（基础数学专业论文）子群的c正规性、θ子群偶对有限群结构的影响.pdf

子群的c 一正规性、p 一子群偶对有限群结构的影响 摘要 本文研究子群的c 一正规性和一般真子群的日一子群偶与有限群的结构 之间的关系。主要结果如下： ( 1 ) 利用s y l o w 子群，2 一极大子群的c 一正规性得到了有限群可解的一些 充分条件。 ( 2 ) 利用2 一极大子群的口一子群偶得到了一系列有限群可解，幂零的结 果。 ( 3 ) 利用s y l o w 子群，s y l o w 子群的正规化子的口一子群偶给出了有限群可 解，超可解的条件。 关键词：c 一正规子群p 一子群偶可解群幂零群 作者：南爱玲 指导老师：黎先华教授 t h ei n f l u e n c eo fe - n o r m a l i t ya n d0 一p a i r so fs u b g r o u p sa b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo fc n o r m m i t ya n do - p a i r so fs u b g r o u p s o nt h es t r u c t u r eo f f i n i t eg r o u p s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sa n d t h ec - n o r m a l i t ya n d0 - p a i r so fs o m es u b g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ns o l v a b l i t yo ff i n i t eg r o u p sb yt h ec n o r m a l i t yo fs y l o ws u b g r o u p sa n d2 m a x i m a ls u b g r o u p s ( 2 ) w eo b t a i ns o m er e s u l t so ns o l v a b i l i t ya n dn i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p sb yt h e0 一 p a i r so f2 - m a x i m a ls u b g r o u p s ( 3 ) w eo b t a i ns o m er e s u l t so ns o l v a b l i t ya n ds u p e r s o l v a b l i t yo ff i n i t eg r o u p sb y0 一 p a i r so fs y l o ws u b g r o u p sa n ds y l o wn o r m a l i z e r s k e y w o r d s ：c - - n o r m a ls u b g r o u p0 - p a i r s s o l v a b l eg r o u p n i l p o t e n tg r o u p s i i w r i t t e nb yn a na i l i n g s u p e r v i s e db yp r o f l ix i a n h u a 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：苗整型1日期：巡耋生且i 峰a 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括千i j 登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：苗遂遮日期：建垡a ! 帼 导师签名 黎l 。车日期 ! ! ! ! 兰圭日i 牛“ 子群的c 一正规陛、口一子群偶对有限群结构的影响 引言 引言 从子群出发来研究群的结构，是研究有限群的结构的一个基本方法， 而利用一些特殊子群的性质来刻画有限群的结构在有限群的研究中占有很 重要的地位。为了寻找刻画或揭示群的结构的好方法，人们引入了一些概 念，有力地推进了有限可解群论的发展。 在( 1 中，王燕鸣教授介绍了c 一正规的概念，并证明了群g 可解当且仅 当g 的每个极大子群在g 中c 一正规。在 5 ，1 4 】中，l id e y u ，g u ox i u y u n 用子群的c 一正规性给出了有限群超可解的几个充分条件。在 6 】中，刘国 刚利用满足一定条件的极大子群的c 一正规性证得有限群可解。 n p m u k h e r j e e 和p b h a t t a c h a r y a ( 7 ) 提出了极大子群的0 一子群偶的概 念，并且证明g 可解当且仅当对每个极大子群m ，o ( m ) 中的每个极大0 子群偶( c ，d ) 使得c d 可解。a b a l l e s t e r b o l i n c h e s ( 9 】) ，赵耀庆( 8 ，9 ，1 0 ) 、 李世荣( 1 1 】) 、郭秀云( 1 2 ) 教授等也利用极大子群的日一子群偶得到了很 多关于有限群的可解性，超可解性以及幂零性的结果。黎先华教授和李士 恒( 2 】) 推广了极大子群的0 一子群偶，引入了一般真子群的0 一子群偶的概 念，并证明了：g 是有限群，若对g 的非循环s y l o w 子群的极大子群p l ， 存在0 一子群偶( c ，d ) 使c d 超可解，g = 尸1 g ，则g 超可解。 有限群的s y l o w 子群的正规化子在有限群的研究中起着重要的作用。 有不少学者对这种研究感兴趣，并取得了一些好的结果。用g ，表示g 的 s y l o wr 一子群，1 9 9 5 年，z h a n g ( 1 8 ) 断言；群g 是p 一幂零的当且仅当 ( p ，jg ：( q ) i ) = l ，对任意s y l o w 子群q 。随后，c h i g i r a 在【1 9 中证明了 对任意r 丌( g ) ，如果p 3 ，而且( ig ： b ( g ，) i ，p ) = 1 ，则群g 是p 一幂 零的。1 9 9 6 年，郭文彬教授( 【2 0 ) 证明了一个群g 的s y l o w 子群的正规化子 的指数为奇数或为一个素数幂当且仅当g 为可鹪群而且g = k h ，其中耳 和日都是群g 的h a l l 一子群，k 是正规于g 的一个2 p _ h a l l 子群，日是2 一 子群的c 一正规性、0 一子群偶对有限群结构的影响引言 幂零群。 本文在前人的基础上讨论了以下内容：( 1 ) 利用s y l o w 子群，2 极大子 群的c 一正规性得到了有限群可解的一些充分条件。( 2 ) 利用2 极大子群的 0 一子群偶得到了一系列有限群可解，幂零的结果。( 3 ) 利用s y l o w 子群， s y l o w 子群的正规化子的目一子群偶给出了有限群可解，超可解的条件。 本文涉及的群均为有限群，用m g 表示m 是群g 的极大子群，h g 表示日是g 的真子群，ac h a r g 表示a 是g 的特征子群，用丌( g ) 表示群 g 的阶的素数因子的集合。文中其他记号是标准的。 子群的c 一正规性、口一子群偶对有限群结构的影响 一 基本概念与引理 第一章基本概念与引理 定义1 1 ( 1 】) 设g 是有限群，称子群日在g 中c 一正规，若存在 kqg ，使得g = h k 且日n k 如，其中h e = ng - t h g 为日在g 中的 9 e g 核。 定义1 2 ( ( 2 ) 设h 是g 的一个真子群，a ，b 是g 的子群，称( a ，b ) 是日的口一子群偶，若( a ，b ) 满足： ( 1 ) ( a ，h ) = g ，b = ( h na ) a ， ( 2 ) 若a l b 是a b 的真子群，且a lqg ，则a 1 日是g 的真子群。 设( a ，b ) ，( c ，d ) o ( h ) ，如果c a ，则规定( c ，d ) ( a ，b ) ，这样o ( h ) 中的元素构成一个偏序集。对( c ，d ) e ( h ) ，如果( c ，d ) 按这个偏序是e ( h ) 中的极大元，则称( c ，d ) 是日的极大p 一子群偶。如果cqg ，则称( c ，d ) 是日的正规0 一子群偶。 引理1 1 ( 2 】) 设日是g 的一个真子群，( c ，d ) 是口的正规日一子群偶， 则必存在日的正规极大0 一子群偶( a ，b ) 使得a b 垡c d ，( c ，d ) ( a ，b ) 。 引理1 2 ( 【2 ) 设日是g 的一个真子群，nqg ，nsd ，( c ，d ) 是日 的日一子群偶当且仅当( c n ，d n ) 是驯的日一子群偶。 引理1 3 ( 【2 ) 设日是g 一个真子群，( c ，d ) 是日的极大0 一子群偶， n 司g 。n 冬h 但n 菇d ，则存在正规0 一子群偶( a ，b ) 0 ( h ) ，使n b 且a b 是c d n 的一个截断。 引理1 4 ( 1 】) 设g 是有限群，h ，k 是g 的子群。 ( 1 ) 如果日在g 中c 一正规，h ksg ，则日在k 中c 一正规。 ( 2 ) 如果kqg ，k h ，则日在g 中c 一正规当且仅当日在g k 中c 一正规。 引理1 5 ( 2 ) 设h 是g 的一个真子群，( c ，d ) 是日的正规极大0 一子 群偶，则d = h a 。 子群的c 一正规性、口一子群偶对有限群结构的影响 一 基本概念与引理 引理1 6 ( 1 4 ，引理2 6 1 ) 设是g 的一个非平凡可解正规子群。若g 的每个含于的极小正规子群不含于西( g ) ，则f ( n ) 是含于的g 的极 小正规子群的直积。 引理1 7 ( g a s c h 4 t z ) 设g 是有限群。，d 是g 的正规子群，且d ，d 圣( g ) ，则d 幂零当且仅当幂零。 引理1 8 ( 1 5 ，定理3 2 ) 设g 是有限可解群，g 超可解当且仅当g h 超可解，f ( 日) 的s y l o w 予群的极大子群都是g 的正规予群。 引理1 9 ( 【3 ，第1 v 章定理3 4 】) 设g 是有限群，nqg ，hsg 。若 n 雪( 日) ，贝0n 圣( g ) 。 引理1 1 0 ( 1 6 ，第1 章定理1 2 】) 设g 有一个正规循环子群日使相应的 商群a h 为超可解群，则g 自身为超可解群。 引理1 1 1 ( 1 7 ，1 0 4 2 ，t h o m p s o n 定瑚) 设g 是有限群，若g 有一个奇 阶幂零极大子群m ，则g 可解。 引理1 1 2 ( 2 1 ，第1 章辅理7 7 ) 设是g 的正规子群，p 是g 的s y t o w p 一子群，则n p 是的s y l o w p 一子群，p n n 是a n 的s y l o w p 一子群。 引理1 1 3 设是g 的正规子群，p 是g 的s y l o w p 一子群，n p = n a p 是的s y l o wp 一子群，则n c ( p ) 三g ( p ) 。 证明：对任意。g ( p ) ，叼= ( n np ) 。= n 。np 。= n np = p ，所以 n a ( p ) c ：舀( ) 。 4 子群的c 一正规性、口一子群偶对有限群结构的影响 二 予群的c 一正规性 第二章子群的c 一正规性与群的可解性 定理2 1 设p 7 r ( g ) ，p s y l p ( g ) 。若p 在g 中c 一正规，则g 是p 一 可解群。 证明：因为p 在g 中c 一正规，存在k q g ，使得g = p k 且p n k p g 。 若p g = 1 ，则g = p k 且p n k = 1 ，存在正规群列1 司k qg ，k 1 是 p 一群，g k 型p 是p 一群，所以g 是p 一可解群。 若1 ，则考虑商群g p g 。因为p 在g 中c 一正规，由引理1 4 ， 纠在g p 中扣正规。又p r s y l ，( g p o ) ，商群v p a 满足定理假 设，由归纳法知g p g 是p 一可解的，p g 可解，故g 是p 一可解群。 推论2 2 若g 的每个s y l o w 子群在g 中c 一正规，则g 可解。 定理2 3 设g 是偶阶群，p s y l 。( g ) 。若p 在g 中c 一正规，则g 可 解。 证明：因为p 在g 中c 一正规，存在k g ，使得g = p k 且p m k r e 。 若p a = 1 ，则g = p k 且p nk = 1 ，g k 型p 是2 一群，可解。又k 是奇阶群，可解。所以g 可解。 若1 ，则考虑商群g p g 。因为p 在g 中c 一正规，由引理1 4 ， p p g 在g p g 中c 一正规。又p p o s y l ，( v p ) ，商群g p o 满足定理假 设，由归纳法知v p c 可解，p g 可解，故g 是可解群。 定理2 4 设m 是g 的极大子群且幂零。如果m 的s y l o w2 一子群在g 中c 一正规，则g 可解。 证明：设m 2 s y l 2 ( m ) ，由m 幂零知m 2qm 。 ， 若m 2 司g ，令百= g ，丽= m ，则面是孕的奇阶幂零极大子群， 由t h o m p s o n 定理，虿可解，从而g 可解。 若硇g ，因m g ( 尬) g ，由m 的极大性有m = 、k ( 舰) ， 从而必有m , 2 s y f 2 ( g ) 。若否，存在g 2 s y h ( g ) 使得尬 g 2 ，因为 子群的c 一正规性、0 一子群偶对有限群结构的影响 二 子群的c 一正规性 尬 i r a 。( ) = g 2n g ( ) = g 2nm = m 2 ，矛盾，所以尬s y l 2 ( g ) 。由 定理2 3 知g 可解。 定理2 5 设g 是有限群。若g 的所有2 一极大子群在g 中c 一正规，则 g 可解。 证明：由题意，g 非单。设是g 的一个极小正规子群，考虑商群g n 。 设工是c n 的一个2 一极大子群，则存在极大子群m l v 使得三是 m n 的极大子群，从而三是g 的2 一极大子群。工在g 中c 一正规，由引 理1 4 ，l n 在g n 中c 一正规，即g n 满足定理假设，由归纳法知g n 可解。 因为可解群系是饱和群系，可以进一步假设是唯一极小正规子群。 设p 7 r ( ) 。若不是p 群，令es y l p ( n ) 。由f r a t t i n i 推理， g = g ( p ) 若g ( ) = g ，则姊qg 。由的唯一极小正规性知 n = ，n 为p 一群，矛盾。所以g ( p ) g ，存在极大子群m 使得 y d p ) sm ， g = n n g ( ) = m 因1 n n m ，有n n m 1 。若n a m = m ，则m 曼n ，g = n m = n 。 g 是单群，与g 非单矛盾。所以n m m 。令工是m 的包含n a m 的极大 子群，l 是g 的2 - 极大子群，存在k q g 使g = l k 且l n k l g 。由是唯 一极小正规子群知n k ，从而n m k ，所以1 n n msl n k 冬l g 。 又l gqg ，n 曼l g l m ，从而g = m n = m ，矛盾。所以是p 一 群，可解。 故g 可解。 子群的c 一正规性、日一子群偶对有限群结构的影响 三2 一极大子群的口一子群偶 第三章2 一极大子群的0 一子群偶与群的可解性 定理3 1 设g 是有限群。若g 的每个2 一极大子群有极大0 一子群偶( c ，d ) 使得c d 幂零，其s y l o w2 一子群的类数不超过2 ，则g 可解。 证明：设是g 的一个极小正规子群，考虑商群g n 。 设l n 是g n 的一个2 一极大子群，则l 是g 的一个2 一极大子群。由 题意，l 有正规极大日一子群偶( c ，d ) 使c d 幂零，其s y l o w2 一子群的类 数不超过2 。若n d ，则由引理1 2 ，( c y ，d n ) 是l n 的极大口一子群 偶，且( c n ) ( d n ) 型c d 是幂零群，其s y l o w2 一子群的类数不超过2 。 若nld ，则由引理1 3 ，存在l 的正规极大0 一子群偶( a ，b ) 使n b ， a b 是c n d n 的一个截断，a b 是幂零群，其s y l o w2 一子群的类数不超过 2 ，则( a n ，b n ) 是l n 的正规极大0 一子群偶，且( a n ) ( b n ) 型a b ， 是幂零群，其s y l o w2 一子群的类数不超过2 。所以a n 满足定理假设，由 归纳法知g n 可解。又可解群系是饱和群系，因此可设是唯一极小正规 子群。 若n 西( g ) ，则g 可解。若n 菇圣( g ) ，则存在m g 使n 茹m 。设 l m ，l 是g 的一个2 一极大子群。由假设，l 有正规口一子群偶( c ，d ) 使 c d 可解，g = l c ，d = ( l m c ) g 。若d 1 ，则nsd l m ，矛盾，所以 d = 1 ，c 幂零，其s y l o w 2 一子群的类数不超过2 。设n 菇c ，c g 。设日是 g 的包含c 为极大子群的子群。若n 甚h ，则( l n 日) g = 1 ，( h ，1 ) o ( l ) ， 与( c ，1 ) 的极大性矛盾，所以n h 。由【1 3 ，s a t z l v 7 4 】知圩可解，可 解，故g 可解。 定理3 2 设g 是有限群。若g 的每个2 一极大子群有极大口一子群偶 ( c ，d ) 使得c d 是奇阶幂零群，则g 可解。 定理3 3 设g 是有限群，mqg 。若m 的每个极大子群在g 中有正 规0 一子群偶( c ，d ) 使c d 为7 r 一群或p 一群，p 仃，则g 丌一可解。 7 子群的c 一正规性、日一子群偶对有限群结构的影响 三 2 一极大子群的日一予群偶 证明：设是含于m 的g 的一个极小正规子群，则m nqa n 。 设叫是m 的任一极大子群，则k 是m 的一个极大子群。由假设， k 在g 中有正规目一子群偶( c ，d ) 使c d 为7 r 一群或p 一群，p 丌， g = k c ，d = ( k ng ) g 。若n d ，则由弓i 理1 2 ，( c n ，d n ) 是k n 在g n 中的正规0 一子群偶，且( c n ) ( d n ) 兰c d 是丌一群或p 一群， p 7 r 。若n 菇d ，则由引理1 3 ，存在的正规极大日一子群偶( 4 ，b ) 使 n b ，a b 是c n d n 的一个截断。因此( a n ，b n ) 是酬在a n 中 的正规口一子群偶，且( a n ) ( b n ) 型a b 是7 r ，- 群或p 一群，p 丌。所以 a n 满足定理假设，由归纳法a n7 r 一可解。 进一步可设是含于m 的g 的唯一极小正规子群。 若n 圣( m ) ，则因为m 1 g ，有西( m ) 西( g ) 。从而n v ( a ) ，g7 r 一可 解。若n 盛圣( m ) ，则存在k m 使ngk 。由假设，k 在g 中有正规p 一 子群偶( c ，d ) 使c d 为7 r ，- 群或p 一群，p 7 r ，g = k c ，d = ( k n g ) g 。若 d 1 ，因为dsk m ，dq g ，所以由的唯一极小性有n d 冬k ，矛 盾。所以d = 1 ，c 为7 r ，_ 群或p 一群，p 7 r 。因为m m c m ，m n c q g ， 所以由的唯一极小性有mnc = 1 或n m nc 。若mnc = 1 ， 则knc = 1 。因为g = k c = m c ，所以 gi = 嬲= 溯锻，从而有 khm i ，与k m 矛盾。因此n m m c c ，n 为7 r ，_ 群或p 一群， p 丌。故g7 r 一可解。 定理3 4 设g 是有限群，m 司g 。若m 的每个极大子群在g 中有正规 口一子群偶( c ，d ) 使c d 为丌，一群或循环p 一群，p 丌，则g7 r 一超可解。 证明类似于定理3 3 。 推论3 1 设g 是有限群，mqg 。若m 的每个极大子群在g 中有正 规0 一子群偶( a d ) 使c d 可解，则g 可解。 定理3 5 设g 是有限群，mqg 。若m 的每个极大子群在g 中有正 规口一子群偶( g d ) 使c d 循环，则g 超可解。 子群的c 一正规性、口一子群偶对有限群结构的影响 兰 2 一极大子群的口一子群偶 证明：设是含于m 的g 的一个极小正规子群，则m n 司g n 。设 k n 是m n 的任一极大子群，则k 是m 的一个极大子群。由假设，k 在g 中有正规p 一子群偶( c ，d ) 使c d 循环。g = k c ，d = ( k ng ) g 。 若n d ，则由引理1 2 ，( c n ，d n ) 是k n 在g n 中的正规口一子群 偶，且( c n ) ( d n ) 型c d 是循环群。若n 菇d ，则由引理1 3 ，存在k 的 正规极大目一子群偶( a ，b ) 使n b ，a b 是g d n 的一个截断。因此 ( a n ，b n ) 是纠在g n 中的正规p 一子群偶，且( a n ) ( b n ) 掣a b 循 环。所以g n 满足定理假设，由归纳法g n 超可解。 进一步可设是含于m 的g 的唯一极小正规子群。 若ns 圣( m ) ，则因为mqg ，有垂( 肘) 西( g ) 。从而n 垂( g ) ，g 超可解。若n 甚v ( m ) ，则存在k m 使n 盛k 。由假设，k 在g 中有 正规目子群偶( c ，d ) 使c d 循环。g = k c ，d = ( kne ) g 。若d 1 ， 因为d k m ，dqg ，所以由的唯一极小性有nsd k ，矛盾。 所以d = 1 ，c 循环。因为m nc m ，mnc 司g ，所以由的唯一极 小性有mnc = 1 或n m nc 。若mnc = 1 ，则nc = 1 。因为 g = k c = m c ，所以1g i = 髑= 篇器，从而有l ki = 1m i ，与k m 矛盾。因此nsm nc c ，n 循环。故g 超可解。 定理3 6 设g 是有限群。若在g 中存在可解2 一极大子群工，且l 有 正规9 一子群偶( c ，d ) 使c d 可解，则g 可解。 证明：若l g 1 ，设是含于l g 的g 的一个极小正规子群，则l n 是c ! v 的可解2 一极大子群。由题意，三有正规口一子群偶( c ，d ) 使c d 可解。g = l c ，d = ( l ng ) g 。若n d ，则由引理1 2 ，( c y ，d n ) 是l n 在v u 中的正规9 一子群偶，且( c n ) ( d n ) 型c d 是可解群。若 n 甚d ，则由引理1 3 ，存在l 的正规极大目一子群偶( a ，b ) 使n b ， a b 是c n d n 的一个截断。因此，b ) 是l i v 在g n 中的正规目一 子群偶，且( a i v ) ( b n ) 型a b 可解。所以c n 满足定理假设，由归纳法 子群的c 一正规性、8 一子群偶对有限群结构的影晦 兰 2 一极大子群的日一子群偶 a n 可解。又nsl g ，n 可解，所以g 可解。 若l c = 1 ，因为g = l c ，d = ( l ne ) g ，d l g ，所以d = 1 ，c 可 解。又c c = l c c 兰l l n c 可解，所以g 可解。 定理3 7 设g 是有限群。若g 的所有2 一极大子群有正规极大p 一子群 偶( c ，d ) 使c a l d ( c d ) 1 ，则g 可解。 证明：设是g 的一个极小正规子群。设l n 是c n 的一个2 一极 大子群，则二是g 的一个2 一极大子群。由题意，l 有正规极大口一子群 偶( c ，d ) 使c g o ( c d ) 1 。由引理1 5 有d = l g ，所以n 冬d 。因此 ( c n ，d n ) 是l n 在a n 中的正规日一子群偶，且( c n ) ( d n ) 垡c d ， 从而g ( 。) ( d v ) ( c ) ( d ) 1 。所以c n 满足定理假设，由归纳法c n 可解。又可解群系是饱和群系，因此可设是唯一极小正规子群。 若n 西( g ) ，则c 可解。若n 圣( g ) ，则存在m g 使n 甚m 。设 l m ，l 是g 的一个2 一极大子群。由假设，l 有正规极大日一子群偶 ( c ，d ) 使c a d ( c d ) 1 。g = l c ，d = ( lng ) g 。若d 1 ，则由n 的唯 一极小性得n d l m ，矛盾，所以d = l ，( e ) 1 。由的唯 极小性及cqg 有n c ，从而c a ( c ) 冬c a ( g ) qg ，于是n c c ( n ) ， 交换必可解。 故g 可解。 定理3 8 设g 是有限群。若c 的所有2 一极大子群有正规极大9 一子群 偶( c ，d ) 使z ( g d ) 1 ，则g 幂零。 证明：设是g 的一个极小正规子群。设l n 是a n 的一个2 一极 大子群，则l 是g 的一个2 一极大子群。由题意，上有正规极大日一子 群偶( c ，d ) 使z ( c d ) t 。由引理1 , 5 有d = l g 。所以n d ，因此 ( g ，d i n ) 是l n 在o n 中的正规口一子群偶，且( c n ) ( d n ) 垡c d ， 从而z ( ( g n ) ( d n ) ) 1 。所以g i n 满足定理假设，由归纳法g i n 幂零。 又幂零群系是饱和群系，因此可设是g 的唯一极小正规子群。 子群的c 一正规倥、目一子群偶对有限群结构的影响 三 2 一极大予群的8 - 予群偶 若n 圣( g ) ，则g 幂零。若n 茹圣( g ) ，则存在m g 使n 盛m 。设 l - m ，l 是g 的一个2 一极大子群。由假设，l 有正规极大0 一子群偶 ( c ，d ) 使z ( v m ) 1 。g = l c ，d = ( l n c ) a 。若d 1 ，贝4n d l m ， 矛盾，所以d = 1 ，z ( c ) 1 。由的唯一极小性及z ( v ) 司g 有n z ( v ) ， 故g 幂零。 定理3 9 设g 是有限群。若g 的所有2 一极大子群有正规目一子群偶 ( c ，d ) 使c d 可解，则g 可馋。 证明：设是g 的一个极小正规子群。设l n 是g n 的一个2 一极大子 群，则l 是g 的一个2 一极大子群。由题意，l 有正规极大口一子群偶( c ，d ) 使c d 可解。若nsd ，则由引理1 2 ，( c n ，d n ) 是l 在g n 中的正规 0 一子群偶，且( c n ) ( d n ) 垡c d 是可解群。若n 菇d ，则由引理1 3 ，存 在l 的正规极大日一子群偶( a ，b ) 使n b ，a b 是c n d n 的一个截断。 因此( a n ，b n ) 是l n 在g n 中的正规日一子群偶，且( a n ) ( b n ) 型a b 可解。所以g n 满足定理假设，由归纳法g n 可解。又可解群系是饱和群 系，因此可设是唯一极小正规子群。 若ns 圣( g ) ，则g 可解。若n 盛西( g ) ，则存在m g 使n 菇m 。设 l m ，l 是g 的一个2 一极大子群。由假设，l 有正规p 一子群偶( c ，d ) 使c d 可解。g = l c ，d = ( l ng ) g 。若d l ，则n 冬d l m ，矛 盾，所以d = 1 ，c 可解。由的唯一极小性及cqg 有n c ，从而 可解。故g 可解。 定理3 1 0 设g 是有限群。若g 的所有2 一极大子群有正规0 一子群偶 ( c ，d ) 使c d 交换，则g 幂零。 证明：由定理3 9 知g 可解。设是g 的一个极小正规子群，是初等 a b e l 群。设r n 是c n 的一个2 一极大子群，则工是g 的一个2 一极大子 群。由题意，l 有正规p 一子群偶( c ，d ) 使c d 交换。若n d ，则由引理 1 2 ，( c n ，d n ) 是l n 在g n 中的正规p 一子群偶，且( c n ) ( d n ) 笺c d 子群的c 一正规性、口一子群偶对有限群结构的影响 三 2 一极大子群的口一子群偶 是交换群。若n 菇d ，则由引理1 3 ，存在l 的正规极大口一子群偶( a ，b ) 使n 墨b ，a b 是c d n 的一个截断。因此( a n ，b n ) 是l n 在g n 中的正规p 一子群偶，且( a n ) ( b n ) 掣a b 交换。所以a n 满足定理假 设，由归纳法g n 幂零。又幂零群系是饱和群系，因此可设是唯一极小 正规子群。 假设n 菇圣( g ) ，存在m g 使n 菇m ，从而g = m n 。因为m a n 】m ， 且由的交换性知m a n n ，所以m a n 日g 。由的极小性得m a n = 1 。 因为c e ( ) q g ，n 交换，所以c m ( n ) = m n ( ) 1 m n = g 。由的极小性 知c m ( n ) = l 。又n c g ( n ) ，所以c g ( n ) = c g ( n ) n n m = n ( c o ( 1 v ) n m ) = n c m ( n ) = n 。设l m ，l 是g 的一个2 一极大子群。由假设，三有 正规9 一子群偶( c ，d ) 使c d 交换。g = l c ，d = ( l ng ) g 。若d 1 ， 则n d l m 矛盾，所以d = 1 ，c 交换。又c 正规得n c 。 因为g = c l = n m ，nnm=n nl = 1 ，所以n c 。又由c 交换得 n c c g i ：) ，与n = g g ( ) 矛盾。所以n 圣( g ) ，g 幂零。 子祥的c 一正规性、e 一子群偶对有限群结构的影响 四 s y l o w 子群的8 一子群偶 第四章s y l o w 子群的口一子群偶与群的可解性，幂零性 从 8 ，9 ，2 0 的工作可见，仅从正规化子的指数来揭示群的结构有一定的 困难，对照从极大子群的指数引入正规指数、口一子群偶、c 一正规等概念 的思路，用群的s y l o w 子群的正规化子的目一子群偶代替s y l o w 子群的正规 化子的指数，我们能够比较容易地得到群的可解性，超可解性的刻划。 定理4 1 设p 7 r ( g ) ，p s y l ，( g ) 。若n a ( p ) 存在正规9 一子群偶( c ，d ) 使得c d 是p 一可解群，则g 是p 一可解群。 证明：设是g 的一个极小正规子群，考虑商群g n 。 首先p n n s y t p ( c n ) ，而且由 4 ，第1 i 章定理9 得g ( p ) n = n a ( 尸n ) 。由假设n c ( p ) 存在正规目一子群偶( c ，d ) ，使c d 是p 一可 解群。 取b = ( c n n n a ( p ) n ) g ，在c n b 中必存在极小的使a g ( 尸) = g 成立的 c b 的正规子群a b 。易见( a ，b n ) 是n d e ) n 的正规8 一子群偶。 又a b 是c n d n 的一个截断，a bp 一可解，从而( a n ) ( b n ) 型a bp - 可解。因此( a n ，b n ) 是( p ) n 的正规目一子群偶，且( a n ) ( b n ) 型 a b ，是p 一可解群。所以c n 满足定理假设，由归纳法知g n 是p 一可 解群。因为p 一可解群系是饱和群系， 我们可设是唯一极小正规子群。令= n np ，则s y l ，( ) 。 若口= 1 ，n 是p 一群，g 是p 一可解群。 若1 ，则由f r a t t i n i 推理，g = g ( ) 。若d = 1 ，则c 是p 一 可解群。又cqg ，n c ，从而是p 一可解群，因此g 是p 一可解群。 若d 1 ，则n d 曼g ( p ) 。又n d p ) k ( p ) ，所以g = g ( ) ，即 司g ，从而p = n ，即是p 一群，可解。故g 是p 一可解群。 使用定理4 1 的方法，我们可类似地证明下面的定理4 2 和定理4 3 。 子群的c 一正规性、口一子群偶对有限群结构的影响 四 s y l o w 子群的日一子群偶 定理4 2 设g 是有限群，p 是g 的循环s y l o w p 一子群。若g ( p ) 存在 正规口一子群偶( c ，d ) 使c d 循环，则g 是p 一超可解群。 证明：设是g 的一个极小正规子群，考虑商群g n 。 首先p n s y i p ( g n ) ，p n n 循环，由 4 ，第1 i 章定理9 得n o ( p ) n n = 舀( p ) 。由假设n a ( p ) 存在正规日一子群偶( c ，d ) ，使c d 循环。 取b = ( c n q n g ( p ) n ) a ，在c n b 中必存在极小的使a n c ( p ) = g 成立的 c l b 的正规子群a b 。易知( a n ，b n ) 是n o ( p ) n 的正规日一子群偶，又 a b 是c d n 的一个截断，a b 循环。从而( a n ) ( b n ) 掣a b 循环。 因此( a ，b i n ) 是n o ( p ) n 的正规日一子群偶，且( a n ) ( b n ) 竺a b ， 循环。所以c n 满足定理假设，由归纳法知g n 是p 一超可解群。因为p 一 超可解群系是饱和群系， 我们可设是唯一极小正规子群。令p = n np ，则s y l p ( n ) 。 若= 1 ，n 是p ，一群，g 是p 一超可解群。 若p 1 ，则由f r a t t i n i 推理，g = n n a ( ) 。 若d = 1 ，则c 循环。又cqg ，nsc 。设l 是的极大子群，t c h a rc 司g ，于是n tqg 。由的唯一极小性，1 = 1 ，所以是素数 阶循环群。又1 ，n 是p 阶循环群，从而g 是p 一超可解群。 若d 1 ，贝4n d g ( p ) 。又g ( p ) g ( ) ，所以g = g ( p ) ， 即pqg ，从而p = n ，即是正规p 一群，n p ，又p 循环，所以 是p 阶循环群。故g 是p 一超可解群。 定理4 3 设g 是有限群，p s y l 。( g ) 。若g ( p ) 存在正规口一子群偶 ( c ，d ) 使c d 可解，则g 可解。 证明：若p = 1 ，则g 是奇阶群，可解。设p 1 ，n 是g 的一个极小 正规子群。考虑商群g n 。 首先p n n s y l 2 ( g n ) ，而且由 4 ，第1 i 章定理9 】得g ( 尸) n = n v n ( p n n ) ，由假设 r g ( p ) 存在正规目一子群偶( c ，d ) ，使c d 可解。 1 4 子群的c 一正规性、日一子群偶对有限群结构的影响四 s y l o w 子群的9 一予群偶 取b = ( c n a n g ( p ) n ) a ，在c ，b 中必存在极小的使a n g ( p ) = g 成立的 g b 的正规子群a b 。易知( a jb n ) 是g ( p ) 的正规口一子群偶，又 a b 是c n d n 的一个截断，a b 可解。从而( a n ) ( b n ) 皇a b 可解。 因此( a ，b i n ) 是g ( p ) n 的正规口一子群偶，且( a n ) ( b n ) 岂a b ， 可解。所以c n 满足定理假设，由归纳法知g n 可解。因为可解群系是饱 和群系， 我们可设是唯一极小正规子群。令北= n np ，则2 s y l 2 ( ) 。 若2 = l ，是奇阶群，可解。 若2 1 ，则由f r a t t i n i 推理，g = n y a ( 2 ) ， g ( p ) 存在正规8 一子群偶( c ，d ) ，使c d 可解，即 g = n a ( p ) c ，d = ( 0 ( p ) nc ) o 若d = 1 ，则c 可解。又cqg ，n c ，从而可解，g 可解。 若d 1 ，则n d c ( 尸) 。又g ( p ) 冬 k ( 2 ) ，所以g = k ( 2 ) ， 即n 2qg ，从而n 2qn ，即是2 一闭的，可解。 故g 可解。 定理4 4 设g 是有限群，日是g 的一个循环子群。若日存在正规8 一 子群偶( c ，d ) 使c d 循环，则g 超可解。 证明：若h c = 1 ，则由d = ( h ng ) g h a 得d = l ，从而c 循环。又 因为c c = h c c 型驯h n c 循环，由引理1 1 0 知g 超可解。 若1 ，设是g 的一个极小正规子群，使n 冬h 。驯n 是c n 的 循环子群，口存在正规目一子群偶( c ，d ) 使c d 循环。若nsd ，则由引理 1 2 ，( c n ，d i n ) 是驯的正规目一子群偶，且( c n ) ( d n ) 掣c d 循环。 若n 盛d ，则由引理1 3 ，日存在正规极大口一子群偶( a ，b ) 使n b ， a b 是c n d n 的一个截断，a b 循环。因此( a n ，b n ) 是驯的正规 8 一子群偶，且( a n ) ( b n ) 型a b ，循环。所以g n 满足定理假设，由归 子群的c 一正规性、a 一子群偶对有限群结构的影响四 s y l o w 子群的0 一子群偶 纳法知a l v 超可解。又日循环，所以循环， 故g 超可解。 定理4 5 设g 是有限群，p 是 gi 的最小素因子，p s y l ，( g ) 。若p 的每个极大子群存在正规0 一子群偶( c ，d ) 使c d 循环，则gp 一幂零。 证明：若p 循环，由( 3 ，第1 i 章定理5 5 知gp 一幂零。假设p 不循 环。设p l p ，p i 有正规0 一子群偶( c ，d ) 使c d 循环。g = p t c = p c ，d = ( p 1 _ n c ) a 。因d p l ，有d 可解。a c = p c c 笺p p n c 可解。又 a c 型( g d ) ( c d ) ，c d 循环，必可解，所以a d 可解。从而g 可解。设 是g 的一个极小正规子群，则是初等a b e lq 一群。有p n n s y l ，( g n ) 。 若q = p ，则n p 。设p l p ，则p l p 。由假设，p l 有正规0 一 子群偶( c ，d ) 使叫d 循环。若n d ，则由引理1 2 ，( c n , d n ) 是只， 在a n 中的正规0 一子群偶，且