（基础数学专业论文）效应代数中若干问题的研究.pdf

效应代数中若干问题的研究 堵海 嫡要1 9 9 4 年美国数学象f o u l i s 和b e n n e t t 引入了效波代数的概念， 推广了正交模格，被蒴作是量子计算的数学模型这种抽象的效应代数虽然历 史很艇，然而它却引起了数学工作者和理论物理工作者的极大兴趣在过去十 几年爨，与鼓应健数程荧连的一系鞭概念秘方法郝褥型了极大发震本文在已 有文献的基础上，烹要就有序列积钧凸a 一效碰代数，h i l b e r t 空间效应代数 的同构，h i l b e r tc 4 模及其上的效应代数有关问题进行讨论，得到了一些研 究结果本文共分兰章： 第一章，分绍- fh i l h e r t 空越、效应代数、廖辩效应代数鲶壤美定义及基 搴豫藤，给凄了若予效应代数致净剜效受代数的镪子， 第二章，首先研究了有序列秘的凸a 一效应代数一些基本性质；其次，研 究了擞子力学中关予对称变换的w i g n e r 定理，给出了w i g n c r 定理的几种常 见形式，证疆了它们之闯的等价健，并孀射影几何基本定理，缭出了u n i h o r n 定理的中摇广；激后，由推广豹u n | h o r n 定毽绘出了不商h i l b e r t 空阂效应 代数阚同构的若干刻画，证明了保持若当三重积的双射是效应代数问的同构 映射，保持序列积的双射是效应代数间的同构映射 第三章，首先讨论th i l b e r tc + t 模中基的套荧闻题，得列了与h i l b e r t 空 鬻基癸穆的结论；然詹绘】蜜了a 一线往篓子戆蛰予螽遂；最瑶讨论了有穿羁程 的h i l b e r tc l 模上的效应代数，得别了若干与h i l b e r t 空问效成代数类似的结 论 关键词凸效殿代数；序列积；h i l h e r t 空闺效应代数；w i n g e r 定理；麟 稳；h i l b e r tc t 援 r e s e a r c ho ns o m eq u e s t i o n si ne f f e c ta l g e b r a s a b s t r a c t e f f e c ta l g e b r a sw e r ci n t r o d u c e da s am a t h e m a t i c a lm o d e lo fq u a n t u r nl o g i cb ya m e r i c a nm a t h e m a t i c i a n sf o u l i sa n db e n n e t ti n1 9 9 4 ，w h i c hg e n e r a l i z e do r t h o m o d u l a rl a t t i c e s a l t h o u g ht h eh i s t o r yo ft h i sk i n do fa b s t r a c te f f e c t a l g e b r ai sv e r ys h o r t ，m a n ya n t h e r si nt h ef i e l d so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c sa r e g o i n gi nf o rt h es t u d ye f f e c ta l g e b r a ss o m er e l a t e dc o n c e p t sa n dm e t h o d sw e r ew e l l d e v e l o p e di nt h ep a s tf e wy e a r sb a se do ne x i s t i n gr e s u l t s 、w em a i n l yd i s c u s sq u e s t i o n sc o n c e r n i n gc o n v e x 口一e f f e c ta l g e b r a sw i t hs e q u e n t i mp r o d u c t ，i s o m o r p h i s m so f h i l b c r ts p a c ee f f e c ta l g e b r a s h i l b e r tc + 一m o d u 选a n dt h er e l a t e de f f e c ta l g e b r a t h i s t h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n db a s i cp r o p e r t i e sa b o u te f f e c t a l g e b r a ) s e q u e n t i a le f f e c ta l g e b r aa n ds oo i l s u b s e q u e n t l y ，w eg i v es e v e r a le x a m p l e s a b o u te f f e c ta l g e b r a sa n ds e q u e n t i a le f f e c ta l g e b r a s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ts t u d ys o m ep r o p e r t i e so fc o n v e xa - e f f e c ta l g e b r a sw i t h s e q u e n t i a lp r o d u c t s e c o n d l y , w ei n t r o d u c eat h e o r e md u et ow i g n e r0 nt h es y m m e - t r yt r a n s f o r m si nq u a n t u mm e c h a n i c s w eg i v es e v e r a lf o r m so fw i g n e r st h e o r e m a n dp r o v et h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h e ma p p l y i n gt h ef u n d a n l e n t a lt h e o r e mo fp r o - j e c t i v eg e o m e t r y , w eg i v eag e n e r a l i z a t i o no fu n l h o r n st h e o r e m f i n a l l y , a p p l y i n g t h eg e n e r a l i z e du n l h o r n st h e o r e m ，w eg i v es e v e r a lc h a r a c t e r i z a t i o n so fi s o m o r p h i s m b e t w e e nd i f f e r e n th i l b e r ts p a c ee f f e c ta l g e b r a s w ep r o v et h a te v e r yb i j e c t i o np r e - s e r v i n gj o r d a nt r i p l ep r o d u c tb e t w e e nd i f f e r e n th i l b e r ts p a c ee f f e c ta l g e b r a si sa n i s o m o r p h i s ma n de v e r yb i j e c t i o np r e s e r v i n gs e q u e n t i a lp r o d u c tb e t w e e nd i f f e r e n t h i l b e r ts p a c ee f f e c ta l g e b r a si sa ni s o m o r p h i s m ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r3 ，w ef i r s td i s c u s ss o m ep r o b l e m sc o n c e r n i n gb a s i si nah i l b e r tc 4 一 m o d u l e sa n dg e ts o m er e s u l t ss i m i l a rt oo n e si nh i l b e r ts p a c e s t h e nw e # r es e v e r a l p r o p o s i t i o n sa b o u ta l i n e a ro p e r a t o r s f i n a l l y ，w ed i s c u s sh i l b e r tc + 一m o d u l ee f f e c t a l g e b r a sw i t hs e q u e n t i a lp r o d u c t sa n dp r o v es e v e r a lr e s u l t ss i m i l a rt oh i l b e r ts p a c e e a s e k e y w o r d s c o n v e xe f f e c ta l g e b r a ；s e q u e n t i a lp r o d u c t ；h i l b e r ts p a c ee f f e c t a l g e b r a ；w i n g e r st h e o r e m ；i s o n m r p h i s m ；h i l b e r tc + m o d u l e i i 学位论文独创性声明 y9 0 0 8 8 0 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：j 垃 日期：壅f , 1 - 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：遮丑日期：抛3 j 前言 自从m p l m c k 于1 9 0 0 年首先提出量子概念以来，经过众多物理学家的不 断创新努力，到2 0 世纪2 0 年代就已经建成了一套完整的量子力学理论量子 力学一出现就成为科学不可缺少的一部分，并已有无数成功的例子，包括原子 结构、恒星核聚变、自然界基本粒子等的儿乎所有方面i - 5 1 什么是量子力学? 量子力学是一个数学框架或一套构造物理学理论的规 则由于量子力学系统中的随机事件不能用k o l m o g o r o v i a n 概率论中随机事件 的结构来描述，因此对量子力学系统中随机事件的数学描述就成了量子理论 研究的重要问题之一值得注意的是类似的现象在其他领域也出现过，例如心 理学、计算机设计、神经网络以及人脑生理学等f 1 1 基于上述原因，以杰出数学家b i r k h o f f 和v o nn e u m a n n 为代表，众多学 者提出了不同的数学模型来反映量子力学的各个方面h i l b e r t 空问是量子力 学的一个基本数学模型从1 9 8 9 年以来，g i u n t i n i ，g r e u t i n g ，k o p k a 和c h o v a n e c 等人开始将h i l b e r t 空间中每个小于或等于，的正算子看作是一个量子效应 效应的概念在量子力学中起着重要作用 量子力学的主要内容之一就是关于量子测量的研究同时，量子测量也是 量子计算的一个基础在量子测量理论中，一个结果完全准确的测量称为精确 测量，尽管物理实验者们不断提高测量数据的准确性，但实际上不可能得到 精确测量，现实中获得的测量都是非精确测量以h i l b e r t 空间为模型，一个 精确测量就是一个p v ( 投影算子) 测量，相应的投影算子就称为精确效应一 个非精确测量就是一个p o v ( t t 算子) 测量，( h ) ( 全体效应之集) 就是p o v 测量的值域在对p o v 测量的研究及其抽象中，1 9 9 4 年美国数学家f o u l i s 和b e n n e t t 引入了效应代数的概念来作为量子计算。量子测量的数学模型尽 管这种抽象的效应代数仅有十几年的历史，然而它却引起了数学工作者和物 理工作者的极大兴趣在过去的几年里与效应代数相关联的一系列概念和方 法如d 一集、d 集的张量积、理想、滤子、商效应代数、拟效应代数、效应 代数的群表示、因子空间、效应代数的直接极限、效应代数的泛群等都得到了 极大发展在量子测量，量子计算等方面，效应代数发挥了重要作用 在效应代数研究中，很重要的一部分就是对h i l b e r t 空间效应代数( h ) 的研究其中关于给定代数结构的) 的自同构是一类重要问题作为线性 保持问题，涉及到) 自同构的问题特点是往往没有任何线性性质的假定， 最后通过w i g n e r 定理来完成其自同构的刻画近年来m o n l a r 等人通过保持 ) 中效应的偏序，共存性，零乘积以及保持) 上各种运算，如凸组合运 算，非结合运算一若当三重积和序列积等性质刻画了( “) 的自同构及序列 自弱构( 参见文献f 2 6 ，3 1 ，3 2 j ) 本文讨论了不嗣h i l b c r t 空间效应代数翮梅的 若干问题 另外，由于效应代数中的= 元运算只能袭承两个效应间的平行测量，为了 在蜜躲孛裁蓬效发瓣j 莩歹溅量，s 。g u d d e r ；l 入了效应代数的序歹器障) 鸯 痔列积的效应代数称为序歹敲成代数，丽h i l b e r t 空间效也代数何) 就是 个序列效应代数，因此研究这种序列积的代数结构有着重要意义 h i l b e r tc + - 模最初由k a p l a n s k y ，p a s h k c 等目f 人的( f 7 ，8 1 ) 观已成为算子论 秘葵子代数中经常靛趸静工具，它秘箕子代数黪理论稳互彩旗，产生了诲多壤 缮没患的薪同题( 嘲) h i l b e r tc + 一横实际上是h i l b c r t 空阀稳c + 一代数静一种混 合物( 【1 2 】) 现在融有很多的文献对其理论进行深入研究而数学物理中很多 问题涉及到并非实数域豫或复数域c 上的h i l b e r t 空间因此h i l b e r tc 。- 模 致蕊空阕上的襁美结论也应有冀摆应鲍物理慧义啦3 1 ) 本文慰h i l b e r te + 壤 的若于间题律了襁应讨论 本文主要包括两部分： 在效应代数方蕊，第二章，首先研究了有序列积的凸a 一效应代数一些熬 本j 隧质；其次，磷究了量子力学e p 芙予对称变换懿w i g n e r 定理，给出tw i g n e r 定疆髓死种常觅形式，证鹱了它们之闽的等徐彀，并霹骞孛彰觅何基本定瑾， 给出了u n l h o r n 定理的个推广；最后，由推广的u n l h o r n 定理给出了不同 h i l b e r t 空间效应代数间同构的糟干刻画。证明了保持若当三蠛积的双射是效 皮代数阗的同构跌瓣，保持序列穰的双辩是效应 弋数闻的露梅映射。 在h i i b e r tc ，模方面，繁三肇首先在基整嘏太芷规正交黎鹣前提下，褥蠲 了h i l b c r tc 一模中有关基的若干结论然后给出了a 线性算予的若干命题， 最后讨论了h i l b e r tc + ，模上的教应代数厶( 咒) 中算子作序列积可交换与算子 作黎积可交换的麓二f 关系， 2 第一章预备知识 引言 随着量子计算研究的发展，关于其代数结构的研究正引起人们的广泛注 意近年来众多学者提出了一些新的代数结构作为量子计算的模型1 9 9 4 年， d f o u l i s 等人给出了一种新的代数结构：效应代数效应代数是一个偏序代数结 构，被认为是h i l b e r t 空闻全体效应( 郎小于或等于1 的正算子) 之集的推广 它对于量子理论有着重要作用效应代数中的部分二元运算。仅表示两个效 应闻的平行测量( p a r a l l e l 1 l e a s u r c m c n t ) 而在实际应用中，有一个可以刻画 效应的序列测量( s e q u e n t i a lm e a s u r e m e n t ) 的工具是十分重要的( 参见文献f 3 ， 1 j - 1 ) 为此，sg u d d e r 在文献【3 】中引入了效应代数的序列积0 己为o ) 有序列 积的效应代数称为序列效应代数而h i l b e r t 空间效应代数就是一个序列效应 代数，因此这种代数结构有重要意义作为本文的出发点，本章主要介绍效应 代数和序列效应代数及相关的基本概念，同时给出效应代数的一些例子及效 应代数的若干基本性质 1 1 基本概念 定义1 1 1i 6 i 设x 是实或复线性空闻，如果x 上定义了非负函数f ， 满足以下公理： ( 1 ) 三角不等式：对任意的。，x ，忙+ 口i i + i ； ( 2 ) 对任意的z x ，任意的数。，有| | 口zj f = 川蚓f ； ( 3 ) 捌! = 0 当且仅当z = 0 ， 则x 称为赋范空间进而，如果还满足 ( 4 ) 对x 中的任意c a u c h y 序列 。) ( 即当n ，m 0 0 ，i x 。一x m | j o ) ，存 在z x 使得l i mi i x 。一| i = 0 ， 则称x 是b a n a c h 空间。 满足( 1 ) ( 3 ) 的非负函数i | 称为x 上的范数，满足( 1 ) ( 2 ) 的非负函数 称为半范数 设x 和y 为赋范空间，线性算子t ：x r 定义i i t l l = s u p i t ：c l i ：m f 茎 1 ) 为t 的范数，如果 强l | 。，则称，是有界的我们用r a n t 表示丁的值 域，用k e r t 表示t 的核，烈硝表示有界线性算子t ：x y 全体构成的线性 空间 3 寇义1 1 2 1 6 】设h 是线性空间，) 是艇上的一个二元函数，如果 关于第一个变元是线性的，而关于第二个变元是共轭线性的，而且对任意的 ，y ，满是下刭条黪t ( 1 ( z ，。) 0 ，越( ，z ) = 0 埠一。 ( 2 ) o ，y ) = ( y ，z ) ， 则( ，) 称为h 上的内积设“是具有内积( ) 的b a n a c h 空间，如果h 上的 范数川l 由毙内稷譬趣，印对任意鳇。赶，有吲l = 。，。，戴舔妊是h i l b c r t 空阉 设“为h i l b e r t 空间，如果。，9 州满足( z ，y ) = 0 ：则称z 与y 正交如果 e d i a ) 是h 中的一族相互正交的单位向量，且其线性张在州中稠密，则称 它为瓤蟾一个标臻曩三交基，戴霹， 壬意x 苁可啦一表示为一马e ； 由参带文献i l 翻可知可分h i l b e r t 空闻存在可数标准正交摹，从丽对于可分 h i l b e r t 空间任意元素都有唯一表示 愆义1 i 3 f 6 l没笼是h f l b e r t 空闻，其内积_ 为( ，) 令ae 嚣( 咒) ，则存在 a 4 b 汉) ，夔褥霹经意为# 赶都有盎，y = # ，a 9 y 戎立，黎a 为 的共 巍算予或伴随算子，丽且 ( 1 ) 如果a + 一a ，则称a 是自伴算子； ( 2 ) 如果a 是自伴的，且对每个。m 有( a x ，z ) 2o 则张a 是正算子； 3 ) 翅暴a + a a a + ，剥稳a 懿矮葵子+ 澎义1 1 4 n设是一个代数，盱i 是囊上的莛数，如聚囊按此范数 成为b a n a c h 空间，崩满足 i i a b i l 曼 i a i i t i b i i ，v a ，b a 鳓称a 为b a n a c h 代数 毙义1 1 5 【6 l设4 是b a n a c h 代数，如果a 中具有对合落算+ ：a a ， 而且满足： 1 ) ( d 建z b ) 4 = 5 a + + 露b ； ( 2 ) ( a b ) + = b + a 。； ( 3 ) ( a + ) + = a ； ( 4 ) i f a g l l _ 忖悒 尉器a 楚o + 一 弋数+ 定义1 1 。6 1 1 】设p 是一个集合，是p 上的二元关系，港满是魏下 性质： ( 1 ) v a 只曼蚍( 自反性) 2 ) v a ，b p a ，b 墨a 净# 一龟f 反对嚣毪) 4 ( 3 ) v a ，b ，c 只。蔓b ，b e 辛。曼o ；( 传递性) 则称曼为p 上的偏序，并称( 只) 为偏序集 定义1 1 7 1 1 】设( e ) 为偏序黎，n ，be 只 f i ) 蓉搬p 考骞。，熨称。燕p 豹最大无 ( 2 ) 若v z p 都肖b z ，剐称6 是p 的最小元； ( 3 ) 蒋v 。p ，a o jn = z 则称。是p 的极大元； ( 4 ) 若v 。p ，z b = b = 。，则称6 是_ p 的极大元 对予弦痒集寒谈，最大元与最小元未必存在黪存在，照分别是唯一酶投 大元与缀小元任意搿限偏序集必有极大元与极小元，但未必有簸犬元与最小 元 豇2 效应代数 近年来，随着量子计算理论的发展，也为了满足实际物理系统的需要，效 应代数邂渐成了量子趣论的数学模猁本节主要介绍些常见的散应代数及 相关概念 定义1 2 1 1 1 缓露是一个集会，若有两个褥黥元素0 ，t ( o i ) ；o 是嚣 上的部分二元运算称f 为效应代数( e f f e c ta l g e b r a ) 如果。满足如下条件： ( e 1 ) 当8 0b 有定义时，b oa 也有定义且。ob ；b o 。；( 交换律) ( 嚣2 ) 当6 0 c 与# 毋转$ c ) 都稚定义黠，8 06 与0 06 ) oo 都有定义且 江。秘囝c = 8 0 国国；售鑫台谗) ( e 3 ) 对于任意的n e ，存在唯一的b e 使得o ob 有定义且n ob = b o o 一1 ；( 正交补律) ( 嚣4 ) 坚1 0 8 有定义时，a = 0 ，f o 1 律) 浚1 2 1 竣e 楚一夺效瘦我数，瓯b e ， ( 1 ) 若n o6 有定义。则称a 与6 正交，记为dj - b ； ( 2 ) 若存在c 肟，使得“o c = 6 则称。小于等于b ，记为。曼b 易证( e ，) 是个偏序集； f 3 ；菪怼予 壬：纛双5 e ，。a 凌8 v 5 关予f 2 j 审定义魏穰滓裕在，曩l 静效 应代数( e ，o ，0 ，t ) 为格效应代数； ( 4 ) 若b 是e 中满足o o6 = 1 的唯一元素，则称6 为口的藏交补，记作 8 ，易诞8 上b 当且仅擞。b l ； ( 5 ) 著8 a 0 = 0 ，燹豫。为露瓣一令搴蓦确元，e 懿瑟寿耱舞嚣之集记势 b 铡1 2 1 设e = 1 0 ，1 1 ，对于n ，b 1 0 ，1 1 ，约定。上6 当且仅当n + 6 s 1 ，且 令。国b = 。+ b ，则甥知( e 、0 ，i ，o ) 鼹一个效应代数、同时易知0 ，1 是e 仅有 5 懿睾骞确元， 囱效应代数的意义可知以下性质 憔质1 2 1 若( 嚣，国，0 ，1 ) 是效应代数，则对于任意口，6 ，c f ，有 f 1 1n oo = 0 0 。= e l ； f 2 ) 若8 0 = 0 ，刘8 = b = 0 ； ( 3 ) o ，= 1 ，1 7 = o ； ( 4 ) ( 。，) ，= o ； f 5 ) 若o b = o o b 则6 = ( 6 j8 0 6 = c 警显双墨= 强f ) i 在一个效应代数中另外一个部分二元运算9 可定义为tc 9 。有定义鱼 等于b ，当且仅当n ob 有定义且“囝b = c 由定义，e 有如下性质： 性质1 2 2 1 1 1 ( 1 ) 若8 矗，鬟l6 e 8 妄，立 e 8 = ( 2 ) 若。b c ，受8e e 右sc 9n ，且 e e 。) 9 ( c 9b ) = b o d ； ( 3 ) 若n 6 上，甩舡o6 c ，贝0c o ( n ob ) = ( c o 。) e6 = ( c o6 ) e 。； ( 4 ) 若。b 曼c ，贝46 e 吐茎c 08 ，且( c e n ) 0 ( 6 e 。) = c e6 ； ( 5 藩8 c ，戴e o 矗e o 靠，显( e e 癌) 9 ( 。e 酚= b o 在。 捌1 2 。2设( 嚣，蔓，0 ，l ，v ， ，7 ) 是一个布尔代数弼果8 ，6 b ，定义8i 当且仅当o a6 = 0 并且令d o6 = n v6 则( 日，上，0 ，1 ，o ) 是一个效应代数其 中o ，1 是仅有的精确元 铡1 , 2 。3 1 a l设x o 置芦委甄1 1 x ，拣秀x 上麓一个镤糊集系统鲡暴 下谣条件满足：( 1 ) o ，i 曩 2 ) 若，剜1 一，；( 3 ) 若，9 芦盈f + 9 s 1 则，+ 9 ，；( 4 ) 若，9 ，则，9 ，定义，上9 当且仅当，+ 95 1 ，并且令 ，0 9 一，十f 则易知伊，0 ，1 ，o ) 鼹一个效应代数。其中精确元魁，中的特征 函数+ 铡1 2 4 n 设托是一个i t i l b e r t 空阏，“) = a i a b 限) ，0 as1 ) 对 任意的a ，b ) ，定义且上b 当凰仅当a + 曰f ( h ) ，并且令a o b = j 4 + b 则( 州) ，o ，1 ，o ) 是一个效应代数称( 咒) 为h i l b e r t 空间效应代数( “) 中 懿元索嚣为量子效寝( q u a n t u me f f e c t s ) 其中凝确嚣簸是嚣上懿藏交投影。 浚l ，2 2( 麓) 在量子力学释爨子溺爱理论弱研究中起罄蒙受终焉渗 见文献【3 】) 因此也鼹本文研究的主骚内容 例1 2 5 f ：1 设岛= o ，。，1 ) 定义的部分运算。为： 0 $ 8 = 8 9 0 勰柱，鑫0 8 = 1 ，0 辔0 = 0 但是lol 无定义下面我们给出这个部分运算袭： 8 ool nl t 11 | ”裘示无定义 则( 岛，0 ，l ，固) 是一个效应代数但岛不是布尔代数因为a v 一；a v 。 毽。乒1 ，若设d = 溉。，6 ，l ，定义移浆舔分二元避篓国为 oo0bl l f| b b l ll | 则( d ，0 ，1 ，o ) 也是个效应代数同样d 不是布尔代数 例1 2 6 j 3 j设e = + “+ 。其中 e = 0 ：a ，2 a ，( 2 8 ) 7 ，l 规定0 a ；0 定义e 的二元部分逯旃为 ( m g ；辔( n 8 ) = ( m + n ) 。 且当“m 时，定义 ( m a ) o ( ”n ) = ( n 。) o m a ) = ( ( m n k ) 翔( e ，0 ，l ，$ ) 是一个效应代数，箕部分运葵表为 002 a3 a ( 3 n ) 7 ( 2 a ) a ，1 o2 a3 a 4 a ( 2 a ) a ，l f 2 a 2 a 3 a 4 a5 a 每) 7 l i 3 a3 a4 a5 a 6 al | ( 3 n ) 7 ( 3 a ) ( 2 n ) a ， 1 f | | ( 2 8 ) ( 2 a ) 8 ，l f|l| 8 ，l | | | | | ll |；| 7 定义1 ，2 2 1 1 】设e ，f 为两个效应代数映射e f 称为一个态射， 如果垂满足下面的条件： ( 1 ) ( 1 ) = l ； ( 2 ) 若a ，be e ，a 上6 ，贝4 面( a ) 上咖( b ) ，且( ob ) = 咖( ) o 声( 6 ) 定义1 2 3 1 1 】设e ，f 为两个效应代数，映射：e f 是一个态射称 垂为一个单周态，如果妒满足条件：若妒( 。) 上乒( b ) ，则8 上，一个满射的单同 态称为一个同构映射 由定义易知一个态射毋是同构映射当且仅当是双射且- 1 是一个态射 定义l ，2 4 1 1 l 设e 是一个效应代数，态射s ：e 1 0 ，1 称为效应代数 f 上的一个态 e 上全体态的集合为n ( e ) 由例1 , 2 1 知【0 ，1 1 是一个效应代数，因此效应代数的态可以看作一种特 殊的效应代数态射 1 3 序列效应代数 设( e ，。) 是一个代数系统，若。，b e ，且aob = b 。a ，则记为n h 定义1 3 1 1 3 1一个序列效应代数( s e a ) 是一个系统( e ，0 ，1 ，o ，。) ，其中 ( e ，0 ，1 ，o ) 是一个效应代数，同时o ：e e e 是一个二元运算满足阱下条 件： ( s 1 ) 若6 1 上b 2 ，则o 。b l 上a 。b 2 ，且血。l o 幻) = c to6 1 0 a 。b 2 ，v a e ； ( 8 2 ) 1o 口= 。，v a e ( s 3 ) 著aob ；0 ，则n 旧 ( s 4 ) 若n 陋则n 限且( nob ) 。c = ao ( b oc ) ，v c e ； ( s 5 ) 若c i n 且c 慨则c i n ob 且c i 缸o6 ) 满足( s 1 ) ，( s 5 ) 条件的运算。称为e 上的一个序列积，若对任意的。b e ， 都有。伯，则称e 是一个交换序列效应代数 例1 3 1 设e = ( 0 ，1 1 ，若定义o ob = a b ，则由例1 2 1 易知( e ，0 ，1 ，o ，o ) 是一个序列效应代数 例1 3 2 1 3 1 设( b ，so ，1 ，v ，a ，7 ) 是一个布尔代数，定义a o b = n a6 ，则结 合倒1 22 易知( b ，0 ，l ，o ，。) 是一个序列效应代数 例1 3 3 1 3 】设x o 且，【0 ，1 1 x 是x 上的一个模糊集系统，定义 ，0 9 = ，9 ，则结合例1 2 3 知( 丁，0 ，1 ，o ，。) 是一个序列效应代数 倒1 3 驴1 在侧1 2 ，4 中，若定义a o b = 瓶b 以，则易知幅m ) ，o ，1 ，毋，o ) 是一个序列效应代数，而且是一个非交换的序列效应代数 8 饼1 3 5 诬在镯1 2 。5 中，白帮d 没有序列获，若对岛豢滋有一个考 列积。则 = a 。1 = 。o 陋国岛7 ) = no a o oo = 2 ( a 。) ， 但镪中没有满足2 缸。a j = 。醣嚣袭，矛盾类徼缝可以讨论口在文献瞄 中，程懿了不是审尔代数韵有限效寝代数没有孝列积 蹴义1 3 2 n 设曰，f 是两个穿列效应代数，映射：e f 称为个序列 同构映射，如果是效应代数e ，f 之间的同构映射艇0 ( a o b ) = ( 。) 。0 ( b ) ，v a ，b e 文靛矮给瑶了两个彦藏效应代数酶精确元潮弼秘秘一个瓤瓣。 定理1 3 1 1 3 1设e ，f 是两个序列效应代数，荇映射币：e f 是双射， 并且满足妒( nob ) = ( 。) o ) 5 ( 6 ) ，则# ：玩一只是一个序列同构映射并且若 。玩戏6 b 嗣g 寸8 sb ，墨4 ( 8 ) 曼( 6 ) 对于h i l b e r t 空麓穿列效应霞数 弼，文献 i i l 绘盛了翔下定理 寇理1 3 2 i “j设a ，b ( n ) ，若ao b p 讯) ，则a b = b a 寇理1 3 3 1 1 1 l 设a ，b ( 咒) ，下面结论等价：( 1 ) ao b = 好；( 2 ) b 。a = b ；( 3 ) a b = b a = b 窥疆1 3 。4 n l 莰五，嚣弼，有 ( 1 ) 若a ，b 妒( 州) ，则ao b 量b 当且仅当a b ；b a ； ( 2 ) 若a ，b p ) ，则ao b 2 b 当且仅当a b b a = 毋 f 3 ) 若d i m 赶 。，且a 。b b ，魁a b = b a = b 第二章凸效应代数与h i l b e r t 窑问效痤代数 善l言 成用于实际的教艘代数通常都鼹凸的，s c u d d , e r 在文献嗣中引入了凸 效应代数的概念文献f 7 ，8 ，9 】对凸救应代数的结构进行了深入 i i f 究作为凸 效应代数的h i l b e r t 空间效应代数( 艇 在量子测量理论中起着重磷傺露渗霓 文献 2 3 1 ) 囊予攀舂萋予莰数运葵或荧袭骛s 嘲有蓉投荬重要的褥疆意义， 因此研究给定代数结构豹研) 的自嗣构成为一个广泛关注的阐越1 9 8 3 年 l u d w i n g 在文献f 2 1 中姆f 究了) 的j = | 三交自同构避年来m o n l a r 簿人进一步 通过缳掩( 哟中效应赫偷序，共存性，零乘秘以段保持f 爿) 上器转运算， 露凸缓会运篓；蕞臻台运算一若兰鬟彀鞠旁飘袄露燕震絷西了f 钧翁鑫澎 构及序捌商同构( 参瞰文献f 2 6 ，3 1 3 2 1 ) 而其中这臻自同构的剩磷太多数都是 通过州上的酉算子或艇酉算子导出的：这就涉及到激予对称变换的w i g r m r 定 理基乎w i g n e r 定理程分横量子系筑的对称性问越中的基础性作用，从1 9 3 1 年e ，w i g a e r 蹬寒这一窥瑗渗曼文献 1 2 ；) 至今，率龋有文蘸给& w i g n e r 定瑗 舒各稀谶踢及各个方两的推广( 参强文献 1 2 ，1 置1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，3 1 j ) 本 章分别从有序列积的凸效应代数，w i g n e r 定理及f ) 的同构这三个方面给 出一些棚燕的结论。 2 1 凸玎一效应代数 毙义2 。1 1 【7 l一个效应代数( e ，哦1 ，o ) 称为凸教应代数，姐聚对任意的 g e 及天甄1 聚，漤在勉e 使得下龚条箨潢是： g 1 ) 若a ，筘融1 j 盈a e ，剜n ( 触) = ( 。声) 弼 ( c 2 ) 若o ，p f 0 ，i 】且n + p9 1 ，“e ，贝9o f f l 上卢。且( n + p ) n c ￥a o z a ； ( g 3 ) 若a ，b e 强。上b ， 【0 ，l ! ，贝4 。上 5 髓 陋岳b ) = a n 啦 敏 e 4 ) 若8 最戴l a = m 铡2 1 1 设ex 爷，q ，弼崮钢1 2 1 知e 跫个效应 弋数茚甚显然萝 是一个凸效应代数 铡2 1 。2 设x 婷，f _ c l o ，1 1 爿，则由例1 23 知( ，0 ，l ，o ) 魁一个效应代 数，并鼠易籍，是一个凸效应健数， 铡2 1 。3 设矩熬一个h i i b e r 京闽，s ( 弼。 a t a b 洱) ，0 蠢s i ， 由侧2 , 1 ，4 知( 咒) 魁一个效应代数易知) 也嫡一个凸效应代散 引理2 1 1 1 7 1设e 是一个效成代数，则以下缩论成立： l o ( 1 ) 若8 sb ，戴地sa b ，v i o ，嘻 ( 2 ) 若0sa 曼声1 则。n 妒8 ，v a ( 3 ) 若o ，卢f 0 ，1 ) 且+ 卢量1 m 4 。n 上卢b v a ，b e ( 4 ) 若 ( 0 ，1 ) ，则 n = 0 当熙仅当a = o 5 ) 若对辩、m 弯定义曼0 a ；1 剥a ( n a ) ：( a n ) a ( 若对辩，i t a 有定义鱼 i o ，l j ，弼，t ( a g ) 有定义且n ( 。) = a n 江 ( 7 ) 若a ( 0 ，1 1 且a a = a b ，则8 = b ( 8 ) 若0 ，“，芦1 0 ，1 1 且盘n 描p o ，贝4n = p 注2 1 。1出g l 瑗2 , 1 1 3 ) 褐对任意的口。6 露及 豫粒， 8 0 ( 1 a 6 ) 有定义虽在e 申瓣j f i ：e 在忿意义下是。凸黎” ( 觅文懿翻) 在一个凸效应代数e 中，由于对任意的o g ，a 1 0 ，1 】，a a 有定义，所以 。与很多相互关联系的性质，本节主要给出些相应结果 以下用f 。 表示不翅过。的觳大整数，熙f a 表示a 的，、数部分， a = 。i 胡 引理2 1 2设aee ， f 0 ，1 】若n a 曼l ，则n ( a n ) 有定义且n ( a a ) 一 ( 恺 ) o 证明 显然# 一l 时结论成立，墨t t 2 辩，由定义2 ，1 。1 ( 2 j 知 。上a 8 跌磷2 p a ) 有定义艇2 ( x a j = ( 2 ) 8 ，依次递程下去哥窝# ( a 。) 有定义虽n a 8 ) 一 ( n a ) o 命题2 1 1 设f 是凸效成代数，则v a ，b e ，v a c o ，1 l 有 ( 1 ) 若8 上b 则a a 土 6 2 ) a sb 车 a 8 a 6 f ( a 0 ) ( 3 ) a a b 存在当恩仅当a n 舶j 爷在当a a b 或a a a a b 存在时，x ( a a b ) = a a a a b ( 4 ) 若e 是格效应代数，则蛔v 拍= a ( 。vb ) 凝鹳( 1 ) 设8 毋6 = c ，由定义2 1 1 ( e 3 ) 有 国ob ) = a a 国a b = a c 因j 琏二 地上蚰， ( 2 ) 必要性若asb 设6 = a c ，c e 则由意义2 ，1 1 ( c 3 ) 旃妯= 和国c ) 一 o c ，因此a 口篓蛐充分性若a a 墨a 6 ，设地o d = 地d e 由f as 1 及 引骥2 , i 2 知嘲( 妨有定义且嘲( 6 ) = ( 嘲 ) 6 瞰撵结沦对8 也成立因此 i ；j ) b = i ；i ( a 6 ) 一i ； 【 。ed ) 一( 【； a ) 。【；d 叉 心) a 梦= ；) 蛔。固= 畦瑚。由瘟 蔼翻a + ， = 1 ，掰璐蠹定义2 ，1 1 g 2 ) 黧( 嘲 ) 6 土( 滚魏 6 一( 【；1 a ) 6 。( ； ) 6 = ( i ；1 ) n 国( ( ；) ) n 。( j 1j d 。t x l ) d = n 国【i 1j d 。t j l ) d 敖b a ( 3 ) 设a a b = e 粼c 8 ，e 曼b ，及两由( 2 ) 知a 。a a a c 曼a 6 努一方面，若 d a a ，dsa b ，由 曼1 及引理2 ，1 2 知嘲( n ) 有定义且( 。) = ( 妾 a ) o ， 因此【圭1 d ( ( 圭1 ) n 叉由( 2 ) 知 女 d ；) 地，而( f 女1 k 上 ) n ，所以 i i l 。d 一。 1 ，一 l ；l ) n 。f ； a ) n = 。， 同理有 】d o ) d b 故嘲d o ( d 茎c 又由( 2 ) 有a ( d o ) d ) = ( 嘲d ) o a 女i d a c ，其中由g i 理2 11 ( 5 ) 知 ( f j d ) = ( a 【 1 ) d ，因此由定义2 1 2 ( c 2 ) 有 ；j ) ge ； g ) 一f a ；j 。a ； ) d = d 0 定义p 才= p x ：z 7 ) 范数为1 的射线称为单位射线，m 中所有单位射线之 集记为r l ) 由定义知，对每一个射线7 ，有- 2 = p 苫，其中p = i i z l l ，e