（应用数学专业论文）不变集和自相似测度的研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 不变集和不变测度的性质是分形几何的两个重要的研究方向，本文讨论了几 个这方面的问题。主要是以下三方面的工作 第二章讨论了一类迭代函数系统的不变集的一致完全性。证明了r 上的双 l i p s c h i t z c “。压缩映射有限族的不变集若不是单点集，则是一致完全集，并且 其h a u s d o r f f 维数大于零。 第三章讨论了b e r n o u l l i 卷积的推广，考虑集合q = n 五”：儿s ) ，其中 n = 1 s = q ，q ) c o ，n 1 ) ，0 l ，口l = o ，a l = n - l 。q 是迭代函数系统 l ( z ) = 旯0 + q ) ) ：，的不变集。记一2 q “- - 0 t ( f 1 一，一1 ) ，d 2 m a x _ x d , ，本文证 明了当旯- i 鲁万时，= 。，号三芋】：然后，对于l e s 的情况，对映射族加 以扰动，得到测度胁，。，证明了当固定 e ( ，i 牟五) 时，对于几乎所有的 日( o ，1 ) ，测度胁。关于l e b e s g u e 测度绝对连续。 最后讨论了一类推广的自相似测度的性质，证明了如果关于l e b e s g u e 测度不奇异，则必关于l e b e s g u e 测度绝对连续，且l e b e s g u e 测度在不变集k 上的限制关于绝对连续。接着给出了的f o u r i e r 变换的渐进性质的上界估计。 关键词：不变集，b e r n o u l l i 卷积，自相似测度，h a u s d o r f f 维数，一致完全性， f o i j r i e r 变换 浙江大学硕士学位论文 a b s i r a c t nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s s e ds e v e r a ls u c hp r o b l e m s p r i m a r y n c l u d i n gt h et h r e ea s p e c t s f i r s l | y ，t h eu n i f o r mp e r f e c t n e s so f ac l a s so fa t t r a c t o r si s d i s c u s s e d l e tkb et h ea t t a c t o ro faf i n i t ef a m i l yo fb i l i p s c h i t z a n dc 1 ”c o n t r a c t i v em a p so na ，t h e nkm u s tb eap e r f e c ts e to ra s i n g l e - p o i n ts e t a sa na p p l i c a t i o n ，w h e n ki s n tas i n g l e p o i n ts e t i t sh a u s d o r f fd i m e n s i o ni sp o s i t i v e t h es e c o n ds u b j e c ti st h e g e n e r a l i z a t i o n o f b e r n o u c o n v o l u t i o n c o n s i d e r i n g t h es e t 巴= 儿：儿s ，h e r e h = 1 s = q ，q ) c o ，h 1 ) ，o 五 l ，日l = o ，q = ”一1 。f o r 五南， , r 一l + d q ：【o ，百( n - 1 ) a 】：w h e n les ，w ec h a n g e1i n t op a r a m e t e r 口t og e ta l 一 n e wm e a s u r e w ep r o v e dt h a if o r f _ x e d 州；，者毛) ，i s a b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf o ra e 口( o ，1 ) t h el a s ts u b j e c ti sa b o u tu n i q u ep r o b a b i l i t ym e a s u e rw h i c h m s a t i s f i e d = p j ( x 驰。掣w ep r o v et h a ti f i sn o ts i n g u l a r ，t h e n j 一1 t s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s t h e nw ed i s c u s st h e a s y m p t o t i c b e h a v i o ro ff o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n k e yw o r d s ：a t t r a c t o r ，b e r n o u l l ic o n v o l u t i o n ，s e l f - s i m i l a rm e a s u r e h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，u n t f o r mp e r f e c t n e s s ，f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n 儿 i 江大学磺i 学位论文 第一章绪论 分形几何是现代非线性科学中一个十分蘩要的研究领域，它的思想和方法已 经渗透囊蠡熬秘学中豹各个壤藏。分形凡俘瓣磅究对象是一类甭矮刘熬置篱形 体，这类对象具有一定的复杂性，不能用经舆，l 何来处理，值怒同时又具有某些 “较好”的性质，刻画与嫩度这些几何对象的复杂性是分形几何的重要内容。压 缩越代函数系统的不交袋就是分形几何中的一类重要的研究对蒙。 程瑷除段关于分形熬舔究中，维数起整极为重要的馋用，露且关于维数鳃磅 究鹣缡果较为丰富稻澡入。不嗣靛溅量凡褥对象的方式定义了不潮的维数，琶蓠 常用的有h a u s d o r f f 维数，填充维数，盒维数等。维数在数学上较易处理，并且 经常与分形物体的其他性质联系在一起。但魁，物体的复杂分形外虢不仅由它的 维数寒反映，有时还需臻晦合适的分形测度寐反映。鲁相似测凄愚其中敕一类重 要憝分形溺度。 本文分别考虑了不变集的一致完全性，b e r n o u l l i 卷积的推广和一类推广的 自牛h 似测度的性质。 1 1 不变集的一致究全性 菠( x ，d ) 是完备鞭离空闻，强强莛x 主豹歪缩迭栈邈数系统，弱存在难 一的紧集k ，使得鬣= u x ( k ) ，称世为压缩拣代函数系统 ) 墨。的不变集。 ，* l 溺数迭代系统的不变集的几何性质向为人们所关注，因为它们展现了丰富 懿缝稳，并绘壅了壤多分形匏绫予。这些系绞豹不变寨瞧h a u s d o r f f 溅度羁维数 的性质已经得到了深入熄研究。 设e 是距离空间中黛少含有两个点的紧予粲，如果存在常数0 c l ，使得 对任意x e 及o r i e i ( 这里吲是指e 的灏径) ， f x e l c r - i x x oj - r r 、e * o 则称嚣为r 。致完全集。 设e 是复平面c 上的紧集，b e a r d o n 利p o m m e r e n k e n ( 1 9 7 8 ， b p ) 把e 的一 致完全性和e 、e 舱双曲距离和到边界斡距离婚例数可比的问题联系在了一起。 澎渣大学颈圭学位谂文 p o m m e n r e n k e ( 1 9 7 9 。 p ) 给漱了许多平面上的一致完全集的刻划，比如说，如果 e 是一致完全集，则a = 妒( 爿) u 妒( 。) 0 0 ) 也是一致完全集，这里妒是m 6 b i u s 变 换，且驴。 ) a 。以及乎丽上的有界闭集和无界阁集是一致完全集的充分必要 条件等。 关于一数完全集的研究已经有了丰富的缩暴，s t a n k e w i t z 等证明了有理映 射的j u l i a 集，共形迭代函数系统的不变集，以及烈有一致l i d s c h i t z 常数的有 理半群的胤施集是一致完全鬃( 删 ， s t a l ， s t a 2 ， m r ) 。 x i ef e n g 等2 0 0 3 ， x y s ) 证鞠了完蛋疆离空瓣上的一族压缭浚 l 雩熬不 变集是完全集或单点集。僵楚对于非一一映射这个结论不总是成立。 设z ( * ) = a i ( x ) + 包( 1 i g m ) 是欧氏空间瓞“中的仿射映射，既z ( x ) 是双 l i p s c h i t z 映射，则该函数迭代系统的不变集称为舀仿射集。自仿射絮若不是单 点集，粼楚一致完全集( x y s 】) 。照是这个往痰不翡搓广舅完备距离空润上戆一 一压缩姨瓣。 本文考虑了瓞上的双l i p s c h i t z ，c “。压缩映射有限族，得到了下面的结果： 定理1 ( 定理2 1 ) ：r 上的一族双l i p s c h it z ，c “”压缩映射有限族的不变集若 不是蘩点豢，楚必是一致完全簇。 然后妇 j v 中的推论4 2 ，可以得到 推论1 ( 推论2 2 ) ：碾上的一麒双l i p s c h i t z ，c “压缩映射有限旅的不变集若 不是单点鬃，则必具有币的h a u s d o r f f 维数。 l 。2b e r n o u l l i 卷积及葵推广 关于无限b e r n o u l l i 卷积的研究始于三十年代，到现在已经取得了丰富的成 果，揭示了其和调和分析，代数数论，动力系统，以及h a u s d o r f f 维数估计的密 切联系，并且在缀多方面得到了推广。 经典的无陡b e r n o u l l i 卷秘段是随梳级数五“的分布，其中0 ，乏 l ，“+ ” n ；0 “一”各以1 2 的概率被取到。具体的应用中通常用下面三种方式来研究胁： 浙江大学硕士学位论文 ( 1 ) 容易计算出胁的f o u r i e r 变换荭( 孝) = p 站d 胁( f ) 为 荔( 舌) = n c o s ( 2 ”孝) ( 1 _ 1 ) h = 0 在涉及到数值估计的文章中这个公式起到了关键的作用。 ( 2 ) 记f j ( x ) = 胁( 一0 0 ，叫是心的累积分布函数，则胁满足f 向的函数方程： e ( x ) ：i 1 【( _ x - - i ) + e ( x + - 1 ) ( 1 2 ) za 换句话说，心是带有概率( 丢，i 1 ) 的迭代函数系统 肌一1 ， x + 1 ) 的自相似测度 ( i ) 。在动力系统和维数估计的问题中经常用到这个性质。 ( 3 ) 把胁看成一个“非线性投影”：记q = 一1 ，1 ) ”是无限序列空间， 11 o y = ( 寺，寺) ”是其上的伯努利测度，定义兀。( 国) = ，则 胁= vo 兀：1 ( 1 3 ) 这个表示在涉及到几何测度论的问题中是非常有用的，最近关于无限b e r n o u l l i 卷积的很多文章都用到了这个性质，本文对无限b e r n o u l l i 卷积的研究也主要采 用了这种方法。 j e s s e n 和w i n t n e r ( 1 9 3 5 ， j w ) 证明了胁关于l e b e s g u e 测度l 要么奇异， 要么绝对连续。令k 表示胁的支集，m a u l d i n 和s i m o n ( 1 9 9 8 ， m s ) 证明了如 果胁关于三绝对连续，则l i 。关于胁绝对连续。p e r e s 和s o l o m y a k 等( 1 9 9 8 ， p s s ) 将这两个性质推广到了一般的白相似测度。k e r s h n e r 和w i n t n e r ( 1 9 3 5 ， k w ) 指出当五( o ，马时，段支撑在一个l e b e s g u e 测度为零的康托集 上，因此是奇异的。当五( = 1 ，1 ) 时，胁支撑在区问 一( 1 一a ) 一，( 1 一五) 一- 】上，猜想 对于所有的五( = 1 ，1 ) ，胁绝对连续。但是e r 赫( 1 9 3 9 ， e 1 ) 指出对于 五e ( 去，1 ) ，若1 a 是p v 一数( 一个代数整数，其所有共轭的模严格小于1 ) ，则心 奇异。记墨： 丑( = 1 ，1 ) ：鸬奇异) ，目前惟已知的墨中的元素是( 1 ，2 ) 中的p v 一 数的倒数，但是s 是否完全由这些数组成现在还不知道。e r d 6 s ( 1 9 4 0 ， e 2 ) 浙江大学矮学簸论文 中证明了对于某个a 1 ，上( s l n ( 口，1 ) ) = 0 。 鹦一方而，s o t o m y a k ( 1 9 9 5 ， s 0 1 ) 用f o u rj e l ：- 变换的方法，证明了对于几 乎澎蠢戆蠢( = 1 ，1 ) ，壕缝鼹连续。1 9 9 6 年，p e r e s 帮s o l o m y a k ( p s 0 2 ) 应n m a t t i l a 证聪投影定理的方法给出了个更简单的证明。s o l o m y a k 等在 p s s 中 对于b e r n o u l i 卷积的相关结果作了总结，爱深入的讨论了胁绝对连续以及具 有密度的光滑性等问题。p e r e s 和s c h l a g ( 2 0 0 0 ， p s c ) 深入讨论了投影问题 竣及罄耱b e r n o u l l i 卷积豹“铡步 集合”夔终数佶谤，著曼餐到了一套基本方法。 b e r n o u t l i 卷积在动力系统和维数估计方两有很多应用，参觅 p u ， s y ， l ， a y 等文献。 b e r n o u l l i 卷积有几种自然的推广： ( 1 ) “+ ”“一”号黪撅搴不是联相等鲍1 2 ，两是取( p ，1 p ) 。缓浸sc 醒 是任意的有限数集，释s 。m 。p = ( p i ，p 。) 跫一个概率向量。心9 是随机级数 d 。丑”的分布，这里毫s 。p e r e s 和s c h l a g ( 2 0 0 0 ， p s c ) 证明了对于几乎 n = o 瑟有戆q l ，2 1 ，霹+ 存在一令震于f ( 鼗) 戆密凄，著显售谤了壤努集台戆 h a u s d o r f f 维数。 ( 2 ) s o l o m y a k ( 1 9 9 8 ， s 0 3 ) i 4 f td c ， l 的情况，并且得到了部分 结粱。 ( 3 ) 缓定s = 溉，辑 o ，n - 1 ，多事基a i = 0 ，辱= n - 1 ，壤搴囱量 p = ( 1 l ，1 1 ) ，q 是越代函数系统 l ( x ) = a + q ) ) 品的不变集，其中n s 。 k e a n e ( 1 9 9 3 ，【k 】) 掘出了下面的问题：蒋s = o ，1 ，3 ，当a ( 1 4 ，1 3 】时 d i m q 是否关于五连续? p o l l i c o t t 矛羹s i m o n ( 1 9 9 5 ，【p o s 】) 考虑t s c 0 ，辨一l 的情况，并得到了下丽得结果： 定理a ( p o s ) ：假设( 月一1 ) ( 卜1 ) 2 ，则 ( 1 ) ：对丁- 几乎所有舱童( 1 1 。，1 1 q ，d i m ( q ) ： 堕； l l o r 4 浙江大学硬学位论文 ( 2 ) ：如果1 s ，并且 o ，n 一1 ) c s - s ，则存在( 1 n ，1 1 的稠密子集e 使得对于五e ，d i m q - d i m 8 c a 墼1 ，这里蕊b ( 西) 簿褥是集合e 的 一l o 建矗 上销缳数。 容易验证 o ，1 ，3 满越( 2 ) 中的条件，因此k e a n e 的问题的答案是否定的。 s o l o m y a k ( s o i l k s s ) 研究了s = o ，i ，3 ) 的情况，证明了当五善时， o = 融竺】，瑟对手a 乎蹶畜夔蠢( 1 ，3 ，2 5 ，d i m 。o ：l ，( o 。；5 3 岁t - 1 一 一一 构造了一列代数整数扎( 1 3 ，2 5 1 ，使得五( c i ) = 0 。 本文考虑了s 亡 0 ，”- i ，口。= 0 ，q 一 一1 的情况，得到了以下主要结果： 定邋2 ( 定理3 。1 ) ：当冀乓时，巴：【蛰，粤兰罢】。这墼孑楚乃中稳邻秀元 摊一l + 髭1 一 素之麓的最大值。 假设1 s ，对映射瓦( x ) = 2 x + 2 加以扰动，形成瓦( x ) = 2 x + a a 的形式，不 改变艨柬映射族中的其缎映魅。本文考虑经撬动焉的映曩重族所瓣旋的等概率静鑫 耱似溅度段。静性爱。褥到： 定理3 ( 定理3 4 ) ：如果避g 而，当固定五( i 1 ，i 署五) 时，对于几乎所有的 娃( o ，1 ) ，琏。关予l e b e s g u e 澳度绝对连续虽挺有平方可积密溲。 这里叠是s 一 1 中相邻两元素之差的绝对德的最小值。 1 3 推广的自相似测度 遮代函数系的掇念可以攮广为支撑在系统瓣夺变集上戆叁然静不交溅度涤 定义。设 s ， 翟是盖c 粼上的一个迭代函数系统，曩是萁吸引予， p s - - , 是概 率，对任意，o - p ，羔1 ，且p ，= 1 ，这样一个系统称为概率遮代函数系。可 f = l 以邋过按魄饿最：致t t - ：反复豹把测度缀分裂这一鼗套状集合炎上露定义出 s 浙江大学硕士学位论文 测度，然后用通常的方法可以将它扩张成支撑为e 的b o r e l 概率测度。这样的 测度对于任意b o r e l 集合a 满足 ( 爿) = 乃( 町1 ( 4 ) ) ( 1 4 ) h u t c h i n s o n ( 1 9 8 1 ， h ) 证明了满足( 1 4 ) 的概率测度的存在唯一性，这样 的概率测度称为关于这个概率迭代函数系的不变测度。由一族相似变换 马) 羔 得到的测度称为自相似测度。 称测度是局部一致口一维的，如果对于所有r 1 ，( e ( x ) ) c r 。，这里 耳( x ) 是以x 为中心，以r 为半径的球。s t r i c h a r t z ( 1 9 9 0 ， s t r 2 ) 中考虑了局部 到 致d 一维的测度，对于所有的厂f f ( d , a ) ，估计了的f o u r i e r 变换，得 s u p 缉f ，i 而怿制l 但是一般的测度不满足局部一致口一维的条件。 于是s t r i c h a r t z ( 1 9 9 0 ， s t r l ) 考虑了自相似测度的f o u r i e r 变换的渐 进性质，得到了下碰的结果： 定理b ( s t r l ) ：假定迭代函数系统鹤) 工。满足开集条件和等度压缩条件，并且 所有旋转r ，要么全部相等，要么生成一个有限群，则 s u p 嘉。驴x ，1 2 d x c s ， 8 u p i 扩恤) | n - 这里满足= 巧。 随后，s t r i c h a r t z 考虑了自相似分布，非线性自相似测度等的f o u r i e r 变 换的渐进性质，以及直线上得自相似测度绝对连续性等，并揭示了这些性质和调 和分析的联系( s t r 3 s t y 5 ， s t z ) 。l a uk as i n g 考虑了豫“上自相似测 度的平均次变量的性质( l w ) 。y uz u g u o 把定理b 和 l w 中的结果推j 、到 6 浙江大学硕士学位论文 了齐次均匀康托集上的b e r n o u l l i 卷积( y ) 。 f a n a i h u a ( 1 9 9 9 ， f l ) 将常数p ，推广到了函数乃( x ) ，当 马( x ) ) 知为严格正 的连续函数，并且 l o g n ( z ) ) 乌满足d i n i 条件时，利用r u l l e 算子理论以及符 号空间的结果，证明了满足 础= 乃( z m 。墨 ( 1 6 ) 的测度的存在唯一性，这罩( e ) = 丑一1 p j ( x ) d 。s i l ( x ) ，五是r u l l e 算子 = le 的谱半径。 本文假设 ) 乌为相似映射，k 是其不变集， 巧( x ) 乌为严格正的连续函 数，并且 1 0 9 马( z ) ) 刍满足d i n i 条件，是满足( 1 8 ) 的唯一的自相似测度。 得到了下面的主要结果： 定理4 ( 定理4 1 ，4 2 ) ：如果不关于l e b e s g u e 测度奇异，则必关于l e b e s g u e 测度绝对连续，且l e b e s g u e 测度在k 上的限制关于口绝对连续。 定理5 ( 定理4 3 ) ：假设兄= 1 ， s ) 乌满足等度压缩和开集条件，所有旋转e 要 么全部相等，要么生成一个有限群，则 s u p 万1 班x ) 陋c 这里卢满足p 9s u p p ；( y ) 。 i = 1 ”! x 7 浙江大学硕士学位论文 第二章不变集的一致完全性 2 1 基本概念 殳 f a ( 1 s i 疗) 是完备距离空间( z ，d ) 上的族压缩映射，存在唯一的非空 紧集k ，满足k = u f ( k ) ，称k 为该函数迭代系统的不变集( f a 4 ) 。设 i = l g = ( _ ，厶) 是 ， ( 1 茎逛n ) 生成的半群， 并记g o ： 恒等映射1 ， q2 。厶1 1 n ，0 j k 一1 ) ( 女1 ) 。q x 称为g 的不连续集，如果q 中任一点x ，都能找到一个邻域b ( x ，r ) ，使得仅有有限个g g ，满足驴n b 。 q 的余集人称为g 的有限集。x i ef e n g ( 2 0 0 3 ， x y s ) 证明了a 和k 是相等的。 设厂是定义在实直线腮上的映射，称，是双l i p t s c h i t z 压缩映射，如果存 在常数0 旦万 1 ，使得 a _ l x y l - 0 是常数。 设e 是距离空间中至少包含两个点的紧子集，如果存在常数o c 1 ，使得 对任意e 及o r 0 及c = c ( s ) 1 ，且占( 占) _ 0 ，c ( e ) - - + 1p 寸0 + ) ，使得 ，( x ) + c f ( x ) ( b ( 0 ，) ) f ( b ( x ，r ) ) ( 工) + c f 。( x ) ( 曰( o ，r ) ) 对于任意的0 r 万( s ) ，g 及x k 成立。其中b ( x ，) 是以x 为中心，为半 径的区间。 证明：由假设， z 是腿上的双l i p s t c h i t z 压缩映射，因此存在常数 0 丛，d ， 1 ，使得 旦，i ，圳s 孑， 对任意x e k 成立。取垡2 墨璺丛，d 2 魉d ，。j ! s ”l sr e ” 因为z 是c “的( 在这里可以要求0 0 ( s - - + 0 + ) ，便得 l e ( y ，x ) i 詈丛陟一x 1 1 + “ 对任意x k 及 y 眇一x i - 8 成立。从而对于任意o r 占( 占) ，有 ，( x ) + ( 1 + 占) 一，( x ) ( b ( o ，) ) f ( b ( x ，) ) ，( x ) + ( 1 + 占) ，( x ) ( b ( 0 ，r ) ) ( 2 1 ) 令0 = 孑“，显然乙存在。取o 口，以及占= 占( s ) 1 充分小，使得 n ( 占) = 1 + 占+ 屯) 1 + “j “一4 兰1 记q ( 占) = 1 + 占+ 占4 0 ，c o ( s ) = 1 + 占，显然g ( 占) _ 1 ( s 斗o + ) 。 可以证明：对于任意厂= 厶。矗e g ，有 ，( z ) + c l1 ( 工) 【b ( o ，) ) ，( b ( x ，) ) ( x ) + c k ，( x ) ( b ( o ，) ) ( 2 2 ) 事实上，当m = 0 时，上式即为( 2 1 ) 。下面用归纳法证明。假设当 m = o ，1 ，m i ( m 1 ) 时结论成立。当m = m 时，对于厂= 。 ，= 九。f ， 由归纳假设，有 ；( f ( x ) + 吲。f ( x ) ( b ( o ，r ) ) ) f ( b ( x ，r ) ) ( f ( x ) + ( 一，f ( x ) ( b ( o ，r ) ) ) 其中 五( f ( x ) + c 昔一l f k x ) ( b ( o ，) ) ) = 厂( x ) + c 嚣一】f ( x ) b ( o ，r ) + r r = 置、( ，( x ) + 吲一1 f 。( x ) ( b ( o ，) ) ，f ( x ) )( ，= 1 ，一1 ) 且对任意y b ( x ，1 ， 悱三站二) y x l + a 茎砉二扩i f 圳y 一叫 记：与二酽孑“，注意到 “ b 。| n t s 秒j “_ 5 e a “ 于是 l o 浙江大学硕士学位论文 c 0 一l + c u 因此当脚= m 时，式( 2 2 ) 也成立。 取c = c ( ) ，则j 和c 即为所求函数。 一 下面证明定理2 1 。 由一致完全性的定义可知，只需证明存在正常数0 c 1 ，使得对于任意的 0 r 占( 5 ) ，有 y l c r - i x y l - r ) n k = 妒 定理2 1 的证明：设k 至少含有两个点。用反证法证明。假设k 不是一致完全 集，则存在一列圆环 a ) r k = q ，定义为 满足墅斗+ 。斗+ 。) 。 a = x i o - i ，显然 i 圭少。 为了证明的方便，引入下面的记号。若存在与爿，b 无关的常数c 1 ，使得 a g b ，则记为a _ - b 。若爿 - b 同时成立，则记为爿b 。 11 浙江大学硕士学位论文 继续上面的证明，由4 的定义知， ( i 一再，x n i ) u ( i + i ，i + 再) cr k = q 注意到l g ：b ( ，。) i 至多为占，所以最多包含前面取定的两个定点中的一个，因 此 “x i x 一 砭) u 卜一i 0 ，令 珥( e ) = i n f i u 。1 5 ： u ) 。e ，i u , l d ，f 1 ， j l 这里的i n f 表示对e 的所有的d 一覆盖取下确界。注意到作为6 的函数，蟛( e ) 单 调非减，从而当占斗0 时，它趋于一极限 h 5 ( e ) 2 脚蛾( e ) h5 ( e ) 称为e 的s 一维h a u s d o r f f 测度。它的值可能为0 ，正有限或者正无穷。 如果0 h 5 ( e ) + 0 0 ，则e 称为s 一集。 作为e 的函数，5 具有如下基本性质： 性质3 1 f a 5 ：h 5 为度量夕i - 钡u 度； 性质3 2 f a 5 ：设0 s ， 0 ) = s u p s ：( e ) = o o ) ( 3 2 ) = i n f s ：h 。( e ) 。o ) = i n f s ：h5 ( e ) = 0 ) d i m ，e 具有下面的基本性质： 性质3 3 f a 5 ：若h ( e ) 0 ，则d i m e s 。 特别的，若0 h 1 ( e ) + 0 0 ，则d i m e = s 。 1 3 浙江大学硕士学位论文 3 2 王妥结果 考虑如下形式的随机级数的集合 q = 嘻：儿酣) ( 3 3 ) 其中s = q ，6 1 1 ) c 0 ，”一1 ) ，0 = a i a 2 a i = 门一t ，0 。 ( 1 ) 若e 岛( q ) ，g o ( t o ，令指标集合，= i l c o , ，n ( q ) ，g 。( ) ) ) ，那么 笔岩= 善叫，这里q 取十1 或，因此 1 6 浙江大学硕士学位论文 l 等竽卜彰卅一却州一击脏占 ( 2 ) 若d g g 。( q ) ，g 。( f 1 ) ) ，贝0 l f ( a ，f ) 怿豇一( n 一1 ) e 2 ( 旦一( n 1 ) 五) 旯j f = 2j = l 引理证毕。 下面证明定理3 4 。 定理3 4 的证明：令耳( x ) = b r ，x + r 舭a x 为中心，以r 为半径的区间，定义胁。 在点x 的r 导数为： 旦( 胁，x ) = 磐去胁j e ( 瑚r 叶0z r 应用v i t a l i 覆盖定理，胁。关于l e b e s g e 测度绝对连续当且仅当对于几乎所有的 x 豫，旦( 鸬，x ) o 。( m a t t i l “m a l 】，2 1 2 ) 。因此，当固定五( ；，i 署毛) 时， 如果可以证明 d ：= 0 ，】) 旦( 胁, o , x ) d l a a ，。( x ) a a 。o 则对于几乎所有的a ( 0 ，1 ) ，胁。绝对连续。 由f a t o u 引理，得到 d _ l ，i + m 。( 2 ，) 11 0 胁，。 e ( x ) d 心，。( x ) 幽 ( 3 4 ) 因为兀t “是个连续映射，对( 3 4 ) 做变量代换，得到 d 磐( 2 r ) _ 。k 胁，。【耳( 兀如( 甜) ) m 嘞 ( 4 ) 这里以。= y 。兀艺。 令1 。表示集合a 的特征函数，则 胁，“ b a h 如( 国) ) 】_ 1 咖“，d 胁，。n 曲。i 计帆出 d v ( ) 把上式代入( 3 4 ) ，交换积分次序，对a 积分，得到 d 磐( 2 ，) 1 l l 上 n e ( o ，1 ) ：畔“( 甜) 一丌抽( r ) i r ) d v ( 州v ( r ) ( 3 5 ) 1 7 浙江大学硕士学位论文 由b i 理3 7 得至0 ，如果0 4 f 。，贝0 三 “( o ，1 ) ：| f ( a ，国，f ) i 户) 2 m 6 。1 p ( 3 6 ) 这罩m 1 是一个与k 无关的常数。当p 6 时，上式显然成立：当p j 时 分两种情况来看，当d g ( q ) ，g 。( ) ) 时，i f ( a ，国，f ) l 占，所以( 3 6 ) 式成立 当口 ( q ) ，岛( 1 ) 时，i 掣b 占，f ( a , c o , r ) 是关于d 的线性函数。因此 盯日 扣( 叫川( 吼以刮兰纠至多包含有限个不交的区间，且凶为i 堕笔产i 有上界 因此每个这样的区间长度有下界，因此区间个数有限，设区间个数m ，在每个 区间上厂( 日， r ) 是y c f d 的单调函数，而且l 堕笔卜占，从而得到( 3 6 ) 。 对于任意的，f 满足q = ，1 玉i k - 1 ，而皑“，定义( o a t = q q k = i ( o a f | 则 f ( a ，r ) = f ( a ，珊，f 。) 其中国= ( ，、r ，) ，r = ( r ，r 。因此，对于任意五e ( ，i 南) ， l a ( o ，1 ) ：1 厂( 口，r ) l r ) 三 日( o ，1 ) ：i 厂( d ，国1 ，f ) l 去) 几 令p = 五。r ，应用( 3 6 ) ，得到 三 d ( o ，1 ) ：i ，( 日，f ) l ，) 2 m 6 。1 兄一r ( 3 7 ) 将上式代入( 3 5 ) ，得到 d _ 2 m 6 1 粤2 ，) 。i d ( ) ( ，( r ) ( 3 8 ) = m 6 _ 1 2 廿( ) ( 珊，r ) ：l f l = 七) m 6 。1 丑“，“ c 。 因此对于几乎所有的a ( 0 ，1 ) ，段。关于l e b e s g u e 测度绝对连续。 1 8 浙江大学硕上学位论文 并且对于那些使得d ：= 旦( 胁x ) d 段，。( x ) m 的参数口，可以得到 型! 掣( 蘧) ，鄹段。具有平方可积密度。 黜 定理证毕。 注：( m ) 式戏立是嚣为下露结果： 一 设魁距离空间上的b o r e l 测度，r 是一个距离空间，在，：斗j ，下 瓣象定义为磊弘( ) = k t ( f 。名) ，蠢 y 。赠磊声是y 主您溅寝，残为声在，下豹象 测度。关于f 和 的积分变嫩代换有下面的结粜： 定n ( m a l ，1 1 9 ) ：假设厂：盖斗r 是一个b o r e l 映射，卢是的b o r e l 测 发。g 是y _ = 的j 受b o r e l 函数，则 胁= 如。f ) d u 注意戮疆扣是一个连续淤麓，( 【曩( x ) 】) 是关予z 瑟j 受涵数，应用上瑟定 理，可以得到( + ) 式成立。 l 馨 浙江大学硕士学位论文 第四章推广的自相似测度 4 1 基本概念 没 一) ，是彬上的一族压缩相似映射，t ( x ) = b 吩x + 屯( 1 j 肌) ，其 中0 p ， 0 ，及任意下标，=