（基础数学专业论文）uqsl2的余路hopf代数.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本文给出了李代数s f 2 的含一个参数变量的量子包络代数矿g ( s f z ) ( 口不是单位根) 的 箭图d ，并在向量空间后d 上通过定义路的余乘法得到了向量空间忌d 的余代数结构，从 而使向量空间七d 成为一个路余代数，本文记此路余代数为七d c 并且本文在路余代数 是d g 上定义了路的乘法，证骥了这样定义的乘法满足乘法结合律，并且此乘法还是从余 代数张量积后d d0 意d g 到余代数庇d g 的余代数同态，从而在后d g 上通过定义路的乘 法与余乘法给出了路余代数尼d a 的h o p f 代数结构，从面使得后d c 作成u g ( s f 2 ) 的余路 h o p f 代数并且本文第四节具体给出了惫d c 的几种按长度分次的h q p f 代数结构，并把 这释分次酌h o p f 代数结构与汐g ( s 1 2 ) 上的h d p f 代数结构进行了比较，瓜而得出结论： 虽然啪( s z 2 ) 作为余代数可以嵌入到其路余代数庇d g 中，但是作为h o p f 代数，u g ( s 2 2 ) 并不能嵌入其余路h o p f 代数中，体现了v g ( s z 2 ) 上的h o p f 代数结构与其余路h o p f 代数 上的h o p f 代数结构的不同， 最后，本文找到了u g ( s f 2 ) 的一个分次的商h o p f 代数( u g ( s f 2 ) ) 。在第五节本文 证明了矿( u g ( s f 2 ) ) 具有分次的h o p f 代数结构，并证明了夕r ( u g ( s z 2 ) ) 可以h o p f 嵌入 u g ( s ? 2 ) 的余路h o p f 代数中，并给出了驴( u g ( s f 2 ) ) 的一组基 关键词：h o p f _ 箭图；分次余代数；分次h o p f 代数；路余代数； 余路h o p f 一代数 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t h 魄bd i s s e r 乞a t i o n ，aq u i v e rdo f 如eh 0 p fa l g e b a 汐g ( s 1 2 ) ，w h e nqi sn o ta 了d d to f u n i t y w h i c hi sao n 争p a r a m e t e rd e f o r m a t i d no ft h ee n v e l o p i n ga l g e b r ao ft h el i e “g e b r a s 2 2i sc o n s t r u c t e d a n dt h ec o m u l t i p l i c a t i o no ft h ep a t h si nt h ev e c t o rs p a c e 七di s d e 疗n e d 。 i ti sp r o v e dt h a tt h ec o m u l t i p l i c a t i o no ft h ep a t h si sw e l l d e 矗n e d s ot h ep a t h c o a l g e b r as t r u c t 虹eo nt h ev e c t o rs p a c e 麾di so b t a i n e d ，a n di t i sd e n 吼e db y d gi nt h i s d i s s e r t a t i o n m o r e v e r ，am u l t i p l i c a t i o no fp a t l l so nt h ep a t hc o 酊g e b r a 七d gi sd e f i n e d ， a n di t i sp r o v e dt h a tt h i sm u l t i p l i c a t i o ni sw e l l - d e f i n e d ，s a t i s f i e ；t h e 箱s o c i a t i v el a wo f m u l t i p l i c a t 记【l ，f u r t h e r m o r ei t i sac o a l g e b r am o r p h i s mo fc o r t e n s o rp r o d u c t 克d c 克d c t dp a t hc o a l g e b r a 后d c t h e r e f 。r et h eh d p fa l g e b r as t r u c t u r eo fp a t hc d a l g e b r a 后j ) ci s o b t a i n e d ，i ti 8c a l l e dc o _ p a t hh o p fa l g e b r ao f 形g ( s 2 2 ) a 丑di ns e c t i o nf o u r ，s e v e r a lg r a d e d h o p fa l g e b r as t r u c t u r ei sl i s t e d ，c o m p a r e sw i 七ht h eh o p fa l g e b r as t r u e t u r eo fu g ( s f 2 ) ，t h e n c l u 七i o n 乇h 8 乇擘( s 1 2 ) ，a sah q p a ：培e b r ac a n t 蜘幽文遮i t sc p p 瓠h 疆o p f 俎g 由r 酞z 芦， e v e nt h o u 曲i tc a ne m b e di ni t sp a t hc o a l g e b r aa sac o a l g e b r ai so b t a i n e d ，w h i c he x p l a i n s t h ed i 行e r e n c eo ft h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r ab e t 吧e nu g ( s f 2 ) a n di t sc o p a 土hh o p f a l g e b r 出d e f u r t h e 阳1 0 r e ，ag r a d e dq u o t i e n th o p fa j g e b r ai sf o u n d ，9 7 ( u g ( s f z ) ) ，a n di t i sp r d v e d t h a ti tc a ne m b e di nt h ec o p a t hh o p fa l g e b r ao fu g ( s f 2 ) ，a n du s t 8ab a s eo f9 r ( u g ( s 2 2 ) ) ， w h i ( hi st h ec o n c l u t i o no b t a i n e di nt b j sd i s s e r t a 土i o n k e y w o r d s ：h o p f _ q u i v e r ； g r a d e dc o a i g e b r a ；g r a d e dh o p fa l g e b r a ； p a t hc o a l g e b r a ； c c 卜p a t hh o p fa l g e b r a 曲阜师范大学硕士学位论文原刨性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文叻( s 2 2 ) 的余路h o p f 代数，是本人在 导师指导下，在盐阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文 中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：兹髫 啉 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 沙巧 卜 哆f ( o 是c 的余根滤链 定义2 6 f 6 |设c 是一个分次的余代数，c = o n o g ( 扎) ，对任意几o ，令 g = o 洳c ( j ) ，若 g ) n o 是c 的余根滤链，称c 是余根分次的 注在参考文献 6 定理2 2 中已经证明：一个分次的余代数c = o n o c ( 礼) 是余根分次的充分必要条件是岛= c ( o ) ，q = c ( o ) oc ( 1 ) 3 第二节预备知识 定义2 7r 8 】设日是一个h o p f 代数，若日存在向量空间分解：日= o 。o 风 使得对v 佗，m 有 上乙王k 上乙+ m ， h ( 风) 凰。马， + j = n v 礼1 ，日( 风) = o ， 1 日凰，翰( 凰) 玩， 其中日，e h ，勖分别是日的余乘法，余单位，对极，则称日是一个分次的 h o p f 代数 注在一个分次的h o p f 代数日中，凰显然是一个子h o p f 代数，且何z 是 凰一双模，模作用为日中的乘法，余模结构映射为 p f ：风_ 风 日1 ， 和 p t ：h l h 、圆h q 因为 凹( h 1 ) 风oh 1 + 日lo 凰， 所以对vm 日。可以定义 日( 丁n ) = 胁( 7 7 i ) + 胁( 7 n ) ， 其中日是日中的余乘法 定义2 8 1 8 】设日是一个h o p f 代数，若m 是一个日一双模，并且m 还 是一个日一双余模，且左余模结构映射屯：m 一胃m 和右余模结构映射 靠：m m o 日均是日双模同态，即对v 忽日，危o m 打o m ，仇。危7 m o 日 有 九( h om ) = 九1 九7o 九2 m ，( o7 n ) = h 7 h 1om h 2 和 ( 仇o ) = 危l mo 危2 危，( 仇 ) 危= m 忽l0 2 ， 4 曲阜师范大学硕士学位论文 称m 是一个日一h o p f 双模 注设c 是一个余代数，m 是一个c 一双余模，记 掣m z = _ 【m mi 屯( m ) = 秒om ，如( m ) = m z - 以下设g 是一个群，够代表g 的共轭类的集合，任取一共轭类c ，取c 中的一个元素“c ；记叼在g 中的中心化子为忍，则有下面引理： 引理2 9 【2 l 设m = ( ) e 管兀c 留 z d d 七彩若 v 新= o c 管凳goa 龟z c 惫g = e g 管凳g 圆( 结) 2 9 c 则有一个庇g 一日叩，双模结构，其弘分支为 且 其中吼是g 中的元素使得 并且作为老琵_ 模有 k g 圆m c 圆k z ck g y ( m ) 茹= zo 慨0 吼， 玎1 札( c ) 仇= z 一1 f ， u ( g ) y ( m ) 12 讹 定义2 1 0 【8 】设c 是一余代数，m 是一个g 一余模，结构映射为0 与函 定义m 口0 = c ，m 口1 = m ，当佗2 时，礼次余张量积m 嘶定义为后一映射， 的核，其中 m 肌上( m oc r o m o 0 m ) o ( m o m o g o o m ) 0 0 ( m o m o o g o m ) 即，= ( 瓦i d o i d i d 圆盈o 记，i d o 辞 纪o 记一i d 纪。盈o i d ， ，记ot d 圆o 露oz d 一纪。纪p oi c f 圆函) 令 c d 乃( m ) = co m om 口2o om 昧o ，。 5 第二节预备知识 则c d 乃( m ) 具有余代数结构，称c d ( m ) 为余代数c 上关于双余模m 的余 张量余代数 其中g o 冕( m ) 上的余单位元e ，余乘法为 e i m 口t = 0 ( i 1 ) e i g = g c ， l c = g ， m = 屯o “ 并且对。 2 仇1o o 仇n m 喻有 ( m - 。 m n ) = 屯( m 1 ) 。m 2 。 仇。十7 n 1 。( 磊2 。m n ) + + ( m 1o 仇2 圆m n 1 ) 圆m n + f m 1pm 2o om 。一lo 如( 仇n )+ ，m 1pm 2o om 一l06 只( 仇n ) j - _ _ _ j ( eom 吼) o ( mom 口( 竹一1 ) o o ( m 口( n 一1 om ) o ( m 口noc ) c d 乃mo c o 死( m ) ， 引理2 1 1 1 5 】设妒：x _ c d 冕( y ) 是一个余代数映射：= 矶妒：x _ y 队， 其中p n 是从c d 死( y ) 到y 的投射则讥：x _ c 是一个余代数映射， 砂1 ：x _ y 是一个c 一双余模映射，其中x 的e 一双余模结构是由咖诱导 的；当傩2 对，讥是通过复合 ：x 今x 。x 掣xpx x _ _ x 。x 。x 堡y 肌 给出的一个c 一双余模映射即妒是由讥和妒l 唯一决定的 反之，令妒o ：x _ c 是一余代数模映射，妒1 ：x _ y 是一c 一双余模映 射，妒。：x0y 骱是上面定义给出的复合那么妒n 是一c 一双余模映射，且 j r 仇( ) v 口n 如果对于每一个z x 有有限个i 使得以( 。) o ，那么 矽：= 二妒i ：x _ c d 乃( y ) 是一余代数映射 6 曲阜师范大学硕士学位论文 3 路余代数 定义3 1 f 3 】给定一个箭图q ，以q 中的路为基组成向量空间后q ，余乘法和 余单位定义为： 设p 是惫q c 中任意一个长为z 的路， ) = p 。q ， 叫= r 蓦 则向量空间七q 作成路余代数，记为七酽。 例如，若q 是这样一个箭图， 则 ( j ，y a ) = j ，y aoe 1 + j 7oq + 6 ，y a + 岛oj ，y q 注对任意箭图q ，当礼o 时，居骗作成南q o 一双余模，其中余模结构 映射为： 屯0 ) = ) p ，j r ( p ) = p s ( p ) 并且作为余代数有 后国g2g b 死q 。( 尼q 1 ) 从而由定义2 1 0 知路余代数实际上是余代数南矾上的关于余模七q - 的余张量 余代数，所以具有泛性质 设( c ，) 是一余代数，记g ( c ) 为c 的类群元的集合，则 定理3 21 5 】g ( 尼q c ) = 饥 7 上，三 第三节路余代数 证明由的定义，任意z q o 有( z ) = zoz ，所以q o g ( 后q e ) 任取 z g ( 尼q g ) ，贝0z = z oz z ，z z 忌q f 断定当2 o 时轨= o 事实上，若仇o 是使得z m o 的最大的数，则 ( z ) = zoz = z m z m + s ， 其中s 是其它的项 因为z moz m 后q mo 后q m ，( z ) 中剩余的项均不在忌q mp 尼q m 中又 z = f 0 规中幻的项都不在忌q mo 后q m 中，矛盾! 因此z ；q 。q e l 是鼠 同样可证存在龟钆使得z = e ； - 定理3 。3 1 4 】路余代数克q c 是点化的 证明设c 是忌q g 的任一单子余代数，只需证明 e 曼是q g = 惫g ( 乏q g ) ， 事实上，因为c 是有限维的【8 】，彬，通过变形可以假设c 的一组基为可 满足 玑= a + 翰， 其中ph 是两两不同的路，满足 2 ( p i ) ，。1 0 m ) ， 所有的甄均是+ l ，p n 的尼一线性组合，并且p l ，舫+ l ，是 q 中两两不同的路重新组合它们的下标使得f ( p 。) f ( 乃) ，1 冬j 礼 断言f 慨) = g 若不然，设z 白- ) o ，则 ( y 1 ) = 1 + z 1 ) = p 1os 1 ) - 一 8 曲阜师范大学硕士学位论文 其中z 是任意元素，t 中没有形如p 。 z 的项 因为( 1 ) coc ，且coc 的基是奶。弧，1 j ，后侃从而 1 ) = y 1o ( o l y l + 十) 十s m m = p l q 乃+ p 1 。巧 j = l j = l 竹l m + z 1 。约+ z 1 。q 巧+ s ， + z 1ol 约+ z 1 o q 巧+ s ， j = l j = l 其中s 中不含形如p 。qz 的项 ( 1 ) 当5 1 ) = 珊时，1 歹礼，贝= 1 ，吼= o ，i 歹 即 白1 ) = p lo 乃+ p 1 巧+ z l 如+ z 1o 巧+ s ， 若巧= o ，则= 功= s 0 1 ) c ，因为c 是单的，所以c = 七协， 从而c 是q o 莓巧q ，( 卑) 式右边有p 1 巧，但t 中没有这项，矛盾! ( 2 ) 当s ( p ，) = 跺- 吩巧时，则存在o 面( 事) 式右边有p zo 叼乃，t 中没 有此项，矛盾! 所以f 1 ) = o ，从而cs 忌q o 综上知路余代数七q c 是点化的 一 定义3 4 f 6 】定义( s z 2 ) 的箭图： 设分次余代数c = o n o c ( n ) ，定义c 的箭图q ( c ) = ( q 。，q 。) ，其中q 。= g ( g ) ，为类群元的集合，的， q o ，夕到 的箭向的个数为b m 其中 这里c ( 1 ) 是c ( o ) 一c ( o ) 双余模，参照定义2 8 若e 是余根分次的，则称q ( c ) 为g 的g a b r i e l 箭图 注根据 6 j ) ( s f z ) = o 。o c ( 札) ，其中对任意n 姚：c ( 几) 是( s z ：) 的子空 间，其基为 k 2 e j ，j ，汁歹= 行，z z ，类群元为g ( ( s f 2 ) ) = k 。j2 z ) 9 第三节路余代数 显然 c ( o ) = o l z 后，c ( 1 ) = 印彻i k 2 e ，k fi ；z ) 定理3 5 ( s 2 2 ) 是点化的舶代数 证明令g = ，即由k 生成的群，令c ( o ) = 七g ，c ( 1 ) = 惫g ( o ) e + 后c ( o ) f + c ( o ) ，贝l jc ( o ) c ( 1 ) ，且满足： ( 1 ) 作为代数( s ；z ) 是由c ( 1 ) 生成的，并且单位元1 c ( o ) ( 2 ) c ( o ) c ( o ) oc ( o ) ，c ( 1 ) c ( 1 ) oc ( o ) + c ( o ) oc ( 1 ) 由参考文献f 8 】p 7 6 中定理5 5 2 知( s f 2 ) 是点化的h o p f 代数 _ 定理3 6 对每个非负整数霭，令c ( 铭) 是( s 1 2 ) 的子空问，其基为 k 蜀乃 + 歹= n ，f z ) 则 ( s f 2 ) = o 。o c ( n ) 是分次的余代数 证明取c ( 礼) 的一个基元素k 忍乃，2 z ，i + 歹= 钆，因为( s f 2 ) 是h o p f 代数，所以其余乘法，余单位e 都是代数映射所以 ( 最乃) = ( k ) ( e ) ( f ) 由引理2 2 知 e m k n = g 一2 m n k n e 7 n ， f m k n = 9 2 m 靠k n f l m 所以 ( e k ) ( 1oe ) = 9 2 ( 1o 刀) ( eok ) ( 一1of ) ( fo1 ) = 9 2 ( fo1 ) ( k 一1 f ) 所以由二项式展开公式知 c e ，= 塞矿。一一( 二) e 弘。e 7 k 。r ， 1 0 所以 曲阜师范大学硕士学位论文 c f ，= 妻9 8 u 一8 ( 三) f 5 j f u s ) 。f 巧一5 ( 托且乃) l ， ff 口r t _ 一一1 r = o8 = 0 。一r ，一s 。一司+ 2 。二r ，u 一( 三) 弼一u 一，) 忍一r 尼ok + ( 一，) 历乃一。 则 j 毛一。一，) 置一，：c ( z r + s ) ， 托+ a 一，) 耳乃一。g 0 + r s ) ， 并且 一r + s ) + 0 + f s ) = i + 歹= 讥 所以 c ( 礼) c ( i ) 。c 0 ) 件= n 由s 的定义知 5 ( c ( o ) ) = 1 ，( c ( 佗) ) = o ，礼1 所以( s 2 z ) = o n o c ( 几) 是分次的余代数 嗣 推论3 7 ( s f 2 ) = o n o c ( n ) 是余根分次的 证明由定义2 6 易证 一 在( s 2 2 ) 中，= k 2lf z ) ；当( f 1 ，f 2 ) ( 2 ，z 一1 ) 时，有2 c ( 1 ) k h = o ， 且k 卜1 g ( 1 ) 耳2 = 南k h eo 惫f 所以根据定义3 4 ( s ：2 ) 的箭图足这样的形式 记这个箭图为d 第三节路余代数 注由推论3 ，7 知 o n o c ( n ) ) 是余根分次的，所以由定义2 5 知 g ：= o i n c ( z ) ) n 2 0 是似。) 的余根滤链从而d 是( s 2 z ) 的g a b r i e l 箭图 设j = 1 ，一1 ) ，p 是c a r t e s i a n 积规定j o = o ，定义= u n 2 0p 对每个 掣，若。j n ，定义川= 礼，记影为移= ( 影1 ，) ，其中吩= l 或一1 对每个 f z 以及 ，定义碍口= n m o ：o ，是d 中以硒开头长度是川的路，其 中若= 1 箭向哟代表上箭向，若= 一1 ，箭向，代表下箭向 例如， 砰就是向量k 2 ，记为e ；碍1 ( 或碍- 1 ) 是d 中从到k 2 一z 的上 ( 下) 箭向显然 是d 的路的集合 o g ( 铭) 是分次的余代数，c ( o ) 是其类群元令 q ( g ) 是上面定义的关于c 的箭图则 门j 有分次的余代数映射妒：e 一七q ( g ) 。 俐多是单的当且仅当c 是余根分次的此时称q ( c ) 是c 的g 口6 衍e ；箭图 证明参照 6 】一 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 4 ( s f 。) 的路余代数七d c 的h o p f 代数结构 设g 是一群，够代表g 的共轭类的集合，函数r ：够一姚称作分歧数， 记为r = c 锣r c c 定义4 1 【2 l 设r = c 管r c c 为群g 的分歧数，对应的h o p f 箭图q ( q 0 ，q 。) 记为q ( g ，r ) ，其中q o = g ，任意z q o ，c g 够，从x 到c ) c 有r c 个箭向 注在一个h o p f 箭图中，因为z c = 扛凹一1 净，其中z 凹一1 是属于c 的，所以 从z 到z c 也有r d 个箭向， 定理4 2 上面构造的( s f ：) 的箭图d 是一个肋万箭图 证明因为( s f 2 ) 的类群元为g ( ( s f 2 ) ) = 【k lf z ) ，由定理3 5 知( s f z ) 是点化的h o p f 代数，所以g ( ( s f z ) ) 是一个群，且它的每个共轭类都只含一个 元素，取r ；2 陋一1 】，从而d 可以看成是群g 关于分歧数r 的h o p f 箭图一 定义4 3 f 5 】一个路a 的n 一分裂是指路的一个序列( o n ，q 。) 使得q = o n n 1 定义4 4 【5 】一个路。的n 一细分裂是指路的一个由箭向与点组成的序列 ( a n ，- ) 使得 口2q n q 1 注任意路q ，q 的余乘法 ( a ) = 口2 。 ( c 屹a l = a ) 其中和取遍路口的所有2 一分裂( a ，) 对p n ，记锑是。和l 的p 二序列的集合，使得1 的个数是n 对 d = ( d l i ，如) 绷，令a 维n 是d 的补序列，即d + a = ( 1 ，l ，1 ) 笺堕蔓坠垡! ! 鲤堕金垡垫生里! 丝望2 垡垡鏊笙塑 易知i 勿嚣+ ”l = ( n ： 1 ) 定义4 5 f 2 】设口是长度为n 的路，d 维n 定义 d q = ( ( d q ) p ，( d q ) 1 ) 为a 的矽一细分裂，其中若盔= o 时，( 如) l 是点；若c f t = 1 时，( d q ) ；是箭向 可以看出如是由q 的p 一细分裂唯一决定的 引理4 6 设q 和口分别是长度为几与m 的路，d 维n ，令 ( a p ) d = 【( d q ) 仇+ n ( a p ) m + 。】 ( d 口) 1 ( 面p ) 。 是七相中的元素，其中f ( 如) - ( 动) 妇代表凳q o 在碉t 上的双模作用则。与 卢的乘积可表示为： q p = ( a - 阢 矗! l 贸+ n 引理4 7 令a ，p ，y 分别是长度为m ，仃，2 的路，则引理彳6 定义的乘法满足 结合律，即 ( 乜p ) 7 = a 7 ) 引理4 8 设q 是一箭图，q o 是一群假设七q l 有一七q o 一日印，双模结 构，结构映射就是定义了j 中的盈，玉，则路余代数尼q c 存在一按长度分次的 h o p f 结桷 引理证明参阅 5 】一 下面分部构造老d d 上的h o p f 代数结构： 第一步：构建一个后gh o p f 一双模y ( m ) ， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 因为g ( ( s f 。) ) 是一个交换群，所以定义2 5 中对vc 够，都是七g 一 模vk 。七g ，设蚴是一右的后g 模，设 m = ( 舰) f z m 。砒g ， f z 因为r = 2 陋一1 】，所以若f = 一1 ，出m 肌l = 2 ；若f 一1 ，垅m m = o 从而可以设 m l = 尼l u l + 后一1 口一1 ， 其中 其中七，尼一。意，且右的七g 模作用为 ( ：二) k = ( ：兰：) ( ：) 地( r ) ，为实数域冗上的2 阶矩阵 如果我们定义两个函数 f1 ， 岛= 【o ， i = 1 = 一1 则右的七g 模作用又可以表示成 一 fo ， 赴= 【1 ， i = 1 i = 一1 饥= e 南，劢( 三：兰兰) ( ：。) ，i = 1 她10 2 2 ，u 一1 ， 左忌g 模看成平凡模作用，即 根据定义2 8 ，因为 k ( 三二) ：( ：。) y ( m ) = o f z 南g 舰 = 尼g o ( 忍l 口1 + 七一l 可一1 ) = 印。礼 k 2 1 ，k o 可一ll ：z ) ， 所以y ( m ) 作成七g i i o p f 双模 注在下酉的应用中我 们设a ：f 吼1 21 勘10 2 2 1 5 1 1 吼 观 ， 笙堕蔓坠垡! ! 塑整金垡錾墨里! 塑里竺巫垡塑箜塑 第二步：定义后p l 的七d o = 七gh o p f 一双模结构 定义妒：d l 一 k 2o 仇if z ，i = 1 ，一1 ) ，任取蜀( k 一k h ) d 1 ， ( 碍) = k 。o 饥 则妒是一个映射，且易证是双射 所以把后d 1 与y ( m ) 等同，得到忌d 。的七gh o p f 一双模结构其中七d o 双 余模结构映射为 屯：忌d 1 _ 七d oo 忌d l ，砰一t ( 砰) 巧， 如：孟d 1 一七d 1q 后d o ，砰一砰os ( 砰) 例如，对i = 土1 有 和 k 碍= k ( k q 仉) = k 件1o 仇= 最 碍n k = ( k 。o 仇) = k z + 1o 仇k ( 也，瓦) ( 如，爵) + 1 口1 、 1 “o 可一1 ， 荆) p 澄) j 第三步：利用后d 。的南风h o p f 一双模结构定义路余代数惫d c 的乘法 ( 1 ) 南风中点的乘法为群中的乘法：即 ( 2 ) 忍d - 中箭向的乘法： v2 ，s z ， e z e s = e z + s 设碍，掣，是七d ，中分别以z ，s 为起始点的两个箭向，其 士1 ，j = 士1 ，规定 = ( 1 6 中z ，s z ， = 、l，j，、l，j， 挖 船 挖 s j 0 0 0 0 1 1 ， l 1 2 1 2 0 0 0 0 、j，嘴矸矸 曲阜师范大学硕士学位论文 若记后d o 中的向量为e l ，2 z ，则对任意f ，s 冱， i ，歹二士1 ，有 ， 碍碍= ( ( 砰) 碍) ( 碍s ( 曰) ) + ( 辟t ( 只) ) ( s ( 砰) 碍) = ( g 卜。只) ( 碍矿) + ( 砖”1 ) ( e f + 1 瑶) = 磁c 屯，劢a 8 ( 嚣) 邶润二卜1 ( 毒二：) 瞄 = 辑闻r ( 毳二：笔) 邶澜妒1 ( 篙：毳) ( 3 ) 当取惫d g 中长度是m ，钆的两条路只( 训，砖u 时，由引理4 6 知 群矽= ( 矽江 由引理4 7 ，我们知道这样定义的忌d c 中的乘法满总结合律，且是余代数映射， 从而由引理4 8 知七d g 存在一按长度分次的h o p f 结构 第四步：定义庇d g 的对极s 由引理4 8 知庇d e 存在分次的r h p p f 代数结构，所以对极s 存在 又 8 】中s 的定义为： m ( s o i d ) = 7 7 e ， 其中m ，露，分别是奄移c 的乘法，余乘法，单位，余单位， 从而在后d g 中，vf z ，由 ( e j ) = e z 圆e j ，g ( e f ) = 1 ， 知 s ( e f ) e z = e f s ( e z ) = 7 7 ( e ( e f ) ) = 7 7 ( 1 ) = e o v 曰d l ，i = 士1 ，由 ( 矸) = e f lo 辟+ 辟 e f ，( 矸) = o ， 知 e 2 _ 1 s ( 碍) + 辟s ( e 2 ) = s ( e j 一1 ) 碍+ s ( 曰) 砰e l = o 1 7 从而根据第三步定义的乘法知 晌卜m 列) 类似的对v 秽，n ，由路硝v 的余乘法及余单位e ( 碍 ) = o ，我们可定义出 s ( 碍卅) 从而当a 取遍所有的尬( 冗) 中的2 阶矩阵时，惫d c 取遍所有按长度分次 的h o p f 代数结构 定义4 9 【- o 】设q 是一h o p f 箭图，分歧数为r ，则由箭向余模决定的分次 的h o p f 代数瑶；( 惫q 。) 称为余路h o p f 代数 推论4 1 0 由定理4 2 ，以上构造的具有按长度分次的h o p f 代数结构的路 余代数七d g 是( s z 2 ) 的余路h o p f 代数 注( s f 2 ) = o n 2 0 c ( 礼) ，c ( 礼) = k 2 pif z ，i + 歹= 竹) n n 是余代数分次 的，但易知( s 2 2 ) 不是代数分次的( 例如若取e g ( 1 ) ，f c ( 1 ) ，则由( s 易) 的 乘法知e f f e = 等爷彰c ( 2 ) ) 故( s ：。) 具有一不分次的h o p f 代数结构；但 由 5 知( s 2 。) 的余路h o p f 代数上的h o p f 代数结构均是按长度分次的，从而有 定理4 1 1 设日是一点化的胁代数，则作为舶代数， 日不能完全 嵌入到其余路日研代数克d e 中，即日与其余路凰吖代数七d g 的任意子舶 代数均不同构 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 5 ( s z 。) 的对偶的b a b r i e l 定理 先回忆一些有用的结论设c 是一余代数， g ) n n 是其余根滤链 定理5 1 f 6 ，删】 f ，觑佗e m 口仃一觑蜘磁夕设c ，d 是余代数，：c d 是余 代数映射，满足，i a 是单的，则，是单的 设g ( g ) 是余代数c 的类群元，任意z ，3 ，g ( c ) ，存在z 一3 ，斜本原元只，v ( c ) 的子空间，v ( c ) 使得 则 r ，v ( c ) = 七 一矽) o ，v ( c ) 定理5 2 1 6 ，筇8 】( t o 一w 讥帆) 设c 是一点化的余代数，类群元g ( c ) = g ， 俐a = 七g o ( o 础g e ，y ( c ) ) ， 俐v 钆l ，c 仅，有c = 训gq 舯 其中( q ，f ) = g ，可 。+ 秒圆q ，! + 叫，训g 一1 q - 1 定理5 3 m 一8 5 28 】令日是一点化的舶代数， 玩) n n 是其余根滤链， 则_ 风) - 是一肋刀滤链当且仅当凰是日的子胁代数 定理5 4 日是一点化的舶代数，令 ( 日) ：= 凰。日l 日oo o 玩玩一1o ， 则( ) 具有分次的胁代数结构 证明( 1 ) 代数分次 1 9 笙垂蔓坠( 些2 笪壁堡笪堡些! ! ! ! 宣垄： 定义( 日) 中的乘法 m ：矿( 日) 旷( 日) 一矿( 日) ， ( + 风一1 ) o ( z m + 日一1 ) h + m + 玩+ m 一1 ， 且眇( 日) 中的单位记为7 7 ：矿( 日) 后 则由李代数【1 1 】知这样定义的乘法及单位使得( 旷( 日) ，m ) 具有分次的代数结构 ( 2 ) 余代数分次 定义矿( 日) 中的余乘法 7 ：( 日) 一妙( 日) 0 9 r ( 日) ， + 玩一1 一( 戤+ 凰一1 ) 。( 巧+ 坞一1 ) ， t 卅2 n 余单位 ：9 7 ( 日) 一向， 凰h1 ， h n h m lh q 则( 矿( 日) ，) 作成余代数且由于 以) 是一个h o p f 滤链，显然有 ( 玩一1 ) 风凰一- o 马马- 1 t + 0 = n 即( 日) 是余代数分次的 ( 3 ) 保持对极s 定义眇( 日) 的对极s 为 s ( z n 十玩一1 ) = 翰( z 。) + 风_ 1 ， 其中勘为的对极则s 是反代数同态：即 s ( ( 轨+ 皿一1 ) ( 巧+ 坞一1 ) ) =s ( 苁 + 皿+ j 一1 ) s k ( 卅) + 吼+ 卜1 = s ( 巧+ 马一1 ) s ( 以十凰一1 ) 2 0 曲阜师范大学硕士学位论文 因为 7 ( z n + 1 ) = ( 耽+ 甄一1 ) 。( + 岛一1 ) ， i 手j = n 所以由对极s 的定义知 s ( 兢+ 丑一1 ) ( 巧+ 马一1 ) ) = ( 戤+ 凰一1 ) s ( 巧+ 一1 ) 十s ( 甄+ 鼠一1 ) ( 巧+ 马一1 ) = ( 勖( 戤) + 甄一1 ) ( 巧+ 冯一1 ) + ( 甄+ 甄一) ( 如( 巧) + 马一1 ) = ( 如( ) 巧+ ( 吻) ) + 甄句一1 = 秘( 戤卅+ 凰+ j 一1 ) = q 从而s 是矿( 豆) 的对极，且s ( 甄皿一1 ) 皿甄4 综上知9 r 旧) 具有分次的h o p f 代数结构 _ 推论5 5 ( 日) 是日上的商觑吖代数 证明定义 西：仃叫9 7 ( 日) z nhz n + 风一l ， 则由于 以) 再n 是h o p f 代数滤链以及步( 日) 的分次的h o p f 代数结构易知多是 h d p f 代数满同态 _ 推论5 。6设日= ( s 吼如果c ( 死) = k l 旁印 i + 歹= 礼，f z ) ，则 g ：= o o s 选n g ( i ) ) 竹n 是的日0 滤链 证明由推论3 7 知 ( g ：= 9 g n g ( ) ) 是何的余根滤链，又由定理3 5 知( 5 f z ) 是点化的h o p f 代数，所斟由定理5 3 知 瓯：= o o s 5 n c ( i ) ) 是日的h o p f 滤链 _ 2 l 注取e + g ，f + 岛q g ，则由( h ) 中的乘法知 又在( s ：2 ) 中 所以 ( e + 岛) ( f + 岛) = e f + q ，。 e f 一朋= 箐， e f + c l = f e + c 1 若我们用z 表示( s ：。) 中的元素，虿表示夕r ( 日) 中的元素，则 有 丽= 丽，霄= k ，丽= g 一2 瓦瓦丽= 9 2 丽 引理5 7f 8 】设c 是一个余代数，g ( g ) 是g 的类群元的集合，比，y g ( c ) ， t 。，! ，= 疵m 七可c ( 1 ) 2 = 出m ( ( 七s 人七。) ( 忌。+ 后y ) ) = 垅m 七忍，v ( c ) 一1 即定义7 彳中的q ( c ) 中，妇到幻的箭向个数是比m k 足，掣( c ) 一1 c h i n 与m o n t g o m e r ) r 【1 】已经证明：若c 是一个点化的余代数i 则c 可以嵌 入到七q ( c ) 中使得 c 2 七( q ( c ) ) oo 七( q ( c ) ) 1 这是点化余代数的g a b r i e l 定理特别的我们考虑( s 协 陈小伍【6 】有下面的结论： 当g 不是单位根时，存在唯一的余代数嵌入6 i ：( s f 2 ) 一尼d g 使得 其中2 为任意整数 口( k 。) = e f ，口( k h e ) = 巧，口( k f ) = 碍一， 即( s ：2 ) 可以看成其路余代数七d g 的子余代数，从而可以通过其路余代 数后d g 的余表示得到( s 2 。) 的余模 2 2 曲阜师范大学硕士学位论文 下面我们讨论( s f 。) 作为h o p f 代数的情况： 引理5 8 f 5 1令：x c 优c ( y ) 是余代数映射，西n ：= r 妒：x v 既是 投射则多d ：x c 是余代数映射，1 ：x y 是c 一双余模映射，其中 x 的c 一双余模结构由o 诱导的对扎2 以：x 全x 。x 掣x 。x x _ _ x x 。x 塑二y 。n 即由，唯一决定 定理5 9令日= ( s z 2 ) ，对上面定义的 矿( 圩) ：= 岛oq o og g le 作为日上的商舶玎代数具有分次的日o 代数结构，并且在路余代数七d g 上 存在一舶结构a 使得存在一分次的协嵌入( 日) qa 满足 9 r ( 日) 三意( d ) ) do 后( d ) ) l ，“ 证明( 1 ) 由第四节知日= ( s f ：) 的路余代数七d c 上存在分次的h o p f 代 数结构选取这样的h 。p f 代数结构，定义为a j 对任意z ，y g ，设r ，y ( 日) = 忌 一y ) o ，掣( 日) ，则由丁o 一m d 礼定理知 g 岛= o 列g ，”( 日) 又因为在q 。中，从z 到矽的箭向的个数正好等于反m 七v ( ) ，从而在映射 p ：而一只1 ，刀万一r - 1 下，我们可以把- 1 尼q f 与砭懈( 日) 等同在 这种意义下，任意一个k 2 到k 卜，的箭向碍，i = 士1 ，k 砰与碍均是日中 非平凡的k 一础斜本原元，即碍与竹k 均是q 。中从e 到e i 的箭向 从而根据第四节定义的路的乘法有 e l 碍= 硪l ，丘1 e 1 = g 一2 硪l ，彳1 e 1 = 9 2 置暑， 其中e z ，从而对f ，s z ， ，歹= 士l 有 砰碍= ( ( 硝) 名) ( 耳5 ( 碍) ) + ( 硝t ( 砖) ) ( s ( 片) 碍) = ( - 1 碍) ( 爿e 8 ) + ( 碍e ”1 ) ( e 冲1 碍) = q 地磁“硪。+ q 一2 ( s 一1 硪取。 笙至堇坠型! ! 丝堕金垡鏊坌堡! 笪坚竺里! 垡墼堕塑 从而a 有按长度分次的h o p f 代数结构 ( 2 ) 单余代数同态 设：旷阻) _ 9 r 饵) o = 岛2 惫g 是雪r ( 日) 上的投射使得粕陋2 ) ：q ， l ：矿( 日) 叶9 r ( 日) i _ a 岛= o 础g ，v ( 日) 型七d z 是双余模映射使得 。( 雨砸) = 开，妒- ( 丽) = 彳1 定义 众：9 7 ( 日) 生眇(