（基础数学专业论文）脉冲时滞微分方程正周期解的存在性.pdf

中文摘要 中文摘要 许多实际问题的发展具有这样的特征t 在发展的某些阶段，会出现快速的变化为 方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的持续期间而假设这 个过程是通过瞬时突变来完成的这种瞬时突变现象通常称之为脉冲现象脉冲现象 在现代科技各领域的实际问题中普遍存在的，其数学模型往往可归为脉冲微分方程 脉冲微分方程最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深 刻，更准确地反映事物的变化规律比如在航天技术控制系统通讯、生命科学，医 学经济领域均得到广泛的应用由于受到脉冲条件的影响，可以使原本不稳定的系 统稳定，使原来无周期解的系统有周期解特别在。脉冲”与。时滞”共存下微分方程 周期解存在性问题的研究更复杂这些都使得对于脉冲时滞微分方程的有关理论研究 具有非常重要的意义本文分两章来讨论几类脉冲时滞微分方程正周期躲的存在性 第一章考虑了线性脉冲时滞微分方程 l 一( t ) = - a ( 0 = ( t ) + p ( t ) ( t ，z o 一码o ) ) ，。o n ( t ) ) ，芏o 一( t ) ) ) ， o 吖 o ，觚； lz ( ) 一石( 女) = 6 z ( k ) ， k = l ，2 ， 正周期解存在性其中口：【o ，o o ) 一i o ，) ， r i ：f o ，) 一i o ，o o ) ，( i = 0 ，1 ，n ) 是局部可积的u 一周期函数，p ( t ) ( 【0 ，o 。) ，( 0 ，o o ) ) 是局部可积的u 一周期函数， ，g ( o ，) ”2 ，【o ，0 0 ) ) ，且v ( t ，u o ，u l ，让。) 【o ，。o ) 8 + 2 ，s ( t + 甜，u o ，t l ，。) = l ( t ，u o ，i f i ，t t 1 ) 当p ( t ) = 1 或n = 0 时，许多学者研究过这方面的问题，得到了脉冲时滞微分方 程有正周期解的充分条件本章主要利用锥拉伸与锥压缩不动点定理，推广和改进了 相关参考文献当中的主要结论 第二章考虑了非线性脉冲时滞微分方程 i 上( ) = - a ( t ，z 0 ) ) + f ( t ，z ( 一n ( t ) ) ，一，z “一h ( ) ) ) ) ，o # ， 0 ，t t j ； iz ( 于) 一z ( 岛) = b ( ：k t 一乃( ) ) ) ， j = 1 ，2 ，。， 的正周期解存在性其中口ec ( r x r + ，j 矿) 是u 一周期函数，f e ( r ( 舻) ”，冗+ ) ， 且，关于是局部l e b e s g u e 可积的u 一周期函数，勺c ( n ，r ) 是一周期函 脉冲时滞徽分方程正周期解的存在性 数，o = 1 ，2 ，n ) ，c ( r + ，f p ) ，且存在一个正整数m 使得+ 。p ) = 易( z ) ， h 。= t j + i ，u 是常数 当a ( t ，士( ) ) 关于z ( t ) 线性或挂= 1 或厶= 0 时，许多学者做过这方面的研究。 得到了方程存在正周期解的存在性本章利用一个不动点定理，推广和改进了相关参 考文献当中的已有结论 本文的部分内容已经被n o n l i n e a ra n a l 接受并已上网 关键词，脉冲时滞微分方程；正周期解；不动点定理 中图分类号：0 1 7 5 a b s t r a c t m a n ya c t u a lp r o b l e md e v e l o p m e n ta 1 ec h a r a c t e r i z e db yt h ef a c tt h a tt h e ye x p e - r i e n c eac h a n g eo fs t a t ea b r u p t l ya tc e r t a i nd e v e l o p m e n ts t a g e f o rc o n v e n i e n c e ，i n t h e s em a t h e m a t i c a lp r o c e s s e ss i m u l a t i o n w ew i l ln e g l e c tt h ef a s tc h a n g ec o n t i n u o u s p e r i o da n df u r t h e ra 自s u m et h a tt h i sp r o c e s si sc o m p l e t e dt h r o u g ht h ei n s t a n t a n e o u s s u d d e nc h a n g e t h i sk i n do fi n s t a n t a n e o u ss u d d e nc h a n g ep h e n o m e n o ni su s u a l l y c a l l e dt h ei m p u l s ep h e n o m e n o n i m p u l s i v ep h e n o m e n o ne x i s t se x t e n s i v e l yi sv a r i o u s d o m a i n so fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h e km a t h e m a t i c a lm o d e lo f t e nc a nb e f o r m u l a t e db yt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h em o s tp r o m i n e n tc h a r a c t e r i s t i c o ft h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sc o n s i d e r i n gt h ei n s t a n t a n e o u ss u d d e nc h a n g e p h e n o m e n o ni na 矗e c t i n go nt h ed e v e l o p m e n ts t a t ef u l l y t h i sr e f l e c t , t h et h l n g sd e - v e l o p m e n td i s c i p l i n em u c hm o r ed e e p l ya n da c c u r a t e l y f o re x a m p l e ，t h e s ea s p e c t s h a v eb e e na p p l i e dw i d e l yi na s t r o n a u t i c st e c h n i c a lc o n t r o ls y s t e m c o m m u n i c a t i o n ，l i f e s c i e n c e s ，m e d i c i n e ，e c o n o m i cd o m a i n ，b e c a u s eo fr e c e i v i n gt h ei m p u l s i v ec o n d i t i o n e f f e c t ，t h eo r i g i n a lu n s t a b l es y s t e mc a nb es t e a da n dt h eo r i g i n a ls y s t e mw h i c hh a s n op e r i o d i cs o l u t i o nm a yh a v ep e r i o d i cs o l u t i o n s e s p e c i a l l y , u n d e rt h ec o e x i s t e n c e o f i m p u l s e a n d ”d e l a y ，i ti sm u c hm o r ed u p l i c a t e dt h a tw h e t h e rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n e x i s t sp e r i o d i cs o l u t i o no rn o t t h e s ea l lm a k et h ec o r r e s p o n d i n gf u n d a m e n t a l r 档e 口c l lr e l a t e dt ot h ei m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ne x t r e m e l yi m p o r t a n t t h i s p a p e rd i v i d e si n t ot w oc h a p t e r s w em a i n l yc o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n sf o rs e v e r a lc l a s s e so fi m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e rld e a l s 呐地t h ef o l l o w i n gl i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i e de q u a t i o n ， i 一( ) = - a ( t ) x ( t ) + p ( t ) y ( t ，。( t 一勺( ) ) ，z o n ( t ) ) ，z ( 一矗( ) ) ) ， 口，e ，t 0 ，t 缸； iz ( 砖) 一z ( t k ) = k 卫( “) ， 女= l ，2 ， w h e r ea ：【0 ，) 一【0 ，o o ) ，t ：f 0 ，o o ) 一( 0 ，0 0 ) ，( i = 0 ，l ，n ) ，p ( ) ：【0 ，o 。) 一 1 0 ，o 。) 3 x e l o c a ls u r e a b l e 一p e r i o d i cf u n c t i o n ，e ( 【o ，o o ) “+ 2 ，【o ，o 。) ) ，a n d v ( t ，n o ， t 1 ，) 【0 ，c o ) “+ 2 ，( t + 。，让o ，“l ，t k ) = f ( t ，u o ，i t i ，) w h e np ( t ) = 1o rn = 0 ，m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dt h e s ep r o b l e m s s o m e 脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 s u f f i c i e n tc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e df o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nt ot h e i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i 8c h a p t e rm a i n l yu s e st h ef i x e dp o i n tt h e o r e m o fc o n e ( p 删o na n de o m p r e s s i o n t h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n d sa n di m p r o v em a i n c o n c l u s i o ni nt h ec o r r e s p o n d i n gr e f e r e n c e s c h a p t e r2m a i n l yc o n s i d e r st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n jz 7 0 ) = - a ( t ，z ( t ) ) + ，0 ，z ( t 一下l ( t ) ) ，o 一( ) ) ) ) ，o e ，t 0 ，t t l ； 【z ( 哆) 一( 岛) = b ( z ( t 一勺( t ) ) ) ， ，= l ，2 ，一， w h e r e d c ( r x 舻，r + ) ，勺c ( r ，r ) o = 1 ，2 ，一，n ) a r e p e r i o d i c f u n c t i o n ；， c ( r ( 耐) n ，肘) ，v ( t ，u l ，一，缸。) 【0 ，o o ) 8 + 1 ，( t + u ，b 1 ，) = f ( t ，“l ，让。) a n di sl o c a ll e b e s g u es u m m a b l ef u n c t i o n 厶c ( 舻，肘) ，a n dt h e r ee x i s t sm0 s u c ht h a t 弓+ m ( z ) = 乃( f ) ，0 + m = 白+ “，“，i 8ap o s i t i v ec o n s t a n t w h e na ( t ，z ( ) ) i sl i n e a ra b o u tz ( ) o r 礼= 1o r = 0 ，m a n ys c h o l a r sh a v e i n v e s t i g a t e dt h e s ep r o b l e m s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nt ot h ei m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sc h a p t e r u s 船t h ef i x e dp o i n tt h e o r e m t h eo b t a i n e dr e a n l t se x t e n da n di m p r o v e3 0 m ek n o w n r e s u l t si nt h ec o r r e s p o n d i n gr e f e r e n c e s s o m ep a r t so ft h i sp a p e rh a sb e e no n l i n ea n da c c e p t e db yt h en o n l i n e a ra n a l k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ；t h ef i x e d p o i n tt h e o r e m c l c ：0 1 7 5 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。 如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相 关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的 文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的成果。 学位论零作声( 签章) ：多久卜弓彖 2 0 0 年岁月z 2 日 、 第一章线性脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 1 1 引言 在实际生活中，由于脉冲时滞微分方程比非脉冲时滞微分方程更能准确的反映某 些事物发展的规律，近来引起了国内外学者的广泛关注，并获得许多较好的结果见 专著【i - 3 j 例如v l ，d d b a i n o v ，p s s i m e o n o v 【l i ，总结了脉冲微分方程的特 点考虑到脉冲系统中含有时滞的特点，傅希林，闫宝强，刘衍胜1 2 】与p e r e s t y u k ， n a & s a m o i l e u k o ，a m 3 1 ，分别在其专著中系统地研究和总结了脉冲时滞微分方程 的性质与特点由于受到脉冲条件的影响，可能会使本来无周期解的系统有周期解 因而正周期解存在性问题成为新的研究热点见文【4 一l o 】近来，文【4 】研究了脉冲 时滞微分方程 ， 一o ) + a ( 。) z o ) 2 p ( 。) ，o ( t 一盯( ) ) ) ，8 8 ，。 o ，k ；0 1 ) iz ( t ) 一x ( t k ) = 巩z ( “) ， k = 1 ，2 ， 并得到了方程( 1 1 ) 正周期解存在性及其全局吸引性的充分条件文【5 1 研究了下面 的脉冲时滞微分方程 ， i 一( ) = 一( t ) z ( t ) + f ( t ，z 0 7 b ( t ) ) ，z o n 0 ) ) ，z 一7 ；( ) ) ) ， d e ，t 0 ，t t k ；( 1 2 ) iz ( 毒) 一：r ( t k ) = 靠z ( “) ， k = 1 ，2 ，一， 正周期解的存在性此外，文【1 l 】研究了方程( 1 2 ) 的非脉冲形式 本章在此基础上考虑下列脉冲时滞微分方程 一 ) = b ( t ) z ( ) + p ( t ) f ( t ，z ( 一而( t ) ) ，x ( t no ) ) z ( j ) 一x ( t k ) = b k x ( t k ) 一，z 0 一靠( ) ) ) ， 口e ，t 0 ，t k ；( 1 3 ) 。 七= 1 ，2 ，( 1 3 ) 6 正周期解的存在性所得结果推广和改进了文【4 , 5 ，1 1 】中主要结果 对方程( 1 3 ) ，假设下列条件成立t ( h 1 ) 0 t l t 2 t k - 1 ，七= 1 ，2 ，； 是脉冲点，且当七一o o 时，红一o o ； 1 脉冲时滞微分方程正局期解的存在性 ( h 3 ) b ：【o o o ) 一【0 ，o o ) ，几：【o ，o o ) 一f o o o ) ，( i = 0 ，1 ，竹) 是局部可积的u 一 周期函数，即吐o + u ) = 口( ) ，矗( 4 - “，) = 露( t ) ，t o ； ( h 4 ) 6 ( ) ：= l i ( 1 + b k ) 满足6 0 十u ) = 6 ( ) ，t o ； 0 t k ( t ( h 5 ) ，g ( o ，c o ) n + 2 ，【o ，o o ) ) ，且v 0 ，i t 0 ，l ，t 。) 【0 ，o o ) “+ 2 ，( + u ，“o ，u l ， 缸4 ) = f ( t ，“o ， t t l ，u 。) ； ( h 6 ) p ( d ：【0 ，0 0 ) 一( 0 ，o o ) 是局部可积的u 一周期函数 本章中，按通常约定当0 t t x 时，h o 0 ， ( 1 1 0 ) 其中a ( ) = 兀( 1 + b k ) - 1 p ( t ) ，g ( t ，l t o ，u l ，t 。) = f ( t ，b ( t 一而( ) ) “o ，b ( t 一7 1 ( t ) 一l ， b ( t 一( ) ) 乱。) ( 1 9 ) 与( l 1 0 ) 的解是指满足( 1 9 ) 与( 1 1 0 ) 的卜亍，) 上的绝对连续函数9 ( t ) t 0 引理1 2 1 假设( h 1 ) 一( 凰) 成立则 3 脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 ( i ) 若( t ) ，t 【一亍，o o ) 是( 1 9 ) 的解，财z ( t ) = 6 ( t ) 管( t ) ，t 【一亍，o o ) 是方程( 1 3 ) 的解 ( i i ) 若卫( t ) ，t 【一亍，o o ) 是方程( 1 - 3 ) 的解，则y ( t ) 。高z ( t ) ，z f _ _ ，o o ) 是初 始问题( 1 9 ) 的鳃 引理1 2 1 的证明类似于文【1 2 】中的定理1 ，故略去 引理1 2 2 假设( h 1 ) 一( h b ) 成立则方程( 1 3 ) 与( 1 8 ) 解在【一亍，o o 】恒正 证明根据引理1 2 1 ，只需要证明( 1 9 ) 与( 1 1 0 ) 的解在【一：，o o ) 恒正由( 1 9 ) 与( 1 1 0 ) 知，任意l ( 【一亍，0 1 ，1 0 ，o 。) ) ， 0 ， p ( t ) = 妒( o ) e 一片。( s ) 山+ 入( s ) e c 4 ( ) 出g ( 5 ，( s 一( s ) ) ，( s n ( s ) ) ，可( 5 1 ( s ) ) ) d 5 j 0 因而，p ( ) 定义在【一亍，0 0 1 且在【0 ，o o ) 恒正引理1 2 2 证毕 引理1 2 3 ( t 1 3 1 ) 设x 是b a n a c h 空间，k 是x 中的个锥，q l ，是x 中的 开子集，0 q l ，石c ，圣：k n ( 面q 1 ) 一k 是全连续算子，若满足如下条件t ( i ) 任意t k n a q l ，0 垂u 0 0 t 工；任意“k n a q 2 ，l l 西02l | “i i ， 或者 ( i i ) 任意乱k n a q l ，i l 垂训0 让m 任意u k n a q 2 ，i l 圣u 0 曼i l u l l ， 则垂在kn ( 蕊1 ) 中至少有个不动点 令 x = y ：c c r ，r ) ，y 0 + u ) = z , c t ) ，t 兄) ， 且其范数圳l = s u pi y ( t ) l ，则x 是b a n a c h 空间 f 【o 川 定义x 中的锥k ： k = ”：y x ，y ( t ) 仃l l f 玑t 【o ，叫 令西：k - x ( 垂可) ( ) = g ( z ，s ) a ( s ) g ( 5 ，( s 一罚( s ) ) ，一，掣( s 一7 i ( s ) ) ) d s ， 其中 鼢，= 南嚼器 4 第一章线性脉i 申时滞教分方程正周期解的存在性 a = 鬲；_ i 孟磊1 丽，b = 磊毒罨黼 则a = g ( t ，t ) c ( t ，s ) o ( t ，t + u ) = b ，v t 8 s t + f ， 由引理2 1 1 1 1 】知，圣( k ) c k ，且由定理l 嘲知圣是全连续算子，西在k 中 的不动点是方程( 1 9 ) 的正周期解下面根据引理1 2 3 证明方程( 1 9 ) 正周期解的存 在性 任意p 0 ，定义= d x ，怕l l 以蟹设下列条件t ( p 1 ( p ) ) 当l n i 昂，o 时，( t ，让) 蕞 ( p 2 ( p ) ) 当”只嘶，纠，t o 时，m ，缸) 砺b p 引理1 2 4 若( p i ( p ) ) 成立则当3 k n a 时，8 幻8sl l y l l 证明任意y k n a q m t 0 ，令啦( t ) = b ( t 一瓦( t ) ) 3 ， 一兀( f ) ) ，i = 0 ，1 ，一，祀与 u ( t ) = ( t i o ( f ) ，t l l 0 ) ，t 。( t ) ) 则有 i - ( t ) l2o f m a 。x 。b ( t 一以( 龇( t 一矗( ) ) s 砀 由( p 1 ( p ) ) 知，f ( t ，t ) 兰进而， ( 日眄) ( ) sbf a ( s ) 9 ( s ，( s 一7 b ( s ) ) ，9 0 一( s ) ) ) d s = b 上亩p ( 5 ) m 翩( 趴一，( s ) ) ) 如 丑i 篙f p a s = p = i i y i i 引理1 2 4 证毕 引理1 2 5 若( p 2 ( p ) ) 成立，则当y k n a 时， 唧| i | 证明任意y k n a ，t 0 ，令啦( ) = b ( t 一兀( ) h ( t n ( ) ) ，i = 0 ，1 ，扎与 缸( 0 = ( 牡0 0 ) ，1 l ( ) ，- ，u 。( ) ) 则有t s ，i 乱i 。使得对所有p ( 。，n 】，( p - ( 力) 成 证明由7 0 0 使得当0 m p l 舌时，满足 ，w t r p t m e o 两眢 上b w b p 川 u l 那么对所有的p ( 0 ，p l 】有， m 硫时， ，w d r a 卸l l l a , 川x 眢 五j o 忑知，存在m o 使得当t s 配时， 。她眢 南 因而对所有j 9 ( 0 ，蒯，t 只| u f 如n 酗， 巾，咖志川志矽p = 卷 即条件( p 2 ( p ) ) 成立引理1 2 8 证毕 引理1 2 9 若厶( 五，妄 ，则存在内 。使得对任意p 协，o o ) ，( p z ( p ) ) 都成立 引理l _ 2 9 的证明与引理1 2 8 的证明类似在此不作证明 1 3 主要结果 定理1 3 ，1 假设存在n ，晚( 0 ，o 。) 使得( p l ( m ) ) ，( p 2 ( 舰) ) 成立则方程( 1 9 ) 至少存在个正u 一周期解口满足m i n p z ，加 s i m a x p l ，戊) 证明不失一般性，设p l o 使得c p , c p l ) ) 成立若乙匕云萄，o o j ，厶 【丽0，i ，则方程( 1 9 ) 至少存在两个正u 一周期解 证明根据引理1 2 8 与1 2 9 ，存在m ( 0 ，p 1 ) ，m ( m ，o 。) 使得( p 2 ( p 2 ) ) 与 ( p 2 ( m ) ) 成立因此，根据定理1 3 1 ，方程( 1 9 ) 存在两个正l d - - 周期解纨与抛，且 使得p 2 i l 口l i l p l o 使得( b ( p 1 ) ) 成立如果7 0 i o ，百) ，7 。 l 皿面舞) ，则方程( 1 9 ) 至少存在两个正u 一周期解玑，抛满足1 1 可, 1 1 o 使得( 恳) ) 成立若7 0 i o ，点) ，l 0 ，志) ，则方程( 1 _ 2 ) 至少有两个u 一正周期解玑，抛满足i i d l 2 时，f ( t ，乜) 是单调减函数 ( 1 1 3 ) 。 ( 1 1 3 ) b ；翌。8 - 口。一 8 7 r 6 7 11 e x p t o ( t ) d ) 一1 取砌= ；，则 = j ， ，砌； 2 譬 ，凳= 萼= 面2 4 b 因而。 f ( t , u ) 2 徘，警) = 丽2 4 b ，i 训，如j 因此，存在见：；使得 f ( t ，让) 笔，眇m ，现1 ， 根据推论1 3 2 ，方程( 1 1 3 ) 至少存在两个正”一周期解p l ，玑满足0 f f g l l | 以 坐 因而，根据推论1 3 4 ，方程( 1 1 4 ) 至少存在一个正俨周期解 注1 3 4 因为厶；筹，7 。= 爵1 ，因此定理1 1 4 1 ，定理1 与定理2 1 5 1 不能用来 判别方程( 1 1 4 ) 有正7 r 一周期解特另地，当k = 0 时，定理2 l 【l l 】不能用呆判另 f 1 1 4 ) 。有正丌一周期解 第二章非线性脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 由于在实际过程中，事物的发展规律往往受到非线性脉冲条件的干扰，因此研究 非线性脉冲时滞微分方程正周期解的存在性具有重要的现实意义见文【1 5 2 2 1 本 章考虑非线性脉冲时滞微分方程 墨三：x ( t 啪- - _ r l 啪舞掣 ( 2 1 ) 。 ( 2 1 ) 6 对于方程( 2 1 ) ，假设下列条件t ( h 1 ) o t 1 o ； ( 乩) ，c ( 舻，j r + ) ，且存在一个正整效m 使得5 + m ( z ) = r j ( ：o ，句+ m = 白+ 叫， 而c ( r ，r ) 是u 一周期函数，j = l ，2 ， 方程( 2 1 ) 的一些特殊形式已被许多学者深入的研究例如当= 0 时，文 1 1 j 考虑了方程 ， m 一。) = 一8 ( 幻z 。) + i = 1 鼽o ) e 一“。扣。一”，8 e 。 o ，。“； ( 2 4 ) 、 、一， l z ( t j ) = ( 1 十弦( “) ， 七= 1 ，2 ， 脉冲时滞徼分方程正周期解的存在性 正周期解存在性以及稳定性文【4 i 研究了 j 一( t ) = 一a ( t ) x ( t ) + p o ) ，( t ，z ( t 一7 ( ) ) ) ，8 e ，z o ，t t k ；n 吼 lx ( t - 毒) 一z ( t k ) = h z ( “) ， = 1 ，2 ， 的正周期解存在性与稳定性同题基于上述文献的主要结果，本章利用锥上的一个不 动点定理【2 4 ，25 1 将考虑方程( 2 1 ) 正周期解的存在性问题得出该方程有正u 一周 期解的存在性定理推广和改进了相关文献中的主要结果 方便起见，记q = 磊面再知，p = 毒器鬈幕害骞，盯= 号，其中毗o = 1 ，2 ) 是( h 3 ) 所定义的且设 了= = m 【o a 驯xr c t ，t l ，t n ) ，一f = i m l o i 驯l l f ( 。，u l ，t n ) p 2 蕊善t i t 嫩叫啪m 3 一r a i n 蚤黜刊t ) ) ) 当u 舻”，u = ( “。，l ，“n ) 时，取川5 蟛m a ! x 。 u 1 ) ，且记 厶= l i 州m 。i n 。r 珊 等蒜产：嘶驯乩例 z ，礼 ， _ o = u 嚣擘嚣蟊1 f 瓮赢产：u a = o , 1 , 2 , - - n ) ； 厶= 酗箩。弛 瓮蠢产：划乩，= o , 1 , 2 , - - n ) ； 瓦= 枯? 鼢 瓮旒产：吩刈u = 0 , 1 , 2 , - - n ) ； l i m 竹i n 。r 委样，础m 川s u 。p 于吾, l j 川( u i ) ； 叫l i 巾r a i 。n f g 辩 l j ( t t ，) ，l = 留言等 出于研究方便，考虑方程( 2 1 ) 满足初始条件 z f n ；西“1 t 【- v 0 1 西l f 【一亍0 1 ，【0 o 。1 1 西( 0 1 0 。 ( 2 6 1 其中亍：= m a ，xs u p l i ( t ) ，l ( 【一亍，o l ，【0 ，o o ) ) 是定义在卜亍，0 1 上的l e b e s g u e 可积函数 l 1 n 所构成的集合 第二章非线性脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 2 2 预备知识与引理 定义2 2 1 函数z ：【一亍，o o ) 一【o ，o o ) 称为方程( 2 1 ) 满足初始条件( 2 6 ) 的解， 若其满足： ( i ) x ( t ) 在每个区间( 0 ，t 1 1 ，( t j ，t j + 1 】上绝对连续，其中j = 1 ，2 ，； ( i i ) 任意t j ，j = 1 ，2 。，( 哆) ，z ( 可) 存在，且嚣( 丐) = z 如) ； ( i i i ) z ( t ) 几乎处处满足( 2 1 ) 。，且当t = 缸，j = 1 ，2 ，时，z ( t ) 满足( 2 1 ) 6 引理2 2 1 ( 2 4 1 ) 设x 为b a n a e h 空问，为x 中的锥，r r 是常致，且 0 r r 令n 冗= 妇x ，俐l 埘，雪：磊n k k 是全连续算子，满足 ( i ) 当a i o ，1 】，f n 觚时，暑a 垂g ； ( i i ) 当y k f l a n r ，6 0 时，存在砂k ( o ) 使得y 西扩+ 6 仍 则圣在k n y k ：r 0 r 中至少有一个不动点 弓嘈l2 2 2 ( 【2 5 】) 若引理2 2 1 中条件( i ) 与( i i ) 分别放以下条件代替 ( i ) 当a 【0 ，1 j ，y k a a q r 时，a 垂f ； ( i i ) 当私k n a 晦，5 20 时，存在妒x o ) 使得y 圣p + j 蛾 则圣在k n k ：r 0 使得 对v 的士1 ，如k ，l z i z 2 l j ，s r ， i f ( s ，如一l ( s ) ) ，。，z t o 靠( s ) ) ) 一，( s ，z z ( s n ( s ) ) ，现( s 一靠( s ) ) ) i 荔石， 与 i l 忙l ( 一勺( z ) ) ) 一l j ( x 2 ( t j r a t ) ) ) l 互云，j = 1 ，2 ， 成立因此 ，+ u l ( t z o ( t ) 一( 2 k 2 ) 0 ) i 卢i ，( s ，x l ( s n ( s ) ) ，x 1 ( 8 一，i ( 曲) ) 一i ( 8 ，x 2 ( 8 一n ( s ) ) ，x 2 ( s 一7 i ( s ) ) ) i d s + p i a x t ( t j 一巧o ) ) ) 一弓( z z ( 白一勺o ) ) ) l t ( t j t + “ e 即r 在耳中是连续的 下面证明t 映有界集为有界集 令b c k 为有界集，任意t r ，z b ，据( 2 7 ) 有， ( 2 k ) ( ) g ( t ，s ) ，( s ，z ( s n ( s ) ) ，z ( s 一( s ) ) ) d s + 。g 。 t + 。g ( t ，t j ) l l j ( x ( t i 一乃( t ) ) ) i s 卢旷，( s s 刊卜一“m ( s ) ) ) d s 十。蠹i i a x ( t j - r a t ) ) ) 根据b 有界集，? 的连续性可知，? 有界， r x ：b ) 为一致有界集 最后证明 t x ：z b ) 在t 【0 ，u 】上是等度连续的，令t l ，t 2 o ，u 】，且t l t a ， 任意的z b ，据( 2 7 ) 有 i ( 7 ) 0 ) 一( t z ) ( t 2 ) i g ( 2 ，s ) f ( s ，z ( s 一丁l ( s ) ) ，一，z ( s 一7 i ( s ) ) ) d s + ( g ( t 2 ，s ) 一g ( t l ，s ) ) ，( s ，z ( s 一7 1 ( 8 ) ) ，。0 一h ( s ) ) ) d s 一g ( t l ，s ) f ( s ，z ( s n ( s ) ) ，z ( s 一( s ) ) ) d s 1 4 第二章非线性脉冲时滞微分方程正周期解的存在性 + g ( ：，) l 乃o ( t j - z a t ) ) ) l t l + 叫b 缸 + ( g ( 幻，t j ) - c ( t l ，t j ) ) l b ( ：k t j 一勺( ) ) ) i t 2 b t l - t - 。 一g ( t l ，t j ) i b ( z ( t j 一勺( ) ) ) l t l t , t 2 j t 2 = ( g ( t 2 ，s ) 一g ( 1 ，5 ) ) ，( s ，z ( s n ( s ) ) ，z ( s t n ( s ) ) ) d s j t l ，t l + u + ( g ( t 2 ，s ) 一g o l ，s ) ) ，( s ，z ( s 一下l ( s ) ) ，卫0 一，k ( 5 ) ) ) d s + ( g ( t z ，t j ) 一a ( t 2 ，洲d ( z ( 岛一勺( t ) ) ) i t 1 6 t j t 2 + ( g ( 屯，t j ) - c ( t e ，o ) ) l 马o ( t j 一勺( t ) ) ) i 易知，对于v 。b ，( s ，x ( t n ( ) ) ，z 0 一( ) ) ) 与b ( z ( t j 一勺( ) ) ) ( o sj m ) 在 【0