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山东大学硬士学位论文 一类发展型方程的全离散配置法及铸造充型过程数值模拟算法研究 孙铭 山东大学数学与系统科学学院 计算数学 山东济南2 5 0 1 0 0 中文摘要 配置法是近二三十年发展起来的以满足纯插值约束条件的方式，寻求算子方 程近似解的数值方法，并具有无需计算数值积分，计算简便及收敛性高等优点， 广泛应用于工程技术和计算数学的诸多领域 对于不可压缩流体，其流动过程服从质量守恒和动量守恒，其数学形式就是 连续性方程和n a v i e r - s t o k e s 方程，即 n a v i e r - s t o k e s 方程， a - 杀+ ( t v ) “一v a u + v p = ，善n ，t ( 0 ，? ) v o 连续往方程。 v t i = 0 t = 0 ，0 1 3 r ( 0 ，r ) ， t ( o ，0 ) = t 0 0 ) ，i n q 这一类方程广泛应用于流体力学，铸造工程学，空气动力学等诸多领域，对于其 算法的研究也一直是为人们关注的热点问题 铸造是个古老的行业，铸造过程概括的讲就是将熔融的液态金属充满型腔 ( 铸件) 并冷却凝固的过程因此，数值模拟技术在铸造领域的应用首先集中在 铸造充型过程和凝固过程数值模拟，即温度场和流动场因此在铸造充型进行数 值模拟的过程中，速度场压力场的求解非常重要，本文给出s o l a 方法在求解铸 造充型过程中的连续性方程和动量守恒方程的应用，然后在此基础上，用v o f 方法来确定自由表面，并对于可能出现的速度边界条件进行了归纳和总结，然后 以此分别给出它们的速度边界条件所应满足的方程，这样在计算过程中大大减少 了因边界条件相同而出现的反复性，提高了流场计算速度和实用性 全文共分为两章 第一章主要对上述一类发展型方程采用配置法与有限差分相结合的格式即全 离散配置法进行求解，该格式对空间变量和时间变量分别采用分片双三次h e r m i t 差值和有限差分进行离散，最后给出误差估计 i 山东大学硕士学位论文 第二章首先给出基本方程如连续性方程和n a v i e r - s t o k e s 方程的离散形式， 随后引用s o l a 方法处理速度场和压力场，并对速度场和压力场进行迭代修正， 在使用修正的v o f 方法处理自由表面后，结合理论分析和实际可能出现的情况 归纳总结出自由表面速度边界的不同情形所应满足的边界条件方程 关键词：n a v i e r - s t o k e s 方程，配置法，s o l a v o f 方法，自由表面，速度边界 i i 山东大学硬士学位论文 d i s c r e t e t i m ec o l l o c a t i o ns c h e m ef o r t i m d d e p e n d e n te q u a t i o n s a n dn u m e m c a ls i m u l a t i o no ft h em o l d s u nm i n g s c h o o lo fm a t h s y s s c i s h a n d o n gu n i v e r s i t y s h a n d o n gj i n a n 2 5 0 1 0 0 a b s t r a c t t h ec o u o c a t i o nm e t h o di sa ，n u m e r i c a lm e t h o dw h i c hs e a r c hf o rt h ea p p r o x i - m a t i o ns o l u t i o no f t h eo p e r a t o rf u n c t i o nb ys a t i s f y i n gp u r ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n f o ra b o u tt h i r t yy e a r s ，a n di ti sw i d e l yu s e df o rs o l v i n gb o t he n g i n e e r i n ga n dc o m - p u t i n gm a t h e m a t i c sd u et oi t se a s eo fi m p l e m e n t a t i o n ，h i g h - o r d e ra c c u r a c ya n d 1 2 0i n t e g r a l sn e e db en o te v a l u a t e d f o rt h ei n c o m p r e s s i b l ev i s c o u sf l o w i to b e y st 0m a s sc o n s e r v a t i o na n dm o - m e n t u mc o n s e r v a t i o n i t sm a t h e m a t i c sf o r ma r en a v i e r s t o k e se q u a t i o na n dt h e c o n t i n u i t ye q u a t i o n ： 象+ ( t v ) t 一t + 唧= ，z q ，t e ( o ，t ) v “= 0 u = 0 ，o n f ( 0 ，2 ) ， u ( 互0 ) = 伽( ) ，i nf 2 ， t h i sk i n do fe q u a t i o n sa r ew i d e l yu s e di nf l u i dm e c h a n i c s ，c a s t i n ge n g i n e e r - i n g ，a e r o d y n a m i c sa n ds oo n c a s t i n gi sa no l di n d u s t r y i ng e n e r a l ，t h ec a s t i n g p r o c e s si sp o u rt h em o l t e nl i q u i ds t a t em e t a li n t oc a s t 咄a n dt h e n 8 0t h eu s e o fc o m p u t e rn u m e r i c a la n a l y s i si sf i r s tc e n t e r e di nv e l o c i t yp r o f i l ea n dp r e s s u r e p r o f i l e i nt h i sw a y ，i ti sv e r yi m p o r t a n tf o rt h es o l u t i o no ft h ev e l o c i t yp r o f i l e a n dp r e s s u r ep r o f i l ei nt h ef i l l i n gm o l d f o rt h i sr e a s o n ，t h es o l am e t h o di sf i r s t g i v e n ，b a s e do ni t ，t h ev o l u m eo ff l u i d ( v o f ) m e t h o di so f f e r e dt os o l v et h ef r e e s u r f a c ea n dt h e nt h ea u t h o rs u m m a r yt h ep o s s i b l ev e l o c i t yb o u n d a r yc o n d i t i o n s a n dg i v et h ee q u a t i o n st h e ys h o u l da c c o r dt o t h ea d v a n t a g eo fd o i n gt h i si si t m a k e st h ea m o u n to fw o r kg r e a t l yr e d u c ef o rt h ec o m p l e x i t yi nt h ec a l c u l a t i o n s a n di nt h es a m et i m ei m p r o v et h ec a l c u l a t i o nv e l o c i t ya n dm o r ep r a c t i c a l t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i i i 山东大学硕士学位论文 i nt h e 丘r s tc h a p t e rt h ed i s c r e t e - t i m ec o l l o c a t i o nm e t h o di su s e dt os o l v et h e e q u a t i o n sa b o v e o ft h e mt h en a v i e r s t o k e se q u a t i o ni 8s o l v e dw i t ht h r e et i m e s h e r m i ts p l i n ec o u o c a t i o nm e t h o d i ti ss h o w e dt h a tf o rs u f f i c i e n ts m a l lt i m es t e p - s i z et h es o l u t i o nt ot h es c h e m ei su n i q u ea n dt h ee r r o ra n a l y s i si ss i y e nt o o i nt h es e c o n dc h a p t e rt h ed i s c r e t es c h e m e so ft h eb a s i ce q u a t i o n ss u c ha s c o n t i n u ee q u a t i o n sa n dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o na r ef i r s tg i v e n t h es o l am e t h o d i su s e dt os o l v ev e l o c i t ya n d p r e s s u r ea n dt h e nt h ev o l u m eo ff l u i d ( v o f ) m e t h o d i so f f e r e dt os o l v et h ef r e es u r f a c ea n dt h e nt h ea u t h o rs u m m a r yt h ep o s s i b l e v e l o c i t yb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dg i v et h ee q u a t i o n st h e ys h o u l da c c o r dt o k e yw o r d s ：n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n ，c o l l o c a t i o nm e t h o d ，s o l a o v o fm e t h o d ， f r e es u r f a c e ，v e l o c i t yb o u n d a r yc o n d i t i o n s i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在本文中以明确方式标明本声 明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 蛰：丝 日期：丝1 2 ：互：! 三 关于学位论文使用授权的声明。 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或其他手段保存 论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：嚣：缝导师签名 ：弛期：一 第一章全离散配置法求解n a v i e r s t o k e s 方程 对于n a v i e r s t o k e s 方程t 害+ ( t v ) u 一u + v p = l q ，t ( o ，t ) 连续性方程。 v t = 0 “；0 ，o i l r x ( 0 ，? ) ， u ( z ，0 ) = t o ( z ) ，i nq ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 本章考虑使用一种配置法和有限差分相结合的格式即全离散配置法来求解 二维问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 该格式对空间变量和时间变量分别采用分片双三次h e r m i t 差值和有限差分进行离散，并给出误差估计 1 1 预备知识 令 巩) 翟。和 狮) 尚为区间【0 ，1 】的两种剖分，满足 0 = z 0 z 1 $ 2 x n - - l z n 。= l ， 0 = y o 们 y 2 。 ，一1 0 满足 q 两丝- 瓦生，观笔 用p 表示z ，y 的任意次多项式构成的集合，p 3 表示关于z 和y 的次数s3 的多项式构成的集合 令 厶， 霹， 毛，埘分别表示如下的分段三次h e r m i t 多项式空问 厶= | ，c 1 【o ，l 】：v i x k - l ，“p 3 ，k = 1 ，n 。 1 山东大学硕士学位论文 魍= p 厶：o ) = i ) = o m ；= c 1 i o ，1 】：p i m l ，恳，2 = 1 ，、0 ) 叼= 坞：1 0 ) = 川1 ) = 0 ) 很容易得出；d i m 朋：= 2 0 + 2 ，d i m 朋；= 2 n , + 2 设屯= 钱t ) 譬，a | ，= ( b n 。v , 2 。为区间( o ，1 ) 的两个高斯积分节点构成 的集合 铲址。州蝎- - x l - x + h 6 ：学加学 根据n 】中的引理2 3 ，任意v 毛，可由其在a ，u ( o ，1 ) 上的值唯一确定 对于在屯上有定义的p ，u ，令 k ：釜等壹( 咧鼬狰 k ( 1 5 ) k = l i f f i l ：。等y 2 ( 砌) ( 磊y j ) ，f f ，8 乞； ( 1 6 ) j 1 。j = l 记m ，m o 为如下的分片双三次h e r m i t 多项式空间 m = m ；9 m v ，m o = m ：圆蛾 注意到m 是由旷( ) ( p ) 的有限的线性组合构成的函数集合旷a 厶， 如 令a 表示区域q 的高斯节点构成的集合t a = ( p ，f ) ：f 屯，p 对于a 上有定义的，“，定义 ：釜釜掣壹壹( ) ( 列，( 铅川m f i ： 。 i i l f f i l 一 = lj = l 由( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 很容易得到 ：壹等壹 k i = l 。j = l ( 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 l l 。 l l , i ：n 每i 2m 总) 忆 ( 1 8 ) l f f i l 。j = l 由【3 】可知；任意v m o 可由其在a 上的值唯一确定 如可视为一个h e r m i t 空间内积定义为 范数为二者均为离散 型的 对于向量函数p 。，定义 。：登釜掣壹壹( 。翻( 鼠) ( 锟) n = 等( u 7 v ) ( t ) ( 锟) 一 k = l1 = 1 。 忙1j = l 0 8 i = a 下面给出收敛性分析中用到的引理和部分证明 对于t g 1 ，1 ( q ) ，定义其分片双三次h e r m i t 插值w m ，满足插值条件： 掣铲砒例 1 瞅娲o 飒( 1 9 ) 任意t c 1 ，1 ( 最) 有唯一的h e r m i t 插值w 引理1 。1 设0 s ，j s2 , u h ”( i2 ) m = m a x ( 4 ，t + j + 2 ) ，有绪伦 o ! i ! ：；5 ；i ；堕。一s c ，；4 。i i uj f 日m ( n )( 1 1 0 ) i i a + j p ( 2 , 口- ，w ) i i 荆 = 取检验函数。= 也f “，利用l i p s c h i t z 条件及h o l d e r 不等式，有估计式； l 磊p l l i 一 a o i l l v f 8 + l l i + 8 v 矿十f | i + 磊玎4 f l i + “矿+ 峨+ ( ) 4 】 ( 1 2 8 ) 由的自共轭性及五p 的定义，可得： 一 a = 一；啦 a( 1 2 9 ) 又 d , l l f “i 限= 詈i l 也“l | i + c ( i k ”f l i + l i f ”+ 1 i i i )( 1 3 0 ) 两端关于时阅求和，得到； 愀。i i i ( a t ) - g ( ( t ) 4 + ( 1 l z , 7 + 知i + 0 吐矿i i , i + i i v , 7 + 钏i ) f + | f v f “+ i 刈a 2 目( 1 3 z ) 由引理1 3 似桃剑击广瞰卅”，t ) 训轰 1，+ 1 s 壶五。i l a , ( u - w ) l l j ( 国杰sc h 8 l l o , 钏各 呻) 山东大学硬士学位论文 当t 充分小时，对( 1 3 1 ) 式利用g r o n w a l l 引理，然后利用( 1 3 2 ) 及引理 i i 和初值条件得到： n l 懈懈t ) + 。黔艄吼n ) sg ( t ) 4 + 6 i l t 正1 1 2 ( 0 , t , h b ( n ) ) + h 8 【t 上0 i ( o ，z j ! r t ( n ) ) + 0 a t 1 | z ( o ，z 茸t ( n ) ) 】 其中c = c ( | l t 2 ，2 ，l l , i l l o ，0 3 ) 最后由“一u = q + f ，及式( 1 1 1 ) 中取t + j 1 ，利用三角不等式可得t m a x 一矿) 。慨n ) s c ( t ) 4 + 6 i i t 8 2 ( o , t , h 5 ( n ) ) + 8 t 0 2 ( o ，l j ! r ( n ) ) + 0 岛1 2 ( 0 , t , h 4 ( n ) ) 】) 由此即得结论 第二章铸造充型过程中的速度场和压力场算法研究 在这一章里面，我们主要讨论铸造充型过程中速度场和压力场的求解问题 2 1 基本方程和离散形式 碍道冗型过程效僵模于；c 中，液态金属看作不司压缩搋体，再既动过程服从庾 量守恒和动量守恒，其数学形式就是连续性方程和n a v i e r s t o k e s 方程t 连续性方程t d = 塞；骞+ 暑= o o z d 蕾 o z n a v i e r s t o k e s 方程： 飘l j飘t j赣l瓠| 1 r 警l t警u l铲1 t 瓦+ u 瓦+ ”万+ 埘瓦2 一；磊+ g z + ”( 面+ 酽+ 丽) 象+ u 筹+ ”舅+ 笔一；舅+ g y4 - v c 骞4 - 雾+ 象，瓦+ “瓦+ ”万+ 瓦一万蠢+”【礤矛+ 孬) 等+ u 警+ ”筹+ w 笔一一；笔+ + v ( 器+ 面o q 2 w + 。弘8 h 2 w ，g z石f 十u 瓦十”瓦+ ”否i 2 一；麦十+ ”l 否+ 百万+ 百万j 其中“。口，为速度，p 为液体密度，p 为压力，2 为运动粘度 求解上述方程需采用数值方法，通常采用交错网格来离散整个计算域，压力 布置在单元的中心，速度变量布置在单元界面上 同非交错网格相比，采用交错网格有以下优点 ( 1 ) 避免了不合乎实际的速度场却能满足连续性方程问题； ( 2 ) 两个相邻网格点之间的压力差即是位于这两个网格点之间速度分量的自然驱 动力； ( 3 ) 不需设压力边界条件； ( 4 ) 精度比非交错网格高 1 连续性方程的离散， 连续性方程的离散形式为； 嘣：学+ 学+ 孥= 。 山东大学须士学位论文 2 n a 肌e r - s c o l c f 瞎7 往日可禺散f 可用有限差分法对n a v i e r - s t o k 方程进行离散，离散后方程为； 咄如一【毪乎+ 9 ：- f u x - f u y - f u z + v i s x l v 卅n + l 弘呜彻_ 毪乎+ g 。, - f v x - f v y - f v z + v i s y 】 q n 。+ 。li = w 。，。+ + 配( 瓣+ 9 ；- f w x f y - f w z + v i s z j 其中 f 噼= 专警慨+ d u 工+ 殛d 岫佃州虬浏( 峨们眦墙- d u r ) f ( ，y = 百v i + j , k d u b + 嘞一j d u t + 口s g n ( v i + 圳( 咄d u b - 6 地一l d 咧 f u z = 专警陋铡d c ，州钆一d u h + a s g n ( 洲d 磊+ d u q 一昧d 啷】 f 蹦= 兰等阮+ d v l + 哦一d v r + a s g n ( 让”批) ( 弛+ d v l 一峨一 口y 硎 f y y = 每警巾w d v b + 6 y j d v t + a s g n ( 批) ( 嘞柏仲一6 v j d v 列 f y z = 专警f + d v q 慨一 d v h + a s g n ( w i j + 弘) ( d v q 。让；d v 驯 f w x = 专警慨+ d w l 慨一d w r + 口酬_ ( 如一d w l 可q 删别 f w y = 等舻删b + 啄 脚t + a s g n ( 州) ( d w b - 5 的一d w t ” f w z ：专警l d w q + 5 z , d w h 懈卵( + 1 ) ( 瓶+ l d w q 一6 z k d w h ) y ，s x = 一【里警+ 里半+ 里半】 。 o z t + io 蜥 。巩 y ，s y = v 【望半+ 箐+ 里! ! 掣o z k 】 o 乱d i y ，s z = 蚍下d w r - d w l + 旦半+ 兰半1 l o 山东大学硬士学位论文 d u l ：竺逊掣d c ，b ：塾逊；业d ：塾逊；坐塑 6 6 均一女o 一j d u r = 兰塾翟= 坐d u t = 兰兰量生产d u h = o z i + l 兰墨学 o ，“o o + d y 工= 兰生生学d v b = 兰尘铲。y q = 兰兰铲 d y r = 竺竺尘学d v t = 兰生墨耋掣d v h = o y j + i 兰生生铲 0 z i 1o i + 女 。三= 竺堕兰之。b = 兰丝塑铲。彤q = 竺塑旦皆”4 t 一女。7 j 一 d w r = 竺兰生生产。w t = 竺型型产d w 日= 竺型雩k + lo + o 码+ o j 。= 如l + l + j 舭+ a s g n ( + j 甜) ( 如件l 一缸i ) 6 孰托= 6 分j + + 6 如一圭+ a s g n ( u 件j i ) ( 嘞+ l 一6 如一圭) 6 五m = 5 z k + 考+ 一i + 8 即行( t ，件主囊1 ) ( j 磊+ i j 一；) d 。= 6 。t + + d z 一+ a s g n ( t t ，j + k ) ( 如一缸一) 以伽= 5 y j + i + j 如+ a s g n ( v i d + ，i ) ( 吼+ 1 一嘞) 古车6 气+ + 6 一 + a s g n ( w i ，升 ， ) ( 6 靠+ 一6 椎一) 占z 龇，= j q + 孝+ j 政一 + a s g n ( u 幻，+ ) ( j z i 十 一j z 卜j ) 6 y 一= j 的+ + j 始一j + o t s g n ( v i 4 + ) ( 6 如+ j 一嘞一j ) 出血，= 如i + l + 6 缸+ a s g n ( w i j , k + ) ( d + i d 讯) 6 z 件= ：( j 。件，+ d z 。) d 奶+ 一；( 6 协+ - + 嘞) j + = ；( j z - 十以t ) 咄一= ；( 阮一。+ 峨) 嘞一 = ；( 嘞一- + 嘞) 魄一 = 互1 ( j 钆一- + ) 上式中s 9 n ( 吨+ 籼 ) 为“件j ，i 的符号，其余同此口为权重因子o os 1 山东大学硕士学位论文 2 2 速度场和压力场求解及边界条件处理 在本节中首先引用s o l a 方法处理速度场和压力场，并对速度场和压力场 进行迭代修正，然后使用修正的v o f 方法处理自由表面，最后结合理论分析和 实际可能出现的情况归纳总结出自由表面速度边界的不同情形所应满足的边界 条件方程 2 2 1s o l a 方法求解速度场和压力场 s o l a 方法是1 9 8 1 年美国l o sa l a m o s 实验室开发的一种计算流体速度场 的数值方法该方法的最大特点是压力项是通过迭代的方法求得与传统的s i m - p l e 。s m a c 等方法相比，由于采用迭代收敛求解压力项，求解速度较快，占有 内存较少，是目前的主流算法之一 甩s o l a 法求解压力场和速度场的迭代步骤如下t ( 1 ) 由n s 方程式的显式差分格式，以初始条件或前一时刻的值为基础，试算 出新时刻的速度场估计值 ( 2 ) 为了满足连续性方程，压力必须迭代修正，由此引起的速度改变加到第一步 所计算的速度场上反复迭代直至满足精度要求为止 压力修正方法如下； 设n + l 时刻的速度估计值为t n + 孙l 。- - 扣一宅嘣矿“籼一痞 ”。n 州4 - 1 ，。- - v 。n m 。+ 丽5 t 万s p 石_ “j + 一i ，。= 蠕一 ，t 一页两5 t , b 嘣圹咯矿蒜嘣r 吃q 一姑 代入d ；嚣= 0 式中，整理可得压力校正为： u 为松弛因子其中 6 p = 一u 石丽d o d a p = 石6 ti 布i 两+ 石瓯1 】+ j 5 蜥t 删1 再+ 右啬】+ 瓦6 t 咿i 两+ d 旨】 山东大学硬士学位论文 由校正压力得到新的校正速度，重复进行迭代，直到收敛条件得到满足为止 一般的解法是将校正压力代入动量方程得到新的校正速度，逐个单元进行 计算，可以得到整个流动区域的校正速度场，再将新的校正速度场代入连续性方 程，得到校正压力如果整个单元的校正压力值大于收敛值，则要重复上面的过 程，直到所以的单元都满足所要求的收敛条件 d f 卅作为求解动量方程的约束条件，用以控制速度场计算的精度。通常求 解动量方程得到的速度场很难精确的满足连续性方程，即取。k = 0 ，因此一般 计算时，把d t j 控制在个很小的范围内即可 在迭代计算过程中，为了加快迭代收敛速度，采用超松弛迭代，迭代因子一 般控制在1 u 2 2 2 2 用v o f 方法处理自由表面 i 确定宫由表面 为7 跟踪自由表面，得出自由表面单兀的位置，需要求解体积函数方程即； 差+ u 墓+ ”筹+ 叫鬈= o 在求解之后，得到液态金属充填型腔的形态，也就确定出新的速度场，压力场的 求解域 由连续性方程和体积函数方程的如下离散形式： 箬+ 掣+ 掣+ 掣= 。 亿- ， 现 抛卸1a 钆 。 ”1 当上式在每个计算网格单元内积分时，则每个单元f 值的改变便转化为穿过单 元界面的f 值流量，随着自由面的移动，体积分数f 也要不断更新，从数值意 义上来说所有的单元可以分为三类： 1 如果单元完全被充满，这时候此单元的体积分数为单位1 ( f = 1 ) ，那么此单元 被认为是构成主要流体计算区域的单元之一； 2 如果单元部分被填充，这时候此单元的体积分数是一个0 与1 之间的小数 ( 0 f 1 ) 。则它是包含自由面的单元； 3 如果单元中没有液体，那么体积分数为o ( f = 0 ) 山东大学硕士学位论文 因为自由面的移动是伴随求解方程( 2 1 ) 来进行的，这里求解( 2 1 ) 用的就 是v o f 方法，当计算出穿过每个网格界面的流量，乘以边界面积便得到流体的 总流量，当上述计算过程对网格中的所有单元都计算完之后，所的f 值不仅满足 方程( 2 1 ) ，而且还反映了自由边界的移动情况，同时又确定了下一时刻的新的 计算区域反复计算流体的对流量，反复判断自由表面的位置，流体不断充填流 动，壹至充满为止 由此便可确定各个单元的液流量，在确定了各个单元的液流量之后，也就确 定了自由表面边界的移动情况 i i 速度边界条件 确定了自由面后，便可确定上述自由面边界上的速度边界条件t 速度边界条件包括型壁边界和流体的自由表面边界 1 对于型壁边界，必须引入个假想单元来设置速度边界条件s o l a - v o f 给出两种典型的边界条件：自由滑动边界和无滑动边界例如，当单元( t ，五k ) 左 边为型壁时，则单元0 1 ，j ，) 被当作假想单元来处理 滑动边界条件为 f 地一1 j = 0 i 嚣三嚣 无滑动边界条件为 f地一1 j , k = 0 i 兰：三老 对于这种理想的边界条件，也可以采用系数修正，以求更接近实际情况 上述边界情况可以采甩如下方法修正 f 啦一1 j = 0 仇一1 , j , k = 口q 肚 l 毗一l j 2p 毗d ，i 当日= 1 时，即为无滑动边界条件；当p = 一1 时，即为自由滑动边界条 件当一1 p 1 时，目的取值决定于铸型条件，合金种类以及计算网格的尺寸 与速度边界层尺寸的相对大小等因素 2 对于自由表面速度边界条件，其处理原则是使表面单元满足d t i = 0 。 即 。蒜：兰学+ 牮+ ：学：。 山东大学硬士学位论文 。2 2 2 釜兰鲨一 萎宝实际可能出现的情况和理论分析，可将自由表面速度边界分为如下几种处理 方法： 。 ( 1 ) 自由表面单元只有个面和空单元相邻( y 方向) ，由连续性方程可得； ”+ ，= 心t 口一 - + ( t ，一 ”一t 件 j ，七) 。掣。+ ( 埘i j i 一 一蛾j + ) 可a ： ( 2 ) 自由表面单元有两个相邻的面与空单元相邻( y i z 方向) 2吨十j j = 一圣肚一( 毗凸 一 一咄 + ) a x l z l z 2 【舟 七：毽j i 。每一2 蠹_ 一2 q 囊+ | ) ；，。x2 ( 3 1 自由表面单元有两个相邻的面与空单元相邻( y 方向) ，这时可近似取； j ”“n + + l ， 2 易+ ，t + 曲t 【味 ，。一 ，t + 函x t ( 4 ) 自由表面有三个相邻面与空单元相邻：( x ，y i z 方向) f 蓦蓦 黑曼妻妻面有两个相对面( y 方向) 并另有任面与空单元相邻，( x 方向) 这时 可近似取； 。”4 ” i咏j ，t2 咯 ，t + 珊心 1 ，。一 ，。+ 鲫恤 t 咄+ d i = t 卜孙i + ( t t ，# j f 一圭一t 峨乒七+ 量) 形石 ( 6 ) 自由表面有四个两两相对面与空单元相筇：( x ，y 方向) fi t n ”+ l d 2 嚎 ，舶+ 9 ；t j ，j ，t 2 啄_ l ，j ，。+ 纯础 i 嘣 ，2 + ，i + 。 【味；， 2 吗；，女+ 妇t 璺曼产表面有两个相对面( x 方向) 并另有其他两个相邻面( y j z 方向) 与空单 元相邻t 。1 f 嗡 2 唼如+ 乳。& 2 等，舶2 唯 d k + 如 lr i d + 扣= 吨j 一 ， t i ) i j , t + l 。l l s i d , i 一 1 5 吐f 东大学硕士学位论支 ( 8 ) 自由表面有五个面与空单元相邻( x ，y 方向两两相对面及一个z 方向) f “葛m k 2 “各j ，k + 啦+ f fu 遗 “：渺+ 如a t 卅n + l ，1 2 十 ，十如x t l ”：# 2 。o 一 k + 如t 【 哦矗k + a 啦d i i ( 9 ) 自由表面有、a - 个面与空单元相邻，形成一个孤立流体滴： 2 镶，舭2 嗡 舳+ 如t 嘣舢2 啦渺+ 如a t 。搿 ，