（基础数学专业论文）空间形式中的全脐类空子流形及曲率与拓扑.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在本文中，我们主要研究了空间形式中类空子流形的全脐问题另外，我 们在比较几何的框架下研究了具特定曲率条件的r i e m a n n i a n 流形的拓扑，得 到了有关有限拓扑型和基本群同构类的一些结果 第一章，我们主要介绍了空间形式的标准模式+ 第二章，我们证明了空间形式s ? 却( 1 ) c 三押“1 ) 中紧致极大类 空子流形是全脐的，也是全测地的当p = 1 时，该结果就是m o n t i e l 在h = 0 时的结论 第三章，我们对a n t i d es i t t e r 空间中的紧致类空超曲面建立了积分公式， 并应用它在常高阶平均曲率的条件下讨论了该超曲面的全脐问题 第四章，我们证明了对于r i c c i 曲率具负下界的完备开r i e m a n n i a n 流形， 当其共轭半径有正下界且它的e x c e s s 被其共轭半径的某个函数所界定时，它 就有有限拓扑型另外，我们证明了r i c c i 曲率r i c ( m ) m 一1 ) k ，半单连通 半径r ( m ) r o ，直径d ( m ) d 的一类紧致r i e m a n a i a n 流形的基本群仅 有有限多个同构类，我们也证明了在这类流形中短测地圈所生成的子群的阶 有限 关键词：空间形式；全脐；曲率；拓扑 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h et o t a l l yu m b i l i c a ls p a c e - l i k es u b m a n i f o l d si ns p a c ef o r m s b e s i d e s ，w es t u d yt h et o p o l o g yo fr i e m a n n i a nm a n i f o l d s w i t hs o m ec u r v a t u r ec o n d i t i o n sv i ac o m p a r i s o n s l g e o m e t r ym e t h o d s ，a n d w e g e t s o m er e s u l t st o w a r d st h et o p o l o g i c a lt y p ea n dt h ef i n i t e n e s so fi s o m o r p h i s m c l a s s e so ff u n d a m e n t a lg r o u p so fs o m er i e m a n n i a nm a n i f o l d s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h es t a n d a r dm o d e l so f s p a c ef o r m s i nc h a p t e r t w o ，w ep r o v et h a tc o n n e c t e dc o m p a c tm a x i m a ls p a c e - l i k es u b - m a n i f o l d si nt h es p a c ef o r m $ “( 1 ) c 霹押“0 1 ) m u s tb e t o t a l l yu m b i l i - c a l ，a n da l s ot o t a l l yg e o d e s i c p a r t i c u l a r l y , w h e np = 1 ，o u rr e s u l ti sm o n t i e l s i nc a s eo f h = 0 i nc h a p t e rt h r e e ，w ed e v e l o ps o m ei n t e g r a lf o r m u l a sf o rc o m p a c ts p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e si na n t i d es i t t e rs p a c e t i m e 砰+ 1a n d a p p l yt h e mi no r d e rt o c h a r a c t e r i z et h et o t a l l yu m b i l i c a lo n e si n 研+ 1a st h eo n l yc o m p a c ts p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n th i g h e ro r d e rm e a nc u r v a t u r eu n d e rs o m ea p p r o - p r i a t eh y p o t h e s i s i nc h a p t e rf o u r ，w ep r o v et h a tac o m p l e t eo p e nr i e m m a n n i a nm a n i f o l d w i t hr i c c ic u r v a t u r e n e g a t i v e l yl o w e rb o u n d e d i so ff i n i t et o p o l o g i c a l t y p ep r o - v i d e dt h a tt h ec o n j u g a t er a d i u si sb o u n d e df r o mb e l o wb yap o s i t i v ec o n s t a n t a n di t se x c e s si sb o u n d e db ys o m ef u n c t i o no fi t sc o n j u g a t er a d i u s b e s i d e s ， w ep r o v et h a tt h e r ea r eo n l yf i n i t e l ym a n y i s o m o r p h i s mc l a s s e so ff u n d a m e n t a lg r o u p si nt h ec l a s so fc o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hr i c c ic u r v a t u r e r i c ( m ) ( n 一1 ) k ，s e m i - s i m p l ec o n n e c t e dr a d i u sr ( m ) r oa n d d i a m e t e r d ( m ) 曼d w e a l s os h o wt h a tt h eo r d e ro ft h eg r o u p g e n e r a t e db y s h o r tl o o p s m u s tb ef i n i t ei nt h i sc l a s so fm a n i f o l d s k e y w o r d s ：s p a c ef o r m ；t o t a u yu m b i l i c a l ；c u r v a t u r e ；t o p o l o g y i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声朋 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：j 队鼠卧 日期：埘年6 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使甩学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：士佩鼠霄注 日规埒6 月专日 锄始彬 日期：二一，年6 月五日 ， 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。园意途塞埕童后进蜃；旦坐生；旦二生i 旦三生 发查三_ 作者签名：木宸碗对 日期：k 砖年6 月气日 孙船纷钔 日期：删r 年6 月专日 硕士学位论文 m a s 丁e r st 髓s i s 第一章引言 子流形几何是微分几何中的重要部分， 1 】系统的介绍了子流形几何的基 本知识其中，第1 章1 6 ，1 7 节分别用近代观点( 映射观点) 和活动标架法 介绍了r i e m a n n i a n 子流形的结构方程和曲率方程；第2 章详细介绍了全测 地，极小和全脐子流形的概念及其重要的性质和相关结果；第3 章3 4 节用 体积变分的方法讨论了极小子流形 空闻形式中的子流形几何近年来在数学和物理学界引起了人们极大酌兴 趣我们用 口( c ) 记赋有度量 d s 2 = 一( 叫1 ) 2 一一( w 8 ) 2 + ( w 卧1 ) 2 + + ( 伽“) 2 具常截曲率c 的空间形式称d 曙( c ) 为r i e m a n n i a n 空间形式，如果s = 0 或 8 = n ；称旭。( c ) 为伪r i e m a n n i a n 空间形式，如果0 s n 特别的，f 。( c ) 称为l o r e n t z i a n 空间形式空间形式的标准模式如下( 依次为8 = 0 , s = 1 和 o 8 0 e u c l i d e a n 空间e ”： m i n k o w s k i 空间e p ； 伪e u c l i d e a n 空间霹 超球面p ( r ) ce n + l ； 第一类d es i t t e r 空间研( r ) c 上翠+ 1 ； 黑( r ) c 霹“ ( 三者均为具实半径r = ( 、，仨) 叫的超球面) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 霹+ p + 1 上的结构方程如下： m + l a d w a = 沪心鲁 b = 0 u j + 叫0 = 0 叫g 一此= 0 u ；+ 堪= 0 u ? 一u ：= 0 u g + 啦= 0 d 以= 一a u 量 c = 0 对于5 孑+ 上的标架场有 w 0 = 0 m + p d w = u 声a 鲁 b = 1 m 十p1m + p 扎鲁= , 4 a u a + 寺忌b g d u e a 沪 c = 1“o d = i 其中豆4 _ b c d 是曲率张量的分量，1 a ，b ，g ，d m + p 从v e 0 一印2v 数。2e ，我们得到v 。e 02 薹u 圆e ”l + 口 从( 1 ) 我们有u 乎= u a ，也就是 4 ( 3 ) 甜 o 8 u u 一 = l | 嵋嵋 ，、l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 得到 l b 0 由h o p f 引理，一 ，( z ) = 0 ，也就是，所有的不等式变成等式， m + 1 = 嚣袁1 这样，f ( x ) = 0 ，m “是全脐的，也是全测地的证毕 + m m m蝣 。m u g = 。) + j ) q m 嘣 锄 一 言=” 1 忍 耐n 一 口n n 蠼 毛l 伊 ( 一 一 州u + = 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章a n t i d es i t t e r 空间中紧致类空超曲面的积分公式 在g o d d a r d 的猜测下，人们对平均曲率和数量瞳率附加一定的条件后进 行了大量的工作在 9 】中，作者将平均曲率和数量曲率推广到高阶平均曲 率，对d es i t t e r 空间中紧致类空超曲面建立了积分公式，并应用它们在常高 阶平均曲率的条件下去讨论全脐问题我们则对a n t i d es i t t e r 空间中紧致类 空超曲面建立了积分公式，并应用它们去讨论全脐问题最后，我们给出了 a n t i d es i t t e r 空间中全脐类空超曲面的例子 3 1 预备知识 用四十2 记赋有如下度量的+ 2 ) 维实向量空间j p + 2 n = v i w i v n + l 删n + 1 一v n + 2 叫n + 2 = 1 + 1 ) 维单位a n t i d es i t t e r 空间h l n + 1c 研+ 2 定义如下 h i + 1 = z 霹+ 2 ： = 一1 ) 熟知，a n t i d es i t t e r 空间日r 1 是标准的单连通具常截曲率一1 的空间形 式n 维2 ) 连通流形m ”称为类空超曲面，如果妒：m “- 4 三砰“c 正譬十2 是一个光滑r i e m a n n i a n 浸入 本文将讨论a n t i - d es i t t e r 空间中的紧致类空超曲面，我们将这个浸入的 g a u s s 映射视作m “上的整体类时单位法向量场，这样m “的定向由 决定 霹+ 2 ，上口“和m “的l e v i c i v i t a 联络分别记作v o ，守和v 由 = 一 和 = - - 1 ，我们有 v 殳y = v x y + 妒= v x y 一 + 妒( 1 ) 和 a x = 一v 生= 一v x ( 2 ) 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中，盖，y c 。( 丁m ) ，a ：c 。( r m ) _ c 。( t m ) 表示m “在日r 1 中关 于的形状算子 关于m ”的形状算子有n 个代数不变量，也就是如下定义的关于主曲率 k 1 ，k 的对称函数西： ，k ) = k i 。觑，1 r n l ( h 类空超曲面的r 次平均曲率日定义为 ( ? ) 王0 = ( 一1 ) c r r ( k l ，k ) = a r ( - k l ，一k ) 当r = 1 ，h 1 = 一：t r a 是m “的平均曲率；当r = 2 ，h 2 与m “的数量曲率相差 一个常数；当r = m 日l _ ( - 1 ) ”d e t ( a ) 是这个类空超曲面的g a u s s - k r o n e c k e r 曲率 对于任意的向量a 五霉帕，考虑 扩上的高度函数 从 = x = = ，v x c ”( t m ) ，我们知 高度函数的梯度是v = a t ，这里 a r = 口+ + 妒 切于m “对( 3 ) 求协变导数，应用( 1 ) ，( 2 ) ，我们从v o a = 0 得到 v x a t = 一 a x + x 3 2 积分公式 定理1 设妒：m ”_ 十研+ 1c 霹+ 2 是a n t i - d es i t t e r 空间中的一个紧致类空 浸入，a 霹+ 2 是任意一个向量对i = 0 ，n 一1 ，以下套式成立： ( 甄 + 皿+ 1 ) d y = 0 j m 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 其中d v 是m ”关于诱导度量和选择定向的礼维体积元 证明：从( 4 ) 和v = a t , 的l a p l a c i a n 如下 = d i v v = d i v a l n = i = l n = i = 1 = 一 打a + n = 礼 + n i l 这里 e l j ，e 。) 是m ”上的局部规范正交基 在m ”上对上式积分得， 厶( 0 使得对于所有的| t1 ，也是一 个类空超曲面由于( 5 ) 对任意的类空超曲面成立，所以对iti ， 厶( + 凰 d y e ) = o ( 6 ) 这里凰是讥关于由g a u s s 映射决定的定向的平均曲率，d k 是m ”关于由 也决定的诱导度量和选择定向的竹维体积元现在我们来计算出现在( 6 ) 中 的各个量钒，凰，批，砒 简单的计算可知， ( 删t ) ，( ) = ( d e ) p ( c o s t 一s i n a p ( 口) ) v p m “， 耳m ( 7 ) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由此可知 m = 一s i n t 币+ c o s tn 和 ( 8 ) n d v , = i i ( c o s t k is i n t ) d v( 9 ) i = 1 对( 8 ) 关于任意的p m “和v 乙m 微分得， v 。) ，( 。) ；= 一s i nt v 2 a o ) ，( 。) 妒+ c o s t v 2 d v ) ，( 。) 现在我们对等式的两边分别计算， 一s i n t v 2 a 口) ，( 。) 砂+ c o s t v 2 d p ) ，( 。) = 一s i n t ( d 砂) p 0 ) 一c o s t 如( ( d 妒) p 0 ) ) = 一s i n t w c o s t a p ( ) v 啦) ，( 。) t = ( a t ) ，( ( d 啦) ，( 口) ) = 一( a t ) p ( ( d 妒) p ( c o s t 口一s i n ta p ( 口) ) = c o s t ( a t ) p ( 。) + s i n t ( a t ) p a p ( ) 这里a 是慨关于m 的形状算子 这样， 一s i n tv c o s t a p 0 ) = 一c o s t ( a t ) p 扣) + s i n t ( a t ) p a p ( ) 这蕴涵着如果 e - ，) 是浸入妒在p 点的各主方向使得如( e i ) = k i ( p ) e i 那么 8 1 ) r ，e 。) 也是咖在p 点的各主方向使得 ( 酬刚= 末端e 。 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 皿= 一；t r a t = 1 ( 瑞+ + f 端，c ，。， 这样，从( 8 ) ，( 9 ) 和( 1 0 ) ，( 6 ) 变为 f m ( + 甄 ) i “i ( c o s t - k i s i n t ) d y = o t = 1 厶( ( c o s t 一皿s i n t ) + ( s i n t + 巩c 。s t ) ) h ( 1 一t a t ) d v = o t = l l 1 1 一h t t a n t ) 。，炒+ ( t a n 抖凰) ) ( 1 一k i t a n t ) d v = o ( 1 1 ) n i = 1 又从 n ( 1 一甄t a n t ) i i ( 1 一k i t a n t ) l 一三 礼 1 一三 礼 = 一1s e c 2 n 兰s e c 2 n t 寄警挚+ + 等笋，癣一 卜篙一一篙盖，) 垂c ，枷a n m r 二 i i 五再一一r = 1 i i ；再j ! ! ( 1 一岛a n 击志+ + 去癣一k i t a n t )i r 二i 面+ + r 二1 丽j 出( 1 一 k i t a n t ) ( 1 一k 2 t a n t ) ( 1 一。t a n t ) + + ( 1 一k lr a n t ) ( 1 一k 。一1 t a n t ) 喜 薹 n i ) 以( 一，一。) t a n i ( t ) ) n _ ) ( m 府凰 1 6 ，1l，1l = | | 2 2 c c e e s s 1一nln ( t a n $ 4 - 巩) ( 1 一t a n ) 却肌t 一去c 鏊盖+ ”+ 罴盖，重c ，咄t a n t ， ：三“。n t 竹【、 = 三s e c z 。i n 【 竺尝) + + ( t a n 一 1 一乜t a n t 、 - k l 一n k l t a n t 。“。1 一k n t a n t 黑) n ( 1 一n t ) = i 面j 墨“ 、n i i ( 1 一k c t a n t ) ，l = 1 = s e c 2 # 【( 一k 1 ) ( 1 一2 t a n t ) ( 1 一k 。t a n t ) 4 - + ( 1 一k 1t a n t ) ( 1 一。一1t a n t ) ( 一k n ) 】 1 n - - l = 圭8 e c 2 虹( i + 1 ) 坼- ( _ h ，一n ) t a n 俐 。o i = i n 一1 = = 1 8 e c 2t i e ( 件1 ) ( ： + 1 ) 凰+ 1t a n i ( t ) 1 i = l n 一1 = 圭s e c 2 t i e 一i ) ( ? ) 甄十1 t a n 4 ( t ) 】 等价于 蓑( 州增阃) 厶( 皿 n 炒峨t n ，肚。 而对所有的i tl e ，这是一个关于t a n t 的多项式方程因此，所有的系数都 是零，进一步， 厶( 题 0 ，且为常数，则m “是全脐的 证明：由c a u c h y - s c h w a r z 不等式， 1 n n 研-tt2=(一i觑)2一可南鱼 o ，研h 2 0 可知日1 在m ”上不为零在选定的定向下，我 们可以假设在m ”上日1 0 而且从【1 0 ，定理55 我们知道霹一风风20 ， 也就是，- 3 甓因此， 髓既一h 3 h i h 2 一番= 警( 日 一胁) 。 等式成立当且仅当该点全脐在积分公式 厶( 0 ，日r 0 ，研为常数，2 r n 一1 ，则m ”是全脐的 证明：从 1 0 ，定理55 研一皿一l h i + 1 0i = 1 ，r 等式成立当且仅当该点全脐由于每个h i 0 ，故有 象象h 告2 警 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 也就是， 甄研一珥+ 1 0 等式成立当且仅当该点全脐 在积分公式 厶( 0jb ( p ，r ) 中关于p 除p 外没有其它l 晦界点) 本文的目的是研究满足如下条件的礼维完备r i e m a n n i a n 开流形的几何 与拓扑： r i c m 一( 死一1 ) ，c o n j m c d( 1 ，1 ) 这里c 0 是一个正常数 在 1 2 中，a b r e s h 和g r o m o l ! 定义了如下的e x c e s s 函数t 对任意的 p ，口m ，由m 上的r i e m a n n i a n 度量决定的距离函数记为d ，e x c e s s 函数 e p 口( 。) 定义为 e p 口( ) ：= d ( v ，z ) + d ( q ，) 一d ( p ，口) ，v z m 2 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在f 1 3 1 中，伍指出完备r i e m a n n i a n 流形非紧当且仅当过m 上每点至少 有一条射线设7 ： 0 ，+ o 。) - + m 是一条从p 点出发的射线，x m 容易 看出 e ( t ) ( z ) = d ( p ，z ) + d ( ，y ( t ) ，z ) 一t 关于t 单调递减，且由三角不等式知e t r r ( t ) ( x ) 0 。我们定义关于射线7 的 e x c e s s 函数e ”如下l 钸( z ) ：3 骢e ( z ) 定义8 为 e 升：= s u pe 聊( z ) o t m 进一步，我们考虑如下定义的函数族e ：m _ r ( 。) ：= d ，z ) + d ( z ，s ( p ，t ) ) 一t ，t 【0 ，+ 。) ，石m 这里，s ( p ，t ) ：= s ，mid ( p ，y ) = t ) 为p 点半径为t 的测地球面不难证 明e ；( z ) 关于t 单调递增且( z ) 2 d ( v ，z ) 这样，我们定义p 点的e x c e s s 函 数e p ( x ) 如下； e p ( 。) ：= 舰e ；( 。) e ( p ) ，e ( m ) 分别定义如下： e ( p ) ：= s u pe p ( z ) z m e ( m ) ：2 p i n m f e ) 注意到距离函数勺( z ) ：= d ( p ，z ) 在p 点的割迹上不光滑，因此，的临 界点在通常意义下不可定义 1 4 】中介绍了广义l f 缶界点的概念： q m 称为r ，的临界点，如果对任意单位向量口l m ，有一条从口到 p 的极小测地线口使得z p ( o ) ，”) 暑 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 流形m 称为具有有限拓扑型，如果存在一个紧致区域qcm ，使得n 的边界a q 是一个拓扑流形而且m q 同胚于a q 0 ，+ o o ) 如果流形m 上 关于点p 的临界点都在m 的某个紧致子集内，那么m 具有有限拓扑型如 果流形m 上关于点p 的临界点仅有点p ，则m 微分同胚于r “ 在【1 5 2 0 】中，人们对具r i c c i 下界的完备开流形的拓扑进行了大量的研 究近来，在【1 6 中，作者通过开流形的e x c e s s 函数研究了它的拓扑结构， 他们得到以下结果： 引理4 1 1 【1 6 】设m 是一个n 维完备开r i e m a n n i a n 流形，满足r i c m 一( n 一1 ) ，c o n j m c o 0 而且e ( m ) 0 ，使得如果瓯：f o ，t i - m 是从点p 出发的极小测地线，其中，p ：= m a x ( r l ，r 2 ) p 。( p ) 那么 d ( o l ( r 1 ) ，a 2 ( r 2 ) ) e c o p 6ir 1 l r 2 u 2 这里，v i = 纽d t ( o ) ，i = 1 ，2 进一步，如果m 的共扼半径满足c o n j m c 0 0 ， 那么与点p 有关的常数c o = c o ，肌。，) ) 0 可以用某个常数g ，c o ) 代替 在下面的定理中我们极大的改进了关于e ( m ) 的上界 定理4 1 1 设m 是一个n 维完备开r i e m a n n i a n 流形，满足r i c m - ( n - 1 ) ， c o n j m 三c o 0 而且e ( m ) a i x o f ( p ) ，c o ( n ，c o ) 是引理4 2 中的常数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们也得到下面的结论 定理4 1 2 设m 是一个n 维完备开r i e m a n n i a n 流形，满足r i c m 一( n 一 1 ) ，c o n j m c o 0 如果从某点p m 存在一条射线7 满足邻， f ( m i n ， c 0 ，p 0 ) ，那么m 具有有限拓扑型这里，f ( p ) ，p o 与定理j 中相 同 下面是对上述结论的详细证明 首先，我们考虑如下定义的函数，： 0 ，+ 。) _ r ， ，( p ) ：p ( 2 一厄c t ) 这里，c 是个常数通过简单的计算，可知，具有如下性质： ( i ) ，( p ) = 0 有且仅有两个根，它们是0 和r 堕监c p i ( i ) ，( p ) 有且仅有一个极大值点，记为舶，p 。满足0 ( 譬) 2 p 。 ，l 嵫c 、j 2 ( i i i ) ，( p ) 在【0 ，p o 上严格单调递增，在( p o ，+ o o ) 上严格单调递减 引理4 1 3 设m 是一个n 维完备开r i e m a n n i a n 流形，r i c m 一( 扎一1 ) ， 设p ，x m 如果存在某点q m 和某个p ( o ， 风( z ) 】满足勺9 0 ) ，( p ) 且d ( x ，q ) 岛d ( x ，p ) p ，那么z 不是点p 的临界点这里，( p ) 定义为 ，( p ) ：p ( 2 一屈岛( n ，阢( 咖女) ，c o ( 竹，卢。( 。) ) 如引理4 j 2 中所述 证明t 假设z 是p 的一个临界点，从临界点的定义，我们知道，对于任意的单 位切向量 已m ，存在一条从岱到p 的极小测地线7 ，使得z ( ，( o ) ) sj 这等价于，对于任意点q m 和任意从。到q 的极小测地线盯，存在一条从 。到p 的极小测地线，y ，使得0 ：= z ( 考( o ) ，( o ) ) 现在，对于任意的p ( 0 戊( z ) ) ，分别定义p + ，旷如下： p + ：= ，y ( p ) ，q 4 ：= o ( p ) 2 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从引理4 1 2 ，我们有 简单的计算表明， d ( p + ，矿) 。( 胆c o p 女) 2l 寸( o ) 一方( o ) 1 2 咿) 2 胆哳5 s i n ； 和 e 瑚( 。) 一印旷( 。) = d ( v ，p + ) + d o ，q ) + d ( q ，q ) 一d ( p ，g ) d o ，p + ) + d ( q + ，q ) 一d ( p ，q ) 兰0 这样， s i n 互0 努2 篆字q s ， 从( 1 3 ) ，我们知道，如果z 是p 的个临界点，那么对于任意满足d ( x ，p ) p 和d ( x ，q ) p 的点q m ，从z 到口的极小测地线盯和p ( 0 ， 风( z ) 】， 存在一条从。到p 的极小测地线，y 使得堡翔孚警，也就是，e 。( 。) 2 p e c o p 。 p ( 2 一屈g o p ) 这蕴涵着，如果对于任意从z 到g 的极小测地线7 ，存在某点q m ，某条 从。到q 的极小测地线7 和某个p ( 0 ，l p 。( 。) 】满足e m ( z ) p ( 2 - 屈c o p o ) 和d ( x ，p ) p ，d ( x ，口) p ，那么x 不是p 的l 晦界点这等价于，如果存在某 点q m 和某个p ( 0 ， 几( z ) 】满足e w ( z ) p o ( x ) 且e p ( x ) ，( m i n j m ( 石) ，p o ( 。) ) ，那 么z 不是p 的临界点这里，( p ) 如引理4 j 3 中所述，p o ( x ) 定义为 2 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ，( p o ( 茹) ) ：= r 搿m ) 证明：首先，在i 1 ( z ) p o ( z ) 的情形，如果e p ( x ) ，( m ( 。) ) ，那么e p ( x ) 存 在有限假设e ，( z ) = ，( p 1 ( z ) ) ，易知p l ( x ) 0 使得p ( p l ( 。) ，；m ( z ) 】且( 。) ；p 。( z ) p l ( z ) 时，。不 是p 的临界点 另外，在i 1 几( z ) 肋( 。) 的情形，如果勺( z ) ，( 茁) ) ，那么e p ( x ) 存在有 限假设勺( z ) = f ( p x ( 茁) ) ，易知p l ( x ) 舶( z ) ，而且，当p ( p l ( 。) ，m i n ( p c ( x ) ， 愚( z ) ) 时，e p ( x ) 0 使得p ( p l ( z ) ，m i n p e ( x ) ，以( z ) ) ) 且 e p 口 p l ( z ) z 不 是p 的临界点 这样，如果d ( p ，z ) p o ( z ) 且e p ( z ) 0 如果存在某个点p m 满足e ( p ) p o 且e px ) 0 如果存在某个点p m 满足e ( p ) p l ，那么m 微分同胚干r “这里，f ( 力，p o 如定理4 j 中所述， p 1 定义为e ( p ) = f ( p 1 ) 引理4 1 6 设m 是一个礼维完备开r i e m a n n i a n 流形，r i c m 一( n 一1 ) ， 设p ，z m 如果d ，工) m i n 风( z ) ，伽( z ) ) ，且存在一条从p 出发的射 线7 使得e ”( z ) f ( m i n p c ( x ) ，肋( 盆) ) ) ，那么z 不是p 的临界点这里， ，( p ) ，p o ( x ) 如引理4 j 彳中所述 证明：假设z 是p 的临界点，类似引理4 1 3 的证明，对于任意从p 出发的 射线* 射线，y 上的任意点，y ( t ) ，任意从。到7 ( t ) 的极小测地线仃2 和任意的 p ( 0 ，；p c ( 卫) 】，如果d ( 。，7 ( t ) ) p ，d ( x ，p ) p ，那么存在一条从z 到p 的极 小测地线a l 使得e 升( o ) i ( p ) 这蕴涵着，如果存在射线，y 上的某点，y ( ) 和某个p ( 0 ， p c ( o ) 】满足 e p 7 ( d ( 茁) i ( p ) 且d ( x ，7 ( f ) ) p ，d ( x ，p ) p ，那么z 不是p 的临界点而且 不难证明，如果存在某个p ( 0 ，；户。( z ) 】满足e 。( z ) ，( p ) ，d ( x ，p ) p ，那 么z 不是p 的临界点这样，我们知道，如果d ( x ，p ) m i n p c ( x ) ，p 0 ( z ) ) 且 e ”(