（基础数学专业论文）环面导子李代数的某些子代数的研究.pdf

中文摘要 中文摘要 本文是在交换环面l = c 时1 ，f 手1 】上，来讨论其全导子李代数d e r l 的几类无 穷维子代数，其中包括： 1 水平向量场子代数9 1 = s p a n c l 牡。 u ，口z ) ，李积为 【己u l 一1 ，l u 2 ，。2 】= ( v 2 一v 1 ) l “1 + 抛，。+ t ，2 ： 这里牡： ，乱1 ，口1 ：u 2 ：v 2 z 2 一类具有完备性的子代数勃= s p a n c l i ：l ”l i = 1 ，2 ，牡，口z 2 ( o ，o ) ) ) ， 李积为 陋1 ，l 】：u l 叩， 2 ，l 叩】- v l 叩，【l 1 ，l 2 】= 0 ， 【三一钵，一。，l 。，秒】= 2 v l 2 ，f l t l ，雷l ，l u 2 ，他】= ( t ，2 一v 1 ) l 铒1 + 私2 ，t f l + 忱， 这里( “，t ，) ，( u 1 ：u 1 ) ：( 牡2 ，v 2 ) 矛 ( o ：o ) ) 3 一类可看作w i t t 代数的分裂扩张的子代数吼= 却o 矗，肌i r ：8 z ) ， 李积为 眦，尥】- ( s r ) 坼怕 【尬：札】= 坼( s ) = s r 阱，s 】- 0 ， 这里ns z 本文所做的工作有： 9 l 的泛中心扩张，导子和自同构群； 吼的完备性和理想； 9 3 的泛中心扩张和一类模 关键词：环面，导子，泛中心扩张，自同构群，水平向量场代数，w i t t 代数，完 备李代数，分裂扩张，l a r s s o n 函子 黑龙江大学硕士学位论文 英文摘要 i nt h et h e s i s ，id i s c u s st h r e ec l a s s e so fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls u b a l g e b r a so fd e r i v a , - t i o n sd e r lo nc o m m u t a t i v et o r u sl = c t t l ，砖1 】t h e s es u b a l g e b r a sa r ed e n o t e d a sf o l l o w s ： 1 h o r i z o n t a lv e c t o rf i e l d ss u b a l g e b r a 多1 = s p a n c l u i u ， z ) ，l i eb r a c k e t 【l 牡，口。，l 。2 ， 2 】= ( t 乜一v 1 ) l 让，+ u ：，锄。+ 。，2 ： h e r eu ：v ，u l ，u l ：抛：v 2 z 2 ac l a s so f c o m p l e t es u b a l g e b r a g 2 = s p a n c l t ：l u i i = 1 ，2 ：u ，u z 2 ( o ，o ) ) ) ， l i eb r a c k e t 陋l ，l u ，卅= u l 牡， ，【l 2 ，l ，卅= v l u m 【l 1 ，l 2 】= 0 ， 【l u ，一田，l u ，口】= 2 v l 2 ，【l u l ，傀，l 忱，t 1 2 】= ( v 2 一v 1 ) l t 1 + u 2 ，m + t j 2 ： h e r e ( 钍， ) ，( u l ：v 1 ) ：( u 2 ，v 2 ) z 2 ( o ：o ) ) 3 as u b a l g e b r aa ss p l i te x t e n s i o no fw i t ta l g e b r ab yi t sam o d u l ed e n o t e d g 3 = s p a n c m r ，n , i r ，s z ) ，l i eb r a c k e t m r ，m s 】= ( s r ) 尬+ s 【尬：s 】尬( 肌) = s r 【r ，虬】- 0 ， h e r er s z m ym a i nw o r ki n c l u d ef o l l o w i n g ： u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，a u t o m o r p h i s mg r o u pa n dd e r i v a t i o n so f9 1 ： c o m p l e t e n e s sa n di d e a l so f 岛， u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o na n dac l a s so fr e p r e s e n t a t i o n so f 吼 k e y w o r d s ：t o r u s ：d e r i v a t i o n ，u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，a u t o m o r p h i s mg r o u p ， h o r i z o n t a lv e c t o rf i e l d sa l g e b r a ，w i t ta l g e b r a ：c o m p l e t ea l g e b r a ，s p l i te x t e n s i o n ， l a r 8 8 0 t tf u n c t i o n 一一 黑龙江大学硕士学位论文 在整篇文章中， z z + c z ( l ) d e r i n n l ： a u t = 。_ l ， c 笺咒 ck 咒 gkr 符号说明 我们将主要用到以下基本符号： 整数环； 正整数； 复数域； 李代数的中心； 李代数的全导子李代数； 李代数c 的内导子李代数； 李代数的自同构群； 指标集a ，i + l ，j ； 两个代数之间的同构； 两个代数之间的半直积； 两个群之间的半直积； 由e 1 ，：线性张成的代数； 由e l i 一：e n 线性生成的代数 f 另：下文中出现的所有形如l 。i 的和式，如不特殊说明均假设7 l l n 2 冬 i = 1 铆，而且若吩= n 1 + 1 = n i + k ，则m j m j + 1 十七，歹1 ，l ，k 1 ，l 一歹 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料 学位论文作者签名： 签字醐。一年r 月 学位论文版权使用授权书 日 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名： 签字日期： 日少c 7 歌军 、i 年 3 月1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名。 弹啸1 q 月7 电话： 邮编： 第1 章背景知识与基本定义 1 1 背景 第1 章背景知识与基本定义 含有d 个未定元的l a u r e n t 多项式环c i t , 士1 ：，孝1 】，我们将其称为d 一维( 交 换) 环面环面的非交换化称为量子环面，记为c 。【 1 ，孝1 】，其中q = ( q t j ) d x d ， t j t i = q i l h t j 对于环面，使人最熟知的背景是w i t t 代数w = o 也) ，它的李积为 t z 【哦，d j 】= u i ) 也钾，i ，j z ： 其又称为无中心的v i r a s o r o 代数，它本身便是一维环面的导子李代数w i t t 代数 的泛中心扩张我们称为v i r a s o r o 代数，他一般表示为而= wo c ) ，李积为 i 3 一i 【武，d j 】= 0 一i ) d i + i + 最十j ，o 再一c ： d i ，c 】= 0 ，i ：歹z v i r a s o r o 代数在理论物理的s t r i n g 理论研究中被深入广泛地讨论，另外它的表示 在顶点算子代数的表示理论中也发挥着关键作用近几十年，这些研究一直成为理 论物理和代数学上的热点问题 鉴于这些一维环面上代数的重要作用并且拥有的良好结构，很多学者开始研究 拥有更多变量环面上的导子李代数及它们的泛中心扩张，近些年也取得了很多成 果这其中人们主要考虑的是二维环面的情形，其中k i r k m a n 等人在研究二维量 子环面上全导子李代数的结构时，证明了其有非平凡的中心扩张，进一步发现它的 中心扩张与它的某个被称为v i r a s o r o l i k e 代数的子代数之间存在着密切联系 在上个世纪九十年代，r a m o s 等人得到了高维环面的全导子李代数只存在平凡的 中心扩张，从而人们开始考虑全导子李代数的子代数的结构与表示问题此后人们 发现了一系列代数结构，并对它们进行了一定程度的研究，这其中包括； 1 v i r a s o r o l i k e 代数 v i r a s o r o - l i k e 代数可以抽象表示为s p a n l , ，j 歹) z x z ( o ，o ) ) ，李积 为 阮j ，l k ，f 1 = ( 幻一l i ) l i + k ，j 十l ： ( i ：j ) ，( k ，f ) z z ( o ：o ) ) 现已得到它的自同构群，泛中心扩张以及h a r i s h c h a n d r a 模等一些结论 2 s k e w 导子李代数 黑龙江大学硕士学位论文 s k e w 导子李代数是量子环面上d e r c 口 t t l ：f 手1 】的一个子代数，这里q 是p z + 次本原单位根，并且f 2 t l = q t l t 2 我们把s k e w 导子李代数抽象表示如下： c = s p a n l 。 n d a ，d 2 im ，n z ) ：它的李积为 【l m l ，m 2 ，l 。l ，n 2 】= g ( m l ，m 2 ，? 2 1 ，n 2 ) l m l + n l ，m 2 + n 2 【正：l m ，m ：】= r a i l m 。，m ：，【d 1 ，d 2 】= 0 ： 这里m 。，m 2 ，n 。：n ：z 州m 。，m ：竹。，佗2 ) ： g m 2 m 一矿埔2 im 2 7 2 1 一m t n 2 其中r 是coc 上的整格我们称为s k e w 导子李代数 ( m l ，m s ) ：( n 1 ，7 2 2 ) 茌p r 其它情形。 我们可以看到当g = 1 ，p = 1 时，s k e w 导子李代数便是v i r a s o r o l i k e 代数 的导子李代数 3 v i r a s o r o l i k e 代数的g 一类似 它是d e r c g t f l ：砖1 】的个子代数，这里q 是非本原单位根的v i r a s o r o l i k e 代数的口一类似可以简记为s p a n l m ，n lm ，n z ，它的李积为 【l m 。，仇：，l n 。，n ：】= ( q m 2 m g m l n 2 ) l m 。+ n 。，m ：+ n 。 k i r k m a n e 等人定义了v i r a s o r o l i k e 代数与v i r a s o r o l i k e 代数的g 一类似， 之后林卫强等人逐步讨论了这两个代数的自同构群，以及表示方面等一些问题 4 水平向量场代数 y b i l l i g 等人提出的一类环面上的导- t - 和数，我们抽象地把它记为s p a n l m ，n im ，n z ) ，它的李积为 【l m l ，。l ，l m 2 ，。2 】= ( n 2 一n 1 ) l m l + m 2 ，n l + n 2 作者的导师与作者本人近年对此代数进行了初步的讨论，其中部分成果放在了毕 业论文里，见第二章 第1 章背景知识与基本定义 1 2 基本定义 定义1 2 1 若李代数c 满足【c ，c 】= c ，我们称c 是p e r f e c t 的 定义1 2 2 对于p e 仍c t 李代数c ，我们称( 乙，p ) 是的中心扩张，如果p ： z _ c 是满同态并且k e r p z ( ) 若李代数z 也是p e r f e c t 的，那么进一步我们 称( z ：p ) 是的覆盖中心扩张 定义1 2 3 我们称( z ，p ) 是李代数c 的泛中心扩张，如果对的任一中心扩 张( 互丌) 都存在唯一的李同态矽：z _ 互满足7 r 妒= p 我们知道，泛中心扩张在同构的意义下是唯一的 定义1 2 4c 是个李代数我们称c 上的双线性型妒：一c 为c 的 参上循环，若以下条件得到满足： 妒( q ，口) = 0 妒( o ，【b ，c 】) = 妒( 【口：6 】，c ) 一矽( 【o ，c 】：b ) 这里a ，b ，c c 众所周知，的每个2 一上循环将唯一确定的个中心扩张具体来说， 任取c 的一个2 一上循环妒，我们能构造的c 的一个中心扩张( c ：丌) ，其中李代数 = c0c k ，李积如下： 陋，k z = 0 ，k 可k = ky c + 1 f ，( z ，可) k 这里z ：y c ，【，1 c 与f i 】分别是c 与的李积，并且7 r ：_ 是自然投影 定义1 2 5 我们称一个盆上循环q ，是由李代数上的线性映射，所诱导 的，如果它满足： a j ( a ：b ) = 川n ，h i ) ，v a ，b l 定义1 2 6 个李代数c 被称作完备的，如果z ( c ) = o ) 并且d e r c = i n n 下面的这个引理在后文中会被用到，它来自文献 2 】 引理1 2 7 李代数是p e r f e c t 的，并且( ：7 r ) 是的覆盖中心扩张对于 李同态刀：c _ c 如果7 r r l = 7 r ，则7 7 = i 畦 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 1 3 三个子代数的抽象化 我们考虑2 维环面l = c 眩1 ：砖1 1 ，它的所有导子构成的代数记为d e r l 令 y 是c 上的2 维列向量空间，e 1 ，e 2 是y 上的标准基；记( ) 是y 上的双线性型， 满足( e i ，e 1 ) = f = z e loz e 2 是v 上的格，即f = a e l + b e 2 1 a ：b z ) 对礼= n l e l - - 1 - n 2 e 2 f ：记扩= z ? 1z ；2 ：并令j d t = t t 爱：i = 1 ，2 ，显然d i d e r l 为l 的度导子，也就是满足d i ( t n ) = 啦俨：i = 1 ；2 对于牡= 牡1 e 1 + 坳e 2 v 及r = r l e l + r 2 e 2 f ，令 2 d ( u ，7 ) = t r u i d i ， i = l 则d ( u ，r ) d e r l 更进一步，由【6 】可知如下结论： 命题1 3 1d e r l 为r 分次李代数，且有 d e r l = 0 ( d e r l ) n ， n e f 其中( d e r l ) n = o 圣l c t n d i = d ( t | ：他) ：u y ) ，n r j 且在d e r l 上有如下李结 构： 【o ( u ：r ) ，d ( v ：s ) 】= d ( w ，r + s ) ：钍，u k t ，s r ， 这里w = ( u ：5 ) u 一( 口，r ) 让 文【7 】通过线性李代数的表示构造了导子代数的子代数全型的一类表示文【1 6 】 考虑了【7 】中的特殊情形，即通过l a r s s o n 函子由9 f d 的表示构造了d e r l 的表示， 进一步文【6 】6 研究了这类表示的结构和分类在这之后，文【1 2 】在量子环面的情况 下推广了【6 】的结果此外，文 1 3 】在d = 2 时讨论了由特殊线性李代数s ：2 的表示 来构造环面s k e w 导子李代数的表示，这一结果也是通过l a r s s o n 函子来实现的，其 中s k e w 导子李代数是全导子李代数的一类子代数近来，文【1 7 】更进步对d e r l 的子代数做了详细的分类，并且构造了每类子代数的一些表示本文的三类代数就 是d e r l 的子代数并且与文【1 7 1 的分类有着密切的联系 下面给出d e r l 的三个子集， 9 l = s p a n c d ( e 2 ，n ) i n r ) ； 9 2 = s p a n c d ( e 2 ，n ) ：d ( 仳，0 ) i n 1 - ：t | y ) ； 吼= s p a 仡c d ( e ，a e 2 ) ，d ( e 2 ，6 e 2 ) i o ，b z ) 一4 一 第1 章背景知识与基本定义 容易验证上述代数都是d e r l 的子代数，其中阮，骁】= 9 1 ，并且容易得到9 1 ：岛是 p e r f e c t 的 我们下面抽象出这三个代数的形式，以便于后面章节的讨论 ( i ) 水平向量场子代数9 1 ：我们令l = d ( e 2 ，u e l + u e 2 ) ，u ，口z 从而 9 1 = s p a n c l 。，口l u ，”z ) ，李积为 【l t l ，v 1 ，l 抛总】= ( v 2 一口1 ) l t 1 + u 2 肌+ 抛： 这里u ：u ，1 5 1 ，t l i ，u 2 ：v 2 z 容易得到毋1 = 1 1 ( 9 1 ) n ，这里( 够1 ) n = s p a n c l n ：i n = ( n l ，佗2 ) ) 因此9 - 是 n e z 2 个z 2 一阶化李代数 显然9 1 的子代数s p a n c l o ，口p z ) 与w i t t 代数同构由于v i r a s o r o 代 数是w i t t 代数的泛中心扩张，因此从定理2 1 1 可以看到9 1 的泛中心扩张也以 v i r a s o r o 代数为子代数 ( i i ) 9 2 ，我们令厶= d ( e i ，o ) ，l = d ( e 2 ，u e l + r e 2 ) ，其中i = 1 ，2 ，( 让：u ) z 2 ( o ，o ) ) 从而奶= s p a n c l i ：l ”l i = 1 ：2 ，t ， z 2 ( o ，o ) ) ) ，李积为 f l l ，l 】_ u l 叩，【l 2 ，l 。，小= v l 。，管：【l 1 ，l 2 】_ 0 ， 【l u ，一冒，l u ，。】= 2 v l 2 ，【l u 。，。，l 。：，。：】= ( v 2 一v 1 ) l 。+ u 2 ，砚+ t ，2 这里( 乱，u ) ，( u l ：u 1 ) ：( 坳，忱) z 2 ( o ：o ) 可以看到( 岛) o = s p a n c l 1 ：l 2 是彩的c a f t a n 子代数，并且吼有c a r t a n 分 解晚= ( 幺ooi i( 幺) n ，这里( 晚) n = s p a n c l n 。，。：j n = ( i t l ，n 2 ) ( o ，o ) ) ) n e z 2 ( o ，o ) ) 因此骁是个z 2 一阶化李代数 ( i i i ) 绲，我们令尬= d ( e 2 ，r e 2 ) ，s = d ( e l ，s e 2 ) ，ns z 从而吼= s p 帆c 坼，s h s z ) ，李积为 【m r ，m s 】= ( s r ) m r + 。 【坼：肌】= 坼( 肌) = s r 棚【珥，s 】= 0 ， 这里r ：s z 记= s p a n c m r i r z ) 与w i t t 代数同构，y = 却。他 肌i s z ) ，则 与y 是鼠的两个子代数，并且g = oy 在尬( 肌) = s r 如意义下，我们显 然可以把y 看作一模，因此吼竺缈ky 一5 一 黑龙江大学硕士学位论文 c 0 是骁的中心此外绲有c a f t a n 分解鲰= o ( 绲) ，：这里( 吼) ，= c 尬oc r ，并且( 鼠) o 是岛的c a r t a n 子代数因此吼是z 一阶化李代数 一6 一 第2 章水平向量场子代数吼 第2 章水平向量场子代数乡1 2 1 泛中心扩张 本节首先讨论甄的泛中心扩张，有下面主要结论 定理2 1 1 设冗= s p a 9 2 c 坼p z ) 是a b e l 李代数，设多1 = 9 1o 厄定义 李积如下：【k ，n ：坼】= 0 及 l r n l , n x ) k m 】= ( 旷礼1 ) l m l + m 2 , n x + n 2 - i - 矗。删华。慨， 这里m ，n ，r ，m l ，m 2 ，n 1 ，9 2 2 z 令7 r ：9 1 _ 9 1 是自然投影，则( 9 1 ，7 r ) 是9 1 的泛 中心扩张 我们下面将借助引理1 2 7 来证明定理2 1 1 首先，让我们从下面的这个引理 开始讨论 引理2 1 2 ( 9 1 ：7 r ) 是9 1 的覆盖中心扩张 证明：显然( 9 1 ，7 r ) 是9 1 的泛中心扩张对于n 0 ：由l m ，n = 击 工m ，o l o ，n 】与 l 。，0 = ；【l e r l m l ：l o ，1 】我们得到k ，n 【g 1 ：9 1 】：m ，他z 注意到= l 。，2 ，l o ，一2 卜 2 l 。1 l o ，一1 】【9 - ：9 l 】，m z ，因此我们有9 1 吼，吼】这意味着9 - = 翰，9 1 】 也就是说，( 9 1 ：7 r ) 是夕1 的覆盖中心扩张 令( 万：p ) 是9 l 的泛中心扩张由泛中心扩张的定义，存在唯一的个李同态 砂：万一9 l 使得7 r 妒= p 下面往证妒是李同构，从而得到9 1 就是9 1 的泛中心扩 张 任取m ，礼z ，记，n 是l m ，n 在妒下的原像注意到丌妒= p 蕴含着 k e r t p k e r p z ( 页) ，因此对于满足矗1 + n 2 ，o ! 产= 0 的任意m l ：m 2 ：n l ，n 2 z ， 我们有 矽( 【r 。，n 。：r m ：，n ：】) = f l 。，n 。，l m 。，n ：】= ( 9 2 2 一礼1 ) l 。，+ m ：，n 。+ 。： ；( n 2 一n 1 ) 妒( 。+ 。：，n 。+ n ：) 从而得到 【1 内，2 ，n 2 】= ( n 2 一礼1 ) 1 + m 2 ，n 1 + n 2 + a ( m l ，n l ：m 2 ，n 2 ) ： ( 2 1 ) 这里口：z z z z z ( 歹) 是一个映射 一7 一 现在我们任取m ，n z ，并令 尸m n = ，n + 丢q ( o ：o ：m ，n ) ，竹+ q ( m ，一1 ：0 ：1 ) 容易验证妒( 岛，n ) = l m ，。，并且 p m n = 类似于( 2 1 ) 式，我们可以得到 击 p 0 ，0 ，p m ，。】 【，吐r ，t 】 w h e nn 0 w h e nn = 0 w h e nn 0 w h e n 礼= 0 【j ) m 。，n l ，2 ，m 2 ，n 2 】= ( n 2 一n 1 ) j ) m l + m 2 ，。+ n 2 + p ( m 1 ，n l ， 1 2 ，n 2 ) 这里m 1 ，m 2 ，n 1 ，佗2 z 满足( 5 ：n l + n 2 , 0 立产= 0 ， 个映射 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 并且p ：z zx zx z z ( 孬) 是 对任意的r z ，令_ r = 【只，2 ，r ，一2 】一2 【只1 p o ，一1 】贺容易考察妒( _ r ) = k 由p ( j - r ) = 丌矽( j i ) = 7 r ( k ) = 0 ，我们有了- r k e r p z ( 爵) 因此能够得到 【p m ，n ，_ r 】_ 0 ，m ，n z 我们构造一个线性映射妒：磊_ 万使得妒( 群) = 瓦并且t ( l m ，n ) ： p m ，n ：r ，m ，n z 下面我们将用一系列引理来证明妒是个李同构 引理2 1 3 对任意的m l ，m 2 z ：我们有 p m ，o ：。，o 】= 0 ， 证明：任取m z ，由( 2 3 ) 与( 2 4 ) 得到 【岛，0 ，r ，0 】 【p m ，1 ，r ，一1 】 ；【p m ，0 ，【，_ 1 p - 仇1 】 如r ，o ，p m ，一- 】：p 。，1 】_ 孤尸m ，o ：p _ m 1 】，一- 】 一【尸，一1 ，尸- m ，】一 r ，l ，岛，一】 一 【 p 2 m ，一2 ，p o ，1 】，p _ m ，l 】+ 岛，o 一 【，2 ，【矗1 ，p - 州】一，_ 2 ，p 。州】，局，l 】+ p m ，o 0 一 【p m ，- 1 ir ，l 】+ p m ，0 = 0 一尸m ，o + p m ，o = 0 ： 【p m ，0 ：r 。】：尸0 。一1 】 f r ，0 ： p o ，1 ：p o ，一l 】+ f 焉，0 ，局, - i 】：r ，l 】 一2 【p m ，0 ，r ，0 卜【，乩r ，】 o 一2 p m 。0 = 一2 尸m 。0 一8 一 第2 章水平向量场子代数舅 然后对任意的m l ，m 2 z ，我们得到 【p m l i o ，：0 】= ；【。，o ，【r ：，乩r ，1 】 = 孤p 仇l ，o ，一l 】：p o ，l 卜孤尸m 。o ，p o ，1 】 ：，一1 】 = 一；【如。+ m 。，_ 1 ir ，- 】_ 【l l 。，一，】 = 一p m 。+ m ：0 + ：【p m 。t 2 ，晶，一1 】，尸m ：，一1 】 = 一p m ，+ 仇：，0 + 【p m 。，2 ：吼- l ：，一1 】+ 【p m 。，2 ，厶：，一】，p o ，一1 】 = 一r 。+ 仇2 ，0 + 0 一 【。棚2 ，l r ，一1 】 = 一_ f ) m 1 + m 2 ，o + 只，l l + m 2 ，0 = 0 引理2 1 4 对任意满足n l + n 2 0 的m l ，m 2 ，n l ：n 2 z ，我们有 r 。m ，昂。，n 。】=( n 2 一n 1 ) r 1 1 + ，1 2 m + n 2 证明：不失一般性，我们假设n l 0 注意到( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，我们有 【，朋，p m 印。】= 剀，p 仇，以，耽】 = 击【岛，o ，【。r ：巾】+ 击【r ，0 p m 。，n ：】：岛，n 。】 = 警【r ，o ：。+ n 。怕】+ 署 p m ：，n 。：p m 。，n 。】 = ( n 2 - - ”l n ) ( ，n l + n 2 ) p m 。慨m + f 1 2 一署【名，内，。：】n 1 1i ”喵，jt 咄 n i l1 ，。1 ，”咏，z j 因此得到( 1 + 署) 【厶。m ，。m 】= 妞竺掣。+ m ：肌+ 蚴也就是说 【l ，n l ，尸仇2 m 】= ( 几2 一n 1 ) p m l + m 2 ，m + n 2 - 引理2 1 5 对任意的m l ，m 2 ，n z ，我们有 【f 。mf m ：，一n 】= - 2 n p m 。+ m 2 ，0 + 佗3 一佗 证明：首先对任意的m 1 ，m 2 ，n z ，我们来证： p m 。，n ：f m ：，一n 】= 6 k m l + m 2 【p m ，枷。mr ，一n 1 ( 2 5 ) 当n = 0 时根据引理2 1 3 ，式( 2 5 ) 已得证当佗0 时，由式( 2 4 ) 与引理2 1 3 得 【尸m ，十n ，r ，一n 】= 一知，n ，p m 。，o 】，p o ，一。】 = 一去【。，n ，【p m 。，0 r ，一n 】- 知p m 。p o ，一n 】，p 价：，o 】 = 【。，。，尸仇：，一n 】+ 2 【p m 0p m 。，0 】 = 【f m ，n ，f ：，一。】 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 其次，对任意的m ，竹z 我们来证： 【川p o ，一n 】= 一2 礼，。+ 宰瓦 ( 2 6 ) 当n = 一1 ，0 ：1 时，根据式( 2 3 ) 与引理2 1 3 容易得到式( 2 6 ) 现在我们假设 n 2 ，下面采用对n 的归纳法 由了_ m = 【p m 2 e o ，一2 】_ 2 【岛，1 ，p o , - 1 】，我们得到1 ，2 ：p o ，一2 】= 2 i 岛，1 ，p o ，一1 】 + 瓦= 一4 p m 。o + m 因此式( 2 6 ) 在n = 2 时成立假设式( 2 6 ) 当仡一l ( n 3 ) 时成立，也就是说有【，几一l ，e o ，一( n 一1 ) 】= 一2 ( n 1 ) 尸m ，o + n - - l 3 ；( n - 1 k m 因此我 们能够得到 【p m ，n ，r ，一n 】= 击【尸m ，n - l ，r ，】，p o ，一n 】 = 南【，n 山吼- ，p o ，一n 】+ 忐 ，n 吐r ，一n 】，蜀，】 = 粒【p m ，n - 1 ，r ，一( n 一1 ) 1 + 学【岛，_ l ，p 0 ，- 】 = 掣专( 一2 ( n 一1 ) ，o + 鱼二生；业页_ m ) + 。2 。一- 2 1 p m ，o = 一2 n p m ，o + 型产k m 从而式( 2 6 ) 在礼2 时成立相仿的，容易验证式( 2 6 ) 在竹- 2 时也成 立 根据式( 2 5 ) 与( 2 6 ) ：我们便得到引理2 1 5 一 引理2 1 6 妒：爹_ 虿是李同态 证明：由前述引理，我们能得到 【p 仇r 】= 0 ， 【矗，m ：m 】= n 2 - - n 1 ) p m l + m ：, n 1 - h 2 + 氏。+ 。堕专旦_ m 。+ 啪 显然妒是个李同态 定理2 1 1 的证明：对任意的m ，n ，r z ，注意到等式7 r 妒妒( 三m ，n ) = 7 r 砂( p m ，n ) = 7 r ( l m 。n ) 与7 r 矽妒( j 0 ) = 丌矽( 夏- r ) = 7 r ( j 0 ) ，这说明丌砂妒= 7 r 根据p = 7 r 妒我们 有即妒= ( 7 r 妒) f ，= ( 7 r 妒妒) 妒= 7 r 砂= p 因此由引理1 2 7 和2 1 2 ：我们得到 妒妒= i d ，卿= i 嘧这意味着矽：页_ 磊是李同构从而磊是乡t 的泛中心扩 张定理得证 对任取的m z ，令丁m ：9 1 乡l _ c 是一个双线性映射，满足 r m ( l m l , i r l l l 忆。) = 。+ m 2 ，仇“。慨。堕6 坐 第2 章水平向量场子代数9 ， 容易验证是9 1 上的2 一上循环 我们有下面关于9 的二上同调群的推论，可以参考 1 】 推论2 1 7 水平向量场代数9 l 的二上同调群日2 ( 9 1 ，c ) 是无限维的，并且它 有基底 i m z ) 黑龙江大学硕士学位论文 2 2 导子代数 本节讨论9 ，的全导子李代数，主要结论如下： 定理2 2 1 对于李代数9 1 ， d e r 9 l = ，n n 9 1 + d n o * e z 这里d 是乡l 的外导子使得d q ( l m ，n ) = m l m + 叩：q z ，m ：n z 在证明定理之前，我们容易验证下面两个引理 引理2 2 29 1 = 引理2 2 3 对任意a z ，如下定义9 l 上的线性算子d n ： d n ( l m ，n ) = m l m + m 那么d q 是蛋l 的外导子 定理2 2 1 的证明： 令d 是多1 的任意一个非零导子证明分下面几步 s t e p1 由于d 0 ，不失般性我们可以假设d ( l 1 ，0 ) 0 。由此令d ( l x , 0 ) = 0 4 l ，即其中0 4 c o ) ：q ，& z 再令朋= i r 丽k o ，r 示任取 i m ，有一去口d l r t l ( l l ，o ) = l n ，s t 因此 ( d + 睾a d o 。- 1 ，以) l l o = 瓯。 i e 3 4 。 i e l , r n 3 4 注意到d n a ( l a ，0 ) = l n ，0 ：i 而，从而可以得到 ( d + a 。i a d l n 圹0 4 d r , - 1 ) l 1 ，0 - 0 m1 i e t - 而c a 设d = d + 詈o d l 铲1 ，氍一 a i d r t _ 1 ，可以看到d ( l 1 ，o ) = 0 根据 l 朋 i e l m c a 【l 1 ，0 ，l 一1 ，0 】= 0 我们推出【d 7 ( l 1 ，o ) ，l 一1 ，0 】+ 【l 1 ，0 ：d 7 ( l 1 o ) 】= 0 因此容易得到 d u “o ) = 玩k o ；玩c ，s t z i = l 相仿地由f l a ，0 ，l o 。0 】= 0 ：可以得到 f d 7l o , o ) = c i l 训：c i c ：z 第2 章水平向量场子代数g s t e p2 若d 7 ( l o ，1 ) 0 ，那么可以假设d 7 ( l o ，1 ) = d i l h ，h ：也c o ) ，h i ，k i t = l z 由l 1 。1 = 【l 1 ，0 ，l o ，1 】可以得到 t d u l 1 ) = 【d 姐1 ，o ) ，l o ，1 】+ 队o ：d 7 ( l o ，1 ) 】_ o + 也l l ，h t = 1 注意到l o ，1 = 【l - 1 ，0 ，l 1 ，1 】，因此有 d 7 ( l o ，1 ) = 【d 7 ( 己一1 ，o ) ，l 1 ，1 】+ 【l 一1 ，0 ，d 7 ( l 1 ，1 ) 】 mt = 【玩l 0 ，l 1 ，1 】+ l l ，0 ：d t l k + 1 ，k 】 t = 1= 1 m = 玩三s t + 1 ，1 i = 1 t + 也砰l k 。， i = 1 tm t 也就是说有或，乜= 屯三时1 ，1 + 也砰“；，h 这意味着砰= 1 与b i = 0 因 i = 1i = 1i = i 此d 7 ( l 一1 ，0 ) = 0 ，并且可以进步假设 t ， d 。1 i l 即t t i = 1 注意到a d l h ：，o ( l o ，1 ) = l 磁，1 ，i 一1 , t i 现在令d = d 一a d l h ：，0 ，那么显然 zt i 有d ( l 1 ，。) = o ，d ( l - l , o ) = o ，d ( l 。，。) 2 三q 厶k ，。：d ( l o ，1 ) 2 三甜l ，i ，一l 由 l o ，1 = 【l o ，0 ：l o ，1 】可以得到d ( l o ，1 ) = d ( l o ，o ) ，l o ，】+ 【l o ，0 ：d ( l o ，1 ) 】换句话说， 可以有 彰l ，一，= t = 1 q k ，1 - 彰钿，一， i = 1 这推出c i = 0 ：d ；：，= 0 从而得到d ( l o ，0 ) = 0 ，d ( l o ，1 ) = 0 至此，可知d ( l 1 ，0 ) = d ( l 1 ，0 ) = d ( l o ，0 ) = d ( l o ：1 ) = 0 s l ；e p3 若d 7 ( l o 1 ) = 0 ：那么由l 1 ，1 = 陋1 ，0 ，l o , x 】得到 d 7 ( l ，1 ) 【d 7 ( l 1 ，o ) ，l o ，1 】+ 【l 1 ，0 ：d 7 ( l o ，1 ) 】= 0 + 0 = 0 注意到l o ，1 = l l 一1 ，0 ：l 1 ，l 】，因此有 d ( l o ，1 ) =【d 7 ( l 一1 ，o ) ，l 1 ，l 】+ l 一1 ，0 ：d 7 ( l 1 ，1 ) 1 mm 【b i ls t o ，三1 ，1 】+ ( l l ，0 ：0 】= b i l 8 i + 1 ，1 + 0 ， f = li = l m 整理得b i l 。t + l ，1 = 0 这可以推出玩= 0 ，从而d 7 ( l 一1 ，0 ) = 0 t = 1 1 3 一 十 己 磋 r 谢 = 0 己 吖0 d r 汹 汹 黑龙江大学硕士学位论文 根据l o ，1 = 【l o ，0 ：l o ，1 】得到 d 7 ( l o ，1 ) = 【d ( l o ，o ) ：l o ，1 l + 【l o ，0 ，d 7 ( l o ，1 ) 1 即q l 啦，1 = 0 因此有c = 0 ，这意味着d 7 ( l o ，0 ) = 0 令d = d 7 那么目前可以 看到 ( 三l ，0 ) = d ( l 1 ，0 ) = d ( l o ，0 ) = d ( l o ，1 ) = 0 s t e p4 令d ( l o ，2 ) = e i k 艮c ：p i ：岱z 由于2 l o ，2 = 【l o ，0 ，l o ，2 】， 可以得到 2 d ( l o ，2 ) = 【d ( l o ，o ) ，l o ，2 】+ 【l o ，0 ，d ( l o ，2 ) 】， 换句话说有 2 e t l v , ，吼= 0 + 岱e t k 舯 这可以推出g = 2i f 0 从而可以令d ( l o ，2 ) = e i l p ；，2 相仿地，由 - 2 l o ，一2 = 【l o ，0 ：l o ，一2 】可以假设 d ”( l o , - 2 ) = k _ 2 五c 忍z 注意到【l o ，一2 ，l o ，2 】= 4 l o ，0 ：因此有 【d ( l o ，一2 ) ，l o ，2 】+ 【l o ，一2 ：d ( l o ，2 ) 】= 4 d ( l o ，0 ) = 0 即4 , l 0 + 4 e i l v 。，0 = 0 可以推出五= - - e i ，翰= 伽= u 因此可以令 d ( l o ，一2 ) = 一e t