（光学专业论文）噪声的有色性和噪声之间的耦合对生物系统的影响.pdf

骥蓬夔矗垂毽叠墼塞袭鋈麴整佥墼塞擞蓬羹羹垂夔 室塞楚垂 摘要 本文主要研究了噪声的有色性和不同噪声之间的祸合对生物系统的影响。分析 了l o g i s t i c ( 虫翻) 增长模型的襁变类比现象、几率密度幽数的定态分巍和瞬态行为， 分褥了p r e d a t o r - p r e y ( 攘食者食锤) 模燮的平均蓄遥辩闻帮隧掇共强瑷象，探讨 了j # 对称周期性系统中受力相关棘轮的流与效率的最优化问题。 首先，用统一色噪声近似理论分析了含有色噪声的l o g i s t i c 增长模型的定态分 布函数，发瑷绦声裙关薅阕f 稻噪声闻豹耩台x 臻麓诱等一缀裙变类院帮重复相交 现象。运用两种不同色噪声的近似理论，将描述激光系统涨落的瞬态含时几率密度 函数的强度相关聪间和有效本征值的概念引入到l o g i s t i c 系统中，研究发现噪声间 静藕合及噪声的有色性对砧g i s t i c 增长模鬃豹瓣态行羹裔重要的影响。 其次，用解析的方法研究了由外加周期性信号和耦合噪声共同驱动的 p r e d a t o r - p r e y 模型中的平均蓠次通过时间鄹随枫共振现象，分析了p r e d a t o r - p r e y 模 羹瓣平均蕾逶时阉稠隧穰菸羧爱噪声静霄镪往和噪声之黼藕合静影蹶，讨论了备参 数的作用。 最后，在食霄藕合的乘性噪声的周期性系统中，分析了由噪声诱导的布朗粒子 静输运现象，对稻合噪声驱渤下受力棘轮瓣漉帮效率躲藏饶伲阕遂遴行了讨谵。 关键淘：色噪声，有效本锻俊，强度相关对闽，蘧枫熬攘，漉和效率豹最优化 豫者：旋键 攒导老师：朱士群教授 噪声的有色性和噪声之间的耦合对生物系统的影响英文摘要 a b s t r a c t t h ee f f e c t so f n o i s ec o l o ra n dt h ec o u p l i n gb e t w e e nn o i s et e r m so nd i f f e r e n c ek i n d s o fb i o l o g i c a l s y s t e m s a r e i n v e s t i g a t e d i n t h i s p a p e r t h ep h a s et r a n s i t i o n l i k e p h e n o m e n o n ，t h es t e a d ys t a t ed i s t r i b u t i o na n dt h et r a n s i e n tb e h a v i o ro ft h el o g i s t i c g r o w t hm o d e la r ea n a l y z e d t h em e a nf i r s tp a s s a g et i m ea n dt h es t o c h a s t i cl s o n a n e ei n ap r e d a t o r - p r e ym o d e la r eo b t a i n e d t h ec u r r e n ta n dt h eo p t i m i z e de f f i c i e n c yo ft h e r a t c h e ti na na s y m m e t r yp e r i o d i ce x t e m a lf o r c ea r ed i s c u s s e d f i r s t l y , t h es t e a d ys t a t e s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h el o g i s t i cg r o w t hm o d e lw i t h c o l o r e dn o i s ea r ea n a l y z e dw h e nt h eu n i f i e dc o l o r e dn o i s ea p p r o x i m a t i o ni sa p p l i e d i ti s f o u n dt h a tt h en o i s ec o r r e l a t i o nt i m ea n dt h ec o u p l i n gb e t w e e nn o i s et e r m sc a ni n d u c e f i r s t - o r d e r - l i k ep h a s et r a n s i t i o na n dr e e n t r a n c e p h a s et r a n s i t i o np h e n o m e n o n b y a p p l y i n gt w od i f f e r e n tk i n d so f c o l o r e dn o i s ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d s ，t h ec o n c e p t so f t h e i n t e n s i t yc o r r e l a t i o nt i m ea n dt h ee f f e c t i v ee i g e n v a l u eo ft h et i m ed e p e n d e n tp r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt od e s c r i b et h ef l u c t u a t i o n si nal a s e rs y s t e mc a nb eu s e dt oa n a l y z e t h el o g i s t i cg r o w t hm o d e l i ti sf o u n dt h a tt h ee f f e c t so ft h en o i s ec o l o ra n dt h ec o u p l i n g b e t w e e nn o i s et e r m si sv e r yi m p o r t a n ti na l o g i s t i cg r o w t hm o d e l s e c o n d l y , t h em e a nf i r s tp a s s a g et i m ea n ds t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nap r e d a t o r - p r e y m o d e li ss t u d i e da n a l y t i e a l l yw h e naw e a kp e r i o d i cs i g n a la n dc o u p l i n gb e t w e e nn o i s e t e r m sa r ei n c l u d e di nt h es y s t e m t h ee f f e c t so fn o i s ec o l o ra n dc o u p l i n gb e t w e e nt w o n o i s et e r m so nt h em e a nf i r s tp a s s a g et i m ea n dt h es t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nt h es y s t e ma r e i n v e s t i g a t e d t h ee f f e c t so f o t h e rp a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e d t h i r d l y , t h et r a n s p o r tp h e n o m e n o no fb r o w n i a np a r t i c l ei n d u c e db yn o i s ei na p e r i o d i cs y s t e mi si n v e s t i g a t e d w h e nt h ec o u p l i n ga n dm u l t i p l i c a t i v en o i s ea r e i n c l u d e di nt h es y s t e m t h ec u r r e n ta n dt h eo p t i m i z e de f f i c i e n c ya r e i n v e s t i g a t e d w h e nt h ef o r c e dr a t c h e ti sd r i v e nb yt h ec o u p l e dn o i s e k e yw o r d s ：c o l o r e dn o i s e ，e f f e c t i v ee i g e n v a l u e ，i n t e n s i t y c o r r e l a t i o n t i m e ， s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，c u r r e n ta n do p t i m i z e de f f i c i e n c y w r i t t e n b y j i ns h i d i r e c t e d b y p r o f e s s o r s h i q u nz h u i i v 7 8 1 3 9 7 苏州大学学位论文独创性蓐鞠及使羯援投戆毒鞴 攀健论文羧剑 生枣鲻 本人郑筵声蛾：辨携交酶学证论文是奉人农嚣拜瓣籀学下，藏立 避行研究工作掰取襻的残采。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含蒸谴个_ 夫或繁藩已经发表或攒写过鲍麓究成鬃，瞧不会蠢获褥苏 辩| 丈攀或其它教骞撬捣熬学位证书露使鬻过辩奉孝瓣。对本文静研究俸 滋莛簧贡献瓣个天翻襄体，均蠢在文中戳螭确方式标凌。奉太承撵本 黟明的法德爨柽。 研究生签名：塑塑基 攀证论文使粥授权声鞴 麓；堕：竺丝 苏难大学、辛嚣科学菠术簧惑错究掰、蕊豢鋈书毽、瀵挚大学论 文合作部、中因社科院文献信息情报中心有权傺留本人所送交学搜论 文熬复露静鼹邀子文楼，褥隰暴臻影棼、缝露蠛冀缝复越竽段探存谂 文。本久电子文耧豹丙容稻纸质论文躺内容糯致。除窳保密期肉的 探密论文辩，允谗论文被燕阕积镁阕，霹以公褥彀括燃登) 论文靛 全部或耨分漆容。谂文戆公毒( 毯括制登) 毅援苏蔫六学攀链办办矮。 袋炎生签 释师麓名 鼗 筒 麓：堕兰。垄 期：趔鳟 噪声的有色性和噪声之间的耦台对生物系统的影响第一章引言 第一章引言 1 1 噪声对非线| 生系统的影响 一般说来，物理系统在运动时相对于平均值存在着一定的涨落，引起涨落的主 要原因是系统中存在噪声。从噪声的起源来看，噪声一般可以分为两类，一种是系 统的内部动力学所产生的内噪声，另一种是外部环境的运动对系统的影响所产生的 外噪声。由于一个小的随机力在一定的条件下，对确定性的非线性系统的演化起决 定性作用，所以，非线性系统中随机力的研究一直受到人们广泛的关注，如激光系 统的统计性质、非平衡系统中的噪声诱导相变类比、双稳系统的平均首通时间以及 随机共振现象等等 卜5 。 非平衡相变是在远离平衡态的突变现象，研究由噪声诱导的非平衡相变是非线 性随机理论中的重要内容 6 一1 0 。激光是自组织现象的一个典型例子，随着和外界 联系( 泵浦，损耗等) 的变化，光场从无序相到高度有序的激光相 8 ，9 。阈值以 下，光子数服从高斯分布，呈现热光场的无序分布；阈值以上，光子数服从泊松分 布，成为相干光场的有序分布。人们对各种激光模型中噪声诱导的非平衡相变类比 进行了研究，得到了很多有意义的结果 1 l 一2 2 。在以往的研究中，人们研究的重 点主要是系统的定态行为，而分析系统随时间的演化问题才能更全面的反映噪声对 系统动力学行为的影响。在实际激光系统中，人们往往用强度相关时间和有效本征 值来描述激光场的动力学统计性质 2 3 2 5 。 生物系统中的肿瘤是一种异常的组织团，不具有生理功能。对肿瘤的研究表明， 引起肿瘤的特异性细胞并不是毫无节制地疯狂增长，而是具有自组织能力的复杂的 非线性随机动态系统。由于内部运动和外部环境的影响，在系统运行过程中会产生 噪声。近年来文献中提出了许多肿瘤生长的数学模型，较为代表性的有l o g i s t i c 增长模型、g o m p e r t z 指数模型和v o nb e r t a l a n f f y 模型等 2 6 3 1 ，这些模型描述 的都是典型的非线性随机系统，同激光系统有很多类似之处。 一个非线性双稳系统，在小周期信号和弱噪声共同驱动下，随着输入噪声强度 的增大，系统输出功率谱中调制信号的频率处出现一个峰值。发生随机共振时有部 噪声的有色性和噪声之间的耦台对生物系统的影响第一章引言 分噪声能量转化为信号能量，系统输出信号被放大，同时输出噪声被抑制，信噪比 提高。目前随机共振的研究大多集中在朗之万方程上 3 2 3 5 。 构成生物体的最重要的物质是蛋白质和核酸，核酸承担着遗传信息的传递，蛋 白质分子的运动形成生物的运动。这种运动的蛋白质分子，也称为分子马达，它们 能高效地将贮藏分子中的化学能转换成机械能，产生协调的定向运动。目前，分子 马达的动力学理论是进行了大量简化后的物理模型，有关的物理模型有三类 3 6 4 1 。分子马达的热棘轮模型就是解释分子马达的理论模型之一。分子马达在 热波动下有高效能的转换，噪声对分子马达效率的影响是非常有意义的研究课题 4 2 4 4 3 。 1 2 本论文研究的主要内容 描述生物系统的l o g i s t i c 增长模型，是用来分析细胞增长尤其是肿瘤细胞增 长的模型之一 4 5 4 7 。在以往的研究中，主要考虑了白噪声对系统的影响，在本 文中我们考虑了l o g i s t i c 增长模型中噪声的有色性和不同噪声之间的耦合，研究 了噪声之间的耦合及噪声的有色性对系统的定态行为和噪声诱导相变类比的影响。 我们将描述同激光系统涨落的瞬态含时几率密度函数有关的强度相关时间和有效 本征值 2 3 2 5 引入到l o g i s t i c 系统中来，研究了噪声之间的耦合及噪声的有色性 对系统的动态行为的影响。 自从k r a m e r s 提出非线性系统的逃逸问题 4 8 以后，逃逸问题得到了广泛的研 究，系统的平均首次通过时间( m f p t ) 和逃逸率作为衡量逃逸过程的尺度 3 ，1 5 。4 9 ， 5 0 。我们对具有双稳势的两个种群相互作用的捕食者一食饵或称为寄生物一寄主 ( p r e d a t o r p r e y ) 模型进行了研究，用解析的方法分析了由外部周期性信号和耦合 噪声共同驱动的p r e d a t o r p r e y 模型中平均首通时间和随机共振现象 4 9 ，5 1 ，5 2 。 讨论了平均首通时间和随机共振受噪声的有色性和噪声之间耦合以及系统各参数 的影响。 本文对含有耦合的乘性噪声的布朗粒子的输运现象进行了研究，对耦合噪声驱 动下受力棘轮的流和效率的最优化进行了讨论。 噪声的有色性和噪声之间的耦含对生物系统的影响第二章l o g i s t i c 增长模型中的色噪声 第二章l o g is t i c 增长模型中的色噪声 2 1统一色噪声近似和定态分布函数 统一色噪声近似是将含有色噪声的非m a r k o v 过程近似成m a r k o v 过程。j u n g 和 h a n g g i 5 3 ，5 4 用统一色噪声近似理论讨论了激光系统的定态分布和驰豫时间问 题，理论预期值和数值模拟的结果符合得很好。统一色噪声近似的优点在于对噪声 的强度和关联时间没有任何的限制。 肿瘤细胞的增长可以用l o g i s t i c 增长模型来描述： 竺：删一撕2( 2 1 1 ) 讲 式中，x 是细胞数，口是细胞增长率，b 是细胞衰减率。考虑到一些外部因素，如 温度、药物、辐射等能够改变细胞的增长率，产生乘性噪声，同时这些因素能够直 接抑制细胞数的增长，产生加性白噪声。这两种噪声有相同的起源，可认为彼此是 耦台的。所以l o g i s t i c 增长模型可以描述成如下的随机微分方程 4 7 ： 皇；：甜一b x 2 + x s o ) 一r ( r ) ( 2 1 2 ) a i 式中，s ( ，) 是高斯色噪声，f ( t ) 是高斯白噪声，其统计性质可由它们的一次矩和二 次矩表示为： = = 0 ：d e x p 卜止讪 = 2 口d ( t - t ) = 2 a d a d ( t f 。) 其中d 和口分别为色噪声和白噪声的强度，f 是色噪声的关联时间 的耦合强度，并有一1 兰z 蔓1 ，两种噪声之间的耦合是白噪声。 运用统一色噪声近似方法，朗之万方程( 2 1 2 ) 可以表示为： 鲁= 百南( 甜耐) + 百南 瓜阶而】 ( 2 1 3 ) 五为噪声之间 ( 2 1 4 ) 罐声熬有垂洼秘嚷声之瓣趣藕合j l 重生谚系统靛影螭 第二章l o g i s t i c 增长模型孛麴色骧声 烈甲4 ( 0 和口( ，) 为商斯臼噪芦镉以p 性质： = = 0 掌o ) 孝( f ) = = 2 6 ( t f ) ( 2 1 5 ) 掌( f ) 叩( f 。) = 2 3 , 8 ( t 一，) 方程( 2 1 4 ) 静攒导是在条传( 1 痨习1 【5 3 5 5 下褥到黝，羔为缀滤数，荬毽大予 零，相应的福克方程为： o p ( x , t ) ：一o a ( x ) p ( x , t ) + 0 2 b ( x ) p 。( x 一, t ) ( 2 。1 6 ) 0 to xo x 2 在上式中，漂移系数彳( x ) 和扩散系数联芹) 分别为： 蔗( x ) ：( a x - b x + ! 坠丛丝二! 丝；墨塑! 丝!7 ) 一 ( 14 - r b x )( 1 + r b x ) 3 b ( x ) ：坐型掣 ( 2 1 8 ) f l + r b x ) 2 以上推导艨满足的边界条侔是：x = 0 辩，p ( o ，f ) 寄隈；工斗m 露，p ( ，f ) 啼0 ； t - , o o 时，p ( x ，a 。) j 只( x ) 。得到稳态概率分布函数为： 特聊+ 酬脬一一删时西如2 4 _ 2 + 半甓， 其中： 一丽1 雨( ( 2 a 2 - 1 ) 虽( t a b - 2 2 r b 2 埘+ 以居+ 警唇旺。， ，= 去。+ 警删居砌2 居卅，一三 泣川， 毒 噪声的有色性和噪声之问的耦合对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增k 模型中的色噪声 以垆( 1 + 也) ( 瓜千厄尸。x p r ：b 。2 x 丛+ ( t a b t - 2 r 方b z c 坠d - b ) x = 虽( 嘶2 层呲口层警居 y = 击警z 居( r a b - t - 2 r b z 卅， 2 2 一级相变类比和重复相变 稳态的极值可以通过求方程堕孥塑：o 得到 a x ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) r 2 b 3 x 4 + ( 2 r b 2 一口f 2 b 2 ) p + ( 6 2 r b a ) x 2 + ( d a + r b 2 厩) x 一( r 妇+ 五面) = o ( 2 2 1 ) 由笛卡尔符号法则和s t u r m s 理论，可以推导出a ，d ，五和r 之间的关系。图1 ( a ) 给出了当耦合强度a 从0 到1 时( d ，a ) 的参数图，参数图被分为两个区域， d a 图1 为不同噪声耦合强度z 时一级相变类比参数区( d ，d ) 。参量选取为： f = 1 0 ，b = 0 1 ，t 2 = 3 0 ，图1 ( 日) 中，一丑= 1 0 ，一一一五= 0 5 ，z = 0 。 图1 ( b ) 中， 一一z = 一0 3 ， 一一一z = - 0 5 ， = 一1 0 。 忐。 噪声的有色性和噪声之问的耦台对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增k 模型中的色噪声 在区域i ，稳态概率分布函数有一个峰。在区域i i ，稳态概率分布函数有两个峰和 一个谷。区域i i 的形状象牛角，当五增大时，牛角的顶点向较大的d ，a 值处移动， 上边分界曲线却几乎不变，下边分界曲线抬高，区域i i 的面积减小。同时发现有重 复相变现象 4 9 ，5 8 6 0 1 ，即在合适的a 值处，随着d 的增大，稳态概率分布函数曲 线从一个峰到两个峰再回到一个峰。类似的，在合适的d 值处，通过调节a ，稳态 概率分布函数曲线也会有重复相变现象发生。图l ( b ) 给出了耦合强度 从一1 到0 时( d ，a ) 的参数图。参数图被分为三个区域，在区域i ，稳态概率分布函数没有 极值，是细胞数x 的单调减函数。在区域i i ，稳态概率分布函数有。个峰和一个谷。 在区域i i i ，稳态概率分布函数有一个峰。区域i ，i i ，i i i 的分界曲线为水平曲线并 随着耦合强度五的增大而抬高。区域i i i 的面积随五增大而扩大，区域i ，i i 的上边 分界曲线的最小值点随a 的增大向较大的( d ，a ) 值处移动，而分界曲线上边界却 几乎不变，出现一级相变类比现象 1 ，5 9 。 图2 给处出了稳态概率分布函数随x 的变化情况。图2 ( a ) 给出了当耦合强度 兄为0 5 时，对于相同的d 值，不同的a 值时的概率曲线。曲线a ，b ，“c ”的 xx 图2 给出了稳态概率分布函数随x 的变化情况，参量选取为：f = 1 0 ，b = 0 1 ，t t t = 3 0 ， 图2 ( a ) 中五= 0 5 ，曲线a ，b ，c 分别对应图1 ( a ) 中点( 0 5 ，5 ) ，( 2 5 ，5 ) ， ( 4 5 ，5 0 ) ，图2 ( b ) 中五= 一o 5 ，曲线d ，e ，f 分别对应图1 ( b ) 中点 ( 0 5 ，2 0 ) ，( 2 0 ，2 0 ) ，( 2 0 ，0 2 5 ) 。 6 篓耋墼童垒黧璺! 登篓查塑箜壁垒整墨望墨堑箜墅黧笙三童! 黧蹬! ! 登墨簦型奎签垫麓妻 参数为隧l ( b ) 中的点“a ”，“b ”，“c ”。爵以看到疆鼗的从单峰到蛾峰再回攀峰的 羹复疆雯糯象。爨态躐率分布函数繇鹣巍穗遗着靠熬攒黧嚣躐，l 、，蜷魏谴鬟霸较大 的x 值处移动。通过增大a 僮，脾瘸缭腮的发生概率念受到榔涮。瞬中益线“a ” 在小x 值处鸯个尖蜂之后遗速减小剿0 说明当a 馕竣小时概零圭襞分布在x 小饿 懿。登线“b ”，“c ”为小甭懿静分糍说骥瓣瘗绥溅魏发篷藏率缓小毽胃魏发燕在不 丽的x 值娥，增大a 值辩概率曲线十分缓慢的减，j 、铆0 。图2 ( b ) 绘出了当藕合强 度a 为一0 5 时对不同的d 馕嬲a 值时的稳态概率分布函数睫x 的变化悸况。曲线“d ”， “e ”，“f - 戆参数为委l ( b ) 孛黪患“d ”，“e ”，“r 。稳态撬率分露爨蘩密观默攀 调递减鹫峰一谷再到鼯酶的一级相交灏眈现象。程较小盼d 镳和较大的a 德处， 稔悫概率分奄殴数峰缀糍，说明当增大纲脆增长率和减小柔性噪声强度鞋毒，昱孛瘗绷 麓稳发生疆枣蜷大。麴线“d ”，“e ”为露寇狰篷霹，不黼麴a 缓熬糍率羹线。麴线 “d ”中，肿瘸细胞的稳态概率分布涵数为单调减函数，说明在a 德较小处，概率 分糍随着细胞数的增大蕊减小。曲线“e ”中，脾瘸绸臌翡稳态概率分布丞数的燎 兹麓度穰鬣嚣虽努毒臻广，滋麓瓣癌缨藏鹣发生凝率缀，l 、毽可簸发生在不弱热x 麓 处。瞎线“o ”，“f ”为固婕a 德，不闭的d 值时的概率酾线，曲线“f ”中，在缅旅 数为中等傻处寄一个缀菇舱橇睾峰但隧蕊d 谴的蠛小瓣逐速减小至0 。 灸了说鞠碟声之鬻麴龋合对稳态擞率分毒函数躬影穗，圈3 缭蹬了警五羧变辩， 圈1 中点( a ，b ) 的概率分布曲线。图3 ( a ) 取f = 1 0 。五0 。黼3 ( b ) 取f = 1 , 0 ， 童0 。由圈3 ( a ) 可以慧溅，稳态穰搴分布函数隧饕冀的增大，从一个峰列疆蜂 一务器劐一蜂静交德。对予五o ，交豫孟霹默连续熄麸送域l 到嚣域 雾髫剿区域 l ，即重复糨变w 以通过滤续敬变五而靛生。从图1 ( a ) 也可以撩副发生重复相变 的隧域缀小。f = l l 躅3 ( b ) 可殴篱出，豫态麟率分蠢聪数隧簧五的增大，扶擎蜓减小 爨一漳蛰褥刭一蜂瓣窝纯。对手蠢- - o 5 ，变纯童疆菝运续建，虢嚣蠛l 翻区城i l 弼 剥聪域i i i ，即一级相变可以通过连续改变五而发生。 圈4 ( 8 ) 缭墩了当冀= 0 5 孵，f 从0 。5 变化到l ，5 辩( d ，a 瓣参数墅，参数 零蔽分是嚣个嚣域。在嚣域 ，稳悫簸搴分布丞数鸯一夺媾。程嚣域i ，稳悫概搴 分布函数有两个峰和一个钤。睡域i l 的彤状也象一个牛角，当f 增大时，牛角的顶 点巍较，l 、的( d ，& ) 僮鲶移动，两左边分器趣线熬麓f 壤大藤自上移瀵豹速度抉予 噪声的有色性和噪声之间的耦合对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增k 模型中的色噪声 簋 正。 图3 为当噪声间耦合2 改变时，图1 中点a ，b 的概率分布曲线。参量选取为 r = 1 o ，b = 0 1 ，口= 3 0 ，图3 ( a ) 中0 五1 0 ，曲线对应图1 ( ) 中点 ( 1 6 4 ，2 8 ) ，图3 ( b ) 中0 丑一1 0 曲线对应图1 ( b ) 中点( 0 4 ，o 2 5 ) 。 o 口 图4 为不同噪声相关时间r 时一级相变类比参数区( a ，d ) 。参量选取为 b = o 1 ，口= 3 0 ，图1 ( a ) 中 = 0 5 ，图1 ( b ) 中 = 一0 5 ， 一f = 1 5 ，一一一r = 0 5 ，r = 1 0 。 8 冁声瓣袁色毪霸臻声之霹抟耩台霹生物系鲮翡嚣镌第二章l o g i s t i c 增长模型孛笛色蝾声 右边分界曲线，从而区域i i 的面积随着f 增大而增大。同时发现有煎复相变现象， 在合适的a 夔处，殖着d 豹增大，稳态概率分布函数虢线出现扶一个峰到两个峰瓣 回到一个峰。类似的，在合避的d 值处，通过增大a ，稳态概率分布黼数曲线也会有 熏复相变现象发生。图4 ( b ) 给出了当耦台强度丑= 一0 5 时( d ，a ) 的参数图。参数 图被分巍三个送域，在区域i ，稳态概率分东遗数没鸯辍毽，是缨臌数x 的单调递 减函数。在区域l l ，稳态概率分布函数有一个峰和一个谷。在区域l l l ，稳态概率分 布函数有一个峰。区域i ，i i ，i i i 的下边分界曲线为水平曲线并随糟色噪声关联时 越的增大两捻离。区域i l i 的鬻积随f 增大薅扩大，区域i ，珏豹上边分爨煞线随f 鹣 增大而拾高，稳态概率分布函数睡线出现一级相变类院现象。 图5 给出了稳态概率分布函数随x 的变化情况。参量选取为：r = 1 0 ，b = o 1 ，口= 3 0 ， 圈5 ( 痒) 中矗一0 5 ，鏊线路，b ，c 分别辩应霉4 ( 撂) 孛点( 2 0 ，l + 5 ) ，( 2 0 ， 3 5 ) ，( 2 0 ，5 5 ) ，图5 ( b ) 中五= 一0 5 ，曲线d ，e ，f 分别对应阁4 ( b ) 中点 ( 0 。5 ，2 ，0 ) ，( 1 。5 ，2 + o ) ，( 1 + 5 ，0 。1 ) 。 闰5 给出了稳态概率分布函数随x 的变化情况。图5 ( a ) 给出了当稻合强度五 为o 5 时对于相阎的a 值，不同的d 值时的概率曲线。曲线“a ”，b ，“c ”的参数 为灏4 ( a ) 中靛点“a ”，“b ”，“c ”。霹戳溪到强显豹从攀峰到双蜂露翻到单蜂豹黧 复相变现象。稳态概率分布函数峰随着d 的增加而从个峰变成两个峰再回到一个 峰，峰的高度减小，峰的位鬣向较小的x 德处移动。通过增大d 值，肿瘤细胞的发 9 噪声的有色性和噪声之同的耦台对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增长模型中的色噪声 生概率会得到加强，同时肿瘤细胞的最可几概率位置向小x 值处移动。曲线b ， “c ”的分布有长长的尾翼，说明肿瘤细胞的发生概率减小到0 的速度十分缓慢。 在较小的x 值处，肿瘤细胞的概率分布随d 值增大而增大。对比2 ( a ) 和5 ( a ) 说明，固定d 值，增大肿瘤细胞的增长率可以使概率分布减小。如果固定a 值，增 大噪声强度可以使概率分布的峰值的高度略有增大。图5 ( b ) 给出了当耦合强度五 为一0 5 时对于不同的d 值，不同的a 值时的稳态概率分布函数随x 的变化情况。曲 线d ，“e ”，f 的参数为图4 ( b ) 中的点d ，“e ”，“f ”。稳态概率分布函数出现 从单调递减到一峰一谷再到单峰的一级相变类比现象。在较小的d 值和较大的a 值 处，稳态概率分布函数的峰很高，说明增大细胞增长率和减小乘性噪声强度时，肿瘤细 胞的发生概率加强。对比2 ( b ) 和5 ( b ) 说明，固定d 值，增大肿瘤细胞的增长率 可以使概率分布减小。如果固定a 值，增大噪声强度可以使概率分布的峰值的高度 略有增大。 图6 为当噪声相关时间f 改变时，图4 中点a ，b 的概率分布曲线。参量选取为： r = 1 0 ，b = 0 1 ，口= 3 0 ，图6 ( a ) 中 = 0 5 ，曲线对应图4 ( a ) 中点( 3 0 ，5 5 ) ， 图6 ( b ) 中五= 一0 5 ，曲线对应图4 ( b ) 中点( 0 4 ，0 2 ) 。 为了说明噪声的关联时间对稳态概率分布函数的影响，图6 给出了当r 改变时， 图4 中点a ，b 的概率分布曲线。图6 ( a ) 取兄= 0 5 ，图6 ( b ) 取 = 一o 5 。由图 6 ( a ) 可以看到稳态概率分布函数随着f 的增大，从一个峰变到两峰一谷再到一峰 噪声的有色性和噪声之间的耦合对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增长模型中的色噪声 的变化。对于 0 ，变化f 可以使稳态概率分布连续地从区域i 到区域i i 再回到区 域i ，即重复相变可以通过连续改变r 而发生。由图6 ( b ) 可以看到稳态概率分布 函数随着r 的增大，从单调减小到一峰一谷再到一峰的变化。对于丑 0 ( 2 t 3 5 ) g 心) 兄压i 胬l 堕妻竺塑鱼丝塑堕皇兰塑箜塑鱼堕当物系统的影响第二章l o g i s t i c 增长模型中的色噪声 考虑到一些外部因素，如温度、药物、辐射等能够改变细胞的增长率，产生乘 性色噪声，同时这些因素直接抑制系统细胞数，产生加性白噪声。这两种噪声有相 同的起源，可认为彼此耦合。l o g i s t i c 增长模型可以描述成如下随机微分方程 4 7 】： 鲁喇也2 + x o o ( 旷w ) ( 2 3 6 ) 占( ，) 是商斯色噪声，r p ) 是高斯自噪声有如下统计性质： = = 0 ：丝e x p 一幽 - 2 筘( t - t ) ( 2 3 7 ) - 2 2 4 d ae x 小止丑】 2 乇 式中，d ，t 2 分别是乘性噪声和加性噪声的强度，r 为乘性噪声的关联时间， 9 2 为 耦合噪声之间的关联时间，参数五表示加性和乘性噪声之间的耦合程度，旯 0 时， 噪声之间存在正耦合；五 0 时，噪声之间存在负耦合：五= 0 时，噪声之间不存在 耦合，即两种噪声是相互独立的随机变量；丑卜1 时，噪声之间的耦合最强。 导出同方程( 2 3 6 ) 相对应的福克一普朗克方程 3 ，6 0 】： op(x,t)一oa(x)p(x,t)+02b(x=_)p：广(x,t) ( 2 3 8 ) o to x缸2 7 其中： 一( z ) ：i ( a x - - 五b x 2 ) + ( d + r l 丁b t c ) x - i b a r i - x ( 2 3 9 ) 一 ( 1 + 如) ( 1 + r i b x ) 3 7 弛，= 等 旺，m ， 盯：墨巫 ( 2 3 1 1 ) ( 1 + 南) 当，。，型塑盟：o 由方程( 2 3 8 ) 可得到定态概率分布函数只( x ) ： c 3 t o t 噪声的有色性和噪声之间的耦台对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增长模型中的色噪声 洲州，坝肛：咖咖等+ ( r , a b _ 2 争1 , _ l c r , f f 一_ b ) x 岫魄去睾， 其中： = 击( ( 2 柚) 扣警+ 言慨。一b d 匈功一暑击警) ) ，：六( 口+ 譬+ 再2 1 ( ( r l a b - 2 t c r i n ) 一丢 ，2 面+ 才+ 萨而d ) ) 一互 n 为定态概率分布函数p f ( x ) 的归一化常数。 ( 2 3 1 4 ) 图8 给出了不同噪声间耦合强度旯下稳态概率分布函数只( x ) 随x 的变化情况 当噪声之间为正耦合时，定态概率分布函数只( x ) 有一个峰值。噪声间耦合强度五从 0 到1 0 时，日( x ) 在细胞数较小值处出现的概率减少，同时圪( z ) 的峰值变高。当 噪声之间为负耦合时，只( z ) 有一个峰值并在细胞数较小值处出现一个谷值。噪声 之间耦合强度五从0 到一1 0 时，只( x ) 在细胞数较小值处的概率增大，同时己( x ) 的 峰值变低。 图9 ( a ) 为噪声间耦合五= 0 5 时，色噪声的关联时间从0 0 变化到5 0 ，定态 概率分布函数只( x ) 在细胞数较小值处出现的概率减少，只( x ) 的峰值变高同时向细 胞数较大值处移动。图9 ( b ) 为噪声间耦合 = - - 0 5 时，定态概率分布函数只( x ) 有一个峰值并在细胞数较小值处出现一个谷值。色噪声的关联时间1 从0 0 变化到 5 0 时，定态概率分布函数只( x ) 在细胞数较小值处出现的概率减少，同时只( x ) 的 峰值变高并向细胞数较大值处移动。 图1 0 给出了不同噪声互相关时间r 2 下稳态概率分布函数只( x ) 随x 的变化情 况，当噪声耦合强度五= o ，5 时，耦合噪声的关联时间从0 0 变化到5 0 时，定态概 1 4 壁苎塑塑鱼丝翌些主奎卿姆揭鱼烈生塑墨篓的影响第= 章l o g i s t i c 增始模型中的乜噪声 图8 给出了不同噪声间耦合强度五下穗态概率分布函数乓( x ) 随x 的变化情况，参 精选取为：r i = o 5 ，屯= 0 5 ，6 = o 1 ，搿= 3 0 ，口= 1 , 0 ，d = 0 3 。 墨 j ： ( a ) j ! 、= 5 0 艨。 + 。t ， 051 01 52 0 2 5 xx 烫9 麓不嚣噪声窦鞠关时闼t 下稳态壤攀分布遁数咒( 工) 随x 豹变化 主况。参嚣选 取为：如= 0 5 ，b = o 。1 ，群= 3 0 ，抒= 1 0 ，d = 0 3 。凰9 ( d ) 中l = 0 5 ，图9 ( 5 ) 中丑= 一0 5 。 率分布函数最0 ) 在细胞数鞍小假处出现的概率减少，只。( x ) 的峰值变高同时向细胞 数较大值处移动。名= - - 0 ，5 时，只( 工) 有一个峰值并在细胞数较小值处出现一个谷 噪声的有色性和噪声之间的耦合对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增眭模型中的色噪声 值。耦合噪声的关联时间f ：从0 0 到5 , 0 时，只，( x ) 在细胞数较小值处出现的概率减 少，只( x ) 的峰值变高同时向细胞数较大值处移动。图1 0 还说明t 2 从0 o 到0 5 ，只( z ) 的曲线差异很小。 x 图1 0 给出了不同噪声互相关时间t 下稳态概率分布函数只( x ) 随x 的变化情况。参 量选取为：f 1 = 0 5 ，b = o 1 ，口= 3 0 ，a = 1 o ，d = 0 3 。图1 0 ( 口) 中丑= 0 5 图1 0 ( b ) 中五= 一o 5 。 2 4 癌细胞增长模型的有效本征值和强度相关时间l 为全面了解噪声间的耦合和噪声的有色性对系统的影响，就要对福克普朗克方 程的瞬态含时解进行研究。方程( 2 3 8 ) 的一般含时解可写成如下形式 2 3 - - 2 5 ： p ( z ，t ) - - 厶p ( x ) 饵，( x ) e x p 一五。明 ( 2 4 1 ) 0 为系数，o ) 为本征函数，五。为本征值。本征函数和本征值满足如下形式的薛 定谔方程： ( 等高茅) 掣堕嘏州州= 。 ( 2 4 - 2 ) 噪声的有色性和噪声之间的耦合对生物系统的影响 第二章l o g i s t i c 增k 模型中的色噪声 其中 y r z l ：三塑+ 三型1a ( x ) d b ( x ) 2d x 4 曰( x ) 2b ( x ) d x 这样系统的有效本征值锄和强度相关时间i 就可以通过下式计算 其中： 锄= 五 正= ( ) ，u n 爿f 妣2 篆警1 2 ( 而i 再) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 ，6 ) 要得到有效本征值锄和相关时间i ，首先要算出薛定谔方程( 2 4 2 ) 中的本 征值a 。和本征函数吼( x ) ，然后再用方程( 2 4 3 ) ( 2 4 6 ) 计算。 图1 1 为噪声间耦合丑取不同值时，有效本征值和相关时间正随参量口的变 化a 从图1 1 ( a ) 可见，当噪声之间的耦合从负变到讵，日8 时，有效本征值锄的 数值随噪声间耦合五的增大而增大，增大噪声间的耦合可以抑制系统的涨落。当 8 a s l 0 时，噪声之间的耦合对系统涨落的影响较小。从图1 1 ( b ) 可见，当臼8 时，相关时间r 的数值随噪声之间耦合的增大而减小。增大噪声之间的耦合可以抑 制系统的涨落。当8 a 1 0 时，噪声之间的耦合对系统的涨落影响不大。 图1 2 为色噪声自关联时间取不同值时，有效本征值也。和相关时间i 随参量 a 的变化。从图1 2 ( a ) 和1 2 ( c ) 可见，有效本征值五，的数值随色噪声相关时间r 的增大而略有减小，增大色噪声关联时间可以增强系统的涨落。从图1 2 ( b ) 和1 2 ( d ) 可见，相关时间正的数值随色噪声关联时间的增大而明显增大，增大色噪 声关联时间可以增强系统的涨落。当a 8 时，系统的涨落不受的影响。从图1 2 噪声的有色性和噪声之间的耦台对生物系统的影响第二章l o g i s t i c 增长模型中的色噪声 可见，噪声耦合的正与负对系统的有效本征值丸，和强度相关时间i 的影响相同。 图1 3 为噪声关联时间r 2 取不同值时，有效本征值和相关时间i 随参量口的 变化。当噪声耦合强度五= 0 5 时，有效本征值以，和相