（应用数学专业论文）带变时滞markovian跳变中立系统的鲁棒控制.pdf

摘要 摘要 在工程实际中，动力系统总是存在滞后现象。从工程技术、物理、力学、控制 论、化学反应、生物医学等中提出的数学模型带有明显的滞后量，且滞后是系统不 稳定的重要因素。而中立型系统是一类重要的时滞系统，大量存在于工程实际中， 如涡轮喷气式飞机的引擎系统、薄的运动体的连续热感应现象、船的稳定性、微波 振子、传输线路问题中电压和电流的变动模型、化工过程中的双级溶解槽、人口免 疫反应以及血液中的血蛋白分布等。对于时滞系统控制问题的研究，国内外主要集 中于研究标准时滞系统的控制问题，而对于中立型系统的研究较少。这主要是由于 中立型时滞微分方程性态更加复杂，系统中差分算子较难处理，致使标准时滞系统 的多数结果并不能简单地推广到中立型系统。因此，研究中立型系统的控制问题有 重要的理论价值和实际意义。 时滞普遍存在于实际控制系统中，时滞的存在常常使系统不稳定或产生不良性 能，因此，研究变时滞中立系统的鲁棒控制更具有重要的理论意义和实际指导价值。 本文主要从时域角度，利用稳定性理论设计相应的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数，根据线 性矩阵不等式理论，研究几种常见的中立系统的鲁棒稳定性，所得的结果以线性矩 阵不等式给出，并利用m a t l a b 线性矩阵不等式工具箱进行系统仿真，用数值例子说明 所得结果的可行性和有效性。 经过理论分析、计算机仿真研究，可得本文所给出的鲁棒稳定性判掘对中立系 统进行控制是可行的、有效的。 关键词中立系统；鲁棒控制；5 算子；m a r k o v i a n 跳变；时间滞后；线性矩阵不等 式 河北科技大学硕士学位论文 ij q l 寓昌宣= 昌i a b s t r a c t i i l e n g i n e e r i n gp r a c t i c e p o w e rs y s t e m sa l w a y se x i s t sl a gp h e n o m e n o n i t c a l l a d v a n c e sam a t h e m a t i c a lm o d e lf r o me n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，m e c h a n i c s ，c o n t r o lt h e o r y ， c h e m i c a lr e a c t i o n s ，b i o m e d i c a la n ds oo n ，a n dt h e r ei so b v i o u sl a gi nm a t h e m a t i c a l m o d e l ，a n dt h el a gi sa ni m p o r t a n tf a c t o ri ns y s t e mi n s t a b i l i t y a n dn e u t r a ls y s t e m sa r ea n i m p o r t a n tc l a s so ft i m e d e l a ys y s t e m s ，i te x i s t sh e a v i l yi np r a c t i c e ，s u c ha se n g i n es y s t e m s o ft u r b o j e t p o w e r e da i r c r a f t 、t h ec o n t i n u o u sh o ti n d u c t i o np h e n o m e n o ni nt h i ne x e r c i s e b o d y 、t h es h i p 。ss t a b i l i t y 、m i c r o w a v eo s c i l l a t o r , t h ec h a n g em o d e lo ft e n s i o na n de l e c t r i c c u r r e n ti nt r a n s m i s s i o np r o b l e m 、t h ed o u b l ed i s s o l v i n gt a n ki nt h ec h e m i c a lp r o c e s s 、 p e r s o ni m m u n o r e a c t i o n sa n da l b u m i nd i s t r i b u t i o ni nb l o o da n ds oo n c o n t r o lp r o b l e mf o r t i m e - d e l a ys y s t e m sr e s e a r c h ，b o t ha th o m ea n da b r o a di tf o c u s e do nt h ec r i t e r i ao fc o n t r o l s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yp r o b l e m ，a n dn e u t r a ls y s t e ms t u d yl e s s t h i si sm a i n l yb e c a u s eo f n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r em o r ec o m p l e x ，i ti sd i f f i c u l tt od e a lw i t hd i f f e r e n c e o p e r a t o ri nn e u t r a ls y s t e m s ! s ot h er e s u l to ft h es t a n d a r dt i m e - d e l a ys y s t e m sc a nn o t s i m p l yb ee x t e n d e dt on e u t r a ls y s t e m s t h e r e f o r e ，t h es t u d yo fn e u t r a lc o n t r o ls y s t e mh a s i m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i na d d i t i o n ，t h e r ee x i s tt i m e - d e l a y si nt h ea c t u a lc o n t r o ls y s t e m s t h et i m e - d e l a y s o f t e nm a k es y s t e mu n s t a b l e ，a n db r i n gn e g a t i v ep e r f o r m a n c e t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n t t h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e a n dt h e p r a c t i c a l v a l u eo ft h eg u i d e h e r e ，b a s eo i lt h e l y a p u n o v - k r a s o v s k i if m j c d o n a lm e t h o di nl m it e c t m i q u e ，w es t u d y c o m m o nn e u t r a l s y s t e m sw i t ht i m e d e l a y s ，i n c l u d i n gt h er o b u s ts t a b i l i t y a tl a s t ，g i v et h er e s u l t si nt h e f o r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) ，a n dt h e n s i m u l a t es y s t e mu s i n gm a t l a bl m i t o o l b o x n u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ed e v e l o p e d t e c h n i q u e t h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i o n ，w ec a ng e tt h a t t h o s ea r e e f f e c t i v ea n da v a i l a b l et h a tt h er o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i ao fn e u t r a lc o n t r o ls y s t e mw h i c ha r e i n v e s t i g a t e di nt h i sa r t i c l e k e yw o r d s n e u t r a ls y s t e m s ；r o b u s tc o n t r o l ；d e l t ao p e r a t o r s ；m a r k o v i a nj u m pp a r a m e t e r s ； t i m e v a r y i n gd e l a y ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s i l 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 豚鹞 ， 沙吁年f 月棚 j 指导教师签名了。计隆 劢刁年歹月甥 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 坼保密。 ( 请在以上方框内打“ ) 学位论文作者签名 乃舅年厂月 【 指导教师签名： f 埘垣 p 多年f 月谚 第1 章绪论 第1 章绪论 在工程实际中，动力系统总是存在滞后现象。从工程技术、物理、力学、控制 论、化学反应、生物医学等中提出的数学模型带有明显的滞后量，且滞后是系统不 稳定的重要因素。而中立型系统是一类重要的时滞系统，大量存在于工程实际中， 如涡轮喷气式飞机的引擎系统、薄的运动体的连续热感应现象、船的稳定性、微波 振子、传输线路问题中电压和电流的变动模型、化工过程中的双级溶解槽、人口免 疫反应以及血液中的血蛋白分布等。对于时滞系统控制问题的研究，国内外主要集 中于研究标准时滞系统 5 c ( t ) = 厂( x f ax ( 1 - r ) “( ，) ) 的控制问题，而对于中立型系 s c ( t ) 一g x ( t h ) = f ( x ( o ，x ( t 一厂) ：“( ，) ) 的研究较少。这主要是由于中立型时滞微分方程性态更加复杂，系统中差分算子 d ( t x ，) _ x ( t ) 一g x ( t h ) 较难处理，：致使标准时滞系统的多数结果并不能简单地推广 到中立型系统。因此，研究中立型系统的控制问题有重要的理论价值和实际意义。 对中立型系统鲁棒控制有多种研究方法。一是运用变结构控制理论研究己知滞 后量的情形。但变结构控制方法耗能大，带来的抖振问题难以解决，因此它主要适 用于快变系统，而对于慢变系统的成果多数采用r i c c a t i 不等式给出，而更先进有力 的应用工具是m a t l a b 中的l m i ( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ) 工具箱。三是运用模糊控 制理论。在这方面的研究很少，尚待更多研究人员参与工作。 在自然科学和工程技术的研究中，许多现象都用微分方程作为他的数学模型， 这些问题实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的历史无 关。但是，事实告诉我们，许多事物的变化不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去 的状态，在这种情况下，微分方程就不能很精确的描绘客观事物了，代之而起的就 是微分差分方程，特别是带时间滞后的微分方程。 事实上，在缜密的考察之下便会发现，除了理想的情形之外，动力系统总是存 在滞后现象。从工程技术、物理、力学、控制论、化学反应、生物医学等中提出的 数学模型带有明显的滞后量。特别，在自动控制的装置中，任何一个含有反馈的系 统，从输入信号到收到反馈信号，必然有一个时间差，因此，用传统的微分方程去 描述系统的状态只是一种近似，必须符合精度的要求才行，否则将导致错误。随着 高技术的发展，在工程实际中不断提出新的控制任务，且对系统模型的要求以及控 制器的设计要求越来越高，滞后在系统中是普遍存在的，例如，化工系统，液压系 统，轧钢系统等都具有时滞，而且时滞是系统不稳定的一个重要因素，因而引起了 河北科技大学硕士学位论文 国内外学者对时滞系统的广泛重视。 1 1 时滞系统的应用背景及其研究意义 时滞微分方程有着广泛的应用，它涉及许多学科中的许多领域，如人口理论、 医学问题、生物学、经济问题、自动控制理论、物理学等等。下面给出几个用时滞 微分方程描述的系统： 例1 1n 1 在1 9 3 0 s 一1 9 4 0 ，s ，m i n o s r k y 在船的稳定性与自动驾驶的研究中，非常清 楚地指出了在反馈机械结构中考虑滞后量的重要性。1 9 3 5 年j t i n b e r e n 研究了造船 工业中的模型 戈u ) + b x ( t f ) = 占x 3 0 f ) 式中x ( t ) 表示，时刻的实有吨位数同预定值之差； f 表示建造一只船的平均周期； b 0 及占均为常数。 例1 2 眨e r g e n 在核燃料循环理论中遇至：o - y 时滞微分方程， 戈= 一，口( ，一“) g ( x ( “) ) 砌 其中x ( t ) 表示时刻，的中子密度。1 9 6 4 年j j l e v i n 和j n o h e l 对此进行了改进和研究。 例1 3 1 3 1 1 9 7 3 年w p l o n d o n 和j a y o r k e 研究了麻疹传播的模型为 s ( f ) = f l ( t ) s ( t ) s ( t - 1 2 ) 一s ( t - 1 4 ) 一2 ，】+ ， 式中 s ( t ) 表示在时刻r 无免疫力的个体数目； ，表示这个个体在人口所占的比例； p ( t ) 为人口特征函数； 常数滞量1 4 和1 2 是潜伏期的上限和下限。 例1 4 “1研究无损传输线连接问题时得到中立型模型 ，)，) 丘( f ) 一妇o 一二) = 厂( 砧u ) ，u ( t 一二) ) s s 鉴于时滞在系统中的普通存在性，且是系统不稳定的重要因素，加之许多时滞 系统是慢变系统，单纯利用补偿的办法并不能保证系统稳定，因此研究时滞系统有 很重要的理论意义和应用前景。特别，研究中立型时滞系统具有重要的理论价值和 实际意义。一方面，中立型时滞是一类更为广泛的滞后系统，大多数时滞系统都可 看作中立型系统的特殊情况；另一方面，许多时滞系统都可以转化为中立型系统来 研究，如无损传输线模型，标准时滞系统，标准分布时滞系统等。并且中立型时滞 系统大量地存在于工程实践中，如涡轮喷气式飞机引擎系统，一个薄的运动体的连 续热感应现象，船的稳定性，微波振子，人口免疫反应，以及血液中的白蛋白分布 世 可o 2 第1 章绪论 1 2 时滞系统的发展及其研究现状 时滞系统是由泛函微分方程来表达的，自1 9 5 9 年以来。无论是一般的泛函微分 方程或者是较具体的微分差分方程，其发展是非常迅速的，在解的基本理论、稳定 性理论、周期解理论、振动理论、解算子理论、分子理论等许多方面出现了重要的 成果。7 0 年代以来，无穷时滞和无界滞量的泛函微分方程也跟着兴起，发展非常迅 速。在我国，有些学者在文化革命前已开始注意到泛函微分方程这个方向，出现了 一些研究成果，秦元勋、刘永清、王联在1 9 6 3 年出版了专著带有时滞动力系统的 运动稳定性。文化革命这个方向的研究被中断，直到1 9 7 8 年在青岛举行第一届微 分方程会议，又开始重视起来。1 9 7 9 年在长沙举行了第一届全国泛函微分方程会议， 1 9 8 1 年在合肥举行了第二届全国泛函微分方程会议，1 9 8 4 年在峨嵋举行了第三届全 国微分方程会议，通过这三次会议，大大地促进了我国泛函微分方程的研究和发展。 8 0 年代中期以前，对时滞系统的研究只有零星的报道，到9 0 年代才逐渐热了起来， 出现了大量的研究成果。近两年，才有作者把时滞系统控制问题作为单独的章节著 述在控制理论的专著里( 如文献 5 7 ) 。 对于时滞系统，可从不同角度对其进行分类。根据系统中所含时滞的个数，可 分为单时滞系统和多时滞系统；根据时滞是否与时间有关，可分为常时滞系统和变 时滞系统；根据系统中函数的性质，可以分为线性时滞系统和非线性时滞系统：根 据时滞的表现形式，可以分为离散时滞系统和分布时滞系统等。 对于时滞系统的研究，有时域分析方法和频域分析方法。频域分析法，主要适 用于s i s o 时滞系统。借助准多项式族来分析参数不确定时滞系统的稳定性是一种重 要的频域分析方法。频域分析的主要研究成果可参见文献【8 】。虽然频域方法在控制 系统分析和综合中是非常有效的，但是很难处理具有时变结构不确定的时滞系统。 相比之下，在时域内分析时滞系统，就可以克服频域分析不能处理时变和参数摄动 的不足，而且时域分析方法简单、易于计算，从而成为时滞系统，特别是不确定时 滞系统稳定性分析和控制器设计的主要方法。 l y a p u n o v 方法是时域内对系统进行分析和综合的主要方法，分直接法和间接法 两种。直接法不通过解方程，而是应用线性矩阵不等式( l m i s ) 方法直接构造l y a p u n o v 函数( 泛函) 来判断系统的稳定性或者进行控制器设计。目前，m a t l a b 中提供了l m i t o o l b o x 软件包可供使用。因此，线性矩阵不等式处理方法受到了众多学者的青睐。 根据是否依赖系统中时滞的大小，可以将稳定性条件分为时滞无关和时滞相关两类： ( 1 ) 时滞无关的稳定性条件：在给定条件下，对所有的时滞h 0 ，系统是渐近 稳定的。由于这样的条件没有必要知道系统滞后时间的信息，因此适合于处理具有 不确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析。般而言，时滞无关的稳 定性条件比较保守，因为若系统满足时滞无关的稳定性条件，则对任意大的滞后时 河北科技大学硕士学位论文 间，系统都是稳定的。显然，这样的要求比较强，特别是对于小时滞系统。但是， 这种条件也有其自身的优点：首先，这种条件在表述形式上比较简单；其次，可以 允许系统的时滞是不确定的或未知的，从而没有必要确切知道系统时滞的信息。关 于这方面的研究始于二十世纪初，现在其理论成果已经比较成熟。 ( 2 ) 时滞相关的稳定性条件：在给定条件下，对滞后时间h 的某些值，系统是稳 定的，而对滞后时间h 的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳定性依赖 于滞后时间。一般认为，时滞相关稳定性结果比时滞无关稳定性结果具有更低的保 守性。然而，现有的时滞相关稳定性结果在某些情况下仍然太保守。特别是当应用 于一个与时滞大小无关的稳定系统时，目前使用的时滞相关稳定性研究方法常常得 到非常保守的结果。时滞系统时滞相关稳定性分析和控制器设计的保守性可由所允 许的时滞大小或者相应性能指标的界限来量测。 时滞系统的稳定性分析方法主要有三种：l y p a n o v 第二方法；代数方法；分析 方法。其稳定性条件，根据是否依赖系统时滞的大小，可以将其分为时滞独立和时 滞依赖两类。 ( 1 ) l y a p u n o v 第二方法：l y a p u n o v 第一方法涉及寻找系统特征方程根的问题，对 于简单系统来说可以实现。而时滞系统大多具有无限谱，特别对于中立型系统来说 存在具有无限不稳定谱的中立型时滞系统，研究起来非常复杂。而应用l y a p u n o v 第 二方法不需要求特征方程的根，只要选取适当的l y a p u n o v 泛函，直接应用系统状态 空间方程就可得到使系统稳定的充分条件。 在时间域中研究参数不确定系统的鲁棒分析与综合问题的主要理论基础是 l y a p u n o v 稳定性理论，早期的一种主要方法是r i c c a t i 方程处理方法。尽管应用求解 r i c c a t i 方程处理方法可以给出控制器的结构形式，便于进行一些理论分析，但是在 实施这些方法之前，往往需要设计者确定一些待定参数，这些参数的选择不仅影响 结论的好坏，而且还会影响问题的可行解。现有的r i c c a t i 方程处理方法中，还缺乏 寻找这些参数的最佳方法，因此参数的这种人为确定方法给结果带来很大的保守性。 另一方面，r i c c a t i 型矩阵方程本身的求解也存在一定的问题。 目前存在很多求解方法，但多为迭代法，这些方法的收敛性并不能够保证。 2 0 世纪9 0 时年代初，随着求解凸优化问题内点法的提出，线性矩阵不等式再一 次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问题可以转 化为一个线性矩阵不等式的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸 优化问题。1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的l m i 工具箱，从而使 得人们能够更加方便和有效地来处理、求解线性矩阵不等式，进一步推动了线性矩 阵不等式方法在系统和控制领域中的应用。这给l y a p u n o v 第二方法提供了强有力的 研究工具。 4 第1 章绪论 由于l y a p u n o v 方法的充分性，所得结果优劣常常取决于l y a p u n o v 函数选取的 好坏。其结果主要由r i c c a t i 矩阵不等式或线性矩阵不等式给出。如文【9 1 2 只是 把时滞作为非线性扰动讨论了线性系统的稳定性问题，利用r i c c a t i 矩阵不等式或者 线性矩阵不等式给出了系统稳定的充分条件，并对扰动界进行了估计。文 1 3 1 4 利 用对线性时滞系统的变换技巧，基于r i c c a t i 矩阵不等式得到了一些时滞相关性稳定 性判别准则。 ( 2 ) 代数方法：代数方法即频域响应法，是基于l y a p u n o v 第一方法的。即对于时 不变系统，若系统的所有特征值位于复平面的左半平面内，那么该系统是渐近稳定 的。也就是说，要求系统的所有特征值有负实部。如文 1 5 2 0 ，其中文【1 5 】推广了凸 方向的概念，并利用基于凸方向概念边界理论构造超越多项式( 时滞系统的特征多项 式) 的测试集。文 1 6 n 用频域法讨论了使系统稳定的滞后量的界。文 1 7 【1 8 给出了 保证线性时滞系统稳定的最大滞后区间的计算方法，得到了使系统稳定的一个充分 必要条件，说明了当前状态系数矩阵稳定，以及当前状态系数矩阵与滞后状态系数 矩阵的和矩阵稳定是系统稳定的必要条件。文 1 9 研究了线性时滞系统三种模型变换 产生的附加动态的一些性质。文【2 0 凭借l y a p u n o v 稳定性理论、r a z u m i k h i n - t y p e 定 理、g e r s g o r i n 定理( 矩阵的对角占优的特征值定理) 、谱半径概念以及矩阵可测技巧 研究了具有结构性扰动时滞系统的d 稳定性。 频域响应法研究时滞系统复杂而困难，有很大地局限性。若考虑标准线性时滞 系统 戈( f ) = a x ( f ) + 4 x ( t - r ) 的渐近稳定性，必须解特征方程 d e t ( 2 1 一a - a l e 卅) ： 而这是一个超越方程，要得到它的解是非常困难的。对中立型系统来说，特征方程 更为复杂，何况存在无限不稳定谱的中立型系统。 p o n t r y a g i n 稳定性方法多时滞系统的特征方程可以被写作 厂( z ) = # k = 0 j - - 0 在l s p o n t r y a g i n 的基础上，r b e l l m a n 和k l c o o k e 描述了如此超越方程的解。这 种方法取决于主要项的存在性，如果= o ，系统不稳定。如果a n m 0 ，分离 f ( i c o ) 为虚部和实部，即 f ( i c o ) = 办( 缈) + i g ( c o ) 假定+ 0 ，那么拟多项式是稳定的当且仅当h ( c o ) 和过g ( c o ) 有交错的实根， 且对于所有实的，不等式 g ( ) 乃( 国) 一g ( c o ) h ( 彩) 0 河北科技大学硕士学位论文 成立 1 6 ，而分解后的超越方程h ( c o ) = 0 和g ( c o ) = 0 的寻根问题，用分析的方法是不 可能实现的，只有利用数值的方法去解决。 t h o w s e n 方法 2 0 】是将超越特征方程转化成非超越方程，且非超越方程的纯虚 根也是超越方程的根。但是此方法只适用于简单系统。 测试法 1 6 1 r 口考虑有限个拟多项式的凸壳 ， f = 厂( z ) = h 彳( z ) l 朋o ，7 = 1 ，2 ，人，；朋= 1 ) i = 1 1 = 1 其中顶点拟多项式石( z ) 的结构如彳( z ) = a p ”，且每一拟多项式有主要 k = 0j o 项。因此，这个拟多项式族的每一元素是时滞系统或者中立型系统的拟多项式。问 题就是寻找一个蕴含原族f 稳定的稳定子族。然而，即使找到了测试集，其测试集 的元素的稳定性也难以判断，所以此方法只适用于少数特殊的时滞系统。 w a n g 方法1 2 0 】是l y a p u n o v 第一方法的改进。其理论说明即使系统有一些特征 根落入复平面的右半平面，系统也可能是稳定的( 但不是渐进稳定的) 。事实上，只要 这些特征根落入由系统矩阵决定的右半平面的一个有界区域外即可。这个方法也局 限于一阶系统。 ( 3 ) 分析方法：文 2 2 2 9 运用了分析的方法，其中文 2 2 讨论了离散时滞系统 的滞后无关性指数稳定性。文 2 3 考虑了一类单输入单输出时滞系统，给出了一种估 计滞后量大小的算法。文 2 4 1 1 2 5 1 1 3 0 研究了不确定时滞系统与时滞量的大小相关的 稳定性条件，在当前状态矩阵与滞后状态矩阵的和矩阵稳定的条件下，给出了系统 渐近稳定的滞后上界。文 2 6 给出了非线性时变系统稳定的滞后无关性条件，并且对 解的衰减速度进行了估计，文3 1j 利用泛函分析的方法讨论了线性时滞系统的口一 稳定性，进而得出了非线性时滞系统的口一稳定性判据。 对于非线性系统而言，l u r i e 控制系统是一类非常重要的系统，八十年代有许多 学者致力于无时滞l u r i e 控制系统的研究，如今其理论已日趋完善。进入九十年代中 期有极少数学者将目光转向时滞l u r i e 控制系统的绝对稳定性研究，这无疑给l u r e i 控制系统的研究带来了生机和挑战( 如文 2 7 3 6 】) ，然而还没有人将其引入中立型系 统。 中立型泛函微分方程的发展相对滞后，结论较少。这主要由于中立型泛函微分 方程中差分算子d 较难处理，使这类方程解的性态更加复杂。1 9 7 0 年c r u z m a 【3 7 】 和h a l e j k 瞄7 j 共同提出了中立型泛函微分方程，得出了与时滞泛函微分方程平行的 基本理论和稳定性理。 6 第2 章中立型系统的基本性质 第2 章中立型系统的基本性质 本章概述了中立型系统解的整体存在性、唯一型、连续性和光滑性；以及中立型 线性系统特征方程的性质；中立型系统的r a z u m i k h i n 型定理；时滞系统的模型变换 及其稳定性。 2 1 中立型系统解的基本结果 设c ( - r ，o ，r ”) 表示将区间 一r ，0 映入r ”中的连续函数所组成的具有一直收敛 拓扑的b a n a c h 空间，简记为g t o 对于矽g r ，其范数定义为恻i = 曩惑 矽( 口) i ， 其中h 为中的范数。如果乇er , a 0 , x e c ( t o - r , t o + 口 ，r ”) ，则对任一te t o ，t o + a ， 定义 x ，( 目) = x ( t + 9 ) ，目 一f ，0 】 那么g r o 中立型系统按照时滞微分方程的提法应为 戈( r ) = f ( t ，x t ，毫) 其中厂：皿e ，r g ，r 一只”，毫e f ，由戈，( 9 ) 2 丢x ( f + p ) 所定义。对于这类方程 满足初值条件 茎。；口0 ；三；，护c 一丁，。，i 屯( ) = 痧( 秒) 。 的解一般是不连续的。所以，1 9 7 0 年m a c r u z 和j k h a l e 提出了一种特殊的中立 型泛函微分方程 豪d ( f ，一) = 凡，五) ，t t o ( 2 1 ) 初值条件为 弋( f ) = 驴( 秒) ， v 秒卜f ，0 】 ( 2 - 2 ) 考察中立型方程式( 2 1 ) ，设q 是欠e ，中的一开子集，d ，f 为q 专r ”的连 续泛函，d 在0 处是原子的。典型的算子d 定义为 d ( ) 2 ( 0 ) 一g 矽( 一f ) ， 矽e ，( 2 - 3 ) 这里g 为常数矩阵，且g r 啪。 如果存在岛r ，口o ，z c ( t o f ，岛+ 口 ，欠”) ，并且x ，在区间 ，t o + 口】上满足方程 河北科技大学硕士学位论文 式( 2 1 ) ，则称x 是方程式( 2 1 ) 的解。对于给定的( t 09 ) q ，若方程式( 2 1 ) 的解x ( t o ，伊) 满足初值条件式( 2 2 ) ，则称x ( f 。，c p ) 为方程式( 2 - 1 ) 的初值解。 定理2 1 ( 局部存在性) 对于任意的( t o ，矽) q ，且d ( t ，矽) 对矽的二阶f r e c h e t 导 数连续，则中立型系统式( 2 1 ) 存在过( t 0 , 妒) 的解。 目前，方程式( 2 1 ) 关于一般性的泛函d ，尚无解的整体存在性结论，但对于 很特殊的情况，即d ( t ，矽) ，f ( t ，矽) 关于都是线性的情况，文献 3 8 给出了方程式( 2 1 ) 解的整体性的一个结果。特别对于中立型自治系统，文献 3 9 给出了解的整体存在性。 定理2 2( 整体存在性) 线性中立型自治系统 一 d ( r ，) = ( ) ( 2 - 4 ) 口z 式中，d ，为q 一足”的连续泛函，且d ( 痧) 在o 处是原子的，则方程式( 2 4 ) 对任意的矽c m 在 - r ，) 上的解存在。 定理2 3 ( 唯一性) 若f ( t ，矽) 在口中的紧集上对矽满足l i p s c h i t z 条件，则对任 何( t o , 缈) q ，方程式( 2 - 1 ) 过( t o , 妒) 的解是唯一的。 定理2 4 ( 连续依赖性) 假设q r c 。，为开集，人为某b a n a c h 空间中的一 子集，d 和厂：s 2 x 人一r ”满足以下条件： ( 1 ) 对每个五人，d ( t ，名) 在。处为原子的，关于五人一致地成立，且比( f ，矽，名) 在力上连续，关于五人一致地成立： ( 2 ) 对每个名人，d ( t ，力) 与f ( t ，五) 在( t o ，c p ) c 2 连续；对每( f ，矽) 力：d ( t ，矽，力) 与f ( t ，矽，旯) 在( ，矽，z o ) 连续； ( 3 ) 方程鼍d ( ，x t ，厶) = 厂( r ，誓，氐) 在区间 气一f ，】上存在过( ，妒) 的唯一解，则存 “f 在( f ，矽，气) 的一个邻域n ( t ，c p ，z o ) ，使得对于任何的( f ，9 ，五) n ( t ，气) ，方程 彳 d ( r ，t ，旯) = 厂( f ，五，旯) 口z 在区间 r - - c ，用上存在过( r ，) 的解，且当 t o f ，纠，( f ，伊，五) n ( t ，伊，厶) 时， 薯( r ，伊，五) 在( f ，t ，缈，厶) 处连续。 中立型泛函微分方程的光滑性与标准时滞微分方程是完全不同的，这是由于下 述原因所致。 假定d ( t ，x t ) = x ( t ) 一g x ( t r ) ，由于初值条件通常是任意的，也就是说， i t ( t o + ) 矽( 气一) = i t ( t o 一) 即解x ( t o ，劝的一阶导数在，- - t o 不连续。又 i t ( t o + ) = j i 观 a i c ( t o f + 乃) + ( + j l z ，民+ ) 】 一- - 1 0 8 第2 章中立型系统的基本性质 而通常 矽( f 0 一) ( 一r ) + f ( t o ，吮) 如果考虑解x ( t o ，缈) 在kt o + f 的导数，因为j c ( t o + ) x ( t o 一) ，于是 文( ( r + f ) + ) = ! i 1 犟 6 戈( + h ) + f ( t o + f + 五，+ ，+ ) 文( ( f 0 + f ) 一) 疗- - u 从而归归纳得出结论：不论初值函数缈多光滑，如果解x ( t 。，c p ) 的一阶导数在 f = 岛处不连续，则解x ( t o ，妒) 的一阶导数在所有t = l o + k r ( k 为大于1 的整数) 处不 连续。 如果初值函数矽满足 ( 一) 矽( 岛一r ) + f ( t o ，谚。) 那么解x ( t o ，伊) 的一阶导数在所有t = t o + 打( k 为大于1 的整数) 处连续。 2 2 特征方程的性质 对于中立型线性系统 兰 x ( o - a x ( t - r ) = k ( ，) + a 1 x ( t f ) ( 2 5 ) “ 。 特征方程为 d e t s ( 1 一e - r r g ) 一爿一4 p ”7 】= 0( 2 - 6 ) 定理2 5 0 4 0 1 如果矩阵g 的所有特征值不等于0 ，则对于式( 2 6 ) 的所有零点s k ， 存在口和，使得 a 【 r e ( s 女，) 如果存在式( 2 - 6 ) 的零点序列 s k ) ，使得i & i _ + o o ( k 寸+ ) ，那么就存在 d e t ( 1 。一e - a 7 g ) = o 的零点序列 五) ，使得i 五i+ o o ( k 一佃) ，那么式( 2 5 ) 就存在零点序列 & ) ，使得 ( s 一五) 一+ o 。( 七哼+ o o ) 。 上述定理说明了存在这样的中立型系统，它的特征方程有限个具有正实部的根， 这是完全不同于标准时滞系统的。 2 3 r a z u m i k h i n 型定理 定义2 1 若v s o ，使得对给定( 任意) 的满足恸| o ，v ( s ) o ，c o ( s ) o ，u ( o ) = v ( o ) = c o ( o ) 若存在连续函数v ：r e ，专r ”，使得 ( 1 ) “( 归( 酬) v ( t ，矽) v 驰f 1 ) ； ( 2 ) 矿( f ，矽) 一国( | l 聊( o ) l i ) ； 那么中立型系统式( 2 1 ) 的零解是一致稳定的。 如果当j 0 0 时， ”( s ) 一0 0 ，则中立型系统式( 2 1 ) 的零解是一致有界的； 如果当s 0 时，彩( s ) 0 ，则中立型系统式( 2 1 ) 的零解是一致渐近稳定的。 注2 1 如果v ( t ，) 的上界由矿( z ，矽) 一缈( 慨o ) l i ) 给出，定理的结论仍成立。 假定中立型系统能表达成 ， x ( r ) - g x ( t - r ) = g ( f ，) ，f t o ( 2 - 7 ) “f 有初值函数式( 2 2 ) ，且存在一连续函数h ：_ r + ，使得 i y ( t ) - g ( t ，薯) f i 向o ) ，f 岛 ( 2 8 ) 且 只。( 臼) = 伊( 秒) ，乡 一f ，0 ( 2 - 9 ) 记 1 0 第2 章中立型系统的基本性质 z ( t ，g t ) = x ( t ) 一g ( t ，x ，) ，( z ( t o ，y ) = j ( f o ) - g ( t o ，v ) ) 若矿：rxe ，xc , 。，一r ”是连续的，x ( f 。，妒) 是中立型系统式( 2 7 ) 满足初值条件式 ( 2 2 ) 和式( 2 8 ) 的解，则定义 y ( f ，z ( r ，矽) ，矽) = l i ms u r , +v(t z ( t 一o ，7 + 办) ，+ 。( t o ，痧) ) ，+ 。( t o ，矽) ) 一v ( t ，z ( t ，矽) ，矽) 基于上面的定义有下述结论。 定理2 7 1 4 1 1 假定式( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 的解是稳定的，厂：r xc ，一r ”有界 ( e ，触宅”的有界集) ，v ( s ) ，c o ( s ) , n “( s ) 是连续的非负不减函数且满足当 j 0 时，u ( s ) 0 ，v ( s ) 0 ，c o ( s ) 0 ，u ( o ) = v ( 0 ) = o a ( o ) 。 若存在连续函数v ：rxg ，xc , ，一掣，使得 ( 1 ) z ，( 1 | z ( f ，) i i ) v ( t ，z ( t ，) ，) ，( i l 1 1 ) ； ( 2 )矿( f ，z ( r ，矽) ，矽) o ( 或者矿( f ，) 一国( f i 痧( o ) 1 1 ) ) ； 那么中立型系统式( 2 1 ) 的零解是渐近稳定的( 或是一致稳定的) 。 注2 2 另一种不同的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函构造方法是使其含有x ，的导数的信 息，即v = v ( t ，x ，戈，) 。这时函数空间g ，的定义必须相应做调整，且函数的范数最 简单的定义就是： q2 一器胍) l l ，| | 文( 刚) 盼 2 4 时滞系统的模型变换及其稳定- i 生 研究中立型时滞系统的意义不仅在于中立型系统在实际工程问题钟头的存在 性，而且在于许多时滞系统可以转化为中立型系统来研究，比如标准时滞系统，无 损传播模型等均可以转化为中立型系统。 2 4 1 标准时滞系统的模型变换 对于标准线性时滞系统 x ( t ) - - a x ( t ) + a , x ( t - r , ) ( 2 - 1 0 ) 可转换为中立型系