（概率论与数理统计专业论文）完全与非完全样本平稳高斯序列最大值的联合渐近分布.pdf

目录 摘要j j i a b s t r a c t ：i i 第一章引言 1 1 1 前言， 1 1 2 文献综述i 2 1 3 问题及论文安排 3 第二章两类相依高斯向量序列最大值的联合渐近分布 4 2 1 主要定理 4 2 2 相关引理 5 2 3 定理的证明8 第三章强相依高斯序列最大值的联合渐近分布1 1 3 1 主要定理1 1 3 2 相关引理1 2 3 3 定理的证明1 4 参考文献1 6 致谢1 8 硕士期间发表论文1 9 西南大学硕士学位论文摘要 摘要 高斯序列极值分布的极限行为由其协方差的收敛速度决定，相应的三种极限分 布也众所周知对完全与非完全样本情形，本文研究平稳高斯序列最大值的联合渐 近分布 第一部分研究两类相依高斯随机向量序列在完全与非完全样本情形，最大值 的联合渐近分布设 x n = ( k l ，2 ，x l d ) ，n 1 】为d 维平稳高斯向量序 列，且e k = 0 ，v a r ( ) = 1 ，其相关系数为c o v ( x l ，x k j ) = r , j ( i z - k 1 ) ，且m n = ( 坛1 ，m 2 ，m n d ) 为 x k ，1 k 几) 的最大值，即m i = m a x x u ，魁一，i 若向量x k 只有部分能被观测到，且用示性函数k = 1 表示随机变量虬 被观测 到，& i = e l i + 2 t + 十。t 为 ) 6 t ，x 2 一，五矗中被观测到的随机变量的个 数记m 。为被观测到的变量的最大值假设 鼬1 ksn ，1 tsd 是独立 序列，且与 x k ，1 k 他) 也相互独立设当n _ 0 0 时，& t 加二p i ( 0 ，1 】， 其中l i d 在此条件下，本文分别得到了当n 一。o 时，r i j ( n ) l o g n _ 0 与 ( 佗) l o g 佗_ p o ( 0 ，) 两种情形下m n 与m 。的联合渐近分布 第二部分研究完全与非完全样本情形，强相依高斯序列极值的联合渐近分布 设 ，n 1 为平稳高斯序列，且e = 0 ，v a r ( ) = 1 ，其相关系数r n = e 蜀+ l 且= m 8 d c l k b eas e q u e n c eo fd - d i m e n s i o n a l s t a t i o n a r yg a u s s i a nv e c t o r sw i t he i = 0 ，v a t ( t ) = la n dc o v ( 五t ，如) = n ，( i f k 1 ) l e tm n = ( l ，2 ，) d e n o t et h ep a r t i a lm a x i m ao f x k i e = m a x x l i ，恐，t ) s u p p o s et h a ts o m eo ft h ev a r i a b l e so fx kc a n b eo b s e r v e d l e te 舰d e n o t et h ei n d i c a t o ro ft h ee v e n tt h a t ii 80 b s e r v e d l e t & = e 1 i + 2 i + 十n b et h en u m b e ro fo b s e r v e dr a n d o mv a r i a b l e sf r o mt h es e t x l t ，一，i l e tm nd e n o t et h ep a r t i a lm a x i m ao ft h eo b s e r v e dv a r i a b l e s a s s u m et h a t 舡，1 k 佗，1 i da r ei n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ，a n da l s o i n d e p e n d e n to f x k ) ，a n dt h es e q u e n c e ( 叉i ) s a t i s f i e s & , n 二p i ( 0 ，1 】a sn 一 f o r1 i d t h e n ，w eg e tt h ej o i n tl i m i t i n gd i s t r i b u t i o n so fm na n dm n a s r i j ( n ) l o gn 一0a n dr o ( n ) l o gn p o ( 0 ，。c ) r e s p e c t i v e l y f o rt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h ej o i n tl i m i t i n gd i s t r i b u t i o no fm a x i m ao f c o m p l e t ea n di n c o m p l e t es a m p l e so fs t r o n g l yd e p e n d e n tg a u s s i a ns e q u e n c e l e t b eas t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c ew i t he = 0 ，v a r ( k ) = 1 l e t = m a x l 1 是独立同分布( i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，简记为 i i d ) 的随机变量序列，其公共分布函数为f ( z ) 记 厶= 1 1 1 8 , x l 0 为常数上述三种形式可统一写成： a ( x ) = g 1 ( z ) = e x p 一( 1 + ，y z ) - ：h ) ， 其中l + 7 x 0 ，y r 且称，y 称为极值指数 在三大类型定理的基础上，极值理论的研究不断发展极值理论的应用范围也 越来越广，已经广泛应用在灾害性气象和地震的预报，交通阻塞的预防，工程设计 项目的抗震设计，金融风险的管理等方面极值理论正在指导实践的基础上逐步发 展与完善 近年来，对高斯序列的极值理论的研究已有了很多结论由于实际中获得的样 本可能是不完整的，会出现数据缺失的情形因此对缺失样本情形下高斯序列的极 值分布的研究有着重要的理论价值和应用背景 ， 1 ，l ll，j【 西南大学硕士学位论文第一章引言 1 2 文献综述 极值的极限分布一直都是极值理论研究中的重要内容，而高斯序列的极值分布 问题更是近年来的研究热点问题设 x 。 为一列标准的平稳高斯随机变量序列， 即e x = 0 ，v a t ( x ) = 1 令最大值 靠= m a x l 七s n x k 且相关系数r ( n ) = e x l + 1 。b e r m a n 1 】证明了当r ( n ) o g n 一0 时，有 l i mp ( o ：1 ( a 如一b n ) z ) = e x p ( 一e 一霉) ， n + 。 其中 a 。= ( 2 l o g n ) _ 1 2 ，k = ( 凸。) - 1 + a n ( 1 0 9 l o g n + l 0 9 4 ) 2 ( 1 2 ) 对于r ( n ) l o g 1 , _ - y ( 0 ，o o ) 的情形，m i t t a l 和y l v i s a k e r 【2 】证明了如下结论t l i mp ( 一( 厶“) z ) = 仁唧 一e x p ( - x - 1 + 沥z ) m ， 其中妒( z ) 为标准正态密度函数而当r ( 仃) l o gn _ o o 时，m c c o r m i c k 和m i t t a l 【3 】3 证明得到 熙p ( r - 1 1 2 ( n ) ( 螈一( 1 一r 1 7 2 ( n ) ) ) 5z ) = 圣( z ) ， 其中垂( z ) 为标准正态分布函数更详细的论证，请参看l e a d b e t t e r 等f 4 】的第4 3 ， 6 5 及6 6 节的内容m c c o r m i c k 5 】给出如下更一般的条件一当n _ 。c 时， 一睾一删= 。( 1 ) ， 并得到 熙p 揣一k = 唧 - 唧( _ 啪， 其中z r ，瓦= 石1 ：。x m c c o r m i c k 和q i 6 ，p e n g 和n a d a r a j a h 【7 】以及h o 和h s i n g 【8 】研究了高斯 序列部分和与最大值的联合渐近分布l e a d b e t t e r 等 4 】讨论了平稳高斯序列超过 数点过程的渐进分布在此基础上，彭作祥 9 】与张玲【1 0 】讨论了非平稳高斯序列 超过数点过程的渐近分布p e n g 【1 l 】，何腊梅等【1 2 】和h u 等【1 3 】进一步研究了平 稳高斯序列部分和与超过数点过程的联合渐近分布谭中权和彭作祥 1 4 】得到了强 相依非平稳高斯序列超过数点过程与部分和的联合渐近分布 对于多维高斯序列的极值分布问题，令 x 。= ( l ，k 2 ，) ，咒1 ) 为一列d 维平稳高斯向量序列，且设e x i = 0 ，v a r ( ) ) = 1 ，c o v ( 托t ，) = ( 1 j 一七i ) ，其中1 i ，j d ，k ，2 1 令m # 为第s 个顺序统计量，则m 譬= m 。 就为向量的最大值设a n = ( a 。，a n ) ，b 。= ( k ，k ) 其中a 。与6 n 为( 1 2 ) 式中所定义w i 重n i e w s k i 【1 5 】证明了如下结论t 2 西南大学硕士学位论文箜一章引直 定理1 1 设( x n ) 满足 r i j ( n ) l o gn 一肋，1 i ，歹d 且 l m j a x d ：n 。i r 珏i l 则 a n 一1 ( m 0 ) 一b 。) 三m 窘+ r p z ， 其中s 1 ，砩= ( 厥，1 i d ) ，z 是一个协方差阵为( 肋0 雨两) d x d 的标准 正态随机向量，并且有 其中m p 与z 是相互独立的 更多关于多维高斯序列极值分布的研究，可参见j a m e s 等【1 6 1 ，w i g n i e w s k i 【1 7 ， 以及w i 香n i e w s k i i s m l a d e n o v i g 和p i t e r b a r g 1 9 首次研究了数据缺失的极值分布问题，得到了独 立同分布随机变量序列完全与非完全样本最大值的联合渐近分布，并将其推广到平 稳序列情形在样本缺失的情形下，童锦俊和彭作祥【2 0 】研究了一类相依平稳高斯 序列观测到的子样本构成的超过数点过程和未观测到的子样本构成的超过数点过程 的联合渐近分布本文在第二章研究了两类相依平稳高斯向量序列完全与缺失样本 最大值的联合渐近分布第三章研究了一维平稳高斯随机变量序列在r 。l o g 佗_ 情形下完全与非完全样本最大值的联合渐近分布 1 3 问题及论文安排 本文主要研究了完全与非完全样本平稳高斯序列最大值的联合渐近分布，分别 就多维与一维两种情形进行讨论 文章安排如下t 第二章研究两类相依高斯向量序列完全与不完全样本最大值的联合渐近分 布此部分的英文稿为a s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n so fm a x i m a o fc o m p l e t ea n di n c o m - p l e t es a m p l e sf r o mm u l t i v a r i a t es t a t i o n a x 7g a u s s i a ns e q u e n c e s j o u r n a lo lm u l t i - v a r i a t ea n a l y s i s ，2 0 1 0 ，1 0 1 ：2 6 4 1 2 6 4 7 第三章强相依高斯序列完全与不完全样本最大值的联合渐近分布此部分 的英文稿为a s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n so fm a x i m a o fc o m p l e t ea n di n c o m p l e t es a m p l e sf r o ms t r o n g l yd e p e n d e n ts t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e s a p p l i e dm a t h e m a t i c s l e t t e r s ，2 0 1 1 ，2 4 ：2 4 3 - 2 4 7 3 、以 一z一 唧r l “：1 以 一z一 唧 一 冲 e d 斟 = 、- 、 z 一 曲 m k p 第二章两类相依高斯向量序列最大值的联合渐近分布 设 x 。 n l 是d 维平稳高斯向量序列，且对n 1 有 ， e t = 0 ，v a t - ( i ) = l 及 c o y ( x a ，) = ( 1 f 一七i ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 成立，其中1 i ，j d ，k ，z 1 令m 。= ( l ，螈2 ，d ) 为( x k ，1 k 礼的最大值，即螈严 m a x x 1 + ，局i 一，k ) ，l i d 定义规范化常数 a n = ( a n ，o n ) ，b 。= ( k ，b n )( 2 3 ) 其中a n = ( 2l o g n ) 2 ，k = 口二1 + o , n ( 1 0 9 l o g n + l 0 9 4 z r ) 2 假设向量x k 部分能被观测到，即溉1 ，戳d 中有一部分随机变量能被观测 到用示性函数g 觚= 1 表示随机变量溉i 被观测到，则s 0 = e l i + e r a + + + 砸就 表示 x l ，j 包，x 0 中被观测到的随机变量的个数在本章中，为得到结论， 需要以下两个条件， c l 对1 i d ，当佗_ 。时，有品i 加二纯( o ，l j ； ( 2 4 1 c 2 e 硒l k n ，1 i d 】为独立随机变量序列，且与【x k ) 相互独立、 为简洁起见，本章中记 u n = ( u t l l ，u t l d ) ，v n = ( v a t ，u ，记) ，( 2 5 ) 其中u 打l = a n x i + k ，i = a n y i + k 且如 y i ，1 i d 记 m i = ：， x k i , 1 k 0 与 0 是绝对常数因此由( 2 6 ) 式，用类似l e a d b e t t e r 等【4 中 引理4 3 2 的证明方法，得到当n _ 。时，对所有k i ，1si d 一致的有 曹嘣圳唧 - 番卜。 协 和 n 舢i 唧 - 南卜。 再由全概率公式及条件c 2 ，引理便得到了证明 口 引理2 2 设d 维平稳高斯向量序列 x k 满足( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式设 y k i 为前 文所定义的高斯向量序列若条件c x 与岛成立，且( 2 8 ) ，( 2 9 ) 式成立则 l n n ，m n n ) - e - sn ，mlim pmumv m y u m y v n 卅0 1 n n ，n n sn ， v n i = n _ o cl ，j 证明：对固定的i ( 1 ，d ) 以及分量序列( 溉i ) ，首先假设【五。加，x 0 是集合 x ， 一，k 0 中已经被观测到的随机变量，这是 鼠= 】- 的一种情况 令= 1 ，2 ，n ) ，厶= i l ，i ) ， 夕( 厶) = m a x 托i ，z 厶】以及i ，”( 脚= m a x 磁+ ，z ) 注意到 ，l i d ，则，根据l e a d b e t t e r 等【4 】的正态 比较引理有 ip m ( 厶) 乱耐，m ( 卅厶) ，1 i 毋 一p m ”( 无) u n i ，m ”( 厶) y n i ，1 i d ) 飓善dn 喜m 七卜以酬唧 一再)i = 1七= 1 、77 恤，荟曹啡，唰酬唧-稿)j 0 是绝对常数因此用类似 l e a d b e t t e r 等 4 】中引理4 3 2 以及引理6 4 1 的证明方法，得到当几一。o 时，对 所有，1 i d 一致的有 和 佗喜俐哨i 唧 _ 稿卜。七= 1 一、l ；、一， n 塾舡h “训e 印 - 南卜。七= l 、“， 再由全概率公式及条件q ，引理便得到了证明 2 3 定理的证明 定理2 1 的证明，根据引理2 1 ，只需证明 口 ，l i mp m ：u n ，m ：v n ) d = i i e x p - p , e x p ( 一觑) e x p 一( 1 一p , ) e x p ( 一犰) ) ( 2 1 5 ) i 由全概率公式得 p 曦u n ，m ：二v n ：p m 二u 。，：二v n = 令 d 圣( ) ) h 圣( ) r k i = 1 = p s n l = k 1 ，一，= b ， 仁1a i ：悔啊i d 圣( ) ) 【西( u m ) 广； ( 2 1 6 ) 2 = p s n = k 一，= ) 扛1 v ：l 等一a l e d i i 垂( u 戚) 圣( ) n 一 ( 2 1 7 ) 8 毋 七 = d&h t | & p 他吼 d：l i l 西南大学硕士学位论文第二章两类相依高斯向量序列最大值的联合渐近分布 由条件q 可得，当n _ 。时 d l p ( s n n p , i 之) _ 0 ( 2 1 8 ) i = 1 由( 2 1 7 ) 式，有下列不等式成立t d 2 西( u 砸) “慨一 垂( ) 严一炉 i = 1 d p ( & l = k l ，一，叉d = k d ) ( 2 1 9 ) 江1v i ：l 等一鼽怿 d 2 i i 圣( “。t ) ) n 扣t + e 圣( t h l ) 】“1 一巩+ 5 i = 1 d p ( & = k 一，= h ) ( 2 2 0 ) 扛1 ：i 鲁一以l c 由( 2 1 6 ) 一( 2 2 0 ) 式以及条件g 得，对任意e ( o ，m i n p i ，1 i d ) ) 有 且 l i ms u p p ( 磁u 。，m ：v 。) n 、 d e x p 一慨一e ) e x p ( 一x i ) e x p 一( 1 一p i 一) e x p ( 一纨) ) ( 2 2 1 ) i = 1 l i m i n f p ( m 二u 。，m ：v 。) 一 ， d 2i ie x p 一o t + de x p ( 一x i ) e x p 一( 1 一p i + ) e 印( 一犰) ) - ( 2 2 2 ) i = 1 令10 ，便得到了( 2 1 5 ) 式，定理即得到了证明 定理2 2 的证明，根据引理2 2 ，为证明定理2 2 只需证明 口 l i mp ( m ? u 。，m y v 。) n - - e ， = e e 耳d 唧h e x p ( - x i - p i i4 雁五) ) o x p 一( 1 一鼽) 唧( 一犰一触+ 以磊) 妒( 刁，勿，动) d z l d 铂( 2 2 3 ) 9 o ， 西南大学硕士学位论文第二章两类相依高斯向量序列最大值的联合渐近分布 由( 2 1 2 ) 以及全戳翠公式，得 p ( 瞬童u n ，m y v n ) =px 。a ( p c o ) + 菥：b ( p ( n ) ) u 住，x o a ( p ( n ) ) + m ：曰( p ( n ) ) v 。) = e e lp ( 稚( u n 一( p ( 训刚小) ) ， m * ( v - z a ( p ( n ) ) ) b 。( p ( n ) ) ) i 妒( 施，z 2 ，翻) d z 。d 施d 施 ，+ o o，+ o o n = p ( 瓯= 七l j 一，鼬= 乜 ，一，一 1 - 一1 耳 圣( ) k 黜m ) ) n - q a ( z l 忽，勿) d z l 如d 琵( 2 2 4 ) 兵中z = ( z l ，施，翔) 且 t=锷uni-zi，tm=锷vni-zi ，1 i d 由l e a d b e t t e r 等【4 】中定理6 5 1 的证明易得 q = n n ( + p i i 一、互瓦磊) + k 十o ( a 。) 且 如t = 口n ( 玑+ 风一、互瓦乏) + 6 n + o ( a n ) 故 熙【圣( ) ) ”= e x p 一唧( - - x i - - 触+ 瓜名) ) ，n o 。、 ， 且 n l ，i m 圣( t m ) ) n = e ) c p 一唧( 一玑咱t + 瓜盔) ) n 叶l、， 与( 2 1 5 ) 的证明类似的，可以得到， l i m p ( & 1 = 一，圭) 丌 圣( ) 圣( t n i ) r h tlo。-一 魁2 i l 1 l d ：d 唧卜；唧( 咱一风+ 哂蔬) ) 唧 一( 1 咄) e x p ( - - y i 邓t + 厢t ) ) 结合( 2 2 4 ) 式，由控制收敛定理得( 2 2 3 ) 定理即得到了证明 口 1 0 第三章强相依高斯序列最大值的联合渐近分布 令 x j 。1 为平稳高斯随机变量序列，且e x = 0 ，v a r ( x ) = 1 记 死= m a x , k 0 有 l i mp ( i m 7 ( 厶) 一b n l g r n l 2 ) = 0 ， ( 3 6 ) n + 其中6 n 为( 3 1 ) 式中所定义 证明：令 磊 为一列独立的标准正态随机变量序列，并记 鬈= m a x z i ，l i n ) ， p ( 厶) = m a x 乙，j 厶) ，1 k 住利用s l e p i a n 引理( 见l e a d b e t t e r 等【4 】的定理7 4 2 ) ，可得 p ( m 7 ( 厶) 6 n + r n l 2 ) p ( m 。( 厶) k + e r n l 2 ) 注意到 p ( m 。( 厶) k + 1 2 ) = 1 一( 圣( 6 n + 1 2 ) ) ， 并且当仃一。c 时，七加一p ，故对任意1 0 ，当乱 礼。时，有 ( 圣( 6 。+ ， 。1 2 ) ) n 。l ( 垂( k + r n l 2 ) ) 奄( 西( 6 n + r n l 2 ) ) n 一5 1 j 又由l e a d b e t t e r 等 4 的定理1 5 3 以及当n 一时r n l 2 一，其中a n 为 ( 3 1 ) 式所定义，可以得到，当n n o 时 ( 圣( 6 n + e r n l 2 ) ) n = ( 垂( 6 n + a n e r n l 2 n n ) ) n 一1 结合( 3 7 ) 式，得p ( i ，。( 厶) 6 n + e 7 n i l 2 ) 一0 ，因此 p ( m ( 厶) k - t - r n l 2 ) _ 0 下证当k n _ p 时 p ( m 7 ( ) t ( 几) 时 其中( 凤) 为( 3 5 ) 式所定义令仇= ( 1 一p t ( n ) ) 1 2 6 + p t ( 。) 其中( 是与 n ) 独立 的标准正态随机变量容易得到 嘞帅，七，嚣三普吨 记 ，7 ( 厶) = m a x 仍，j 厶) ，m ( 厶) = m a x 白，j i 厶) 注意到p n 上0 ，根据 s l e p i a n 引理，有 p ( m 7 ( 如) 5k 一7 n ：2 ) p ( m 叩( 厶) 6 n e 7 - n 1 2 ) ( 3 9 ) 又因为 m 叶( 厶) = ( 1 一p t ( n ) ) 垅 f ( 死) + p t ( 。) ， 故 p ( 且p ( 厶) k e rx 2 ) ，- f ： p 乒( 厶) ( 6 n 一r y 2 一，p 。l l l n 2 j , ，、( 、1 一p t ( n ) ) 一1 2 ) 妒( t 正) 砒 s 圣( 一r y 2 ( 矶( 。) ) 一1 2 2 ) + p ( m ( 厶) t h ) ， ( 3 i 0 ) 其中= ( k 一2 2 ) ( 1 一p t ( 。) ) 一m 注意到当r 1 0 9n 下0 0 时，有 阳圹瓦r t ( n ) - r 坠卫鼎：(1。gn)坍一1)(1一rn)一o。，l p t ( 。) 7o g n l o g ( n ) u 八 “77 因此当他_ 。o 时，有r y 2 ( 矶( 。) ) 一1 2 _ 从而，当他_ 。时 圣( 一- 。，n ：2 ( 优( n ) ) 一1 2 2 ) 一0 ( 3 1 1 ) 由m i t t a l 2 1 知，当佗_ 0 0 时，有 p ( 蟛) = ( 圣( ) ) n 一0 由t ( n ) 的定义，7 i n 2 ( 矶( 。) ) 一l 2 一o 。以及 p t ( n ) e p ( 耻k 警裂，嘭一k 警帮忙 1 4 七) 七) ， r 西南大学硕士学位论文第三章强相依赢堑庄型量太堕塑殓堑重坌查 和 ：= p ( 岛= 后) 。 七：i 鲁呻i 垒 p ( 硬一k 警争，峨一k 拦帮忙0 由当n _ 时，k i n _ p 得 茎p ( 岛= 七) _ 0 假设 咒。，五：，x 。) 是集合 x l ，) 中被观测值的集合，这恰是 晶= k 的种情形令厶