（基础数学专业论文）函数方程和微分方程的hyersulam稳定性.pdf

论文题目；函数方程和微分方程的h y e r s 。u l a m 稳定性 专业：基础数学 硕士生；沈艳 指导教师：黎永锦 摘要 本文研究了拟b a n a c h 空间中的广义可加泛函不等式的h y e r s u l a m r a s s i a s 稳定 性，讨论了二阶微分方程的h y e r s - u l a m 稳定性，最后通过转化与归纳的方法，得到了高 阶微分方程的h y e r s - u l a m 稳定性 关键词；函数方程，微分方程，h y e r s u l a m 稳定性，拟b a n a c h 空间 t i t l e ：t h eh y e r s - u l a ms t a b i l i t yo ft h ef u n c t i o n a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s n a m e ：s h e ny a n s u p e r v i s o r ：l iy o n g j i n a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eh y e r s r u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t yo fg e n e r a l i z e da d d i t i v ef u n c - t i o n a li n e q u a l i t i e si nq u a s i - b a n a c hs p a c e s ，a n dd i s c u s st h eh y e r s - u l a ms t a b i l i t yo ft h e s e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h eh i g ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ：f u n c t i o n a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，h y e r s - u l a ms t a b i l i t y , q u a s i - b a n a c hs p a c e s v 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：郝桓 日期：拟唧年r 月。近日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：批靼 导师签名：东求即 日期：c 7 年f 月26 日 i 第一章引言 1 1 综述 函数方程来源于函数和方程，而函数方程的稳定性问题应该追溯到1 9 4 0 年s m u l a m 在【1 】中提出的问题：若e 1 是一个群，局是一个度量群，其度量为d ( ，) ，任给 e 0 ，是否存在6 ( e ) 0 ，满足如下条件：如果一个映射f ：e lh 岛对任意z ，y e 1 ，有d ( f ( x y ) ，f ( x ) f ( y ) ) s6 ，则存在一个同构h ：e 1h 易对任意z e 1 ，都有 d ( ，( z ) ， ( z ) ) e 也就是说要寻找在哪些情况下这些同构是稳定的，或者更直观地说，如果一个映射 几乎是一个同构，那么是否存在一个真正的同构与它无限接近这就所要讨论的函数方 程的h y e r s u l a m 稳定性问题 1 9 4 1 年，d h h y e r s 得到了关于柯西函数方程稳定性问题的第一个定理 定理1 1 1 纠设e 1 是赋范向量空间， 岛是b a n a c h 空间，若对于任意的易y e 1 ，映射f ：e 1 _ 易满足4 0 t t 等式 i i f ( x + y ) 一y ( x ) 一( y ) l i e 其中是任意大于零的常数，则极限g ( x ) = l i m2 ”y ( 2 “z ) 对于任意的z e 1 均存在， 且g 是唯一满足 i i f ( x ) 一夕( z ) 0 的可加映射如果对于每个z ，从r 到易的函数t f ( t x ) 对于每个固定的z 是连续 的，则g 是线, r i m 如果，在e x 中的任意一点连续，则夕在e 1 上处处连续 证明：在不等式 l i f ( x + y ) 一，( z ) 一f ( y ) l f g 中，令z = y ，并在不等式两边同时除以2 ，得到如下不等式 i if ( 2 x ) 叫( z ) 1 1 三 2 函数方程和微分方程的h y e r s u l a m 稳定性 再令z = 2 x ，并在不等式两边同时除以2 ，得 i i 掣一掣i l 2 矛盾，所以，对于任意的x e 1 有g ( x ) = h ( x ) 若f 在点y 处连续，下证g 处处连续 假设结论不成立，则g 在原点不连续，且存在一整数a 0 和一极限趋于零的序列 z n e l 使g ( x n ) ：1 ，令1 t i 是大于3 a e 的数，由f 的连续性，当1 1 足够大时， l i mf ( m z 竹+ y ) = ，( ! ，) ，从而得 i i g ( m z n 十可) 一g ( y ) l i 1 1 9 ( r e x n + y ) 一，( m z 。+ 秒) i l + i i ，( m z n + 可) 一，( y ) i i + 0 ， ) 一9 ( y ) i i 3 e 另一方面， i i g ( m x n + y ) 一g ( y ) l l = i i g ( m x n ) 0 = m l l g ( x 。) i i 3 得出矛盾，所以g 在局上处处连续。 最后，若如果对于每个x ，从r 到易的函数t 一( t z ) 对于每个固定的x 是连续 的，由已证的结论知道，对于固定的x ，映射g ( t x ) ：r _ 局是可加的并且关于t 连续 所以对于任意的t 有g ( t x ) = t g ( x ) ，即g 是线性的证毕 h y e r s 得出了关于柯西函数方程的h y e r s u l a m 稳定性定理之后，许多人开始研究 u l a m 提出的问题，并把h y e r s 的定理进行了推广【3 】【4 【5 】 定理1 1 1 中的方法称为直接方法，用这种方法还可以证明如下定理 定理1 1 2 可设s 是一任意具有乘法运算的半群， e 是b a n a c h 空间，若映射 f ：s _ e 对于任意的z ，! s 满足不等式 i i f ( x y ) 一f ( x ) 一，( y ) 0 e 4 函数方程和微分方程的h y e r s u l a m 稳定性 则存在唯一的函数夕 ) = 恕2 呻，( z 2 “) ，有g ( z 2 ) = 2 9 ( z ) ，i i f ( x ) 一9 ( z ) 0 若半 群s 是可以交换的，则g ( x y ) = g ( x ) + 9 ( ) 让明，在不等式 i i f ( x y ) 一，( z ) 一f ( y ) l i 中，令z = y ，并在不等式两边同时除以2 ，得如下不等式 i l l ( z x = ) 一m ) 恪三 在上面不等式中，令z = z 2 ，并在不等式两边同时除以2 ，得 | | 譬) _ f ( z x 2 ) l l 刍 综合上面两个不等式，有 1 1 1 f ( x 广2 2 ) 一m ) 1 1 ( 互1 + 刍) ：( 1 - 2 - 2 ) 归纳得 i i 单一( x ) ( 1 - 2 - t t ) 下面证明极限9 ( z ) 2 恕2 ( x 2 “) 存在 在不等式 | | 单一( x ) ( 1 _ 2 - n ) 中，用z 2 ”代替x ，并在不等式两边除以2 m 其中m 是任意的正整数 | | 絮一警忪2 一 因为e 是完备的。由柯西准则知，极限g ( x ) = l i r a2 哪( x 2 ”) 存在 在不等式 。单一m ) ( 1 玎n ) 两边取极限，得 i i ( x ) 一g ( x ) l l e 且对于任意的x s ，有 a ( x 2 ) = l i m2 叫( x 2 ) = 2l i m2 - n - i ( x 2 1 ) = 2 9 ( x ) n 。n 中山大学硕士学位论文 5 所以g ( x 2 ) = 2 9 ( x ) 下证g 的唯一性 假设另有一函数h ：s _ e 也满足 i l ( x ) 一h ( x ) l i 且h ( x 2 ) = 2 h ( x ) ，则 l i f ( x 2 ”) 一h ( x 2 “) l i = i i ：( x 2 ”) 一2 n h ( x ) l i 两边同时除以2 n ，并取极限，得h ( x ) = g ( x ) 最后，如果半群为可交换半群，则f ( x y ) = f ( y x ) 在不等式 i f ( x y ) 一，( z ) 一f ( y ) l i 中，用z m ，y m 分别代替x ，y 并在不等式两边同时除以2 m ，得 i i f ( x 面“f y m ) 一f 石( x f m ) 一f ( ) y m m ) 。2 一m ” 2 ” 2 m2 m ”一。 从而有 l l 驾些一掣一等飞 ” 2 m2 m2 m ”一一 两边取极限，得g ( x y ) = g ( x ) + g ( y ) 证毕 1 9 7 8 年，t h m r a s s i a s 把定理1 1 1 中的控制系数推广到无界的情形 定理1 1 3 俐设e 1 是赋范向量空间，e 2 是b a n a c h 空间，若对于任意的易可 e 1 ，映射f ：e 1 一易满足如下不等式 | i ，( z + y ) 一f ( x ) 一f ( y ) l i e ( 1 l x l l p + l l y l l p ) 其中e 是任意大于零的常数，p 1 则极限g ( x ) = l i m2 一n f ( 2 n z ) 对于任意的z e 1 均存在，且9 是唯一满足 l i f ( x ) 一g ( x ) l i k c l l z l l p 的可加映射，其中k = 南 若p 0 。则 不等式 l i f ( x + y ) 一f ( x ) 一f ( y ) l l e ( 1 l x l l + l l y l l p ) 当z ，y 0 时成立 6 鱼墼立堡型丝分方程的h y e r s - u l a m 稳定性 不等式 当z 0 时成立 证明：在不等式 ，( z ) 一夕( z ) j j 七j j zj j p ，( z - i - 可) 一，( z ) 一f ( y ) l i ( 1 l x l l p + i l y l l ) 中，令z = y ，并在不等式两边同时除以2 ，得 i l f ( z 2 x ) 一m ) 怄p 在上式中，令z = 2 x ，并在两边除以2 ，得 i l 掣f ( 么2 x ) l l 2 i i i i 从而 趔2 2 一m ) i i z i i p 2 j ( p - 1 ) 由归纳法。得 i i 掣叫圳陋i i z i i p 2 ) o _ j n - 1 因为p 1 的情况 定理1 1 4 i s 设e l 是赋范向量空间， 易是b a n a c h 空间，若对于任意的易y e 1 ，映射，：晶_ 易满足如下不等式 i i f ( x4 - y ) 一f ( z ) 一f ( y ) j l e ( 1 l z l l p4 - i i y i i p ) 其中e 是任意大于零的常数，p 1 则极限g ( x ) = l i m2 ”f ( 2 一n z ) 对于任意的z e l 均存在。且g 是唯一满足 ij f ( x ) 一g ( x ) l i 埏恻i p 的可加映射，其中k = 万2 互 证明。在不等式 l i f ( x + y ) 一f ( z ) 一f ( y ) j l ( 1 l x l l p + | i3 ，0 p ) 8 丞数方程和微分方程的h y e r s u l a m 稳定性 中，将代替上式中的x ，y 得 | i f ( x ) 一2 f ( 2 _ 茁翊2 - 0 , q 硼茁| | p 依此类推，有 l l f ( x ) 一2 r f ( 2 啪x ) l l t l x l l p 2 舻1 l g , j s n 因为p l ，所以上述不等式的右边收敛，收敛到k = 南，从而 l i f ( x ) 一2 n f ( 2 一摊z ) l l 惫l | 髫l | p 在上式中，令茁= 2 - r e x ，并在不等式两边同时乘以2 m ，有 2 m f ( 2 一m z ) 一2 m + n f ( 2 一m ”z ) 1 1 2 一m ( p 一1 k e l l z l l 因为岛是b a n a c h 空闻，由橱西准则知，极限g ( x ) = l i m2 匏，( 2 吨z ) 对于糕意的x e l 均存在 在不等式 | i f ( x ) 一2 椎，( 2 “。) i 鼢矧罗 两边取极限，得 i i f ( x ) 一g ( x ) l is 娩i p 在不等式 l l f ( x + y ) 一f ( x ) 一，( y ) | | 苎( 1 l x l l p + | l 可1 1 p ) 中，分别用2 一m ，2 一m 箩代替x ，y ，并在不等式两边乘以2 m ，有 | 2 m f ( 2 一m ( 名+ 爹) ) 一2 m f ( 2 一m x ) 一2 m f ( 2 一饿y ) l l 2 m ( 1 1 2 一m 茹| r + | | 2 一供箩酽) 在两边取极限得g ( x 十y ) = g ( x ) 十g ( ) ，所以g 是可加映射 最后，证嚼g 的嚷一性 假设有另一可加性陕射h ：e 1 _ 饬也满足 f i f ( x ) 一h ( x ) l i 艇捌i p 则存在一点y 0 置y e 置使得a = | j g ( y ) 一h ( y ) l | 0 。从两a = | i g ( y ) 一 h ( y ) l l 2 船l p 再由g 和h 的可加性，知夕( 詈) 一击g ( 可) ，九( 羔) 一去 ( y ) ，由此可得： 景= 怕( 警) 一 ( 羔) i i 鸯妒对于任意的m 均成立从而a = o ，所以g 的唯一性得证 中山大学硕士学位论文 9 以上定理给出了p l ，p 1 时的情形而p = 1 是否成立呢? 1 9 9 2 年，t h m r a s s i a s 与p s e m r l 在 9 】提出了当p = 1 时其稳定性定理不成 立，并构造出一个反例： z 0 ； z 0 在这里，可以验证l i m 掣= o o ，且 l ，( z + y ) 一，( z ) 一，( y ) i o ( i z i + i y l ) 2 0 0 4 年g l f o r t i 在【1 0 】中对直接证法做了如下的概述 令( x ，d ) 为一完备向量空间，s 是一集合，g ：s s ，h ：x _ x 是两给定的函 数假设，：s _ x 满足如下的不等式 d ( e 1 ( ，) ，岛( ，) ) a 其中是一固定函数( d 是距离) 经过对上述不等式的变换，得到如下的形式的不等式 d ( h ， g ( z ) 】) ，( z ) ) j ( z ) 其中6 ：s _ r + ，则有日 ，【g ( z ) 】) = 尸( z ) ，且d ( f ( 。) ，( z ) ) e ( z ) 其中( z ) 为 距离函数 引理1 1 5 口刃假设函数h 满足如下的不等式 d ( 日( u ) ，日( 口) ) ( d ( 仳， ) ) ，t ， x ：r + 一r + 是固定的非减函数则对于n ，有 d ( h n + l ，【g + 1 ( z ) 】) ，h ” ，f g “( z ) 】) ) “( 6 【g n ( z ) 】) 日，g ，分别代表eg ，的第t 次迭代 在下文中，记q n ( z ) = h n ，【伊( z ) 】) ，z s ，则有如下一些结果 引理1 1 6 口刃假设函数h 满足如下的不等式 d ( h ( u ) ，h ( 口) ) ( d ( u ， ) ) ，u ，u x ， ， 、l，i l 1 _ + 一 z z ，iili 2 2 g g 0 o，l，l z z ，1 = 、l ， z ，j l o 函数方程和微分方程的h y e r s ，u l a m 稳定性 ：冗+ 哪冗+ 是固定的非减函数。若幂级数( 6 【( 。) 】) 0 ，令f ：ih 冗是可微函数，则 i i f ( z ) 一，( z ) 0 e ，z i 当且仅当f 能表示为如下形式 f ( x ) = e + e 。z ( e 2 ) ，z j 其中f 是一任意定义在j = e 吖i z j ) 上的非增的可微函数，且满足2 e 利普希茨条 件 由上述定理可得：若f 满足( z ) 一f ( x ) l i e ，则存在一个函数g ( x ) = c e 茁满足 9 ( z ) = g ( x ) 使 l i f ( x ) 一9 ( z ) | l 3 e ， 对任意的z ，均成立 事实上，f 具有f ( x ) = e + e x l ( e ) ，z ，的形式，且l 是一任意定义在j = ( e 叶i x ，) 上的非增的可微函数，满足2 e 利普希茨条件 令口= i n f g ；c = l i m f ( t ) ，则c 是有限的对于每个z ，有 f ( x ) 一c e 王ise + e z i ! ( e z ) 一c is + 霉2 e l e 一a i = e ( 1 + 2 1 1 一a e z i ) 令b 满足a = e 一则b = 。o 时，a = 0 ，由上式得； i f ( x ) 一c e z i e ( 1 + 2 1 1 一e x - b i ) = e ( 3 2 e z 一6 ) 3 e 从而得f i f ( x ) 一9 ( z ) j | 3 e ，g ( x ) = c e 2 显然，夕。( z ) = 9 ( z ) 2 0 0 4 年s m j u n g 1 7 研究了一阶线性微分方程妒( ) 可m ) = y ( t ) 的稳定性 引理1 2 4 以刀设z ：，_ r 是可微函数，则 俐对任意的t ，不等式z ( t ) s 妒( ) z ( t ) 成立当且仅当存在可微函数q ：，_ r 使得o ( ) 妒( ) 0 并且 ) e 印 j 南坩“ 俐对任意的t ，不等式z ( t ) 妒( ) z 7 ( ) 成立当且仅当存在可微函数p ：，_ r 使得p ( ) 妒( ) 0 并且 m ) 叫咖州高) 定理1 2 。5皿刀对于任意的 0 ，可微函数秒：j r _ r 满足不等式i 妒( ) y ( ) 一 y ( t ) ls 当且仅当存在可微函数o t ：，_ r 使得可( ) = + q ( t ) e z p ，斋) 并且 中山大学硕士学位论文1 3 t 0s 口7 ( f ) 妒( ) 2 e e x p 一一r 两d r 万) 由上述推论与定理，可得c p ( t ) y ( ) = v ( t ) 的稳定性 定理1 2 6 口刀若对于任意的t ，妒( ) 0 或者妒( ) 0 ，可微函数y ：i r 满足不等式i 妒( ) 可( ) 一y ( ) l ，则存在实数c 使得 之 i v ( d ce x p 南胚e ，v t “ 2 0 0 8 年g w w a n g 等进一步推广了阶微分方程的稳定性，得到了方程p ( z ) y 一 q ( x ) v r ( x ) = 0 的稳定性 为了方便起见，假设下面用到的相应的积分均存在 定理1 2 7 肛彰令p 俐，口倒，r 倒是区间，= ( n ，b ) 上的连续实函数，p ( x ) 0 ，j 口( z ) j 正6 0 ，z ，则方程p ( z ) 秒一q ( x ) v r ( x ) = 0 具有h y e r s g l a r e 稳定性 证明：令e 0 ，y ：j _ r 是连续司微函数，使得 i p ( z ) 可一q ( x ) v r ( z ) i 不失一般性，假设q ( x ) 1 若p ( x ) 0 ，由 一e p ( z ) y 一q ( x ) y r ( x ) 两边同乘以函数南e 印 一，籍d s ) ，得到z 一高e 州一器埘e 印t 一黔嘲一可籍e 印t 一器啪一籍e 印t 一凳 e 高e 计器埘 因为q ( x ) 芝1 ，得 t 一器埘y e 酬一器埘一y 器e 印t 一搿埘一筹e 州一凳 器e 印卜筹科 选定b l ( a ，6 ) ，使得可( 6 1 ) ) e 印( 一厂黼d s ) 在上式两边同乘激颦 二籍森 。 一s e 印筹埘，叫e 印t 一夕器埘一夕筹e 印t 一器哪蚓叫茹， 类似的，对于任意的茹 b l ，6 ) ，从b l 到x 积分，有 s 出) x p ，”q ( s ) y 啪) 叫e 卵( _ 器啪一器e 印 _ 厂器嘲d 8 】 s 出唧 舞埘叫 冬( 2 e x p ( q ( s ) - d s 一1 ) 0 的情况相似，可到p ( x ) 0 时的结论 1 y ( x ) 一勿( z ) l ( 2 b 一1 ) e ，其中b = e x p 一，烈q ( 。s j ) d s ) 且勿( z ) = e 印籍d s ) 【( 蜘) 一咖印 一? 糟d s ) 一箩器e z p 卜= 器d t 酬 满足p ( z ) 乏一q ( x ) z 2 一r ( z ) = 0 证毕 除此之外，t m i u r a 等还把a l s i n a 和g e r 的结论推广到b a n a c h 空间上，研究了 b a n a c h 空间上的微分方程可( z ) = a y ( x ) 的稳定性【1 9 】【2 0 】 2 0 0 5 年，s m j u n g 证明了复b a n a c h 空间上形如t y ( t ) + a y ( t ) + 卢黝= 0 的微 分方程的稳定性 定理1 2 8 膨町x 为复b a n a c h 空间，i = ( a ，b ) 是开区间，妒：i _ 【0 ，o o ) ，a ，p ，7 是复常数，z o 是x 中的固定点若t a + 1 ，t a - 1 妒( ) 在( a ，c ) 上可积，a c b 连续 可微函数，：，_ x 满足微分不等式 j j ( t ) + a y ( t ) + p 圹x o l l 妒( ) 则存在唯一的方程t y ( ) + o r y ( t ) + p 矿x o = 0 的解函数矗使得 b ， l i f ( t ) 一1 o ( t ) l i l 一口i i u 口一1 妒( ) d u i ， 接着， s m j u n g 在2 0 0 6 年又得到复b a n a c h 空间上一阶线性微分方程y ( t ) + g ( t ) y ( t ) + h ( t ) = 0 的稳定性 定理1 2 9膨刃x 为复b a n a c h 空间，i = ( a ，b ) 是开区间，a ，b ru 士) ，a 0 ，使得8 ，t t o 时有她一z ( s ) l | 。郄 名( s ) 。f 是拇露数列，y i 丢t 势x 是完备的，浙戳存在茹x 使得s _ b 时，名( s _ 鬈 0 可( ) 一e 印( 一fg ( u ) d u ( x fe 印 - g ( u ) d u h ( v ) d v ) l i = | | e 印 一歹g ( 鞑) 巍 ( 名一髫矧 e z p 一r - f g ( u ) d u l l z ( t ) 一z ( 8 ) i i 十e x p - r f g ( u ) d u l l z ( s ) 一茹| l 髫爹 一霆，箩( 锃如 | fe x p n f g ( u ) d u ( v ) d v l 专e x p - n f g ( u ) d u l l z ( s ) 一x l | _ e x p - r f g ( u ) d u f e x p r f g ( u ) d u c p ( v ) d v ( 8 _ b ) 下证x 的唯一性假设另存在x l 也满足条件。则 l | e 邓 一f g ( u ) d u ( x x z ) | 2 e x p 一r f g ( u ) d u f e x p r f g ( u ) d u t p ( v ) d v 从而得 | i x l 一x l l 2fe x p r f g ( u ) d u ( v ) d v _ o 。s _ b ) x 的唯一性得证证毕 推论1 2 1 0 廖掣x 为复b a n a c h 窘间，i = ( 岛b ) 是开区间，a ，b r u 士 ，a 0 ，b 0 是常数g ，h ：r + 一c 是连续函数 并进一步假设，g ，啊i t 满足； ( a ) fg ( t ) d t 存在，y r + u ( o o 垫一 鱼墼友堡塑螫处方程的h y e r s u l a m 稳定性 ( b ) fe x p fg ( t ) d t h ( w ) d w 存在，y r + u 。o ) 俐fe z p r e ( rg ( t ) d t ) d w 存在 倒 l i m u ( x ，y ) 存在 则存在唯一的复数0 使 i 让( z ，) 一e 够p 一丢夕( t ) d 口一丢e z p 丢夕( t ) d t ) ( 叫) d 叫】i 昙e z p 一丢r e ( 夕( c ) d t ) ) e z p 昙r e ( 夕( t ) d t ) ) d 叫 0 v 0 证明：作坐标变换 。z 一否可，叩2 否可 令面( ，r 1 ) = u ( + a r ，切) = u ( x ，可) ，则 钍。( z ，可) = 砜( f ，叼) 簧+ ( 荨，7 7 ) 爱= 磁( ，叩) u ( z ，y ) = 硪( 荨，7 7 ) 筹+ 碥( 荨，叩) 器= 一；礤( f ，叩) + ( ，7 7 ) 所以a u ( z ，y ) + b u 暂( z ，y ) = u n ( ，叩) 故1 ( ，叩) + 虿( 叩) 瓦( f ，叩) + h ( r 1 ) l ， 其中虿( 叩) = 夕( 6 叩) = 9 ( ) ，h ( o ) = ( 6 7 7 ) = h ( y ) 令= s 一：，肛= i l t ，贝0 歹( p ) = 夕( 6 p ) = g ( t ) 由( a ) 知：f9 ( p ) 缸= fg ( t ) d t 存在 令= u a 。w ，毋= 叫，则 瓦( 秽) = ( 6 毋) = h ( w ) 且e z p 0 ，b 0 的情形 定理1 4 2 廖纠设函数u ：r + r + 一c 有连续的偏导数，且u 满足不等式 i o u 。( z ，y ) + b u 掣( z ，y ) + 夕( 可) u ( z ，y ) + ( 夕) i g ，z ，y r + 其中a 0 是常数g ，h ：r + _ c 是连续函数 并进一步假设，函h ，u 满足： ( q ) lg ( t ) d t 吾拄y r u o o ，e 印 jfg ( t ) d t h ( w ) d w 存在，秒胪u o o ( c ) le z p ：r e ( fg ( t ) d t ) d w 寿粒 ( d ) l i mu ( x 。y 、寿拄 则存在唯一的复数日使 i u ( z ，) - e x p 一三9 ( t ) d t ) 口一1 e z p 丢夕( t ) d t ，九( 叫) d 训】 三e z p 一r e ( 9 ( t ) d t ) ) e z p 三r e ( 9 ( t ) d t ) ) d 叫 2 2 函数方程和微分方穰的h y e r s u l a m 稳定性 h ( x ) 证明：令v ( x ，y ) = 仳( ，z ) ，则 ( 础) = 牌盥掣= 髓盟掣= 吻( 炉) 札( 础) 一 _ o l i m 啦掣= 将蚍掣= 魄( 邺) 从而，n “霉( 。，簦) + 乩翟( 髫，秽) + g ( z ) u ( z ，s f ) + ( z ) = a v ”( y ，。) + b v x ( 爹，z ) + g ( 。) 口( ，z ) 十 所以l b v z ( y ，z ) + a v v ( y ，茹) + g ( x ) v ( y ，茹) 十九( z ) 冬，交换x ，y i 有 i b y z ( z ，y ) 十a v ( z ，y ) + 口( ! ，) 口( z ，y ) + ( ) i 在条件a t ，c ，下，由定理1 4 。1 得 存在唯一的复数0 使 f ) 一唧 一：1 酢) 蚓疗一丢e 印畦砟) 出) ) d w l 冬三e 印 一磊1 酬卵) 蚴) e x v 三r e ( 鲋) 鳓脚 0掣0 交换x ，y 褥 证毕 钍( $ ，掣) 一e z p 一三g ( ) d t t o 一三1 e z p