（基础数学专业论文）markov链在s∞上的局部时.pdf

摘要 本文分为两部分第一部分利用上鞅的d o o b _ m e y e r 分解定理，证明了过分 函数必对应于唯一的可料可加泛函，第二部分利用第一部分的结果，证明了 m ”k o v 链在。s 。上的局部时的存在性，给出了氏上的局部时连续的充分必要 条件，并且给出了反例，说明由可料可加泛函所确定的局部时与通常意义上的 局部时的区别 关键词：正规链，。，过分函数，d o o b m e y e r 分解定理，可料可加泛函， 在s 。上的局部时，可选投影 a b s t r a c t t h i 8a r t i c l ei 8d j v i d e di n t ot w op a r t s w i t hd o o b _ m e y e rd e c o m p 0 8 i t i o nt 1 1 c o i n ，w e p r o v et h a ta ne x c e 8 s i v ef u n c t i o ns h o u l dc o r r e s p o n dt h eu n i q u ep r e d i c t a b l ea d d i t i v ef u n c t i o n a li nt h ef i r s tp a r t ；u s i n gt h er e s u l t si nt h e6 r s tp a r t ，w ec o n 8 t r u c tt h el o c a lt i m eo f m a r l 。e h a j n sa t 5 ka n d g i l 陀t h es u 丹i c i e n ta n dn e c e s s a i yc o n d i t j o no fc o n t i n u j t vo fl o c a l t i m e k e y w o r d s ：n o r m a lc h 撕n ，& 。，嘲s i v ef u n c t i o n ，d o o b - m e y e rd e c o m p o s i t i o n ，p r e d i c t a b l e a d d i t i v ef h n c t i o n a l ，1 0 c a lt i m eo n - 5 啬，o p t i o n a lp r o j e c t i o n 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者：毒巧链 2 0 d 年牛月1 9 日 第一章基础知识 1 1r a y 预解式与t y - k n 追h t 紧化 设( e ，) 是一个可测空间 e 上的函数，如果是可测的，则记作歹函数。一l 簿记为1 配( 6 矿) 表示e 上( 非负) 可测的函数的全体坛和硒+ 上的拓扑为一致 收敛拓扑，即由度量； d ( ，g ) = s u p ，( 。) 一g ( z ) ，v ，g 6 占 诱导的拓扑 定义1 1 1e 上的函数( z ，a ) 一k ( 。，a ) 如果满足： 俐对于固定的。e ，k ( z ，) 是( e ，) 上的测度； 一砂对于固定的a ，k ( ，a ) 是e 上的可测函数， 则称k ( ，) 为( e ，占) 上的核 设k ( ，) 为( e ，) 上的核，对于任意的，硒，e 上的函数 z 一上，( ) ( z ，咖) 记作k ， 如果( ，- ) ，g ( ，) 为( e ，) 上的两个核，则 ( 。，a ) 一zk ( z ，蛳g ( 可，戤e ，a 】 2第一章基础知识 也是( e ，) 上的核，记作g ( ，) 或k g 定义1 1 2 ( e ，) 上的一族核( u 。) 。，o 如果满足以下性质 ( i )a u 。1 1 ，v q 0 ， ( 托) u o 一 胪+ ( q p ) u 。u 口= o ，v 。，p o ， 则称( 己厂。) 。，o 为一个次m a r k o v 预解式，简称预解式如果俐中等式成 立，则称( u 。) 。 o 为m a r k o v 的 定义1 1 3 设( u o ) 。 o 是( e ，) 上的预解式， q o ，硒+ 如果对于 任意的卢 o ，p 泸卯，则称，是q 一超平均函数( s u p e r m e d i a n ) ，如 果还有卢一o 。时，泸+ 4 ，逐点收敛于，则称，是。一过分函数如果 对于任意的卢 o ，p 泸，s ，则称，是。一超平均函数( s u p e r m e d i a n ) ， 如果p o 。时，【，4 ，逐点收敛于，则称，是0 一过分函数o 一超平均 函数和0 一过分函数分别称为超平均函数和过分函数 s “和扩分别表示a 一超平均函数和。一过分函数的集合 显然，对于任意的，妊十，o20 ，c 严，占。；对于任意的a 0 ， 。c 酽；酽对于 运算封闭 如果e 是拓扑空间，是e 上的b o r e l 代数，则g ( e ) 表示e 上的 所有有界连续函数构成的b a n a c h 空间，q ( e ) 上的范数为上确界范数 设( u 。) 。，o 是( e ，) 上的预解式对于任意的口o ，令酽= 5 。n c 0 ( e ) ，s o 。= u 。，o s “ j jr 县，预解式与r a y _ 硒西雠紧化3 定义l _ 1 4 设f 是紧度量空间，是f 上的b o 他f 代数，g ( f ) 简记作 g ( f ) 如果( 矿。) 。，o 是( 只刁上的预解式并且 俐对于任意的 0 ，矿。g ( f ) cg ( f ) ， ( 讥) s o 。分离f 寺的点， 则称( u “) 。，o 是f 上的r a y 预解式 定义1 1 - 5 ( f j ，) 上的一族核( r ) = o 如果满足以下性质 ( i )只1 冬1 ，忱o ； ( 扰) b = b 只，s o 则称( r ) t o 为一个次m a r k o v 的半群如果中等式成立，则称( 只) 。! o 为m a r k o v 半群 定理1 1 1 口瞰v j ( 严) 。，o 是( f ，厂) 上的r 叫预解式则存在唯一的次 a 扎咄o 半群( 只) 眨。使得： 数 俐对于任意的。只，g ( f ) ，一b ，( z ) 是 o ，) 上的右连续函 俐u 。，= 铲e “b ，班，饱 o ，g ( f ) 一别，酽当且仅当，c ( f ) 并且对于任意的0 ，e n 。只，s ， 更进一步，当lo 时，e 1 。只，t 蜀， 一砂令d = 忙j v ，g ( f ) ，q u 。，( 卫) 一，( z ) 当口一。，则d 是f 的b d m f 子集， r ( z ，) = 疋( t ) 当且仅当z d i 并且对于任意的f 0 ， r ( z ，) 集中在d 上 4 第一章基础知识 ( 只) c o 是讹恼伽半群当且仅当( u n ) 。，o 是讹渤w 预解式 证明参考文献 1 注1 1 1 集合f d 中的点称为分支( b r a i l c h i n g ) 点d 是f 的g 6 型子 集 假设1 1 1 我们假定： e 是三d d b 伪r 部紧且具有可数拓扑基，的拓扑空间，5 是e 上的b 。m f 代数 一砂 见 ，。是( e ，占) 上的讹r 七d 预解式并且毋q ( e ) cg 旧) ，v a o 一圳对于任意的，晚( e ) 以及。e ，l i m 一o 。a 凡，扛) ：，( 。) 对于任意的爿c 聒+ ，令 n “f 咒) 啦r 五n n ，a ； o ，。 ，o ，l 丸，visn l = l 八( “) = ，1 厶j n n ， ，厶h 显然，“( m ) 是一个凸锥由，+ 9 = ( ，+ g ) ( ，+ 忍) ，当m 一个凸锥 且对 运算封闭时，八( 咒) 也是一个一个凸锥， 由假设( i ) ，取冗cg ( 司，1 h ，咒是可数集并且分离e 中的点由 假设( i i ) 和( i i i ) ，“) cg ( e ) 并且分离e 中的点令 冗1 = “( 咒) ，冗卅1 = 八( 冗( n ) + “( 佗( n ) ) ， 冗= u 冗 5 j jr 哪r 预解式与r 彤，一k n 增矗t 紧化 显然，有以下命题； 命题1 1 1 冗定义如上，则 例冗分离e 中的点； 一冗是一个凸锥，冗c g ( e ) 并且对于 运算封闭； 一圳对于任意的a o ，冗，风，冗j 一叫作为硒予空间，冗在是一致收敛拓扑下是可分的 取亿的稠密子集 9 。) ：，令 5 d ( 。川= 薹刍 i ( 。) 一g m ( 删，v z ，e ( 1 ，1 1 ) d ( - ，- ) 是e 上的度量，e 在d ( r ，) 下的完备化记作面，显然面是一个紧度 量空间西上的度量仍然记作d ( ，) 定义1 1 6 ( 面，d ) 称为e 的r a y k n i g h t 紧化 冗中的函数在度量d ( ，) 下都是e 上的一致连续函数，故可以唯一扩 张成为e 上的连续函数对于任意的e 上的函数，( ) ，如果，( ) 在d ( - ，- ) 下连续，( ) 在茸上的连续扩张记作厂( ) 显然，对于任意的d ( ，) 下连续 函数j ，g ，f 八g = f 八0 令 ，i ，佗) 记作瓦显然瓦为一凸锥，分离万中的点并且对于 运 算封闭由于对于任意的， 雪瓦，f ，一百f = ，+ 雪一2 ， 雪，故宠一宠对于取绝 对值运算封闭对于任意的，互瓦一夏， 雪= 世寻创，v 互= 丛i 掣到， 6第一章基础知识 故琵一瓦对于 ，v 运算封闭由格( i a t t i c e ) 形式的s t o n e _ w i r 8 t r a s s 定 理，瓦一瓦在g ( 面) 中稠密 对于任意的o 0 ，令 u o ( ， 厅) = r 。，一f k 9 ，v ，9 冗 ( 1 1 2 ) 显然俨是瓦一琵上的有界线性算子( | i u 。| lsj ) ，因此驴可唯一地扩 张为c ( 耳) 上的有界线性算子，并且对于任意的， 0 ，厂g ( 百) ，z 面， u 。，( 口) 0 由磁e s z 表现定理，存在唯一的e 上的有限测度，“( z ，咖) 使 得驴，( 石) = 居，( ) c ，。( 。，句) 显然( u “) 。，o 是豆上的一族核 命题1 1 2 ( u 8 ) 。 o 是百上的r 叼预解式，并且对于任意的互冗，存在 某个a o ，使得互是( 驴) 。，o 的q 一超平均函数 证明参考文献 1 1 2m a r k o v 链的r a y k n 谵h t 方法 设e = 1 ，2 ，) ，我们约定e 上的拓扑为离散拓扑 设( t ) ( i ，j e ，2o ) 是e 上的标准而且诚实的转移函数，对于任 意的i ，j e ，a o ， 嘞( ) 2 j ( e 。姒岫 ，o 。 表示( f ) 02o ) 的l 印l a c e 变换 5 j 2m j r b v 链的r a y - k h 塘h 亡方法 7 由于e 上的拓扑为离散拓扑，所以e 上的函数都是连续函数e 上的 有界函数的全体记作m ，有界非负函数的全体记作m + 由于e 上的函数 可以看作无穷维列向量，所以有时我们把m 和m 十中的元素看作无穷维 列向量我们约定m 和m + 上的拓扑为一致收敛拓扑，即由度量： d ( ，9 ) = s u p l ，( 七) 一g ( 后) i ，v ，9 m k f 诱导的拓扑 对于任意的，m ，e 上的函数i 一鼠k ( ) ，( 忌) 记作凤，由( ) 是e 上标准的转移函数，不难证明： 命题1 2 1 ( 凤) o 是e 上的讹庙d 口预解式，满足假设j j 取爿= 厶( - ) i e u 1 ) ( 其中厶( t ) 表示 七) 的j n d i c a t o r ) ，按照1 1 中的方法，我们可以引入函数类亿、度量d ( ，- ) 、e 的r 皇妒k n i g h 乞紧化 e 、霹上的r a y 预解式( u 。) 。，o 以及非分支点集d ，由定理1 1 1 ，( 泸) 。，o 对应于豆上的一个m a r k o v 半群( 只) 啪 命题1 2 2 设( 豆，d ( ，) ) 是e 的r n g 一国胁紧化，( u 。) 。 o ，d ，( 只) ! o 定 ( i ) e d ： 一秒对于任意的i e ，q o ，u 。( i ，e e ) = o ，并且对于任意的七e u 。( i ，( 女 = 尼陋) 一例对于任意的t e ，t o ，只( i ，可f ) = 0 ，并且对于任意的女e 只( i ， ) ) = m ( ) 8 第一章基础知识 令岛= 和z 面，u 1 ( z ，e ) = 1 ，显然岛是豆的b o r e l 子集 命题1 2 3 设z 点k ，则对于任意的t o ，只( 。，司= 最( z ，e ) ，n s 并且 对于任意的s o ，女e ，只如( 茁， o ，。e + ，p 。 五e = l j “圳x 的转移函数为只( 。，) i m jx 是正规讷 n o m a 埙即对寺任意均z e + ? p 气x o ：砖：l ： 俐对于任意的z e + 以及有界 最) 一停时列丁，t ( 札- ，礼：1 ，2 ，一， t ”t f 丁，e + 的b 。 z 子集r ，尸。 * r v 。野( 。) ：昂( 坼一，f ) 这里的x 不一定具有拟左连续性 以上命题和定理的证明可参考文献f 2 l 定义l 2 l 定理，2 中的x = ( n ，莎，玩，五，巩，p ) 称为p ( t ) 对应的正 规链 第二章m a r k o v 链在& 。上的局部时 2 1 有界过分函数的可加泛函 设廖是一个l u s i n 空问，猡是e 的b o r e l 代数，矿是层上的普遍可 测代数 设x = ( q ，兹，五，巩，p ) 是状态空间为( e ，芎) 的强m a r k o v 过程 ( 参考参考文献【2 】) ，其轨道右连续 令莎o = 盯 五；s o ) 对于任意的( e ，毋) 上的概率测度p ，( 哦莎o ) 上的概率测度厶p ( ) p ( 如) 记作p w ( ) 令莎= n ( 莎o ) 一( 其中( 莎o ) 表 p 示莎。在( ) 下的完备化) 对于任意的t o ，令 舅= n 似i a ( 箩o ) 掣，| b 卿，使得p “( a b ) = o p 即z 是乒? 在莎中关于测度族 ( - ) l ，堤( e ，) 上的概率测度) 的完 备化，且( q ，莎，玩，五，以，p 。) 仍是一个取值于e 的强m a r k o v 过程( 参考 文献 2 】) 假设2 1 1 我们假定： 俐x 的轨道是右连续的 “砂 五) 晓。是右连续的滤子； 圳x 是正规的( o m i o f ) ，即对于任意的。e ，p 。( 凰= ) = 1 9 1 0 第二章m a r 幻v 链在炙上的局部时 在假设2 1 1 下，b u l m e n t h a l0 - l 律成立，即对于任意的a 玩，p ( a ) = 0 或1 x 的转移函数记作只( z ，叻) ，转移半群记作( 最) 脚 定义2 1 1 设，：e r 是一非负可测函数，a 0 如果： 倒对于任意的t o ，e m 只，( z ) s ，( z ) i 一砂l i m t oe m b ，忙) = ，( z ) 则称，( ) 是x 的a 一过份函数如果一砂中的收敛是一致收敛，则称，是 x 的一致a 过份函数 命题2 1 1 设，( ) 是( q ，矿，舅，五，吼，p ) 的有界a 一过份函数，则对于 ( 层，毋) 上任意的概率测度p ，在( t ) 下，过程 k = e 埘，( 五) ；t o 是 舅) 一上鞅，且 m h ! o 有右连续的修正 证明：对于任意的t s 0 ， k i 玩) = e “ e 。，( 托) f 玩 = e 州r 一。，( 五) = e 粕e 一1 ( “) 只一。，( 墨) se 。8 厂( 咒) = k ， 故 k h ! 。是上鞅对于任意的t 之o ，磬拈k 几乎必然存在，记做k + 由 舅) 的右连续性，知k + 是蜀可测的从而 k + 2 m + i 玩 = e “ ，占器k l 羁) = ，点嚣l 。e “ k l c 鬏) k 5 2 j 有界过分函数的可加泛函 而 比) = ，磬h 耳 = ，姆e “e 。7 ，( 墨) = ，曼畏。e “ e 。厂( 墨) i 舅) ) r q ，r l 、。、 = ，! 惩+ e “。 e 。( ”只一。，( 墨) ) r 0 ，r 上亡 。、 2 e “。删，磬l 。e 。只一t ，( 五) )。r e 0 ，r l 。 = e 。，( 咒) = e “ k ) 故m = ，磬h 耳 n a 即 m ) 。有右连续修正 q e d 今后我们假定 m ) 是右连续的 1 1 定义2 1 2 设 a ) t ! n 是适应于 萝；) 的右连续的增过程并且山= o ，p ( ) 是( q ，莎) 上的概率测度若在p ( ) 下，对于任意的适应于 最) 晓。的有界 鞅 a 磊 垃o ，有 e 舰拟。) = e 帆一以。 ，v t o j ( o ，印( o ，嘲 则称 a ) 晓。是p _ 自然的 命题2 1 2 设 a ) ! o 是适应于 玩 的右连续的增过程并且山= o j d f ) 是( q ，莎) 上的概率测度，在p ( ) 下， 尬) 是适应于 玩的右连续的有 界鞅则对于任意的停时t ， e ， 以d a 。) = e 坼a t ) j ( o ，卅 1 2 第二章m a r k o y 链在上的局部时 推论2 1 1 设 a ) t ! o 是适应于 玩) 的右连续的增过程，a o = o ，p ( ) 是 ( q ，岁) 上的概率测度，并且 a t ) o 是尸一自然的n ，n 是有界 玩) 一 停时，且n 亿则对于任意的有界 只) 一鞅 舰) 伽，有 ， e 以。一 4 ，a 。) = e 以一d a 。) j ( 7 l ，丁2 1 定理2 1 1 设 a ) ! o 是适应于( 玩) 的右连续的增过程并且：o ，p ( ) 是( q ，莎) 上的概率测度对于一切t o ，a 可积，则为要 a 是可料 的，必须且只需 a t ! o 是p 自然的 ( 以上命题和定理参考文献 3 ) 命题2 1 - 3 设 a ) 晓。是适应于 羁h ! o 的增过程， ，( ) 是 o ，o 。) 上的非 负连续函数，a o = 0 ，p ( t ) 是( q ，萝) 上的概率测度令 黾= ，( 5 ) d _ 。，v o 如果( a ) t 2 0 是尸- 自然的，则 b f ! o 也是p 一自然的 证明： 在p ( ) 下，对于适定的适应于 玩) 脚的有界鞅 舰) 脚，由于 a ) 是自然的，所以对于任意t o 的，显然有 e 五卅舰姐s ) = e 五闱尬一拍a ( z ，) 从而对于任意的t o 及 0 ，叫的剖分：o = 如 t 1 o 及 o ，n 】的剖分：o = t o t 1 o 以及 0 ，叫的剖分n jo = t o t 1 0 1 销= o ，使得在p 一( ) 下， m + 掣) t o 是 ( 蜀) ”) 一鞅由定理2 1 1 和命 题2 1 4 ，对于任意的t 芝o ，以及【o ，亡 的剖分h ：o = z o t 1 o ，一“ 在三1 ( p ”) 中弱收敛于群因此有掣= 掣，p ”一。矗即掣是玩9 ”可测 的由。羁的定义以及 b l g e p 2 7 等式( 5 5 ) 可知a 是舅可测的由 掣，群的右连续性以及f 的任意性，p 群= 髫，v o = 1 从而对于 任意的z e ， k + 础 t ! o 在p ( ) 下是适应于 织 脚的鞅并且一f 是可 料的 ( 2 ) 令 妊z 。沙鹕v 川 显然 厶) t ! o 是右连续的增过程，l o = o ，并且适应于 舅 渤由定理2 11 1 8第二章m a r b v 链在上的局部时 与命题2 1 3 知 厶) 脚是可料的，且掣= 片e 一1 5 d l 。v t2 o ( 3 ) 对于任意的。e ，有界 舅，一停时丁 o ，t o 以及 o ，t 】的剖分 ：0 = 亡0 t l o ， e 2 z + 。e 一“d 己：i 羁) = e 。 f e 一舳d 工：+ + 。e e 2 e 。5 d 聪i 羁) = e 。5 d e + e j 0 j nj t 舳d 蚓玩 = e 。 e m e 一如d 三：。以) + j 0 = 酽f 8a t 五 + 。一- s d l ： ) j 0 舳d e 峨 如 一e 。z 厂厶噬 十 如 悯小 k 第二章m a r 幻y 链在，上的局部时 故名e 一 8 d e 也是上鞅k 的可料增过程，由d o o b _ m e y e r 分解的唯一性知， 菇e 一舳d e = 掣，v t o ，从而耳= 厶，v t o 即得 厶) 。! 。的唯一性 q e d 推论2 1 2 设 厶) 是a 一过分函数，( + ) 所对应的可料可加泛函，则存在一 列图互不相交的严格正可料时& ，n = 1 ，2 ，使得 厶= e + l s n ，【岛剑 其中f 表示l 的连续部分，上靠= l 岛一l 一为l 的跳跃部分，并且 约定l o 。= 0 证明参考文献 3 定理2 1 3 设，( ) 是x 的一致a 一过分函数且有界，则，( ，) 所对应的满 足定理2 兽中的俐，一t ) ，一训的可加泛函 厶) 是连续的 证明：仅须证对任意的z 曰，在p ( ) 下，有界上鞅 k = e 叫厂( x 。) 是正则的对任意有界 巩) 一停时列 矗 及停时t ，死t 丁由 k 唧 的右连续性知l 脚l i my 五十。= 聆从而 “un 一o 。 船j 骢f 。 圪+ t _ e 。 埽) _ ( 2 “) 侣 嘧县恐e 。 坛+ t ) 2 船0 骢酽 e “孙。，( 地川 。糟! 骢e 。 e 一1 靠e m 只厂( x r + c ) t 1 0n _ 、。 5 2 2m m 士o v 链在氏上的局部时 2 l 由于当tjo 时，e 枷只，( ) 一致收敛于，( ) ，从而有 雷占臻e 。 比+ t ) 2 当骢珊e 。 e 。r e 。只，( 地) = i 翌酽 e 。晶，( 西；) ) n o 。 = j 1 翌日。 魄) n _ 。 再由( 2 l 4 ) ，立得伊 埽) = 墨卷酽 y h ) ，即 k ) 御是正则的上鞅，从而 n ，一o o 一”。 m 垃。所对应的可加泛函 厶 在p 。( ) 下是几乎必然连续的 q e d 2 2 m a r k o v 链在上的局部时 设e = f 1 ，2 ， ，p ( ) = ( ( t ) ) 幻e 是e 上的标准而且诚实的转移函 数，p ( ) 的q 一矩阵为 q 啦! 一q 2他3 啦!蚴一q 3 设x = ( q ，。尹，。织，五，矾，p ) 是p ( t ) 对应的正规链 定理2 2 1 对于任意的z e + ，如果i e 是p ( t ) 的稳定态，则存在随 机变量“l 6 1 。2 6 2 ，使得 “x u ( u ) = i = u k t ( u ) ，6 k ( u ) ) ，p 。n s 七 第二章m a r 幻v 链在& 上的局部时 对于任意的s o ；k 。 = _ p 。 n 所以几乎必然地，。k “，七= l ，2 ，另外，由x 的强m a r k o v 性以及 【4 p 1 1 8 ，第三章3 1 引理l ，对于任意的七， o = p 。 巩 o ，x 在陬，k + e ) 上等于i = p 。 蜀。= i ，魄 o ，x 在 o ，e ) 上等于j ) = p 2 墨。= i ，k 。 1 = 尸。 凰。= i ，k ， 5 2 2a 矗o v 链在s o 。上的局部时2 3 几乎必然地，甄。i ，= l ，2 ，故s ) = u 。( u ) ，靠p ) ) ，pa 一 对于任意的o s o e 。 曲n o ，叫j = 酽f z 。 1 一如( 五) 】d s = z 。 1 _ 叫五酬如_ 0 i 所以m e a s 毋= o ，pn 点 在本节我们假设 假设2 2 1q 是全稳定的并且q 的极小过程中断 对于任意的u q ，令 ) 2 s f s 兰o ，ve o ，在( s e ，s + e ) 中x 有无穷多次跳跃) ， 2 4第二章m a f k o v 链在艮上的局部时 显然在假设2 2 1 下，s 。以正概率非空，s 。是 o ，) 的闭子集，并且 s 。曲包含至多可数个点故m e a ss 。= o ，pn - s 这一节我们所定义的局部时就是m a r l 砌m 链在s o 。上的局部时，首先讨论s 。 与可加泛函的关系 令口= i n f s i s o ，ve o ，在( s e ，s + e ) 中x 存在无穷多次跳跃) ，盯 称为x 的第一个飞跃时间 命题2 2 1 令，( z ) = e ”) ，vz e + ，则，( t ) 是x 的一过分函数 证明：对于任意的t o ， e 。r ，( z ) = e 。 e 。e e 一) ) = 酽 e 一( 帅甜) e 。 e ” = ，( z ) ， 并且当zlo 时，+ 口。巩l 盯，故e 。只，( 茁) t ，( 。) ，从而，( ) 是x 的1 一过 份函数q e d 由定理2 1 2 ，( ) 对应着x 的一个可料可加泛函 厶 定义2 2 2 如果s o 。是自稠密的，则称。是黏性的 注2 2 1 设 五) 是转移函数p ( t ) 所确定的典范链，如果。是黏性的，则 磊) 满足f m 叼o m 向前方程 定理2 2 2 如果。c 是黏性的，则对于任意的z e + ，在p 。下，可料可加 泛函 厶) 是几乎必然连续的 5 2 2 m 缸) v 链在s 矗上的局部时 2 5 证明仅须证明对于任意的z e + ，在p 下，上鞅 e c ，( 墨) ) 脚是正则 的对于任意的有界 最) 一停时列l 咒，n = 1 ，2 ，瓦tt ， ( 1 ) 如果丁隹s 岛，则存在e 0 ，使得( r e ，t + e ) 中最多只有有限个跳 跃，这时存在n ，使得t e o ，上。 o ) ，显然r 是一个 只 一停时并且l r ：o 第二章m a r 幻y 链在5 k 上的局部时 对于任意的z e + ，由口r + 口。靠，并且 e 。和”j = = 酽厂。e 吲l ，。 j 0 酽 e 地e x 一 e 一9 ) = e 。 e 一( r ”) 故r 兄+ 口。2 正p n s 另外，由于氏是自稠密的，所以在 口 t r l k 叼 强 一e e 厂f 酽 酽 2 2a 妇r 幻v 链在s 矗上的局部时 从而o = l r ( 曰，( u ) ) = l 冗。“) + ，一l ，l 。一l ，即t 隹s u p p d 如果，) ，任取r r o 砟( u ) ，l 。 工，所以t s u p p d l 综合上述，咒。= s u p p d l ，p 2 口s 对于一般情况，未必有s 矗= s u p p d l ，pn s q e d 例2 2 1 假定叮3 ，q 4 ，是一列正实数，考虑如下的q 一矩阵 q = 其中g i _ 1 。 l = 3 lo 000o 00o0 00 0 啦一啦 00o 00 铂一吼 o 0 0oo q 5一啦o 2 7 2 8第二章m a r 幻v 链在上的局部时 这时，q 存在诚实的q 一过程x ，并且x 的预解式为 ( ) ( 参考文献f 5 】) l + 1 南赤舀+ ，靠 0 0 南。g ，靠 i f i = = 1 ； i f i = l ，7 2 i f i = j = 2 ； i f i = 2 ，j 2 i f2 j i 由于量吼_ 1 l ，则在p ( ) 下，口= o 。；在p 1 ( ) 下，a = i n f s x ，l 令r = i n f 倒墨1 ) ，显然r 服从参数为1 的指数分布，e 1 e 一7 ) = j 令 k = m e a s s f ss ，k = 1 显然屯是连续的 乒卜可加泛函，并且 又因 r 酽 f 。瑚埘： 0 1 讧碍1 儿 h i 沁l 2 雌三：； 所以如就是，( z ) = 俨 e 一9 ) 按照定理2 1 1 所确定的可加泛函而 s u p p d = o ，丁 s 啬 命题2 2 2 对于任意的z e + ，有r 口，p z o s 证明令 ，i f l r = o ； 兄， i fl 冗o 显然尼仍是 舅) 一停时，并且是l 的不连续点由推论2 12 ，r 作为可 料过程的断点是可料停时存在一列停时乃，n = 1 ，2 ，使得霸tr 1 ，并 且在 r 1 o ，r ( 以) ) ) 墨口( 目。) ) 由x 的 m a r k o v 性以及命题2 2 2 ，p a = 1 对于任意的u a ，s l ) 任给 f o ，取s q 并且t e s t ，显然盯( 以) ) + s t + f 由a 的定 义， 兄( 目。( w ) ) + ss 盯( 以( u ) ) + s o ) = 1 ，所以p 2 o s u p p d l = 1 或 p 。 o 隹s u p p d l ) = 1 5 2 2m a 渤v 链在跽上的局部时 命题2 2 4 设j e ，n = i n f s i s o ，五) ，则r o ，pn s 当且 仅当在 x ，。隹e ) 上p x r ， 盯= o ) 噬l 证明由b l u m e n t h a l0 - 1 律，p 兄= o = 1 或p t r o ) = 1 ( 1 ) 设r 0 ，p ln 矗由于n 是完全不可达停时并且是第一个严格正 的停时，所以厶在丁l 处连续，并且r n 故 口 e 1 = 口 5 d l ) 8 d l ) p e 。1 e * e 1 ) = f e h + ”9 11 ) 从而口= n 十口。口，。，n s ，在 口= 丁l 上，口。口，几乎必然为o 因而 j p 2 n 。，墨，彰e ) = p 2 n o 。，n = 盯 n o 。，n = ，o 田。= o ) p q ，n = 口，p x 7 口= o ) = 1 ) = p 2 t l o 。，矗掣e ，p x 7 - ( = o ) = 1 ) 即在 n o 。，x nge 上，p x r 盯= o ) 些+ l ( 2 ) 如果在 n o 使得p 几乎必然地，对于任意的t o ，菇厶。) ( 砥) d 玩= 。露 ( 墨) d s 证明由定理2 2 4 ， t ( 五) 以。) 是x 的连续可加泛函， 名j ( 咒) 如 也是x 的连续可加泛函，并且它们的支撑都是川x 。= i 的闭包，所以对 于任意的z e + ， p o 。 e 2 e 1 厶，