（道路与铁道工程专业论文）任意平面网坐标自动解算的非线性最小二乘平差算法.pdf

t h e a l g o r i t h m o f n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s a d j u s t m e n t o f a n y p l a n e n e t w o r k s w i t h c o o r d i n a t e s c o m p u t e d a u t o m a t i c a l l y ab s t r a c t t h e a d j u s t m e n t o f p l a n e c o n t r o l n e t w o r k s b y c o o r d i n a t e s p a r a m e t e r s i s a n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m o r i g i n a l l y , a n d s o f a r t h e r e i s n o e ff e c t i v e m e t h o d t o s o l v e i t . i f t h e a p p r o x i m a t e c o o r d i n a t e s a r e o b t a i n e d , t h e o r i g i n a l n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m c a n b e a p p r o a c h e d b y a l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m , a n d c a n b e s o l v e d b y t h e c l a s s ic a l l i n e a r a d j u s t m e n t m e t h o d b y p a r a m e t e r s . h o w e v e r , t h e p r o b l e m o f c o m p u t i n g a p p r o x i m a t e c o o r d i n a t e s a u t o m a t i c a l l y i n a n y p l a n e n e t w o r k s i s a h a r d n u t t o c r a c k a n d h a s n o t b e e n s o l v e d t o t h e c o re , s o i t h a s b e c o m e a b o tt l e n e c k o n t h e w a y t o t h e i n t e g r a t i o n a n d a u t o m a t i z a t i o n o f s u r v e y i n g d a t a p r o c e s s i n g . i n t h i s t h e s i s , t h e i t e r a t i v e a l g o r i t h m s o f n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s a d j u s t m e n t b y p a r a m e t e r s a r e c h i e fl y s o rt e d i n t o e i g h t k i n d s : g a u s s - n e w t o n m e t h o d , d a m p e d l e a s t s q u a r e s m e t h o d , q u a s i - n e w t o n m e t h o d o n l e a s t s q u a r e s , n e w t o n m e t h o d , s p e e d i e s t d e s c e n d i n g m e t h o d , d i s c r e t e n e w to n m e t h o d , q u a s i - n e w t o n m e t h o d a n d s q p m ( s e q u e n t i a l q u a d r a t ic p r o g r a m m i n g m e t h o d ) . t h e i m p r o v e d s q p m i s a d v a n c e d a n d d e a d a g a i n s t t h e s h o rt c o m i n g s o f t h e e i g h t a l g o r i t h m s , s u c h a s t h e i t e r a t i v e c o n v e r g e n c y i s n o t g o o d , t h e a l g o r i t h m s a r e t o o c o m p l i c a t e d , t h e n u m b e r o f c o n t r o l p o i n t s c a n b e c o m p u t e d i n t h e n e t w o r k i s n o t l a r g e e n o u g h a n d s o o n . t h e i m p r o v e d s q p m s u b s t a n t i v e l y b e c o m e s a s e q u e n t i a l l i n e a r l e a s t s q u a r e s a d j u s t m e n t m e t h o d b y p a r a m e t e r s w i t h l i n e a r it e r a t i v e c o n v e r g e n t r a t e . t h is a l g o r i t h m i s v e ry s i m p l e , i t s c o m p u t i n g q u a n t it y i s s m a l l , i t s i t e r a t iv e c o n v e r g e n c y i s p e r f e c t , i t s i t e ra t i v e c o n v e r g e n t r a t e i s v e ry f a s t a n d i t c a n c o m p u t e m o r e p o i n t s i n t h e n e t w o r k , t h e i m p r o v e d s q p m a n d i t s s u p p l e m e n t i n g s o l u t i o n s h a v e r a d ic a l l y s o lv e d t h e d e s i d e r a t e t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l p r o b l e m o f c o m p u t i n g c o o r d i n a t e s . d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n o f s o u t h w e s t j i au n i v e r s i ty a u t o m a t i c a l l y i n a n y p l a n e n e t w o r k s w h i c h h a s p u z z le d u s f o r a l o n g t i m e . n e a r l y a h u n d r e d s a m p l e s h a v e p r o v e d t h a t t h e i m p r o v e d s q p m i s s a t i s f y i n g i n e a c h p e r f o r m a n c e o b j e c t , a n d w o r th y o f p o p u l a r i z i n g a n d a p p l y i n g . k e y w o r d : s u r v e y i n g d a t a p r o c e s s i n g , n o n l i n e a r l e a s t s q u a r e s , a u t o m a t i c a l c o o r d i n a t e s c o m p u t a t i o n , s u rv e y i n g a d j u s t m e n t , a d j u s t m e n t b y p a r a m e t e r s , a l g o r i t h m , i t e r a t iv e a l g o r i t h m , n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g , s q p m ( s e q u e n t i a l q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g me t h o d ) 一吸 1 吐 - 编号: 2 o o 1 1 6 丫 3 9 1 9 1 ， 科 技 项 目查 新 报 告 任意平面网坐标自动解 项目名称: 委 托 人:范东明 ( 西 南 交 通大 学 测 量 工 f g l* ) 高等学校科技项目咨询 查新单位: 认证单位: 认证时间:2 0 0 1年 3月 7日 从 / 查 -奥 别 、 课题特点: 开题口、成果口、专利口、新产品口、博士论文曰 本论文在比较、总结 现有 的各种平面测呈控制网坐标解算方法的基础 卜 ， 提出了采用非线性最 小一乘方法来实现.f 面k 1 童控制网坐标计算机自 动解算的新理论和新方法，与 以往的方法相比，这 一新的算法几有适用面宽、 通用性强、易于计算机编程、自 动化程度离、算法严密等突出特点.针 对现有的几种非 线性最小二乘算法解算性能不佳的缺点，本文在广泛分析、比较非线性规划领域的 多种算法的*6 i : .吸收了s q p m 算法的优点，提出了 改进的s q p m 算法。改进的s q p m 算法实质i : 成 为具有 线性收敛速率的序列 线性最小二乘参数平差算法，通过理论分析和大量的算例和工程实例验 证，证实改进的 s q p m 算if- 凡有算法简单，计算童少， 迭代收敛性强， 收敛速度快，解算控制网的规 模人等优点扩 认恨本卜 实 现了 任总平 面测量控制网坐标的计算机白 动解算，推广应用价值n 查新 检索 省内0. 手检臼. 围段 检索时间范围: 1 9 9 0 国内回、 机检曰、 年至 国外0 光盘0 2 0 0 1 年 检索主题词 ( 或关键词) 、分类号: 平面网 控制网 非 线性 最小二乘 平差 算法 n o n - l i n e a r l e a s t s q u a r e s q p m a d j u s t m e n t s u rv e y i n g p l a n e 中图法分类号: p 2 0 7 检索范围: 美国 _ 程索引 e d ( 光盘) 中国学术期刊全文数据库 中文科技期刊篇名 数据库 ( 光盘) 全 国 报 刊 索 引 ( 白 然 科 学 技 类 版 ) c a l i s中 文现刊日 次库、 c a l i s学位 论 文 库 测绘文摘 测绘学报 测绘信息与i 中国地质文摘 测绘通报 s u rv e y i n g a n d l a n d i n f o r m a t i o n s y s t e m s s u r v e y r e v i e w ge o ma t i c a 1 9 9 0 - 2 0 0 0 . 1 2 1 9 9 6 - - 2 0 0 1 . 1 1 9 8 9 - 2 0 0 0 . 1 2 1 9 9 0 - 2 0 0 0 . 1 2 1 9 9 0 2 0 0 1 . 2 1 9 9 0 2 0 0 1 . 2 1 9 9 0 2 0 0 0 . 1 2 1 9 9 0 2 0 0 0 . 6 1 9 9 0 - 2 0 0 0 . 1 2 1 9 9 7 2 0 0 0 . 1 2 1 9 9 0 - 2 0 0 1 . 1 1 9 9 0 - 2 0 0 0 . 9 1 9 9 0 - 2 0 0 0 . 1 0 1 9 9 0 - 2 0 0 0 . 9 乙玉东爪乐7.乐叭0二121314 检索结果 文 献 篇 名 和 来 源( 著 者 、 刊 名 或 专 利 、 卷 、 期 ， 更 , 卫 相 关 文 献 或 参 考 】 、 控制网综合数据处理系统的 研制， 胡吉伦， 测绘信息与工程， 1 9 9 8 ( 1 ) 1 5 - 1 6 , 4 5 2 , 控制网白 动解算系统的实 现原 理， 吴柏宣， 工程勘察.1 9 9 7 ( 6 ) 6 0 - 6 1 , 5 0 3 、控制r自 动平差软件的 研制， 周秋生，测绘工程，1 9 9 5 ( 4 ) 8 - 1 4 4 、间接平差中非线性误差方程直接解，廖代明 李励锋.贵州工学院学报， 1 9 9 6 , 2 5 ( 1 ) 9 2 - 9 8 5 .非线性模型的平差，陶本藻， 测绘信息与一 r 程，1 9 9 7 ( 3 ) 2 6 - 2 9 , 3 3 6 ,非线性模型线性近似的容许曲率，王新洲，武汉测绘科技大学学报， 1 9 9 7 ( 2 ) 1 1 9 - 1 2 1 7 ,非线性模型参数估计的直接解法，王新洲，武汉测绘科技大学学报， 1 9 9 9 ( 1 ) 6 4 - 6 7 8 . 非 线性最小二乘参数平差， 刘国林 姜岩 陶华学， 测绘学报， 1 9 9 8 ( 3 ) 2 2 4 - 2 3 0 9 .关于 测斌中非线性模型估计问 题，陶本藻，测绘通报，1 9 9 8 ( 2 ) 6 - 8 1 0 , 非 线性最小二乘 法， r 1 . g . t e u n is s e n 欧吉 坤译， 测绘译 丛，1 9 9 1 ( 5 ) 2 1 - 3 4 1 1 、1 r 线性* u 最小 乘法. e j . g . t e u n is s e n , e . h . k n ic k m e y e r , 唐传亚 译， 武测 译文，1 9 9 0 ( 1 ) 8 - 1 6 1 2 ,最小二乘平差的非线性解法及其儿何意义，刘权威，太原 业大学学报. 1 9 9 4 , 2 5 ( 1 ) 9 6 - 9 9 、非线性规划与非 线性最小三乘条件平差， 廖代明， 贵州测绘，1 9 9 6 ( 1 ) 3 8 - - 4 1 、测童控制网优化设 计中建模与求解的一般方法， 范东明， 两南交通大学学 报9 5 ( 6 ) 6 1 0 - 6 1 4 . 文 献! 1 5 , s u c c e s s iv e q u a d r a t ic p ro g ra m m in g m e t h o d f o r a c la s s o f c o n s t r a in e d n o n s m o o th o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , f u k u s h i m a , m a s a o , m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g , 1 9 9 0 . 4 9 ( 2 ) 2 3 1 - 2 5 1 1 6 , d y n a mi c c a s e s t u d y c o r p o r a t e s o u r c e : i m p e r i a l co n t rol， o p t i m i z a t i o n o f la r g e s c a l e s y s t e m s : c o l l , c o l a n t o n i o , m.c . ; p y t l a k , 1 9 9 9 . 7 2 ( 9 ) 8 3 3 - 8 4 1 r . , i n t e rn a t i o n a l j o u rna l o f 查新结论 ( 包 含 相 关 文 献 对 .鱼 坦r 、飞、 一根 据 本 论 文 特 点 . 选 择 确 定 j _咙检 索 范 围 ， 共 查 出 相 关 文 献 16 篇 ， 与 本 论 文 特 点 分 析 对 比 ， 归 纳总结如下结论: 文献i_ 1 1 介绍了 控制网综合数据处理软件的特色和设计思想。文献 幻介绍了控制网自 动解算系统 的实现原理，重点介绍了 线型网和测边网的自 动解算原理， 提出了 先进的自 动解算系统应具备的墓本 功能.文献仁 3 1 阐述了 控制网自 动 差软件设计的基本思想，研究了 点号的自 动最优编排、近似坐标 的自 动推算、 变带宽压缩存储等关键技术.文献 4 1 运用非线性规划中的算法对非线性误差方程直接 平差，将非线性误差方程直接平差归结到非线性规划中无约束优化范畴， 避免了 将误差方程线性化造 成的精度损失和求解法方程过程中的凑整误差造成的误差w,响。文献 5 1 对非线性平差模型中允许线 性化的统计检验方法、误差传播以及最小二乘估计等问题进行了 研究， 推导 出了其计算公式. 文献 6 1 介绍r 度量能线性强度的 方法， 提出了 判断非线性模型能否线性近似的数值标准 容许曲 率。文献 7 提出了非线性模型参数估计的直接解法， 该法无需迭代， 属顾及二次和三次项的直接算法. 文献 8 ) 利用非线性最小二乘的精确正 交性条件方程，推导出 顾及到二次项的非 线性最小参数平差的一种新的 计算公式。文献 9 1 1 1 述t 非线性模型非线性强度的度盆，非线性模型的最小二乘估计，非线性模型 的误差传播等方面的油要 研究成果.文献 1 0 讨论了解算1 r 线性最小二乘问题的一些迭代算法的数值 特性，并通过! r 线性平差的微分几何途径对高斯一 牛顿方法的数值特征做出了几何解释。文献 1 1 给 出了 参数、残差和乡数函数的最小二乘估计量的矩的表达式， 用统计和微分几何的观点讨论了 非线性 的度量。文献 1 2 1 讨论i 峨小 一乘 差的非 线性解法的几何愈义.文献 1 3 1 将非线性规划的理论、 算 法应用到非线性最小一二 乘条件 ! 差中， 将非线性最小二乘条件乎差归 结为求解线性规划问题. 文献 1 4 1 学出了一套适用于求解一般的多目标优化模型的逐步线性目标规划法，提出了 解决一般测盈控制网优 化设计问题的总体思路和方法. 并给出了 新的建模方法. 文献【 巧 提出了 用于求解带约束非光滑非 线 性规划问题的 一 种s q p .文 献 1 6 1 采 用摧于s o p 的新算法来处理人系 统的动态最优化问题 综 卜 所述，闪内外对测!i i 1 fi 制网自 动解算有关方面的研究还较少( 见文献 1 , 2 , 3 ) .现有的方法 都属几何学的范畴: 在非 线性最小 乘算法的研究方面， 有些文献采用的是直接解法( 见文献4 , 7 , b ) , 有共采用的足迭代算法( 见 文献 1 0 , 1 3 ) ，还有些研究的是精度评定、容许曲率、统计 和微分几何解释 等其它方面的内容( 见文 献5 , 6 , 9 , 1 1 , 1 2 ) ;在 s q p m 或 s q p 算法的研究方面，文 献 1 4是 本文作者 采用基于s q p 算法导出的s l o p 算法来解决测量控制网优化设计问趁，文献1 5 提出了 一种求解带约束 非光滑非线性规划问题的s q p 算法，文献1 6 是s q p 算法在其它领域的应用。 在所检索的文献中，未见采用非线性最小二乘或非线性规划算法对测全 控制网自 动解算方面的研 究:未见采用s q p m 或s q p 算法求解非 线性最小二乘问题的报道; 有关改进的s q p m 算法方面的文献亦 未见报道。 .飞.、，ij，jj.盆，、ij，压 查新人员 审 核 者 导 l m 幸 4 v -4 时 间 ， 。 ! 年 ， 月 7 日 k , 1 。 前言 测量数据处理的理论和方法， 尤其是最小二乘理论和最小二乘法， 在整个 测绘 领域， 乃 至于 其相 关的 领域 ( 包括数学、 物理、 数理统计、 数学 规划、 系统 工程、 控制论、 计量学、 经济学、 生物工程等) 内， 都具有十分重要的位置。 如 果把测量的各种仪器、设备、手段比作是测绘学科 “ 硬件”的话，那么测量数 据处理系统就好比是测绘学科“ 软件” 。 因此可以说， 测量数据处理系统是支撑 整个测绘学科的重要基石。 众所周知，传统上测量平差的两大基本任务:一是通过数据处理求待定量 的 最佳估值( 最或然 值) : 二是 进行相关的 精度评定、 评估观测成果的 质 量。 平 差的方法有多种， 但最适合电算的 通用平差方法是间接平差( 即参数平差) 一 一 其函数模型( 误差方程) 以 及法方程的组成非常有规律而易于编程， 且平差的最 后结果直接是参数的平差值和精度;而条件平差因其函数模型中各条件方程式 不仅与控制点的数量、组网的形式有关，还存在各条件方程式间独立性的判断 问 题，故其条件方程式的计算机自 动列立十分困难，难以编写条件平差的通用 程序，并且平差的直接结果是观测值的、而不是参数的平差值和精度， 还需要 另行计算参数的平差值和精度。由 于条件平差与间接平差是相通的、平差结果 是一致的，一般情况下都会优先考虑间接平差。 在实际工作中， 最常遇到的 平差问 题有平面控制网 平差、 高 程控制网 ( 包括 水准网 和三角高 程网 ) 平差和 g p s三维基线网 平差三种。 其中高程控制网 平差 和g p s 三维 基线网 平差的 函数 模型 ( 平鱼 勿 厦 方程) 分别为: 凡 一 h e + v , = f ! ， 一 f f , ( 高 程 控 制 网 ) 、 一一一 一 一 勺卜 图 1 - 1误差方程式的点位关系示意图 第 z页 测角观测值坐标平差误差方程( 见文献 1 7 1 , 第9 0 页) : . y ok y 盆 、 、 ， ， = ” w s j- ) 一 (s jl )i j x ， 一 ” ( a 珠 a 珠 ( 嵘) , ( 斗) ,)、 一 a ylks 0ik y a x 0i . 丁 又 石 下 万yk 十p 又 蛛 厂 。 此 . a x 10, 又云 -又云 牙 x f s jh )一 p牙y h 一 ( l , 一 e l 1 ( 1 - 1 ) 测边观测值坐标平差误差方程( 见文献 1 7 1 ， 第9 4 页) : a x 鑫 二 a 雌. a x 鑫 ” = - xs joi-一 - t lo - 乃 十 - - ito x k + y i ll s 0ik 儿 一(l i 一 s jok ) ( 1 -2 ) 坐标方位角观测值坐标平差误差方程( 见文献 1 7 1 , 第9 0 页) ; v,一 锹x 一 pa x o k( 0sid 、 一 p, a yo,(slok ) 箫、 一 、 一 ; ) (1-3) 当 按上述方法建立误差方程式v = b x + c 后， 可组建法方程1 1 7 1 . (b t p b ) . x + (b t p +0 ( 1 -4 ) 可 见 ， 其 法 方 程 的 系 数 矩 阵 伪 t p b ) 不 仅 与 控 制 点 的 数 量 、 观 测 量 的 类 型 和 构 网 形式有关，而且还与待定点的概略坐标有关。只有当待定点的概略坐标接近其 真值时，上述线性化过程才能成立。否则其高次项不能忽略，即其泰勒级数展 开式只能是非线性形式.因此，平面网的经典平差之前，必须要获取待定点相 当 精密的概略坐标。 对于精密测量而言，严密平差是必要的;对于普通测量和许多低精度的工 程测量而言， 严密平差往往不是必需的，可采用近似平差， 甚至是只检查各项 闭合差是否超限，而不进行平差。从精度的角度来考虑，当 然能进行严密平差 总比 进行近似平差要好， 能进行近似平差总比没有平差要好。 但无论平差与否， 待定点的坐标是必须求出的。任意平面网待定点坐标的自 动解算在实际工作中 是一个比 平差( 消除矛盾方程组间的矛盾) 更普遍、 更基本的问 题。近代测量平 差理论在许多方面有了 显著的 发展: 在基于数理统计的高 斯一 马尔柯夫模型参数 估计理论、 法方程制约性和解算方法、 随机模型的 验后估计理论、 可靠性理论、 数据探测理论、 有偏估计和稳健估计理论、控制网的优化设计理论等等。 但在 现有的 各 种平差教 材和参考书 1 1 s - 2 7 1 以 及相 关 文献中， 最小二 乘参 数平 差均 采用 第 3页 -apn 鱼ilk 主全竺主主生生三一一一一一 线性的函数模型按数学分析中求导数、求极值的思路进行求解，都需要在平差 前给出待定点相当精密的概略坐标， 而概略坐标的求解似乎不在讨论范围之内， 都没有对任意网 概略坐标的自 动解算这一具体而基础性的问题展开进行系统、 全面的讨论。 值得注意的是:最小二乘平差理论中，对平面控制网的网形并没有做出 专 门的限制，没有要求控制网一定是闭合导线、附合导线、导线网、三角锁、线 形锁、 大地四边形、大地锁、中点多边形、三角网、测角交会、 距离交会等等 常用而特定的布网形式。相反，它对控制网布网形式的限制是非常宽松的，从 平面解析几何的角度来看只要控制点的坐标是有解的，从测量平差理论的角度 来 看 只 要 法 方 程 系 数 阵 伪 t p b ) 是 正 定 、 非 奇 异 的 、 非 秩 亏 的 ， 控 制 网 就 可 以 山 水平角、水平距离、实测方位角的观测量任意构建、组合和迭加。亦即控制网 的变化形式是无限的只要法方程系数阵是正定、非奇异的、非秩亏的，就 不会对平差计算造成问 题。当 控制网中只存在水平角观测量时，成为测角网; 当控制网中只存在水平距离观测量时，成为测边网;当控制网中既存在水平距 离观测量又存在水平角观测量时，成为边角网、导线网、交会等各种边角复合 形式或其复杂的叠加形式。从平差计算的角度来看，上述各种导线、三角、交 会的平面控制布网形式之间并没有本质性的差别， 它们都是由 水平角和/ 或水平 距离构成的一种平面控制网， 均可以 采用统一的平差方法进行解算。从数据处 理的全过程来看，上述各种导线、边角、交会的平面控制布网形式之间的差别 仅在于其概略坐标的计算方法不同。与最小二乘平差的统一解算方法不一样， 根据平面解析几何原理，不同的平面控制布网形式，其概略坐标的计算方法和 步骤是不同的， 故需要采用不同的数学模型去求解。 当我们用手工方法进行平差计算的时候，不觉得待定点概略坐标的计算是 个大问题，无论控制网网形有多复杂，我们总能用平面解析几何中的各种手段 和方法，找到问 题的突破口，将问题分解、简化，并最终得到解决。但当我们 试图让电脑去自 动完成全部数据处理任务的时候，发现待定点概略坐标的计算 成为一个十分棘手的问题。现存算法的实际处理能力远不能与最小二乘平差方 法相匹配，还没有形成一种理论体系，无法适应千变万化的各种网形的要求， 因为要将无穷变化的各种网形的概略坐标计算方法以及人类对复杂网形进行分 析、分解、简化的所有智慧都写进测量平差和测量数据处理综合软件系统中去 是不现实的。 这一问 题已 引 起了 一些同 行的关注3 l ， 但问 题实质上还远未得到 解决。由于缺乏有效的、通用的、自 动解算坐标的算法，目前国内外优秀的商 第 4页 一 - l . t 上一 r 用平差软件均停留在根据平面控制的各种布网形式分别编写平差软件的阶段。 由于必须计算待定点的概略坐标，在此情况下只好委曲求全，将测量平差软件 分为附合导线平差软件、三角锁平差软件、三边网平差软件、大地四边形平差 软件、中点多边形平差软件、测角交会平差软件、测边交会平差软件等许多模 块 2 j 。 也 有做得好一些的， 能将上述各种 平差 模型 集成在一 起， 软 件系 统具 有 初步的智能，能将常规的网 形进行分解、简化并求解。 其所谓通用计算程序川 是这样的需要输入以测站为基础的网点数据结构， 含观测值、己 知值、精 度、 类型 信息 和网 点 拓扑 关系信息 ( 推算近似坐标， 绘网图 ) ， 不需要输 推算路 线; 具 有多 种 推算 近 似坐 标的 方 法: 变 形的 戎 格公 式 ( 余 切 公 式 ) 、 后方 交 会、 极坐标法等， 采用多级坐标系， 坐标系变换， 特殊网处理， 多义性的处理方法。 如上所述， 此类算法显然没有从根本上解决问 题，远不能对无穷变化的任意网 进行解算， 有损其通用性。实算结果表明:它无法解算较为复杂的网形，甚至 无法解算某些简单而独特的网 形( 如第六章算例7 后的 说明 ) 。 目 前情况下， 平面控制网的 数据处理和平差计算主要 采用两种运作方式: 在控制网的设计阶段， 不能任意布网， 要将控制网布设成单一导 线、 线形三 角锁等经典的网形，以利于计算机自 动完成概略坐标和最小二乘平差计算，其 缺点显然是极大地限制了 野外测量的灵活性、降低了工作效率，并且无法适应 可靠性理论和粗差探测、定位理论的发展需要从可靠性理论来看， 应尽量 增加控制网的多于观测量、增强控制网弧度，布网时应尽可能采用节点网、全 面网的形式，以便为粗差探测和定位打下基础: 控制网可以灵活布设， 但平 差前需手工或半手工计算复杂网形和特殊网形的待定点概略坐标，其缺点是不 能由计算机全自 动地完成全部的数据处理工作、阻碍了测量数据处理一体化、 自 动化进程，并且要耗费大量的人力和时间、工作效率低、容易出 错。 平面控制网待定点概略坐标的自 动解算问 题一直是一个十分棘手而尚未彻 底解决的问 题，己 成为测量数据处理一体化、自 动化发展方向上的一大瓶颈问 题。显然，在人类正逐步进入信息化社会的今天，必须彻底解决上述问题，而 其根本出路在于寻求新的通用的解算方法。为此，应考虑从原本非线性最小二 乘参数平差的数学模型着手: 第 s页 最 小 二 乘 原 理 : f (x ) = 1v t m m 八初渤军 尸f阔心 函数模型: 随机模型: l=l+v= - 1 n . 1 - l d二 时q= . x 行” x ” ( 1 - 5 ) 其中 f (x ) = f ,闭 f 2 (x ) 凡 (x )1 ( 1 - 6 ) 而 f , (根 据 l , 为 测 角 、 测 边 或 坐 标 方 位 角 这 三 种 观 测 值 的 不 同 形 式 之 一 ， 分 别具有以 下 形式 ( 平差值方程的点 位关系 示意图 见图 一) : 测角观测值: 1 ， 、玖一 y , f , (x少 = a r c t g 碑万 -一 x全 一x少 a r c l g ( 1 - 7 ) 测边观测值 f , (x ) 一 1i (x * 一 x j y + (y k 一 0 ( 1 - 8 ) 坐标方位角: ， . 、( y一 夕 才 、 ei x卜 a r c i g l 气共 -一 长 - i _ l x k 一 x i ) ( 1 - 9 ) 在 给 定 充 分 接 近待 定 点 坐 标 平 差 值的 概 略 坐 标x “ 的 基 础 上， 将 ( 1 - 7 ) ( 1 - 8 ) ( 1 - 9 ) 三式按泰勒级数的形式展开， 忽略高次项后使其线性化， 分别成为( 1 - 1 ) . ( 1 - 2 ) . ( 1 - 3 ) 式，即 化为经典的 线性坐标参数平差法的数学模型: p v i . 十v二b x+c 月. . l . r= vlx.z 最小二乘原理: 平差值方程: 月 a . . . 其中: z= ( 1 一 1 0 ) 随机模型:d二 a 02 q“ a o p 一 一一一一一一一一一一一一一一一一- 其中l , l , v , b , c , 戈 、 x 0 , z , n , q , d , 。 。 、 。 、 t 分 别为 观测 值的平 x _ 值向 量、 观测值向 量、 观测值的改正数向 量、 平差值方程( 或误差方程) 坐标向 量的系数矩阵、平差值方程的常数向量、待定点坐标的平差值向量、概略坐标 向量、待定点坐标的改正数向量、 观测值的权阵、 观测值的协因数阵、 观测值 的方差一 协方差阵、单位权中误差、观测值个数、参数个数。显然有: b 一 v r (x 0 y , c 二 r (x 0 ) e ( 1 - 5 ) 和 ( 1 - 1 0 ) 均 是 坐 标 参 数 平 差 法 的 数 学 模 型 ， 只 是 形 式 不同 而己 。 模 型 ( 1 - 1 0 ) 是 模 型 ( 1 - s ) 在x “ 处 的 一 个 线 性 逼近， 当x “ 充 分 接 近 平 差 值x时 ， 可 忽 略 模 型 ( 1 - 5 ) 按 泰 勒 级 数 展开 后 的 高 次 项， 此 时 两 模 型 是 等 价的。 从经 典参数平 差的 角 度来看， 模型 ( 1 - 5 ) 和模型 ( 1 - 1 0 ) 没有 本质的 差别， 其内 涵均是在最小二乘原理基础上， 赋给每一观测值以 尽量小的改正数( 残差) ， 将 函数模型或平差值方程这一组矛盾方程组的矛盾消除掉，然后求解坐标未知数 的 最佳估 值， 只是 模型 ( 1 - 1 0 ) 可以 直 接求解， 而模型 ( 1 - 5 ) 不可以 直 接求 解而已。 但从非线性 最小二 乘的 角 度来看， 模型 ( 1 - 5 ) 和模型 ( 1 - 1 0 ) 具有 显著的差 别: 模型 ( 1 - 1 0 ) 是 模型 ( 1 - 5 ) 在x “ 处的 一个线性 逼近; 模型 ( 1 - 1 0 ) 只能 在坐 标 概略值x “ 的 邻域内 成立， 故 其依赖于充分 接 近坐 标参数真 值的 概略值x “ 获取， 而模型 ( 1 - 5 ) 是实际问 题的 原型， 它 不依 赖于x “ 获取; 求 解 模 型 ( 1 - 1 0 ) 时 ， x 。 必 须 为 已 知 向 量 ， 而 求 解 模 型 ( 1 - 5 ) 时 ， x 。 不 必 求出。 可见， 正是由 于 上述差别 使得模型 ( 1 - 1 0 ) 以 必 须求解坐标参数 概略值x “ 为 代价， 换来了 能 够直接求 解的“ 好处” 。 若 模型 ( 1 - 5 ) 能 够求 解， 我 们就不 再为求 解x “ 所 困扰。 近些年来，随着计算机科学技术的飞速发展，计算数学、数学最优化的理 论和方法也有了巨大的发展。从运筹学的角度来看，非线性最小二乘参数平差 的数学模型 ( 1 - 5 ) 是一个典型的非线性规划问 题。 非线性规划问 题中依据难易程 度，有些是可以求解的，有些目 前尚无有效的求解方法、尚需寻求有效算法进 行求解的。 将模型 ( 1 - 5 ) ra非线性规划的要求整理后成为: 第 7页 西南a鑫 兰ta 里 止 坠生 主一一 一一 i ( x ) = v t p v l + v = f ( x ) ( 1 - 1 1 ) 由 于随机模型的作用在于后续的各种精度评定， 其对求解观测值的平差值向量 x有 实 质 作 用的 部 分 ( 权 阵p ) 己 包 含 在目 标 函 数 之中 ， 故 略 去。 非 线 性 规 划问 题 ( 1 - 1 1 ) 的目 标函 数和约束条件分别 对应着最小二 乘原理和未 线性化的 坐标参 数平差的函 数模型。 其内 涵是: 搜寻 一优化的 观测 值的 平差值向 量x . ， 在满 足 约 束 条 件 : + v = f (x ) 的 前 提 下 ， 使 目 标 函 数 极 小 化 。 非 线 性 规 划 问 题 ( 1 - 1 1 ) 与非线性参数平差的数学模型( 1 - 5 ) 是同一问 题的 两种不同的数学表达形式， 两 者之间 是 等价的 和 相通的。 显然， 对非 线性规 划问 题( 1 - 1 1 ) 采 用非线 性规划 方法 求 解时， 同 样也无 需象经典的 线性 参数平差 模型 ( 1 - 1 0 ) 中 那样必 须事 先求得待定 点的 概略坐标。同 非线性最小二乘参数平差问 题( 1 - 5 ) 一样， 非 线性规划问 题 ( 1 - 1 1 解算的 结 果 将 直 接是 待定点 坐 标 参 数的 平差 嘲最 或 然 值 ) ， 这正 是 我 们所 要致力解决的问 题。不用多说， 此法成败的关键在算法上。下面是作者近些年 来不断努力研究的成果。 第 8页 2 . 非线性最小二乘问 题算法的研究现状 2 . 非线性最小二乘问题 算法的研究现状 2 . 1概述 最小二乘法是一个比 较古老的方法， 早在十八世纪， 高斯( g a u s s ) 就首先创 立并成功地应用于天文观测和大地测量工作中，此后的二百年来，它己 广泛应 用于科学实验与工程技术中。随着现代电子计算机的深入普及与飞速发展，这 一古老方法更加显示出其强大的生命力， 它在曲线拟合、 函数逼近、 数据处理、 方差分析与回归分析中都经常应用。特别是在当前非常活跃的一门新兴学科最 优化技术中， 最小二乘法大有用武之地，它是求一切平方和形式的目 标函数的 最优解的一个基本方法。 近二十年来，最小二乘法已 有了很大的改进与发展。例如解线性最小二乘 问题， 过去独一无二的经典方法是构造法方程， 但近些年来提出的一些新算法， 却主张直接从矛盾方程入手，以避免出现法方程严重病态的困难:非线性最小 二乘问 题的研究也在逐步发展之中。 从文献 6 - - 1 4 可反映出 非线性最小二乘法 近年来的研究的现状。非线性最小二乘问 题的计算方法大致分为两类:迭代算 法和直接解法。 2 . 1 . 1迭代算法 文献 6 ,川对已 有的非线性最小二乘迭代算法进行了归纳和总结，主 要分 三 大 类 算 法 高 斯 一 牛 顿 法、 阻 尼 最 小 二 乘 法 ( l e v e n b e r g - m a r q u a r d t 法， 或 信 赖域法 ) 、 最小二 乘的 拟牛顿法。 但由 于 各类 算法均没 有解决 好迭代收敛性问 题， 即给定迭代初值后，对后续的迭代是否能收敛事先无法判定，更没有提出产生 能够保证迭代收敛的迭代初值的准则，因此迭代的收敛性无规律可言、具有很 大的臆断性。并且对于稍差的初值，各类算法的迭代收敛性表现不佳，使现有 第 9页 一一一一一一止n壑 a进 ii 崖f 算法的有效性和实用性受到了极大的制约。 在第一章里己述及，非线性最小二乘参数平差问题实质上是一个典型的非 线性规划问题。同样，其它的各种最小二乘问题的数学模型，如条件平差、附 有参数的条件平差、 附有限制条件的参数平差等都可以转化成非线性规划问题， 均可采用非线性规划的方法求解，这些方法也都属迭代算法，主要有牛顿法、 最速下降 法、 离 散牛顿 法、 拟牛顿法和 s q p m ( 序列二次 规 划法) 算法。 有关非 线性最小二乘问题的非线性规划算法是本文的一个重点，将在第三章里展开讨 论。 2 . 1 . 2直接解法 为 避免 算 法的 迭 代， 文 献 4 l 将 非 线 性 最小 二 乘 参 数 平差 的 数 学 模 型 ( 1 - 5 ) 的 函数模型，在初值x“ 处按泰勒级数的形式展开至二次项，忽略三次及以上高 次项，使其化为二次函数的形式: f (x ) 二 f (x 0)+ b (x 0x x 一 x 0)+ 合 (x 一 x 0i w (x 0x x 一 x 0) (， ，) 式 中 : b (x 0 、 二 二 (x 0丫 = ( a f 一 丫 为 : (x ) 在 x 0 处 的 。 x ， 阶 j a co b 。 矩 阵 ， 又 a x ix 少 二 = d 2 f = ( a zf、 为 ; (x 、 在 x 。 处 的 。 x t x ， 阶 立 体 阵 。 层 ， x ， 阶 h e ss 。 方 已 长 玖尸 . 。1 、 一 一 . x 阵 的叠 置 ) 。 文 献【 7 - 8 将非 线性最小二乘 参数平差的 数学 模型 ( 1 - 5 ) 的 a 数模型， 在初值x “ 处按泰勒级数的形式展开至三次项， 忽略四次及以上高次项， 使其 化为三次函数的形式: f ( x ) = f , ( x ) f ( x ) f 二 f (x 0)+ b (x $ + 合 c (x 0)y 十 含 n (x 0): ( 2 - 2 ) 式 中 : 二 = x 一 x 0 = x , ， 了， (x 。)= vf (x 。丫 二 _af ，。) tb (x 0)= af (x 0y = (ax lx.) 为 (x ，在 x 。处 的 一 阶 j一 矩 阵 价 互 0可 2 . 非线性最小二乘问 题算法的 研究现状 22 . a 2 f 2 l9 2 f , 19.y,-,ax, . x 2 x , x,-,x, 了 黯:立咕从 塑丫也时 a一，日-