（应用数学专业论文）bénard系统的稳定性与本征函数的正交性.pdf

北京化工大学硕士论文摘要 b 6 n a r d 系统的稳定性及其本征函数的正交性 摘要 标准的b 6 n a r d 系统是考虑一个中间充满不可压缩流体的平行夹 层，在其底部以恒温加热。由于流体黏性及重力的作用，当上下层面 的温差较小时，流体处于静止状态( 通常也称为基态) ，当温差持续增 大并超过某一临界值时流体就出现失稳产生热对流现象，它满足的扰 动方程为0 b e r b e c k b o u s s i n e s q 方程组，这是一个非线性的偏微分方 程组。 大多数描写流体运动的数学模型都是非线性微分方程，对其流动 稳定性研究的传统出发点是本征值分析，即线性稳定性分析。对于一 些流动，如鼬n a r d 系统和t a y l o r c o u e t t e 流，线性稳定性分析的结 果与实验结果符合的很好，特别是对b 6 n a r d 系统线性稳定性理论分析 给出的稳定性条件是既充分又必要的；但对一些由剪切引起的流动， 如平面平行剪切流，线性稳定性分析的结果与实验结果相差很大。对 于后者这种线性稳定性分析失败的结果许多研究人员归咎于，其线性 化问题的本征函数不相互正交。本文利用速度场日的 p 0 1 0 i d a 卜t o r o i d a l 分解，把o b e r b e c k b o u s s i n e s q 方程组转化为一 个等价的方程组。当本征值问题的参数盯= o 时，将其线性化问题转化 为一个常微分方程组，然后选择适当的h i l b e r t 空间对方程组中的算 子进行研究，并证明它们都是严格正定的自共轭的线性算子，进而得 北京化工大学硕士论文摘要 出该系统稳定性研究中一些本征值问题的解的性质。 关键词：b 6 n a r d 系统，h 订b e r t 空间，自共轭算子，本征函数 l i 北京化工大学硕士论文摘要 t h es t a b i l i t yo fb 丘n a r ds y s t e ma n dt h e o r t h o g o n a l i t yo fe i g e n f u n c t i o n a b s t r a c t t h es t a n d a r db 6 n a r ds y s t e mr e f e r st oa ni 曲n i t eh o r i z o m a ll a y e ro f i n c o m p r e s s i b l e f l u i di nw h i c ha i la d v e r s et e m p e r a t u r e 掣a d i e mi s m a i n t a k d b yh e a t i n g 舶m b e l o w b e c a 璐eo fm e i b - t i o no fv i s c o s i 移 a n dg r a v i t a t i o no ff l u i d ，也ef l u i dr e m a i n sa tr c s t ( i e b a s i cn o w ) w h e n m et e n 叩e r a 嘶d i f f e r e n c eb e t w e e nt 1 1 eb o 扎o ma n dt o po ft l l e l a y e ri s s m a l l w h e nt 1 1 et e m p e r a t u r ed i 圩e r e n c es u r p a s s e sac r i t i c a lv a l u e ，t 1 1 e b a s i cn o ww i l ib e c o m eu n s t a b i ea n d 也et h e m l a ic o n v e c t i o ns e t si n t h e p e r t u r b a t i o ne q u a t i o n so fm eb a s i cs t a t ea r em eo b e r b e c k _ b o u s s i n e s q e q u a t i o n sw h i c ha r en o m i n e a rp a r t i a ld i 珏- e r e n t i a le q u a t i o n s m o s tm a m e m a t i c a lm o d e l sd e s c r i b i n gm en o wa r en o n l 协e a rp a n i a l d i 腧r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt 1 1 et r a d i t i o n a ls t a n m gp o i n to fa ni n v e s t i g a t i o n o fh ) 椭d y n a m i cs t a b i l i t yp r o b l e mi s 也ee i g e n v a l u e a n a l y s i s ，i e 幽e m e m o do fl i n e 撕z e d s 协b i l i 吼 f o rs o m en o w s ， n o t a b l y 也o s e、i m i n s 协b i l 毋d r i v e nb ym e 珊a lo rc e “t r i 如g a lf o r c e s ，也ep r e d i c t i o n so f i i i 苎室些三查兰堡主堡主j ! ! l e i g e n v a l u ea n a l y s i sm a t c hl a b o r a t o r ye x p 耐m e m s 。e g t 1 1 es t a t i 衄a r ys t a c e o fb 6 n a r ds y s t e ma n dt l l e1 a y l o r c 0 u e 钍ef l o w ，i np a m c u l 虬m es t a k l 时 c o n d i t i o no fm e o r c t i ca n a l y s i si sn o t0 1 1 1 ys u f f i c i e n tb u ta l s on e c e s s a 彤f o r 曲e rn o w s ，n o t a b l ym o s e “v e nb ys h e a rf o r c e s ，m ep r e d i c t i o n s o f e i g e n v a l u ea 1 1 a l y s i s f a i lt om a t c he x p e r i m e n t ，f o re x 锄p l ep l a n ep 啪l l e l s h e a rn o w t h ef a i l u r eo fe i g e n v a l u ea j l a l y s i sm a ym o r ej u s t l y b e a t 时i b u t e dt o 廿1 ef a c t sm 砒t h ee i g e n m n c 垃o n so fl i n e a r i z e dp r o b l e ma r en o t o m l o g o n a lt oe a c ha t h e r i nm i sp a p e rb y 印p l y i n gm ep o l o i d a l _ t o r o i d a l d e c o n l p o s m o no fav e l o c 姆n e l d 砧，o b e r b e c k _ b o u s s l n e s qe q u a t l o n sa r e t r 柚s f o n n e di n t oan e we q u i v a l e n ts y s t f 髓a f 【e rc h o o s i i l ga 1 1 印p r o p r i a 钯 h i l b e r ts p a c e ，i tc 明b ep r 0 v e dt h a tt h e s eo p e r a t o r s 印p e a r e di nm en e w s y s t e ma r es t r i c t l yp o s i t i v ed e i t ea n ds e l 删o i m ，a l l d f o rt l en e ws y s t e m w h e nm ep a r 锄e t e ro fe i g e n v a l u ep m b l e m 盯= o ，d e s c r i b i n gt 1 1 e c a s e w h e n 也ec o n v e c t i o ns e t sm a ss t a t i o 彻r yc o n v e c t i o n w es lp r o v es o m e p r o p e n i e so ft l l es o l u t i o no fe i g e n v a l u ep r o b l e mi nm es 协b i l 畸a n a i y s i s f 0 rb 6 n a r ds v s t e m k e yw 0 r d s ：b 6 n a r ds y s t e m ，h i l b e r ts p a c e ，s e l f 删o i n to p e r a t o r ， e i g e n t i o n = i 争号说明 d ”( ) a ：”( ) 刀( ) 刀( ) c 州算子 c 咿，c 计，算子 | | 1 | ( ，) r ( q ) 符号说明 速度矢量 黏性系数 r a y l e i g h 数 临界r a y l e i 曲数 p r a n d t l 数 ( 一詈，三 ( 一号，号) 州一曲 梯度算子 三维l a p l a c e 算子 矩阵一的逆 关于z 的一阶导数 关于z 的行阶偏导数 定义域 值域 v v v r ( 一三专) 中的范数 r ( 一圭，丢) 上的内积 q 上的平方可积函数全体 v i r r n p c = v 北京化工大学硕士论文 ( p ) 玳一曲 嘲一羚驰” 爿 咒“ 碗 俨 r ( p ) 内中值为o 的函数全体 s o b o l e v 空间 许扣 厂( z ) l ，( = ) r ( 一 v l l r 厂( z = o 符号说明 体全 即 矗 ， 争胛 北玖 焉 一2，一2 厂一2 l 一2 蝴 咐 咐 l 一2 北京化工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 学位论文作者签名：段艳丽 2 0 0 6 年6 月2 日 北京化工大学硕士论文 第一章 1 1 引言 第一章概述 流动稳定性一直以来都是流体力学的中心问题之一，在大气、海洋等自然界 以及航空、航天、风工程、材料制备等工程领域普遍存在的。研究流动的稳定性， 就是要研究流动对于扰动的响应特性，即流动是否稳定、稳定性条件、不稳定流 动的演化等等。流动稳定性理论作为一个系统的理论，最初是为了解释流动从层 流转捩为湍流的机理而形成的，它的发展经历了一个很长的过程，直到现在也还 不能完全解释从层流到湍流的转捩机理，但是在其发展的过程中，提出了很多新 的研究方法和理论，它的实际作用并不仅仅局限于转捩问题。实际上，自然界和 工程技术中的很多问题，或者本身就牵扯到流动稳定性问题，或者可以利用流动 稳定性理论中的一些概念和方法。因此，流动稳定性的研究，早己不是一个仅有 理论价值的纯学术问题，它的研究对于了解自然现象，解决工程技术问题都起到 了重要的作用。 b 6 n a r d 对流是由热对流引起失稳并最终过渡到湍流的一个典型例子，一方面 与其相关的试验比较容易设计，且实验中出现的现象容易观察：另一方面，它有 较整齐的数学模型0 b e r b e c k b o u s s i n e s q 方程组。这样可以从理论上加以研究和 预测，然后通过与试验结果相对比来检验其理论研究的准确性。但是这个模型是 非线性的，直接对它进行理论上的研究会比较困难。对于这种非线性问题，一般的 处理方法是，先将非线性问题线性化然后再进行研究，但是这种线性化是否可行， 也就是说线性分析的结果是否可以作为非线性问题的结果，这两种结果是否一致， 还有待于研究。 本文前两章阐述了稳定性相关知识和一些预备定理及方法，第三章利用速度 场的p 0 1 0 i d a 卜t o r o i d a l 分解，把描述b 6 n a r d 系统的偏微分方程组 0 b e r b e c k b o u s s i n e s q 方程组转化为一个等价的方程组，并将其线性化后的方程 组进一步转化为一个常微分方程组的问题。然后选择适当的h i l b e r t 空间对方程 组中的微分算子进行研究，并利用常微分方程的理论，证明了该系统稳定性研究 中一些本征值问题的解的性质。 北京化工大学硕士论文 第一章 1 2 文献综述 所谓稳定性，是指一个系统在运动的过程中，或在干扰力的作用下，是否保 持原来的状态。稳定性的数学理论，就是为设计稳定的动力系统，避免不稳定的 事故发生，提供一整套数学理论和方法，因而，它在国民经济中的巨大作用和现 实意义是不言而喻的。 流动稳定性理论作为一个系统的理论，最初是为了解释流动从层流转捩为湍 流的机理而形成的，【1 1 自从雷诺( r e y n o l d s ) 在1 8 8 3 年做了著名的圆管转挟实验 后，就有人试图用层流失稳来解释转捩机理。所谓层流失稳的原始概念是：在某 雷诺数下，存在着n a v i e r s t o k e s 方程的一个定常或周期性的层流解，这个层 流解一般是足够光滑的。如果由于某种原因，在初始时刻，实际流动偏离了这个 层流解，流动的稳定性理论就是要研究这个初始偏离量随后的演化情况。如果各 种不同的偏离量最终都衰减了，则流动最终恢复到原来的层流，我们就说该层流 运动是稳定的；反之，若流动不恢复为原来的层流，或者是转化为另一种层流， 或转捩为湍流，我们就说该层流是不稳定的。这一层流失稳的概念可以推广到一 般流动的失稳。 雷诺在著名的圆管转捩实验中发现，当r e y n o l d s 数船较小时，流动可以保 持原来的流动，而当胎大到一定值时，流动就转变为湍流，而区分这两种流动的 胎就称为临界r e y n o l d s 数。后来人们进行的大量实验表明临界雷诺数并不是一 个固定的常数，它依赖进行实验时的扰动大小，也就是说是否失稳与扰动的大小 有关，转捩是扰动放大导致失稳的结果。这一现象在一般的流动也是存在的。这 就产生了稳定性理论的基础想法：从一种流动转变为另一种流动，是原来的流动 里所出现扰动的自然演化结果，这种转变的发生依赖于所出现扰动的大小和结构。 线性稳定性理论选取了一个较小的目标：确定一个流动在什么条件下，对无穷小 的扰动而言是稳定的或者不稳定的。其基本的处理方法是：假定是其基本流动 的解，对此加上一个小扰动“，将嘞+ 代入流动所满足的方程组，去掉满足 方程组的那些项，只剩一满足的扰动方程，再略去口及其二阶以上导数的量，就 得到口的线性偏微分方程。然后再讨论在什么条件下，随时间和空间而增大( 北京化工大学硕士论文 第一章 不稳定) ，或者是随之衰减( 稳定) 。这种方法当然也是适用于下述经典的b 6 n a r d 系统的。 标准的b 百n a r d 系统2j - 【”是考虑一个中间充满不可压缩的黏性流体的平行夹 层，在夹层的底部以恒温加热。由于流体黏性及重力的作用，当上下层面的温差 较小时，流体处于静止状态( 通常也称为基态) ，当温差持续增大并超过某一临界 值时流体就出现失稳产生热对流现象。在b o u s s i n e s q 近似8 1 假设下，通过无量 纲化后得到b 6 n a r d 系统在基态( 即流体处于静态时的解= 0 ， r = 一芦z + 瓦， ：! ! i 卫) 下，所满足的扰动方程o b e r b e c k b 。u s s i n e s q 方程组 f a ，一h 一页匆七+ h v 脚+ v p = o v 口= o( 1 1 ) 【p r a ，护一曰一瓦h 膏+ p ，“v 臼= o 其中七= ( 。，0 1 ) 7 ，r 为r a y l e i s h 数，n ( = 善 为p r a n d t l 数，口= “h w ) 7 ，口和 p 分别表示速度场、温度场和压力场所对应的扰动，它们有三种边界条件。在 这个问题中r a y l e i g h 数矗为系统控制参数。从而研究b 6 n a r d 系统的稳定性就转 化为讨论( 1 1 ) 式，这个非线性的偏微分方程组的解的稳定性。 对于非线性问题，可以采用推广的能量方法即l y a p u n o v 第二方法【8 h 1 1 】来研 究其稳定性。l y a p u n o v 第二方法是将传统意义下物理学中的能量加以推广，推广 后的能量可能目前无法解释其物理意义，但是利用这个能量却可以得到一些物理 上可以解释的结果。利用这种方法研究问题，主要是要构造出一个合适的能量泛 函。对非线性的b 6 n a r d 系统而言，l y a p u n o v 第二方法构造了一个如下的能量泛 函【，l ： e o ) = 去( 1 i 即1 1 2 + 户r l i 口0 2 ) ( 1 3 ) 利用这一函数沿着在基态下加微扰的方程对时间求导，经过推导可以得到一个有 关e ( r ) 的微分不等式。为了使系统能稳定，要求e ( r ) o ，这样我们得到e ( f ) 在 时间，趋于无穷大时要趋于零，由此我们得到系统控制参数r a y l e i g h 数应满足的 北京化工大学硕士论文第一章 条件。即求得临界r a y l e i g h 数如，使得当足 五) 。靠近底部的流体受热大，密度小于上面的流体， 6 北京化工大学硕士论文 第二章 由于浮力( = 动g r ，历为热膨胀系数，户为平均密度，g 为重力加速度， r = 瓦一互) 的作用，底部的流体有向上的趋势。但是流体的黏性和热散发能力 又来阻止这种上升运动。( 即s t a b 儿i z i n gf o r c e 辈，其中y 为运动黏性系数， 口一 为热扩散系数) 。如果r 较小，则黏性力起主导作用，因而流体处于静止状态 ( 通常称为基态，b a s i cs t a t e ) 这时流体内部只有热传导。但是当丁增大到某 个临界值时，浮力会克服黏性力的阻力而打破静止状态，进而出现流体的热对流 运动( t h e r 【i a lc o n v e c t i o n ) ，这种对流也称为b 岳n a r d 对流，这个系统就是标准 的b e n a r d 系统。 旱在1 9 0 0 年以前盹n a r d 等人就进行了这种热对流的实验。实验表明，当r 略大于某个临界值足时，流体出现定常流动。而且流动呈现出规则的流动图案 ( f l o wp a t t e r n ) ，这种图案呈柱形( c o n v e c t i o nr o l l ) 有时也出现其它图案： 正三角形、矩形或六角形胞腔。 图2 1 平行夹层流体图 由于不同的流体有不同的参数 和西，另外夹层间的距离d 也可以有不同 的值，这样r 的临界值就不同。r a y l e i g h 引入一个无量纲的控制参数r a y l e i g h 数，记为月， r ：型 y 七 它是用来描述浮力与黏性力之比的，与具体的流体无直接的关系。这样流体的控 制参数就变成r a y l e i g h 数r ，对于不同的边界条件有不同的尺的临界值疋。另外 定义p r a n d t l 数为丹= 二。 北京化工大学硕士论文第二章 我们假设在外力项中密度是温霞的线性函数，而在其它硕中为常数，同时兵 它流体参数不随温度变化，这就是所谓的b o u s s i n e s q 近似2 】”，且流体是不可压 缩的，则我们可以得到关于基态( 即流体处于静态时的解“= 0 ， 丁= 一卢z + 瓦， 卢= 里专旦) 的无量纲化后的扰动方程组，通常称为o b e r b e c k b 。u s s i n e s q 方程 组： f 或”一h 一页日j + “v h + v p = o v = o( 2 2 ) l m ，口一口一瓶七+ 尸v 口= o 其中 = ( 0 ，0 ，1 ) 7 ，r 为r a y l e i g h 数，p ，为p r a n d t l 数，= v w ) 7 ，口和p 分别 表示速度场、温度场和压力场所对应的扰动。 理论和实验分析表明该方程组在通常的实验条件下近似程度很好。 边界条件：流体夹层( o ，d ) 通过无量刚化后变为( 一圭，丢) 通常的边界条件有 以下三种： 口) 双固壁( r i g i d ) ：也称为无滑移边界条件。( 如图2 1 此时流体的上板表 面和下板表面是固定不动的，上下表面剪应力都为零。) 村= v = w = o ，三= 二( 2 3 ) 1 2 6 ) 双自由面( s t r e s s f r e e ) 。( 如图2 1 此时好比流体的上下板面不存在了， 流体上下表面切应力为零。) 也：吒= w = o ，z = 昙 ( 2 4 ) c ) 一个是自由面，一个是圃壁。 对三者口均满足： 口= o ， z = 圭 ( 2 5 ) 另外由连续方程v 群= o 易得对双固壁的情形还有a ：w = o ，z = 土昙；对双自 由面的情形有箧w = o ，z = 昙 8 北京化工大学硕士论文 第二章 2 3 线性稳定性分析 一个系统的稳定性分析一般是从线性稳定性开始，这里我们首先略去方程中 的非线性项球- v 和即v 目，线性稳定性分析又称微扰分析，因为这种线性近似只 有在扰动很小时才有意义。我们知道系统的稳定性是指对所有可能的微 ( i n f i n i t e s i m a l ) 扰动。对于这个问题的数学研究是首先假定扰动“，口，和p 在x 方向和y 方向以p = ( 一三，三) ( 一号，吾 为周期，其中卢分别称为墨j ，方向的波 数由于了旨曲”盹”，i = ( 墨，七2 ) 7 z 2 ( z 为整数集) ，在f ( p ) 上构成完备的标 准正交系。因此mv ，w 和口均可展成如下形式的f o u r i e r 级数： 厂( x ，y ，z ，f ) = 五( z ，f ) p 聃耽7 即任何一个扰动可表示为某些基本模( m o d e s ) 的迭加。我们只需要分析系统对所 有这些模是否稳定。这些模都有形式 妒( z ，f ) p 啦w 2 一 因系统的稳定性是对任何扰动，因而，我们必须考虑口和卢取任何实数的情形。 为了在方程( 2 2 ) 中消去压力项v p ，我们用算子“c “r f ”作用方程组( 2 2 ) 中关于盯的方程，若令f = i | c 州地则在不考虑非线性项的情况下有 堑：f( 2 6 ) 夙 即f 表示涡度( v o r t i c i t y ) 的第三个分量。 同理，再用算子“c “订c “，”作用于方程组( 2 2 ) 中关于的方程，则得第 三个分量应满足的方程为 昙w ：2 w + 豇2 目 ( 2 7 ) 西 于是由前面的讨论我们可分离变量，假设f ，w 和口有下列形式： f = z ( z ) p p 雕z 7 卜州 9 北京化工大学硕士论文 第二章 w = 矿( z ) 。，1 + 肋+ “ 口= 曰( z ) 8 ，”肌z 卅叫 其中盯为常数，可以为复数。把这些表达式分别代入( 2 2 ) ( 舍去h v 口) 得 ( d 2 一r 2 ) ( d 2 一r 2 一口) 矿( z ) = 雨2 p ( z ) 盯z ( z ) = ( d 2 一r 2 ) z ( z ) ( 2 8 ) ( d 2 一，2 一只盯) p ( z ) = 一瓦矿( z ) 其中r 2 = 口2 砰+ 卢2 蟛， d 2 = d 2 出2 。它所对应的边值条件为 z ( z ) = ( z ) = 矿0 ) = p ( z ) = o ，z = 去 ( 双固壁) z ( z ) = 矽( z ) = 弋z ) = p ( z ) = o ，z = 去( 双自由面) 二 ( 2 9 ) 显然，方程组( 2 8 ) 的第二个方程对所讨论的问题没有影响。因而我们只需要讨 论另外的两个方程和上述对应的边值条件组成的定解问题，即考虑方程组： ( d ：一r p 2 吖2 吖州爹压，) ( 2 1 0 ) i ( d 2 一r 2 一p r 口) 口( z ) = 一胄阡7 ( z ) 和边值条件( 2 9 ) 构成的本征值问题，其中盯为本征值问题的参数。基态的稳定 性取决于彘的符号。这里， 彘= m a x r 盱 ，其中r e 仃表示盯的实部 当磊 o 时基态不稳定，当彘 5 7 7 2 时流动才会出现失稳现象，但是当m * 1 0 0 0 时，实验中就已经可以观察到湍流的存在。同样在无滑移边值条件下，线性稳定 性分析绘出平面c o u e t t e 流对于任何的r e y n 0 1 d s 数都是稳定的，即此时的临界 r e y n 0 1 d s 数为r 巳= + 。但是当月e * 3 6 0 时，实验中流体的流动就已经出现不稳 定的现象了3 】 【1 2 】。研究人员将这种现象称为亚临界失稳现象。 线性稳定性分析的失败是否与线性化系统中算子的正则性有关，是不是当线 性化系统中算子正则时，线性稳定性分析的结果与实验结果相符；否则不相符。 由前面已经知道，髓n a r d 系统线性稳定性分析的结果与实验结果相符的，那么它 的线性化问题中的算子是否正则的呢，下面将对此进行讨论。 2 4 盯= o 时线性b 6 n a r d 系统的性质 容易证明仃没有纯虚值9 l ，且系统( 2 2 ) 无旋转时可以用盯= o 来描写临界稳 定性。当盯= o 时，方程( 2 1 0 ) 变 p 吖2 ) 2 叭z ) 2 墨2 酬力 ( 2 【( d 2 一r 2 ) p ( z ) = 一r ( z ) 其边界条件为 由( 2 1 1 ) 可得 ( z ) = d ( z ) = p ( z ) = o ，z = 去( 双固壁) 二 ( 2 1 2 ) ( z ) = d 2 渺( z ) = p ( z ) = o ，z = 土圭( 双自由面) ( d 2 一r 2 ) 3 矽( z ) = 一鼢2 形( z ) ( 2 1 3 ) 由( 2 1 2 ) ，和( 2 11 ) l 司得，边界为双崮壁时， ( d 2 一r 2 ) 2 矿q ) ：o ，z = 士昙 由( 2 1 2 ) ：和( 2 1 1 ) i 可得，边界为双自由面时， d ( ) 矿( z ) ：o ，= ：三， 北京化工大学硕士论文第二章 再由上式和( 2 1 2 ) ：以及方程( 2 1 3 ) ，可得 d 6 矿( z ) = o ，z = 当 然后，( 2 1 3 ) 式两端同时对z 求二阶导，并利用 d 4 ( z ) = d 6 1 ( z ) = o ，z = 圭 可以得到 d ( 8 ) ( z ) ：o ，z ：昙。 这样继续在( 2 1 3 ) 式两端同时对z 求二阶导，并重复上面的过程就得到，方程 ( 2 1 3 ) 式所对应的边界条件为 以下将对方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 在双固壁和双自由面两种边界条件的情况分 别进行讨论。 结论l 方程( 2 1 3 ) 当边界条件为双自由面时，令其本征值参数为 ，7 = 一皿2 ，则不同的本征值所对应的本征函数正交。这里的函数正交是指在p ( q ) 上的内积为零，即函数妒y ，z ，) ，( x ，y ，z ，f ) p ( 锄，其内积为 ( 仍p ) = p 妒d q = o 证明：当方程( 2 1 3 ) 所对应的边界条件为双自由面时，令其本征值参数为 ，7 = 一肌2 ，则叩均为实数，并取形，分别表示不同的本征值参数研，玑所对应的 本征函数。利用分部积分就有 ( 彬，杉) = 丘彬杉出 2 去乓呒( d 2 一，) 3 形出 2 去嘎衫d d 5 彤一廷衫3 r 2 d d 3 彬+ 垦衫3 一d d 嘭一鸟r 6 杉彬捌 lll l 勤 回 固 削 双 自 双 q 仉 力 m 形 ， 一 咻 矿 d 北京化工大学硕士论文第二章 ：上卜 d s 彬 玩j d 呒出一压3 r 4 d 形 2 1 d 衫出一丘r 6 影彬出】 2 2 寺【堕。4 彬。2 彬出一堕，2 。2 彬。2 杉出+ 琏s ，形，。2 衫出一堕，衫彬d z 】 = 寺卜建。3 彬彰出+ 连，r 2 。彬眵d z + 虐s r 4 彬。2 形d z 一虐r 6 彰彬蚓 。去c 堕。2 彬。4 衫出+ 廷，r 2 形，。4 呒出+ 睦s ，4 彬。 1 il1 l = 咀彬j d 6 衫出+ 丘3 r 2 彬d 4 衫d = + 丘3 r 4 形d 2 杉出一丘r 6 衫彬出】 ，i2 22。2 ；上 彬 研山j ( d 2 一r 2 ) 3 矿出 ：土 彬玩影d z 仇- j 。 = ( 彬，) 仇、 叫 其中矿表示矽的共轭。从而 又由于聃巩，就有 ( 哺一仉) ( 形，) = o 把，杉) = o 即不同的特征值所对应的特征函数正交。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 证毕。口 当边界条件为双固壁时，无法采用以上的方法得到同样的结果，在第三章中 将采用其它的方法对其进行讨论。 彬 3 d 2 如 。丘： +出 一形 d 出 形嘭 加 。旺=i： 一 i 一 2 d 北京化工大学硕士论文第三章 第三章0 b e r b e c k b o u s sin e s q 方程组的等价 转化及其相关算子性质的研究 3 10 b e r b e c k b o u s sin e s q 方程组的等价转化 为了消去o b e r b e c k b o u s s i n e s q 方程组( 2 2 ) 中的压力项，通常用投影算子 作用于方程，但是投影算子是非局部算子不便于研究解的具体性质。以下将利用 p 0 1 0 i d a 卜t o r o i d a l 分解对方程组进行等价转化。 对于( 2 2 ) 中无散度的矢量场即，由于它在x 和y 方向以p 为周期，从而有 如下的p o l o i d a 卜t o r o i d a l 分解 舻，7 训唑w 州泓+ ， ( 3 - 1 ) = 占p + s 妒+ ， 、。 其中占= ( a 。，a ，：) 7 ，2 = a ，2 + a ，2 ，占= ( a ，0 ) 7 ，= ( z ( z ) ，五( z ) ，五( = ) ) 7 仅 与= 有关，且工( = ) 为常数。却称为p 0 1 0 i d a l 项，占妒称为t o r o i d a l 项，称为 m e a nf l o w ，且在边界条件( 2 3 ) 、( 2 4 ) 和( 2 5 ) 下均有石( z ) = o ，函数伊，y 在 z 和y 方向以p 为周期，并且在p 上的平均值为o ( 即妒出妙= o ) 。将( 3 。1 ) 代入( 2 2 ) ，方程组( 2 2 ) 可以等价转化为方程组邮】 a ，口巾+ 彳巾一j c 巾+ ，( 巾，巾) = o ( 3 2 ) 其中+ ( 工，y ，z ) = ( 矿，矿，占，石，五) 7 ， 彳= 肚【；弓i ； 1 4 o o o o ( 句：) 北京化工大学硕士论文 第三章 非线性项m ( 巾，巾) 为 c = 彳( 巾，巾) 宣 o 0 ( 2 ) o o o 0 0o 0o 0 o o o d ( 【却+ e | 】f ，+ ，) v ( o 审+ 1 i c ，+ ，) ) 一占( ( 却+ 占y + 厂) v ( 却+ 占妒+ 厂) ) p “却+ f 妒+ ，) v 口 南( 却坩咖v ( 却坩吣蛐 南( 却w 缈) 呷( 却竹y ) z 蛐 这里( 却+ 占) 。，( 6 + 钟，) ：分别表示却+ 占缈在x 和y 方向的分量。( 3 2 ) 式所 瞄等慧麓篙c 。s ， 3 2h i b e r t 空间的选取 为了更好地了解方程组( 3 2 ) 解的性质，我们先讨论方程中矩阵算子的性质。 由于仍i c ，在p 上的平均值均为0 ，为了保证所讨论算予的是稠密的，必须选择适 当的h i l b e r t 空间，而在通常的h i l b e r t 空间r ( q ) 中，矩阵算子月，占涉及到的 作用于p ，5 f ，的算子2 ( 一：) ，( 一) ( ：) 等不稠密，因此无法讨论算子的自共轭性。 本文用矗( p ) 表示r ( p ) 内中值为。的函数全体所成的闭子空间，即 巧( p ) = 厂( 五川，r ( p ) 且j l ，( 工，y 妒= o ) 用( ( 一圭，丢) ，乓( p ) ) 表示映射，：( 一圭，圭) 专乓( p ) 的全体，用2 ( 一圭，争表示通 常的s o b o l e v 空间，刀( - ) 表示定义域。并且记 ) 2 0 o o o 一 ( o o o 0 o 咒= 州一圭，争，即) ) h “= 渺( 卜圭，圭) 乓( p ) ) 诧锄一拍 舻_ ，l 巾脚( 一挣堕，。) d z = 0 ) 贝n 妒，y h ”，口h 。 命题3 1 砖，州，h ”，甓，诧”均构成眦1 b e r t 空间。 证明：假设 z ) 是乓( p ) 中的任一基本列，则必有z r ( p ) ，( n = l ，2 ，3 ) ， 且z d p = o 。由r ( p ) 的完备性可知，必可r ( p ) ，使得热工= ，成立。当 h - + + 。时，在i 工d p = o 两边取极限，并利用内积的连续性可得i d p = o ，这 样就有，乓( p ) 。于是乓( p ) 是r ( p ) 的闭子空间，从而为h i l b e r t 空间 一般泛函分析教科书中都证明了，t 和诧为h i l b e r t 空间，由此出发并利用 乓( p ) 和r ( 一三，三) 的完备性易证爿“和谴”为h i l b e r t 空间e 证毕。口 在本文的讨论中，当边界条件是双自由面时，取h i l b e r t 空间为 何= 何m 咒村咒谴谴 当边界条件是双固壁时，取h il b e r t 空间为 日：“”m ”咒诧诧 函数仍肿纳机抑方向扪为周期且斋一位”脚 ( j f = ( 毛，女：) e z 2 ( 其中z 为整数集) ) ，是r ( p ) 上完备的标准正交系，因此对于 妒，e “”，口州均可展成如下的f o u r i e r 级数形式， 烈五弘力2 斋点，啾咖“4 邮啪 1 6 北京化工大学硕士论文第三章 吣川2 南；。毛。，驰矽h 盹y 吡删2 南荟啦矽p 隅 在考虑线性稳定性时我们去掉( 3 2 ) 式中的非线性项m ( 巾，巾) ，分离变量，令 巾( 工，j ，= ，r ) = p ( x ，y ，z ) p 叫，贝u a ，巾= 砷 我们仍用代替r ，+ 的分量仍用伊，妒，口，z ，正表示，这里的分量不依赖与“这样 代入方程( 3 2 ) 可得 盯b 巾+ 爿巾一页e 巾= o ， 盛嘉篡写丢篡 3 3 算子性质的研究 3 3 1 算子的定义域 ( 3 4 ) ( 3 4 ) 式中的算子( ) ( a 2 ) 在一，口中分别作用于具有不同边界条件的函 数，因而在两处是不同的算子。 利用上一节中的f o u r i e r 级数来描述算子的定义域， 2 ( - ：m 墨y 力2 南i 。丕 o ( 矿置2 + 2 如2 2 皇2 + 卢2 如2 一f ) 2 唯( 咖“口枷肋) 刀( 2 ( _ 2 ) ) = 尹l 唯( z ) 4 。( 一圭，争，对双自由面情形唯( + 三) = 唧”( 圭) = o ；对双固壁情形 ( 告) = 口i ( 与) = o 幢：毛：+ 声z 七2 ：) ：盎i 2 气2 + 2 屯2 一免2 ) 2 唧( z ) 1 2 出 + 。 二 i