（统计学专业论文）非对称双稳系统中平均首次穿越时间和随机共振研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 平均首次穿越时间是描述双稳系统瞬态性质的重要物理量，而随机共振是随 机动力学中一种非常重要的现象它们在理论研究以及潜在的应用价值方面已经 引起研究者的广泛关注。本文在现有理论和方法的基础上，研究了非对称双稳系 统中的平均首次穿越时间和随机共振问题论文的主要内容安排如下： f 1 运用最速下降法得到关联噪声驱动的非对称双稳系统的平均首次穿越时 间的表达式，并讨论了参数对系统平均首次穿越时间的影响研究发现乘性噪声 强度对两个方向的平均首次穿越时间的影响是完全不同的。由左势阱跃迁到右势 阱的平均首次穿越时间在乘性噪声强度的影响下出现了“共振”现象，而反方向 的平均首次穿越时间则随着乘性噪声强度的增加而单调减小当噪声关联强度在 不同的范围内取值时，它对两个方向平均首次穿越时间的影响是不同的 2 。在绝热近似条件下探讨了两个噪声以色关联形式输入的非对称双稳系统 的平均首次穿越时间问题。通过数值研究发现，在关联强度影响下，平均首次穿 越时间曲线先是受到了抑制，而后又有峰值出现。当系统非对称性取值较小时， 在噪声关联时间的影响下，平均首次穿越时间出现了“共振”现象，而增加系统 非对称性，平均首次穿越时间曲线则会随着噪声关联时间的增加而单调减小。 3 研究了由周期矩形信号和色噪声驱动非对称双稳系统的随机共振现象。用 周期矩形信号代替常见的周期单频信号，在绝热近似条件下得到系统的信噪比表 达式。在信嗓比曲线中发现。当其他参数值确定时，增加加性噪声强度的值会使 随机共振现象消失；而如果只改变乘性噪声强度的值，信噪比曲线中的共振峰则 会一直保持此外，随着色噪声自关联时间的增加，信噪比曲线先增加而后减小， 这时系统出现了随机共振现象 关键词：平均首次穿越时间，随机共振，非对称双稳系统，信噪比，最速下降法， 统一色噪声近似，f o k k c r - p l a n k 方程 ，。耍j ! 三些奎耋翌圭兰堡笙兰 a b s t r a c t t h em e a nf i r s t - p a s s a g et i m e di si n 血o d u c e dt o d e p i c tt h et r a n s i e n t p r o p e r t i e so ft h es y s t e m sa n ds t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) i snv e r yi m p o r t a n t p h e n o m e n o ni ns t o c h a s t i cd y n a m i c s t h e yh a v e 羽血a c t e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n0 1 1t h e r e s e a r c ho f t h e o r ya n dt h ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a mt h em e s h f i r s t - p a s s a g et i m ea n dt h ep h e n o m e n o no fs t o c h a s t i cn 络o n a n o ft h ea s y m m e t r i c b i s t a b l es y s t e mb yt h ew i d e l yu s e di n f o r m a t i o nt h e o r ym e t h o d t h em a i nw o r ki sa s f o l l o w i n g ： 1 a c c o r d i n gt ot h es t e e p e s t - d e s c e n ta p p r o x i m a t i o n , w eg e tt h e 哪se x p r e s s i o n o fa s y m m e 仃i cb i s t a b l es y s t e md r i v e nb yc o r r e l a t e dn o i s e s ；t h ee f f e c to fp a r a m e t e r so n t h em f p t si sd i s c u s s e d i ti sf o u n dt h a tt h ee f f e c to f m u t i p l i c a t i v en o i s e0 nt h em f p t s a l o n gt w oo p p o s i t ed i r e c t i o n si sd i s t i n c t t h er e s o n a n c ea p p e a r so nt h eo u r v eo ft h e m f p tf r o ml e f tp o t e n t i a lt or i g h to n ew h e nt h em u l t i p l i c a t i v en o i s ei n t e i t yi s i n c r e a s e d ；t h eo p p o s i t eo n ei sm o n o t o n o u s l yc h a n g i a gw i t ht h ei n c r e a s em u l t i p l i c a t i v e n o i s ei n t e n s i 够t h ee f f e c to f t h es t r e n g t ho fc o 玎e h f i o nn o i s e so nt h em f p ti sd i f f e r e n t f f t h ev a l u eo f t h ec o r r e l a t i o nn o i s e ss t r e n g t hi si nd i v e r s er a n g e 2 t h em e a nf i r s t - p a s s a g et i m eo fa s y m m e t r i cb i s t a b l es y s t e md r i v e nb yc o l o r c o r r e l a t e dn o i s e si si n v e s t i g a t e d ，b a s e do nt h et h e o r yo fa d i a b a t i cl i m i t n u m e r i c a l r e s u l ts h o w st h a t ：w i t ht h ei n o r e a s i n go ft h es t r e n g t ho fc o r r e l a t i o n sb e t w e e nn o i s e s , s u p p r e s s i o na p p e a r so n t h ec u r v eo ft h em f p ta t 溉a n dt h e nt h e r ei sap e a ko nt h e 伽_ r v e o nt h ee f f e c to ft h ec o r r e l a t i o nt i m eb e t w e e nt h en o i s e s , t h ec u r v e so f 哪 a p p e a r 蚤既咀a n w i t hs m a l lv a l u eo f t h eb i a so f t h es y s t e m ；f f w ec h o o s et h eb i gv a l u e o ft h e b i a so ft h es y s t e m , t h e ，o t l r v e so fm f p ti sm o n o t o n o u s l yd e o r e a s ea st h e c o r r e l a t i o nt i m eb e t w e e nt h en o i s e si n c r e a s e s 3 t h ep h e n o m e n o no fs ri n 粕a s y m m e t r i cb i s t a b l es y s t e md r i v e nb y m u l t i p l i c a t i v ec o l o r e dn o i s ea n da d d i t i v ew h i t en o i s ea n dap e r i o d i cr e c t a n g u l a rs i 弘a l a r es t u d i e d t h ep e r i o d i cm o d u l a t e ds i g n a li sr e p l a c e db yt h ep e r i o d i cr e c t a n g u l a rs i g n a l ， 西北工业大学硕士学位论文 a n dw eg e tt h ee x p r e s s i o no ft h es i g n a l - t o n o i s er a t i oi nt h ea d i a b a t i cl i m i t a c c o r d i n g t ot h ec u r v e so f t h es n r ：i f w ec o n f i r mo t h e r p a r a m e t e r s v a l u e ，t h ep h e n o m e n o no fs r d i s a p p e a r sa st h ei n t e n s i t yo fa d d i t i v en o i s ei n c r e a s e s ，b u tt h er e s o n a l l t ? 七p e a ko ft h e s n rd o n th a v em u c hc h a n g ea st h ei n t e n s i t yo fm u l t i p l i e a t i v en o i s ei n c r e a s e s w i t h t h ei n c r e a s i n go ft h em u l t i p l i e a t i v en o i s es e l f - c o r r e l a t i o nt i m e ，t h es n ri n c r e a s e s i n i t i a j l ya n dt h e nd e c r e a s e s ；t h es ra p p e a r s k e yw o r d s ：m e a nf i r s t - p a s s a g et i m e ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，a s y m m e t r i cb i s t a b l e s y s t e m , t h es t e e p e s t - d e s c e n ta p p r o x i m a t i o n , s i g n a i t o - n o i s er a t i o ，u n i f i e dc o l o r e dn o i s e a p p r o x i m a t i o n , f o k k e r - p l a n ke q u a t i o n i i i 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论 文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题 再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：缢堕照、 矿1 年3 月诟 指导教师签名 。7年2 月 - t e l ， 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论 文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已 经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公 开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过 的成果。x , l 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资荆若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：呈量笪遣： p 叮年；月万日 西北工业大学硕士学位沧文 第一章 第一章绪论 在宏观世界里，随机涨落是普遍存在的。这种随机涨落又称为“随机力”或 者“涨落力”。二十世纪初，e i n s t e i n 等 1 人对布朗运动的研究标志着随机动力 学研究的开端，之后许多学者开始考虑随机力对宏观系统的影响，并在该方面进 行深入研究。法国数学家l a n g e v i n 2 在研究布朗运动时建立了包含随机力的著 名郎之万方程，该方程可以描述单一布朗粒子的运动轨迹。郎之万的研究理论在 数学、物理等学科都得到了广泛的应用。郎之万方程是随机微分方程的第一个实 例，之后在数学领域中出现了随机微分方程理论的研究方向。最近几十年，随机 动力学理论在随机过程和随机微分方程理论不断完善的基础上得到迅猛发展。同 时郎之万的理论也对物理学的发展起到很大的推动作用，为非线性非平衡复杂系 统的统计理论开辟了崭新的道路。 到了2 0 世纪下半页，非线性科学得到蓬勃发展。这一发展影响到自然科学 和社会科学的各个领域，特别使得应用数学、力学和统计物理获得巨大的进展。 砩究表明非线性理论不仅有重大的科学意义，而且具有广泛的应用前景。近年来， 非线性科学问题的研究受到各领域科学家越来越多的关注。非线性科学的发展使 人们从线性系统的禁铜中解放出来并深刻地变革着人们对周围世界的思维方式。 世界的本质是非线性的、复杂的、充满着噪声( 随机力) 的干扰。对于一个非线性 系统，加入一个小的随机力不仅会对原确定性方程产生微小的影响，更重要的是， 在一定的非线性条件下，它会对系统的演化起到决定性的作用。因此在非线性科 学领域中，研究非线性系统在随机力作用下的动力学行为已经成为数学、力学、 物理学等学科发展中广泛关注的研究课题之一。 1 1 噪声 由于宏观系统具有多自由度这样的特性，因此它无论是封闭系统还是开放系 统，无论是在甲衡态或非平衡态，均会受到外部环境的干扰或其内部的自发涨落 西北工业大学硕士学位沦文第一章 的影响。对于各种涨落我们称之为涨落力或者随机力，更简捷地可用噪声一词来 描述。“通常情况下，人们认为噪声总是消极的东西，它产生杂乱的运动，破坏 序，破坏功能，抹去相和相之0 u 的差别，导致均匀，起到破坏相变的作用” 3 3 。 直以来，人们认为噪声是有害的，是造成系统无序的根源，因此总是想方设法 消去噪声对系统的影响。但是通过研究随机力( 噪声) 对非线性系统的影响，发现 当噪声强度的取值适当时，就可以使非线性系统产生最大的输出信噪比。并且发 现许多确定性方程中不可能产牛的相变现象在噪声作用下成为可能。 在随机动力学的研究中发现在系统中加入一个弱噪声能使系统产生出许多 新现象，如：汴火现象 3 、随机共振 4 - 5 4 ，噪声诱导相变 5 5 - 5 6 3 、植子的逃 逸问题 5 7 6 6 、分子马达以及各种棘齿中噪声诱导粒子的运输问题 6 7 - 6 8 3 。为 了探究噪声在非线性动力系统中的作用。首先要深入了解噪声的一些性质。 1 1 1 高斯噪声 3 一般情况下，根据噪声的统汁性质町以把噪声分为高斯噪声和非高斯噪声。 高斯分布具有非常重要的统计忭质，比如：甲稳性和马尔可夫性等：并且它可以 由随机变量的一阶矩和二阶矩完全确定。常见的高斯噪声有离斯白噪声和高斯色 噪声两种。 所谓高斯白噪声就是具有高斯分布的功率谱密度为常数的噪声，并且任意两 个不同时刻不相关，也就是对于一个高斯白噪声f ( f ) 来说，它满足的统计性质为： ( 孝( f ) ) = o ，( 手( f ) f ( f ) ) = 2 p 6 ( t - t ) ， ( 1 1 。1 ) 其中p 为加性噪声强度。 但是在动力系统中，对于一个噪声来晚它的关联时间尽管很小但不可能严格 为零。如果噪声具有零自关联时间，那么它的由自关联函数经过傅里叶变换而得 到的功率普与是频率无关的。神。此种情况f ，任何频率时产生出白噪声都需要耗 散无穷大的功率，实际j 二功率 敞不可能达到这样的程度。也就是说白噪声在现 实中是不存在的，它是一种巧! 想化的噪声，只有当噪声的自相关时间刻度远小于 确定性系统的驰豫时间的时间别度时，噪声才被当作白噪声来处理。 西北工业大学硕士学位论文 第一章 而高斯色噪声r ( t ) 满足的统计性质为： 似f ) ) - o ， 觏嘶；詈唧_ 学1 ， ( 1 1 2 ) 这里的g 为色噪声强度，f 为噪声自关联时间。对于高斯色噪声叩( f ) ，它的功率 谱可以通过如下计算得到： s ( 国) = f g v e + l e - u d t t 百 ( 1 1 3 ) 由上可知高斯色噪声具有高斯分布，但它的功率谱却是与频率m 有关并且具 备洛伦兹函数形式，当f 斗0 时，高斯色噪声就退化为高斯白噪声。 当非线性系统中含有噪声时，人们都需要考虑噪声的有色性，但是噪声的有 色性使得郎之万方程中包含了对时间的记忆，这一过程具有非马尔可夫性，因此 无法直接求出精确的福克一酱朗克方程。为了研究系统的定态分布和动力学行为， 研究人员提出了各种近似方法处理色噪声问题，比如：小f 近似方法 6 9 、一维 微扰展开方法 7 0 、统一色噪声近似方法 7 1 - 7 2 】、弱噪声展开方法 7 3 】、一维 退耦理论 7 4 以及最速下降法 7 s 。通过这些方法，可以用近似的马尔可夫过程 来描述非线性系统，进而对它的性质进行研究。 1 1 2 非高斯噪声 在以前的研究中，人们一般考虑的是满足高斯分布统计特性的高斯噪声，但 是研究者在神经网络和感觉系统实验研究中，尤其是在一种小龙虾试验 8 6 中发 现在这些系统中所对应的噪声是非高斯噪声 5 1 - 5 2 ，6 6 ，非高斯噪声是生物系统 性质研究的特点并对这类系统有很重大的影响。因此，我们有必要介绍这类非高 斯噪声的一些基本知识。 在研究系统动力学的性质时的运动方程一般用郎之万方程来描述，其带有非 高斯噪声的方程形式如下： i = f ( x ，f ) + g ( x ) q ( t ) ( 1 1 4 ) 函) = 一i d v a q ) + 宰张 ( 1 1 5 ) 西北工业大学硕士学位论文第一章 ，= 志n m 州，斜 m - 回 酗：一旦盟+ 业m ( 1 1 7 ) 泓哪地，= 声篙， 1 1 3 噪声之间的关联 一般情况下，人们在随机动力学中主耍运用郎之万方程来建立数学模型考虑 噪声对系统的影响。噪声根据来源的不同可以分为内噪声和外噪声两种。内噪声 通常认为是由系统内部的热运动才引起的，也就是说，这种噪声是系统自发产生 的，它比较小。在郎之万方程中内噪声就是与参量无关的噪声源，又被称之为加 性噪声。外噪声通常认为是由系统外部的环境振荡或外部的随机力引起的，它由 外部条件完全控制。在邮之万方程中外噪声就是与参量有关的噪声源，又被称为 乘性噪声。 在早期的非线竹动方学的 i j f 究中研究人员都假设乘性噪声和加性噪声来源 西北工业大学硕士学位沧文 第一章 不同，它们之间不存在任何关联。但是，自然界中的任何事物之间是相互联系、 相辅相成的，很显然同一系统或同一过程的不同噪声源之间必然存在某种形式的 关联。1 9 9 1 年f o l m s k i 等人 7 6 提出在某些情况下，噪声之间可以存在一定形式 的关联，文献 7 6 中表明噪声之间的关联性对单双蜂之间的稳态转换分布产生很 大影响。此后，人们开始关注噪声之间的互关联性对非线性动力学的影响 4 ， 3 3 3 5 ，4 0 ，4 2 4 6 ，5 8 - 6 3 ，7 6 ，8 0 。王俊等 6 0 研究了关联噪声驱动的双稳系统 的平均首次穿越问题，发现噪声之间的关联强度使得两个方向平均首次穿越时间 的对称性破裂。贾亚等 4 3 证明了在噪声互关联性存在的情况下，双稳系统的信 噪比依赖其初始条件。靳燕飞等 8 0 证明了在单模染料激光系统中，当噪声之间 的互关联时间非零时，增加阀值以上噪声之间的互关联强度会使系统光强涨落的 衰减速度增加。在非线性系统中噪声之间的关联通常有两种形式： ( 1 ) 是两个噪声的j 函数关联，即白关联形式： ( 手( f ) j 7 ( f ，) ) = 2 五, p q a ( t f ， ( 1 1 8 ) 其中丑表示两个噪声之间的互关联强度。 ( 2 ) 是两个噪声的g 指数关联形式，即色关联形式： ( 荆砸谚：华唧阿卅 ( 1 1 9 ) 其中a 表示两个噪声之间的互关联强度，r 表示两个噪声之间的互关联时间。 在非线性系统中，当两个噪声之问存在关联时，可以运用变换法i t 6 或者泛 函近似法 7 s 消去噪声之间的关联性，然后在再对系统的性质进行分析判断。 1 2 平均首次穿越时间 5 7 6 6 确定性系统的噪声诱导逃逸问题是自然科学很多不同领域中广泛关注的一 个问题。人们在研究中发现很少有逃逸事件是按照时间的指数概率分布随机发生 的，因此就需要有一个有意义的比率来完全刻画逃逸事件的统计特点，即逃逸率。 目前已有许多分析和数值的方法对逃逸率问题进行研究，其中最著名的是克莱默 斯逃逸率的建立 3 。除了逃逸率我们还应该注意到的另外一个物理量就是平均 首次穿越时间也可以描述逃逸过程的特征，而且克莱默斯逃逸率被定义为平均首 西北工q k 大学硕士学位i 仑文第一章 次穿越时间的倒数。逃逸率和；r 均酋次穿越时间是描述随机系统瞬态性质的重要 特征量。通常情况下可以运用鼹速下降法得到乎均首次穿越时间的近似表达式。 文献 8 1 中给出了植子在一个由噪声驱动的一维齐次过程中运动的甲均首次穿 越时间的最基本的求解方法， 近年来，由于人们列逃逸问题的密切关注，甲均首次穿越时间也已成为非线 性动力学的重要研究方向之一。贾业等 5 9 和梅冬成等 5 8 各自研究了由白关联 噪声和色关联噪声驱动的双稳系统的甲均首次穿越时间脚题，他们发现噪声之间 的互关联强度对i f 均首次穿越时间产生很大的影响，并且发现噪声互关联时间和 噪声互关联强度对下均首次穿越时间的影响是相反的。谢祟伟 6 3 研究了关联乘 性色噪声弓加性臼噪声驱动的双稳系统的甲均酋次穿越时间，发现即便是在噪声 关联时间为零的情况下强噪声强度弓弱噪声强度对平均首次穿越时间的影响也 是不伺的。m a d u r e i r a 等 6 5 的研究表明双稳系统的逃逸率受到噪声关联强度的 抑制。b a g 6 6 的关于非离斯噪声剥系统影响的研究中表明，甲均首次穿越时间 随着非高斯分布偏离高斯分布程度的增加会单调减小到一有限值；同时平均首次 穿越时问随着非商斯嵘声关联时问的增加是线性增加的，而在高新噪声驱动的系 统中均首次穿越时间是按指数型增加的。 1 3 随机共振现象 3 随机共振概念是由b e n z i 等 5 于1 9 8 1 年首先提出的，目的是为了解释地球 冰期的周期重现现象。之后有关随机共振问题的研究引起人们广泛关注，并在理 论和实验方面取得重大突破。实现随机共振的第一个实验是1 9 8 3 年由s f a u v e 等 6 在施密特触发器电路系统中完成的。显示随机共振的第二个实验是由 m c n a m a r a 等 7 在光学系统中完成的。m c n a m a r a 等 7 ，8 利用绝热近似理论得 到了双稳模型系统的信噪比，并用它来描述随机共振。d y k m a n 等 9 和胡岗等 1 0 提出用线性响应理论和摄动法来研究随机共振。周同和m o s s 等 1 1 利用驻 留时间分布理论来解释随机共振现缘。双稳系统己成为研究随机共振的主要模 型。利用上述理论研究荷考虑了由周期信号调节的双稳系统中噪声以及噪声的关 联性对系统信噪比的影响，并从中观察到了随机共振现象。除了双稳随机共振， 6 西北工业大学硕士学位论文 第一章 研究者还在其它模型中也能观察到随机共振现象，比如，两态模型 7 ，单稳或 可激动力模型 1 2 ，1 5 ，非动力阈值模型 1 3 ，波动比模型 1 4 等等。 在以往的研究中人们以为噪声只会起到破坏作用，通过对随机共振的研究发 现在一个非线性系统中，其输出信号能受到噪声的加强作用，并且当噪声参数的 取值合适时输出信号就会出现最大值。即是增加无序的信号输入能够导致有序输 出的增加。随机共振这一概念就是为了强调信号、噪声、系统的非线性条件这三 者之间的某种最佳匹配。 在这个不断繁荣发展的随机共振领域内，研究者已经发现了许多新类型的随 机共振以及新的应用范围。最初的随机共振研究中，所考虑的系统模型都要求必 须包含三个基本要素：非线性系统、输入信号和噪声。现在这一限制已被打破， s t o e k se 1 5 在研究中发现在单稳态系统中发现了随机共振现象。b e r d i e h c v s k 和 g i t t e r m a n 1 6 1 7 证明了随机共振也可以出现在线性系统中。c o l l i n s 等 1 8 2 0 提出了非周期随机共振的概念，使随机共振理论在信息领域得到广泛应用。在混 艨统不受到外噪声作用的情况下，人们也观察到了随机共振现象 2 1 2 3 。传 缃随机共振被限定为单共振峰形式的；而在1 9 9 7 年v i l a r 等 2 4 第一次观察到 多峰形式的随机共振，即多重随机共振。如今它已成为随机共振研究的焦点。在 上述的研究中，噪声和信号是以相加的形式进入随机系统的。d y k m a n 等e 2 5 将 噪声和信号以相乘的方式引入非对称双稳势中，并研究了该系统的随机共振现 象。在实际的物理系统中这种周期信号调制噪声的形式是非常普遍的，对含有此 类噪声系统的研究具有非常重要的应用价值。 与此同时，其他的一些随机共振理论相继出现，比如：相干随机共振 2 6 、 自适应随机共振 2 7 、多重随机共振 2 4 ，3 4 3 5 、静态随机共振e 2 8 、耦合随机 共振 2 9 、参数调节随机共振e 3 0 3 1 。 从随机共振概念的提, m n 现在，科学家们在电磁学 3 2 、激光系统 3 3 3 5 、 化学反应 3 6 以及生物神经系统 3 7 - 3 9 等等中都普遍地观察到了随机共振现 象，并作了大量的理论和实验方面的研究，通过实验研究，证实了一些理论研究 的结果，给出了理论与实验之间的偏差，确定了所得理论的适应范围，使得随机 共振的研究范围进一步拓宽，其应用也越来越广泛。 西北工、i k 大学硕士学傍沦文 第一章 1 4 基本理论和方法 1 4 1 绝热近似理论 7 1 绝热近似理论是随机共振研究中一个最早的比较全面的理论，它不仅适合双 态系统( 离散) ，而且也适合双稳系统( 连续) 。在绝热近似假设条件下：信号输 入频率远小于系统特征时间的倒数并且假设输入信号幅值和噪声强度很小，系统 在两个稳态达到局域甲衡的时间远小于系统整体甲衡的时间。这样局域平衡时间 可以忽略，原来的系统就可以看作一个两态模型，然后对交换概率的表达式进行 小参数泰勒展开，近似求解就可以求出信噪比的表达式。绝热近似理论的近似要 求限制了其适用范围，该理论只有在很小而又不太小的噪声强度下才适用。 1 4 2 驻留时间分布理论 5 3 - 5 4 驻留时间分布理论认为驻留时间的概率密度分布反映了剥称势阱在信号调 制作用下每个势阱驻留时闱的分布也随之政变。由于势阱的主要峰值对应着信号 的周期，如果在半个信号周期内系统输出不能反转，那么就必须在原来的势阱内 驻留一个周期，因此驻留时间的分布总是对应者信号半个周期的奇数倍，故提出 用在半周期内驻留时间作为随机共振的测度。该方法适用范围很广，但是缺乏严 格的理论基础。 1 4 3 统一色噪声近似 7 1 1 9 8 7 年j u n g 和h t i n g g i 提出统一色噪声近似为处理色噪声的一种近似方法， 通过这种近似方法可以将一个色噪声驱动的非线性系统变换为白噪声驱动的郎 之万方程。这种方法将色噪声用一个一阶微分方程来描述，通过扩大维数，系统 的运动方程可由个二维马尔可大过程来表示，该近似得到的福克一普朗克方程 不会出现负概率情形。研究证明统一色噪声近似是比较简洁方便的方法，并且它 还可以应用于多个色噪声的情况。该近似方程，的优点在于列噪声的强度和关联时 间没有任何限制。统一竹噪声近似在研究系统的稳态性质或者噪声诱导相交问题 中应用较多。 西北工q k 大学硕士学位论文 第一章 1 5 本文主要内容 研究者从理论和实验两方面对平均首次穿越时间和随机共振问题进行研究， 证明其在理论和应用方面具有潜在的价值，这两个问题的研究日益引起人们的广 泛关注。本文在现有的理论和方法的基础上，主要研究了非对称双稳系统的平均 首次穿越时问和随机共振问题。论文的具体内容安排如下： 第一章绪论及基本知识。主要介绍了噪声的分类、特点、统计性质以及噪 声的关联情况。然后介绍了平均首次穿越时间的基本概念以及一些研究成果。接 着给出了随机共振问题的起源以及目前的一些新的研究方向，最后给出几种基本 的理论和研究方法，包括：绝热近似理论、驻留时间分布理论和统一色噪声近似。 最后介绍的是论文的框架和内容安排。 第二章关联噪声驱动的非对称双稳系统的平均首次穿越时间。在本章中， 势函数是一个非对称的双稳势阱，噪声之间的关联是白关联的。在这样的系统中， 通过研究发现乘性噪声强度对两个方向的平均首次穿越时间的影响是完全不同 的：由左势阱跃迁到右势阱的平均首次穿越时间在乘性噪声强度的影响下出现了 哆振”现象。噪声互关联强度对两个方向的平均首次穿越时间的影响是完全相 皮的。并且在不同的噪声关联强度的影响下，两个方向平均首次穿越时间比值曲 线随着乘性噪声强度的增加呈现不同的发展趋势。 第三章在第二章的基础上我们考虑了色关联噪声驱动非对称双稳系统的平 均首次穿越时间。在该部分内容中仅考虑了单个方向的平均首次穿越时间。研究 表明：在噪声关联强度的影响下，平均首次穿越曲线先是受到了抑制，而后又有 峰值出现，显然是一个共振现象。这一部分内容中非对称因素被加在系统本身， 很显然系统非对称性对甲均首次穿越时间的研究起着重要作用。当系统非对称性 较小时，在噪声关联时间的影响下，曲线存在一个类共振极大值，出现了“共振” 现象，而当系统非对称性增大到一定取值时，曲线随着噪声关联时间的增加是单 调减小的。 第四章由周期矩形信号和色噪声驱动非对称双稳系统的随机共振。在本章 中，我们用周期矩形信号代替常见的单频正弦或余弦信号，利用绝热近似理论得 到的信噪比表达式，在此种情况中信号振i 幅不必局限于只能取很小的值，而是适 9 西北工业大学硕士学位沦文 第一章 合任何幅值。在信噪比曲线中发现，当其他参数值确定时，增加加性噪声强度的 值会使得随机共振现象消失；如果只改变乘性噪声强度的值，信噪比曲线中的共 振峰一直保持。信噪比随着色噪声自关联时间的增加，先增加而后减小，此时系 统出现了随机共振现象。 第五章总结与展望。给出了文章的总结和进一步