（基础数学专业论文）hermite矩阵空间上保秩1的加法映射.pdf

中文摘要 中文摘要 设r 是实数域，c 是复数域，礼和m 是正整数，且m i n m ，佗) 2 r 上 扎阶对称矩阵空间和n 阶复h e r m i t e 矩阵空间分别记为& ( r ) 和上乙( c ) 最近不 同矩阵集合之间的保持问题是矩阵论研究中的一个热点问题，这主要在于它们在许 多不同领域的广泛应用，而做保持问题的一个常用技巧是把许多新的保持问题归结 到一个已知的不变量保持问题，例如：保幂等，保秩l 等，进而问题得到解决这 意味着，本文研究的不同矩阵集合上的保秩1 问题在研究保持问题时非常重要本 文采取选择特殊矩阵的办法进行研究首先在第二章中刻画了从s m ( r ) 到巩( c ) 上保秩l 的加法映射形式；同时，作为应用，还给出了从( r ) 到巩( c ) 上保秩 的加法映射形式然后在第二章的基础上，在第三章中进一步刻画了从( c ) 到 凰( c ) 上保秩1 的加法映射形式；作为应用，也给出了从( c ) 到巩( c ) 上保 秩的加法映射形式 关键词：秩；秩1 矩阵；保秩1 的加法映射；保秩的加法映射 黑龙江大学硕七学传论文 a b s tr a c t s u p p o s er i st h er e a ln u 1 b e rf i e l d ，ci st h ec o m p l e xn u m b e r 右e l d ，a n dm ，佗 a r ei n t e g e r sw i t hm i n 仇，佗) 2 d e n o t eb y 最( r ) ( r e s p e c t i v e l y ，玩( c ) ) t h er - 1 i n e a rs p a c eo fa un nr e a ls y m m e t r i c ( r e s p e c t i v e l y ，c o m p l e xh e r m i t i a n ) m a t r i c e s r e c e n t l y ，o w i n gt ot h e i r 诵d ea p p l i c a t i o i l si nm a n yd i 艉r e n tf i e l d s ，t h ep r e s e r v e r p r o b l e m sb e 拥r e e nd i 丑；：e r e n ts e t so fm a t r i e e sh a v eb e e na u c t i v e ，a n do n eo fi m p o r t a n t t e c h n i q u e si nt h es t u d yo fp r e s e r v e rp r o b l e i 璐i st or e d u c em a n yn e wp r e s e r v e r p r o b l e i 璐t ot h el 【i l o w no n e s ，s u c ha u si d e m p o t e n c ep r e s e r v e r ，r a n ko n ep r e s e r v e r ，a n d s oo n ，t h e nt h e p r o b l e l sa r es 0 1 v e d t l l i si m p l i e st h a tt h er a n k 1p r e s e r v e rp r o b l e m o nd i 仃e r e n ts e t so fm a t r i c e sis t u d yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ns t u d y i n gp r e s e r v e r p r o b l e i n s is t u d yt h ep r o b l e mb ys e a r c h i n gs o m ep a r t i c u l a rm a t r i c e si nt h i sp a p e r a tf i r s t ，i nc h a p t e r2 ，r ed e s c r i b et h es t r u c t u r eo fa l la d d i t i v er a n k _ 1p r e s e r 、他r s 行o m ( r ) t o 玩( c ) ，a n dt h e r e b y ，t h eg e n e r a lf 0 咖o fa l la d d i t i v er a n kp r e s e e r s 行o ms n ( r ) t o 日l ( c ) i sd e t e r m i n e da sa na p p l i c a t i o n b a s e do nc h a p t e r2 ，t h e g e n e r a lf o r mo fa 1 1a d d i t i v er a n k 1p r e s e r v e r s 行o m 日n ( c ) t o 上k ( c ) i sc h a r a c t e r i z e d i nc h a p t e r3 ；a sa na p p l i c a t i o n ，t h eg e n e r a if o r mo fa l ia d d i t i v er a n kp r e s e r v e r s 矗o m 日n ( c ) t o 上乙( c ) i sa l s og i v e n k e y w o r d s ：r a n k ，r a n k - 1m a t r 恢，a d d i t i v er a n k - 1p r e s e r v e r ，a d d i t i v er a n kp r e s e r v e r 一i i 黑龙江大学硕十学传论文 一些符号和术语 本文中，设f 是实数域r 或复数域c z + 是全体正整数的集合对于6 c ， 6 的共轭记为6 令c o = c ci c 已= 1 ) 对于两个正整数仇，n ，令 n ( f ) 是f 上所有m 礼矩阵的集合对于a n ( f ) ，印，a + 和r a n k a ) 代表a 的转置， 共轭转置和秩将 死n ( f ) 和a 磊1 ( f ) 分别记为a 磊( f ) 和p a 磊( f ) 上任意矩阵 a 的行列式记为d e ta ，a 的迹记为t r ( a ) 对于p 中的一个非空子集s ，s 中的所 有元素张成的线性空间的维数记为d i m s p a n s 坛( c ) 上所有可逆矩阵的集合记为 g 厶( c ) r 上n 阶对称矩阵空间和n 阶复h e r m i t e 矩阵空间分别记为& ( r ) 和 玩( c ) 记为集合 1 ，2 ，后) 对于正整数n ，扎阶单位阵记为厶( ，j ) 位置 为1 其余元素全为零的n 阶矩阵记为e ，对于不同的z ，歹 ，最，+ 易t 记为 d 睁 令y = 5 ( r ) 或三k ( c ) y 中所有秩1 阵的集合记为y 1 我们说一个映射 ：1 夕_ 三k ( c ) 是加法的，若( a + b ) = ( a ) + 咖( b ) ，v a ，b 1 夕；称咖是线性 的，若不仅是加法的，而且还满足咖( o a ) = 口矽( a ) ，v o r ；称矽是保秩的， 若r a n 蚴( a ) = r a n k a ，峙么1 夕；称是保秩l 的，若( y 1 ) 硪( c ) 黑龙江大学硕十学传论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：素孙岛签字日期：硎年玉月2 7 1 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：跏蜉年占月纠日 电话： 邮编： 刀龟 t ， 、j，n - 场卞 日 南叫 各 够 签 蹈 豁 懈 睹 珈 文 期 沦 日 位 字 学 签 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 “保持问题”的研究现状 近三十年，保持问题是矩阵理论中一个比较活跃的研究领域，这一方面是因为 它有很高的理论价值；另一方面是因为它的许多问题在微分方程、系统控制、数理统 计等领域有着广泛的实际应用背景许多学者做了大量的研究工作，因此产生了大 量关于保持问题的成果( 参看文献【1 1 9 】) 保持问题主要包括线性保持问题、加法 保持问题和乘法保持问题，这些问题刻画矩阵和算子上具有某些特殊性质的映射， 见书 9 ，2 0 ，2 1 】和综述文章【3 ，6 ，1 0 ，2 2 2 4 】对于保持问题的一般背景，如：1 9 9 2 年， “和t s i n g 在文献 2 2 】中将线性保持问题概括为以下四个主要类型：保持函数、 保持子集、保持关系及保持变换 ( i ) 保持函数：设q 是一个代数结构( 域、主理想环、半环等) ，饥是q 上的加法 半群( 所有n 阶阵在通常加法下构成的半群或其子半群) ，垂是饥上的( 纯量值、向 量值或集值) 函数，吼上的线性算子l 满足 西( 己( a ) ) = 西( a ) ，va 9 t 当西( a ) = d e t ( a ) 时，n o b e n i u s 在文献f 2 5 】中分别解决了吼= 磊( c ) ，饥= 鼠( r ) 及优= a 死( c ) i t r ( a ) = o ) 的情形当圣( a ) = 秩a 时，m i n c 【2 4 1 解决 了饥= m k ( f ) 的情形，其中f 是任意的代数封闭域；1 i u 和w 妇g 在文献【2 6 中 将m i n c 的结果推广到含l 的交换环上；w b n g 【2 7 】在非交换环上也解决了这个问 题 ( i i ) 保持子集：设跪c9 t ，m 上的线性算子l 满足l ( 瓣) 跄 当跪= a 9 t i a 2 = a ) 时，c h a n 等 2 8 解决了吼= 厶( r ) 的情形；曹重光 陋1 将c h a n 等的结果推广到特征不为2 的局部环，进一步地，w a n g 和y i l a n 川 将其推广到特征不为2 的含1 交换环b e a s l e y 和p u l l m a n 【3 1 】在元素个数大于2 的任何域上研究了这个问题，并提出了两个o p e n 问题；曹重光和张显等 3 2 】解决 了其中一个；后来“u 在 3 3 】中将这两个问题在更广泛的主理想整环上同时解决； 曹重光 3 4 】和刘绍武等f 3 5 】先后在体上解决了这个问题 ( i i i ) 保持关系：设一是吼上的二元关系，l 满足三( a ) 一l ( b ) 当a b 时 成立或l ( a ) 一l ( b ) 当且仅当a b p i e r c e 等在文献f 3 6 】中刻画了任意域上保交换的非退化线性算子，后来，c h o i 黑龙江大学硕士学位论文 等在文献 3 7 】中又去掉“非退化”的条件进行研究另外，c h a n 和l i m 在文献 4 0 】 中刻画了实对称空间及复h e r m i t e 空间上保交换的线性算子的形式 ( i v ) 保持变换：给定一个变换西：饥斗吼，仇上的线性算子l 满足 圣( l ( a ) ) = l ( 西( a ) ) ，va 饥 c h a n 等分别在文献 2 8 】和 3 8 】中确定了保幂及保矩阵伴随的线性算子的保持 问题而t a n g 在【1 l 】中也研究了保伴随矩阵的问题 对保持问题的研究最早的一篇论文可追溯到1 8 9 7 年f r o b e n i u s 的文章 2 5 ，f r o b 争 n i u s 证明了( f ) 上保行列式的线性映射，具有的形式：，( a ) = p a q 或 ，( a ) = p a r q ，其中只q g k ( c ) 且d e t ( p q ) = 1 随后，线性保持问题被 广泛研究，许多有趣的结果被发现并获得更有意思的是，矩阵空间上保不变量的 线性映射具有一般形式，在1 9 7 1 年，m a r c u s 【2 4 】通过证明许多结果( 如：保秩可 加 1 3 ，1 4 ，3 9 】，伴随矩阵【2 ，1 1 ，交换性 4 0 ，4 1 】，谱 5 】) 等问题最终都归结到保秩1 的 线性映射上来解决，而且保秩1 的线性映射就是n o b e n i u s 已经发现的那种形式， 不过，d e t ( p q ) = l 的条件需要去掉或修正 1 2 “加法保秩1 问题”的研究现状 到目前为止，关于线性保持的许多结果( 包括保秩1 ) 都已经延伸到相应的加法 保持问题，加法保持问题可以看作是线性保持问题的推广然而，近些年的研究发 现，加法保持问题由于不能应用映射的齐次性性质，使得这类问题的研究难度和技 巧性大大增加所以，从线性保持问题到加法保持问题是一个不容忽视的问题，比 如：最小非零秩保持【1 5 1 6 】关于加法保持问题，开始于o m l a d 论和s e m r l 的【4 2 】 和 4 3 】，虽然这类问题开始相对较晚，但是目前结果也很多，参看文献 4 3 5 5 】由于 许多加法保持问题都可以归结到加法保秩1 问题，所以加法保秩1 问题显得越来越 重要复h e r m i t e 矩阵空间上的加法保秩1 问题受到许多学者的重视，也得到了一 些结果j o h n s o n 和p i e r c e 【5 6 】刻画了上乙( c ) 上保秩1 的线性双射；在 5 7 】中， 5 6 结果中的双射假设被减弱到咖的秩至少为2 ；从( c ) 到巩( c ) 上保秩1 非 增长的线性映射的刻画是在【1 ，7 】中获得最近，1 a n g 【1 2 】在假设r a n k 咖( k ) = 讫 的前提下刻画了从日m ( c ) 到巩( c ) 上保秩1 的加法映射的形式；在特征不为2 或3 的域上并假设的像中包含一个秩至少为3 的矩阵的前提下， l i m 【8 ，5 8 】刻 画了保秩1 非增长的加法映射移的形式；运用h e r m i t e 矩阵几何基本定理，除环上 h e r m i t e 矩阵保秩1 的加法满射形式也得到了刻画 一2 一 第1 章绪论 1 3 本章小结 在本章中，我们主要介绍了保持问题以及加法保秩1 问题的研究现状 一3 一 黑龙江大学硕十学位论文 第2 章( r ) 到凰( c ) 上保秩1 的加法映射及应用 2 1 ( r ) 到砜( c ) 上保秩1 的加法映射 引理 本章我们主要刻画5 m ( r ) 到上厶( c ) 上保秩1 的加法映射，为此介绍下面几个 引理2 1 设n 是正整数且n 2 若a 巩( c ) 且0 1 ，n 2 r o 】并满足 a + 尼n 1 邑 + 七一1 n 2 易j 硪( c ) ，v 七z + ，则a = n 巧+ 砺易 其中。巧c o ) 且砑= n l n 2 ，其中 ，歹( n ) 是互不相同的 证明由文献 2 1 】中引理2 2 的证明，易得此定理 由此引理立刻就能得下列推论： 推论2 2 设n 是正整数且n 2 ，而历，尾c n 是线性无关的若a 王k ( c ) 且n 1 ，n 2 r o ) 满足a + 托1 角钟+ 尼。a 2 仍毽砩( c ) ，v 忍z + ，则 a = o 历压+ 确所，其中o c o ) 且n 面= n 1 口2 除了这个推论外，还有下面两个引理 引理2 3 设m ，礼是正整数且m 3 而n 2 令咖：( r ) _ h n ( c ) 是一 个保秩! 的加法映射，且 帅玩) _ e 融艘刈挺( 哦v 6 邙， ( 2 - 1 ) i ( 6 d s 亡) = e 6 ( 仉q 。q ；+ 丽q t q ：) ，vs ，亡( m ) ，s 舌，v6 r 其中7 7 。c o ，e 1 ，一1 ) ，q 1 ，q m 分别是c 佗中的非零向量，若p ，q ，r ( m ) 是互不相同的，且和是线性无关的 ( a ) 若q p ，q 口和q ，线性无关，则7 7 加= 7 7 如孙； ( b ) 若，q 。和q ，线性相关，则 砂( 6 ) = e 6 ( 嘞。孙q p q ；+ 瓦而q ，q ；) 或 ( 6 d g ，) = e 6 ( 丽劲q 。q ；+ 两q ，q ：) 一4 一 第2 章瓢( r ) 到，f c ) e 保秩1 的加法映射及应用 证明( a ) 由+ + + 岛q + d 妒+ 日r 踮( r ) 得( 嘞+ + + e q 口+ + b ，) 磁( c ) 又由( 2 1 ) 可得n p q ；+ q p q ；+ 丽q 口q ；+ 协q p q ；+ 两q r q ；+ a q q ；+ 吼，q 口q ；+ 丽q ，q ；+ q ，q ：砩( c ) 这与d i m s p a n 唧，q q ，a ，】= 3 一起得7 舫= 孙 ， ( b ) 若协= 7 7 如叩口r ，由( 2 1 ) 知，结论证毕若研孙因郇和线性 无关且唧，q 口和q ，线性相关，则jz ，秒c ，使得a r = z n p + 箩q 口对任意整数 f 和正整数后，令 a 知，= 七一1 岛窄+ f p w + p 矿+ 忌f 2 e 钾+ 尼f 珐，+ 七日r 由( 2 1 ) 和是加法映射，则 多( a 惫，f )= 一1 妒( e 印) + 七眵( 辟，) + f 矽( d g r ) + f 2 砂( 岛q ) 】+ f 矽( p 册) + 矽( 9 矿) 】 =e 【后一1 q p a ；+ 忌( q r + z ，q q ) ( q r + f 仉，q q ) 4 + e 2 矽( p p q ) + e 妒( d 砖) 】 因咖( 九，z ) 砥( c ) 且存在无穷多f ，使得和及，+ z ，q g 线性无关，由推论2 2 知 e 【? ( d p g ) + 矽( d p r ) 】= d l ( q r 十z 孙n 口) + + 西( + f 孙q q ) q ；， ( 2 2 ) 其中西c o 这与e 【f 砂( ) + 矽( ) 】= z 乜；+ z 丽+ 锄唧+ 两q r 可得 z a 哆q ：+ 而；和g q ；+ 研c 啊q ；+ i j ；i q ，q ；= d f q p ( q r + 2 仇r a g ) + d ( q r + 2 叼g r q 口) q ；( 2 3 ) 因q r = z q p + 可q q ，由( 2 3 ) 得 z q ：+ f 丽q q + 协虿q p + m 驰p q ；+ 秘q p + 两可q ； = 西- q p q ；+ d f - q p q ；+ f d f 丽a p q ；+ 西z + 面可q q + f 巩r q g q ；，( 2 4 ) 因和q q 线性无关，可得 和 因7 枷叼如仉，由( 2 5 ) 得 幻7 如+ 叼打可= d f 可+ f d f 可石 锄虿+ 瓦和= 函虿+ d 2 z ( 2 5 ) ( 2 6 ) 一y 一 垒嘶 一 立“ 山 仇i i 可 t_= 疵 黑龙江大学硕十学位论文 这与d f c o ，( 2 6 ) 一起可得 和 ( 两一面) 矽+ ( 锄丽一孙) 可= 0( 2 7 ) 2 【( 协丽一) 动+ ( 丽孙一面) 剜+ 2 2 【( 锄一孙) _ + ( 两一丽i ) z 】- o ( 2 8 ) 和 因存在无穷多个f ，使得( 2 8 ) 成立，所以有 ( 研丽一) 劢+ ( 两7 7 q ，一丽) z 可= o( 2 9 ) ( 协一嘞，) 虿+ ( 砺一瓦矛丽) z = o ( 2 1 0 ) 因锄孙，由( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 知存在9 1 ，仍r ，使得 z ：坐一一，：一丝一 z = 一， 2 一 7 7 彷一叼p q 叩口r饰口7 枋一叩口r 若z 可o ，显然夕1 ，9 2 r o ) - 将( 2 一1 1 ) 代入( 2 9 ) 可得 锄丽+ 确r 一2 = 0 ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 所以劲丽的实部为1 这与，砺c o 可得协= 嘞口啦，矛盾所以， z 可= 0 ，即：z = 0 或= 0 当秒= 0 ，则q ，= z q p 且z 0 这和( 2 1 ) 和( 2 一l o ) 意味着 同理，当z = 0 时， 咖( 6 )e 6 ( 劲q p q ；+ 秘，q ；) e 6 ( 劲虿+ 两z ) q p = e 6 ( 铀z + 砺磊) q p =e 6 ( 嘞g 铀q ；+ 瓦了万q r q ；) 易知妒( 6 d q r ) = e 6 ( 丽协q 口q ；+ 两q r q ；) 引理2 4 设m ，礼是正整数且m 3 而n 2 令咖：s m ( r ) _ 巩( c ) 是保秩 ! 的加法映射，使得 纵呱归嘶订未眦( m ) v 6 r ( 2 1 3 ) l 妒( 6 d 。t ) = 幻( 伽。t 仉w + 瓦m 7 ；) ，vs ，亡( m ) ，s 亡，vb r ， 第2 章既f r ) 到限，f c ) ：保秩1 的加法映射及应用 其中叫。c o ，e 1 ，一1 ) ，7 1 ，是c n 中非零向量，且7 l 和能线性无关 若对任意互不相同的p ，口( 3 ) ，有叫钾= 1 则 ( a ) = e p a p + ，v a ( r ) ，( 2 1 4 ) 其中p 死m ( c ) 满足p q o ，vq r m o ) 证明对任意歹( m ) 3 】( 当仇 3 ) ，若7 1 ，竹和线性无关，由引理2 3 中的( a ) 可得硼1 j = 叫1 2 叫巧，这和加1 2 = l 显然叫1 j = 彬巧，即： ( 6 d 可) = e 6 ( 饥谚+ 觋，能) ，v 七( 2 ) ，v6 r ， ( 2 一1 5 ) 其中叫，= 彬1 ， 另一方面，若，y 1 ，他和线性相关，由们1 2 = 1 和引理2 3 中的( b ) 可 得( 6 d 1 歹) = e 6 ( 叫巧7 1 嘭+ 觋一y ；) 或( 6 d 巧) = e 6 ( 加1 j 他霄+ 砑垅) ，这和 ( 2 1 3 ) 可知( 2 1 5 ) 成立，其中哟c o 令铭= ，vp ( 3 ) 和= 觋，v j ( m ) ( 3 ) 由( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 可得 。 咖( 6 鼠知) = e 铭，v 七( m ) ，v 6 r ， ( 2 1 6 ) i 咖( 6 d s t ) = e 6 ( 饥篚+ 巧赢霄) ，vs ，亡( m ) ，s v6 r ， 其中t c o 且对于互不相同的忌( 2 ) 和歹( m ) 有= 1 ，显然，饥和镌线 性无关 对任意互不相同的g ，r ( m ) 2 ) ( 当m 3 ) ，下面我们将证明( 6 d 口，) = e 6 ( 霄+ 雨笛) 情形j ：和线性无关若1 ，和雨线性无关，则由( 2 一1 6 ) 和引理2 3 中的( a ) 可得可1 ，= 秒1 9 吩，这与 1 口= 钞1 ，= l 一起可得r = 1 ，即：( 6 ) = e 6 ( 霄+ 坼茁) 另一方面，若l ，钆和雨线性相关，由钉1 。= 秽1 r = l ， ( 2 1 6 ) 和引理2 3 中的( b ) 一起可得( 6 d 1 q ) = e 6 ( 面1 w + ，钟) 或砂( 6 d 1 ，) = e 6 ( ，1 霄+ 巧乱钟) 因l 和线性无关或1 和雨线性无关，我们由( 2 1 6 ) 得 ，= l ，即：( 6 d g ，) = e 6 ( 钆霄+ 讯笛) 情形2 7 和靠线性无关因l 和镌线性无关，则存在f ( 2 ) 使得锄和 线性无关而泵和麓也线性无关由= 钉l r = 1 ，( 2 1 6 ) 和引理2 3 中( b ) 的证明 可得( 6 d g ，) = e 6 ( 钟+ r ) 。 总之，( 2 1 6 ) 变成了 i 咖( 6 e i 七) = e 6 饥磁，v 尼( m ) ，vb r ， i ( 6 d 。) = e 6 ( 乱霄+ 讯茁) ，vs ，亡( m ) ，s 亡，v6 r 黑龙江大学硕士学传论文 令p = 饥镌砺 则p 坛m ( c ) 和( 2 1 4 ) 成立对于非零向量q r m ， 显然q q + 踮( r ) 因是从( r ) 到巩( c ) 保秩1 的加法映射，由( 2 1 4 ) 可得 e j p q q + 尸+ = 砂( q q ) 硪( c ) ，所以p q o 基于前面的准备工作，接下来我们证明定理2 5 定理2 5 设几和m 是正整数且m i n m ，n ) 2 ，则砂：岛( r ) _ 巩( c ) 是保 秩! 的加法映射当且仅当砂具有下列形式之一 ( i ) 多( a ) = e p a p + 姒& ( r ) ，其中e 1 ，一1 ) 且p 慨m ( c ) 满足p q o ， 其中q r m 为任意非零向量 ( i i ) 咖( a ) = 丁( a ) p p + va s m ( r ) ，其中p 是c n 中的非零向量，而丁：( r ) _ r 是一加法映射且。隹7 - ( ，辚( r ) ) 证明 因砖( r ) 中每一个矩阵都有形式n z z 丁，其中n o ，q 知= 丽伉，v 七( 仇) 显 然，d i m s p a n q 1 ，q m ) 22 不妨设q 1 和q 2 线性无关若m = 2 ，令p = q ，砸a 2 知证毕由引理2 4 知：接下来证明： j 咖( 6 j 七) = e 6 讯优，v 七( 仃1 ) ，v6 r ， i 咖( 6 d s 亡) = e 6 ( 叫时霄+ 瓦m 霄) ，vs ，亡( m ) ，s 亡，v6 ：r ， ( 2 2 7 ) 其中伽时c o ，对互不相同的p ，q ( 3 ) ，有加p 叮= 1 e 1 ，一1 ) ，7 l ，均是 c n 中非零向量且7 1 和饱线性无关下面分两种情形进行讨论 情形j ：d i m s p a n q 1 ，q 2 ，q 3 ) = 3 由( 2 2 6 ) 和引理2 3 中的( a ) 可得叼1 3 = 叼1 2 仫令仇= 可西q 2 ，怕= 可蠢商3 和讯= q 七v 后( m ) 2 ，3 ) 又由( 2 2 6 ) 易得 ( 2 2 7 ) 成立 情形2 7d i m s p a n q 1 ，q 2 ，q 3 = 2 由( 2 2 6 ) 和引理2 3 中的( b ) 知 或 ( 6 d 1 3 )2e d 【7 7 1 2 啦3 q 1 q 弓十叩1 2 叩2 3 a 3 q i ， t， 一 、 咖( 6 d 2 3 ) = e 6 ( 7 7 i 劲1 3 q 2 q ；+ 叩1 2 7 而q 3 q ；) 对前一种情形，由( 2 2 6 ) 并令，y 1 = 7 7 1 2 q l ，舶= 砸酗3 和饥= q 知，v 尼( 仇) 1 ，3 ) ， 容易得( 2 2 7 ) 成立；对后一种情形，由( 2 2 6 ) 并令他= 丽q 2 ，7 3 丽a 3 和饥= q 七， v 七( m ) 2 ，3 ) ，易得( 2 2 7 ) 成立 第五步：若d i ms p a n 伪，风) = 1 ，则砂的形式为( i i ) 由第一步和d i m s p a n 尻，风) = 1 可得 ( 6 邑惫) = 仅( 6 ) p 。，v 七( m ) ，6 r ，( 2 2 8 ) 黑龙江大学硕十学位论文 其中n ，丁仇是从r 到自身的加法单射，p 是c n 中的非零向量对任意6 r 和 不同的i ，歹( m ) ，显然兀( 1 ) + 乃( 6 2 ) o 或r ( 1 ) + 勺( 4 6 2 ) 0 不妨设吒( 1 ) + 勺( 6 2 ) o ，这和忍 + 6 2 易j 士6 d 巧踮( r ) 一起意味着h ( 1 ) + 弓( 6 2 ) 1 p 矿士咖( 6 d 幻) 硪( c ) 于是，( 6 ) = ( 6 ) p p ，其中( 6 ) c 这与( 2 2 8 ) 和的可加性一起可得 咖的形式为( i i ) 证毕 2 2应用 作为本章主要定理的应用，我们很容易得到从( r ) 到( c ) 上保秩加的映 ， 射形式： 定理2 6 设n 和仇是正整数且m i n m ，n ) 2 ，则咖：( r ) _ 巩( c ) 是保 秩加的映射当且仅当| e 1 ，一1 】- 和q g 厶( c ) ，使得西( a ) = e q ( a o o ) q + ， ( r ) 2 3本章小结 在本章中，我们首先给出了几个引理，然后借助于这几个引理刻画了( r ) 到 上k ( c ) 上保秩1 的加法映射形式，最后作为应用，s 磊( r ) 到上乙( c ) 上保秩加的映 射形式也得到刻画 第3 章阿。，( c ) 到。f c l 卜保秩1 的加法映射及应用 第3 章( c ) 到风( c ) 上保秩1 的加法映射及应用 3 1 ( c ) 到( c ) 上保秩1 的加法映射 定理3 1 设n 和m 是正整数且m i n m ，n ) 2 ，则：( c ) _ 风( c ) 是保 秩j 的加法映射当且仅当矽具有下列形式之一 ( i ) 当m 礼时，( a ) = e q ( aoo ) q + ，v a ( c ) ，其中e l ，一1 ) ，q g k ( c ) ( i i ) 当m 佗时，( a ) = e q ( a roo ) q + ，v a ( c ) ，其中e 1 ，一1 ) ，q g 厶( c ) ( i i i ) ( a ) = 丁( a ) 卢，姒( c ) ，其中p 是c n 中的非零向量，7 ：( c ) _ r 是一加法映射且o 丁( 砩( c ) ) 证明 充分性是显然的 下面我们证明必要性 因是从( c ) 到凰( c ) 上的保秩l 的加法映射，所以砂 s m ( r ) 是从( r ) 到巩( c ) 上保秩1 的加法映射，由定理2 5 知定理2 5 中的( i ) 或( i i ) 成立 情形1 ：定理2 5 中的( i i ) 成立与定理2 5 中第五步类似的讨论，很容易证 明砂的形式为( i i i ) 情形2 ：定理2 5 中( i ) 成立显然，存在e 一1 ，1 ) 和非零向量俄，风 c n ，使得 ( 孓1 ) 若d i m s p a n 尻，风) = l ，定理2 5 中的( i i ) 成立由情形1 知，砂的形式为 ( i i i ) 所以， d i ms p a n 角，风) 2 ( 孓2 ) 第一步：令i 是虚数单位，并设p ，g ( m ) 是互不相同的若伟和岛线性无 关，则存在p 口 1 ，一1 ) 使得 妒( 跣一统) = e 6 e p q ( 伟鹾一岛霹) ，v6 r ( 3 3 ) r * r 叫 “ o 岛 、n v l引成引展 v + 慨眦 = = 瓦巩矽 ，li，l一， 黑龙江大学硕十学位论文 ，得 和 设七是一个正整数因咖是一个保秩l 的加法映射，由( 3 1 ) 和 j 骂叩+ ( 1 + 统) + ( 1 一统) 岛p + ( 1 + 6 2 ) 岛口砩( c ) ， i 尼嘞+ 跣一觇+ 七。6 2 日g 砩( c ) 运用推论2 2 ，我们有 咖( 觇耳。一统) = e ( ( 6 ) 伟日+ ( 6 ) 岛席) ( 孓4 ) 岛霹+ ( 1 + ( 6 ) ) 乓成+ ( 1 + 丽) 岛纬+ ( 1 + 6 2 ) 岛露砩( c ) ， ( 孓5 ) 其中( 6 ) c 满足 唧。( 6 ) 唧。( 6 ) = 6 2 ( 譬6 ) 因伟和岛线性无关，由( 3 - 5 ) 得( 1 + 唧g ( 6 ) ) ( 1 + ( 6 ) ) = 1 + 6 2 这和( 3 6 ) 可推 得唧q ( 6 ) = p q 跣，其中 l ，一1 ) 于是， ( 3 4 ) 变成了( 3 - 3 ) 第二步：设p ，q ( m ) 是互不相同的若岛和岛是线性相关的，则( 3 3 ) 成 l 豆 因岛和风线性相关，则存在 c ，使得岛= 允岛由l + 6 2 o 或 l + 4 6 2 忽元o ，不失一般性，设1 + 6 2 无o 这与岛q + 6 2 嘞士( 觇岛q 一统) 砩( c ) 易得 1 + 6 2 允翻岛成士( 跣易q 一统) 联( c ) ，于是 咖( 觇耳q 一觇e g p ) = 岛罐， ( 3 _ 7 ) 其中r 另一方面，由( 3 2 ) 则存在r ( m ) 扫，q ) 使得伟和屏线性无关由第一步 可得 ( 抚嘞一抚) = e k p r i ( 体库一屏库) ，帕r ( 3 - 8 ) 其中锄 1 ，一1 ) ( 3 - 1 ) ，( 3 7 ) 和( 3 8 ) 可推得 矽( 6 岛q + 6 e 易+ 6 耳，+ 跣岛q 一抚e 印+ 6 d 口r + 抚e 旷一跣日p ) = ( e 6 + e 她 + ) 岛瑶+ e 6 厨癣+ e ( 矿 i + 1 ) 6 风成+ e ( 1 一矿舷) 6 屏露 一1 4 一 砩 qq 破 h 黼 坩 酬儡辩 第3 章 。f c l 到，f c ) 上保秩1 的加法映射及应用 因r a n k ( 6 岛口+ 6 蜀叩+ 6 耳r + 坑一跣+ 6 d q ，+ 统e p r 一跣历p ) 1 且是保 秩1 的加法映射，可得 广 一 1 r a n ki 幻机轨e ( 锄胁+ 1 ) 6i ，使得 = e ( 岛库+ 屏库) = e ( 一z i 岛席+ z - i 伟库) = ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 屏= z l z 纬由( 孓1 ) 可得 0 这和( 3 - 1 ) ，( 3 - 9 ) 一起可推 ( + 2 + 2 耳r + ( 1 + i ) + ( 1 一i ) + ( 1 + i ) + (