（应用数学专业论文）几类分数微分方程的求解问题.pdf

一 t ：， 原创性声明 c l l i i l | f i f i l l l i | i | | l m i f | f f f f l l 洲删 ! y 171918 2 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：壁丝挞 日期：j 幽年月羔日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位 论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用 复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。 摘要 近年来，分数阶微分方程已被广泛地研究并应用于物理、力学、 生物、医药等众多学科和领域中并取得了较大成果。综观其发展过程， 它不仅显示出深厚的研究背景和良好的应用基础，而且具有广阔的发 展空间。因而，对分数阶微分方程的基本理论，基本性质以及求解方 法的研究就显得尤为重要，它为其进一步的应用奠定坚实的基础。 本文主要做了以下工作： 一、介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识，给出了分数阶微 积分的一些基本定义和性质。 二、考虑分数回归模型，导出了用格林函数表示其解析解，并且 利用算子方法也可以解出它的精确解，我们很明显的可以看出它的解 析解和精确解很难数值的表示出来，于是我们便提出一种计算有效的 方法，即泰勒公式法来求出它的近似解。 三、从基本的分数阶常微分方程出发，首先给出其解的存在性和 唯一性，然后对提出的一个关于分数阶导数的高阶近似，将其应用于 分数阶微分方程，构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程的数 值求解，并在理论上给出这一算法的误差分析，证明了它的相容性， 收敛性和稳定性。 关键词分数微分方程，分数回归模型，相容性，收敛性，稳定性 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nw i d e l y 。 v a r i o u sf i e l d s s u c h p h y s i c s ，m e c h a n i c s ，b i o l o g y ；n dmedicin(used i nv a r l 0 u sh e l d ss u c ha sp l a y s l c sm e c h a n i c s1 5 1 0 1 0 a n am ei c l n e ， e t c ，a n dg r e a ts u c c e s sh a sb e e ng a i n e da l r e a d y f r o mt h eg e n e r a lr e v i e wo f i t s d e v e l o p m e n t ，i tn o to n l ys h o w sp r o f o u n dr e s e a r c hb a c k g r o u n da n d g o o da p p l i c a t i o n f u n d a m e n t a l s ，b u t a l s oh a saw i d ed e v e l o p m e n t s p a c e t h e r e f o r e ，i ts e e m sv e r yi m p o r t m a n tt os t u d yt h eb a s i ct h e o r y , n a t u r e a n ds o l u t i o no ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e s er e s e a r c h e se s t a b l i s h as o l i df o u n d a t i o nf o rf u r t h e ra p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h i sp a p e rh a sd o n ew o r k sa sf o l l o w s ： f i r s t ，w eg i v es o m ec o n c e r n i n gf r a c t i o n a lc a l c u l u st op r e p a r et h e k n o w l e d g ea n dp r e s e n tb a s i cd e f i n i t i o n s a n dp r e p e r t i e so ff r a c t i o n a l c a l c u l u s s e c o n d ，t h ef r a c t i o n a lr e g r e s s i o nm o d e l i sc o n s i d e r e d t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o no ft h ef r a c t i o n a l r e g r e s s i o n m o d e li sd e r i v e d b y t h e c o r r e s p o n d i n gg r e e n sf u n c t i o n a n dw ec a no b t a i ni t se x a c ts o l u t i o nb y t h eo p e r a t i o n a lm e t h o d o b v i o u s l y , i ti sd i f f i c u l ts h o w i n gi t sa n a l y t i c a l s o l u t i o na n di t se x a c ts o l u t i o nn u m e r i c a l l y t h e nt h et a y l o r se x p a n s i o n m e t h o di sp r o p o s e df o rs o l v i n gt h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i o n a le q u a t i o n so f r e g r e s s i o nm o d e lf o ri t sa p p r o x i m a t es o l u t i o n t h i r d ，s t a r t i n g f r o mt h eb a s i cf r a c t i o n a l o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o nf o rt h e f r a c t i o n a l - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sg i v e n t h e nw ea p p l yah i g ho r d e r a p p r o x i m a t i o no ff r a c t i o n a ld e r i v a t i v eb yl u b i c ht of r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，c o n s t r u c t ah i g hn u m e r i c a ld if f e r e n c es c h e m et os o l v et h e f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，p r e s e n t e r r o ra n a l y s i so ft h ea l g o r i t h m s t h e o r e t i c a l l y , a n dp r o v et h ec o n s i s t e n c y , c o n v e r g e n c ya n ds t a b i l i t y k e yw o r d sf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，f r a c t i o n a lr e g r e s s i o n m o d e l ，c o n s i s t e n c y , c o n v e r g e n c y , s t a b i l i t y 目录 第一章绪论1 1 1 分数阶微分方程出现的背景一l 1 2 分数阶微分方程的研究现状一2 1 3 本文的主要工作5 第二章基本理论7 2 1 分数阶微积分的定义一7 2 1 1 分数阶积分7 2 1 2r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数7 2 1 3g r i i n w a l d l i o u v i l l e 分数阶导数7 2 1 4c a p u t o 分数阶导数8 2 2 分数阶微积分的一些性质8 2 2 1 幂函数以及一些常见函数的分数阶微积分8 2 2 2 分数阶算子的复合运算一lo 2 2 3 分数阶导数的积分变换一1 l 第三章分数回归模型的求解问题1 2 3 1 分数回归模型1 2 3 2 分数回归模型的解析解1 2 3 3 解分数回归模型的算子方法1 4 3 4 解分数回归模型的t a y l o r 展开解法1 5 第四章一类分数微分方程的数值解法1 9 4 1 解的存在唯一性19 4 2 分数阶导数的离散2 l 4 3 分数阶常微分方程的数值解法2 3 4 4 分数阶数值方法的误差估计2 3 4 4 1 预备部分一2 3 4 4 2 相容性2 4 4 4 3 收敛性2 5 4 4 4 稳定性一2 7 4 5 数值例子2 9 第五章结论3 l 参考文献3 2 致谢3 7 攻读学位期间的主要研究成果3 8 硕十学位论文 第一章绪论 第一章绪论 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，f c ) 及其理论研究几乎与整数阶微积 分的发展史一样久远。分数阶微积分这一概念最早出现在1 6 9 5 年9 月3 0 日 l e i b i n i z 的日记中，他在该日记中讨论了0 5 阶的微积分，并讨论该分数阶导 数的意义，从而标志着这一理论萌芽。但只是在1 2 4 年以后即1 8 1 9 年l a c r o i x 才首次给出最简单的分数阶导数的一个结果n 1 ：拿熹：；。在此后的几个世 夏万2 忑x 。征此后阴儿i 、吐 纪中，n n a b e l 2 】 j l i o u v i l l e ，b r i e m a n n 6 ，a k g r u n w a l d 7 】，a v l e t n i k - o v ，h w e y l 1 0 】，a m a r c h a u d 1 ，h t d a v i s 1 2 】 a e r d e l y i 1 3 】，m r i e s z 和c f o x 等许多科学家对分数阶微积分的发展作出了重要的贡献。 1 1 分数阶微分方程出现的背景 n l 微积分，即整数阶微积分是描述经典物理及相关学科理论的解析数学工 具，就是说局部理论的数学模型归结为线性的或非线性微分方程的定解问题，而 非局部理论的数学模型归结为积分，微分方程的定解问题。特别是，在建立这些 理论模型时，往往要依据对称性原理导出一些守恒定律，如f i c k 的扩散定律， f o u r i e r 的热传导定律和牛顿第二定律，用整数阶微积分描述的理论模型已经积 累起来并已有被人们接受的方法和经验。 当人们进入到研究复杂系统和复杂现象时，相继出现了一些新兴学科，自组 织理论和混沌动力系统依然用整数阶的非线性微分方程来描述，而后将问题归结 到复杂系统对参数的连续依赖性问题，解决了不连续变( 演) 化过程的研究。分 形几何是复杂性科学的几何学，由于分形集的欧氏测度不存在，用豪斯道夫侧度 取代了欧氏测度，从而产生了测度观的改变，在物理学上导致了从整数型量纲数 向分数型量纲数的转变。高安秀树n 曾经指出，处理分形问题共有四种方法：重 整化群，量纲分析，稳定分布和分数阶微积分。严格地说，前面两种方法仅仅是 物理方法，还不能提供解析的数学工具。特别是进入分形动力学研究以后，人们 期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来建立数学模型。而同趋完美 的欧氏测度下的分数阶微积分理论成了一种研究这类问题有力的数学工具。分形 理论的发展为分数阶微积分理论提供了一个更好的前景，尤其是在建立一些自相 似和可渗透结构的动力系统过程的模型中。 硕十学位论文第一章绪论 最近几年，分数阶微积分理论被广泛地应用于各个领域，包含的学科和工程 应用领域有：各种材料的记忆，力学和电特性描述，岩石的流变性质描述，地震 分析，粘弹性阻尼器，电力分形网络，分数阶正弦震荡器，机器人，电子电路， 电解化学，分数电容理论，电解一电解质接口描述，分形理论( 特别是描述自相 似和多孔结构的动态过程7 3 ) ，分式阶p i d 控制器设计n 引，粘弹性系统和柔软构 造物体的振动控制n 引，分数阶生物神经元和概率论等，同时它也可以用来描述物 质的记忆性和遗传性的模型，物种的繁殖的数学模型跚3 ，一些软组织和人体心脏 的脉搏模型川等，而且对许多物质结构和导电性的模拟，采用分数阶导数比整数 阶导数具有更强的优势，分数阶导数对半自动的动力系统过程模拟和渗透结构的 模拟同样重要，这都引起了国内外学者的极大关注。这些数学模型，系统和过程 的模拟，都是基于对分数阶微积分的一些性质的描述上，很自然地导致了分数阶 微分方程的出现。也就是说，我们在上面提到的这些应用为分数阶微分方程的出 现提供了应用背景。 1 2 分数阶微分方程的研究现状 用 论 专 结 分 个 阶 其 这 是 硕士学位论文 第一章绪论 时，即可以确保上面这个方程存在唯一解。 在文 2 3 中，h a l 研究了椭圆方程 a u + a a ( t ) g ( u ) = 0 ，“l 弛= 0 正解的存在性。 在文 2 4 中，b a i 研究了非线性的分数阶微分方程 d 5 材= a a ( t ) f ( u ) ，0 ， 1 ， 其中o 【o ，) ，厂( o ) 0 ，a ：【0 ，) 一【- - o o ，o o ) 。他们给出了其方程存在正解的充 分条件。 沈淑君，刘发旺 2 5 研究了著名分数阶b a g l e y t o r v i k 方程解的存在性和唯 一性，即方程 4 d 2 少( f ) + b o d 口y o ) + c o y ( t ) = 厂o ) ， 其中1 口 2 ，4 ，b o ，c o 都是常数，其初始条件为y ( o ) = 0 ，y ( o ) = 0 。在该文 中作者还利用格林函数表示出了这个方程的解析解，但同时指出此法得到的解析 解在实际操作过程中很复杂，有一定的难度。 在文 2 1 中，王学彬讨论了分数阶微分方程 口ld t y ( t ) = u ( t ) 一a o y ( t ) 其中它满足初始条件y = 0 ，( 扛0 ，1 ，n - 1 ) ，这罩，a 。是任意常数，文中 指出若u ( t ) 1 ( o ，t ) ，那么这个方程存在唯一解。 对于一些以c a p u t o 形式定义的分数阶方程，d i e t h e l m 和f o r d 在文 2 7 中 进行了较为深入地研究。关于分数阶微分方程解的存在性和唯一性这方面的基本 理论，b a b a k h a n i ，d e l b o s c o 和r o d i n o 剐，g r a n a s ，s a m k o 和k il b a s ，p o d u - l b n y 乜明等也作出了许多重要贡献。 关于分数阶微分方程的分析解和数值解的问题，国内外数学家已提出许多不 同的方法。p o d l u b n y 在文 2 5 中提出了一些有效的数值方法来解分数阶常微分 方程。林然，刘发旺n 别提出了一种线性多步法来解分数阶微分方程，并证明了其 方法的相容性和收敛性，并给出稳定性分析，然后他们又考虑了分数阶 r e l a x a t i o n 方程，提出了一种有效的数值方法，也给出了收敛性及稳定性分析。 杨晨航，刘发旺b 3 1 考虑了分数阶r e l a x a t i o n - o s c i l l a t i o n 方程，证明了这个方 程解的存在唯一性，并利用格林函数给出了它的解析解，并提出了一种分数阶预 3 硕士学位论文第一章绪论 估一校正方法，导出了其误差估计。沈淑君，刘发旺心引提出一种有效的数值方法 得到分数阶b a g l e y t o r v i k 方程的近似解，并研究了时间分数阶扩散方程的数值 解法，在这方程中分数阶导数由c a p u t o 型的定义给出，他们根据c a p u t o 型的定 义，利用整数阶导数的差商方法和变量替换，给出了分数阶导数的离散方法，建 立了时间分数阶扩散方程的一个显示守恒差分格式，并给出了稳定性和收敛性的 证明。在这基础上，2 0 0 6 年于强，刘发旺在文 3 4 中提出了一个计算有效的隐 式近似，并利用分数阶离散系数的特点，证明了这个隐式差分近似是无条件稳定 的，也说明了它具有o ( r + h 2 ) 收敛阶。王振彬，曹广益m 1 则运用拉普拉斯变换， 以及直接求法和状态空间法这两种建模方法分别推导出了分数阶微积分方程的 近似解。段俊生副讨论的是c a p u t o 型的分数阶微分方程的初值问题，通过利用 拉普拉斯变换和广义m i t t a g l e f f l e r 函数，得到了这个特殊方程的解析解对于 一些特殊的分数阶积分微分方程则采用了一些特定的方法，例如杨光俊在文 3 6 ， 3 7 中利用m e l l i n 变换和f o x 函数得到了特定的分数阶积分方程解析解，而对于 型如r 似0 ) = 旯，r + g 的分数阶微分方程，孙素艳，刘承世m 1 也利用其特殊性把这 个方程转化成了第一类v o l t e r r a 积分方程，这样很容易得到所求未知函数。 d i e t h e l m 等瞳7 一们提出了一种分数阶a d a m s 方法解分数阶微分方程，导出了在不 同类型假定下误差的界，但对于任意的实数，误差分析十分困难。b l a n k h 提出 了用配置样条法来求解分数阶微分方程，接下来r a w a s h d e h h 2 们3 也用这种方法来 解决半分数阶的微分方程和分数阶积分微分方程的近似解，并给出相关理论。 1 9 9 4 年a d o m i a n h 4 1 提出了一种新的叠代的方法，并成功的证明了用这种方法能很 好的解决线性和非线性的问题，这种方法得到的结果比一般其它方法具有一定的 优势，它可以避免离散化而带来的误差，而且它不要求电脑有强大的计算和记忆 能力，能有效的节约计算时间。接着b a b o l i a n 等h 剐又把这种方法运用到了解决 微分方程系统并进一步发展了这方面的理论，d a f t a r d a r c e j j i 和j a f a r i h 刚以及 m o m a n i h 7 1 继续研究并把它运用到了分数阶微分方程和相关的方程组的问题上来， 成功的得到了b a g l e y t o r v i k 方程和分数阶o s c i l l a t i o n 方程的近似解s h a w a g f e h h 文 侧运用a d o m i a n 分解法来解决线性和非线性分数阶微分方程。接下来w a z w a z 嘞1 又把这种方法继续发展得到了其改进的形式，s a h ar a y 和b e r a 哺k5 2 1 利用这改进 的a d o m i a n 分解方法再一次来求解非线性的分数阶微分方程，并进一步把它运用 到了偏微分方程当中去，成功的得到了分数阶扩散方程的近似解。 在近似方法当中，t a y l o r 展开解法求解积分微分方程的近似解是一种行之 有效的方法。在积分方程的处理中，k a n w a l 和l i u s a 首先利用t a y l o r 展开式求 解了一类积分方程，然后s e z e r ，n a s 等进一步应用于求解v o l t e r r a 积分方程阳1 ， 4 硕十学位论文 第一章绪论 二阶线性微分方程和积分微分方程瞄驯。这些文章一般均是对核函数采用t a y l o r 展开。与上述方法不同，r e n 等睇1 利用t a y l o r 展开式在区间某个固定点展开所 求的未知函数的改进方法处理一类f r e d h o l m 积分方程y a l c i n b a s 等畸7 瑚1 通过类 似的方法求解了高阶的线性积分方程和一类非线性的积分方程。 m a l e k n e j a d ，a g h a - z a d e h 和r a b b a n i 呻1 则利用这种方法获得了第二类f r e d h o l m 积分方程近似解，这种方法就是利用函数t a y l o r 展开式来替代被积函数里面的 某个表达式，再反复的通过积分( 微分) 的方法将求解积分方程转化为求解线性 的包含未知函数的方程组，通过求解这个方程组从而可以得到其未知函数的近似 解。这种方法简单、有效和稳定，并且随着展开式阶数的提高，相应的误差会变 小，而对于未知函数是多项式时，用此种方法得到的近似解就是精确解，且对一 些特殊的方程我们可以在更宽松的条件下求解，从而大大减少了运算量，另外， 如果方程适合用微分的方法来转化的话，就可成功的避免边值和初值条件嘞1 。 综观分数阶微分方程的发展过程，它不仅显示出深厚的研究背景和良好的应 用基础，而且有广阔的发展空间。 1 可以进一步研究方程解的存在性、唯一性、稳定性等目前方程局部解的存在 性的情况讨论得较多，可通过其它有效的方法来建立全局存在性的结论；还 可以放宽l i p s c h i t z 条件来研究方程解的唯一性等等。 2 可以在现有研究的基础上在微分方程中采用不同的分数阶微积分的定义方 式来研究，因为现有的文献中大多数定义都是采用r i e m a n n l i o u v i l i e 定义， 而不同的定义方式都有其自身的特点，也反映出不同的应用背景，从而具有 不同的优势。 3 注意到在关于分数阶导数和积分的多种定义中，大多是含有奇点的广义积分， 因而在进行研究的过程当中存在一定困难。进一步来说，到目前为止，关于 这类方程尚未定义传统意义下的稳定性，其主要原因是，截止目前为止，有 关的存在性定理大多是在有限区间上建立的。因而建立全局性存在定理，并 在此基础上探究其稳定性将是很有意义的。 4 对于含有偏差变量的分数阶泛函微分方程的研究已引起重视。但仅仅建立了 一些零星的结论，尚有大量的工作有待完成。 应当指出关于分数阶微分方程的研究，在全球范围内显示应用研究比理论研 究更热。因而，更需数学工作者对分数阶微分方程的基本理论和基本性质进行深 入系统的研究。从而为其进一步的应用奠定坚实的基础。 1 3 本文的主要工作 针对分数阶微分方程的研究现状，本文将要讨论以下四个方面： 硕十学位论文第一章绪论 第一章中，我们介绍了分数阶微分方程的研究背景，简要说明了近期关于这 类方程基本理论研究方面的一些重要成果，并对这一方向目前及以后可进行的研 究提出了一些观点。 第二章中，我们介绍了分数阶微积分几种不同形式的定义，包括这几种定义 下分数阶微积分之问的关系。并且还介绍了分数阶积分的性质和分数阶导数的积 分变换。 第三章中，考虑分数回归模型，导出了用格林函数表示其解析解，然后用算 子方法求出了它的精确解，最后利用泰勒公式求出了它的近似解。 第四章中，讨论分数阶常微分方程由于许多分数阶方程可以化为等价的阶 数在0 ，1 之间的分数阶方程组来求解。因此我们从基本的分数阶微分方程 i y 。( f ) + d 4 j ，( ，) = f ( t ) 0 f t ij ，( o ) = y o = 0 出发，其中0 口1 ，利用l u b i c h 提出的一个关于分数阶导数的高阶近似： 。睇y ( f ) 乃”叫口少( 乙一，) + 办”蟛y ( t j ) ， ，= oj = o 然后将其应用于分数阶微分方程，构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程 的数值求解，在理论上给出了这一算法的误差分析，证明了它的相容性，收敛性 和稳定性。 6 硕+ 学位论文 第一二章基本理论 第二章基本理论 2 1 分数阶微积分的定义 2 1 1 分数阶积分 口是一个正实数，令r l 一1 口玎，那么，一个定义在【口，b 】区间上的函数( f ) 的口阶分数阶积分的定义是 一垆烛一豺弦m 它还有另一个表达形式 。研口饨) = 南f ( f f ) 引厂( f ) d f ， 其中r ( z ) 表示通常的g a m m a 函数，即 f ( z ) = r e - 广1 d t 已经证明了这两个形式是等价的。 2 1 2r i e m a n n l i o u v i li e 分数阶导数 对于一个正实数口，令疗一1 口刀，一个定义在陋，b 】区间上的函数f ( t ) 的口 阶r i e m a n n l i o u v i ll e 分数阶导数的定义是 册= 志嘉f 若净f 2 1 3g r t n w a i d - l i o u v ii l e 分数阶导数 同样的，对于一个正实数口，令玎一1 口1 1 ，一个定义在【口，b 】区间上的函 数( f ) 的口阶g r t l n w a l d l i o u v i l l e 分数阶导数的定义是 一蝴圹咐剖一一争咖州刊， 7 硕十学位论文 第二章基本理论 其中( 歹) 表示二项式系数，即 2 1 4c a p u t o 分数阶导数 对于一个正实数口，令胛一1 口刀，一个定义在 口，b 】区间上的函数f ( t ) 的口 阶c a p u t o 分数阶导数的定义是 雕= 志f 篙静f 下面我们来讨论这三个定义之间的相互关系阳“6 2 1 ： 如果函数f ( t ) 在闭区间，b 】上0 1 ) 阶连续可微且厂”( f ) 在闭区间【口，b 】上 可积，对于刀一1 0 ， 。研口( 。研p 厂( ，) ) = 。d i 。- p f ( t ) 而对于分数阶导数，这里使用r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数定义，有这样 一些关系，令, 一l 0 ，则先求积分 再求导数时 。睇( 。巧p ( f ) ) = 。睇一声( 班 先求导数再求积分时 。巧( 。掣厂( ，) ) = 。d 尸- a f ( t ) - 【。睇一( ，) 】， 接下来，当整数阶导数和分数阶导数复合运算时， 等a t ( 。睇厂( 嘞= 。讲+ “厂( ，) ， ( f 一口) ，一。 ”r ( 一+ 1 ) 闭学h 矿邝，一芸等等署 如果是分数阶导数之间的复合运算，令以一1 0 ，j j b z , 有 。衅( 。睇厂( ，) ) ：。睇+ 厂( ，) 一窆 。衅一，厂( ，) j = l l o o 一口) 一声一 胁r ( 1 一一j ) 硕十学位论文 第二章基本理论 2 2 3 分数阶导数的积分变换 下面介绍分数阶导数的积分变换。通常积分变换是司以用来解杉r 求解整数阶 微分方程。对于分数阶导数来说，各种积分变换也是解析求解分数阶微分方程的 重要手段之一。 首先是分数阶导数的l a p l a c e 变换n 町n 引。一个函数的l a p l a c e 变换是 f ( s ) = 三 厂( ，) s = f e - f ( t ) d t 对于一个函数的r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数，它的l a p l a c e 变换是 口睇们) ；砖= ，f ( s ) 一n - ! 。钟十1 ( ，) ， 其中万一1 口刀 还有一个常见的积分变换，就是f o u r i e 变换。一个函数g ( f ) 的f o u r i e r 变 换是 g ( 缈) = e g ( ，) ；) = e d 讲g ( t ) d t 可以看到，对一个函数g ( f ) 进行f o u r i e 变换，要求g ( f ) 在整个实轴上有定义， 所以采用无穷区间上的分数阶导数定义是合理的因此分数阶导数定义是 。翱归志l 筹等， 其中1 - - 1 五 实际测量值的拟合若用线性回归，则只限于区间 t 。，t ： ，而且十分粗糙 若用多项式回归，形式可能不错，但所得拟合函数往往难以应用，而抛物回归则 是工程上最常用的办法，此时得到一条 0 ，t 。 ， t 。，t ： 上以z 为对称点的曲 线，在这种情形下严重失真，对钢缆的寿命估计不足，造成浪费用分数回归模 型，对测量值m ，y 2 ，定义拟合函数y ( f ) 为 m - i y ( f ) = a k t 一研“y ( f ) ，0 t 丁， ( 3 1 ) k = o 及初值条件 y ( 0 1 = y o ( 3 2 ) 实践证明，用分数回归相对较好。为矿区大大节省了钢缆的消耗。 在本章中，我们只考虑0 口 1 的情况。首先，我们导出分数回归模型一般 形式的解析解，然后用算子方法求出它的精确解，最后利用泰勒公式求出它的近 似解。 3 2 分数回归模型的解析解 由 栅一i 少( f ) = 吼，一研。少( ，) ， d ， 丁， ( 3 1 ) 两边同时作用算子d 。，得 矿胁喜kq 等高一叫小= l1 n 。r1l 一， 1 2 ( 3 3 ) 硕+ 学位论文 第三章解分数同归模型的一些计算技巧 ( 3 2 ) 的解析解。我们使用的方法类似于沈和刘嘲1 求解分数阶方程b a g l e y t o r v i k 的解析解的方法。 对方程( 3 3 ) 进行拉普拉斯变换，由( 讲y ( ，) ) = s 口】，( s ) 得： s 口y c s ，= 喜吼；詈等圭 兰丢下f ( k + l - a ) 一y c s ， 哪) = 蕃m - 1 吼掣飞脚 得 w 、喜吼簧 吼半导 以。2 专盖 掣 a , f ( k + 1 ) = k = l 万篙i , a 与。 ) r “， 令g ( s ) 2 了南， g ( j ) 又可以被写成如下形式： 如) 2 两未可 = 专扣九s 1 = 主n = o ( - 1 ) ”刍 ( 3 4 ) o 基于拉普拉斯变换的一般展开定理引，逐项求拉普拉斯的逆变换，我们可以 得到公式( 3 4 ) 的拉普拉斯逆变换： g(f)2丢(-1)”on高jlil月= oll ， =岁2乃十n!托，：t(a-i)n+ke洲a(n)(一，)，n=ol ，z 十托，： 。川一口j “、 这里础( y ) 是带有两个参数的m i t t a g e l e f f l e r 函数： 硕士学位论文 第二章解分数同门模型的一些计算技巧 e k ) t y ，= 等啪，= 姜揣，c k = 0 , 1 , 2 , - - - ， 因此我们可以得到： m - i y ( ，) = a k f ( k + 1 ) g ( t ) ( 3 5 ) k = l 显然( 3 5 ) 就是分数阶回归模型的一般形式( 3 3 ) 的解析解。 3 3 解分数回归模型的算子方法 下面我们利用文阳5 3 提出的一种新的方法，即算子方法求解分数回归模型一般 形式的精确解。我们让m 表示口的分母( 0 口 1 ) ，把( 3 3 ) 化为如下形式： c苦+岛。等+do，yd b d c ，= 薯a k 吾詈等车 兰豸， ( m + 岛dm + + ) ( ，) = 亭 乇， 定义变量： x l ( ，) = z ( f ) 上上 ( f ) = d m o ) = d m z ( ，) ( ，) = d m 一l o ) = d m x ( f ) 于是分数阶回归模型一般形式( 3 3 ) 及初值条件( 3 2 ) 可转化为： p 即，= 砌m 善m - 1 吼等嵩， i x ( o ) = 【五( o ) ，x 2 ( 0 ) ，吒( o ) 】1 ， 其中x ( ，) 贸”，a 婀“”，x ( ，) = i x l ( f ) ，而( ，) ，( f ) 】t ， a = o1o o01 ；o。 o 一吃一一， o 。o 01 一岛 ，b = 对于方程( 3 3 ) 来说6 l ，6 2 ，阮的取值情况为： 6 l = 6 2 = 6 3 = 吃一一= 0 ，o n = 1 4 硕士学位论文第二章解分数同门模型的一些计算技巧 则 上 d m 一( f ) x a t ) 矗( f ) 五( ，) 而( ，) 吒( f ) + m - 1 吼蝼 ( 3 6 ) 智“r ( k + 1 - a ) 、7 所以方程( 3 6 ) 的解即为分数回归模型( 3 3 ) 及初值条件( 3 2 ) 的精确解。 令 砸，= 喜嘶等高， 则 f 上 jd 村x ( f ) = 倒( f ) + b u ( t ) ， 【x ( o ) = 【五( o ) ，恐( o ) ，( o ) 】7 1 利用分数阶导数的拉普拉斯变换及其逆变换，不难得到方程( 3 3 ) 的解： x ( f ) = ，( 彳f ) x ( o ) + f ( f r ) 一1 ，肠( 彳。一f ) b “( r ) d f ( 3 7 ) 式中，岛，为双变量m i t t a g l e f f l e r 函数。易知( 3 7 ) 也为分数回归模型一般 形式( 3 3 ) 及初值条件( 3 2 ) 的精确解。 3 4 解分数回归模型的t a y io r 展开解法 由于分数回归模型的解析解和精确解很难被数值地表达出来，于是，我们将 提出一种有效的求解分数回归模型一般形式( 3 3 ) 及初值条件( 3 2 ) 的方法：t a y l o r 展丌解法。 对于分数回归模型： 埘一l y ( f ) = 吼t 一d 。夕( ，) ， d ， 丁 两边同时作用算子d 口，得 脚，= 薯q 等篙一a m o 如， 对上式两边从0 到，积分，利用第二章给出的分数阶积分及微分算子的性质得 上r ( 1 - a ) f ( f - 玎出= f 喜吼糟一f 叫舳， o o o 0o 一 0 1 。o 0 0； 一 硕十学何论文第二章解分数同门模型的一些计算技巧 即 令 则 而1 胁玎出= 喜吼嵩嵩瓦t k - a 而+ l 一出 胁薯吼卷嵩而揣， 而1 丽f ( ) 一“y ( x ) 出= 删一f y ( x ) 出 ( 3 8 ) 下面，我们把方程( 3 8 ) 的解y ( x ) 写成下面形式的关于任意点t 处的泰勒展丌式： y ( x ) ：y o ) + 少。( ，) ( x f ) + + y ( 一( ，) 垦! ；2 二+ r ( x ，) ， ( 3 9 ) 刀! 当n 很大时，其l a g r a n g e 余项兄( x ，) 可足够小，可以忽略不计，于是，将( 3 9 ) 的右端去掉r ( x ，f ) 的部分，代入( 3 8 ) 中，即可得到一个含有n + 1 个未知函数少( ，) ， y 。( f ) ，y ”( f ) 的线性方程： 所以 从而 其中 志肛矿嘻学训一f 委学， +艄y巾tj)(i)(+-|)jtj-a一+西lj1 ) t o 训一口兰j = o 学筹j 1 备! ( 一口+一口) “ - _ ，! + ，i + 2 一口，j + i 州d=二(j-a+1)f(1-a)+timo知 对方程( 3 8 ) 两边继续从0 到，积分，得： ( a o ) 币f ( 心) l - a y ( x ) 出= 钟) 一n 咖( x ) 出， ( 3 1 0 ) 其中p 。( f ，x ) = j p o ( s ，x ) d s ，p o ( t ，z ) = 1 1 6 硕士学位论文 第三章解分数同归模型的一些计算技巧 把y ( x ) = 喜等代入( 3 1 。) 得： 而1 肛) 1 嘻学啪h 伽丢n 学， 所以 志窆掣甓箸叫沪伽nf丛等(2- a ) 智12 一口+ j 。” 句 。一j = o 歹! 从而 其中 啪) = 雨i t 2 丽+ j - a 瓦面+ a r a of 局( ，x ) 一x ) 。出小) 2 丽i 面西面+ 土聃x ) 一x ) 。出 依次类推，得： 志f ( y 卜项x 边= 厶( f ) 一f 聃y ( 舳 其中只( ，x ) = f b 一。( s ，x ) d s ，i 口卅( f ) = ( j + n + l - ! 二二a = ) f 二( n + 一l - a ) + a m of 以( f ，x ) o x ) 。出 口卅( 7 ) 2 +j ) 以( f ，x ) u x y 出 ( a 。) ( a 。) 由于我们忽略了l a g r a n g e 余项r ( x ，) ，那么我们无法得到( 3 3 ) 式的精确解，只 能得到其近似解，由等式( 凡) 一( a 。) 我们可以得到一个含有n + 1 个未知函数的 线性方程组： 彳( ，) y ( ，) =