（机械制造及其自动化专业论文）机器人轨迹规划的研究.pdf

机器人轨迹规划的研究 摘要 ( 机器人的轨迹规划在机器人的控制中具有重要的地位。论文中根据机器人轨 k? 迹规划的要求和约束，提出一种新的轨迹规划的方法。本课题的规划主要是在操 作空间中，依据机器人操作臂运动时有无路径约束和运动约束的要求来进行规划 的。通过对机器人操作臂的轨迹规划的具体分析、基于运动学寻轨迹算法的模拟 实现、关节空间的轨迹优化等方面的全过程的研究，阐述了机器人轨迹规划的一 般规律。研究出的规划方法可以很好解决在机器人操作空间规划时，实时性和精 确性的矛盾，以及关节空间中的时间最小优化问题。 在基于机器人的运动学的轨迹规划中，通过在操作空间的规划，提出了归一 化因子来求解中间结点，通过它可以使求解中间结点变得更简单，并且赋予它们 实际的物理含义。对于规划中精确性和实时性的矛盾，提出了以误差极限法和反 向插值法来解决的方法，最后，为了减少规划过程中计算量，在关节空间进行三 次样条插值。基于运动学寻轨迹算法的模拟实现中，主要在v c 十+ 的基础上，通过 调用m a t l a b 的计算和绘图功能完成模拟的要求。在关节空间中，针对时间的进行 优化，采用b 样条曲线来构建垡些塾鎏焦型! 把速度和加速度约束因素包括进来， 利用复合形的优化程序寻最优解，符合要求的优化精度。 关键词：轨迹规划结岛优化- 路径约束，运动约束 t h er e s e a r c ho fr o b o t st r a j e c t o r yp l a n n i n g a b s t r a c t r o b o t st r a j e c t o r yp l a n n i n gi sv e r yi m p o r t a n t i nt h ec o n t r o lo f r o b o t i c s b a s e do nd e m a n d sa n dr e s t r i c t i o n so ft r a j e c t o r yp l a n n i n g ，t h i s p a p e rp r e s e n t san o v e lm e t h o d so ft r a j e c t o r yp l a n n i n g i nt h eo p e r a t i o n s p a c e ，d e p e n d i n go nw h e t h e rp a t hc o n s t r a i n t sa n dm o t i o nc o n s t r a i n t s ，w e m a k et r a j e c t o r yp l a n n i n g b yt h er e s e a r c h i n gp r o c e s s e so fc o n c r e t ea n a l y s i s o f t r a j e c t o r yp l a n n i n g o nr o b o t s m a n i p u l a t o ra r m ， i m i t a t i o no f t r a j e c t o r y b a s e do nk i n e m a t i c sa n do p t i m i z a t i o no ft r a j e c t o r yi nt h e a r t i c u l a t i o ns p a c e ，t h i sp a p e rf o r m u l i z e sg e n e r a lr e g u l a r i t yo fr o b o t s t r aj e c t o r yp l a n n i n g t h em e t h o dr e s e a r c h e dr e s o l v e sc o n t r a d i c t i o nb e t w e e n r e a l t i m ea n da c c u r a c yi nt h eo p e r a t i o ns p a c e ，a n dp r o b l e mo fm i n i m a l o p t i m i z a t i o na b o u tt i m e i n p r o c e s s o ft h e t r a j e c t o r yp l a n n i n gd e p e n d i n g 0 nr o b o t s k i n e m a t i c s w ep r o p o n eam e t h o dw h i c hc a ng e tm i d d l en o d a l p o i n tw i t h n o r m a l i z i n gf a c t o ri no r d e rt os i m p l i f yo u rp r o c e s s ，i na d d i t i o n ，i n c l u d e s a c t u a l p h y s i c ss i g n i f i c a t i o n f o re l i m i n a t i n gc o n t r a d i c t i o nb e t w e e n r e a l t i m ea n da c c u r a c y ，w eb r i n gf o r w a r d s e p a r a t e l y1 i m i to fe r r o ra n d r e v e r s a l i n t e r p o l a t i o nm e t h o d i nt h ee n d ，f o rd e c r e a s i n gc a l c u l a t i o n q u a n t i t y ，w er e s o r tt ot r i s p l i n ei n t e r p o l a t i o ni nt h ea r t i c u l a t i o ns p a c e i nt h ei m i t a t i o np r o c e s so ft r a j e c t o r ya l g o r i s mb a s e do nk i n e m a t i c s ，u n d e r v c + + ，w ed e m a n dt h er e q u i r e m e n t so fc a l c u l a t i o na n dd r a w i n gb yc a l l i n g m a t l a b i nt h ea r t i c u l a t i o ns p a c e ，w eo p t i m i z et i m e ：f o r mm o d u l e b ya d o p t i n g bs p l i d ec u r v e ，w h i c hi n c l u d i n gs p e e da n da c c e l e r a t i o nc o n s t r a i n t w em a k e u s eo fm a i n l yc o m p o u n df o r mo p t i m i z i n gp r o g r a mt of i n do p t i m a ls o l u t i o n k e yw o r d ：t r a j e c t o r y p l a n n i n g n o d a l p o i n to p t i m i z a t i o np a t h c o n s t r a i n tm o v e c o n s t r a i n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金瞪王业太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名f 视真移 签字隰哆年歹月三日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒肥工业太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权盒肥工业太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名产习县张 签字日期谚年z 奠罗日 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 导师签名 签字日哆年6 心 电话 邮编 致谓 至此论文完成之际，谨向我的导师柯尊忠教授表示最真诚的感谢! 恩师对我研究生阶段的学习和论文的撰写工作自始至终都倾注了大量的心 血，对我的论文的选题、修改和定稿直给予精心的指导，并提出了大量的修改 意见。不仅如此，恩师严谨求实的学风、孜孜不倦的教导、平易近人的作风和无 微不至的关怀都给我留下了终身难忘的印象，使我受益匪浅。 恩师严以律己、宽以待人，还教给了我许多难得的做人的道理。他诲人不倦， 他对事业孜孜以求，他严谨治学，令人敬佩，使我今后学习和工作的楷模。 在此还要特别感谢黄康副教授，无论是在学问上，还是在生活上，他以兄长 的胸怀，给了我极大的帮助。 还要感谢机械设计教研室的王卫荣教授和机械设计教研室的全体老师，他们 对我的论文的完成倾注了极大的关心和心血! 感谢合肥工业大学机械与汽车工程学院和研究生部的老师们和朋友们所付出 的辛勤的工作! 最后，我的感谢我的父母，没有他们的支持，我完成不了我的学业! 作者陶其铭 2 0 0 3 年4 月9 日 1 1 机器人发展概况 机器人轨迹规划的研究 第一章绪论 本论文中所指的机器人，是工业机器人，或称机器人操作臂、机械手等。从 外形来看，它和人的手臂相似，是由若干个刚性连杆通过若干个关节连接而成的 开式链。如图卜1 和图卜2 所示的机器人。 圈1 1c m 3 机器人 图】- 2p u m a 5 6 0 系列机器人 。 工业机器人是“一种能够执行与人的上肢( 手和臂) 类似动作的多功能机器”。 工业机器人在现代制造业中的应用是和柔性自动化紧密联系一起的。工业机器人 与计算机辅助设计( c a d ) 系统、计算机辅助制造( c a m ) 系统一起标志着制造自 动化的发展到一个崭新的阶段”1 。 1 1 1 发展过程 工业机器人的发展大致有以下几个阶段： 第一阶段：从2 0 世纪6 0 年代初期到7 0 年代初期；机器人技术的发展较为缓 慢，主要有移动式智能机器人和投放市场的各种操作机器人等。第二阶段：从2 0 世纪7 0 年代到8 0 年代中期；随着自动控制理论、电子计算机和航天技术的迅速 发展，机器人技术进入了个新的发展阶段。第三阶段：从2 0 世纪8 0 年代之后： 在现代控制理论和传感技术完善的基础上出现了高级智能的机器人。 1 1 2 机器人特点、结构和一般分类 通用性和适应性是机器人的两个主要特征。机器人的通用性取决于其几何特性 和机械能力。通用性指的是能执行不同的功能和完成多样的简单任务的实际能力。 增加自由度一般能提高通用性程度；适应性是指其对环境的自适应能力，即所设 计的机器人能够自我执行未经完全指定的任务，而不管任务执行过程中所发生的 没有预计到环境变化。一个机器人系统，一般由四个互相作用的部分组成：机器 人、环境、任务、控制器”“，如图1 3 所示。 图卜3 机器人系统的基本结构 可以说，计算机是机器人的控制器或大脑。机器人接受来自传感器的信号 2 对之进行数据处理，并按照预存信息、机器人的状态与其环境情况等，产生出控 制信号去驱动机器人的各个关节。对于技术比较简单的机器人，计算机只含有固 定程序；对于技术比较先进的机器人，采用可以编制程序的小型计算机、微型计 算机或微处理机作为其主要控制处理单元。具体说来，在计算机内存储有：机器 人动作模型：表示执行装置在激发信号与随之发生的机器人运动之间的关系；环 境模型：描述机器人在可达空间内的每一事物；任务程序：使计算机能够理解其 所要执行的作业任务：控制算法：计算机指令序列，它提供对机器人的控制，以 便执行需要做的工作。 机器人分类方法很多，一般按两种分类法：( 1 ) 机器人的几何结构：( 2 ) 机器 人的控制方式。对于( 1 ) ，有柱面坐标机器人：球面坐标机器人：关节式坐标机 器人。对于( 2 ) ，有非伺服机器入；伺服机器入。 1 1 3 机器人与人工智能 机器人与人工智能有十分密切的关系。人工智能的近期目标是：研究智能计 算机及其系统，以模仿和执行人类的某些智力功能，如判断、推理、理解、识别、 规划、学习和其它问题求解。目前，机器人上的“智能”是应用反馈控制而产生 的。但是，反馈控制技术本身并不是建立在人工智能技术的基础上的，而属于古 典控制理论范畴。由于，反馈控制有它的局限性，因为数学模型及其实现有其众 多的强烈约束。而人工智能则有许多对环境和周围相关事物产生响应的方法，这 些方法要比用古典控制技术得到的响应灵活得多。而今，人工智能在机器人方面 的应用主要涉及：传感信息处理；机器人规划：专家系统：自然语言理解等。 1 2 轨迹规划简介 1 2 1 机器人规划的研究范围 由上面介绍，机器人有广泛应用领域，其中比较重要的研究领域有：( 1 ) 传 感器与感知系统；( 2 ) 建立模型、驱动与控制；( 3 ) 自动规划与调度；( 4 ) 计算 机系统；( 5 ) 应用研究以及其它。考虑到本论文的研究，我们对自动规划做进 步叙述。自动规划中又包括：环境模型的描述；控制知识的表示：路径规划：任 务规划；非结构环境下的规划：含有不确定性时的规划；协调操作( 运动) 规划： 装配规划：基于传感信息的规划；任务协商与调度；制造系统中机器人的调度。“。 1 2 2 自动规划的概念 自动规划是一种重要的问题求解技术，它从某个特定的问题状态出发，寻求 一系列行为动作，并建立一个操作序列，直到求得目标状态为止。与般问题求 解相比，自动规划更注重于对问题的求解过程。当然，规划要解决的问题，如机 器人世界问题，往往是真实世界问题，而不是比较抽象的数学模型问题。自动规 划系统属于高级求解系统与技术。 已经研究出一些机器人高层规划系统，如：s t r i p s 和a b s t r i p s 系统，在消解 原理基础上，应用通用搜索启发技术，以逻辑演算表示期望目标；此种系统把世 界模型表示为一阶谓词演算公式的任意集合，采用消解反演 ( r e s o l u t i o n r e f u t a t i o n ) 来求解具体模型的问题，并采用中间结局分析 ( m e a n s - e n d sa n a l y s i s ) 策略来引导求解系统至要求的目标：还有采用管理式学习 ( s p u e r v i s e dl e a r n i n g ) 来加速规划过程的规划系统，从而改善问题求解能力， p u l p i 即为具有学习能力的规划系统，它是建立在类比的基础上，采用语义网络 来表示知识，比用一阶谓词公式前进了一步”1 。 现在，又开发出其它一些规划系统，包括非线性规划，应用归纳的规划系统 和分层规划系统；专家系统也已应用于许多不同层次的机器人规划。 1 2 3 轨迹规划的任务和作用 上面讨论的自动规划，在机器人规划中称为高层规划( h i g h - l e v e lp l a n n i n g ) ， 它具有与底层规划( l o w - l e v e lp l a n n i n g ) 不同的规划目标、任务和方法。本论文研 究的重点放在底层规划中轨迹规划上。机器人的轨迹规划属于机器人底层规划的 一个方面，基本上不涉及人工智能问题，而是在机器人的运动学和动力学的基础 上，讨论在关节空间和笛卡儿空间中机器人运动的轨迹规划和轨迹生成方法。 所谓轨迹，是指机器人的运动过程中的位移、速度和加速度。而轨迹规划是根据 作业任务的要求，计算出预期的运动轨迹。在轨迹规划中要充分考虑来自地图的 模型( 地图指机器人及其周围环境) ：有无路径约束，有无障碍约束等一系列问题。 目前为止，已经有了各种规划的方法，有针对关节空间的规划方法；有针对操作 空间的规划方法：如比较著名的p a u l 法、四元数法、旋量法等【3 】，它们各有优缺 点。尤其是在操作空间中的规划问题，由于受到各种限制，至今还是一个难点， 没有很好的解决方案。 1 3 本论文所研究的目标和内容 1 3 1 本论文研究的目标 根据机器人轨迹规划的要求和约束，提出一种新的轨迹规划的方法。本论文 的规划主要是在操作空间中，根据机器人操作臂运动时有无路径约束和障碍约束 的要求来进行规划的。通过论文中的方法去处理，可以很好解决在机器人操作空 间规划时，实时性和精确性的矛盾：针对轨迹规划的运动时间，论文提出基于时 间最小的优化算法。 1 3 2 本论文主要内容 ( 1 ) 轨迹规划数理知识的简介 由于，轨迹规划是建立在机器人运动学和动力学基础上的，本论文有必要对 它们进行一般的简介。首先，讨论在研究机器人轨迹规划中，所应用的齐次变换 的各种运算法则；机器人位姿的表达方式：以及各种空间之间的区别和联系；其 次，重点分析了机器人的运动学方程的建立方法；对运动学的反解进行了详细的 讨论，并且对反解的唯一性和存在性进行了处理；最后，简略讨论了机器人的速 度和动力学方程，虽然采用p u m a 5 6 0 机器人的理想模型，但是，机器人的轨迹规 划是个系统工程，有时很有必要在关节空间中进行轨迹优化，主要涉及运动学中 的速度、加速度问题。 ( 2 ) 轨迹规划的具体分析 轨迹规划是属于机器人规划的底层规划 和方法和高层规划( 自动规划) 还是相通的 规划的概念，这样大大简化了问题解决。 相对来讲容易，但是它的许多思想 所以论文中提出了分层次和子轨迹 面对一个具体的轨迹规划，首先考虑存在哪些约束，论文中它们划分成四大 类：有障碍物和有路径约束：有障碍物和无路径约束：无障碍物和有路径约束： 无障碍物和无路径约束。由于实际中，操作臂操作的地图的复杂性，我们重点放 在以下四个条件下的轨迹规划上，即，( 1 ) 无障碍约束和路径约束；( 2 ) 在操作 空间中规划；( 3 ) 路径约束点之间做恒速运动：( 4 ) 操作臂和操作环境不接触； 这样使问题简化，便于对新算法的原理的阐述和检验。在此基础上，针对操作空 间中的轨迹规划，先把操作臂的运动分解成许多的具体运动，即整个规划可以分 解成许多子轨迹规划；引入了归一化因子，使操作空间的中间结点的求法变得简 单实用，并且具有具体的内涵：由于操作空间向关节空间映射时的反解计算量很 大，在分析了满足具体的精确性的基础上，提出了解决精确性和实时性矛盾的方 法；即，通过误差极限法来控制其精确性的要求；通过在区间之间的反向插值， 来减少中间点数量，从而达到实时性的要求。 ( 3 ) 基于运动学寻轨迹算法的模拟实现 先简单介绍了模拟实现的平台：v c + + 和m a t l a b 。基于v c + + 方便性和易扩 展性，我们用它建立模拟实现的主要界面，其中包括正解的求解；反解的求解； 数据的输入；数据的输出；模拟曲线的生成。由于运动学轨迹算法中涉及大量的 矩阵计算，我们通过调用m a t l a b 的矩阵计算和绘图功能来计算和模拟曲线。 ( 4 ) 在关节空间中轨迹优化 在操作空间的规划问题中，我们发现在笛卡尔空间中的规划的优点是概念直 观，便于理解，但此方法涉及大量笛卡尔空间与关节空间的位姿映射转换，计算 量大，并且所用传感器不能直接测出机器人在笛卡尔坐标系中的参数，很难用于 实时控制。但是本课题主要是指以操作空间为基础的规划，无论规划的方法怎样， 最后都得映射到关节空间进行必要的处理。 由于，在实际中，在进行轨迹规划般的做法是规定各个关节和各个自由度 的最大速度和加速度，尽量采用比较保守的值，从而避免驱动装置的实际负载能 力，显然，采用上述的轨迹规划方法不能充分利用操作臂的速度和加速度性能， 自然就提出了优化轨迹的规划问题。论文中优化轨迹规划方法称为最短时间法， 能使操作臂达到目标点的时间最短。其中的重点是优化模型的建立，我们采用b 样条曲线来构造插值曲线；根据实际研究的需要，可以分别把速度、加速度都作 为约束，优化求解最小目标值。 6 第二章机器人轨迹规划的数理基础 机器人的轨迹规划属于机器人低层规划，很少涉及人工智能问题，而是在机 械手运动学和动力学的基础上，研究在关节空间和笛卡尔空间中机器人运动的轨 迹规划和轨迹生成方法。所谓轨迹，是指机械手在运动过程中的位移、速度和加 速度。而轨迹规划是根据作业任务的要求，计算出预期的运动轨迹。由于它的基 础是机械手的运动学和动力学，所以有必要介绍一下机器人位姿的描述、运动学 和动力学原理、机器人运动学和动力学的一般方程以及具体实现它们解的方法。 2 1 机器人位姿的描述 机器人的连杆可看成是刚性的。所以，我们就可从刚体入手来描述它的位 姿。 刚体参考点的位黄和刚体的姿态统称为刚体的位姿，其描述方法较多，如齐 次变换法、矢量法、旋量法和四元数法等。论文中采用齐次变换法，其优点在于 它将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来；此外，齐次变换在研究空间机构动 力学、机器人控制算法、计算机图形学和视觉信息处理方面也都有广泛的运用。 2 1 1 刚体位姿描述 ( i ) 位置的描述 对于直角坐标系 a ) ，空间任一点的位置可用3 1 阶的列矢量“p 来表示( 也 称位置矢量) 陬 即， “p = ip ，j ， 训 其中，p 。，凡是点p 在坐标系f a ) 中的三个坐标分量。 “p 的上标a 代表参考坐标系 a 。 除了直角坐标系外，也可采用圆柱坐标系或球坐标系来描述点的位置。 ( 2 ) 方位的描述 为了规定空间某刚体b 的方位，另设一直角坐标系 b ) 与此刚体固接。用坐 标系 b ) 的三个单位主矢量x 。，y 。，相对于坐标系 a ) 的方向余弦组成的3 3 阶 矩阵： ；r = 【。x 。“y 。“z 。j ； 来表示刚体b 相对于f a ) 的方位。；月称为旋转矩阵，上标a 代表参考系 a ) ，下 标b 代表被描述的坐标系 b ) 。；r 有9 个元素，其中只有3 个是独立的。因为 ：r 的三个列矢量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9 个元素满足6 个约束条件( 正交条件) ： 。x b f i x e = a y n y 口= “。b 。2 b = 1 ； 4 x a a y 口5 “y e a 2 口5 。z ba 。口。0 因此，旋转矩阵；尺是正交的，并且满足条件： j r 一= ；胄1 ；l ：r 1 ； 其中，上标t 表示转置；i 【是行列式符号； 绕x 轴、y 轴、z 轴旋转。角的旋转矩阵分别为 脚扔性0 剖- s i n 0 ； r c y ，臼，= 二；l 二ii兰：； 月cz，臼，=lcsio：s目0-c茗sin曰o； 总之，采用位置矢量表示点的位置，而用旋转矩阵描述物体的方位。 ( 3 ) 位姿的描述 为了完全描述刚体b 的空间的位姿( 位置和姿态) ，通常将刚体b 与坐标系 b 相固接。 b ) 的坐标系原点一般选在物体b 的特征点上，如质心、或对称中心 等。相对参考系 a ) ，由位置矢量。b 和旋转矩阵；r 分别描述坐标系 b ) 的原点位 置和坐标轴的方位。因此，刚体b 的位姿可由坐标系 b 来描述， 即： b ) = f ；胄“最) 。 说明：当表示位置时，上式中的旋转矩阵；r = i ( 单位矩阵) ；当表示方位时， 那么位置矢量。只= 0 。 ( 4 ) 手爪坐标系 1，j 亿 也b ，l = r 8或 为了描述手爪的位置和姿态，规定一坐标系与手爪固接，称手爪坐标系，如 图2 - l 所示， 图2 - i机器人手爪坐标系 其中，z 轴设在手指接近物体的方向，称接近矢量a ( a p p r o a c h ) ：y 轴设在两 手的连线方向，称方位矢量0 ( o r i e n t a t i o n ) ：x 轴由右手法则确定：n = o x a ，n 称 位法向矢量( n o r m a l ) 。这样，手爪的方位由旋转矩阵r 所规定， 即： r = n ，o ，a ； 三个单位正交矢量n ，o ，a 描述了手爪的姿态。而手爪的位置由位置矢量p 所规定，它代表手爪坐标系的原点。因此，手爪的位姿由四个矢量 n ，0 ，a ，p 来描述，可以记为： t ) - f n ，0 ，a ，p ) 。 2 1 2 坐标变换 空间中任意点p 在不同坐标系中的描述是不同的。从一个坐标系的描述到 一个坐标系的描述之间的变换关系具体有：平移变换，旋转变换，复合变换。 ( 1 ) 平移变换 设坐标系 b ) 与 a ) 具有相同的方位，但是 b ) 的坐标原点与 a ) 不重合，用位 置矢量。b 。描述它相对于 a ) 的位置，如图2 2 所示。把。b 称为f b 相对于f a 的平移矢量。如果点p 在坐标系 b ) 中的位置为8 p ，则它相对于坐标系 a ) 的位置 矢量。尸可由矢量相加得出， 即： 。p = 8 p + 。b ： 我们称为坐标平移方程。 图2 - 2平移变换 ( 2 ) 旋转变换 设坐标系 b ) 和 a ) 有共同的原点，但是两者的方位不同，如图2 3 所示 图2 - 3旋转变换 用旋转矩阵描述f b ) 相对于f a ) 的方位。同一点p 在两个坐标系 a ) 和 b 中的描述 “尸和8 p 具有以下变换关系： 。p = ：r 8 p ， 称为坐标系旋转方程。 o 用旋转矩阵：r 表示坐标系f b ) 相对于 a 的方位。同样，用；尺描述坐标系 “) 相对于( b ) 的方矗。；尺和；r 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交矩阵的性质， 得出： ；r = ；r - 1 = ：r 7 。 ( 3 ) 复合变换 坐标系 b ) 的原点与 a ) 的既不重合，方位也不相同，如图2 - 4 所示。 图2 - 4复合变换 复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的。得出它的一般方程如下：4 p = ：r8 p + p b 。 考虑到对于点8 p 是非齐次的，我们可以将它表示成等价的齐次变换形式： 阱 。警。计- 。 其中，4 xl 阶的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然标为：。p ， 8 p 。可以简化得到： 。p = ；丁8 p ； 比较上面两式可以看出，：7 综合表达了平移变换和旋转变换，称为齐次变换 矩阵。后面的机器人运动学和动力学等中都要应用它。注意一点的是，变换矩阵 的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序“从右向左”，表明运动是相对固 定坐标系而言的；变换顺序“从左向右”，指明运动是相对运动坐标系而言的 姐儿。 2 2 机器人操作臂的运动学方程 操作臂运动学研究的是手臂各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关 系。机器人操作臂可以看作是一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移 动关节串联而成的。开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具 ( 或称末端执行器) ，用以操作物体，完成各种作业。关节是由驱动器驱动，关 节的相对运动导致连杆的运动，使手爪达到所需的位姿。而在轨迹规划时，人们 最关心的是操作臂末端执行器相对于固定参考系的空间描述。 为了研究操作臂各连杆之间的关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后 描述这些坐标系之间的关系。d e n a v i t 和h a r t e n b e r g 提出了一种通用的方法，用 一个4 4 阶的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标 系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立操作臂的运动方程“。 2 2 1 连杆参数和连杆坐标系 操作臂通常是由转动关节和移动关节构成的，每个关节有一个自由度，由此 可见，有5 个自由度的操作臂就由5 个连杆和5 个关节组成，有6 个自由度的操 作臂就由6 个连杆和6 个关节组成。本论文主要讨论的是6 自由度机器人；一般 约定，基座称为连杆0 ，不包含在本文所要讨论的6 连杆之内。连杆1 与基座由 关节1 相连接；连杆2 与连杆1 通过关节2 相连接，连杆3 与连杆2 通过关节3 相连接，依次类推。如图2 5 中所述的p u m a 5 6 0 机器人就是由6 个连杆和6 个关 节所组成。其中，手爪与连杆6 固接，基座固定不动。 图2 - 5p u m a 5 6 0 机器人的关节和连杆坐标系 ( 1 ) 连杆描述 连杆的功能在于保持其两端的关节轴线具有固定的几何关系，连杆的特征也 是由这两条轴线规定的，如图2 - 6 所示。 图2 - 6连杆的描述 连杆i 1 的特征是由关节轴线i 一1 和i 的公法线长度口。和夹角口。所规定的。口。 和口。分别称为连杆的长度和扭角。口。的指向规定为从轴线i 一1 绕公垂线转至轴 线i 。两轴线平行时，a 。= 0 ；两轴线相交时，口。= 0 ；口。这时的指向不定。 由连杆长度口。和扭角口。就能完全定下连杆i l 的特征。 ( 2 ) 连杆连接的描述 中间连杆：相邻两连杆i 和i 一1 由关节i 相连，因此关节轴线i 有两条公法 线与它垂直，每条公法线代表一条连杆，g i _ i 代表连杆i l ：口，代表连杆i ，如图 2 7 中所示。 图2 7两连杆连接的描述 1 两条公法线口。与口。之间的距离d 称为这两条连杆之间的偏置；a ，与口。之间的夹 角只称为关节角。d ，和只都带正负号。d 表示口。与轴线i 的交点到口，与轴线i 的交点的距离，沿轴线i 测量；幺表示口。与口，之间的夹角，绕轴线i 由口。到口， 测量。连杆长度a 。恒为正，但扭角口。可正、可负。对于首末连杆对于具体情况 由具体的规定。一般对于运动链两端，按习惯约定： o o = 0 6 = o ；a o = 口6 = 0 。 通过上述分析，我们知道每个连杆口。，口。，d ，只由四个参数构成，其 中：口。和口。是描述连杆i - 1 本身的特征：d 和只是描述连杆i _ l 和连杆i 之 间的联系。对于旋转关节i ，只有只是关节变量，其它三个参数固定不变；对于 移动关节i ，只有d ；是关节变量，其它三个参数固定不变。 上述描述机器人运动的方法是d e n a v it 和h a r t e n b e r g 提出来的，称为d - h 方 法。针对一个6 关节的机器人，可以用1 8 个参数完全表示它的运动学中的固定 部分，而用6 个关节变量描述运动学中的变动部分。 ( 3 ) 连杆坐标系的规定 为了确定机器人各个连杆之间相对运动关系，我们在各个连杆上分别固接一 个坐标系。与基座固接的坐标系记为 0 ) ，与连杆i 固接的坐标系记为f i ) 。具体 确定连杆坐标系的方法参考文献一，。 ( 4 ) 连杆参数的总结 根据所设定的连杆坐标系，相应的连杆参数可定义如下： 口h ：从z 到互向x f - l 测量的距离： a 。：从z 。到z ，绕x 。旋转的角度 d 。：从z 。到五向z i 测量的距离f 0 ：从_ 一到x ，绕z 。旋转的角度。 2 2 2 连杆变换 我们把连杆坐标系 i ) 相对于 i - 1 ) 的变换称为连杆变换。很显然，与这四个 连杆参数有关。可以把连杆变换分解成四个基本的子变换问题，其中每一个子变 换只依赖一个连杆参数。具体的写法，参考文献”“。由于这些子变换都是相对 于动坐标系描述的，我们按照“从左向右”的原则，可以得到： i t = r o t ( x ，口h ) t r a n s ( x ，盯h ) r o t ( z ，o , ) t r a n s ( z ，d ，) ； 迸一步简化，得： 卜1 丁= c o , s o c c t h l s o f s c t h l o s 口 c o ，c 口1 c o , s o t p l 0 玎卜i d l s c t d , c a 1 将各个连杆变换”：r o = 1 ，2 ，n ) 相乘，得 ：丁= ：7 1 7 ”己7 1 ， 其中： ：丁称为机器人操作臂变换矩阵，它是n 个关节变量的函数。表示末端连杆坐 标系( r l 相对于基坐标系 0 ) 的描述， 即： ：t ( q ，9 2 ，q 。) = ：r ( g ，) i 丁( g ：) ”- ：t ( q 。) 。 2 2 3 运动学方程 基于变换矩阵，根据各个关节位置传感器的输出，得到各个关节变量 g f ( f = 1 , 2 ，”) 的值，即可求出：t 。 f ：n ：。：口 ：f ：rn ：r ( g ，) ；r ( 口：) 2 0 丁( g ，) ：丁( g 。) 。j 丁( g 。) 0000 3 i f f oi f 一一l 9 1 j 2 。l 9 2 j 。【9 3 ) ；1 【9 4 ) ”j 1 ( g j 上式称为运动学方程。它表示末端连杆的位姿( 一，d ，口，p ) 与关节变量 吼，g ：，q ，g t q 。之间的关系。如果知道方程右边的各个关节变量 吼，q ：，g s ，q 一g 。，由它们去求末端连杆的位姿( h ，o ，口，p ) ，我们称为运动学的正 。毒|啤。 解；反之，如果知道方程左边的末端连杆的位姿( ，d ，口，p ) ，由它们去求各个关节 变量g 。，g ：，g ，q 。q 。，我们称为运动学的反解。这两种解在轨迹规划中都有相当 重要的作用。 2 3 运动学方程反解的讨论 需要说明的是：反解一般有好几种解。但是实际中，由于结构的限制，如各 关节变量不能在全部3 6 0 0 范围内运动，有些解甚至全部解都不能实现。所以，机 器人存在多种解的情况下，应全面的考虑，选取其中最满意的一组解，如满足行 程最短、受力最好、回避障碍物等要求。一般而言，我们通过求解运动学的反 解，可以得到它的封闭解，但是求解步骤比较复杂。实际上，操作臂的运动方程 也可以写成： 或 1 1 2 n ( g 0 2 0 旧 a 2 a f q p = p ( q 9 2 9 2 9 2 9 2 x = x ( q ) ，q 。) = n ( q ) ，q 。) = o ( q ) ，吼) = a ( q ) ，q 。) = p ( q ) 其中，( n ，0 ，a ，p ) 表示末端连杆的位姿；q = 吼，q ：，吼】7 是关节矢量，下标 r l 是关节数目。对于有6 个自由度的操作臂而言，n = 6 ，方程组中有6 个未知数。 表面上看，方程组包含1 2 个方程，实际上，只有6 个是独立的，由于这些方程 都是非线性超越方程，自然就会存在以下若干问题，它的解是否存在? 是否唯 一? 2 3 1 解的存在性和工作空间 我们先来讨论解的存在和工作空间。通常把反解存在的区域称为该机器人的 工作空间。严格来讲，工作空间分为：灵活工作空间，是指机器人操作臂( 手 爪) 能以任意方位到达的目标点的集合；可达工作空间，是指机器人操作臂( 手 爪) 至少能以一个方位到达的目标点的集合。显然，灵活空间是可达空间的子 集，在灵活空间的各点上，操作臂手爪的指向可以任意规定。任意给定一个目标 坐标系f g ) ，要使机器人达到 g ，一般来说是不可能的，通常是要找到最接近目 标坐标系的可达位姿，实用时，关心的是操作臂所能达到的位姿。 2 3 2 反解的唯一性和最优解 由前面分析知道，运动学方程的反解不唯一，存在多重解。机器人操作臂运 动学反解数目决定于关节数目、连杆参数和关节变量的活动范围。p u m a 5 6 0 最多 有8 组解达到某一目标。实际中，由于关节活动范围的限制，这8 组解中可能有 某些解是不能达到。一般而言，连杆长度非零的数目愈多，到达某一目标的方式 就愈多，即运动学反解的数目愈多。对于6 个旋转关节的机器人，如p u m a 5 6 0 ， 下面图表中列出了反解最大数目与连杆长度非零的数目之间的关系”。 表2 - 1反解数目与连杆长度非零的数目之间的关系 口t 反解数目 a l 。a 32 a 52 o 4 a 3 = 吼= 0 8 a 3 = o 1 6 所有d 0 1 6 由于，本论文中，所研究的重点是在轨迹规划的算法以及各种周围环境下的 轨迹规划，我们假设机器人是理想的模型，即它的关节活动是没有限制。所以我 们可以选择其中任何一组解。 2 4 几种机器人空间的关系 在机器人的轨迹规划中，要用到驱动空间，关节空间，操作空间的概念以 及它们之间的映射关系。 个自由度的操作臂的末端位姿由玎个关节变量所决 定，这n 个关节变量统称为n 维关节矢量，记为q ，所有关节矢量q 构成的空间称 为关节空间。末端手爪的位姿x 是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间或作 业定向空间来表示。其中，位置用直角坐标表示，而方位用前面所述的方法来表 示，统称为笛卡尔空间。运动学方程x = x ( q ) 可以看成是由关节空间向操作空间 的映射；而运动学的反解则是由其映象求其关节空间中的原象。 需要说明的是上述假定机器人每个关节分别由一个驱动器直接驱动。直接驱 动式机器人d d r ( d i r e c td r i v er o b o t ) ，不经过任何传动机构，消除了间隙， 可获得良好的动态特性。但是，目前大多数工业机器人的关节不是直接驱动的， 中间经过减速机构、差动机构等传动机构带动关节运动，从驱动器到各关节需要 经过次运动转换。在这里，各驱动器的位置统称为驱动矢量s 。 所以，在分析机器人运动学时，首先还要描述关节矢量q 和驱动矢量j 之间 的关系。如图2 - 8 所示，表示的是操作臂在驱动空间、关节空间和操作空间中的 关系。 正向运动学 运动学反解 图2 - 8三种空间之间的关系 2 5 机器人运动学中的速度分析 上面分析了运动学中位移关系，建立了操作臂的运动学方程，研究了运动学 方程的反解，建立了操作空间和关节空间的映射关系。由于单纯的位移分析是没 有意义的，还需要考虑速度，加速度的因素，在后丽的优化分析中，就是加入了 这方面的考虑。下面在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与 关节空间速度之间的线性映射关系一雅可比矩阵。雅可比可以用来表示操作空间 与关节空间之间速度线性映射关系，也同时可用来表示两空间之间力的传递关 系。 操作臂雅可比矩阵是指它的操作速度与关节速度的线性变换，可以看成是从 关节空间向操作空间运动速度的传动比。 设操作臂的运动方程： x = x ( q 、 代表操作空间与关节空间之间的位移关系。 上式对时间的一阶导数的表达式为： 代表操作空间与关节空间之间的速度映射关系。 式中：x 称为操作臂在操作空间的广义速度，简称操作速度， q 为关节速度； j ( q ) 是6 x n 阶的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。 1 3 操作臂的动力学简介 前面研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没有考虑机器人运动的动态 过程。实际上，机器人的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结 构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因素有关。机器人动态性能由 动力学方程描述，动力学是考虑上述因素，研究物体运动和受力之间的关系。操 作臂动力学有两个需要解决的问题： ( 1 ) 动力学正问题一根据关节驱动力矩和 力，计算操作臂的运动( 关节位移、速度和加速度) ；( 2 ) 运动学的逆问题一 已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩和力。 机器人操作臂是个复杂的动力学系统，由多个连杆和多个关节组成，具有多 个输入和多个输出，存在着复杂的耦合关系和严重的非线性。而对于这方面的研 究，出现了许多的方法，具体的有：拉格朗日( l a g r a n g e ) 方法：牛顿一欧拉 ( n e w t o n - - e u l e r ) 方法；高斯( g a u s s ) 方法：旋量对偶数方法“1 ：等。我们所 采用的是牛顿欧拉方法，它是基于运动坐标系和达郎贝尔原理来建立相应的运 动方程。这种方法没有多余信息，计算速度快“3 。 在关节空间的动力学方程表示： f = ：d ( g ) 可+ h ( q ，q ) + g ( g ) 上式就是操作臂在关节空间中的动力学方程形式的般结构式。它反映了关节力 矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。对于n 个关节的操作臂，其中： d ( g ) 是n x n 阶的正定对称矩阵，是g 的函数，称为操作臂的惯性矩阵； h ( q ，g ) 是n l 阶的离心力和哥氏力向量； g ( q ) 是n x1 阶的重力矢量，与机械手的形位有关。 d ( q ) q 表示惯性力矩，d ( q ) 中的主对角元素表示各连杆本身的有效惯 性，代表给定关节上的力矩与产生的角加速度之间的关系；而非主对角元素代表 连杆之间的耦合惯性，即为某连杆的加速运动对另一关节产生耦合作用力矩的度 量。 2 7 本章小结 本章主要讨论了以下内容： 1 ：讨论在研究机器人轨迹规划中，机器人位姿的表达方式；所应用的齐次 变换的各种运算法则；以及各种空间之间的区别和联系；通过固解在每个连杆的 坐标系系统，把它们之间的变换可以用齐次变换矩阵 t ) 方便的表达处理，这就 是有名的d h 表示法。 2 ：重点分析了机器人的运动学方程的建立方法，介绍了，在连杆坐标系 中，把基于基坐标系或是变化坐标系任何的齐次坐标变换进行分解的原理；对于 运动学的反解进行了详细的讨论，对于反解的唯一性和存在性进行了处理：最 后，简略讨论了机器人的速度和动力学方程。 第三章机器人轨迹规划的一般分析和轨迹模拟 3 1 轨迹规划问题的提出和一般概念 在机器人的操作臂完成给定作业任务之前，应该规定它的操作顺序，行动步 骤和作业进程。所谓机器人的规划( p l a n n i n g ) ，就是机器人根据自身的任务，求 得完成这一任务的解决方案的过程。而这里我们所说的任务，具有广义的概念， 既可以指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人的某个动作，比如手部