（基础数学专业论文）自相似集与其平移的并集的自相似性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 。设苎代函数系统为 ( z ) = 詈，厶( z ) = 詈+ 詈， ( z ) = 詈+ 鲁) ，则存在自相似 集m ，满足 。 m 2 u ( m ) = 言mu 吉( m + 2 ) u 吉( m + 4 ) 本文主要研究当q 取何值时，自相似集m 与m 的平移m + q = z + q ：z m ) 的并集是自相似集本文主要结论为： 定理自相似集m 与m 的平移m + q 的并集是自相似集当且仅当存在自然数 扎使得q = 士2 5 ” 关键词：自相似集；迭代函数系统；平移：开集条件 a b s tr a c t l e ta ni t e r a t e df u n c t i 。ns y s t e m b e 洲垆詈删z ) = 詈+ 詈，舯) = 詈+ 鲁) ， t h e nt h e r ee x i s t sas e l f s i m i l a rs e t zw h i c hs a 七i s f i e s 五( m ) = 吾mu 言( m + 2 ) u 昙( m + 4 ) i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o b l e mt h a t ，i nw 1 1 i c hc o n d i t i o nt h eqi s ，t h e u n i o no ft h es e l f - s i m i l a rs e tma n di t st r a 璐l a t i o nm + 0 f = z + q ：z m ) c a nb e s e l f s i m i l a r t h em a i nr e s u l ti sa sf d l 惜： t h e o r e mt h eu n i o no ft h es e l f _ s i m i l a rs e tma n di t st r a i l s l a t i o nm + qi sa s e l f - s i m i l a rs e ti fa n do n l yi ft h e r ee ) ( i s t san a t u r a ln u m b e rns u c ht h a tq = 土2 5 竹 k e yw o r d s ：s e l f _ s i m i l a rs e t ；i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ( i f s ) ；t r a n s l a t i o n ；o p e n s e tc o n d i t i o n ( o s c ) i i u ：i = m 顽士学位论文 m a s = ：r e 疑st h 层s i 建 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：奎袍日；已日期：p 口g 年朔2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：本丰色吼 日期：枷o i 年 月21 导师签名： 衍乏办 日 日期：勿曰年r 月叩日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童诠塞握变压进卮! 旦主生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：李艳眈 日期：p 翟年 月1 - 7 日 导师签名：脲f 玩 帆川年厂月7 日 顽士学位掩文 m a s t e r st 蛙e 甾$ 第一节介绍 自然界中出现的诸如云层边界、山脉的轮廓、雪花、海岸等等不规则的几何形 体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面等来描述同时，大量的不 同类型的及不规则的几何对象常常出现在自然科学的不同领域中：如数学中非线 性问题中出现的吸引子、流体力学中的湍流、物理中临界现象与相变、化学中酶与 蛋白质的构造、生物中细胞的生长、工程技术中的信号处理、噪声分析等等长期 以来，人们试图将它们纳入经典几何的框架中研究，结果发现，无论在理论还是实 践上，由此导出的模型即使在近似的情况下也难以处理所接触到的实际情形另一 方面，人们注意到不规则集合往往能够提供许多自然现象的更好描述2 0 世纪8 0 年代由b b m a n d e l b o r t 所创立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思 想、方法和技巧特别近年来，这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地 质、管理等学科获得巨大成功，同时，这一学科在不同学科中的应用又刺激了自身 的深入发展 自相似集是分形几何中最简单的一类分形集，m o r a n f l 5 1 首先考虑了自相似集 的结构，而h u t c h i i l s o n 3 1 是第一个系统研究自相似集的，同时也就给出了构造分 形集的最基本的方法，即：设压缩函数族 ( z ) = n z + 玩】- 竺1 ，其中对所有i 有 o l 设 2 为任意正整数，令= 1 ，2 ，】为个不同符号的集 合茹= 伽= ( 们1 ，忱，) ：叫i ，t = 1 ，2 ，m ) 表示长度为m 的符号序列的集合，约定= o ) 集合嚣中的元素也称为长度为m 的 词= u m o 茹表示长度为有限的符号序列的集合( 或长为有限的词的集 合) 罱= 伽= ( 叫1 ，叫2 ，咄，) ：毗，t = 1 ，2 ，3 ，) 表示长度为无限的符 号序列的集合对任意的叫，用l 叫l 表示伽的长度 若盯= ( i 1 ，i 2 ，i n ) ，记厶( z ) = 五，。五：o o 五。p ) 2 3不变集和自相似集 定义2 1 ( 压缩映射与相似压缩映射) 设( x ，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子 3 龌士学位论更 m a s r e r st h e s l s 集对于映射，：d x ，如果存在正实数0 c l ，使得对任意z ，可d ， d ( ，( z ) ，( 可) ) c d ( z ，可) ， 则称，为d 上的压缩映射当上式取等号时，称为d 上的相似压缩映射，或者 相似变换，简称相似映射实数c 称为压缩比或者压缩系孰 定义2 2 ( 迭代函数系统) 设 五) 磐1 为xcr n 上的压缩映射族，i = 1 ，2 ，m 2 ，即对于i = 1 ，2 ，存在0 n 1 ，对任意z ，可x ，使 得下式成立 l 五( z ) 一 ( 可) i n l z 一引， 这里l z y i = ，( 戤一犰) 2 表示点z = ( z l ，z 2 ，z 。) 和点秒= ( 秒1 ，珑，鲰) y1 2 1 之间的欧氏距离则 粥- 鉴1 称为一个迭代函数系统例 设s 为r n 上的非空紧子集族，其上的度量d 定义为h a u s d o r f f 距离，即 d ( 以，b ) = i n f 6 ：ac 岛，且bc4 6 ) 其中 a 6 = 可：i z 一i 6 ，z a ) 为a 的6 一邻域s 在h a u s d o r f r 距离下是一个完备的度量空间 在【5 】中，f a l c o n e r 证明了如下定理 定理2 3 设 五) 墨l 是xc 舻上的压缩迭代函数系统，那么存在唯一的非空 紧集tcx ，满足 t = u 五( t ) ( 2 1 ) i = l 而且，对于a s 猡s 为非空紧集类夕，定义变换f ：5 5 为 f ( a ) = u 五( a ) ( 2 2 ) i = 1 则对任意的a 5 ，当七趋于正无穷时，在h a 璐d o m 距离下 f ( a ) 一t( 2 3 ) 这里p 是f 的七次迭代更进一步，如果a s ，满足对任意i 有只( a ) ca ，则 4 ( 2 4 ) a 七 f n 腻 | | 丁 硕士擘位诒文 m a s t e r st h e 甜s 满足式( 2 1 ) 的唯一非空紧集t 称为迭代函数系统 ) 墨1 的吸引子或者不变 集，也称迭代函数系统生成t 如果 五) 墨，相似压缩映射族，则满足式( 2 1 ) 的唯 一非空紧集t 称为自相似集 定义2 4 ( 开集条件) 设 & ，磐1 是r d 上的压缩迭代函数系统，如果存在非空 开集0 则，满足下列两个条件： ( 1 ) 对所有i 1 ，2 ，) ，有& ( d ) cd ； ( 2 ) 对所有 ，歹 1 ，2 ，) 且i 歹，有& ( d ) n 岛( d ) = d ， 则称压缩迭代函数系统 & ) 墨1 满足开集条件，亦称压缩迭代函数系统 & ) 篓1 的 不变集满足开集条件 2 4h a u s d o r f r 维数和自相似维数 设f 和u 为r n 中的任何非空子集，定义u 的直径为：i u l = s u p i z y l ： z ，可u ) 如果 以) 为可数( 或有限) 个直径不超过6 的集构成的覆盖f 的集类， o o 即fcu 以( 或fcu 阢) ，且对每一个i ，都有o 0 ，定义 爿；( f ) = i i l f l 阢1 8 ： 阢) 为f 的j 一覆盖 1 = 1 当艿_ o 时，冗；( f ) 趋于一极限，记此极限为咒8 ( f ) ，即 咒8 ( f ) 2 她咒；( f ) 该极限对任何的非空集合fc 舯都存在，可以是。或或任何有限值，称爿8 ( f ) 为f 的s 一维肌u s d d 穆测度 设e 为渺的子集，则e 的h a u s d o r f f 测度在平移变换下不变 在 2 0 】中，有如下命题 命题2 5 设o s 亡 ，ecx ，则 ( 1 ) 7 l f 8 ( e ) 0 辛冗5 = 吣 5 由此命题，对于ecx ，存在s 的一个临界值使得咒3 ( e ) 从正无穷跳跃到0 此临界值称为集e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m 日e ，即 d i m 日( e ) = i n f s ：爿8 ( e ) = o ) = s u p s ：咒8 ( e ) = o o ) 命题2 6 h a u s d o r f f 维数具有可数稳定性，即 d i m 日( u 毋) = s u p d i m 日局：i 1 ， i 特别的，d i m 日( 毋u 赐) = m a x d i m 日局，d i m h 岛) 定理2 7 设t 是压缩比为n 的相似压缩映射族的吸引子，且t 满足开集条 件，则存在唯一的s 使得下式成立 哼= 1 ( 2 5 ) t = 1 使上式成立的s 称为t 的自相似维数，记为d i m s z 对于自相似集合，我们有如下定理 定理2 8 设t 是压缩比为n 的相似压缩映射族 五) 磐l 的自相似集，如果t 满足开集条件，s 满足定理2 z 则 ( 1 ) o 咒8 口) o 口 记眠= m u ( m + q ) ，肌a = m u ( m 一口) ，其中q o 设_ 五( z ) = n z + 6 t ) 篓1 是集坛的迭代函数系统，则心= q + 1 一耽事实上， 口+ 1 一尥 =( a + 1 一m ) u ( 口+ 1 一m 一口) = ( q + 1 一m ) u ( 1 一m ) = ( q + m ) um = 地 由引理3 3 ，可设n 0 ，6 l 6 2 6 ，约定文中后面用到的迭代函数系统都 满足这些条件由上面约定，则6 l = 0 山 o ，则玩 o ( t = 1 ，2 ，) 对任意z 耽和 1 ，2 ，) ，则 ( z ) o ，但是。隹u 竺1 五( 耽) = 尥与o 尥矛盾若6 q + 1 ，由1 心， 则 ( 1 ) = 亿+ h 口+ 1 与对任意y 虼有s ，1 + 口矛盾 3 4生成心的迭代函数系统所必须满足的条件 引理3 4 设 五( z ) = n z + 玩) 篓1 是自相似集收的迭代函数系统，则存在正 整数g t 0 = 1 ，2 ，) ，使得n = 5 一吼， 玩= 6 t 叫5 一， 七= 一“ 其中m 纠= o 、2 或4 ，并且n l o g ( q + 1 ) l o g 5 - 证明：令p 0 ，且3 7 1 5 - p q 由于 ( 5 一p ) = 7 1 5 一p q ， ( 2 5 一p ) = 2 7 1 5 一p q ， ( 3 5 一p ) = 3 r 1 5 一p 口， 则r 1 5 呻、2 r 1 5 - p 、3 r 1 5 呻m 由引理3 2 ，则存在正整数仇使得r 1 = 5 一口1 9 设 的第尼次迭代为0 舢，则存在正整数j 满足 矗2 ( 1 + q ) 有玩旧= 2 ，则玩可表 示如下： 一1 o o 6 t = 机【纠5 一知+ 2 5 一七 七= 一n七= + 1 记n = 州明5 一，其中n 【s 】o ( 1 。) n 【s 】= 1 此时取z o = 3 5 8 一b 一1 m ( 足够大) ，则 其中7 【s 】= o 、1 或2 由于 o ( 2 + ( n z 。) 5 “ 有玩= 4 ，则6 可表 示如下： b l 玩= 6 t 邮一膏+ 5 七= 一t o 取z o m 满足 0 有巩= 4 ，则以可表 示如下： 玩= 6 l 郾一七+ 2 5 一硒+ 4 5 “ 七= 一n 七= 0 + 1 七。一1 = 6 i 叫5 一七+ 3 5 一 下面证明同情形2 情形4 如果存在满足轨】= 4 ，且对所有七 有轨= 2 ，则魄可表 示如下： 硒一1 6 i = 钆噼】5 一屉+ 4 5 一b + 2 5 一七 七= 一n七= k o + l 记n = n 5 一，其中州s 】o = = 8 当n 吲= l 时，取z o = 3 5 。一b 一2 m ； 当n 【s 】= 2 时，取蜘= 2 5 5 一b 一2 m ； 当n s 】= 3 、4 时，取铷= 5 8 一硒_ 2 m 下面证明同情形1 情形5 如果对任意七，存在 后，满足玩【】= o ，魄【后o + 1 】= 2 ，则6 l 有如 下表示： b 一1 o o 玩= m 叫5 一+ 2 5 一( 硒+ 1 + 6 i 列5 七= 一n k = 凫o + 1 记n = n 5 ，其中n 【s 】o 七= 5 当州s 】= 1 时，取z o = 3 5 。一b 1 m ； 1 1 当n 【s 】= 2 时，取z o = 2 - 酽一硒- l m ： 当n 【s 】= 3 、4 时，取z o = 5 8 一b 1 m 下面证明同情形1 情形6 如果对任意七，存在 后，满足玩】= o ，6 i + 1 】= 4 ，则6 i 有如 下表示： 一1 o 。 玩= m 翻5 一七+ 4 5 一硒+ 1 + 啪1 5 一 七= 一n七= _ i c 0 + 2 记n = n 【翻5 一k ，其中n 【s o 七= 3 取z o = 酽一一1 m 下面证明同情形1 情形7 如果对任意尼，存在 后，满足玩】= 2 ，坟+ 1 】= 4 ( 或者存在 ，满足6 “】= 4 ，玩+ 1 】= 2 ) ，下面只证明前一部分( 后一部分和前一部分可 看作同种情形) ，则6 i 有如下表示： 一l ” 魄= 5 一七+ 2 5 砘+ 4 5 柏删+ 吣】5 = 一n七= + 2 记n = n 【硝5 一七，其中n 【s 】o 七= 8 取z o = 5 。一硒一1 m 下面证明同情形1 k 由上述证明，我们可设阢= 6 t 5 一，其中m 】= 2 或4 令z = 5 一m m ， 七= 一“ 满足3 n z 5 由于 矗2 ) o 五 ) = 5 一七- 2 ( 坟+ 以z ) m ， 矗) o 五( 2 z ) = 5 一七t ( 玩+ 2 n z ) m 一) o 五( 3 z ) = 5 一七- ( 玩+ 3 n z ) m ， 则亿z 、2 r z 、兢z m ，由引理3 4 故存在正整数舔，使得= 5 呻下面用反证 法证明吼假设q i 1 ， 依使得n = 5 呻 三一1 ，由引理3 4 ，存在正整数 n n ( 1 + q ) 一q = n + a ( n 一1 ) 一5 哦+ 2 ， 如果吼m ，则 1 + 魄 五( 1 + q ) q 一5 口+ 2 + 阢 与 ( 1 + q ) 矛盾 如果6 i m + q ，则 1 ( 1 + q ) q ， 1 + 口 五( 1 + q ) ， 与 ( 1 + q ) 坂矛盾 故对所有的i 有n ( 1 + q ) 1 1 3 口 硕士学位论文 m a s t e r s _ - r h e 3 j s 引理3 6 设q ( q 5 ) 是一个整数，且q 有m 表示，若对任意正整数g 存在 n m ，使得q 士5 一口qgm ，则地不是自相似集- 证明：用反证法假设尥是自相似集，由引理3 4 ，可设 五( z ) = n z + 6 i ) 丝1 是的函数迭代系统，其中o = 6 1 6 2 6 1 + o 对任意y m ，存 在函数， ) 鉴。，z 尥，满足 则6 1 如果z m ，则 如果z m + 0 f ，贝u 且有 ，( z ) = 5 2 z + 6 = 可， ，扛+ a ) = 5 一g z + 6 + 5 一口0 f = 可+ 5 一口q m ，( z q ) 厂( z ) = 可1 ， ， 一口) = 5 一口z + 6 5 一口q = 秒一5 一q q m 而式( 3 8 ) 与式( 3 9 ) 都与引理已知条件矛盾 故眠不是自相似集 1 4 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 口 磋士学位论文 m a s t e r st 珏e 鳓釜 4 1 及所满足的条件 第四节定理证明 引理4 1 设心是自相似集，则存在自然数n ，使得q = 2 5 n 证明：由引理3 4 ，设 ( z ) = 5 一吼z + 玩) 鉴。是尥的迭代函数系统，其中 0 = 6 1 6 2 6 t o ，任意的i o ，亡，礼) 有n 瞄】= 2 或4 令s = 扎一t ， 444 4 4 o。 百+ 萨+ + f + 两+ + 再+ = 薹c 拜+ + 护b 下面证明对任意正整数g ，o 土5 一g q 岳m 对任意正整数 ， 5 一n 一q = q 【叫5 一+ a 吲5 一。一+ + 口 o 】5 一n 一， 则至少存在一个，满足 口【乜】= 4 ， ( 5 一n q ) 乜】= 2 或4 ， 由弓i 理3 1 知d + 5 一n 一q 萑 f 假设有某个i ，使得n 一5 一n 一q m ，则存在p m ，使得 由引理3 1 ，对所有尼1 ， o = 口+ 5 一n 一。( 1 p 叫+ ( 5 一n - q ) 【叫4 由m 表示的唯一性知，对任意七1 ，有 o 【叫一p 【叫+ ( 5 一”一q ) 纠4 ， 这与。和a 的定义矛盾 情形2 假设a = 4 5 n 若地是自相似集，则存在迭代函数系统 仇( z ) = 5 一口t 。+ 6 t ) 錾1 使得 “ u 阢( 地) = 耽 下面只证q = 4 的情形，其余情形类似可证 设秒= 詈+ 吾+ 吾+ 舰，则存在z 尥和夕 吼( z ) g - 使得 ，( z ) = 5 一a z + 6 = 可= 詈+ 吾+ 吾+ 由引理3 3 知6 ：壹6 5 一，其中6 ：o 、2 或4 由于 惫= 一n 邢) = 5 - 口+ 1 + 6 = 刍+ 刍+ + 6 舰 则l ( 6 ) g 一1 若z m ，则z 可表示为： 故 z = 引翻5 一， 七= 1 口一1 他) = 5 一+ 6 郾一七 七= 一n 硕士擘往论文 m a 耵e 碡st h e s l s o o g 一1 = 引叫5 小+ 6 啡一， 七= 1七= 一n 但是，( z ) g 】= o 与秒【g 】= 2 矛盾 若z m + 4 ，则z 可表示为： 故 ，( z ) = 5 4 计6 【叫5 知= 一n 叮一1 = 4 5 4 + z 郾一( m ) + 6 叫5 ， z 一 。z 。 但是，( z ) 【q 】= 4 与可 g 】= 2 矛盾 由上述证明，故存在自然数n ，使得q = 2 5 ” 4 2定理证明 口 在前面给出的所有预备知识和引理，都是为这节即本文的主要结论做准备下 面给出定理并给出证明： 定理4 2 自相似集m 与m 的平移m + q 的并集玩是自相似集当且仅当存 在自然数n 使得q = 士2 5 n 证明：必要性：如果是自相似集，乜 0 ，由引理4 1 则a = 2 铲如 果肌q 是自相似集且 ( z ) = n z + 6 i ) 磐1 是肌a 的迭代函数系统，则 吼( z ) = n z + 一n q + 玩) 丝1 是帆的迭代函数系统 充分性：若存在自然数n 使得q = 2 铲记，= 盯= ( 盯l ，c r 2 ，) ：以= o 、2 或4 ) 定义以= 以5 一，令 ( z ) = 詈，厶 ) = 詈+ 詈， 厶( z ) = 5 呻z + b ，( z ) = 5 哪z 十b + 5 q ， 17 七 一 5z 脚 + 4 l i z 、= ： 则 同理， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 掣 。矗( m ) = ( 型厶( m ) ) = ( m ) = mn 0 吾】， 叮e n 盯t i u 型，1 。矗( m + q ) = mn 詈，参 口e n v v u 止。厶( m ) = mn 【詈， 伊n v v _ ，2 。矗( m + 口) = mn 【吾，1 】， 盯e n 。 _ 。( m ) = mn 【0 ，吾】十q ， 盯t l v u 。( m + q ) = mn 【吾，詈】+ q ， 盯e n v v _ ，2 。( m ) = mn 【詈，吾】+ q ， 盯e n v 。 型加( m + n ) = mn 扣托 故眠是自相似集，且 o 厶， o ，二，2o 厶，2o ) 为自相似集舰的迭代 函数系统 口 注4 2 1 在上面定理中构造的迭代函数系统 。厶， o ，厶。厶，厶。) 不 满足开集条件 证明：事实上，由于自相似集m 满足开集条件( 开集条件中的开集选为( o ，1 ) 区间即可) ，由定理2 7 知， d i m 日m ：d i m sm ：黑：s 。 i o gb 由h a u s d o r f f 维数的定义，自相似集m 的平移m + q 与m 具有相同的h a u s d o r f r 维数s o 再由h a u s d o r f f 维数的稳定性知 日饩- s o = 寒 1 8 假设迭代函数系统 o 厶， o ，厶。厶，厶。，二) 满足开集条件，则它生成的 自相似集的自相似维数s ：) 可由定理2 7 得到，即s ：满足 故 】 ， ， 礼l 。g3 + 1 。g4 d i m s 肚s ：2 黹。 因此d i m h 帆d i m s 纸，这与定理2 8 矛盾，也就是说该迭代函数系统不满足开 集条件 口 4 3结论推广 的自嘉衰羹篙篙军蓑篡然憨c 耄蕞蠹兰曼乏蔚囊主耆的自相似集m 与m 的平移m + q 的并集地，当且仅当q = 士2 5 ”时是自 相似集然而结论可以推广到更一般的情况，即对于一般的迭代函数系统 删= 蒜蹦n 1 ) 由它生成的自相似集t 与t 的平移t + q 的并集，当a 取合适的值，利用本文中 的方法可以证明其也具有自相似性，由于篇幅有限，在本文中就不再给出q 的取值 和证明 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 参考文献 k g r 6 c h e n i g ， a h a a sa n da r ，a u 舀 s e 乒q 历凡e 抚屁几g s 叫i 沈s e u e m z 谢e s 【j 】，i a p p l c o m p u t h a r m o n i ca n a l ，7 ( 1 9 9 9 ) ，2 1 1 2 3 8 2 】x g h e ，k s l i ua n dh r a o s e 玎( t 历几es e so n d9 r 1 口中 一d i ， e c z e d5 可s 一 e m s 【j 】，c o n s t r a p p r o x ，1 9 ( 2 0 0 3 ) ，3 7 3 3 9 7 【3 】j e h u t c h i n s o n 芦7 0 c 口如。佗ds e 驴s i 竹z f n 疵t y j 】，i n d i a n au n i v ，m a t h j ，3 0 ( 1 9 8 1 ) ，7 1 3 7 4 7 4 】r d m a u l d i na n dm u r b a 五s k i d i r n e n s t d n sn 几d7 n e n s 让7 si nt ，沉n i e 旌e 7 u e d 九礼c 抚d ns 可s e ，n s j 】，p r o c l o n d o nm a t h s o c 7 3 ( 1 9 9 6 ) ，n o 2 ，1 0 1 1 5 4 5 】k j f a l c o n e r 孔c 疵g 让e s 饥n 祝c n fg e d m e 珂【m 】，c h i c h e s t e r ：w i l e y ，1 9 9 7 【6 】i k i r a ta n dk s l a u d 佗九ec d n 礼e c e d 礼e s s 吖s e 驴( 呖行n e 托f e s j 】，j l o n d o n m a t h s o c ，6 2 ( 2 0 0 0 ) ，n o 2 ，2 9 1 3 0 4 b a n d t c ，g r a f ac o r n c t e 死z o 托d 他o ，s e 乒s i m i f o r 加c z n 如旌九p d s i i u e 上地让s d o 啊m e n s 让他【j 】，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 1 4 ( 1 9 9 2 ) ，9 9 5 1 0 0 s c h i e fa 跚口m 托d 扎p r 叩e n i e s 加7 s e 乒s i m i z o rs e 埘j 】，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 2 ( 1 9 9 4 ) ，1 1 1 1 1 5 ( 9 】s 一m n g s ia n dy w a n g 日n 乱s d d 功d i m e n s i d 佗盯d u e 州o p p i 礼夕s e 驴s i m i f n r s e 拈 j 】，j l o n d o nm a t h s o c ，6 3 ( 2 0 0 1 ) ，n o 。2 ，6 5 5 6 7 2 【1 0 】m p w a n dz e r n e r 肌。七 s e p o m 扼d 佗 s e s j 】p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 4 ( 1 9 9 6 ) ， p m 印俄e 5如rs e 驴s i m i f 口r 3 5 2 9 - 3 5 3 9 【1 1 】j c l a g a r i a sa n dy w a n g s e 玎- q 历礼ez i z e si 佗r n 【j 】，a d v i nm a t h ，1 2 1 ( 1 9 9 6 ) ，2 1 4 9 【1 2 】 j k i g 锄i a 仃。匆s i sd 佗加c z n f s 【m 】， c a m b r i d g en a c t si n m a t h e m a t i c s ，1 4 3 ，c a m b r i d g eu n i v e r e s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 1 【1 3 】r d m a u l d i na n ds c w i l l i a h l s c d 礼s t 他c 玩d 几s 【j 】，t r a n s a m e r m a t h 日a u s d d 7 万疵7 n e 礼s i d 礼i 几夕唧 d i 7 e c e d s o c ，3 0 9 ( 1 9 8 8 ) ，8 1 1 8 2 9 硕