（基础数学专业论文）度量空间的等距问题的研究.pdf

摘要 度量空间的等距理论的研究是泛函分析中十分重要的一 个研究方向，而且在数学的其他分支中也有着重要的作用。本 文主要研究四个方面的问题。 第一章本人研究赋8 ( 1 3 1 ) - 范空间上的渐进等距c o p y 问题。 1 9 6 4 年，r c j a m e s 发表了著名的j a m e s s 扭曲定理， p n d o w l i n g ，c j l e n n a r da n db t u r e t t 将此定理推广得到一个 b a n a c h 空间包含，。，渐进等距c o p y 的定义，并用此判别b a n a c h 空间是否具有不动点性质。 作者给出了赋1 3 一范空间上包含l o 渐进等距c o p y 的定义， 且得到：若x 包含l e ( b 1 ) 的渐进等距c o p y ，则在x 的闭 有界b 凸集上非扩张映射没有不动点，并且给出了赋0 范空 间包含l 。渐进等距c o p y 的充分必要条件。 第二章作者讨论了b a n a c h 空间中等距l 。序列的对偶作 用。 在 2 l 】中，陈述涛给出了b a n a c h 空间包含1 1 ( c o ) 的渐进等 距c o p y 的对偶作用的判别法。陈述涛、林伯禄在 2 2 】中得到 b a n a c h 空间包含l 。的渐进等距c o p y 的对偶作用的充要条件。 作者在本章得到：若b a n a c h 空间包含e 一等距l p 序列，则x 4 篷含e ，一等距l 。序歹，其中e 吉且1 _ 惫。 第三章，我们酋先介绍了巴拿赫格的一些基础知识，然后 讨论了薯拿赫格中酶几乎等蹈c o p y 阉题，并褥到：若巴拿赫格 x 包含c o 的几乎等距c o p y ，则x + 包含l l 的几乎等距c o p y 。 第四章本人研究赋昼一范空阉的2 等距问题。 该问题的研究主要是受t i n g l e y 问题的启发。关于t i n g l e y 问题，主要讨论等距算予是到上憋且空阀是相同类型憋情况。 最近，定光桂先生首先讨论了不闻类型空间的单位球面之间的 到上的等距篓子的线性等距延拓闲题及潍足一定条件购h i l b e r t 空间之间的单位球面的到内等距算子的线性等距延拓问题，并 褥到了肯定的回答。2 等距的硬究在算子理论研究中缀活跃， 而且十分有意义，作者将t i n g l e y 问题推广到赋b 一范空间的 球面之闻的2 一等距，从两褥到：算予v ：b 。( e ) 一b r ( e ) 是2 一等 距的充分必要条件是怫硼胁0 。 a b s t r a c t ( e n g l i s h ) t h es t u d yo fi s o m e t r i ct h e o r yo fm e t r i cs p a c e si s o l eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d s i nf u n c t i o n a la n a l y s i s i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys o m ei n t e r e s t i n gp r o b l e m si n t h i s f i e l d t h et h e s i si n c l u d e sf o u r p a r t s ： ( 1 ) a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo f 妇( o 卢 1 ) ( 2 ) d u a l a c t i o no fe - i s o m e t r i ct ot a l l p 。) s e q u e n c ei nb a n a c h s p a c e ( 3 ) a l m o s ti s o m e t r yi nb a n a c hl a t t i c e ( 4 ) t h ee x t e n s i o no f2 - i s o m e t r i cp r o b l e m i nc h a p t e r1 ，w ec o n c e n t r a t eo nt h e s t u d yo fa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo f f l - n o r m e ds p a c ew i t ht h eh e l po f e n d o w l i n g sm e t h o d w eg e tt h a ta 后 - n o r m e d 8 p a c 8x c o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fl 口f a i l st h ef i x e dd o i n t p r o p e 。t y8 n dg i v es o m es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fa 卢n o r m e ds d a c e “8 i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fb i n 。h a p e r2 ，w ed e a lw i t hd u a la c t i o no f 一i s o m e t r i c t o i v ( 1 p o 。) 8 e q u e n c e ti n ( 2 1 ，c h e ns h u t a og a v ea c r i t e r i o nf o rab a n a c h s p a c et oc o n t a i na n i i a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r yc o p yo ff 1 ( c 0 ) c h e ns h u t a o ，l i nb o l ug o tas u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra b a n a c h s p a c e t oc o n t a i na n a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p yo ff pb yd u a la c t i o ni n 【2 2 】i nt h i sc h a p t e r ，w eh a v e ：i fab a n a c hs p a c ex c o n t a i n sa n 一i s o m e t r i c s e q u e n c e ，t h e nx + c o n t a i n s g l - i s o m e t r i cls e q u e n c e ( w h e r es ts a n d e l = 丧) i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c eb a s i ct h e o r yo fb a n a c hl a t t i c e ，t h e nw e f o c u 8o n a l m o s ti s o m e t r i cc o p yp r o b l e mi nb a n a c hl a t t i c e s al i t t l er e s u l ta r eo b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，w es t u d ye x t e n s i o no f2 - i s o m e t r i c t h i sp r o b l e mi s e n l i g h t e n e d b yt i n g e l yp r o b l e m w eg e t ：a no p e r a t o rv 0 ：日( e ) - b r ( e ) i s2 - i s o m e t r yi f a n do n l yi ff i v 0 z l l i x l l ，m o r e o v e r ，v 0c a nb ee x t e n d e dt oa 2 - i s o m e t r vo ne a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot a k et h i so p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm y g r a t i t u d et om ys u p e r v i s o r ， p r o f e s s o rd i n gg u a n g g u i ，f o rh i se n c o u r a g e m e n ta n ds u p p o r t h ea r o u s e dm y i n t e r e s ti nf u n c t i o n a la n a l y s i s h i sc o u r s eh a v ea l w a y s g e n e r a t e dag r e a te x c i t e m e n ta n de n t h u s i a s mf o rt h es u b j e c t id e r i v e dc o n s i d e r a b l eb e n e f i tf r o mh i s e x c e l l e n tg u i d a n c ea n dv a l u a b l es u g g e s t i o nd u r i n gt h e s ey e a r s h es h a r e dw i t h m eh i si m m e n s e k n o w l e d g ea n di d e a s h ep r o v i d e dm em a n yu s e f u lr e f e r e y i c e 1w i s ht oe x p r e s sm yt h a n k st ot h ew i f eo fp r o f e s s o rd i n g ，z h ux u e l a n ，f o r h e rm o r a ls u p p o r ta n do t h e rh e l p a l s ois h o u l dt h a n kt h ef o l l o w i n g ：w a n gj i a n ，p a n w e i ，x u eh u i ，c h e n g d o n g y a n g ，a ng u i m e i ， f a n gx i u z h o n g ，z h a n g l u n ，h o uz i b i n ，x i n g l ia n ds oo n o f c o u r s e ，ia mg r a t e f u lt om yp a r e n t s ，m yh u s b a n da n dm y d a u g h t e r w i t h o u tt h e mt h i sw o r kw o u l dn e v e rh a v ec o m ei n t oe x i s t e n c e v s o n gm e i m e i a p r i l ，2 0 0 3 c h a p t e r 1 a s y m p t o ti c a l l yi s o m e t r i cc o p y p r o b l e m 1 1i n t r o d u c t i o n a l lb a n a c hs p a c e sw i l lb er e a lb a n a c hs p a c e sa n dw i l lb ed e n o t e db yx ，y ，z b y a no p e r a t o rt ：x yw em e a nab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r a no p e r a t o r p ：x _ xi sap r o j e c t i o no n t oas u b s p a c ez ，i fp 2 = p a n dp x = z i nt h i s c a s ezi ss a i dt ob eac o m p l e m e n t e ds u b s p a c eo fx t ：x y i sa ni s o m e t r y i fi i t x i = i x l ff o ra l lz x i ft i sa ni s o m o r p h i s m ( i s o m e t r y ) o n t oy ，t h e nx a n dya r es a i dt ob ei s o m o r p h i c ( i s o m e t r i c a l l yi s o m o r p h i c ) i nt h i sc h a p t e r ，i fx i sab a n a c hs p a c e ，t h e nx + d e n o t e st h e d u a lo rc o n j u g a t e s p a c et ox a su s u a l ，l e tc ( k ) b e t h es p a c eo fc o n t i n u o u sf u n c t i o n so ns o m e c o m p a c t h a u s d o r f f s p a c ek ，l e tl 1b et h es p a c e o fl e b e s g u e i n t e g r a b l ef u n c t i o n s o n 【0 ，1 】，a n dl e t p ( r ) b et h es p a c e o fs c a l a r - v a l u e df u n c t i o n so nt h es e trw i t h 陆n o r m w h e r e1 p 冬。，a l lw i t ht h e i ru s u a ln o r m s l e ta b et h ec a n t o r s e t ，七b ez p ( n ) ，a n dc b ec 0 ，1 a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yp r o b l e m 2 q w h _ _ _ u - 十_ h _ _ “m - _ h _ m - 一 aw e l l k n o w nr e s u l to fr ，g 。j a m e s ( 1 9 6 4 ) 6 5 】s a y st h a tb a n a c hs p a c e sw h i c h c o n t a i ni s o m o r p h i cc o p i e so f2 1 ( r e s p e c t i v e l y ，c o ) c o n t a i na l m o s ti s o m e t r i cc o p i e s o fz l ( r e s p e c t i v e l y ，c o ) ， j a m e s sd i s t o r t i o nt h e o r e m sab a n a c hs p a c exc o n t a i n sa ni s o m o r p h i c c o p yo f2 l i fa r i do n l yi f , f o re v e r yn u l ls e q u e n c e ( ”) ni n ( 0 ，1 ) ，t h e r ee x i s t sa s e q u e n c e ( 。n r 濂xs u c ht h a t 。 ( 卜镪) | l 剑z 。睦| t 。 ， n = kn = kn = k f o ra l l ( 如) 。2 1a n df o ra l lk n ab a n a c hs p a c exc o n t a i n sa ni s o m o r p h i cc o p yo fc oi fa n do n l yi ff o re v e r y n u l ls e q u e n c e ( e n ) ni n ( 0 ，1 ) ，t h e r ee x i s t sas e q u e n c e ( 嚣# ) # 遗xs u c ht h a t ( 1 女) s u p 嘞it 。t 。g 。雌( 1 + “) s 编2 lt 。l ， n = f o ra 1 1 ( “) 。c oa n d f o ra l l 孟n ， i ti s e a s yt os e et h a tt h e r ei sn od i f f e r e n c ei nt h ea b o v ed 馥n i t i o n si ft h e p h r a s e ”f o re v e r yn u l ls e q u e n c e 如) ni n ( 0 ，1 ) i sr e p l a c e db yt h ep h r a s e ”t h e r e e x i s t san u l ls e q u e n c e ( ) ni n ( 0 ，1 ) ) al e s sw e l l k n o w nr e s u l td u et op a r t i n g t o ni nt h ee a r l ye i g h t i e ss a y st h a ta s i m i l a rr e s u l th o l d sf o rb a n a c hs p a c ec o n t a i n i n gi s o m o r p h i cc o p ) o fk ；t h a ti s ， i fab a n a c hs p a c ec o n t a i n i n gi s o m o r p h i cc o p yo f l o ot h e ni tc o n t a i n sa l m o s ti s o ， m e t r i cc o p i e so fk 4 3 】 a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yp r o b l e m 3 一一 i nt h ep a s tf e wy e a r s ，an u m b e ro fa u t h o r sh a v ec o n s i d e r e dr e f i n e m e n t so f j a m e s o r i g i n a lr e s u l t ，i np a r t i c u l a r ，t h en o t i o no f ab a n a c hs p a c ec o n t a i n i n ga n a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p y o fc oo r1 1w e r ed i r e c t l ym o t i v a t e db yj a m e s r e s u l t a n dh a v er e s u l t e di na p p l i c a t i o n st of i x e dp o i n tt h e o r y 5 1 5 2 a n dt h ei s o m e t , r i c s t r n c t u i eo fb a n a c hs p a c e 【6 6 【6 7 1 4 9 ， d e f i n t i t i o n1 。1 1 5 0 | xi ss a i dt oc o n t a i na na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p y o f t l 玎t h e r ee x i s t san u l ls e q u e n c e ( c n ) ni n ( 0 ，1 ) a n d as e q u e n c e ( z n ) 。i nxs u c h t h a t o 。 o 。 ( 卜s 。) i t 。1 到k 茁。0 n = l ，0 r0 2 f ( k ) 。f 1 t h e c o n c e p to f ab a n a c hs p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p y o f f li sau s e f u lt o o li ni d e n t i f y i n gb a n a c hs p a c e t h a tf a i l st h ef i x e dp o i n tp r o p e r t y p n d o w l i n ga n dc j l e n n a r dg o t ： t h e o r e m1 1 1 1 5 0 1i n b a n a c h s p a c exc o n t a i n sa na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p yo | t l ，t h e nx | 口i l st h e 缸e dp o i n tp r o p e r t y o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g so n c l o s e db o u n d e dc o 删e zs u b s e to x t h e y u s e dk a d e c p e l c z y n s k it h e o r e m 3 a n dg o t ： t h e o r e m1 1 2 声w e v e r yn o n r e f l e x i v es u b s p a c eyo l x 0 1 ，w i t h 泐u s u a l n o r m 4 i l s t h ef i x e dp o i n tp r o p e r t y | o rc l o s e d , b o u n d , c o n v e xs e t si nya n d n o n c z t a n s i v e o rc o n t r a c t i v e m a p p i n g so nt h e m i np a r t i c u l a r , t h i si st r u ej o r y ：= 日( 丁) ，t h eu s u a lh a r d ys p a c eo nt h eu n i tc i r c l et ， d e f i n t i t i o n1 1 2 f 5 3 j ab a n c hs p a c ext ss a i dt oc o n t a i na na s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i cc o p yo f c o 妒t h e r ei san u l ls e q u e n c e ( ) ni n ( 0 ，1 ) a n das e q u e n c e ( x n ) 。 i nx8 0t h a t 。 s u p ( 1 一) i t 。i 剑t 褊忪s u p “ b = 1 ，。7 a l f ( t n ) n c o k 脚 一 a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yp r o b l e m 4 t h ec o n c e d to fab a n a c hs p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p y o fc oi sa no t h e rt o o li ni d e n t i f y i n gb a n a c hs p a c ef a i l i n gt h ef i x e dp o i n tp r o p e r t y p n d o w l i n g ，c j l e n n a r da n d b t u r e t tp r o v e dt h a t ： t h e o r e m1 1 31 5 1 1i fnb a n a e hs p a c exc o n t a i n sa s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i c c o p yo fc o t h e nx 8 i l st oh a v et h ef i x e dp o i n tp r o p e r t y d e f i n t i t i o n1 1 3 佑j7 ab a n c h s p a c ex i ss a i dt oc o n t a i na na s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i cc o p y 盯k 玎t h e r ei son u l ls e q u e n c e ( e n ) 。i n ( 0 ，1 ) a n d ab o u n d e dl i n e a r o p e r a t o rt ：f 。_ xs ot h a t s u p ( 1 一。) i t 。lsl i t ( ( t 。) 。) 1 | s u p1 t n n n ，0 r 口“( 如) n k i nt h es a m ep a p e r ，t h e yg o t ： t h e o r e m1 1 4 1 6 1 1 t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t f o ra b a n a c h s p a c e x ( i ) x c o n t a i n sa na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo jc o ； r 纠t h e r ei s 口s e q u e n c e ( z n ) ni nt h eu n i tb a l lo f xa n dob o u n d e dl i n e a ro p e m t d r 、。s ：x 1 l ，w i t hl l s | | 1 a n dl i m 。- + 。l | s z n e n | | = 0 ，w h e r e ( e n ) n i st h e s t a n d a 喇u n i tv e c t o rb a s i so ff 1 ； 3 l x c o n t a i n sa na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo ft p n d o w l i n ge x t e n d e dt h i sr e s u l ti n 5 6 t h e o r e m1 1 5 5 6 | t h e f o l l o w i n 9c o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t f o r ab a n a c h s p a c e x i ) x + c o n t a i n sa na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p 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g i v et h ec o n c e p to fa 口一n o r m e ds p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo f 珏够 1 ) a n dg i v es o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o ra 廖一n o r m e ds p a c et oc o n t a i na na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo f 铀w eu s e t h e m e t h o do f 【l s 1 2 p r e l i m i n a r y l e txb ear e a ll i n e a rs p a c e ，t h e nx i sc a l l e df l - n o r m e ds p a c e ( o 0a n d 扩+ 扩= 1 ，t h e nbi sc a l l e d 臼一c o n v e xs e to fx 1 3 a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo ft s ( o 口 1 ) d e f i n t i t i o n1 3 1a8 一n o r m e ds p a c exi ss a i dt o c o n t a i na na s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i cc o p yo f z 口( 8 1 ) i ft h e r ei snn u l l s e q u e n c e ( n ) # i n ( 0 ，1 ) a n d 8s e q u e n c e ( z 。) 。讯xs u c ht h a t o o e ( i 一。) 4 | q 。性i i z 。临( 1 + 。) 4j a 。1 4 n = 1n = 1 n = l ，。ra l l ( n 。k 如 t h e o r e m1 3 - 1 i | a8 - n o r m e ds p a c 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