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黄云美： 双摆振动系统的同相振动性 中文摘要 本文我采用了m i r o n e n k o1 1 i 创建的反射函数法研究了双摆振动系统 叫文劲 时y 2 肌， 的同相振动性其中么( f ) = ( ( f ) ) ：。：，b ( f ) = ( ( f ) ) ：。： 假设f ( ，) ，c ( t ) 分别为( 1 ) ( 2 ) 的反射矩阵当a ( t + 2 c o ) = 彳( f ) ，b ( t + 2 c o ) = b ( t ) 时，由 【1 1 1 2 1 知矩阵f ( 一国) ，g ( 一彩) 分别相似于( 1 ) ( 2 ) 的根本矩阵，则若特征方程 l a e - f ( - c o ) 卜o ( 3 ) i l h e - g ( - o o ) l - o ( 4 ) 具有相同的特征根，则( 1 ) ( 2 ) 的稳定性相同。 在本文中我给出了特征方程( 3 ) ( 4 ) 具有相同特征根的充分条件通过深入研究得 到如下结论： 结论1 若存在可微矩阵函数满足 1 ) t ( - t ) = 丁( r ) ， 2 ) r ( f ) = 曰( f ) 丁( ，) - t ( t ) a ( t ) + 口( ，) 丁( ，) ， 贝, t jr ( t ) f ( t ) = g ( t ) t ( t ) 这里的a ( t ) 为连续的奇的纯量函数 结论2 若存在可微矩阵函数满足 1 ) 丁( f ) 【4 ( f ) + a ( - t ) 】= 【b ( f ) + b ( - t ) l t ( t ) ， 2 ) t 7 0 ) = b ( t ) t ( t ) 一r ( t ) a ( t ) + a ( t ) t ( t ) ， 则丁( o ) = t ( t ) ，丁( f ) f ( f ) = g ( f ) 丁( ；) 这里的o c ( t ) 为连续的奇的纯量函数 结论3 若结论l 或结论2 的条件成立，且微分系统( 1 ) ( 2 ) 都是2 缈一周期系统，且 t ( c o ) 可逆，则此时( 1 ) 与( 2 ) 零解的稳定性相同 结论4 若b ，( f ) 一爿( 一r ) = r l ( t ) m ( t ) ， 扬州大学硕士学位论文 2 m ( f ) = m ( f ) 彳( 一f ) 一爿( 一f ) m ( f ) + 儿( f y 订( r ) ， 则f ( f ) = g7 ( f ) 其中r l ( t ) ，r k ( t ) ( k = 1 , 2 m ) 为连续的奇的纯量函数 结论5 若b r ( o - a ( - t ) = ( f ) m ( f ) ， m ( f ) = m ( f ) 彳( 一f ) 一彳( 一f ) m ( f ) + y k ( t ) m ( f ) ， 则f ( f ) = g7 ( f ) 其中( f ) ，( f ) ( 七= 1 ，2 聊) 为连续的奇的纯量函数 结论6 若结论4 或结论5 的条件成立，且微分系统( 1 ) ( 2 ) 为2 m 一周期系统，则它们 的稳定性相同 结论7 若么( f ) + b ( 一f ) = 吼( f ) ( f ) ， n ( f ) = 彳( f ) ( f ) 一( f ) 彳( f ) + i l k ( o n ( f ) ， 则尸( r ) = g ( - t ) 其中a k ( t ) ，孱( f ) ( 忌= 1 ，2 m ) 为连续的奇的纯量函数 此外， a ( t + 2 c o ) = a ( t ) ，b ( t + 2 c o ) = b ( f ) ，r 删。( t ) d t = f t r b 。( t ) d t = 1 ，则微分系统 ( 1 ) ( 2 ) 的稳定性相同 结论8 若b ( f ) 一彳( f ) = a k ( t ) m ( f ) ， m ，( f ) = 彳( f ) m ( f ) 一m ( ，) 彳( ，) + f l k ( t ) m ( ，) ， 则f ( ，) = g ( f ) 其中( f ) ，屏( f ) ( 足= 1 ，2 朋) 为连续的奇的纯量函数 此外，若a ( t + 2 缈) = 彳( ，) ，b ( t + 2 c o ) = b ( f ) ，则微分系统( 1 ) ( 2 ) 的稳定性相同 结论9 若a ( t + 2 缈) = 彳( f ) ，b ( t + 2 c o ) = b ( t ) ，t r a f i t ) = t r b 。( t ) ，且下列条件成立： 一堕墨羞! 翌堡篓垫墨笙塑旦塑堡塑堡 ! - _ _ _ _ _ _ - - - ，_ - - - - _ _ _ _ _ _ _ - ，_ - _ _ _ _ _ - 一一 2 ( 科) 7 + 硅一科 = 砰 = 2 ( 砰) ，+ 一砰砰 ( 叫) ”+ 2 ( 硅) + 砖一斛硅一爿( 一) 一莲d = ( 砰) 。+ 2 ( ) + 砖一砰一砰( 砰) 一霹砰 ( 硅) 。+ 2 ( 砖) + 吐一斛砖一科( 畦) ，一霹硅= ( ) 。+ 2 ( 露) ，+ 舌一辞一砰( ) ，一g ( 砖) ”+ 2 ( ) 7 一爿( 砖) 一趁一趔砖科一= ( ) ”+ 2 ( ) 一辞( ) 一霹一霹茸一辞 ( 科) _ 一莲也一群( 一) 一d 则( i ) ( 2 ) 的零解的稳定性相同 = ( 砰，一霹右一砰( 砖) ，一霹 最后，我们给出了具体的例子来说明上面结论的正确性 扬州大学硕士学位论文4 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eh a v eu s e dt h em e t h o do fr e f l e c t i v ef u n c t i o no fm i r o n e n k o t 1 1 t os t u d yt h e s t a b i l i t yo fs o l u t i o n so ft h ed o u b l ep r e d u l u ms y s t e m ： 睁郇， 睁y 2 ) 即， w h e r e 4 0 ) = ( a ，o ) ) ：。：a n db ( ，) = ( ( f ) ) ：。：a r bc 。n t i n u o u so nr ( 1 ) ( 2 ) s u p p o s et h a tf ( f ) a n dg ( t ) a r et h er e f l e c t i v em a t r i xo fs y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 ) r e s p e c t i v e l y b y 1 】a n d 【2 ，i f a ( t + 2 缈) = 彳0 ) ，b ( ，+ 2 缈) = b ( ，) ，t h e n f ( - o g ) a n dg ( - c o ) a r es i m i l a r t o t h em o n o d r o m ym a t r i xo fs y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 ) r e s p e c t i v e l y i ft h er o o t so ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n s 协e f ( 一妫l = o l p e g ( 一彩) i = o ( 3 ) ( 4 ) a r ee q u a l ，t h e nt h es t a b i l i t yo f n u us o l u t i o no f ( 1 ) a n d ( 2 ) a r et h es a i n e i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld i s c u s st h eq u e s t i o no fw h e nt h er o o t so fe q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) a r ee q u a l w eo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s c o n c l u s i o n1 i ft h e r ee x i s t sad i f f e r e n t i a b l em a t r i xf u n c t i o nt ( t ) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： 1 ) t ( - t ) = 丁( ，) ， 2 ) 丁( f ) = b ( f ) 丁( f ) - t ( t ) a ( t ) + 口( f ) 丁( ，) ， t h e n 丁( f ) f ( f ) = g ( f ) 丁( f ) w h e r e 瑾( f ) i sa na r b i t r a r yc o n t i n o u s l yo d ds c a l a rf u n c t i o n c o n c l u s i o n2 i ft h e r ee x i s t sad i f f e r e n t i a b l em a t r i xf u n c t i o nt ( t ) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： 1 ) 丁o ) 彳( f ) + a ( - t ) 】= 【口( ，) + 口( 一f ) 】丁( f ) ， 2 ) t ( f ) = b ( t ) t ( t ) 一丁( ，) 么( ，) + 口o ) 7 1 ( ，) ， t h e nr ( f ) f ( f ) = g ( f ) 丁( f ) w h e r ea ( t ) i sa na r b i t r a r yc o n t i n o u s l yo d ds c a l a rf u n c t i o n c o n c l u s i o n3 。s u p p o s et h a tt h e c o n d i t i o n so ft h ec o n c l u s i o n1o rt h ec o n c l u s i o n2a r e s a t i s f i e d ，a n da ( t + 2 0 9 ) = 以( r ) ，b ( f + 2 缈) = 曰( ，) ，d e tt ( c o ) 0 t h e nt h es t a b i l i t yo fn u l l 黄云美： 双摆振动系统的同相振动性 5 s o l u t i o no fs y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 a r et h es a m e c o n c l u s i o n4 s u p p o s et h a t ， 艿7 9 ) 一a ( - t ) = r l ( t ) m ( t ) a n d m ( f ) = m ( t ) a ( - t ) 一彳( 一，) m o ) + 以( f 川o ) k = l t h e nf ( t ) = g 7 ( f ) w h e r er ( t ) a n dy k ( t ) a r ec o n t i n o u s l ys c a l a ro d df u n c t i o n s c o n c l u s i o n5 s u p p o s et h a t ， 埘 卅 b 7 ( f ) 一爿( 一f ) = o ) m ( t ) a n d m 7 9 ) = m ( ，) 彳( 一，) 一彳( 一，) m ( ，) + 以( ，彬( f ) = i k = l t h e nf ( ，) = g r ( f ) w h e r e 吼( t ) a n dy ( t ) a r ec o n t i n o u s l ys c a l a ro d df u n c t i o n s c o n c l u s i o n6 s u p p o s et h a tt h ec o n d i t i o n so fc o n c l u s i o n4o rc o n c l u s i o n5a r es a t i s f i e d ， a n da ( t + 2 彩) = 爿( f ) ，b ( t + 2 缈) = b ( t ) ，d e tt ( o ) ) 0 t h e nt h es t a b i l i t yo fn u l ls o l u t i o no f s y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 ) a r et h es a m e c o n c l u s i o n7 s u p p o s et h a t ， m n l 爿o ) + b ( 一t ) = e a k ( t ) n 。( t ) a n dn ( f ) = 彳o ) o ) 一( f ) 4 0 ) + i l k ( o n o ) 七= l k = l t h e nf ( t ) = g ( o ) w h e r ec r k ( t ) a n d 孱( r ) a r ec o n t i n o u s l ys c a l a ro d df u n c t i o n s b e s i d e st h i s ，i f a ( t + 2 缈) = 4 0 ) ，8 ( t + 2 ) = b ( t ) a n d ；t r a e ( t ) d t = ft r b e ( t ) d t = 1 ，t h e nt h e s t a b i l i t yo fn u l ls o l u t i o no fs y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 ) a r et h es a m e c o n c l u s i o n8 s u p p o s et h a t ， b ( ) 一彳( f ) = 吼( f ) m ( t ) a n d m7 ( f ) = 爿( f ) m ( f ) 一m ( f ) 彳( f ) + a ( t ) m ( f ) k = lk = l t h e nf 0 ) = g ( t ) w h e r ea t ( t ) a n d 屏( t ) a r ec o n t i n o u s l ys c a l a ro d df u n c t i o n s b e s i d e st h i s ，i fa ( t + 2 0 ) ) = 爿( f ) ，b ( t + 2 ) = b ( f ) ，t h e nt h es t a b i l i t yo fn u l ls o l u t i o no f s y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 ) a r et h es a m e c o n c l u s i o n9 s u p p o s et h a t ， a ( t + 2 0 9 ) = 么( f ) ，召o + 2 缈) = b ( f ) a n d 【t r a 。( t ) d t = l ：，r 眈( t ) d t = 1 a n dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 廿口 a r es a t i s f i e d ， ( 科) 4 + 2 ( t ) + 砖 ( 硅) 。+ 2 ( 砖) + d 。 ( 砖) 。+ 2 ( 矗) 一科 2 ( 一) 4 i q i 一科( 一) 7 一斛科 科d 一科( ) 一倒1 1 = 砰 2 ( 砰 ( 砰) ” ) ，+ 一辞砰 + 2 ( ) 7 + ( ) ”+ 2 ( t c j ) 7 + 瑶 ( 砖) ，一莲一d 1 乜1 4 i k l = ( ) 。+ 2 ( ) 一砰 ( d ) 4 一斛d 一科( 一) 一耐 一矸一辞( 砰) 一毽2 k 2 一群一4 2 2 ) ，一毽2 k 2 ( ) 一霹一霹一试2 畅2 = ( 砰) ”一毽2 2 一辞( 露) 7 一霹 t h e nt h es t a b i l i t yo fn u l ls o l u t i o no f s y s t e m ( 1 ) a n d ( 2 ) a r es a m e f i n a l l y , w eg i v es p e c i f i ce x a m p l e st oi l l u s t r a t et h ec o r r e c t n e s so ft h e s ec o n c l u s i o n s 对耐科 一 畦 + 扬州大学硕士学位论文 3 0 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成 果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究 成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：荸、砉复 签字日期： 撕产o 月劲日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授 权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提 供信息服务。 学位论文作者签名：羲主美 签字日期： 沙d 产尸月劢日 翮妣够参多 签字日期：沙p 产，口月日 | 黄云美：双摆振动系统的同相振动性 7 第一章引言 众所周知，客观世界中的一些物体的运动规律，常常归结为研究微分系统： = x q ，x ) ，f 尺，x 7 = ( _ ，x 2 ，矗) r ” ( 1 1 ) 解的性态，特别是该系统周期解的存在性、个数及稳定性是一个很重要的问题 p o i n c a r 6 曾说过：“这些周期解的重要意义在于，它是唯一缺口，通过它我们方可步入那 些被认为不可到达的领域” 当x ( t + 2 c o ，x ) = x q ，曲时，在研究周期系统( 1 1 ) 周期解的过程中，p o i n e a r 6 映射举 足轻型1 9 1 通过它，我们可知道系统( 1 1 ) 周期解的性态由此寻找周期系统( 1 1 ) 的 p o i n c a r 6 映射显得尤为重要设缈( f ；f ，x ) 为( 1 1 ) 过( f ，f ) 的解，则周期系统( 1 1 ) 的 p o i n c a r 色映射可定义为t ( x ) = ( p ( r + 2 c o ；r ，x ) ，( v f r ) 从它的定义来看，当( 1 1 ) 的通解 的表达式已知时，可找到其p o i n c a r 6 映射但在一般情况下，寻找p o i n c a r 6 映射是很困难 的，如何解决这一问题呢? 1 9 8 1 年前苏联数学家m i r o n e n k o 在文【1 】中，首先提出了反射函数的概念，借助反射 函数这一最新工具寻找系统( 1 1 ) 的p o i n c a r 6 映射以进一步研究系统周期解的性态，并 于1 9 8 6 年出版了第一部反射函数理论专著利用反射函数理论研究微分系统解的性态 是一个崭新课题，是常微分方程的又一分支，m i r o n e n k o ，m u s a f i r o v ，v e r e s o v i c h ，周正新 等应用反射函数理论研究了微分系统解的性态，取得了许多重要成果1 1 0 - 3 4 1 解决了一些 用传统的定性稳定性理论方法无法解决的常微分方程问题 对于双摆振动系统= p ( t ) x ，当不出现惯性、惯性藕合项时，p ( f ) = d i a g ( a ( t ) ，8 ( 0 ) ， 其中爿( ，) = ( 口，) ) ：脚b ( f ) = ( 包) ) ：。：，当彳( f ) ，b ( f ) 为常数矩阵时，一般的振动力学书中 都有介绍1 3 5 1 1 3 6 1 ，而当彳( f ) b ( t ) 为函数矩阵时，如何讨论它们何时为同相振动，何时为异 相振动，尚少有人研究为此，我们采用反射函数法来讨论上述系统的同相振动性，该问 题是白俄罗斯数学家m i r o n e n k o 提出的一个问题本文对此进行了深入研究，并得出了 这个双摆振动系统稳定性相同的充分条件 扬州大学硕士学位论文 8 第二章预备知识n 1 2 1 p o i n c a r 6 映射 微分系统： x t = x ( t ，石) ，f r ，x r = ( j c l ，x 2 ，_ ) r 胛 ( 2 1 ) 满足下列条件： ( i ) x ( t ，x ) 连续可微，且对v ( 印? ) 尺1 + ”，其c a u c h y 问题具有唯一解 ti j 妒( f ，f ，x ) ，cr ( i i ) x ( t + 2 织x ) = x ( t ，x ) ，国为正的常数 定义2 1 映射饮肚) ：xl - 坤( p ；a ，x ) 称为通过微分系统( 2 1 ) 解的映射 定义2 2 映射纸州) ：x 卜伊 + 2 ，口，x ) ，口r 称为微分系统( 2 1 ) 的p o i n c a r 6 映射 定理2 1 微分系统( 2 。1 ) 在陋，口+ 2 缈】有定义的解缈( f ；口，x ) 为2 缈一周期解的充要 条件为x 是p o i n c a r 6 映射缎口+ 2 ，口) 的不动点 2 2 反射函数及其性质 设微分系统( 2 1 ) ( 不必为t 的周期系统) 中，若x ( t ，x ) 在r xr 。上连续可微，且保 证其c a u c h y 问题的解的存在唯一k 表示其解妒( f ；0 ，x ) 的存在区间记 7 x = ，i 一，k ；d = ( f ，x ) lx r n , f kr 、瓦) 定义2 3 称连续可微函数： f ( t ，x ) = 缈( 一t ；t ，x ) ，( f ，x ) d ， 为微分系统( 2 1 ) 的反射函数 反射函数具有如下性质： ( 1 ) 对微分系统( 2 1 ) 任一解x ( f ) ，0 ，有 f ( t ，x ( ，) ) 三x ( 一f ) ， ( 2 ) 对任一微分系统的反射函数f ( t ，x ) 有恒等式 黄云美：双摆振动系统的同相振动性 9 f ( 一t ，v ( t ，x ) ) 善f ( o ，x ) 兰x 定理2 2 可微函数f ( t ，x ) ：d 寸为微分系统( 2 1 ) 的反射函数，当且仅当，它为 偏微分方程 j f ( ，x ) + f x ( 1 ，x ) x ( ，x ) + x ( - ，f ( ，x ) ) = o ，( 2 2 ) 【f ( 0 ，x ) 量x ， 的解，我们称( 2 2 ) 式为反射函数的基本关系式 2 3 反射函数与p o i n c a r 6 映射的关系 定理2 3 若x ( t + 2 0 ，x ) = x ( t ，x ) ，且( 2 1 ) 的解由其初值唯一确定，f ( t ，x ) 为其反 射函数，则系统( 2 1 ) 的p o i n c a r 垂映射可定义为： r ( x ) = f ( - c o ，x ) = 伊( ，一0 9 ，x ) ， 从而系统( 2 1 ) 在卜缈，国】上有定义的解缈( t ；- c o ，x ) 为2 0 ) - 周期，当且仅当，x 为方程 f ( - o ) ，x ) = x 的解 2 4 线性微分系统的反射函数 线性微分系统 一= a ( t ) x ， ( 2 3 ) a ( t ) 为连续矩阵函数，彳( f ) ；( ( f ) ) 脚 设x ( t ) 为( 2 3 ) 的基解矩阵，则其通解为妒( f ；f ，1 ) = x ( t ) x 一( f ) x ，反射函数为 f ( t ，x ) = 妒( 一t ，t ，x ) = x ( 一t ) x 一1 ( f ) x 定义2 4 称f ( ，) = x ( - t ) x 一( ，) 为( 2 3 ) 的反射矩阵 由反射函数的性质可推得反射矩阵f ( t ) 具有如下性质： 1 ) f ( 一f ) f ( f ) 兰f ( o ) = e ， 2 ) f7 ( f ) + f ( f ) 彳( ，) + a ( - t ) f ( t ) = 0 ， 3 ) d e tf o ) = d e t ( x ( - t ) x 叫( ，) ) = e x p 一i t r a ( r ) d r 扬州大学硕士学位论文 1 0 第三章双摆振动方程的稳定性定理 对于双摆振动系统x = p ( t ) x ，当不出现惯性、惯性藕合项时，p ( t ) = d i a g ( a ( t ) ，b ( f ) ) ， 其中彳( ，) = ( ( f ) ) 2 m b ( f ) = ( ( ，) ) ：x 2 ，当么( 晚b ( f ) 为常数矩阵时，一般振动力学书3 5 1 3 6 1 都有介绍它们何时为同相振动，何时为异相振动而当彳( f ) ，b ( t ) 为函数矩阵时，其振动 性如何尚少有人研究本文我们将采用反射函数法来研究它们的同相振动性 考虑微分系统 睁郇， 盼y 2 ) 即， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中么c r ，= ( ：暑乏暑 ，b c r ，= ( 葛暑乏暑 为连续的矩阵函数，r 设f ( f ) ，g ( f ) 分别为系统( 3 1 ) ( 3 2 ) 的反射矩阵 当a ( t + 2 ( o ) = 彳( f ) ，b ( t + 2 ( o ) = b ( f ) ( 国 o 常数) 时，由【1 】知f ( - c o ) ，g ( - c o ) 分别相似于 ( i ) ( 2 ) 的根本矩阵昭1 ，从而当特征方程 1 2 e 一，( 一c o ) i = 兄2 一f 厅( 一c o ) j t + l f ( - ( o ) i = 0 ( 3 3 ) 与 i p e g ( 一国) i = 2 - t r f ( 一) + i g ( 一) l = o ( 3 4 ) 的特征根相同时，微分系统( 3 1 ) 与( 3 2 ) 的稳定性相同 经过我们深入研究，下文我们将给出特征方程( 3 3 ) 与( 3 4 ) 具有相同特征根的充 分条件，并得到如下定理 定理3 1 若存在可微矩阵丁( t ) 满足 1 ) t ( - t ) = 丁( ，) ， 2 ) t ( f ) = b ( t ) t ( t ) 一t ( t ) a ( t ) + 口( f ) 丁( f ) ， 则t ( t ) f ( t ) = g ( t ) t ( t ) 其中a ( t ) 为连续可微的奇的纯量函数 证明：由于f ( t ) 、g ( t ) 分别为( 1 ) ( 2 ) 的反射矩阵，则由【1 得 f 7 ( f ) + f ( t ) a ( t ) + 彳( 一t ) f ( t ) = 0 ， ( 3 5 ) 黄云美：双摆振动系统的同相振动性 g ( f ) + g ( f ) b ( f ) + b ( - t ) g ( t ) = 0 ， 又 。丁o ) = b ( ，) 丁( ，) - t ( t ) a ( t ) + 口( f ) 丁( f ) ， ( 3 6 ) ( 3 7 ) t ( t ) = 丁( f ) ，( 这里以及下面记于( f ) = 丁( 一t ) ，才( f ) = 彳( 一f ) ，b ( t ) = b ( - t ) 等等) 丁o ) = b ( f ) 丁( f ) - t ( t ) a ( t ) - a ( t ) t ( t ) = b ( ，) 丁( ，) - t ( t ) a ( t ) 一口( f ) 丁( f ) ， 一丁( f ) = 8 ( f ) r ( f ) - t ( t ) a ( t ) 一口( f ) 丁q ) ， 即t ( f ) = 丁( f ) 才( f ) 一百o ) 丁o ) + 口( f ) 丁( f ) ( 3 8 ) 令 u ( f ) = 丁( f ) f ( f ) 一g ( t ) t ( t ) ，则u ( o ) = 0 u o ) = t ( f ) f ( f ) + 丁( f ) 尸( f ) - g ( t ) t ( t ) - g ( t ) t 7 ( f ) = t 7 0 ) f ( f ) 一丁( f ) 【f ( f ) 彳o ) + 么0 ) f o ) 】+ 【g ( f ) b ( f ) + b ( f ) g o ) 】丁( f ) - g ( t ) t ( f ) = t 7 0 ) f ( ，) 一丁( f ) f ( f ) 彳o ) - t ( t ) a ( t ) f ( t ) + g o ) b ( f ) 丁( f ) + b ( f ) g o ) 丁o ) - g ( t ) t 7 ( f ) = 【t ( f ) - t ( t ) a ( t ) + b o ) 丁( f ) 】f ( f ) - t ( t ) f ( t ) a ( t ) - b ( t ) t ( t ) f ( t ) + g o ) b ( f ) r o ) - t o ) 一丁o ) 彳( f ) 】+ g ( f ) 丁( ，) 彳( f ) + b o ) g ( ，) 丁( f ) ， 由( 3 7 ) ( 3 8 ) 得 u ( f ) = 【g ( t ) t ( t ) 一丁( f ) f ( ，) 】彳o ) + b ( ，) 【g o ) r o ) 一丁( f ) f o ) 】+ a ( f ) 【丁( ，) f ( ，) 一g ( f ) 丁( f ) 】 = 一u ( f ) 彳( f ) 一b ( t ) u ( t ) + 口( f ) u u ) 又 u ( o ) = 0 ， 则由一阶线性方程组c a u c h y 问题解的唯一性得u ( f ) 三0 即 丁( f ) f ( f ) = g ( t ) t ( t ) 定理证毕 定理3 2 若存在连续可微的矩阵函数满足 1 ) 丁o ) 爿( ，) + a ( - t ) 】= 【b ( f ) + b ( 一f ) 】丁( f ) ， 2 ) t 7 ( ，) = b ( t ) t ( t ) 一丁( f ) 爿( r ) + 口0 ) 丁( f ) ， 则t ( - t ) = t ( t ) ，t ( t ) f ( t ) = g ( t ) t ( t ) 其中a ( t ) 为连续可微的奇的纯量函数。 扬州大学硕十学位论文 1 2 证明：先证t ( - t ) = 丁( f ) 令 v ( t ) = t ( t ) - t ( 一f ) ，则y ( o ) = 0 t ( f ) = b ( ，) 丁o ) - t ( t ) a ( t ) + 口( f ) 丁o ) ， 一一 丁( f ) = b ( ，) 丁o ) 一丁o ) 彳o ) - a ( t ) t ( t ) ， 二 一一 丁o ) = 丁o ) 4 0 ) 一b ( f ) 丁( f ) + 口( f ) 丁( f ) ， 由( 3 7 ) ( 3 9 ) 得 ( 3 7 ) ( 3 9 ) 一一一一一 v 7 ( ，) = t ( f ) - t ( t ) = b o ) 丁o ) - t ( t ) a ( t ) + 口( f ) 丁( ，) + b o ) 丁o ) - t ( t ) a ( t ) - o t ( t ) t ( t ) = b ( ，) + b ( f ) 】丁o ) 一丁( f ) 【彳( f ) + 彳( f ) 】一b o ) 丁( f ) + b o ) 丁( f ) + 丁( f ) 彳( f ) - t ( t ) a ( t ) + 口( f ) 【丁( f ) 一丁( f ) 】 = 【b ( t ) + 召( ，) 】丁( f ) 一丁( f ) 【彳( f ) + 彳o ) 卜b ( f ) 【丁( f ) 一丁( f ) 】+ 【丁( r ) 一丁( f ) 】彳( f ) + 口( ，) 丁o ) 一j r l ( f ) 】， 由定理的条件得 y ( ，) = - b ( t ) v ( t ) + v ( t ) a ( t ) + 口( ，) y ( f ) ， 又v ( o ) = 0 ， 则由一阶线性方程组c a u c h y 问题解的唯一性得y ( f ) 兰0 即t ( t ) = t ( - t ) 应用定理3 1 得丁( f ) f ( f ) = g ( t ) t ( t ) 成立 推论3 1 假设定理3 1 或定理3 2 的条件成立，且微分系统( 3 1 ) ( 3 2 ) 都是2 c o 一 周期系统，且t ( c o ) 可逆，则此时双摆系统( 3 1 ) 与( 3 2 ) 具有相同的振动性 证明：由于此时f ( 一国) 与g ( 一缈) 相似，又f ( 一缈) 、g ( 一c o ) 分别相似于( 3 1 ) ( 3 2 ) 的 根本矩阵1 9 1 ，则( 3 1 ) ( 3 2 ) 具有相同的特征乘子，从而振动性相同 定理3 3 若b7 ( ，) 一a ( t ) = r l ( t ) m ( t ) 且 m ( f ) = m ( t ) a ( t ) - 彳i ( ，) m ( f ) + y k ( t ) m ( ，) ， ( 3 1o ) 黄云美： 双摆振动系统的同相振动性 1 3 n f ( t ) = g7 ( ，) 其中7 7 ( f ) ，咯( f ) ( 尼= l ，2 m ) 为连续的奇的纯量函数 证明：第一步先证明m ( f ) f ( f ) = f ( t ) f f i ( t ) 设 u ( ，) = m ( t ) f ( t ) 一f ( t ) m ( t ) 由( 3 1 0 ) 得 一 衍( f ) = 露( f ) 爿( f ) 一么( f ) 厨( f ) + 瓦。诹( f ) = 厨( ，) 彳( f ) 一么( f ) 厨( f ) 一儿( f 徊( f ) ， r t l 即厨( f ) = 彳( f ) 厨( f ) 一露( f ) 4 ( f ) + r k ( t ) 厨t ( f ) ， k = l 再由( 3 5 ) 可计算得 一 ： u ( f ) = m7 ( f ) f ( f ) + m ( t ) f ( f ) 一f ( f ) ，o ) 一f ( f ) 夕o ) ( 3 1 1 ) 一 一 一 二 = m 7 ( f ) f ( f ) 一j i o ) 【f o ) 4 q ) + 彳9 ) f ( f ) 】+ 【f ( f ) 4 0 ) + a ( t ) f ( t ) l m ( t ) 一f ( f ) a f o ) = m ( ，) ，o ) 一朋7 p ) f ( ，) 彳( ，) 一j j l 夕( ，) j ( ，) ，( ，) + ，( ，) 彳o ) 厨( f ) + 才o ) f ( f ) 露( f ) 一f ( f ) 砑( ，) 一一一 i 一 = 【m 7 ( f ) 一m ( f ) 4 ( f ) + 彳( f ) m ( f ) 】f ( ，) + f ( f ) 彳( f ) m ( ，) 一m ( r ) 一m ( f ) 彳( f ) + f 0 ) 砑o ) 彳( f ) 一彳o ) i 彳o ) f ( f ) 一m ( t ) f ( t ) a ( t ) + a ( t ) f ( t ) f f t ( t ) 应用( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 可得 mm u 7 ( f ) = 以( f ) m ( f ) f ( ，) 一f ( ，) 以( f ) 厨( ，) + 【f ( f ) 厨( f ) 一m ( f ) f ( f ) 么( f ) r = l f = l + 4 ( f ) f ( f ) m ( f ) 一 4 ( f ) f ( f ) 】 卅 = 7 。( f ) 【m 。o ) ，( f ) 一f o ) 厨。o ) 卜u ( f ) 彳( f ) 一万o ) u ( f ) ( 3 1 2 ) 又 肘( f ) f ( f ) 一f ( ，) m ( ，) = u ( t ) ， m 2 ( f ) f ( f ) 一f ( f ) 砑2 ( f ) = m ( ，) 【m ( ，) f ( ，) 一f ( f ) 厨( f ) 】+ m ( f ) f ( ，) 厨( f ) 一f ( ，) 砑2 ( f ) = m ( t ) u ( t ) + 【肘( f ) f ( ，) 一f ( ，) m ( ，) m ( f ) = m ( t ) u ( t ) + u ( f ) m ( ，) ， 扬州大学硕士学位论文 1 4 m 3 ( f ) f ( f ) 一f ( f ) 露3 ( f ) = m 2 ( f ) 【m ( f ) f ( ，) 一f ( f ) 厨( ，) 】+ m 2 ( f ) f ( f ) 厨( ，) 一f ( f ) 厨3 ( f ) = m 2 ( f ) 【m ( f ) f ( f ) 一f ( f ) 庸( f ) 】+ 【m 2 ( f ) f ( f ) 一f ( f ) 厨2 ( ，) 】厨( f ) = m 2 ( f ) 【m ( r ) f ( f ) 一f ( f ) 厨( f ) 】+ 【m ( f ) u ( f ) + u ( f ) 厨( f ) 】厨( f ) = m 2 ( f ) u ( f ) + m ( ，) u ( f ) 厨( f ) + u ( f ) 厨2 ( f ) 利用数学归纳法可得 m ( t ) f ( t ) - f ( t ) m 一( f ) = m ( f ) u ( f ) 砑7 ( ，) i + j = x i 将此代入( 3 1 2 ) 得 u ( f ) = 一u ( f ) 彳o ) 一万( f ) u o ) + 以( ，) m ( ，) u o ) 厨( f ) 又 u ( 0 ) = 0 ， 则由一阶线性方程初值问题解的唯一性得：u ( t ) 三0 即m ( t ) f ( t ) = f ( f ) m ( f ) 第二步证明f ( t ) = g 丁( f ) 为此，令v ( t ) = f ( f ) 一g 7 ( f ) ，则v ( o ) = 0 应用( 3 5 ) ( 3 6 ) 计算得 y 7 0 ) = f 7 0 ) 一g 7 。o ) = _ 【f 0 ) 彳( f ) + 才( f ) f ( r ) 】+ 【g o ) b ( f ) + 百( f ) g ( f ) 】7 = 一f o ) 4 ( f ) 一彳( f ) f ( f ) + b 7 o ) g7 ( f ) + g7 ( f ) 百7 o ) = b 7 ( f ) 【g 7 ( f ) 一f o ) 】+ 【g 7 ( f ) 一f o ) 】否r ( f ) + b 7 o ) f ( f ) + f ( f ) 百7 o ) 一f ( f ) 彳( ，) 一才( f ) f ( f ) = 一百7 ( f ) y o ) 一y ( ，) 百7 o ) + ，( f ) 【百7 o ) 一彳o ) 卜【才( ，) 一b 7 o ) f ( f ) = 一否7 o ) y ( f ) 一v ( t ) b 7 o ) + 7 7 ( ，) m ( f ) f o ) 一r l ( t ) f ( t ) m ( t ) = 一否7 ( f ) y ( f ) 一y ( f ) 否7 ( ，) + 7 7 ( ，) 【m u ) f ( ，) 一f ( f ) 厨( ，) 】 由前一步的证明可知m ( f ) f ( f ) = f ( f ) 厨( ，) 黄云美：双摆振动系统的同相振动性 1 5 则y ( f ) = 一否7 ( f ) y ( f ) 一y ( f ) 百7 ( ，) ， 又 y (