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磨床砂轮修整器结构的有限元分析及优化的研究 摘要 有限元分折和结构优化等c a e技术的应用， 对缩短产品开发周期、 提高可靠性、降低 制造成本、 增强企业竞争力具有重要意义。 本文以 无锡的两套磨床砂轮修整器为研究对象， 利用大型通用有限元分析软件a n s y s 作为分析工具， 进行有限元建模和机械性能分析， 并 根据分析结果进行形状尺寸和结构的优化设计。 论文对无锡机床厂的两套磨床砂轮修整器分别进行了 有限 元建模分析， 并根据模型计算 分析结果对两种砂轮修整器进行了 优化设计。 为计算t z 6 0 磨床砂轮修整器的结构刚度， 先 将该修整器分解成回转头、 会转轴、回转座等结构， 分别进行了 建模和线弹性刚度计算。同 时为考虑轴承支撑对结构的刚度影响又根据传统的经验公式对轴承支撑的刚度进行了计算， 并在回转轴建模时将支撑刚度影响考虑进去。在计算无心磨床砂轮修整器的结构刚度时， 先 对上滑座、 导向 体和中拖板三部分建模， 并计算了 静态方面的 特性。 然后在修改导向 体模型 的 基础上， 进一步计算了 导向体的动态特性对导向 体进行了 模态分析和谐响应分析。 根据模型的分析结果和结构的薄弱环节对两种磨床砂轮修整器分别进行了 优化。在对 t z 6 0 砂轮修整器的优化中 对回转头增加了肋 板加强装置， 对回转轴部分， 进行了支撑和载 荷作用点位置优化。 对于 无心磨床砂轮修整器， 由于其建模计算结果表明该结构的砂轮修整 器刚度等机械性能不好， 对结构应做大的改变。 根据砂轮修整器的结构弱点以 及工作特点， 改进了 砂轮修整器的结构。 优化结果 表明， 改进后的结构优化结果非常显著达到了 优化的目 的。 关键词: 砂轮修整器、 结构优化、 有限元分析， 动态分析 i n v e s t i g a t i o n s i n f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s a n d o p t i m a l d e s i g n o f gr i n d e r w h e e l co r r e c t i o n s t r u c t u r e o f gr i n d e r ma c h i n e ab s t r a c t 丁 h e a p p l i c a t i o n o f f i n it e e l e m e n t a n a l y s i s a n d s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n e t c c a e t e c h n o l o g y i s s i g n i f i c a n t i n s h o r t e n i n g t h e p e r io d o f p r o d u c t i o n d e v e l o p m e n t , i n c r e a s in g t h e r e l i a b i l i t y , r e d u c i n g t h e c o s t o f m a n u f a c t u r e a n d i m p r o v i n g t h e e n t e r p r i s e c o m p e t it i v e a b i l i t y . t w o s e t s o f g r i n d e r wh e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e o f gr i n d e r ma c h i n e o f wu xi mac h i n e t oo l s c omp a n y l t d a r e r e s e a r c h o b j e c t . f i n i t e e l e m e n t m o d e l e , m e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e a n a ly s i s a n d s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n a r e r e s e a r c h e d i n t h i s p a p e r w i t h g e n e r a l f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s s o ft w a r e a n s y s . i n t h i s d i s s e rt a t i o n w e e s t a b l i s h m o d e l a n d a n a l y s i s f o r t w o s e t o f g r i n d e r w h e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e o f g r i n d e r ma c h i n e o f wu x i ma c h i ne t o o l s c o mp a n y l t d , d o s o m e o p t i m i z a t i o n f o r t h e t w o s e t g r i n d e r w h e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e a c c o r d i n g t o t h e c o m p u t i n g r e s u f . l n o r d e r t o c o m p u t e t h e s t r u c t u r a l r i g id i t y o f t z 6 0 g r i n d e r wh e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e , t h e w h o l e s t r u c t u r e i s d i s a s s e m b l e d i n t o r o u n d i n g h e a d , r o u n d i n g a x e s . r o u n d i n g f o u n d a t i o n f i r s t ly .t h e n e a c h m o d e l is t o b e e s ta b l is h e d ,a n d l in e fl e x ib il it y r ig i d it y c o m p u t e d r e s p e c t iv e ly . c o n s i d e r i n g t h e i n fl u e n c e o f b e a r i n g b o l s t e r t o t h e w h o l e s t r u c t u r e , t h e b r a c e r i g i d it y i s a l s o c o m p u t e d a c c o r d i n g t o t h e p r a c t ic a l f o r m u l a .t o c o m p u t e t h e s t r u c t u r a l r i g i d i t y o f g r i n d e r w h e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e o f c e n t r e l e s s g r i n d e r , t h r e e p a r t s o f m o d e l i n g f o r u p p e r b a s e f r a m e , p i l o t s t r u c t u r e a n d m i d p l a n k a r e e s t a b l i s h e d , a n d t h e n t h e s t a t i c t r a it i s c o m p u t e d . o n t h e b a s e o f m o d i f y i n g t h e p r o t o t y p e ,t h e d y n a m i c t r a i t i n c l u d i n g m o d e l a n a l y s i s a n d h a r m o n y a n a l y s i s i s c o m p u t e d a c c o r d i n g t o t h e c o m p u t i n g r e s u l t o f m o d e l i n g a n d t h e w e a k j o i n t w e o p t i m i z e t w o s e t o f g r i n d e r wh e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e . d u r i n g t h e o p t i m iz i n g o f t z 6 0 g r i n d e r wh e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e ,w e a d d t h e s t r e n g t h e n s t r u c t u r e o f r i b f o r t h e r o u n d i n g h e a d a n d o p t i m i z e t h e p o s it i o n o f b r a c e a n d i o a d . b e c a u s e t h e c o m p u t i n g r e s u l t o f g r i n d e r w h e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e o f c e n t r e l e s s g r i n d e r s h o w t h e b a d m e c h a n i c a l t r a i t o f s t r u c t u r a l r i g i d i t y , w e s h o u l d m o d i f y t h e s t r u c t u r e .a c c o r d i n g t o t h e s t r u c t u r a l w e a k n e s s a n d w o r k i n g t r a i t , w e o p t i m i z e t h e s t r u c t u r e o f g r i n d e r wh e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e . t h e r e s u l t o f o p t i m i z a t i o n s h o w t h a t t h e s t r u c t u r e o p t i m i z e d i s m a r k e d a n d a t t a i n t h e p u r p o s e o f o p t i m i z a t i o n g . k e y w o r d s : g r i n d e r w h e e l c o r r e c t i o n s t r u c t u r e，s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n , f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s , d y n a m i c a n a l y s i s 学 位 论 文 独 创 性 声 明六5 6 1 , 6 2 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中 作了明确的说明并 表示了谢意。 二、 价 弘 / 敬 石 :一 兰兰 止生士二日期 关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印 件和电子文档，可以 采用复印、 缩印 或其它复制手段保存论文。本人电 子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除了在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅， 可以公布 ( 包括刊登)论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登)授权东南大学 研究生院办理。 签 名 :导 师 签 名 : 油 乡 日期: 东南大学硕士学位论文 第一章 绪 论 1 . 1 有限元发展的现实背景及其应用价值 现代i业的进步， 完全得力于计 算机科技的突飞猛进，因此由2 0 世纪进入2 1 世纪，引导人类科 技再次的进步将是与计算机技术的结合的科技。 而计算机软件的应用与发展也得力于计算机科技的 进 步， 将计算机、 计算机软件用于 产品的开发、设计、 分析与制造。己 经成为近代工业提升竞争力的主 要方法。以c a d / c a e / c a m技术为核心基础的 先进制造技术已 成为当 前制造业发展的重要技术保证。 现在激烈的市场竞争要求产品设计制造更新快、性能价格比高，促使许多国家和企业都把发展 c a d /c a e / c a m拉术 作为制造业的 发展战 略。 我国曾 大力 推广c a d技术， 随着企业c a d应用的普 及，工程技术人员己 逐步甩掉图 板， 企业的 绘图 和造型技术水平得到了提高。 但是包括产品 性能设计分析和结构优化的c a e 技术的 应用还处于起 步阶段。 c a e的 技术种类很多， 这其中 包括有限 元法 ( f in it e e le m e n t m e t h o d: f e w ， 边界元 法 ( b o u n d a r y e le m e n t m e t h o d ; f d m) 等。 每一 种方 法各 有 其应用的 领域， 而其中的 有限 元 法 应用的 领 域越来越广， 现在己 应用于结构力学 ( 包括线性与非线性)、结构动力学、热力学、 流体力学、电 路 学、电磁学等， 而越来越多的发展更结合不同的 领域， 象流体与结构力学的结合，电路学与电磁学的 结合，使c a e的发展越来越迅速，应用也越来越广泛。 传统的工业皆依据个人的经验累计而成，同时以经验作出初步的设 计，再由 此初步的设 计去做出 原始模型， 再做出成品。成品完成后，便进行实验以 确保产品的可靠性， 而此种方法基本上 称为试误 法( t r y a n d e r r o r ) ， 即 初 级 成品 经 测试 不能 满 足工 程 或 质 量 的 需 求时， 再 回去 修改 原设 计图 ， 再 作试 品然后再作测试。 但此种方法费时且成本相当高。 若使用c a e ， 则在设计图 完成后即 连接c a e 。 作各 式各样的分 析，井且导入最优化 o p t i m i z a t i o n ) 成品，即可在短时间内完成产品。 依靠经验设 计和样品试验的设计方法， 产品开发周期长、 成本高，限制了企业c a d应用的效果。 因此在成功应用c a d后， 利用c a e 技术进行产品的 动静态性能的分析验证、调整和优化产品结构， 己 成为企业的当务 之急。这样才能进一步缩短产品的设计周期，降低制造成本、 提高产品质量和可靠 性，更 好地适应市场的变化， 增强企业的竞争力。 许多 程分 析问题，如固体力学中的位移场和应力 场分析、电 磁学中的电 磁场分析、 振动特性分 析、 传热学中的温度场分析、 流体力学中的 流场分析等， 都可归结为在给定边界条件下求其控制方程 常微分方 程或偏微分方程)的问题，但能用解析方法求出 精确解的只是方程性质比 较简单， 且儿何 边界相当 规则的少数问 题。对于大多数的工 程技术问 题，由 于物体的儿何形状较复杂或者问 题大的 某 些特征是非 线性的，则很少有解析解。这类问题的解决 通常有两种途径:一是引入简化假设， 将方程 和边界条件简化为能够处理的问题， 从而得到它在简化状态的 解。这种方法只在有限的情况下是可行 的，因为过多的简化将可能导 致不正确的甚至错误的 解。因 此，人们在广泛吸收现代数学、力学理论 的基础上， 借助于 现代科学技术的产物一一计算机来获得满足工程要求的数值解，这就是数值模拟技 术， 数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重要推动之一。目前 在工程技术领域内常用的 数值模拟 方法有:有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法， 但就其实用性和应用的广泛性而言，主 要还是有限单元法。有限单元法的基本思想是将问 题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点 连接。单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单， 易于 由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程 “ 组集”在一起而形成总体代 数方程组， 计入边界条件后即可对方程组求解。单元划分越细，计算结果越精确。 数值模拟技术通过计算机程序在工 程中得到广泛的 应用。 到8 0 年代初期. 国际上较大型的面向工 第 1 页 东南大学硕 七 学位论文 程的有 限 元 通用程 序达到儿百 种， 其中著 名的有: a n s y s , n a s 下 r a n , a s k a , a d in a , s a p等。 它们多 采用f o r 丁 r a n语言编写， 规模达到几万条 甚至几十万条语句， 其功能 越来越完善， 不仅包 含 多种条利 一 的有限元分析程序而且带有功能强大的前处理和后处理程序。由于有限元通用程序使用方 便、计算精度高，其计算结果己成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。 利用a n s y s 程序， 工程师们可以构造结构、 产品、 零部件或系统的计算机模型， 或将它们的c a d 模型进行转换， 对它们施加载荷或其它设计性能条件: 还可以 研究它们诸如应力水平、 m度场分 布或 电 磁场的冲击等物理响应。 在设计过程初期， 工程师们也可以 利用该 程序进行优化设计，以降低生产 成木。 这些过程使制造商们缩短了样机制造一一 测试一一 再制造这一研制周期，同时也避免了使用昂 贵的 产品余量设计。 在某些环境下样机的 试验是不方便的或不可能的， 而利用a n s y s 软件， 己 解决了 一 些这类问题， 包括在生物医学中的 应用， 如髓部移植、人工品体等。 其它代表性的应用包括重型设 备零件、集成电路芯片以及连续挖媒设各的钻头固定系统的设 计。 无锡机床厂是我国规模相当大的一家机床生产厂，其产品包扩车床、磨床、钻床、数控机床等各 类通川专用机床。其产品远销国内外。由于现代科技的迅猛发展，产品的生产周期越来越短， 产品的 加工精度要求也越来越高。一些传统的加工设备己不能满足现在的加工要求。磨床是无锡机床厂的主 要生产设 备之一。 磨削的 精度和质量越来成为产品 档次提高的一个瓶颈因索。 因此引入c a e 技术， 对 缩短产品 开发周期、 提高设备质量、 减少实物样品试验、 降低产品重量和制造成本， 提高企业效益具 有重耍意义。结合企业的产品设计和制造情况， 本课 题以 无锡机床厂的三种砂轮修正架为研究对象， 在考虑材料线弹性特性的条件下进行有限元建模和分析以 及结构优化，为产品的设计和试验提供依据 f l i 指导。 1 . 2 国内外有限元分析和结构优化的发展概况 随着有限元分析方法以及计算机软、 硬件的发展， 有限元分析软件及其与c a d系统的 集成逐步发 展成熟， 使得有限元分析方法在很多工程和科学研究领域得到) 一 泛应用。 1 9 4 3 年 r . c o u r a n t 首先提出离散化概念 将一个原来连续的整体剖分 ( 离散) 成为有限个分段 过续单元的组合，并第一次尝试应用三角形单元的分片连续函 数和最小位能原理相结合来求解扭转问 题。 1 9 5 6 年m .j .t u r n e r 和r . w .c l o u g h 等 人 用 直 接 刚 度 法 对飞 机 结 构 进 行了 受 力 和 变 形 分 析 ， 应 用当 时出 现的 数字计算机， 第一次给出了 用三 角形单 元求得复杂平 面应力问题的 解。1 9 6 0年r .w .c lo u g h 首次提出“ 有限元”这个名词，有限元法作为一种数值分析方法正式出 现于工程技术领域。1 9 6 5年 o .c .z i e n k i e w i c z 等提出了有限元法可以 应用于 所有能按变分 法形式计算的 场问题。 从 1 9 6 8 年开始， 很 多关于 有限元法的数学文献相继发表， 论证有限元法的 基本理论是逼近论，是偏微分方程及其变分形 式和泛函分 析的结合，并致力于估计各种单元类型离散 化的 误差、收敛速度和稳定性。1 9 6 9 年以 后. 有限元法在工程上获得了广泛的应用。 国际上早在2 0 世纪6 0 年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的 有限 元分析程序。 其 中 最为著名的是由 美国国家宇航局 ( n a s a ) 在 1 9 6 6 年委托美国 计算科学公司和贝 尔航空系统公司 开 发的n a s t r a n有限元分析系统。 7 0 到8 0 年代是 有限元分析软件蓬勃发展的时期，美国的a n s y s . a b a q u s . a d i n a 、 卜 d e a s , l s - d y n a . m a r c , s a p , 德国的a s k a 、 英国的p a f e c 、 法国的s y s t u s 等软件不断推出功能强大的新版本。有限元分析软件的 应用从结构分析拓展到各种物理场， 从线性分 析向非 线性分析发展， 从单一场的分析向 几个场的祸合发展。 9 0 年代后有限元分析软件发展更加成熟 在单元类型、非线性分析、 场分析、 优化设计和数值方法等方面有很大改进和增强外， 前后置处理功 能更加强大 和方便， 具备良 好的用户开发环境，同时还提供与c a d软件 ( 如p r o f e . u g等) 的接口 将c a d模型自 动转换为适于有限元分析的模型。 1 9 7 9 年美国的s a p s 线性结构静、 动力分析程序向国内 引进移植成功。 掀起了 应用通用有限 元程 第 2页 东南大 学硕士学位论文 序来分析计算f 程问题的高潮。1 4 8 1 年 a d i n a非线性结构分析程序引进，一时间许多一直无法解决 的丁 _ 程难题都 迎刃而解了。大家也都开始认 识到有限元分析程序的确是工程师应用计算机进行分析计 算的重要t . 具。1 多 企业和科研院所及高校开始引进国外商品 化软件或者白 行开发专用软件， 获得了 巨大经济和社会效益。但是，总的来说，国内的有限元分析应用还处于起步阶段，需要加强推广，提 高企业产品设 计的手段和技术水平， 增强产品的在国际市场的竞争力。 早 期的 最优 化方 法可追 溯到古典 微分 法和变分 法， 五 、 六十 年代发展起来的计 算机及计 算 技术和数 学规划 理论为优化设计的发展提供了 有利的手段和理论基础。 七十年代以 来，结构优化的理论和应用 飞 速发 展则是得益千结构分析理论与方法 ( 尤其是有限元理论)和各种实用的数值计算方法的发展. 有限元分析作为一种有效的力学分析手段， 其结果中的结构在外载荷下的力学响应量及其对设计变量 的导数都是结构优化必不可少的信息。 利用有限元分析， 结构优化设 计克服了以 往采用经验、 类比或 采用许多假设和简化导出的计 算公式进行结构设计在校核方面的诸多局限。 使结构设 计由消极的 校验 设 计变为主 动的改善设 计，即可以 根据结构使用和运行的 要求， 按照力学理论建立数学模型， 将有限 元分析技术与优化搜索技术结合起来，自 动地设计出 满足各种给定要求的最佳结构尺寸、 形状等，可 使得结构设计快速而较精确，从而大大缩短设计周期， 提高产品和性能。 结构优化设计的不同 层次中，目 前对于结构的截面尺寸优化问 题的研究已经较为成熟。 在截面尺 寸优化过程中， 有限元模型中节点的 位置及各单元的连接关系不变， 优化重分析过程中单元网格划分 不变，可通过选用数学规划方法或合适的力学优化准则法来解决问 题。 结构形状优化设计中 所涉及的 变量既包括尺寸变量又 包括形状变量，与尺寸优化相比， 其设 计空 问的 维数升高了，因而会得到更优的目 标函数值， 获得更大的效益。 形状优化由于 其巨 大的 潜在应用 背景而成为结构优化领域研究的一个热点。s o 年代以 来，随着有限 元网 格自 动划分和自 适应有限 元方 法等算法的发展， 许多 有限元分析软件 ( 如a n s y s . n a s t r a n . i - d e a s 等) 中加入了网 格自 动生成 和优化设计 模块， 具有了 基于参数的多种分析类型的形状优化功能。 1 . 3 本课题的主要研究内容和方法 本课题卞要是利用在c a e 领域1泛应用的的大型通用有限元分析软件a n s y s 作为分析下具，对 磨床的两种砂轮修整器进行刚性动态特性等机械性能有限元分析， 并根据分析结果进行形状尺寸 和结 构的优化设计研究，主要包括以下几个方面: 1 )对磨床 砂轮修整 器的结 构部 件进行模 型分析。 两种 种 砂轮修 整器的 结 构不 相同， 性能要 求也不 完全 一样， 但卜 况基本相似，因 此受力 情况也基本相似。 砂轮架的工 作 状况都是 砂轮在旋转的 同时 修整器 的金刚石笔修正砂轮。 2 )简化砂轮修整器在工况卜 的受力和约束， 建立能用a n s y s 系统进行处理的几何实体模型， 然后选 抒合适的单元类型进行自 动网格划分，并合理施加载荷和约束条作得到有限元模型。 3 )选 择解算 器计算模型的 机械性能参数。 总 结应力、 应变、 振动等各 项结果参数， 根据结 果参数 分析 修整器的薄弱环 .i v 4 ) 根据计算分折结果对砂轮修整器进行结构性能评估并进行形状尺寸优化设计。 第 3 页 东南大学硕士学位论文 第二章 弹性和结构动力学问题的有限元基本理论 2 . 1 有限元法概述 1 _ 程和 1 l 械结构的力学分析中，最后往往归结为在给定边界条件下求解某一微分方程。经典力学 的解析法在理论上是严密精确的， 但能用解析方法求出 精确解的只是少数方程险 质比较简单，且儿何 形状相当 规则和受力状?r 简单的问 题。 对于 实际工程中大多数较复杂的结构， 寻求解析解是非常困难 的， 往往是无法得到的。随着计算机技术的发展和广泛应用， 人们寻找和发展了另一 种求解途径 数值方法，e 匕 较常用的有有限差分法和有限单元法。 有限差分法 ( f d m , f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d ) ， 是将整个连续体划分为规则的差分网格 一般取等步长)， 用差分代替微分，将微分方程离散为差分 方程。有限差分法实质上是在求解微分方程时作数学上的近似处理，推导出的差分方程是对基本微分 方程的逐点 近似， 求解域划分成较多的节点时， 可获得工程上所要求的计算精度。不过，对于几何形 状不规则、 边界条件复杂的结构， 难于建立 表征整个结构力学特性的微分方程的情况下，就无法应用 有限差分法了。 有限单 元法 ( f e m , f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ) 则是在力学 模型 上 近似的 数值方 法。 将被 分析的 结 构直接离散化，使用最小 位能原理或虚位移原理等力 学基本理论求解。 有限单元法的基本思想是将连 续的求解区域离散为一组有限数量、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由 于单元能按不 同的联结方式进行组合，且单元本身又可以 有不同的形状， 因此可以 模型化几何形状复杂的 求解域。 有限单元法的另一个重要特点是利用在每个单元内 假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未 知 场函 数 单元内 的 近似函 数通常由 未知场函 数或 及其导数 在单元的各 个节点 的数值和 其插值函数 来 表达。 这样，未知场函数或及其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量 ( 即自由 度)， 从而使一 个连续的无限自由 度问 题变成离散的有限自 由 度问 题。 求解出 这些未知量，就可以 通过插值函数计算 出各个单元内场函 数的近似值，从而 得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目 的增加，或者随 着单元白 山 度的增加及插值函数梢度的提高， 解的 近似程度将不断改进。 如果单 元是满足收敛要求的， 近似解最后将收敛于精确解。 2 . 2 有限元法的计算步骤 在采用有限元法 ( 线弹性) 对结构进行分析计算时， 通常采用如下步骤。 2 .2 . 1结构离散化 结构离散化是把实际结构划分为有限个单元的 集合体， 相邻单元之间只在节点处互相连接在一起 传递力和位移，使力学模n u 变成离散模型。依据结构本身的形状和受力情况的不同采用的单元类型也 不同。单 元划分的疏密士要依据精度要求和计算机容量及其计算费 用来确定。通常在应力 集中的部位 以 及应力 变化比较剧烈的 地方. 单元宜划分的密一些，单元的大小要逐步过渡。结构离散化的主要内 容如下: ( 1 ) 简化化实际结构的几何图形。 确定计算简图 或计算模型 为了能进行解算。通常需要将实际工 程结构的几何图形进行简化。 简化包括: 几何形状、 尺寸、 约束 条件和载荷情况等都可以作适当的 简化处理。 ( 2 ) 选择单元类型， 将模型进行有限元分割 为了 计算模型 要选择单元类型。常用的单 元类型 有杆单元、 梁单元、 板壳单元、 体单元等等。 第4 页 东南大学硕士 学位论文 例如在 平面 应力问 题中 ， 最简单 . 最常用的单 元类型 是三角形 三 节点 单元。 假如已 选择了 这种 单元 类型， 就可以 用一 组网格把模型分成若干个三角形单元。网格的交点或单元的角点就是节点。每个单元有三 个节点， 把每个竹 点沿坐标轴的 位移取为基本未知数。 由于是平面问 题， 所以 每个竹 点有两个自 由 度， 所有节点都可以取为 铰接。 对于非节点上的外 载荷按静力 等效的原则移置到节点上去， 成为节点载荷。 任意一个单 元的角点必须同时是相邻单 元的角点， 而不能是相邻单元边上的内点。 这样就把结构连续 体离散成为由有限个单元和节点所组成的等效集合体。 有了 计算模型， _ 就可以 用处理杆系问 题的基本 思想来分析单元和结构特性。 ( 3 ) 结构离散化之后 对单元和节点分别进行编号 将结构离散化之后，把所有的单元及节点按一定 顺序分别进行编号，以 便进行计算。 编号 时单 元 号 和节 点号均不能有错漏或重复. 为了使求得的 面积不成为负值， 单元的节点号必须按逆时针转向 编号的顺序不影响计算结果， 原则上可以 任意编排。 但是为了节 省计算机内 存，减少计算时间，单元 中每个节点的编号与周围竹 点的编号应尽可能接近。 4 ) 定义单元 单元和竹 点分别编号后， 还要定义单元，且单元一经定义后整个计算中不允许 再改变。 最好把模 型分成内部单元和边界单元。 对于内部单元，单元节点的 位置可以是任意的。对于边界单元，为使计 算公 式简化格式统一起见，只准有一条单元边界处于 模型边界上。 对于弹性问题，可用于进行离散化 的单元类型有很多 计算中 选用何种单 元类型的问 题，主要考虑模型边界的几何形状、约束条件和对 计算精度的要求。 2 _2 .2 单 j g 分析 所谓单元分析， 就是建立各个单元的 节点位移和节点力之间的关系式， 即导出单元刚度矩阵。 单元 分析的具体步骤如 卜 : ( 1 ) 构造单元位移模式 单 元位移函数， 就是把单元中的任意一点的位移近似的 表示为那一点的坐标x 和y 的某种函数， 该 位移表达式就称作为单元的位移函数或位移模式，即 f , - ， 、 * ， 力 ， 二 ， ( x y ) ( 2 - 1 ) 、1、j -a m 单 性体受力 变形后的内部各点 位移变化情况是很复杂的。 但是， 根据数学理论， 在某一闭区间 的函数总可以用一 多 项式来近似描述。 在小单 元的区域内。 可以 假设 位移用坐标的某种多项式函数来 近似 ， 一 。 ( x , 夕 ) 一 。 、 十 a 2 x 十 a y + a 4 x 2 + a 5 划+ a y 少 v 一 v ( x , y ) = a , + a 2 x + a 3 y + a , x z + a s x y + a b y 2 ( 2 - 2 ) ( 2 - 2 ) 式 中 ， a , ， 凡， 一 ， a , ， 几， 二 ， 称 为 带 定 系 数 。 多 项 式 的 项 数 越 多 ， 就 越 接 近 实 际 位 移 形态。 但实际上项数的 选取要受到单元 类型的 制约。 这是因为多 项式的 带定系 数要由 节点 坐标和节 点 位移来确定。 所以一 般根据单 元的 节点 数目 来确定 所 选取的 多 项式数。 比如， 三角形三节 点单 元， 有三个节 点， 位移模式可 表示为: 第 s页 东南大学硕士学位论文 : 二 u ( x , y ) v ( x , y ) a , +a 2 x +a , y a 4 + a s x + a b y ( 2 - 3 ) 式 中 的 三 个 待 定 系 数a , 0 i , ， 气可 以 根 据 节 点 位 移 值。 ; ， 。 ! ， u . , 。 ， v ,求 出 。 最 后 代 入 式( 2 - 3 ) 并 写 成 用 一” 点 位 移 向 量 计表 达 的 矩 阵 形 式 为 : : 卜n f s ( 2 - 4 ) 式中矩阵仁 n l 中的元素与坐标和单元的形 状尺寸有关， 反映了单元的位移形态， 称为形函数矩阵。 形函 数矩阵【 叼中的元素n ， 为形函数， 就是说当i 节点发生单位位移时，函数n 就表示单元内部的位移分 布形状， 它是定义千单元内部的坐标的连续函数。 ( 2 )导出用节点位移表示的单元应变和单元应力表达式 位移与 应变的关系，就是弹性力学中几何方程中 所描述的。 ，;!leslesj “v 。一趾 ( 2 - 5 ) 。一即。一敌 刁一即 将式 ( 2 - 3 ) 代入 ( 2 - 5 ) 式，得 、 一 dnf,5 “ 二 b f s 0 ( 2 - 6 ) 式中，r e l 称为 应变 矩阵 或儿何 矩阵 ， 反 映了 单 元的 几何 变形 方面的 特性。 由 材料物理方程给出的应变与应力的关系式，并将式 ( 2 - 4 ) 代入， 得 ， 一 !d 二 ebis“ 一 s ip ) ,( 2 - 7 ) 式中，仁 别为弹性矩阵， 有物理方程确定， 它的元素只与材料的 弹性常数e , u 有关， 对一维单元即为 弹性常数e 5 1 为应力矩阵. 利用虚功方程建立单元节点力与单元位移之间的关系式即单元刚度方程 例 二 k f 9 ( 2 - 8 ) 式中， 月 为单元节点力向 量:i k i 为单元刚度矩阵， 只与几何尺寸和材料，而与外载荷无关，它的 表达式为 k r = 工 b i t d i b id v ( 2 - 9 ) 第 6页 东南大学硕 卜 学位论文 单元刚度知阵员有以下性质 ( a ) 刚度矩阵是对称矩阵 单元刚度kg 车 中的元素都对称于主对角线。 这个性质可以由弹性 力学中的互等定理得到证 明 ( 6 7单元刚度矩阵的卞对角线元素是恒正 值 因为 k ， 中的每一个 元素均为一 个刚 度系数， 其物理意义是: 若节 点发生单 位位移分量 其 它节点位移为零) 时， 所需施加节点力的分量。 而主对角线元素是正值， 这说明节点位移的方向 与施加节点力的方向是一致的。 ( 。 )单元刚度矩阵是奇异矩阵 即单元刚度矩阵的每一个元素之和为零， 单元刚度矩阵的元素组成的行列式为零。 其物理意 义就是:在无约束的条件下，单元可以 作刚体运动， 其位移是不定的。 ( d ) 单元刚度矩阵是仅与单元几何矩阵 b i 和弹性矩阵 d 有关 ( 3 ) 等效节点载v $ 在有限元分析中， 认为单 元与单元之间的 相互作用力是通过节点来传递的。 并以节点处力的 平衡条件来建立平衡方程。 所以 在整体结构离散化的过程中对于不直接作用在节点上的 外载荷， 必 须向 节点移植。 移植后的这个力就称作等效节点载荷。 外载荷向节点移植的基本原则是能量等 效原则，即作用在单元上的原载荷与移植后的节点外力在单元相对应的虚位移上所作的虚功相 等。 对于给定的位移函数， 移植的结果是唯一的。 非节点外载荷包括三类: 集中力、 面力和体力。 2 .2 . 3 整体分析 整体分析是 将原结构作为由 有限个单元组成的离 散结构来分析， 即 将各单元的节点力向 量和节点位 移向 量叠加到整个 连续体上。因为各个单元之间仅在节点处 连接， 单元之间的力通过节点传递。 根据 变形协调条 件，某节点的位移对于共有该节点的相邻单元来说是 相同的， 结构的节点平 衡条件是外界 作用在各个节点上的力和力矩等于各个单元在这些节点上的力和力矩之和，即 r = 叉 r = 艺 f = 艺 k s = k s ) ( 2 - 1 0 ) 此式称为总刚度矩阵方程式。式中( a为总节点载荷向 量， 它包括直 接作用在节点上的外载和不作 用于节 点的外载经移置到节点上的 等效节点载荷。由于叠加过程中，内部节点上的力和力矩属内力而 互相抵消， 只剩 卜 边界 i 点上的外载荷， 所以 为己 知量; 6 为籍个连续体所有节点位移向 量:仁 k 为 整个连续体总刚度矩阵， 它是将各单元的刚度矩阵 月 元素叠加组集而成。 在单元分析中己 指出 们 为已 知量， 所以 k 也为已 知了。为了 用总刚度矩阵方程求得节点位移的唯一解， 必须引入边界条件 即己 知的节 点位移， 并相应的修改方程组。 这样就可以 求出节点位移向 量中的 所有未知量。 根据式( 2 - 4 ) 和 ( 3 - 5 ) 就可以求得单元应变和应力以 及节点应力。 总刚度矩阵【 川具有对称性、 奇异性、带状稀疏 性等三个胜 质。 这三个性质对编制计算机程序， 求解线性方程组带来了 极大的方便，内 存容量的处理 人火 简便。由于矩阵的对称性， 在存储时就可以只存矩阵上三角内的元素，由于 矩阵的带状稀疏性， 矩阵里大部分元素都为零， 就可以 只存非零元素。 2 . 3 结构动力学分析中的有限元法 2 .3 . 1 动力方程 第 7页 东南人学硕士学位论文 在前而理论的阐述中，都没有把时间因素考虑进去， 载荷都是都是与时间无关的静载荷， 应力场 分 析 中 的 应 力 、 应 变 和 位 移 ， 都 只 足 位 置 ( x , y ) 的 函 数 ， 而 与 时 间 无 关 ， 这 些 都 属 于 静 态 或 稳 态 分 析 . 在有限元稳态分析中， 在下面的位移场函数 u c ( x , y ) = n (8 = y n , ( x , y ) b ( 2 - 1 1 ) 中 形 函 数 n , ( x , y , z ) 和 场 位 移 同都 只 是 空 间 位 置 坐 标 ( x , y , z ) 的 函 数 节 点 参 数 氏 不 随 时 间 变 化 ， 是 个常4 . .但是实际工程问题常常是受到随时间变化的载荷作用，例如，机床等机械设备中的零、部件 受到振动以 及机器在变工况运行过程 如起动过程)中， 常使零件产生较大的应力和温度梯度而导致 机械应力过人， 甚至损坏， 此时就要进行动力分析和瞬态热传导等瞬态场问题计算。 防着机器朝高 速、 人功率、高精密方向发展， 这类把时间因素考虑进去的 瞬态分析越来越引起人们的重视。 在有限元瞬 态分析中，就应该将场变量u 构造为 u ( ) ( x , y , t ) 一 艺n ; ( x , y ) s ( ; ) ( 2 - 1 2 ) u ( x , y , t ) 一 艺n , ( x , y , 1 ) 9 , 或者 ( 2 - 1 3 ) 式 ( 2 - 1 2 ) 所示的有限元模型中， 考虑一瞬时t 的问 题， 并且假设在这一瞬时和稳态分析一样， 形函数 n . 为 通 常 的 b k i数 ， 与( 2 - 1 ”式 中 的 n 一 样 ， 而 民 ( 1 ) 为 随 时 间 变 化 的 节 点 参 数 。 式( 2 - 1 3 ) 所 示 的 另 种仃 限元锐型中， 把问 题看成是一个四 维的空一时域中随时间 变化的问 题， 此时， 形函 数n包括 空间和时间， 认为形函数不仅由 静态位移的分布来确定( 取决于空间位置坐标) ， 而且 还受到时间t ( 或 颜率ft ) ) 的影响，即在空间和时间的全区域上离散，所以 成为时空有限元法。 通常只对时间离散， 所 以又叫时间 有限元法， 它能解决动态响应问 题 还能推) “ 到非线胜 动态响应问题上。 但是时间有限元 法导出 的方程不是对称正定的，并且方程的阶数也较高， 随时间间隔的增多， 方程阶数成倍增加， 所 以实用上 还有困难。目 前广 一 泛采用 ( 2 - 1 2 ) 所示的 有限元模型， 称为瞬时空间有限元法。 和静力分析一 样，对于弹性连续体进行动力 分析时首先也是离散化，把连续的求解域离散成有限 个单元和节点织成的单元组合体， 从而转化为对这些单元和节点进行动力分析