（基础数学专业论文）表自然数为素数的四次幂之和.pdf

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g o l d b a c h 问题，圆法，例外集 山东大学硕士学位论文 r e p r e s e n t a t i o no fi n t e g e r sb ys u m s o ff o u r t hp o w e r so fp r i m e s g u os u h u a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，c h i n a ) a b s t r a c t f o ra 丘x e di n t e g e rk t h ew a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e mi sc o n c e r n e dw i t ht h e s o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o n 砖+ + 砖= n ， ( o ，1 ) i e o n et r i e st oo b t a i nt h el e a s ti n t e g e r8 = s ( k ) s u c ht h a ta l ls u f f i c i e n t l yl a r g e i n t e g e r s 礼s a t i s f y i n gn e c e s s a r yc o n g r u e n c ec o n d i t i o n sc a nb er e p r e s e n t e da 8t h ef o r m o f ( o 1 ) ，w h e r ep l ，p sa r ep r i m eu n k n o w n s i ti sc o n j e c t u r e dt h a tf o rs2 七十1 ， ( o 1 ) i ss o l v a b l e o b v i o u s l y , t h et e r n a r yg o l d b a c hp r o b l e mi sj u s tt h el i n e rc a s e o ft h ew a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m f r o mt h i sw ec a ns e et h a ti t i sq u i t ed i f f i c u l tt o p r o v et h i sc o n j e c t u r e l e th ( k ) d e n o t et h el e a s ti n t e g e rs u c ht h a t ( 0 1 ) i ss o l v a b l e t h ef i r s tb r e a k t h o u g hc o j n ei n1 9 3 7w h e nv i n o g r a d o v 【2 7 d e v e l o p e dan e wm e t h o d f o re s t i m a t i n ge x p o n e n t i ms u m so v e rp r i m e sa n du s e dt h ec i r c l em e t h o dt oo b t a i n h ( 1 ) 3 l a t e r ，h u a 【4 】s h o w e dt h a t h ( k ) 2 知+ 1 ，k 1 ， w h i c hi st h eb e s tr e s u l tt od a t ef o rk 3 o i lt h eo t h e rh o a l d ，w h e l lk 4 ，t h e a b o v er e s u l th a sb e e ni m p r o v e do ng r e a t l y f o re x a m p l e ，f o rs m a l l c rk 4 ，i n1 9 8 7 t h a n i g a s a l a m 【2 2 】o b t a i n e d h ( 6 ) s3 3 ，h ( 8 ) 6 3 ，h ( 9 ) 8 3 a n d h ( i o ) 1 0 7 ； i nr e c e n ty e a r s ，k a w a d aa n dw o o l e y 6 】6s h o w e dt h a t h ( 4 ) 1 4 ，h ( 5 ) 2 1 ， i v ， 山东大学硕士学位论文 a n dk u m c h e v 【7 】p r o v e dt h a t h ( 7 ) 4 6 o nt h eo t h e rh a n d ，i fw es e e ka l m o s ta l li n s t e a do fa r b i t r a r ym d t i c i e n t l yl a r g e ns a t i s f y i n gn e c e s s a r yc o n g r u e n c ec o n d i t i o n st om a k e ( 0 1 ) b es o l v a b l e ，t h e nt h e n u m b e ro fsc a nb er e d u c e df u r t h e r w ed e f i n e 反， ( ) a st h es e to f7 7 , n o te x c e e d i n g nw h i c hc a n tb er e p r e s e n t e d 鼬( o 1 ) ，a n dw r i t ee k 。( ) = | & ，s ( ) i t h e nt h e u p p e rb o u n do fe k ，s ( ) i st h ep r o b l e mo ft h ee x c e p t i o n a ls e t s e x p l o i t i n gt h e n a t u r eo ft h ep r o o f so ft h ea b o v eb o u n d sf o rh ( 后) ，o n cc a ns h o wt h a t ，a l o n gw i t h e a c he s t i m a t eo ft h ef o r mh ( k ) ss o ( k ) ， 邑。( ) n ( 1 0 9n ) 一a ，( 0 2 ) f o ra n yf i x c da 0a n da n ys 1 2 s ( 南) t h ef i r s ti m p r o v e n l e n ti nt h i sd i r c ( 戈i o n w a so b t a i n e db yv a u g h a n 【2 6 v c h os h o w e dt h a t e 1 ，2 ( ) 0 m o n t g o m e r ya n dv a u g h a n 1 9 】p r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sa na b s o l u t e c o n s t a n tp 击，o n e c a ns e et h a to u rr e s u l ti m p r o v e d ( o 4 ) v i k e y w o r d s ：w a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m ，c i r c l em e t h o d ，e x c e p t i o n a ls e t s 山东大学硕士学位论文 p t ，p 2 ， m ，n ，m ， e ( z ) 三 xm o dq x om o dq 7 _ 一r u ( n ) f g 或f = o ( g ) 或g f f g 符号说明 素数 整数 e 2 w i z l o g n ( l o g z ) 模q 的d i r i c h l e t 特征 模q 的主特征 r r 0 使得fsc b l f g 且g ， i ， 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 对固定的正整数k ，七次w a x i n g o g o l d b a c h 问题研究方程 计+ + 砖= n( 1 1 ) 的可解性，即寻求尽可能小的正整数s = s ( 屉) 使得所有充分大的满足 必要同余条件的正整数铊都可以写成上述方程的形式，其中p p 。 是素数猜测对s 芝k + 1 ，上述方程可解显然，著名的g o l d b a c h 问 题只是该问题的线性情形由此也可以看出，该猜想解决起来是非 常困难的不过，自上世纪三十年代以来，众多数学家在该问题上 投入了大量的精力并取得了一系列显著的进步定义日( 詹) 为使得方 程( 1 1 ) 有解的最小正整数s 1 9 3 7 年，i m v i n o g r a d ( r ， 2 7 】率先取得突 破，通过引进一种估计素变量三角和的新方法并由此使用圆法，他 得到了( 1 ) 3 紧接着，华罗庚 4 】证明了 h ( k ) s2 七+ l ，k 1 并且当后s3 时，该结果目前仍然是最好的结果另一方面，当k 4 时，上述结果已被大大改进例如，对较小的后4 ，t h a n i g a s a l a m 【2 2 】 在1 9 8 7 年得到了 h ( 6 ) s3 3 ，h ( 8 ) s6 3 ，h ( 9 ) 8 3 a n d h ( 1 0 ) 1 0 7 ； 近年来，k a w a d a 和w o o l e y 6 证明了 h ( 4 ) s1 4 ，h ( 5 ) 2 1 ， 以及k 1 n n c h e v 【7 】证明了 h ( 7 ) 4 6 另一方面，如果寻求对几乎所有而非任意充分大的满足必要同 余条件的正整数，- 使得方程( ) 可解，则素变量的个数s 可以进一 步减小详细来说，我们定义鼠。( ) 为不超过的且不能表示成s 山东大学硕士学f 证论文 个素数的k 次方之和的正整数n 的集合，并记e k ，。( ) = l 靠，。( ) 1 则 玩，。( ) 的上界估计，即是与方程( 1 1 ) 相对应的例外集问题利用上 面估计日( 七) 的方法，与上界日( 七) s o ( ) 相对应，我们可以同样得到 e k 。( ) n 0 0 9n ) 一a( 1 2 ) 对任意固定的a 0 和s 如( 惫) 成立在这一方向上的进展首先是 由v a u g h a n 2 6 j 得到的，他证明了对某些常数c 0 ，有 e x ，2 ( ) n e x p ( _ ( 弧面) 而m o n t g o m e r y 和v a u g h a n 【1 9 证明了存在绝对常数0 0 ，有 e , 1 9 ( ) n 1 一躺托 注意到揣 薪1 ，器 寺，可知定理1 1 和定理1 2 改进了( 1 4 ) 我们将在第二章和第三章分别证明定理1 1 与定理1 2 定理的证 明用的是圆法，如同处理堆垒数论中的很多其他问题一样，证明过 程主要基于解决以下三个方面的问题 一方面，我们需要处理比以往更大的主区间利用w a r i n g - g o l d b a c h 问题中主区间的经典结果( 1 0 9 n 的某个正幂，如( 1 0 9 n ) c o ) 对例外集 我们只能得到( 1 2 ) 中的上界随着主区间扩大技术的发展及其在_ 二 3 山东大学硕士学位论文 次w a r i n g - g o l d b a c h 问题中的应用( 参见【1 5 ，1 2 ，1 8 】等相关文献) ，对高次 w a r i n g - g o l d b a c h 问题的探索和研究也在不断的进行中对我们关注的 四次的情形，k u m c h e v 在【8 】中处理了比( 1 0 9 n ) c n 更大的主区间从而 得到了例外集的上界( 1 3 ) 一( 1 5 ) k u m c h c v 处理主区间的方法受到问题 中具有相同长度的素变量个数的限制并依赖于某种类型整变量指数 和中的作为。叔函数”的某些算术函数的具体性质( 详见【8 ，3 】) ，当变 量的个数s 1 0 时，他得到的主区间比3s9 时的主区间要好，从而 导致ss9 时对应的例外集并不是最优的刘和展在c h 9 】中考虑 了最为一般的情形，得到了目前最大的主区间实际上，本文利用 的是 1 8 ，c h 9 中稍弱些的一个结果，因为对我们来说该结果已经够 用；而具体细节将在下文中体现 另一方面，在处理余区间的时候，我们用到了k u m c h e v 【9 】中得到 的素变量指数和的上界估计；为此，我们需要将余区间做进一步的细 分( 详细可见定理2 2 的证明过程) 此外，我们还用到rt h a n i g a s a l a m 在 2 3 】中的关于积分均值的一个结果 4 山东大学硕士学位论文 第二章定理1 1 的证明 第一节圆法的应用及主要结果 我们首先给出一些符号和定义 令 对j = 1 ，2 ，8 ，我们定义 这里 于是有 1 。，三 z 。百v4 j = 0 31 1 = 1 ，屹= 丽1 3 ，= 疃，魄= ，2 2 2 9 1 r ，嵋= 怕= 嵋鬻， 竹= 魄= 1 z = z l 。z 7 2x 8 z 2 x 3 弛 x 52x 6 对n 一及n 兰8 ( m o d2 4 0 ) ，考虑方程 其中素变量满足 定义 则r ( n ) n = 衍+ p ；+ + 碟， 鳓一z j ，j = 1 ，2 ，8 r ( n ) = n p + p “| + 瑶 即一z j ，j = t t ，8 ( 1 0 9 p a ) ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 p s ) ， 就是方程( 2 1 ) 在条件( 2 2 ) 下的解的个数定义 办( 位) = ( 1 0 9 p ) e ( p 4 q ) ，j = 1 8 p “z j 显然，6 ( c 一) = ( q ) ，7 ( n ) = ( q ) = ( n ) 此外，记 f 陋) = ) ，4 ( n ) 詹( q ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 5 山东大学硕士学位论文 那么 r 【n ) = f 2 ( a ) f ( a ) e ( 一扎n ) d n ：f 培肌) m ) e ( ) 缸 为了应用圆法，令 p = z 卜q = 南， ( 2 3 ) 其中常数b 将由下文中给定的常数a 来决定注意在( 2 3 ) 中，p 是 由，z 。中最小的z 6 给出的，而不是通常惯用的z ( = z t ) ，也不是 强由d i r i c h l e t 有理逼近定理，任意n l 古，1 + 专】都可写成 n ：一a + 入( y = 一十 的形式，其中 l n qs q ，( n ，口) = l ，南， ( 2 4 ) 我们定义主区间 瓢= 瓢( p ) ：= uu 妍( n ，g ) ， ( 2 5 ) q s p 高妻 其中 嘶川= a 雨1 ，詈+ 卦 显然娥cf 古，1 + 扣定义余区间 m = 融1 + 孙飒 那么r ( n ) 就可写为 r ( n ) = 厶+ 上) 胁州e ( 刊如 定理1 1 的证明将基于下面的定理2 1 和定理2 2 。为此，我们还 需要其它一些必要的符号对x m o d q ，定义 柚= 静咖( 警) ，划x 0 吐 6 ， 山东大学硕士学f 证论文 令 s ( n e ( 一百a i l ) c 1 2 ( q 川， ，q ) = e ( 一i ) 四咖) ， 及 6 部= 耋掣 亿7 ，6 4 1 8 ( n ) = 筹( 2 7 ) 口= i 此外，定义整变量指数和 及 并令 乃( a ) = e ( 仇4 a ) ，j = 1 2 8 m g 【o ) = 9 1 ( ( t ) 驵( n ) 9 ；( o ) ，o o 也，8 ( ，。) = 9 ( a ) g ( 入) e ( 佗a ) d 入 j o o ( 2 8 ) ( 2 9 ) 定理2 1 设主区间瓢由偿砂式定义，其中p 由偿圳式给出则 对任意的a 0 及”。有 厶肌) f ( q ) e ( 一娟 8 ( 啪，8 ( 卅o ( 嚣) ，( 2 1 0 )，嘶z z l “ 其中也s ( n ) 由俾砂式定义，并且满足 j 4 , s 等， ( 2 1 1 ) 而奇异级数6 a ，s ( 扎) 由似砂式定义并满足当”三8 ( m o d2 4 0 ) 时， 6 4 ，8 ( 礼) 1 ( 2 1 2 ) 证明在刘和展【1 8 】的引理9 3 中，令k = 4 ，s ：8 即得( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式而( 2 1 2 ) 式可参见华 5 ，定理1 2 口 在余区间上我们有如下结果，其证明将在下一节中给出 山东大学硕士学位论文 定理2 2 我们有 1 斤( q ) f ( 。) 1 2d a z 警+ 5 f ( o ) ( 2 1 3 ) j m 第二节定理2 2 的证明 我们先给出两个引理 引理2 3 若。= 百a + a 由( 2 4 ) 式给出并满足qs z 筹，则 脚射。+ 志 证明在k m i l c h e v 9 的定理3 中令后= 4 即得 引理2 4 设g ( o ) 如式( 2 8 ) 所定义，那么 g ( a ) 1 2 如g ( o ) 证明见t h a n i g a s a l a m 2 3 ，定理3 】 定理2 2 的证明将 ( q ) 从( 2 1 3 ) 式左侧的积分提出，有 口 口 加( 帆圳2 d n f ，s u p , ( a e m 甜j 厂0 1 阢铲缸 ( 2 1 4 ) - ，m 利用引理2 4 ，我们有 1 l f ( 。) 1 2 c f c t 工1 2 0 1i g ( n ) 1 2 d n g ( 。) z 8 f ( 。j z s ( 2 1 5 ) 接下来我们利用引理2 3 给出 ( n ) 在m 上的估计为此，我们定 义另外一个f a r e y 分割 驴：z 筹， 8 ， 山东大学硕士学位论文 这样每个n ( o ，l 】就可以写成如下形式 口。詈“1 口q ，( 叫) = 1 ，i a l 万1 注意到q q ，故余区间可写为m = t 。up 。，其中e 和e 。分别由满足 gs p 面1 万1 和 p z 3 x 4 x 5 = x 6 对n 及n 三9 ( m o d2 4 0 ) ，考虑方程 竹= p + p ；+ + p 3 ， 其中素变量满足 巧一x j ，歹= 1 ，2 ，9 ( 3 2 j 定义 兄( n ) = ( 1 0 9 p t ) ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 p g ) ， ，；= 蜡+ ；噬+ + 砖 r i x j j 2 1 。9 则r ( n ) 就是方程( 3 1 ) 在条件( 3 2 ) 下的解的个数定义素变量指数和 ( o ) ，8 ( o ) 及f ( a ) 仍同第二章，此外设 南( 。) = ( 1 0 9 p ) e 。) 于是有，6 ( n ) = f s ( a ) ，y t c a ) = ，8 ( n ) = ，0 ( o ) = ( q ) 那么 r ( n ) = f 0 1 芹( u ) f ( q ) e ( 一n n ) d q ：1 + 专开( q ) f ( q ) e ( 一n q ) d q 为了应用圆法，仍令 p = z 吾2 一，q = 南， 山东大学硕士学位论文 其中常数b 将由下文中给定的常数a 来决定注意这里p 是由，z 。 中最小的z 6 给出的设主区间研= 觋( p ) 和余区间m 由前一章第一 节定义那么r ( n ) 就可写为 跏，= 厶+ 上) 肌州e c 一 对xr o o dq ，回顾c 4 ( x ，n ) 和c 4 ( q ，口) 如( 2 6 ) 式定义，然后令 9 ( n e ( 一百a n ) 吼， ，q ) = e ( 一i ) 四( g ，口) ， 及 6 t ，9 ( 啦霎帮 ( 3 3 ) 6 4 ，9 ( n ) = 等 ( 3 3 ) q _ - - l 此外，定义整变量指数和g l ( n ) ，册( n ) 及g ( c z ) 仍同前一章，并令 以，9 ( n ) = 9 ( a ) g ( a ) e ( 一n a ) d a ( 3 4 ) 定理1 2 的证明将基于以下两个定理 定理3 1 设主区间觋及参数p 由上给出则对任意的a 0 及 n n ，有 厶肌) f ( 咖( ) d a 娟，9 f 帕，9 ( n ) + d ( 等) ， ( 3 5 ) i ，嘶4 0 其中，4 ，。( n ) 由p 式定义，并且满足 五刺掣， ( 3 6 ) 而奇异级数6 4 ，9 ( n ) 由p 别式定义并满足当t t 三9 ( m o d2 4 0 ) 时， 6 4 8 ( n ) 1 ( 3 7 ) 证明 在刘和展【l 剐的引理9 3 中，令k = 4 ，s = 9 即得( 3 5 ) 和( 3 6 ) 式而( 3 7 ) 式可参见华 5 ，定理1 2 1 口 1 2 山东大学硕士学位论文 在余区间上我们有如下结果 定理3 2 我们有 l 片( q ) f ( q ) | 2 如z 警+ f ( o ) ( 3 8 ) 证明将 ( n ) 从( 3 8 ) 式左侧的积分提出，有 上i ， ( n ) f ( 。) 1 2 如( 翼譬i ，1 ( n ) i ) 6 0 1j f ( q ) r h ( 3 9 ) 利用引理2 4 ，我们有 1 i f ( n ) 1 2 d 。工1 2 0 1 l g ( r t ) 1 2 ( 2 c r g ( 。) z 8 f ( 。) z e ( 3 1 。) 接下来我们利用引理2 3 给出 ( q ) 在m 上的估计为此，我们定 义另夕卜一个f a r e y 分割 q + ：z 万4 7 ， 这样每个o ( o ，1 】就可以写成如下形式 q 2 詈“1 g 玑( 删) = 引邪万1 注意到q q ，故余区间可写为m = t 。up 。，其中e 。和e 。分别由满足 q 只面1 嘉 和 p q 玑i a i 肌州吣础x 上月( n ) f u ( q ) 如i = i 厶斤( n ) f ( “) u ( n ) 如i 2 纛，驴j1 ) f 缸沁卜触t t u j t t “t n e e 4 一厶 ，一、“，、“，。” 9 ( ) ”“。 ef ( o ) 口 这里，我们将e 4 9 ( ) 简记为e 再根据c a u c h y 不等式和定理3 2 ，有 e 南：i i 片( a ) f ( q ) 吣) i d q 南( 和即。) 5 ( 加酬2 如) 5 e 圭生竺 v ( o ) i 。 其中上面最后一步利用了 1 4 ( ，( q ) 1 2 妇= e 山东大学硕士学位论文 于是，我们有 因为 所以 其中 即 因而 e 等 即) 列，口= n + + 心+ v 4 + 2 v a = 篙， e x 4 - 4 5 押 4 万= 伊一翌4 + 2 = 旦1 4 2 堡0 8 ， 2 7 2 3 62 5 6 8 3 2 肠9 ( ) n 1 一器托 这样我们就证明厂定理1 2 口 山东大学硕士学位论文 参考文献 【1 】c b a u e r ，m 一c l i u ，m i dt z h a _ i l ，o nas u l i to f 统7 雠p r i m es q u a r e s ，j n u m b e r t h e o r y , 8 5 ( 2 0 0 0 ) ，3 3 6 - - 3 5 9 【2 】 g h a u r m 觚a n da v ，k u m c h e v ，o ns 让m so fs q u a r e so fp r i m e s ，m a t h p r o c c a m b r i d g ep h i l o s s o e ，1 4 0 ( 2 0 0 6 ) ，1 1 3 3 】 g h a r m a na n da v k u m c h e v ，o n8 u 7 7 1 8o fs q u a r e so fp r i m e s 蛆t oa p p e a r i n ，n u m b e rt h e o r y 4 】l k h u a ，s o m er e s u l t si np r i m en u m b e rt h e o r y ，q u a r t j m a t h o x f o r d ，9 ( 1 9 3 8 ) ，6 8 - 8 0 【5 1华罗庚，堆垒素数论，科学出版社，北京，1 9 5 7 6 】 k 。k a w a d aa n dt d w o o l e y , o nt h ew a r i n g g o l d b a c hp r o b l e m , o rf o u r t h a n df i f t hp o w e r s ，p r o c l o n d o nm a t h s o c ，8 3 ( 2 0 0 1 ) ，l _ 5 0 【7 ja k u m c h e v ，o nt h ew a r i n g g o l d b a c hp ，v b l e mf o rs e v e n t hp o w e r s p r o c a m e r m a t h s o c ，1 3 3 ( 2 0 0 5 ) ，2 9 2 7 - 2 9 3 7 【8 】a k u m c h e v ，o nt h ew a r i n g g o l d b a c hp r o b e l m ：e x c e p t i o n a ls e t sf o r8 u r n 8o f c u b e sa n dh i g h e rp o w e r s ，c a n a d j m a t h ，5 7 ( 2 0 0 5 ) 。2 9 8 - 3 2 7 【9 】a k u m c h e v ，o nw e y l8 u r n 8o v e rp r i m e sa n da l m o s tp r i m e s ，m i c h i g a nm a t h j ，5 4 ( 2 0 0 6 ) ，2 4 3 - 2 6 8 【l o h z l i ，t h ee x c e p t i o n a ls e to fg o l d b a e hn u m b e r s i i , a c t aa r i t h ，9 2 ( 2 0 0 0 ) 7 1 8 8 【11 】m 一c l e u n ga n dm 一c l i u ，o ng e n e r a l i z e dq u a d r a t i ce q u a t i o n si nt h r e ep r i m e v a r i a b l e s ，m o n a t s h m a t h ，1 1 5 ( 1 9 9 3 ) ，1 3 3 1 6 9 1 7 山东大学硕士学位论文 1 2 】j y l i u ，o nl a g r a n g e st h e o r e mw i t hp r i m ev a r i a b l e s ，q j m a t h ( o x f o r d ) ， 5 4 ( 2 0 0 3 ) ，4 5 3 - 4 6 2 【1 3 j y l i ua n dm 一c l i u ，t h ee x c e p t i o n a ls e t 饥t h ef o 札rp r i m es q u a r e sp r o b l e m ， i l l i n o i sj m a t h ，4 4 ( 2 0 0 0 ) ，2 7 2 - 2 9 3 f 1 4 】j y l i u ，t d w o o l e ya n dg y u ，t h eq u a d r a t i cw a r i n g g o l d b a c hp r o b l e m ， j n u m b e rt h e o r y , 1 0 7 ( 2 0 0 4 ) ，2 9 8 - 3 2 1 【1 5 】j y l h la n dt z h a n ，鼽m s 加7 ea l m o s te q u a lp r i m es q u a r e s 碍s c i c h i n a s e r a ，4 l ( 1 9 9 8 ) ，7 1 0 - 7 2 2 【1 6 】j y l i ua n dt z h a n ，d i s t r i b u t i o no fi n t e g e r st h a ta r es t t m sd ，t h r e es q u a r e s 吖p r i m e s ，a c t aa r i t h ，9 8 ( 2 0 0 1 ) ，2 0 7 - 2 2 8 【1 7 j y 。l i ua n dt z h a n ，t h ee x c e p t i o n a ls e t 饥h u a st h e o r e mf o rt h r e es q u a r e s o fp r i m e s ，a c t am a t h s i n ( e n g l ，s e r ) ，2 1 ( 2 0 0 5 ) ，3 3 5 - 3 5 0 i s j y l i ua n dt z h a n ，“n e wd e v e l o p m e n ti nt h ea d d i t i v et h e o r yo fp r i m e n u m b e r s ，”m a n u s c r i p t ( e d i t i o n ：m a v3 1 ，2 0 0 9 ) 【19 】h l m o n t g o m e r y a n dr c v a u g h a f t ，t h ee x c e p t i o n a ls e t 讥g o l d b a c h s p r o b l e m ，a c t aa r i t h ，2 7 ( 1 9 7 5 ) ，3 5 3 - 3 7 0 【2 0 】x m r e n ，t h ew a r i n g g o l d b a c hp r o b l e m ，o rc u b e s ，a c t aa r i t h ，9 4 ( 2 0 0 0 ) ， 2 8 7 3 0 1 【2 1 】 x m r e n ， o ne x p o n e n t i a ls 珏m sd t ，e rp r i m e sa n da p p l i c a t i o ni nw a r i n g g o l d b a c hp r o b l e m ，s c i c h i n as e r a ，4 8 ( 2 0 0 5 ) ，7 8 5 - 7 9 7 2 2 】k t h a n i g a s a l a m ，i m p r o v e m e n to nd a v e n p o r t si t e r a t i v em e t h o da n dn e w r e s u l t si na d d i t i v en u m b e rt h e o r y , i i i , a c t aa r i t h ，4 8 ( 19 8 7 ) ，9 7 - 11 6 ， 【2 3 】k t h a n i g a s a l a m ，o ns u m s