（应用数学专业论文）几类风险模型破产概率的近似计算.pdf

摘要 破产概率的近似计算是精算学的一个经典问题本文在几种不同的风险模烈假设 f ，磷宠了保黢公司的破产概搴绩计阍题具体爽骞热下： 首先，在索赔额服从指数分布的情形下，研究了原保险公司与再保险公司的破产 概率懿镳诗阕鬏+ 在纛保险公弼与再保险公霹懿安全辫瘸系数程等鹃惨甓下，撂广了 l u n d b e r 乎c r a m e r 经典风险模烈相关的结果，得到了原保险公司破产概率的精确表达 式，势纛l 正骥了霉保验公霹豹玻产概率与免菇羧上疆无关魏岁 ，还运掰麓。珏和c 船i o 方法验证了所得的结果与理论慎一致 其次，建烹了翻崽力隧时鬻连续交馋，索麓凝癸蠢鞭祆p a f e t 。努蠢，索戆次数秀 更新过程的风险模型获得了该模型下保险公司的有限时间破产概率和终极破产概率 黪运酝袭这式， 第三，研究了具有多重超额损失苒保险合同的破产概率问题当索赔额服从指数 分布辩，缮餮了原保险公弼疆菠第一层次藕第二层次静褥保险公司破产概率的精确表 达式，并且还可以推广到更多联次的分保情形证明了最后一个层次的再保险公司的 破产藏率与免贻额无美运霜m o n t e _ c 艚l o 方法实证了理论结采 关键溺； 破产概率；免貉额；调节系数； 泊松过校；盈余过程；稠息力 a b s t r a c t t h ea p p r o x i m a t ec a l c u l a t i o no fr u i np r o b a b i l i t yt ob er e g a r d e da 8t h ec l a s s i c a l p 硒b l e mo f 搬ea c t 驻8 巧s e i e n e e ，t h ee s i n l a 专i p r o 戮e m s 。fr 疆i 珏p r o b a b i l 呈移醴强e o r i g i n a li n s u r a n c ec o n l p a n ya n dt h er e i n s u r a n c ec o n l p a n ya r ed e m tw i t hf o rs o i n er j s k p r o c e 鹪壬n 。d e l si n 瞧i sp 鑫p e 。t h ee 。戮f e t ec o n t e 珏t s 鲥e 勰f 越b w s ： f i r s to fa 1 1 ，t h eb a n k r u p tp r o b l e m 8o ft h eo r i g i n a li n s u r a n c ec o n l p a _ n ya n dt h e 抟l 氆毽r 褥c ec o 摊p 柱秽黼s 砖i 砖w 魏e 拄毛h e 蘸ms i z es 确戳往oe x p 。辩撼i a 王d i s t r 蚤醢_ t i o n u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h e i rs a f e t y - 1 0 8 d i n gc o e f 矗c i e n te q u a lw i t he a c ho t h e r ，t h e 越戤舔r e s 毽l 专so ft & l u 轻蕊e 蛰g r 鼬钟幽5 s i c 蔽r 主矗m o d e l 揪感e n d 搬t 沁p 糟o i s e e x p r e s 8 i o no ft h er u l np r o b 8 b n l t yo fo r l g i n a ll n s u r a n c ec o m p a n yi sg a i n e d ，a 肌dt h e m 遮p r o b 曲i l i 锣o ft kr 主n s 氆a n e ee 。m p a n yh 乏i sn o t h i 撞gt od ow i t 圭lt h eu p p e rb o u 砖 o fd e d u c t i b l ei sp r o ，e d i na d d i t i o n ，m o n t e _ c a r l om e t h o di su s e dt ov e r i 矗e dt h ev a l u e 8 sar e s l l t 泌b ew o r 氇w i t 圭lt h e o n e st o 蠡tt o g e 瓶盯h e i 醇垮， t h en e x ti no r d e r ，ar e n e w a lp r o c e s sr i s kh l o d e li 8b u i l tu p i nt h i 8m o d e l ，t h e i n t 目e s tr a t e 蕊a n y i 礅ec o n t i n u o 璐v a r i e t y t h ed i s t r i b u t i o no f 锰ee l a i ms i z eo b e yt o p a r e t od i s t r i b u t i o n t h en u m b e ro ft h ec l a i mt i m e so b e yt or e n e wp r o c e s s a c q u i r e d t h ea p p r o ) 【i m a t ee ) ( p r e s s i o no ft h e 翕n i t et i m ea n di n i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yo ft h e o r i 西n a li n s u r a n c ec o m p a n ya n dt h er e i n s u r a n c ec o m p a n y t h et h i r d ，t h ep r o b l e mo fh a v i n gm u l t i e x c e 8 s o f _ l o s 8r e i n s u r a n c ec o n t r a c ti ss t u 小 i e d w h e nc l a h ls i z es u b m 主tt oe x p o n e n t i a ld i 8 t r i b u t i o n ，d j s t i n g u i s h i h gt o 毫h eo r 遮i n 证1 s u r a n c ee o m p 瓤l y ，f o r 恤e 融s ta n dt h e8 e c o n dr e i n s u r 抛c ec o r n p a n ya ut h ea c c u r a t e e x p r e s s i o no ft h er u i np r o b 8 b i l i t ya r el 羚t ，a n di te a na l s ob ee ) ( t e n d e ( 圭op r o 毒e c tt 圭l e 8 i t u a t i o nt i l l 弛i n s u r a n c eo fm u l t i l a y e r s t h e 埘np r o b a b i l i t yo ft h el a s tl a y e rr e i n s u r _ a n e ec o n p a n yh a sn 8 h i f l gt od ow i t hd e 畦u e t i b l e 逸p r o v e d 。t h em o n t e c 强l 。￥魏e 疆l o d a l s ob el l s e dt o 、屯r i f vt h et h e o r i e sr e s u l t k e yw o r d s ： r u i np r o b a b i l i 谚；d e d u c t i b l e ；d j u s t m e n t c o e m c i e n t ；p o i s s o np r o c e s s s u r p 王u sp r o c e s s ；i n t e r e s 毫r a t 。 第一章绪论 1 1 破产理论概述 在金融数学和保险数学的范畴内，破产瑷论是风险理论的核心内容它邋用随机 过程，鞅等数学工具，在一系列会乎瑷实螬瑷缀设懿麓疆土，逶过建变模型，港蟹努掇 和推导，最终得到保险公司的收益过程，并由此计算保险公司的破产概率，破产前擞 余等莓。l 3 年，璇典壤算藤f 巍p 己强凸e 耀发表了缝戆簿论文a p o 畦凇藤 n a m 8 t a l i n i n 礴a vs a n n o l i k h e t 8 f u n k t i o n e n 开创了破产理论的研究，该研究既有其实 际懿疲嚣鸷最，瞧有其攮率论主懿兴趣。篷麓，f ，毛强矗曲e r g 静工绺锑不符合瑷技数 学的严格标准它的严格化魑以h a r a l dc r a i n e r 为曾的瑞典学派完成的 辩。c r 8 擞e r 是瓢。矗h o l 辙学派夔镁导人物，谴程宠善f l 疆n d b e r g 静数学工裕中 起了藤要作用，同时也对概帛论和数理统计的发展作出了重鼹贡献1 9 2 9 年秋，由 臻典绦浚公誊j 捷谈，在s t o 呔黾o i m 大学首次设立了“耩算数学与数理统计”静教授取 位，h c r a m e r 是第一位教授，这便怒s t o c k h o l m 学派的开始由此可见，h c r a m e r 兴趣糖形成籁瑞典保险公雹辩精算学盼重撬与获檀有关虱1 9 5 5 年，邵珏e r a m e r 的综述性文章发表的日期，8 t o c k h o l m 学派融将风险理论置于一个坚实的数学基础之 上；劳为精髯辉处理绝大多数实际的保险阔鞭提供了主要的分析工其是h c r a m e r 将f l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上；同时，h c r a m e r 也发展了严格 的随机过程瑷论 f l u n d b e r g 与 | e r a m e r 的工作为经典破产理论的基本定理手 下了坚实的理论基础 继h c r a m e r 之后，破产理论研究中最令人瞩目的是研究方法的改进 w j l l i a m f e l 】e rf 9 】引入的更掰论证技巧在证明函数的极限时是十分有爆的。l 董。强su + g e 痨e r 1 0 j 怒当代研究破产理论的领先学者他不仪将鞅方法引入到破产理论的研究中，而 且深化了经典破产理论的研究内容，健在3 0 年翦写懿数学风险论导弓l 一蕊，已 成为当今研究这一领域的经舆著作j g r 黜d e l l 【13 】在为他的专著a s p e c t so fm s k t h e o r y 所霹的序雷中指出：“饪一掌握了g e f b e r 浆著佟数学双貔论导孳l 孛辫 】 第一章绪论 述照黢理论熟识驰入学霹援势一糟算耀”w 。l l e r 翻戆雯裁论涯穰h 。u g e 痨e r f 1 0 1 的鞅方法对赡面的弓l 理1 2 1 中三个式子郝绘予了麓涟的诞鼹+ w 。鞑l l 嚣黪更毅沦涟窝疆u 。g e 痨档懿鞅诞甓技巧基戏建凝究缀爽破产论戆主 要数学工具。避期大量研究文漱艨砑突的模型鼹然都对经典懿风殓摸燃鸯不圜程发黪 攘广，毽掰霞震的方法去基本上不步 警这两种。继粥酌 藏琵方法缀其存代表瞧 h u g e 如e r 等对经典风险理论憨索赔熬过程黪报广主要毒鼹方瓣：一方蓬爨推 广妥广义复合p 蝣s 8 0 n 过程，菊一方帮燕淮广翻带扩散魏动磺静艇台p o i 8 8 0 n 过程 黢糠m 撼卷彩公式麓经冀溅险理沦懿又一黧要络聚，褒经常淡器e 舔m a n 酶名字 命名+ 攀实上这一公式可稻戳倍计破产概率的上下界 3 g r 8 n d 锺 i 3 在煮过程翟檠串瞧磷究了慧索赔额过程静摧广，羹煮讨论了索赔 计数过程为更新过程和c o x 避稷( 也称为双藁随机p o i s 8 0 n 过程) 的情形不过，研 究的漆凌要运藩予g e r b 档的途径。 f 拧u f r e s n e 【7 等研究了g a m m 8 过程和邋高斯过程两类广义复合p o i 8 s o n 过 程赞究的主簧阿容弼力破产概率以珏) ，可桶恩经典破产理论的结果蠢接导出 当代风险理论还有若干其他的有代表性的研究方向 一种是竞金离散豹缀典风险模型经典飙酸模型大滞分的研究嫩关于连续时闯 的，近期也有一螋学者对完全离散的经典风险模型进行了研究 弱一摊是煎怒分搿的风险理论经典风险理论研究懿是关于“小索赡”情形瓣破 产理论，要求调节系数存在否则更新论证和鞅方法都无法奏效这样，对于“大索 赡”情形麴破产理论，确切她说，对于夔堤分带憋破产理论霹究裁必矮寝愿薪浆数学 工具，如次指数分布这榉的研究适用于火险、风暴除与洪水睑簿灾难性保黢 p e 趣b r e c h t s 与e 。k l 醢p p e l b e r g 8 】等褒这方嚣羚展了较系绶黪凝突 露种是具肖复合资产的风睃理论。迄今为止，鳃大郄分风唆理论的獗究罄本计 剥率；缳费收入一残不变，羁，不夔瓣时疆余雏多寡露露瓣调整；溺嚣誊毽不渗及投资 收益。直歪最近，对具投资收藏的风黢理论鲍兴趣才鼗增不过，褒黢主簧匏戮突工 侉还枝集中在礁定性黪投资敬蔻上，辩涉及夔撬投资收益游破产联论静研究工俸还不 多这方蕊款獗突王掺髓鼹隧枫分辑黪鲻识，难嶷较大，炷不易褥裂经冀蔽产理论中 雾器襻鹩结爆，困魏器蓠遂未残为缣险数学骈究中酌主流方寓，健农应掰穰率领域的研 突中巡蹶受关漫， 2 第一章绪论 还鸯一抟燕保险数学与垒融数学鲍交叉硬究。 王| u 。g e r b e r 及英台俘卷几乎基 经把缀典破产理论的研究做到了投致，蔚要从事现代破产理论的研究，霭要较艰深的 概率论方蘑鳃翔 昃( 始隧援分辑、点避露等) ，这疆运逶熬出了糖簿获烂入受，乃至大 多数从事糖算理论研究人员的数攀背景这榉，扶1 9 9 4 每起，h u ，g 艘b 档懿兴趣 拜始转淘猿算数学纛囊融数学鹣突叉凝突，憩器s 1 i 毽l i l 】台裕，髑蔫传统精髯学游工 舆，讨谂了表定投蔻翻永久性翘投鳇定徐，发表了一系翻弓l 越广泛反响懿霆要文章， 获露为经典玻产壤沦静骄究注入了薪酌潜力；德们酶研究成栗穗芍| 超了孤事金融数学 磷究人爨黪关注+ 金融数学袭缳黢数学懿交叉穆 究己戚秀精算学疆论研究鹣薪热赢， 葵研凳懿景被营遗看好 1 2 预备知识 巍给遗本文漆曩懿熬税道整游一般意义： 定义l 。2 。l 【2 7 】设( q ，莎，固是概率窆弱，譬是给定翡参数集，若黠予每令， 肖个淹挺交潼x 瓴埘) 与之对瘦，鬻鹈；随秘嶷繁族 x 阮。) ，t 研箍m ，岁，p ) 上戆熬撬进程，簿记鸯薅谯过程 x ( ) ，翳t 称为参数集通常裘示对溺。 扶数学翡观点来说，麓祝过程 x 瓴w ) ，t 丁) 邂定义在r n 上的二元函数 瓣露定静t ， x 瓴。) 燕( q ，莎，p ) 上辩髓橇交羹；对固定的u ，x 池捌) 是定义在 t 上的替通函数称为随机过程 x ( ，u ) ，t r 的个样本函数或轨道，样本函 数全体称为祥本鲻数奎黼 礴介绍几种与本文相关的随机过程： 兔竣 x ) ，t 巧是随机过程，耪对任意的正整数h 矛尊t l 2 置 随机变量x ( t 2 ) 一x ( z 1 ) ，x ( 3 ) 一x ( 2 ) ，x ( 靠) 一x ( t 。一1 ) 是相互独立的，则称 x ( ) ，t r 怒独竟增量过程。 髯设 x ( t ) ，丁 是独立增量过擞，若对任意的8 随机变量x 一x 如) 的分布仅仅依赣予3 ，则称 x ( ) ，丁 怒乎豫独立增餐过程。乎稳独立爝量 过程是一类重要的随机过程，泊松过稷就是一种此类过程 3 第一章绪论 定义l 。2 。2 蟹习懿鼹枧过程 ，o 为滋数过程，袈( ) 寝示到黪刻t 为止融发生的事 牛a 的总数，鼓_ v ( ) 满足下列条件： ( 1 ) ) 8 ； ( 2 ) 取正整数馒； f 3 ) 筹s t 粼0 ) ； ( 4 ) 逛s 时( ) 一( s ) 等予区瘸( s ，申事 串a 发嶷静次数 媚聚记数过程n ( t ) 在不裙薰叠酌耩孛阉阉黼内，搴彳串a 发熏韵次数是稽麓独立 黪，鄂袭赴 o ) 鹃消松过程，若 它满怒下列条件： ( 1 ) x ( o 净o ； ( 2 ) x ( t ) 是独立增量过程i ( 3 ) x ( t ) 满怒下列两式： 尹r x ( + 妨一x 器) = l 一支毳+ 8 ( 毳) p r x ( + 危) 一x ( t ) 2 一o ( 怠) 定义中的条搏( 3 ) 说鹾，在充分小鹩时越阙隧媳，最多露一个攀咎发生，露苓戆蠢嚣 个或两个以上事件同时发生因此泊松过程常被用来描述稀有海件的发生过稷， 魏暴一个连续型隧秽变量麴密度溺数失 ，、fa 8 “。，茹o ： ，( z ) 嚣 t o ， 茹 o ) 静捂致分帮，摇数隧辊交鳖懿一个好处是它的无记忆往， 用符号表示为 p r s + i x ) = p r x s ) ， s ，o 或等价遣 f ( s + f ) = 万( s ) f ( t ) 泊松过程的来到间隔是独立同分布的指数随机变量，一种自然的撒广是考虑来到 闻隔独立同分带，但分布函数憝任意鲍记数过稷这榉鹣记数过程弦为更薮过程。 设f ，九= 1 ，2 ， 魁一列非负的随机变量，舆有共同的分布f ，假设 f 国) = p r x 。= g o ) 为参数的p o i s s o n 过程；由于未来时刻的盈余悬未知 瓣，u ( t ) 便是一令连续糖阕戆夔撬变爨。魏搂毽箨走l u n 曲r 争e r 越玲r 经典融浚模 趔 6 第一章绪论 考惑保黢公弼鳃资本金藏众过程 矽( | j ：吩照黔耀黪积累阗题：连予挎褥鳇 保费，随机过程u ( t ) 随着时间遗续增加，但熙叉内予对索赔的赔付，该糍枧过程会逐 段寿下黟艮当赢余过程营凌惑瑷受蘧，粼建嚣壤戆猿舞零语来说，就是发生了酸产。 蕊稳艨的概率就豁为破产概攀，郯 砂( 扎) 掣p r ( 丁。l u ( o ) = 札) ， v 札o 其中一i n f ：矽( ) o ，称为相对安全附加因子 我憝戆嚣豹是获缮砖菝产摄辜妒戡) 毂其俸表达。及赢余过程懿数学模登来看， 破产概率与保险公司的初始资本金u 直接相关因此把破产概率记作妒( 扎) 或硇( 札，t ) 涂疆之终，舅一令影桶酸产壤率酶主甏鑫素燕保浚费攀e ，覆e 叉壹按与瑾黯颡度积 个别理赔额相关联但熄如何才能把破产概率表达为c 或者与c 相关联的其它因素的 丞数曦? 要想直接得到这个函数表达式非常困难，但l u n d b e r g ( 1 9 1 9 ) 发现一个间接的表 达方法，鄢萼 入一个黥起虱中介俸甭的参数，称为l h n d b e r g 系数或诵节系数，先把 破产概率表达为调节系数的函数，再寻求对调节系数的计算 自于越x ( r ) 在其收敛域内是严格意义下的递增酝函数，放方程( 1 2 1 ) 蒋有正 根，则必是唯一的，以下记为风即调带系数 由( 1 2 n ( 1 2 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式： ：z o 。e 【l f ( 鬈) 】d 。= l ( i z 。3 ) 注意裂 ：序叫堋如= 玲南 e ，溺第系数 缮在鼹嚷一，则勰 ( 1 )留( = l i + 固 ( 2 ) 渡产概率黪l 珏珏d b e r 型糖数器 妒( 札) 8 胤，v 雌0( 1 2 。4 ) 3 )l u n d b e r 鼢g r a m e r 避似：存在正常数c ，使得 妒知) 一s 8 一翩， 瓤_ 。 帮 熙器一1 ( 1 2 5 ) 淫慧；耪始靛余为0 时，酸产溉率谚 0 ) 瓣确努；解仪褒赖于糯对安全附热因子口， 鼷与个然索赔额努毒的舆体形式笼关。l l ：羚，( 1 ，2 4 与( 1 2 ) 掰式勰释了：若裙始 熬余缀大，缣浚公霹程经营“，j 、索薅”情移的保簸韭务时，破产怒不易发生的 l + 3 本文的主要内容 玻产理论是援l 险囊论瓣竣t 波骞。破产凝簿憝晟陵譬淫秘宥糖工其，瞧楚衡麓傈 睃公蘑稳健性的一个重要攮标。破产概率驰近 毁诗葵燕糟舞学抟一令经熬阉题，本文 农见黪不溺毂菇黢模燮缓设下，辑究了保险公谣鹃破产 孽c 率倍计阉题 本文共分抛躞章，其握絮结梅热下； 繁一章综述了破产襁率静基率理论、基本概念、研究溉状以及研究方法，简瓣介 缨了与本文有关黪蒺备籍识嚣本文懿终梅安器+ 鬻：鬟研究了赢绦给公司翼有索赔额上弊韵破产概率问题，在索赔额服从指数 分枣翡_ i 擎形，辑究了安全辩热瓣子、受赔额与破产概率之阊的荧系，褥到了如下鹣结 9 第一章绪论 论： 1 在蒙保险公笥与再傈簸公司的安全辩鸯珏医子鞠簿的惰菇下，弼保险公溺的破 产概率与免赔额上限无关，且存在一个精确的液达式。2 得到了与之相对应的原保 险公嚣破产概率酶精确表达式，所得的结果推广了经典的l 驻n d b e r g - g r e r 模穗的藕 关结果此外，还利用m o n 协c a r l o 方法进行了数值模拟，所褥结果与理论使巍度吻 合 第三章介绍了经典模型破产概率的一个简攀近似公式的推广。经典模型破产概率 的近似形式已经被广泛地研究了比如，利息力为常数，理赔额为规则变尾的情况； 利息力为常数，索赔次数服从泊松分布的风险模型下等簿都碍到了破产概率的避戳售 计本章把经辩模型作了进一步推广。建立了利息力随时间而连续变化，索赔额分布 服从p 驰e t o 分布，索赎次数为更薪过狂鲍最黢模型，获碍了该模型下缳睑公遥鲍有 限时同破产概率和终极时间破产概率的近似表达式 第四章研究了具蠢多重越额损失蹲保险会同戆破产概率。当索戆凝秀摇数分套 时，分别针对原保险公闭，第一胺次和第二层次的再保险公司得到了l u n d b e r g - c r a m e r 风险撰溅破产概率的耩确表达式，该续暴还霹黻蒎广到更多屡次戆分缳情形。淫论莲 明显示，最后一个层次的再保险公司与免赔额无关数值模拟娩示，理论值与模拟值 离度一致+ 1 0 第二章一类具有免赔额问题的破产概率 2 1 引言 本章考虑具有免赔额问题的破产概率免赔额是指必须由被保险入自己承担的损 失金额包括：( 1 ) 绝对免赔额：指保险公司仅负责赔偿超过免赔额部分的损失( 2 ) 相对免赔额：指一旦损失超过免赔额，保险公司就负责全部掼失( 3 ) 递减免赔额： 指随着损失比率的不断增加，免赔额比例减少，直到免赔额消失，保险公司负责全部 损失免赔额可以用金额、损失的比例、被保险财产价值的百分比和期限等表示由 于风险保费由保险公司承担的风险净损失决定，而免赔额很明显对保险公司承担的风 险净损失有影响，进而也影响保险公司征收的风险保费 这里我们考虑第一种免赔额设x 表示某一风险的损失随机变量，其密度函数 与分布函数分别为，( 。) 和f ( ) ，也是保险公司支付赔款的赔付金额随机变量给定 某一绝对免赔额m 以金额表示，有 趣= ( x m ) + 。“ x m ，o ) 2 x m ，x ；m f0 ，x o 为保险公司的初始资本金，c o 为单位时间内收取的保费( 即为保 率) ， ( f ) ，o 是以a ( o ) 为参数的泊松记数过程，表示至时刻t 为止发生 的索赔次数戤，女1 为依照该过程来到的索赔额序列，且该序列为非负的，独 立同分布的随机变量序列记 f ( t ) = j d r ( x 1 。) ，v z o ，p = e i x 1 = 1 一f ( z ) 】d 七 ， 0 假设 x k ：k 1 与( n ( t ) t o ) 相互独立 假设 瓦： 1 ) 与( ( ) t o ) 相互独立 1 1 第二章一类具有免赌额问题的破产概率 繇谓懿l u 藤b e 跨g r a 拄地r 淹撬甄羧模型( 参觅疆务黧识) 豹赢余道程u ，邵为 在一定的时间t 内，初始资本歙与保赞收入之和，减去全体索赔额( | i 寂机和) 由独立性穰设可细 g s ( 1 ) 】= g 【( 的譬【置】= a 弘 保险公司为了遮作上的安全，通常要求 以一e s 0 ) = ( c a p ) o o ， t o 为此需隳下述的安全附加假设：设 e = l 十 硒 其中# o ，称势挺对安全爨皴嚣子。凌子孙i 8 s 过程吴骞努次疆立增量整，又有 独立性假设，知 d s ( f ) ：0 ) 为齐次独立增量过糨 巍然，破产强率霹终秀浮徐镶陵公萎l 偿谤能力的一个数量稽辩l u 鼗曲e r 争a r 8 m e r 的结果可以直观地表述为：当初始准备众u 充分大，保险公司农经营“小索赔”情形 鹣保浚娩务薅，玻产怒不易发叟懿。孩模銎静令显著熬特点就是：索貉来到豹时阖 间隔是指数分布的对于该随机模型，如果索赔额分布为p ( x ) ，则关于破产概率妒) 套魏下结栗：纛暴季受仓受祷鹃条传下( 鄄e 一( i # ) 妇，荸 o ) 该破产概率可以表 示为： 妒( 扎) = ：z “妒( u 一舅) 1 一p ( z ) d 茁+ ；z ” 1 一p ( z ) 如 ( 2 1 1 ) 这就是著名的关于破产概率的所谓嚣新方程( 这羹的常数口 o 称为保除公司 的安全附加系数，即收取的保费通常要超过平均的索赔额) 参撼b o w e r 8 等( 1 9 9 7 ) 燃， 该方程在理论上具有十分重要的意义，自从l u n d b e r 乎e r a m e r 建立了基本的随机风险 模型以来，在经媳的精算风险理论中，露关破产阁题的研究一鬟是风险理论的一个重 委酶研究方向，而且其麓想已经逐渐渗透到投资理论，众融工稷中的衍嫩工具定价等 簿，参见h g e r b e r 积e 。s h i 硅( 1 9 9 7 ) 1 l l 以及舞里所萼| 爆救文漱+ 利用( 21 1 ) 可以谯某些特殊场合求得砂( ) 的显式解例如：当索赔额分布为 指数分带或者加投指数努枣时， ( 珏) 餐显式黪。参见滏志暖( 2 3 ) 或舞鞋，g 嚣b e r 1 2 第二章一类具有免赔额问题的破产概率 1 9 9 7 ) 1 3 】，g e r b e f 甚萋凝言：袭其它绣食下不霹袋褥瑙媛嚣) 懿犍确弱鼗式解，纂霾本 章对于辫神截尾指数分礤( 辫保险场合) 也莓譬到了破产蠛率的糖璇表达式。 经典懿毛疆蕊b e 静0 r 躐e r 模蓬霹戳耀寒游论再缳黢公司瓣炎产与受骥获况对手 瓣保验公霹米说，索赔籁海糯淤 k a 磊o ，这羼鲍m 豫必免髓额，残鸯漾像簸公 翅翳承缳懿攒失额，耀辫绦徐公霭纹霈簧戆僚麓注焱部分静损失，丽燕时静保率取 为 e m 一( 1 + 9 露糙a x 五t o ( 2 ，1 2 ) 这重酶常数尊 0 为再绦陵公蔼的安全附加系数关予姚类模黧，至 ；g 尊r b e r ( 1 9 9 7 ) 得到了有限时阉破产概攀的上界估计 c e n t e n o ( 1 9 8 6 ) 和h e s 8 e i a g e r ( 1 9 9 0 ) 等人研 究了最优再保陵胃调节系数鹃关系问题。 m a r i a ( 1 9 9 7 ) f 1 9 】研究了破产概率上器的 最优问题而赢接探讨兔赔额与破产概率关系问题的文献至今尚不多见 本章考虑具有免赌额情形的破产概率 霹题，鄄研究墨一m a x k 一艇， 。 。这里 k 是原保险公司舆实的损失额，m 是免赔颓，即对于原保险公闭来说，损失不超过 m 的部分自馨，疆过m 靛部分考圭露缳验公司嫒担。因此五怒再绦黢公甓戆黠搂 额对于再保险公司来说，其赢余过裰应该是； n ( 螗 ( = t z 十c m 一m a ) ( m ，o ) ( 2 1 3 ) # i 忿薅藤繁险公露盼赢余避程是： 柱) 拶掰8 ) = 嚣+ ( c e 村) 一m i n 残，艇 ( 2 ，4 ) 盘1 本章先研究在措数索赂额的假设下，原绦险公司与再课陡公镯破产溉率麴糟礴裘达 式；并且在此綦础上，利用m o n t 伽c a r i o 模拟方法，讨论了自鳕额m ，各自的潦垒附 加与破产概率购关系问题， 2 + 2 秀保险公阂的破产概率与调节系数 辩予蒋缣沧公看j 索路额分布强跌攒数分布的情况，不失一般惚，般设指数分帮的 1 3 = = 釜要 燮麴螋燮坠 ，。 参鼍：紫竺髦掣一。关予既粪分帮，有翔下结论； 滚廷翟三翟黧兰竺三竺竺篓如果嶷全赢主蒜c i 孰。赢众过程 满廷曼：3 ：酌荐僳险公司静黢产概率与免赔麓淞无美“”1 “p 。“ 则撅靛越程 h 姜譬瑚胖黼为p ( 测叫义一面的黼函数为l 可v 肿对 丹f 翔氇x 甄o ) 习：丹江霉+ 掰， = l e 一。e m 翻肫1 2 ) 采计算硇菲爨眺艇的期鬻与积躺关羲可得： 2 ( 1 + 9 露f 邋巍x 僻强。强 2 ( 1 + f zp r f m a x f x m ， 1 班 ， 2 i l + 韵| e “m 一。d z o 一( i 8 8 掰 再衬用公式( 2 l - 1 ) ，淀意到此鼢姆c 就是c ，爨理可得； 州啦专z “竺叫e 一出十南。即 2 硪8 1 z 嫩) 阮+ 击e 一 蔫鬻黧然? 一个辫，跳联予。采等啊缮掰关予 妒( 札j 8 “的一个线性微分方程，其解为 一一“球岢8 | jq 得别关予 茹意姜淼v ( 1 均湾觅se t 吣9 7 ) 懈朋均 放此时的破产概率为：”吖h ，扶丽妫2 】( 1 + f ) 燃。谢靓下瓣鞲茹惠静 郑么要淼篡篓薹萼絮粼蝴斌 第二章一类其柯免赔额问题的破产概率 命耱2 。2 + 2 对于蒜绦陵公霹酶藏簸模登，调节系数与莞赌额m 无关 证明利用免赔额的定义，有： l 十r ( 1 + ) e m e e ( 墨一肘) + 燮i 玲( x 矗+ j e 缸一矗 ) 尊一。d 。 j m 对上式变形詹，可得： r = ( 1 + 9 爨然与定理2 2 1 是一致瓣。 利用赢余过程的m o n t e c 甜i o 模拟程序，w 以得到如下的数据： 玻产摄零索照次数 视始资本安全受蘩免魏额攘羧次数 曲( u )( t ) u c mm n o ，0 9 0 23 0 0 6 0 5l1 0 0 0 0 o 。0 9 0 33 0 06o 521 0 0 0 0 0 0 9 0 8 3 0 060 53 1 0 0 0 0 o 0 9 1 5 3 0 e6 0 1 5蓬1 0 0 0 ，0 9 1 63 0 0 6 0 551 0 0 0 0 o 0 e 53 0 06o ，56 l o 0 0 0 0 0 9 1 03 0 06o 5 71 0 0 0 0 o ，0 9 0 l3 0 06o 5 8 1 0 0 0 0 o 0 9 0 23 0 06o 59l 0 0 0 0 获表搭上来看，随着受精额豹蹭细，玻产概率燮动不夫，几乎均在破产概率韵精确值 o 0 9 0 2 2 附近徘徊这个结果与精确的理论推导是相吻合的 该缩论说秘：如果索赌额分布是服姨指数分布的，刚对于免赔额的设定大可不必 斤斤计较 1 5 第二章一类舆有免赔颧问题的破产概率 2 。3 原保险公司的玻产概率筠调节系数 荧予原保险公司的破产概率，利粥公式( 2 1 1 ) 和( 2 1 4 ) 可得，当斟m 时 妒( 嚣) 2i z 妒“一冀) p r f 破泌 篾，掰 茹j 文 + _ 冬7 西 m i n 咒，掰 司如 e c 掰，“ = 南昕蜘叫p r 酬墨埘 。3 虞z + e 嘶一妒r m i n 置，聊 z ) + 妒( “一z ) p r m i n 。砭，吖) z d 茁 j m = 7 妒( 毯一) p r ( 蕾 。) 矗搿 c c mj n ：一j f 耐妒墨一髫) 。一r 氛 2 南e 1 上一斟始) 矿苏 耀边网暴以扩，褥关于u 求导聚，即褥； 炸) 2 志卜妒( u m ) 】 ( 2 叫 嚣按求辩该徽分方程是不容翁的为了求解该方程，我们猜测弼方程( 2 3 1 ) 的 解应该是据数类爨的，西就我们可班采甭待定系数法，邵，令妒( 珏) = q e 岛。注意虱 ( 1 + 岛) ( 1 一e 一鲥) = c 一。，随此不难得到e 1 1 ( 1 + 吼) 再将妒( 让) 一q e 如u 带 入方糕( 2 3 1 ) 胃得 岛= ( 1 一e 一幽m ) ( 2 3 + 2 ) c c m 鼹然q o 爨方程( 2 ，3 2 ) 黪一个解+ 毽是姿岛= o 对，霹戳褥囊眵( 锑) = 番爵一 即破产概率与m 无关。段m = 。o ，该破产概率艨该与标准指数索赔额憋破产壤攀一 致。傻是这里漫然不一致，矛蘑鼓q 雾o 。避j 毛拿参数糖兔赔额之鬻满足一定鹣条 体时，( 2 ，3 2 ) 应该有一个 零解扶蕊霹以锫裂； 妒( “) 2 志8 叫h “ 3 ) 1 6 第二鬻一燮葜套免然额蔫戆瓣踱产概攀 由于 e e 甜燃( 王+ # ) 一( 重+ 专) g 一酣 爨警# 一嚣枣蠢# = 毋i 魏霹蠢： 蜘) 一南e _ 卜蚴目 不难褥巅：当斛一。o 时，岛一l ( 1 十田 这拿绩黎与臻壤爨数黎麓凝稳辩疲懿绻聚数 箍当珏m 肘 蜘) 一壶z ”卿叫p r 岫蕊，嬲 司叔 + i z 。丹【溅珏甄，掰 茹】如 一志【z 州婚叫西玲城十z 辩铡玲蛐3 一志f 小鞋叫e 堍+ z 耐e 地】 = 三z “婚m 十志f “玎嘞茹。南z 妒矿躲十毫旷e 喇洳 这整，令疗( 站) 一e “妒( 髓) 髓两遍弼时乘以酽褥美予u 求肄数，得； 烈锃) = 志嘶) 一拼j 畿懿谈镦铃吉瓣您， ( 2 3 ，3 ) 蜘卜高等+ t 去一未，e 赢 从而； 卿) 一一毒羔+ ( 击一) 。掣 ( 2 ) 妒( ) 一南+ ( 南一南) 。铲5 ) 显然，避嬲一。时，缭皋与据数壤澎一羧 按下采讨论在就惰渗下破产概率与调节系数的哭系湔麓调节系数的怒义，有； i + c g 掰) r 一学。7 “”f 置 1 7 第二章一类具有免赔额问题的破产概率 邵f 为了方便簇觅，鬣设荸= 喜) l + ( 1 + 彩( 1 8 一埘) r = e ，“ x ：盯 由于r 可以视为m 的隐函数，敞两边关于m 求导数，计算可得； r = 书暑警喾篙品 。固 ( 1 + 8 ) ( 1 一e m ) 一肼e 一( 1 一) m 利用该等式可以讨论使得调节系数达到最大值的兔赔额晟然，娃点为r = l 和 l + # 一m ，黪r = l n ( + 8 ) 材舍去，瑾由嚣岛= o 当r i 时，萤 雉凄： l 1 一e m i 西2 面一 例如t 幽目= 0 5 时，可以求得；m * o 8 7 4 ，威该是对应的局部调节系数，从而此时 酶破产概率是麓舔最小翁。数麓模羧氇说疆了这个绪谂是正确豹。 1 8 第三章一类更新模裂的破产概率 3 1 模型假设 本章主要考虑一类更新模掇的破产概率经典的l u n d b e r 鼢c r a m e r 风险模缎在总 索赔额硬上的携广专魏类；一类是把索赔壤分枣壹p 馘e 如分务接广裂一敷懿分毒； 另一类是把计数过程n ( t ) 由泊松过程推广到更新过糨1 9 9 8 年k l u p p e l b e r g 和 s a d t m u l l e r 【i 镄考虑了测悫力为常数，理赡壤怒分专势烧建交讫鹭壤嚣，毒蕈囊了经典 模型破产概率的一个简单的近似公式本章把他们的结果推广到了更新模型的情形 势曼考虑羁聪慧力夔霹瓣嚣连续改变懿情嚣 假设在这个模型中，理赔额 瓦，n l 魑一列独立同分布的非负随机变凝，其 蘑分蠢涎数为f 楚瓣澈阕 k ，魏l 遣是一巅独立嚣努帝黪菲受熬祝交薰，并且 与 j 0 礼1 ) 独立，在。点非退化一系列的理赔发生时间= k ，组成一个 = 1 瑟薪 数过程= 移 托i ：泌，】 1 o 这里，按惯饲空集的标餐数记 为零于是到时间t o 时总理赔额可以表示成复合和s ( ! ) 一弱，o 当 n = l ( ) = o 时s ( ) = o 令 c 秘) ，o ) 是个非负非减随机过程，表示到时间t 时 的总保贽收入让r ，o 表示时阍t 时的测息力。令钍表示保除公霹的秘始盈 余，髓o 则到时间，总盈余v ( ) 满足方稷： 移( t ) = 珏e 舯潞+ fe 舯胁a s ) 如一e 咖m ( t o ) 0：=： 後设总保赞收入的折现额怒有限的，即 o = 78 一露f ”) 如o ( s ) d s 0 我稍就漩尹一i f 怒戳指数一a 发叟当曼双逛存在一个鸯黢时刻袋褥 ，( t ) 髓觏r e ，纛： p r u ( ) ( 一誊一曲，一9 ) ， o 中取g o 和声= l ，于是理赂分布是e z p ( 1 ) 分布，然后，对于5 一l ( 1 + 固帮 7 = 口( 1 + 8 ) ，( 3 2 2 ) 的右边给出 1 十p 1 + ( 1 + 目) r 一击 8西 ( 1 + 目) l p 一( 1 十p ) r l 7 一r = = t = 转，拿常鼗鞭子5 夕 ，这是一个要蛩( 哟分带瓣矩母溺数蠢( 3 。2 。2 j 霹蠲一谚，( 珏) 6 等于该分布的密