（机械制造及其自动化专业论文）散热器的热特性分析及优化设计.pdf

摘要 摘要 本文分别对自然对流和强迫对流条件下的型材散热器，进行了热特性分析和 优化设计。在对散热器的结构和工作环境进行分析的基础上，采用有限差分法对 散热器的流场和温度场进行了计算，其中流场的计算采用s i m p l c 算法。 以热阻最低为优化目标，采用复合形法对散热器的结构进行了优化。开发了 一个可应用于工程实际的散热器优化设计软件，并联系加工了一批样品进行实验 测试，测试结果与计算结果取得了一致，从而验证了所采用的数学模型及计算方 法的正确性和软件的可行性。 关键词：散热器热分析热阻优化锻多r a b s t r a c t a b s t r a c t t h i s p a p e rs t u d i e d t h et h e r m a lc h a r a c t e r i z a t i o n a n a l y s i s a n dt h e o p t i m i z a t i o n d e s i g no fs e c t i o nb a rh e a ts i n k su n d e r g o i n gt h en a t u r a la n df o r c e dc o n v e c t i o nc o o l i n g b a s e do nt h e a n a l y s i s o fs t r u c t u r ea n do p e r a t i o nc o n d i t i o no fh e a t s i n k s ，t h r e e d i m e n s i o nf l u i da n d t e m p e r a t u r ef i e l d sw e r e c a l c u l a t e dw i t l lt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d t h es i m p l c a l g o r i t h m w a s e m p l o y e d t os o l v et h ep r o b l e m sm e ti nc a l c u l a t i n gt h ef l u i d f i e l d t h eo p t i m u mg e o m e t r i e so fh e a ts i n k sw i t ht h em i n i m a l 恤e m a a lr e s i s t a n c ew a s o b t a i n e db ym e a n so ft h ec o m p l e x a l g o r i t h mo f b o x as o f t w a r ef o ro p t i m a ld e s i g no f h e a ts i n k sw a sd e v e l o p e da n dc o n f w m e db yt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sf r o ms o m e s a m p l e s k e y w o r d ：h e a t s i n k st h e r m a l d e s i g n t h e r m a lr e s i s t a n c e o p t i m i z a t i o n 声明 创新性声明 r 锄5 3 6 2 心：。警舀 本人声明所早交的论文是我个人在导师指导下进行的研究i 作及取目的研究 成果。辱我所知除了文中特别自u 以杯注利致谢中所罗列的内容外沦义+ | 不乜 含其他人已经发表或撰写过的面f 究成果；也小包含为获得西安电f 科技大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同_ l 作的同志对小酬究所做的 任何贡献均已在论文中做了明确的说明斤表示了谢意。 本人签名：逸尘墓广| 期 关于论文使用授权的说明 本人宠令了解西安电f 科技大学有关保留和使用学位论文的胤定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名：翻尘美 导师糁名 广1 期2 塑! ：! ：兰 r | 期塑l 二l 三 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 随着电子殴备朝着大功率、小型化方向的发展，元器件的功率密度急剧增加， 而可供散热用的空间却越来越小。如何在有限的空间中增强元器件的换热，以满 足其性能和可靠性指标对传热的要求己变得非常重要。采用扩展表面( 肋片) 技 术，通过增加散热面积来增强换热是在电子设备中广泛应用的一种散热技术。 由于电子设备所处的环境条件愈来愈恶劣，设备对散热器的体积、重量、性 能的要求愈来愈高，在这种情况下，设计出性能良好、可靠性高的散热器就显得 非常重要。 另一方面，随着新技术更新换代的周期愈来愈短，要求电子设备的研制周期 也大幅度缩短，如何在较短的设计周期内，设计出满足设备需要的、高可靠性的 冷却系统，将是科研过程中面临的一个重要课题。 我国的散热器目前主要有两个系列：型材敬热器( g b 7 4 2 3 2 - 8 7 ) 和叉指形 散热器( g b 7 4 2 3 3 - 8 7 ) ，工程设计人员在解决设备的散热问题时，通常是根据散 热器手册所提供的热阻值来选取散热器，再作些校核计算。但是散热器的热阻是 散热器物理属性和散热器的几何特性等的综合函数，它与散热器的结构形式、尺 寸大小、材料、环境温度、空气流动状态和散热器的放置位置等因素相关。同一 散热器的工作方式、环境条件和负载不同，其热阻值就会不同。因此，在进行散 热器的优化设计时必须考虑到实际环境条件对其热性能的影响。 本文主要以型材散热器( 肋片式散热器) 为研究对象，通过建立合理的计算 模型，对其进行热特性分析和优化设计。 1 2 散热器的热特性分析概述 描述传热问题的微分方程是一组复杂的非线性偏微分方程。除了某些简单的 情形外，很难获得这些偏微分方程的精确解。对许多有实际意义的问题，必须采 用实验研究或数值解法。随着高速电子计算机的迅速发展，从本世纪六十年代以 来，传热问题的数值解法已发展成为解决实际问题的一种重要工具。 数值传热学是研究用数值方法求解传热问题的一门学科，是一门数学、传热 学、计算机相结合的学科。它可理解为：根据所需求解的实际问题建立台理的数 学模型，利用离散化处理的计算方法，求解传热问题是与工程实际密切结合的 一门工程应用基础科学。其主要的计算方法有有限差分法、有限元法、边界元法 和有限分析法，这些方法把求解区域分为若干子域，然后在子域中得到离散的线 2 散热器的热特性分析及其优化设计 性代数方程，最后求解整体的线性代数方程组。有限元法虽然在处理边界问题上 有一定的优越性，但计算过程较复杂，且要占用较多的计算机内存和机时；边界 元法和有限分析法在近几年中有很大的发展，并成功地解决了许多流动和换热问 题，但不够成熟；就发展的成熟度、难易程度以及运用的广泛性而言，有限差分 法占有相当的优势。有限差分法中有四种常用方法，即t a y l o r 级数展开法、多 项式拟合法、控制容积法和平衡法，其中基于守恒特性的控制容积法因其物理概 念清晰而受到普遍使用。 对流换热问题的数值求解要比导热问题更加复杂。最初的尝试是建立了边界 层的近似数学物理模型，并且用相似变量求解取得了很大的成功。目前已经发展 到带有回流问题的n a y i e r - - s t o c k s 方程的求解，但其中的对流项和压力梯度项 在计算中都会带来迭代不易收敛的困难。为了消除原始变量法( 指压力和速度变 量) 中压力梯度项造成的计算困难，又出现了流函数一涡量法和流函数双调和方 程法等方法。边界层流动问题是抛物线型方程，可用推进积分求解，而回流问题 则是椭圆型方程，求解较为复杂。此外，随着雷诺数的增大，数值计算的难度也不 断增大。 1 3 散热器的优化设计概述 一个好的优化方案不仅要考虑到散热器在特定条件下热性能还要考虑到实 际环境条件对其散热性能的影响。 在散热器的系统设计中，设计人员会遇到的一系列设计约束有： 入口流速 可获得的压降 流体入口处的横截面尺寸 所需的散热量 散热器的最高温度 周围的流体温度 散热器的最大尺寸 对重力影响的修正 外观与成本 其中一些设计约束与环境条件密切相关当散热器实际的工作环境确定时这 些设计约束也就确定了。当所有的设计约束给定后，就需要确定在约束范围内散 热器最佳的散热性能。在优化设计中设计者可以控制的散热器的典型参数有： 肋高 肋长 第一章绪论 肋厚或肋问距 肋片数或肋片密度 肋片形状或肋片轮廓 - 基板厚度 横截面类型 散热器的材料，等等 改变上述任何一个参数都会对散热器的性能产生独特的影响，但不同的参数 对散热器性能的影响方式是不同的。 目前，对散热器的优化问题的研究多采用参数分析法，即一次选择一个参数 作为独立变量而其它参数保持不变的研究方法。将独立变量用横坐标来表示，散 热器与环境之间的热阻用纵坐标来表示，这样就可以得到散热器相对于某个参数 的性能图。通过使用性能图，在工程设计中就可确定需要调整哪些参数，以及如 何调整这些参数来实现散热器最大的散热性能。 具体的参数分析过程可能既简单又快捷，也可能既复杂又费力。将设计过程 中涉及的参数( 如肋间距) 与环境条件( 如气流流速) 联系起来，建立一套参数 公式加速参数分析过程，从而确定出优化的散热器结构尺寸，这一过程称为简化 的参数分析。由于在定义参数公式过程中往往采用一些近似假设，致使这种方法 仅能处理简单环境条件下的热分析。复杂的参数分析过程使用数值计算方法提供 所研究区域内流场和温度场的详细图形表示，这种方法可以考虑较为复杂的情 况，得出较为详细的结果。 采用参数分析法的基础是认为散热器的大部分参数是彼此相互独立的，但在 通常情况下，要估计一个参数对散热器性能的实际影响，必须同时考虑到其它参 数的影响。例如，增加肋高可以提供更大的散热面积以实现更大的散热量，从而 提高了散热器整体的热性能，但是，如果通过散热器的体积流速为固定值，则整 体的热性能会随着肋高的增加而降低；如果散热器上的气流压降为固定值，在流 速方向上增加肋长就会减小肋片表面上的实际流速，从而对散热器的热性能具有 不利的作用；增加肋片数目的做法通常被认为是提高散热器性能的一种途径，但 这是一个不正确的结论，因为拥有过多的肋片会导致散热器上更大的气流压降， 从而导致流速显著下降或绕流的显著增加，致使整体热特性的减小。 这样，散热器的优化问题实际上属于有约束多变量优化问题，其目标函数就 是散热器与环境之间的热阻，设计变量就是设计者可控制的散热器参数。 由于散热器优化问题的目标函数并没有直接的显示表达式，本论文选用复合 形法进行优化问题的求解。复合形法属约束直接搜索法的一种，直接搜索法是在 可行域中直接比较函数值，不断用改进点代替最坏点，从而寻得最优点的一种方 法。这种方法对目标函数和约束函数的连续性和可微性没有要求，不用求导。 散热器的热特性分析及其优化设计 对于目标函数的求解，本论文采用了两种方法，一种方法，建立包含散热器 在内的求解区域的三维模型，利用数值计算方法求出详细的三维温度场，再利用 热阻的定义式求出散热器热阻。采用这种方法求解目标函数，每优化一步，散热 器的结构尺寸就要发生变化，在进行传热分析时，网格要重新自动划分，重新计 算温度场。而每计算一次温度场就需要一至两个小时，这样整个优化过程的时间 是不可接受的。虽然这种方法在理论上看来更加精确，可获得散热器详细的温度 场描述，但在实际应用中，由于计算时间过长，使其实用性受到很大限制。特别 是对于开发供用户使用的散热器优化设计软件，采用此种方法很不现实。 另一种方法，通过借鉴热交换器的理论对散热器建立二维分析模型，由于散 热器肋片间的传热同平行板通道的传热过程相似，故采用较为成熟的平行板通道 流动和传热经验公式，简化热阻的求解。 对于平行平板通道换热的研究早在4 0 年代就已开始，对其进行的理论和实 验研究一直在不断地进行，近些年来在完善前人研究成果的基础上，得出了一些 关于换热系数和摩擦因子等描述传热和流动的经验公式，这些经验公式已在实验 和实际应用中得到了很好的验证。本文在求解散热器热阻的过程中采用这些公 式，简化了计算，使整个优化过程可在较短的时间内得出结果。 本文为了利用二维模型，作了两种近似假设，一种是等壁温假设，另一种是 等热流密度假设，针对这两种假设，采用了两套不同的计算方法，最后的结果显 示出这两种方法得出的结果符合得非常好。 假设带来了简化，但也会引进误差。好的假设必须作到在简化和误差这两个 矛盾中达到一种最优的平衡。本论文根据上述两种假设对热阻进行求解，开发了 散热器优化设计软件，并对优化结果进行了实验测试，平均实验误差约为8 ，这 一结果说明了假设的合理性。 1 4 本文所完成的工作 1 利用数值方法已有程序，对散热器在自然对流和强迫对流条件下的流场和温 度场进行了计算； 2 采用复合形法，以热阻最低为优化目标，分别对自然对流和强迫对流条件下 散热器的结构尺寸进行了优化： 3 开发出可应用于工程实际的、能满足用户多种需求的散热器优化设计软件； 4 根据软件的优化结果加工了一批样品，对其进行了实验测试。 第二章对流换热问题的数值方法 第二章对流换热问题的数值方法 2 1 对流换热问题的数学模型 数学模型的建立，首先是要确定描写问题的物理量，然后根据一些普遍的自 然规律以及与问题有关的特殊规律建立各量之间的关系式，他们往往是以微分方 程的形式出现的。 对于连续不可压缩稳态牛顿流体，描述非边界层型流动对流换热的基本方程 为： 质量守恒方程，又称连续性方程： 型+ 型+ 型：o( 2 一1 ) 反 旁 曲 动量守恒方程( x ，y ，z 三个方向) ，又称n a v i e r s t o k e s 方程： x 方向： 罢+ 象+ 老一象+ ( 雾+ 窘+ 剽+ 只 cz z ， i + 瓦+ i 2 一玄+ l 万+ 矿+ 一j + 屺吃 y 方向： 罢+ 未+ 罢= 一鲁+ ( 窘+ 雾+ 割+ s ， c 。一s ， i + 瓦+ i 2 一方+ l 万+ 矿+ _ j + o “1 z 方向： 删生+ 型+ 坐一垒+ f 宴+ 垂+ 窑 + s ( 2 圳 i + 石+ i 一玄+ l 万+ 可+ 刮= “q 能量守恒方程 心，“罢+ 肛，v 雾+ 肛，w 罢= t 窘+ 窘+ 窘) + 品c z 其中：u ：x 方向速度 w ：z 方向速度 “：动力粘度 k ：导热系数 s ：源项 v ：y 方向速度 p ：密度 c p ：定压比热 p ：压力 这五个基本方程共有五个参变量：三个方向的速度分量u ，v ，w 、以及压力 p 和温度t 。五个方程中的五个参变量是相互耦合的。主要表现为：速度一压力耦 合，温度一速度耦合。 6 散热器的热特性分析及其优化设计 在进行自然对流换热计算时，一般采用b o u s s i n e s q 假设： ( 1 ) 流体中的粘性耗散忽略不计： ( 2 ) 流体除密度以外的物性参数，如比热、导热系数等，为常数； ( 3 ) 流体为不可压缩流体，即由于压力变化引起的密度变化可以忽略不计。密 度的差异只是由温差引起的； ( 4 ) 对密度仅考虑动量方程中与体积力有关的项，其余各项中的密度均作为常 数。由于温度变化引起的密度可近似表示为 p = p 。r u p f l “j j 式中：l ，参考温度； t 计算温度； p 。，流场参考温度下的流体密度 口体积膨胀系数； 为了，便于研究和程序编制的通用性，将方程( 2 1 ) 一( 2 - 5 ) 口】改写成如f 通用形式： p 掣+ p 掣+ p 掣0 2 = ( 窘+ 雾+ 卦s ， 悟。， 础研l 麟卯一盛。 其中：口：通用变量，可以是u ，v w ，t l ：广义扩散系数s ，：源项 方程( 2 - 6 ) 与方程( 2 - 1 ) 一( 2 5 ) 的对应关系如下： 连续性方程：p = 1 ，l = 0 ，已= 0 动量方程： x 方向：妒= ”， = ， 品= 筹+ 只 y 方向：伊砘f ，啦s = 象+ 邑 z 方向：妒= w ，f ，= ，= 一笔+ t 能量方程： 妒= t f 。= k -咒= s ， 对于上面所列的偏微分方程组，就目前数学发展状况看，直接求解是十分困 难的。其主要的难点就在于n a v i e r - s t o k e s 方程是非线性的，在工程应用多采用数 值计算方法进行求解。 常用的数值解法有：有限差分法、有限元法、边界元法和有限分析法，这些 方法都是将求解区域分成子区域在子区域中得到离散的线性代数方程，从而将 连续性问题转化为离散问题，把偏微分方程转变成代数方程组进行求解。各种方 第二章对流换热问题的数值方法 法差异的实质在于所建立的中心点与周围点之间的关系不同。 由于流体流动所固有的“迎风”特性，目前在国际计算流体动力学界，有限差 分法占了绝对的优势。在本论文中，采用了基于有限差分法的控制容积法。 2 2 离散方程的建立 微分方程的数值解系由一组可以构成困变量妒分布的数所组成，实质上就是 用离散的值取代包括在微分方程精确解中的连续信息，这种数值方法就叫离散化 方法。经过离散后，非线性微分方程变成了一组代数方程组，即离散化方程。 在对对流换热问题进行数值计算时，茸先要对计算区域进行离散划分。把定 义域分为若干有限的区域，将原来定义域内连续变化的待求变量转化为由有限区 域内若干点的待求变量值来表示，这一过程称为区域离散化。节点是控制容积的 代表，界面是控制容积的分界位置，网格线是由沿坐标方向相邻点的连线形成， 而控制容积则是应用控制方程的最小几何单位。 一 计算区域的离散化方法 区域离散方法可视节点在子区域中的位置不同，分为外节点法和内节点法。 1 外节点法 外节点法的节点位于子区域的角顶上，子区域的分界线就是网格线，但子区 域不是控制容积，需在相邻两节点的中问位置上作界面线，由这些界面线构 成各节点的控制容积。其实施过程是先确定节点的位置再确定界面的位置， 也称为先节点后界面的方法。 2 内接点法 内节点法的节点位于子区域的中心，子区域就是控制容积，子区域的分界线 就是控制容积的界面线。其实施过程是先确定界面位置再确定节点位置，也 称为先界面后节点法。 两种方法的主要区别主要表现在以下四个方面： 1 边界节点所代表的控制容积不 同。如图2 1 所示。在外节点法中， 位于非角顶上的边界节点拥有半个控 制容积：而在内节点法中，边界节点 的控制容积的厚度为零，即图中 出斗0 时的极限。对于边界温度给定 的非稳态问题，采用外界点时，离散 方程将无法考虑边界节点半个控制容 自盆 卅1 卜 外节点法内节点法 积的热容量的影响。丽内节点法则可避免这类问题。 图2 1 旦一 墼垫楚盟垫壁丝坌堑墨苎垡些丛生 2 当网格分布不均时，内节点法中 节点总位于控制体的几何中心，而外节点 法则不然，如图2 2 所示。从节点是控制 容积的代表这一角度看，内节点法更为合 理。 3 当网格不均分时，外节点法的控 制容积界面总位于两邻点的中间位置，从 龋斟 外节点法 内节点法 图2 2 而为计算通过该面的热流密度提供了较高的精度。但由于通过节点的网格线并不 通过控制容积面的中点，用此热流密度代表整个控制容积面上的值仍会造成某些 误差。 4 当所求解的区域中物性发生阶跃性的变化时，采用内节点法可以方便地 把发生阶跃变化的面作为界面，从而避免在同控制容积内存在物性的不连续 性。采用外节点法时，要想把控制容积面布置在所希望的位置要困难得多。 基于以上分析，本论文采用内节点法来进行计算区域的离散化。 二 推导离散化方程的方法 通常建立有限差分离散方程的常用方法有四种，即t a y l o r ( 台劳) 级数展开 法、多项式拟和法、控制容积积分法及平衡法。 t a y l o r 级数展开法把控制方程中各阶导数用相应的差分表达式来代替而形成 离散方程，各阶导数的差分表示是由t a y l o r 级数展开而得。多项式拟和法将导数 的差分表达式通过多项式的拟合来获得，相当于对未知函数的局部变化型线采用 多项式来逼近。 控制容积积分法又称有限容积法，它是把物理上的守恒方程直接应用于控制 容积导出离散化方程的方法。平衡法是将物理上的守恒定律直接应用于控制容积 导出离散化方程的方法，也称控制容积平衡法。 上述四种方法中，t a y l o r 展开法与多项式拟合法偏重于从数学角度进行推导， 把控制方程式中的各阶导数用相应的差分表示式来代替，而控制容积法与平衡法 则着重于从物理观点来分析，每一个都是有限大小容积上某种物理量守恒的表示 式。前一类方法的优点是易于对离散方程进行其数学特性的分析，缺点是变步长 网格的离散方程形式比较复杂，导出过程的物理概念也不清晰，而且不能保证所 有差分方程具有守恒特性。而控制容积积分法及平衡法则正好相反，两种方法的 推导过程物理概念清晰，离散方程的系数具有一定的物理意义，并可以保证离散 方程具有守恒特性。缺点是不便对方程进行数学特性的分析。 控制容积法是传热问题数值计算中广为采用的方法。它着眼于控制容积的积 分平衡，并以结点作为控制容积的代表。所以必须先设定待求变量在区域内的变 第二章对流换熟问题豹数值方法9 化规律，即先假定变量的分布函数，然后将其分布代入控制方程，并在控制容积 上积分，便可得到描述结点变量与相邻结点变量之间关系的代数方程。由于是出 自控制容积的积分平衡，所以得到的离散化方程将在有限尺度的控制容积上满足 守恒原理。也就是说，无论网格化分的疏密情况如何，它的解都能满足控制容积 的积分平衡。这个特点提供了在不失去物理真实性的条件下，选择控制体容积尺 寸有更大自由度，所以它被广泛地应用于传热问题的数值计算。 本论文在推导离散化方程时采用控制容积积分法，其实旅步骤如下： 1 将守恒型的控制方程在控制容积内对时、空均作积分； 2 选定未知函数及其导数对时、空的局部分布曲线( 型线或插值方式) ； 3 对各个项按选定的线型作积分，并整理成关于节点上未知值的代数方程。 在对所求变量取控制容积积分平衡时，通常采用两种分布假设：阶梯形分布 和分段线形分布。阶梯形分布假设控制容积内的变量值均匀并等于结点值；分段 线形分布假设变量在相邻结点间呈线形分布。也可以假设高次多项式分布，但它 将给数值计算带来许多麻烦，故一般只选择简单的分布形式。变量的阶梯形分布 虽然简单，但它不能用来计算变量在控制容积交界面上的梯度值，故般只用于 源项、物性参数和变量在时域上的分布，分段线性分布可用来计算变量的梯度， 有时也被用来计算变量在时域上的分布。 1 wwpeewwpef a ) 阶梯形b ) 分段线形 图2 3 在控制容积积分法中选取型线仅是为了导出离散方程，一旦方程建立起来， 型线就完成了使命而不具有任何意义。因此没有必要对微分方程中所有的变量都 采用同样的分布假设，即使对于同一个变量，也没有必要对方程中所有各项都采 用同样的分布假设。 分布假设对离散方程的求解方法及结果有很大影响，在控制容积积分法中， 所谓不同的差分格式，主要由于分布假设的不同而致。而离散化方程的不同形式 主要是分布假设和推导方法的不同所致。 下面以二维对流一扩散方程为例来说明用控制容积法对控制方程的离散。 0 散热器的热特性分析及其优化设计 p 害+ 户掣+ p 掣= 。( 窘+ 豹+ 耳 引入在x 及y 方向的对流一扩散总通量，上式可改写成为： 掣+ 乳咿r 期+ 为( 刖一r 期：s j 。 j + 将此式对如图2 4 所示的p 的控制容积作时间与空间的积分，并假设： - 以掣近似地代替掣t ；r 2 量， 3 则得： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 以x 与y 方向上的总通量j x 、j ，在各自的界面e 、w 及1 i 、s 上是均匀的， 于是有： r 筹出咖= 舭一j ；) d y 兰( 小j ；) a y 吐吐 其中、髟分别代表x 方向上在e 界面及w 界面处单位面积上的转移 而止、j 。则是总面积母上的转移量； 对源项作线性处理，即s = s c + 品。 掣x y + ( j ，十，。) + ( l + 正) ：( s c + s p c v ) 。y c z ，) 图2 4 界面上的总通量可以表示成对流与扩散部分之和，依界面上导数差分方式及 函数插值方式的不同就形成了各种差分格式，最后可得如下形式得离散代数方 程： a j p 口= a w c p + 口e 妒e + 口s 妒s + c l p + 口p 0 妒0 p + 6 ( 2 1 0 ) 式中： 一znp w 一 - w 第二章对流换热问题的数值方法 = 见彳( 气) = v 。4 1 p a ) + i c ，0 1 口，= d w 爿( 只。) = d 。a ( i p 。f ) + 卜r ，咖 盯。= 见( 气) = q 一0 f ) + 卜e ，o | 】 a 。= q 彳( 气) = d ；爿( 1 气1 ) + 【卜c ，0 1 b = s c 缸 c t 尸= d e + a + d + 口s + 口；一s p 缸衄 0 。：p p x x l x y 。 r t = b ) 。缈， e = b ) 。a x ， d ：旦坐 。慨) 。 d ：! 坐 1 协) l = 妇) 。缈 f = 咖) 。a x 罐)耻簖 j ( 2 1 1 a ) ( 2 1 1 b ) ( 2 1 1 d ) ( 2 1 l e ) ( 2 - 1 1 9 ) 式中只= f d = p u & r ，它是以蠡为特征尺度得p e c l e t 数，它反映了对流 和扩散强度之比。符号【k b l b 表示两者之间的最大数。 采用同样的方法，可建立三维通用微分方程( 2 - 6 ) 的离散化方程。其形式如 下： p 弗= 口e 九+ a w # + 4 + d 5 拓+ 口r 办+ d b 九+ 6 ( 2 - 1 2 ) 其中： a ；= 见_ ( 只。) = d 。爿0 只。j ) + 0 一c ，0 1 a ，：d ，爿( ) = d w 爿0 最。1 ) + 0 ，0 1 n 。= d 。( 只。) = q 一0 f 。i ) + 0 一e ，o l 】 n 。= d ：a ( 气) = d ，彳0 气j ) + 0 c ，o l 】 ( 2 1 3 a ) ( 2 1 3 b ) ( 2 一1 3 c ) ( 2 1 3 d ) ! ! 墼垫墨盟垫壁丝坌堑墨基垡垡堡盐 口，= d 一c 匕) = d ：4 ( 气1 ) + 0 一e ，o l 】 = d b 4 p 。) = b 彳0 ，o f ) + 圪，o i 。一丛生型竺 “ 出 a p = a e + a + + a s + 以口+ 口r + d ；+ s p a x a y a z b = s r x z x y a z + a o p o p 流量与传导性c ，r ，y o ，只，f ，乃，q ，d 。，珥，d ，d r ，d d 的定义为： t = 咖x 缈血l = 妇) 。妙血 - 1 = b ) 。血&只= ) 。a x a z - f = ( l 止妙瓦= ) 。血缈j r ) 一r o a y 止 u 一瞬上 d 一生堑竺 一协l d ，r 。, a x a y j r 一她) ， d f 。z x y ，a z 一慨) 。 d 一旦坚竺 1 一协i d f 。6 。a x a ，y 1 一慨) 。 ( 2 1 3 e ) ( 2 1 3 f ) ( 2 13 9 ) ( 2 1 3 h ) ( 2 1 3 i ) ( 2 1 3 j ) ( 2 1 3 k ) 三对流扩散方程的差分格式 动量守恒方程( 即n a v i e r s t o c k s 方程) 中有非线性的一阶导数项，这给流场 的计算增加了许多复杂因素。在流场数值计算中所遇到的主要问题是由这个一阶 导数项的离散方法不妥而引起的。对于对流项差分格式的性能有两个基本要求： 保证所得的数值解具有物理意义； 在一定的计算工作量下所得的结果具有合适的准确度。 由于所得到的解的准确度还与扩散项的离散方法有关，且在不同条件下，对 流项与扩散项所起的作用也不同，因而选取对流项与扩散项的差分格式就显得尤 为重要。 表2 一l 给出了几种常用的差分格式数值稳定性的对比 、ll，llj 第二章对流换热问题的数值方法 表2 1 差分差分格式定义对流项所传递的扰动稳定 格式向上游向下游条件 中心 ，= 错 一土f 坐b土f 堂b 只2 差分 2l x 2l 出j 一阶 舢( 渤= 警 0 f 堕b 绝对 迎风 la x 稳定 删，( 芸) = 警 删偿) = 警 二阶 工业二兰业= 煎：20 2 f 丝k 绝对 迎风 2 a x la x 稳定 川偿) = 警 一办一2 n + - + a + 2 2 a x 删，哆f 警 q u i c 上珐+ ：一2 谚+ + 谚 k 8 3r u a t 、。 7 fu a t 、。 只s ； 格式 ( 辨华：警 一i l i 尸 i l i j d 一忐协r 3 痧埘r “) 指数 一维问题丢汹) = 墨( r 五d e 扩散与对流扩散与对流 的总影响：的总影响： 离散方程：口p 九= 口e 九+ 丸 嚣占( o ) 等a p 占( o ) 绝对 格式 稳定 一 “ 。一! ! 婴匕j 2 o , , p ( p j - j 2 丽两菏 d ：垒 a p2o + 哳 。 ， 关于对流扩散方程差分格式的稳定性与准确性问题的讨论一直是计算流体力学 和计算传热学中一个活跃的课题。为了找出既稳定又具有足够准确性的离散方 式，众多的研究者已提出数以十计的差分格式，并对其中一些主要格式结台具体 问题进行过相互比较。但迄今为止，还不能提出一种在稳定性、准确性、经济性 方面对各类流动与换热问题都较理想的格式。 旦一堂垫壁盟垫鲎丝坌堑垦基垡些丝盐 混合格式最早是由英国学者斯波尔丁提出的。由于它是具有守恒性和绝对稳 定性的差分格式之一，而且计算量相对较小，在对计算结果精度要求并不是很高 的工程分析中，不失为一种可选的差分格式。从图2 5 中可以看到混合格式及其 它几种差分格式在一维问题中的对比曲线。可以看到混合格式与精确解吻合得更 好。 中心差分在凡( 称为网格p e c l e t 数，它反映了对流和扩散强度之比) 较小时， 计算较为准确，但凡大于一定数值时，会出现解的振荡现象。这种格式计算对流 项的差分时，界面上的未知量恒取上游结点的值，扩散项按中心差分格式。既具 有守恒性又具有迁移性，但离散方程的截差等级较低，限制了解的准确度。 迎风格式克服了中心差分格式的缺点，对任何p 数都能得到物理上真实的 解，但是无论对是对小的只数，还是大的只数，其计算误差较大。当只数较小 时，扩散项有较大的误差，当只数较大时，对流项又有较大的误差。 指数格式对稳态的一维无源对流扩散问题的任意只数能得到严格解，但对 一般对流一扩散问题，则将失去严格解的含义。 混合格式可以说是中心差分格式和扩散为零的迎风格式的混合，当尸 2 时， 混合格式和中心差分格式完全相同，当只 2 时，混合格式简化成无扩散的迎风 格式。 1 中心差分 一 混合恪式 t j 1 0 7 鹳 迎风差分 、 精确解 、 ir 0 5 、 一 、 。| 、 一。一 it r 、_ _ ii 。 6 1 n 0 52 2 图 一 q惦 第二章对流换热问题的数值方法 2 3 流场的计算方法 从不可压缩流动的控制微分方程可以看出，动量方程中出现了压力梯度，但 是却没有一个可以用来求解压力场的显式方程( 不能通过热力学关系给出) 。如 果压力场是已知的话，那么求解动量方程就不会存在什么特别的困难。因此，如 何求解和速度场相协调的压力场，成为了不可压缩流动求解的主要问题。 为了克服这一困难，数值模拟流场时，一般采用如下几种处理方法： ( 1 ) 涡量一流函数法 对动量方程求旋，可以从动量方程中消去压力项，仅仅着眼于涡量与粘性力 之间的动力学关系，并利用涡量和速度场的运动学关系求解在流场中散度处处为 零条件下的速度分布。但是该方法也具有一些较为突出的缺点，例如，在壁面上 的涡量值很难给定等。但更为严重的缺点是对于三维问题中，流函数涡量法采用 三个涡量向量分量和三个速度势向量分量( 参见a z i z 和h e l l u m s 的论文) 。其复 杂性实际上已超过直接求解三个速度分量和压力本身。此外，涡量向量和速度失 向量所包含的概念要比速度和压力难于理解和接受。 ( 2 ) 原始变量法 这种方法的基本思想在于分别求解速度场和压力场，然后逐次迭代修正，以 满足连续性方程和动量方程。为了能够求解压力场，需要给压力场构造一个控制 方程。种方法是对动量方程求散，求得一个关于压力的p o s s i o n 方程：另种 方法是通过动量方程求得压力修正项对速度的影响，用使其满足连续性方程的条 件作为压力控制方程，这种方法也称为s i m p l e 方法。 由于帕坦卡和斯波尔丁等人的出色工作，使得s 1 m p l e 方法成为了求解不可 压缩流动中应用非常广泛的算法，并且也己被成功地应用于可压缩流场的数值计 算中。本论文就采用了s i m p l e 系列算法中的s i m p l e c 算法。 一采用交错网格检测不合理的压力场 w 丘缀 1 一 图2 6 对于如图2 6 所示的一维情况，如果要对x 方向动量方程进行离散，问题的 难点是一咖d r 项对整个控制容积的积分表达式，设该项对离散化方程的贡献是 压力降p 。一p 。可以假设压力是分段线型分布的。此外，如果把控制容积面e 和 1 6 散热器的热特性分析及其优化设计 w 选在网格点之间的中点，则有： p 。一见：华一旦学= 半 ( 2 1 4 ) 上上 这就意味着动量方程将包含有两个相间而不是相邻网格点之间的压力差。这就意 味着就效果上讲压力取的是较实际所采用的网格为粗的网格上的值。这一点导致 解的精度下降。但是存在着远比这更为严重的问题。 如果在流场迭代求解过程的某一层次上，在压力场的当前值中加上了一个锯 齿状的压力波( 如图所示) ，则动量方程无法把这一不合理的分量检测出来， 它一直会保留到迭代过程收敛而且被作为正确的压力场输出。 容易想象在三维的状况下可能会存在一个甚至更为复杂的图形，而动量方程 却将之当作一个均匀的压力场看待。 由于在s i m p l e 系列算法中，并不直接求解压力场，因此如何建立动量方程 的网格系统，使其离散形式可以检测出不合理的压力场，是动量方程求解中需要 解决的关键问题。为了解决这一问题可以采用交错网格，如图2 8 所示 、f 、+ v 一 缓 + i uj ( a ) 主控制容积( b ) u 控制容积 ( c ) v 控制容积 图2 8 交错网格 第二章对流换热问题的数值方法 由图2 8 可见，在交错网格系统中，标量场( 如压力p ，温度t 等) 存储在主 控制容积的中心位置，而矢量场( 如速度u ，v ，w ) 则存储于主控制容积的界面 上，因此，矢量场各分量的控制容积与主控制容积( 标量场的控制容积) 之间有 半个网格步长的错位，交错网格这一名称即由此而来。 在交错网格系统中，关于u ，v ，w 的离散方程可通过对各自的控制容积 作积分得出。这时压力梯度的离散形式 对址为0 。一耳) 陋) 。， 对。为扫”一弓) 协l ， 对为0 ，一p ，) 恤) 。， 亦即相邻两点间的压力差构成了： 、譬、譬，这就从根本上解决了采用 卿 印 。z 一般网格系统时所遇到的困难。在采用交错网格积分时，u ，v ，w 所用控制容 积为各自的控制容积。压力梯度项从源项中分离出来，例如对的控制容积，该 项积分为 f r 颐一罢卜咖- r 曲；匆兰o ，一p 。渺 c z ， 这里假设在”。控制容积的东西界面上压力是各自均匀的，分别为p 。，p ，。 于是关于”的离散方程便具有以下形式： 口，“。= 口“m + 6 + 0 。- p ，) a 。 ( 2 一1 6 ) 可以看到，在离散方程中，确实避免了不合理压力场的产生。采用交错网格 后，各控制容积界面上的流量、物性参数可咀通过插值的方法确定。 二s i m p l e c 算法 在本论文的程序中，采用了s i m p l e c 算法，其基本方法如下： ( 1 )假定一个压力场和速度场分布。 ( 2 ) 利用预先假定的或上一轮迭代的压力值进行线性插值，获得控制容积界 面上的压力，由于采用交错网格、混合格式，因此对于动量方程中的压力项 一劫盘离散后不会出现仅由相间节点压力值所形成的不合理状况。采用这种方式 动量方程的离散形式为： ，“p = o w l + 口e “f + a n h + 口s 甜s + 口r 甜r + a o u d + 6 + ( r 一只) 4 7 z - 7 口p v p = 口矿v w + 口e v e + 口v + 口s v s + d r v r + d v d + b + ( 只一只) x z卜 ( 2 - 1 7 ) 口p w p = d 1 竹r + 日f k + 口k + 口s _ 十a r w r + 口d w d + b + ( b 一只) x 4 y 依次求解各个动量方程，解得迭代中间值u 。v ，w 。 由连续性方程所获得的压力修正值的计算方程式如下： d p 耳= f l w 瞄+ 日丘+ 昂+ 口s g + 口r 爿+ 口d 巧+ b ( 2 1 8 ) 散热器的热特性分析及其优化设计 其中： c t e = p 。d 。d y d z 口= p 。d 。d y d z o = p 。d 。出d i 口s = p ；d ；d x d z 。r = p i d 。d x d y 口d = p d d d d x d y a p = 旷+ 口e + 口+ a s + d r + 盯d 6 = 岫+ ) 。一b + ) 。b 出十i b ) 。k 扭陟) 。一h + l k 咖 求解上述方程，得到压力修正值p 。 ( 4 )用p 按照下式改进速度值 “。= “：+ d 。0 ；一p ：) ， v 。= v ：+ d 。b ；一p ；) ， _ ( 2 1 9 ) w d = w ：+ d d 0 ；一p ：) 一 ( 5 ) 利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数，并用改进后的压 力场作为下一层次迭代计算的初值。重复上述步骤，直到获得收敛的解。 2 4 代数方程的求解方法 代数方程的求解可分为直接解法及迭代法两大类。所谓直接解法是指通过有 限步的数值计算可以获得代数方程真解的方法，在求解多维问题的代数方程时， 其计算所需的时间和内存都比较可观。代数方程的迭代解法在计算机内存和时间 方面都比直接解法要省，尤其对由非线性问题所形成的阶数很高的代数方程，采 用迭代解法更为合适。 描述流动和传热问题的控制方程一般是的非线性的，对于非线性问题，离散 方程中的系数可能都是未知量的函数，这样，整个问题的求解必然是迭代性质的。 每次的迭代总归结为在一组临时系数下求解代数方程组，因为代数方程的系数是 临时的所以代数方程组采用迭代求解，为了加快收敛速度，又不同程度地加入 直接解法的成分，如在求解每一组临时性系数时，可以采用直接解法。 传热学中常用的代数方程的迭代解法大致可分为点迭代法、块迭代法、交替 方向迭代法( a d i 方法) 和强隐迭代法( s i p 方法) 。点迭代法每步只能改进求解 区域中一点的值，且该点是用一个显函数形式由其它各点的已知值来确定所以 又叫显式迭代法。块迭代法则把求解区域分为若干块，每块通常由一条网格线组 成，在同一块内各结点的值是由代数方程的直接解法确定的，即同一块内各结点 值用隐含的方式来联系着，从一块到另一块的推进是按迭代的大方向进行的，所 第二章对流换热问题的数值方法 以块迭代法又称为隐式迭代法。在块迭代法中，各轮迭代的扫描方向是保持不变 的，如果采用交替方向扫描，通常收敛速度可以加陕，即先逐行扫描，再逐列扫 描，两次全场扫描组成一轮迭代，这就是交替方向扫描的隐式迭代法( a d i 法) 。 s i p 法采用了比a d 法更高的直接解法的比例，即隐式程度更高，可以获得更快 的收敛速度。 根据迭代的实施方式不同，迭代法可分为j a c o b i ( 雅可比) 迭代，g u a s s s e i d e l ( 高斯一赛德尔) 迭代和s o r s u r ( 逐次松驰逐次亚松弛) 迭代。本文采用交 替方向隐式迭代中的g u a s s - - s e i d e l 迭代，用公式可表示为： 妒桫= p 9 。】+ 口( 9 1 一妒口“1 ( 2 2 0 ) 式中： 妒，妒譬。) 表示第n 轮，第n 1 轮迭代中结点p 的值； 硒譬表示第n 轮迭代中用g a u s s s e i d e l 迭代所得到的结点值； 口是松弛因子，a 1 为超松弛因子。 ，) ：型世生趟竺堕趔兰地址型坐生丛生( 2 2 1 ) 盯n 可得x 向线迭代方程为： ：船a p i 芝品：三嚣譬羡h 磁m h 脯，+ b 1 z ：， = ( 1 一d ) 妒口+ a ( d s 妒p + 们】+ d 妒* ) + 日8 妒口+ “3 ) + 日，妒# ) + 1 同理可以求得y 方向迭代、z 方向迭代方程如下 翥! 鬻鬣；麟赫a b a t