（应用数学专业论文）脉冲积分微分系统的稳定性理论.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究t 作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：女u 没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：吕耀理 导师签字 学位论文版权使用授权书 缮乏琴 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 圭奠可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名言锻导师签字：移弓虏 签字日期：2 0 0 b 年歹月- ) 0f j 签字日期：2 0 0 , 年z 月日 山东师范大学硕士学位论文 脉冲积分微分系统的稳定性理论 吕濯缨 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 隧多，惑， 的稳定性和有界性，其中t z = 臁k ( t ，s ，z ( s ) ) d s ，k ：r 主r n - - + r n 脉冲积分一微分系统作为非线性脉冲微分系统【1 ，2 7 】的一个重要分支，在 自然科学中有着广泛的应用背景，如物理学中的电路模拟器与生物学中的神 经网络系统等的数学模型可以归为脉冲积分。微分系统进行分析探讨，因而 具有重要的应用价值，近年来也已引起了专家的兴趣与关注 2 - 6 在对该系 统的研究中，文 5 建立了脉冲积分一微分系统平凡解稳定性的比较结果，文 【2 4 ，6 研究了该系统解的有界性并给出了直接结果，然而整体来看，对该系 统稳定性的研究尚处于起步阶段，还有许多问题有待解决，因此还有大量工 作要做本文研究脉冲积分一微分系统的稳定性与有界性，得到了若干新结 果 在第一章中，首先我们通过借鉴研究泛函微分系统 7 2 3 ，2 8 ，3 4 的l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧的思想研究了脉冲积分一微分系统f 1 ) 零解的稳 定性，给出了五个定理，其中定理1 3 1 - 1 3 4 均减弱了y 函数在脉冲点的限制 条件，而定理1 3 5 中，l y a p u n o v 函数沿系统( 1 ) 的解的导数可以放宽，不再局 限于常负或定负，同样能够得到系统( 1 ) 零解的一致渐近稳定性，在用于判断 时更有效且范围更广本章第三节最后举例说明了定理的实用性其次，由于 微分系统零解的稳定性与渐近稳定性无法提供有关解的衰减率的有效信息， 同时各种稳定性定义又均是单方面的估计，从而我们需要引入严格稳定性的 概念 2 2 - 2 4 】本章第四节就首先给出系统( 1 ) 零解严格稳定性的定义，然后同 样利用l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧的思想给出了系统( 1 ) 零解严 格稳定性的两个直接结果 山东师范大学硕士学位论文 在第二章中，我们主要对系统( 1 ) 关于两个测度的有界性进行分析与研 究，仍然通过建立适当的l y a p u n o v 函数并结合r a z u m i k h i n 技巧，给出了五 个定理，均为系统( 1 ) 关于两个测度有界性的直接结果需要指出的是，定理 2 3 2 与定理2 4 2 减弱了y 函数在脉冲点的限制条件，而定理2 4 3 则不再 要求l y a p u n o v 函数沿系统( 1 ) 的解的导数局限于常负或定负，同样可以得到 系统( 1 ) 关于( h o ，h ) 的一致最终有界性在研究过程中，本文采取了不同于 文f 3 , 4 ，6 1 的证明方法，通过分脉冲区间讨论与数学归纳法相结合的思想，省 去了对所寻求点是否为脉冲点分情况讨论的情形，从而使证明过程可以更为 简洁和明晰本章最后也同样给出了一个例子来验证结果的有效性 在第三章中，首先我们给出锥的定义，在锥上定义序关系然后介绍了锥 值l y a p u n o v 函数的概念及其沿系统( 1 ) 的解的导数定义在用向量l y a p u n o v 函数方法得出比较结果时，总是要求比较系统在标准锥r 至上具有拟单调 非减性但具有稳定性的比较系统却不一定满足这一性质当我们用适当 的锥来代替标准锥r 2 后，对比较系统降低了这一要求，具有明显的优越性 2 9 _ 3 3 ，3 引本章中我们利用锥值l y a p u n o v 函数方法首先给出了两个引理，并 由引理得出得出了系统( 1 ) 稳定性与两个测度的有界性的若干比较结果需 要指出的是，在实践中我们常常遇到这样的情形，系统的某一状态可能从数 学的观点来看是不稳定的，但由于系统可能在这一状态附近充分小的范围内 变化，从而使其可以被接受，此类现象促使人们对系统的实际稳定性进行研 究，因此本章也给出了系统( 1 ) 零解实际稳定性的比较结果 关键词：脉冲积分一微分系统，l y a p u n o v 函数，r a z u m i k h i n 技巧，锥值 l y a p u n o v 函数，稳定性，有界性，两个测度 分类号：0 1 7 5 2 1 2 山东师范大学硕士学位论文 s t a b i l i t yt h e o r yf o ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l s y s t e m s l vz h u o y i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a ls y s t e m sa sf o l l o w s lz ，一，( t ，z ，t x ) ，t t k ， x ( t k ) = 以( z ( t i ) ) ，k n ， ( 1 ) lx ( t 0 + ) = x o ， w h e r et x = z ok ( t ，s ，z ( s ) ) d s ，k ：r 辜r 几_ r 几 q u a ai m p o r t a n te m b r a n c h m e n to fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s 1 ，27 i ， i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sh a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si nn a t u r e s c i e n c e f o r e x a m p l e ，m a t h e m a t i cm o d e l so fc i r c u i ts i m u l a t i o ni np h y s i c sa n dn e u r o n a ln e t 一 。 w o r k si nb i o l o g yr e m a i nw i t hi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m st oa n a l y z ea n dd i s 一 c u s s s oi ti sv a l u a b l et ob es t u d i e da n da l s oa t t r a c t sm a n ye x p e r t sa t t e n t i o na n d i n t e r s t i n g 2 1 i nt h ep r o c e s so ft h es t u d yo ft h i ss y s t e m ，a r t i c l e 5 g o tt h ec o m p a r i s o nc r i t e r i ao fs t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o no fi m p u l s i v ei n t e g r o - - d i f f e r e n t i a l s y s t e m s ，a n da r t i c l e 2 - 4 ，6 s t u d i e db o u n d e d n e s so fs o l u t i o n so ft h i ss y s t e ma n d g o ts o m ed i r e c tr e s u l t s h o w e r v e r ，t h es t u d yo fs t a b i l i t yo ft h i ss y s t e mi s i n u n d e r w a yp h a s e ，a n dt h e r ea r em a n yp r o b l e m sw h i c ha r en o ts o l v e d t h e r e f o r e ， w eh a v eal a r g en u m b e ro fw o r kt od o i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ep r o p e r t i e so f s t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so ft h es y s t e m s ，a n dw eg e ts o m en e wr e s u l t s i nc h a p t e ro n e ，f i r s t l yw em a i n l yi n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o no ft h es y s t e m ( 1 ) b yt h ei d e ao fu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sc o u p l e dw i t hr a z u m i k h i nt e c h n i q u ew h i c ha r eu s e di nt h es t u d yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m s 7 2 3 ，2 8 , 3 到a n dg e tf i v et h e o r e m s i nt h e o r e m1 3 1 一1 3 4 i tw e a k e n st h e r e s t r i c tc o n d i t i o no fvf u n c t i o na ti m p u l s i v ep o i n t m o r e o v e r ，i nt h e o r e m1 3 5 ， t h ed e r i v a t i v eo fl y a p u n o vf u n c t i o na l o n gt r a j e c t o r i e so fs y s t e m ( 1 ) d o e s n tn e e d t ob er e q u i r e dt ob en e g a t i v ed e f i n i t e ，s ot h e ya r en o to n l ye f f e c t i v eb u ts u i t a b l e 3 山东师范大学硕士学位论文 f o rm a n ya p p l i c a t i o n s f i n a l l yw eg i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ep r a c t i c a b i l i t yo ft h et h e o r e m si ns e c t i o n3o ft h i sc h a p t e r s e c o n d l yb e c a u s es t a b i l i t ya n d a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o nd o e sn o tg u a r a n t e ea n yi n f o r m a t i o n a b o u tt h er a t eo fd e c a yo ft h es o l u t i o n sa n dv a r i o u sd e f i n i t i o n so fs t a b i l i t ya r e t h e r e f o r eo n e s i d e de s t i m a t e s ，w en e e di n t r o d u c et h ec o n c e p t i o n so fs t r i c ts t a - b i l i t y 2 2 - 2 4 i ns e c t i o n4o ft h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n i t i o n so fs t r i c t s t a b i l i t yo fs y s t e m ( 1 ) t h e nw ea l s om a k eu s eo ft h ei d e ao fl y a p u n o vf u n c t i o n s c o u p l e dw i t hr a z u m i k h i nt e c h n i q u et og e tt w od i r e c tr e s u l t so ft h es t r i c ts t a b i l i t y o ft h et r i v i a ls o l u t i o no fs y s t e m ( 1 ) i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sp r o p e r t i e si nt e r m so ft w om e a s u r e so fs y s t e m ( 1 ) i nt h es a m ew a yv i as e t t i n gu pp r o p m l y a p u n o vf u n c t i o n sa n d u s i n gr a z u m i k h i nt e c h n i q u ea n dg e tf i v et h e o r e m sw h i c ha r ea l ld i r e c tr u s u l t s i nt h e o r e m2 3 2a n dt h e o r e m2 4 2 i tw e a k e n st h er e s t r i c tc o n d i t i o no fvr u n e t i o na ti m p u l s i v ep o i n t m o r e o v e r ，i nt h e o r e m2 4 3 ，t h ed e r i v a t i v eo fl y a p u n o v f u n c t i o na l o n gt r a j e c t o r i e so fs y s t e m ( 1 ) d o e s n tn e e dt ob er e q u i r e dt ob en e g a t i v ed e f i n i t e ，a n dw ea l s oc a ng e td i r e c tr e s u l t ss u c ha s ( h 0 ，允) 一u n i f o r mu l t i m a t e b o u n d e d n e s so ft h es y s t e m ( 1 ) i np r o v e m e n t ，t h i sp a p e rd i f f e r sf r o mt h ea r t i c l e 3 , 4 ，6 】b yt h ei d e ao fd i s c u s s i n gw i t hi m p u l s i v es e c t i o nc o u p l e dw i t hm a t h e m a t i cc o n c l u d i n gm e t h o d ，t h ep r o v e m e n tl e a v e so u tt h ec a s eo fj u d g i n gt h a tt h e f o u n d e dp o i n ti si m p u l s i v ep o i n to rn o ts oc a nb em o r ec o m p a c ta n dt r a n s p a r e n t s i m i l a r l ya ne x a m p l ei sg i v e nf i n a l l yt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e m si n t h i sc h a p t e r i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n a t i o no ft h ec o n ea n do r d e rr e l a t i o no nt h ec o n e t h e nw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no fc o n e v a l u e dl y a p u n o v f u n c t i o n sa n di t sd e r i v a t i v ea l o n gt h es o l u t i o no fs y s t e m ( 1 ) t h e r ei st h er e q u i r e m e n to fq u a s i m o n o t o n en o n d e c r e a s i n gp r o p e r t yo ft h ec o m p a r i s o ns y s t e mo nr 竺 i nl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d h o w e v e r ，i ti sn o tn e c e s s a r y b yu s i n gc o n e v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n s w em a k et h em e t h o dm o r eu s e f u l 2 9 3 3 ，3 引i nt h i s c h a p t e r ，w ef i r s t l yg i v et w ol e m m a sf r o mw h i c hw eg e tt h ec o m p a r i s o nc r i t e r i ao f s t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s si nt e r m so ft w om e a s u r e so fs y s t e m ( 1 ) w h a tw em u s t p o i n to u ti st h a ti np r a c t i s ew ea l w a y sm e e tt h es i t u a t i o nt h a ts o m es t a t eo ft h e s y s t e mm a yn o ts t a b l ei nt h ev i e w p o i n to fm a t h e m a t i c s b u tb e c a u s et h es y s t e m m o v e si nt h ea r e aw h i c hi s8 u 伍c i e n ts m a l lr o u n dt h es t a t ei tc a nb er e c e i v e d t h i sp h e n o m e n am a k e su ss t u d yp r a c t i c a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m t h e r e f b r e ， 4 山东师范大学硕士学位论文 t h i sc h a p t e ra l s og e t st h ec o m p a r i s o nr u s u l to fp r a c t i c a ls t a b i l i t yt r i v i a ls o l u t i o n o ft h es y s t e m ( 1 ) k e y w o r d s ：i m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a ls y s t e m ，l y a p u n o vf u n c t i o n ， r a z u m i k h i nt e c h n i q u e ， c o n e v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n ， s t a b i l i t y ， b o u n d e d n e s s ，t w om e a s u r e s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章脉冲积分一微分系统的稳定性 51 1引言 脉冲积分一微分系统是一类重要的非线性脉冲微分系统，在物理、生物 等领域有着广泛的应用背景，但关于该系统的研究结果还为数不多 26 】，还 需要进行全面系统的分析本章首先针对系统( 1 ) 零解的稳定性进行研究，利 用l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧的思想方法给出了若干结果其次， 由于微分系统零解的稳定性与渐近稳定性无法提供有关解的衰减率的有效 信息，同时各种稳定性定义又均是单方面的估计，从而我们需要引入严格稳 定性的概念 2 2 - 2 4 】本章第四节就首先给出系统( i ) 零解严格稳定性的定义， 然后同样利用l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧的思想给出了系统( 1 ) 零解严格稳定性的两个直接结果 1 2预备知识 考虑如下脉冲积分微分系统 i = f ( t ，。，t x ) ，t t k ， z ( 如) = 以( z ( i ) ) ，k n ， ( 1 ) lz ( t o + ) = 5 9 0 ， 其中 ( i ) 为正整数集； ( i i ) ，：r + s ( p ) r ”一r ”在【t k ，t k + 1 ) s ( p ) r “上连续，s ( p ) = z 卯2 ： oi p ) ，k ； ( i i i ) t x = 盛e ( t ，s ，z ( s ) ) d s ，k ：r 辜x s ( p ) _ r “且keg ( ，t k + i ) t k ，z + 1 ) s ( p ) ，舻) ； ( i v ) o t 1 t 2 “ r “( v k ) ； ( v i ) 对上述p ，存在p l ：0 p 1 p 使得当z s ( p 1 ) 时有以( 。) s ( p ) ； ( v i i ) k ( t ，t ，0 ) j0 ，f ( t ，0 ，0 ) 三0 ，以( o ) 三o ( v k ) ，保证系统( 1 ) 的零解存在 6 山东师范大学硕十学位论文 另外我们总假定，：以满足定条件以保证系统( 1 ) 的解整体存在唯一 记系统( 1 ) 满足z ( t o ，t o ：z o ) = 。o 的解为z ( t ) = x ( t ，t o ，2 3 0 ) ；x ( t ) 分段连续且 只有第一类间断点t = “( ，v ) ，满足z ( t j ) = x ( t k ) = 以( z ( ) ) ，并记 g k = ( t ，。) r 十s 0 ) ：一1 o 且w ( o ) = o ) ， n 1 = p c r + ，r + ：p ( 4 关于s 非减，p ( s ) s ，s o 且p ( o ) = o ， q 2 = 皿g r 钆，r + 】：皿( s ) k ，且o o ，s o 且h ( o ) = o ) 下面给出系统( 1 ) 零解的稳定性定义 定义1 2 3 称系统( 1 ) 的零解为 ( i ) 稳定的：若对v s 0 、t o r + ，| d = 5 ( t o ，) o 使当1 2 2 0 l o ，t o r + ，珂一d ( t o ) o ：t = t ( t o ，) o ：使当 l z o l 0 ：珂l = d 1 ( t o ，1 ) 0 ，使当i o l 5 1 时有i z ( t ，t o ，x 0 ) 1 6 1 ，t t o ，同时对v 如 l 。o l 5 2 时有e 2 l x ( t ，t o ，z o ) j ，t t o ； 0 6 2 曼占l ，3 e 2 ：0 2 如使当 ( v i i i ) 严格一致稳定的：若( v i i ) 中的6 1 ，6 2 及5 2 均与t o 无关 7 l l 【东师范人学硕士学位论文 1 3脉冲积分一微分系统零解的稳定性 本节我们主要利用l y a p u n o v 函数并借助应用于泛函微分系统的r a z u m i k h i n 技巧给出系统( 1 ) 零解的稳定性结果 定理1 3 1 设存在函数v k ，a ，b k ，满足 ( i ) n ( i x l ) v ( ，茁) sb ( i x l ) ，( t ，z ) 旺o ，c o ) s ( p ) ， ( i i ) 对所有a n 及x s ( p - ) 有v ( t k ，以( 。) ) ( 1 + “) v ( 坛、z ) ，其中b 0 且b k o o ； ( 词对系统( 1 ) 的任意解z ( t ) ，当v ( s ，z ( s ) ) sv ( t ，。( t ) ) ：t 7 s 茎t ，t 7 t o 时 有 d 十v ( t ，。( t ) ) 0 则系统( 1 ) 的零解是一致稳定的 证明：由 o o 知j m ：1 m o 。使得( 1 + b k ) = m 垤：0 0 满足m 6 ( 6 ) 。( ) v t o r + ，不妨设t o t k l ，“) ，记v ( t ) = v ( t ，z ( ) ) ，则当l 黝l d 时有 o ( 1 z ( 钿) i ) 曼v ( t o ) b ( 1 4 t o ) f ) 6 ( d ) m b ( 6 ) n ( e ) ， 即l x ( t o ) l v ( t o ) ，则令t + = i n f t ( t o ，刁： v ( t ) 6 ( 6 ) ) ，于是由v 在( t o ，t k ) 上连续知v ( t + ) = b ( 6 ) ，d + v ( t 4 ) 0 且 v ( t ) sv ( t + ) ，t t o ，外 但由( i i i ) 知v ( t + ) 0 ，矛盾，故( 1 3 2 ) 成立 由( 1 32 ) 及( i i ) 知v ( t k ) = y ( “， ( z ( 坛) ) ) 曼( 1 + b k ) v ( t i ) ( 1 + 饥) 6 ( d ) ， 则v ( t ) s ( 1 + b k ) b ( 6 ) ，t o t t r 然后我们只需证明 v ( t ) ( 1 + k ) 6 ( d ) ，“st ( 1 + b ) b ( d ) y ( 觑) ，则由( 1 3 2 ) 的证明知 j ( t 女，t k 十i ) 使d + v ( 8 0 且v ( t ) v ( o ，t f t m ， ，但由( i i i ) d + v ( t ) 曼0 8 山东师范大学硕士学位沦文 矛盾故f 1 3 3 ) 成立 再由( i i ) v ( t , + t ) = v ( t a + 1 ，巩+ 1 ( 。( 如。1 ) ) ) ( 1 + 6 r + 1 ) 矿( t 丑1 ) sf l + b k + 1 ) ( 1 + k ) 6 ( d ) ，于是v ( t ) s ( 1 + 6 + 1 ) ( 1 + b k ) 6 ( d ) ，t k 茎t t k 一1 由数学归纳法知对于i = 0 ，1 ，2 ，有 v ( t ) ( 1 + 抑十1 ) ( 1 + b k + ) ( 1 + “) 6 ( j ) ，t k 十i f t k + i + l ， 则v ( t ) sm b ( 5 ) ，t t o 从而o ( i z ( t ) j ) sv ( t ) m b ( 6 ) o ) ，使对系统( 1 ) 的任意解z ( t ) ，当v ( s ，z ( s ) ) m u ( m = i i ( 1 + 乩) ) 使得对于系 统( 1 ) 的任意解z ( z ) ，当v ( s ，z ( s ) ) 0 满足m b ( 5 ) = a ( p 1 ) ，那么对v t o r + ，当l z o f d 时有 l x ( t ，t o ，2 5 0 ) i p l 且v ( ，z ( t ) ) 彳6 ( d ) ：t t o v ：o d 设n = n ( c ) 0 为满足m b ( 5 ) m 1 1 n ( ) + 明的最小正整数 v t o r + 不妨设t o i r k l ，屯) ，记v ( t ) = 矿( t ，z ( t ) ) 及 7 = i n f w ( s ) ：b - i ( m - l a ( 占) ) s p 。) ，h = 丝坐丛芝业，其中厨= 。o ， b k k 一一一 r 1 【七 v ( t ) o 扛) + ( n i ) d ，t t o + i h ，i = 0 ，1 ，一，( 134 ) 。 9 山东师范大学硕士学位论文 显然( 1 3 4 ) o 成立假设( 1 34 ) 。对某个i ( o i 墨n ) 成立，则须证( 134 ) 成立 令 = t o + i h ，t o + ( i + 1 ) 捌 首先我们证明 jt + 厶满足v ( t 8 ) m 一1 o ( ) + ( 一i 一1 ) d ( 1 35 ) 若不然，对所有t 厶有 v ( t ) m 一1 o 仁) + ( n i 1 ) d ， 则当t 五时有m 。a ( e ) m v ( t ) + d m m 一1 n ( ) + ( n i 一1 ) d + d = o ( ) + ( n i ) d y ( 5 ) ，t o + i h 兰s 茎t 由( i i i ) 知d + v ( t ) 一w 7 ( 1 z ( t ) 1 ) 一7 对上式从t o + i h 到t 积分得 v ( t ) 茎v ( t o + i h ) 一7 0t o i h ) + v ( “) 一y ( t i ) t k 6 1 i o o m b ( 5 ) 一7 ( t t o i h ) + b k v ( t ；) k = l m b ( 6 ) 一7 0 一t o i ) + m b ( 5 ) m = ，6 ) ( 1 + m ) 7 ( t t o i h ) 取t = t o + ( i + 1 ) 九，则 v ( t 。+ ( i + 1 ) 九) 墨m b ( 占) ( 1 + 厨) 一7 丝丛堕旦掣= 一1 ，矛盾： 故( 1 3 5 ) 成立 令m = m i n 0 咯n ：札 c 木) ，l = m 。1 陋扛) + ( n i 一1 ) d 然后我们证明 v ( t ) 冬工，t + s t l v ( t + ) ，则令= i n f t ( t 4 ，t m ) ：y ( t ) 日，于是由y 在( t + ，t 。) 上连续知y ( 9 = l ，d + v ( 蓟 0 且v ( t ) v ( 蓟，t + 曼 t t 从而p ( y ( 1 ) ) v ( t ) v ( t ) ，te t + ，圭 ， 因此由( i i ) 知d + v ( t ) s0 ，矛盾，故( 136 ) 成立 1 0 l 东师范大学硕士学位论文 又由( i i ) 知v ( t 。) 茎( 1 + ) y ( 坛) ( 1 + 6 m ) 上，则对于j = 0 ，1 2 同理可 证 v ( t ) ( 1 + 6 m 却“) ( 1 + b m 阿) 。( 1 + b m ) 三，t m + ，t t m + j l ， 于是v ( t ) 墨m l = ( e ) + ( n i 一1 ) d ，t t + ，即( 1 3 4 ) 成立 由数学归纳法知( 1 3 4 ) i 对所有i = 0 ，1 ，均成立，那么当i = n 时 有 n ( i z ( t ) 1 ) v ( t ) 口( e ) ，t t o + n h 令t = t ( e ) = n h ，从而当t t o + t 时有i z ( t ) l e 即系统( 1 1 的零解是一致渐近稳定的 定理1 3 3 设存在函数v k ，a ，b k 及w q 使定理13l ( i ) ( i i ) 成 立且有 ( i i i ) 存在卢 0 ，对于所有满足l v l b ( a ) 0 及任意7 0 总 有q = ”( d ，7 ) 0 ，使得对于系统( 1 ) 的任意解z ( ) ，当o l i z ( s ) ls 卢及 y ( s ，z ( s ) ) 曼m v ( t ，茁( ) ) + q ，t ssst ，t t o 时有 d + v ( t ，。0 ) ) s w ( i z ( t ) 1 ) + 7 ， 其中m = i i ( 1 + k ) 则系统( 1 ) 的零解是一致渐近稳定的 证明：v t o r + ：| 卢p l ：对v e ：0 0 满足m b ( 5 ) 墨 o ( e ) 不妨设t o t k 一1 ，t k ) ，记v ( t ) = v ( t ，z ( t ) ) ，则当i 鼬l 5 时有 1 v ( t o ) sb ( i z ( 面j - 。( ) 。( e ) ， 即l z ( t o ) l e y ( t ) 击。( ) ，如5 面1 。( e ) ，则令 击。( e ) ，于是由y 在( 如，“) 上连续知 v ( t ) = 亩。( ) 6 ( d ) ， 且有 v ( t ) ( 1 38 ) ( 1 3 9 ) 些查堕堕查堂堡圭兰焦堡茎 因此5 z 0 ) f e 且d + v 0 取7 ：0 7 j i n 。 0 有 y ( s ) v ( 圭) m 矿( 立) 十 r ，t o 8 t ， 于是由( i i i ) 知d + y ( ) 茎一( | z ( ) 1 ) + 7 o 满足m b f j ) ： a ( m ) o ( 卢) ，使得对v t o r + ，当| z o l d 时有 l z ( f ，t o ，x o ) lsp 1 且v ( t ) m 6 ( d ) = o ( p 1 ) o ( 卢) ，t t o 对垤：0 0 为满足m b ( d ) m 一1 。( e ) + 剜的最小正整数 y ( ) a 仁) + ( i ) q ，t 三t o + i h ，i = 0 ，1 ，一，( 1 3i o ) 。 显然( 1 3 1 0 ) o 成立 设( i nl o ) z 对某个i ：0si m 一1 陋( e ) + ( 一i 一1 ) q ， ( 131 2 ) 则m1 n 扛) 0 ，v ( t ) l j | _ v ( t ) y ( 刁，t + t 兰# ， 于是si z ( f ) 卢且 v ( s ) 茎v ( 旬墨m 一1 o ( ) + ( 一i ) 叩】 0 使得对v a n 有2 r 0 ，有 尸熹 i 、n ，f 广g ( 汕 厶丽 。j i 9 ( s ) 如 则系统( 1 ) 的零解是一致渐近稳定的 证明：垤：0 o 满足p ( 6 ( d ) ) o ( e ) v t o r + ，不妨设t o t 自一l ，缸) ，记v ( t ) = v ( t ，口( ) ) ，则当l z 0 1 6 时有 a ( i z ( t o ) 1 ) 曼v ( t o ) sb ( 1 z ( t o ) ) 6 ( d ) p ( b ) ) 墨。0 ) ， 即i z ( t o ) f v ( t o ) ，则令t + = i n f t ( t o ，习： y ( t ) 6 ( 6 ) ) ，那么由v 在( t o ，“) 上连续知v ( t 4 ) = 6 ( 6 ) ，d + 矿( 矿) o 且 v ( t ) sv ( t + ) ，t f t o ，吼 于是 p ( v ( t + ) ) v ( t + ) 芝y ( t ) ，t ost 曼t 8 t 4 山东师范大学硕士学位论文 由( i i i ) 知y ( 扩) 一g ( 矿) 日( y 妒) ) 0 ，矛盾；故( 1 3 1 4 ) 成立 由( 1 3 1 4 ) 及( i i ) 知v ( t k ) = v ( t k ，以