章讨论一个l h - - 种群组成的单食物链模型，特别地对食饵种群和被捕食种 群加入了线性密度制约项，使得这两种群的相对增长受环境的制约，其数学模型 ( 无量纲化后) 鲁刮叫一恙y p 鲁嘲( _ 咄+ 而c l b l x 一) ， ( 3 1 ) 鲁铋( - d 2 + 而c 2 b 2 y 1 ) ， 初值为：x ( o ) 0 ，y i ( 0 ) 0 ，i = 1 ，2 其中x ( f ) ，y i ( t ) ，y 2 ( t ) 分别代表食饵种群，被捕食种群及捕食种群的密度1 - x 为食 饵种群x 的增长率b l x ( 1 + a l 功和6 2 乃( 1 + a 2 y i ) 称为h o l l i n g - i i 型功能反应函数， 分别表示被捕食种群乃对食饵种群x 的捕食能力和捕食种群儿对被捕食种群y 的 捕食能力厂表示食饵种群工的内禀增长率，e i ，d l 和c 2 ，畋分别表示乃，y ：的消耗 率和死亡率，a 。，a 2 ，q ，c 2 ，吐，以均为正常数 3 2 基本结果 由模型的实际生物意义，下面我们只在足= ( 工，y 。，耽) i 工0 ，y 。o ，y 2 o ) 上 讨论系统( 3 1 ) 引理3 2 1当f 充分大时系统( 3 1 ) 的任一从出发的解是有界的 证明： 由系统( 3 1 ) 的第一个方程知拿掰( 1 一x ) ，删v s o ，当t 充分g k ： 口f 时，有x ( f ) l + s 又因为 两类单食物链模型的定性分析 ( c l 工+ 乃+ 丝) _ q r x 一吐乃一生丝c l 膳一m i n d i ，d 2 ( y i + 丝) 0 2t ；2t ；2 孝一m i n d i ，d 2 ( q x + y i + 丝) t ；2 其中孝= c i ( r + m i n d i ，畋) ) ( 1 + g ) 所以当f 充分大时，有 绀 等面薪竹， c m l n 口l ，a ， 即系统( 3 1 ) 的任一从足出发的解是有界的 该引理表明，当食饵种群和被捕食种群受密度制约时，它们的密度始终保持 有限数，显然能养活的捕食者种群的密度必将是有限的由该引理知食饵x 的环境 容纳量为1 引理3 2 2 如果c 1 6 l 一口1 4 0 ，则l i m 咒( f ) = 0 ，于是! i m y 2 ( t ) = 0 一 一t-+oaf - - l a o 如果乞如一a 2 d 2 0 贝, l j l i m y 2 ( t ) = 0 证明：将系统( 3 1 ) 1 拘1 第二个方程改写为 警2 而赫 _ 口2 ( 1 + 口l 堋_ 【( 口i 吲柏_ 口i 删斛( 矾“) m ( 3 2 1 ) 一b 2 ( 1 + a i 工) 此+ ( ( q 岛一口1 4 ) x 一4 ) ) ， 当c l 岛一q 4 o 时，由( 3 2 1 ) 式得鲁0 1 1 七l ，一i m y , ( f ) = o ；进而由第三个方程知 鲁 o ，f f ：是l i m y 2 ( 沪o 将系统( 3 1 ) 的第三个方程改写为 鲁2 南( ( 岛咖z 咖圳， ( 3 2 2 ) 当乞如一口：d 2 0 ，i = l ，2 系统( 3 1 ) 显然有平衡点o ( o ，0 ，0 ) ，e o ( 1 ，0 ，0 ) 其中o ( o ，0 ，0 ) 是一个双曲鞍点， 不稳定平衡点e o ( 1 ，0 ，0 ) 的稳定性由下面引理得到 引理3 2 3如果等 l ，则平衡点e o ( 1 ，0 ，o ) 是局部渐近稳定的，且在足上是全局渐近稳 c , b l a i d 定的 证明：经计算，系统( 3 1 ) 在平衡点e o ( 1 ，0 ，o ) 处的j a c o b i 矩阵为 ，( e o ) = 一r一土o l + a i 。_ + 啬。 00 一d 2 其特征值为 = _ 厂 。，五= 一d z 1 时，以 o ，此时平衡点e o 是局部渐近稳 c i q 一口i 口i 定的 构造l i a p u n o v 函数y ( 工，乃，y 2 ) = x - 1 一l n x + c ( c 2 y i + 奶) ，其中c 是待定的正常 数当0 工1 ，咒0 ，款0 时，我们有 警如”+ 坐等掣乃吲训 一，( 1 一工) 2 + b i - c c e ( d - = , _ - ( c , b i - a , d 1 ) ) m 一“i r 2 儿 1 + a x 蚧鬲击丽删由上式警鲫并且警艄且仅孙l 舻。， y ：= o 因此平衡点e o ( 1 ，0 ，o ) 在是全局渐近稳定的 经简单计算知，当j 七 l 时，系统( 3 1 ) 有平衡点臣( 五，w ，o ) ，而 1 其 c i q 一口l 口1 两类单食物链模型的定性分析 中五，w 分别满足 州l + 叩) 一寒q _ o 和w i2 和洲l + 卜”而g b l x , 关于平衡点巨( 五，w i ，0 ) 的稳定性由下面引理给出 引理3 2 4 设w i 0 ，m o 均有马 0 g a ( 3 2 3 ) 式，对一切x 0 ， 均有厂7 ( x ) 0 ，所以仅存在一个正数，使得f ( u 。) = 0 ，且对v x 0 于是当五 o ，所以特征值五，五的实部大于零，由 文献 4 1 】知，此时平衡点巨是不稳定的；而当五 时，4 0 ，于是特征值五，以 做削吁零赠劭黼觚龇= 吐+ 舞当叫 矗吼 0 因此平衡点巨是局部渐近稳定的 第3 章具有b o l li n g i i 型单食物链模犁的正平衡解的存在性与全局稳定性 下面证明互的全局渐近稳定性令s - 2 ( 1 + a l x 三) ( 1 + a t x i ) ，显然s - 1 构造 l i a p u n o v 函数如下 v ( x ，y i ，y 2 ) ：( x x i 一五l n x ) + n l ( y l w w jl i l 2 l ) + ，z 2 y 2 ， ( 3 2 5 ) 其中惕为待定的正常数( 3 2 5 ) 式关于f