（基础数学专业论文）非线性发展方程在besov空间中的适定性和自相似解.pdf

摘要 本文研究几类来源于现代力学和物理学领域的色散型发展方程在b e s o v 空间中的适定性和 自相似解，全文共分五章 第一章研究初值在b e s o v 空间的广义k a w a h a r a 方程岛“+ m 。如u + p 磋u + 7 磷 = 0 证 明了对任意的1 q m a x ( o ，轧) ；证明了对任意的1s 口m 小初值问题在西器( r ) 和磁，口( 咒) 中几 乎整体适定证明了如果卢= 0 或所 0 ，小初值问题在这些空间中整体适定 第二章研究初值在b e s o v 空间的非线性梁方程印u + a 2 u = ：t ：u p 证明了对任意的l q s ，； 证明了对任意的1 兰g 兰0 0 小初值问题在亩荔( j p ) 和b i ，口( r ”) 中是整体适定的并且对任意 的1 目 0 的2 m 阶非线性s c h r s d i n g e r 方程的自相似解 证明了解的整体存在性，据此给出丁当初值的形式为c ，( 击) h 一警时自相似解的存在性 第五章研究非线性项的形式为”1 “，o 1 的非线性梁方程的自相似解证明了解的整体 存在性，据此给出了当初值的形式为z $ 0 = ( 南) 蚓一由，u t = 巩( 尚) 蚓一絮字时自相似解的 存在性 关键词： k a w a h a r a 方程，梁方程，s c h r 6 d i n g e r 方程，初值问题，适定性，自相似解， b e s o v 空间 w e l l - p o s e d n e s so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m so f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si nb e s o vs p a c e s a n ds e l f - s i m i l a rs o l u t i o n s a i g u o s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rs h a n g b i nc u i ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s u ny a t - s e nu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d y i n gt h ew e l l - p o s e d n e s sa n ds e r f - s i m i l a rs o l u t i o n s o ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m so fh i g h e ro r d e rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm o d e r n m e c h a n i c sa n dp h y s i c s i ti sm a d eu po ff i v ec h a p t e r s c h a p t e r1i sc o n c e r n e dw i t ht h ec a u c h yp r o b l e mo ft h eg e n e r a l i z e dk a w a h a r ae q u a t i o n sa u + q u h a + 卢磋n + 7 磋u = 0 w i t h i n i t i a ld a t a i n b e s e vs p a c e s w ep r o v e t h a t f o ra n y lsq 船，a n df o ra n y1 兰g a l m o s tg l o b a l l yw e l l - p o s e di nt h e s es p a c e si f i n i t i a ld a t aa r es m a l lw ea l s op r o v et h a ti fe i t h e r 卢= 0o r 所 0 ，t h e ng l o b a lw e l l - p o s e d n e s s h o l d si nt h e s es p a c e sf o rs m a l li n i t i a ld a t ap r o b l e m c h a p t e r2i sd e v o t e dt os t u d y i n gt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h en o n l i n e a rb e a me q u a t i o n 部u + 2 u = i u pw i t hi n i t i a ld a t ai nb e s o vs p a c e s w ep r o v et h a tf o r a n y1 q 8 p ，a n df o ra n yl 兰q o 。g l o b a l l yw e l l - p o s e di nt h e s es p a c e si f i n i t i a ld a t a o r es m a l l m o r e o v e rf o ra n y1 g 1 ，那么用人们目前掌握的技巧往往很难得到解的整 体存在性相反，如果船够找到一个数s o s o 都可得到在h 一( 舻) 中的局部 适定性，那么特别地对每个初值( z ) h 1 ( 舻) ，就有局部解( 而t ) ，它对t 0 仍然在日1 ( f p ) 中借助于日1 守恒律，可知i l u ( ，t ) j l h lr r 。) 是不随时间t 的增大而增加的，这样便可将t = 0 时的结论移到任意的t 0 ，从而可通过反复的这样的平移和应用t = 0 时局部解存在的结论， 得到对所有t 0 解都存在，即建立解的整体存在性由于这一原因。目前人们更感兴趣的是 在初值具有较弱正则性的条件下。研究初值问题的适定性问题，即研究具有低正则性初值的初 值问题 这样的研究用到了大量的调和分析知识奇异积分算子，振荡积分，拟微分算子， f o u r i e r 积分算子，插值理论等等都起到了重要的作用对许多色散型的非线性发展方程。人们已找到 了为使其初值问题在s o b o l e v 空间日5 ( j p ) 中局部适定的最小指标s ，即临界的如，使当s s p 1 时相应初值问题在h 。( j p ) 中局部适定，而当s 0 珏( z ，0 ) = “。( z ) ，z r “ o t ( z ，0 ) = “l ( z ) ，z r “ ( 0 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) 当初值( u o ，t t l ) h 1 ( 彤) l 2 ( j p ) 时，对经典解的整体存在性的研究在八十年代以前已经有 了很多的结果，如见 2 】， 4 4 】， 57 ，【6 1 ，【i i t ， 1 12 】，【1 1 3 等自九十年代以来对初值在低于能量 空间的分数s o b o l e v 空间h 8 ( r “) h ”1 ( r ”) 0 1 ) 中，关于适定性的研究获得了许多新的 结果例如l i n d b l a d 和s o g g e 【7 9 】运用s e g a l 1 1 0 和s t r i c h a r t z 【1 1 7 建立的关于波动方程基本 解算子的时空混合范数估计，证明了当( 呦，u 1 ) h ( j p ) h “1 ( r “) ，其中 一，字一击，p o p s 咝n - 1 ， 。铲 乒g j l ；2 垂，2 这里当n 3 时p 。= 龋，当n = 2 时伽= 3 ，问题( o 1 卜( o3 ) 在h s ( r n ) h e 一1 ( 冗“) 中 局部适定，并证明了对小初值在h ( 舻) h 。( r “) 中整体适定这是在s o b o l e v 空间中获 得的适定性的最优结果t a o 1 2 1 】利用l i t t l e w o o d - p a l e y 分解，通过考虑相应的频率局部化方 程，结合s t d c h a r t z 估计证明了当0 s j 0 毒b ，p ( 一s ) s ( ! 笋一s ) 时，问题( o 1 ) 一( o 3 ) 局部适定k e n i g ，p o n c e 和v e g a 7 5 l 运用b o u r g a i n 在文【1 0 l 创立的高低频分解法，证明了当 n = 3 ，r 口 s 1 ，其中 f 砩2 6 鬲- 3 蔺2 - 3 i 9 ，3 p 5 ， 铲i 继4 p - - 4 ，2 p 鲰 问题( o 1 ) 一( o 3 ) 整体适定，这里不要求是小初值m i a o 和z h a n g s 3 1 利用高低频分解法，借 助波动方程在b e s o v 空间中的s t r i c h a r t z 估计进一步推广了k e n i g 等人获得的结果，证明了当 n 3 ，r p 兰s l ，其中 f 学一了，踹n + l2 p 。n 一+ 3 。， 旷i 丢妄1 美霎薹，山“ 问题( o 1 ) 一( o 3 ) 整体适定 以上都是在l 2 型的s o b o l e v 空间获得的适定性结果p l a n c h o n 在文【9 8 】， 9 9 】中对方程 ( o 1 卜( o 3 ) 在b e s o v 空闻雪s ，口中的适定性傲了研究，借助s t r i c h a x t z 估计和l i t t e w o o d - p a l e y 分 解，证明了当 p 窘，( t o 朋) e 雪筹寺磁i 舟，l 1 时的局部适定性对这个方程初值问题的 适定性的重大进展由k e n i g ，p o n c e 和v e g a 获得，他们在文【7 1 】建立了( 0 4 ) 相应线性方程基本 解的s t r i c h a r t z 估计，应用此类估计证明了当 fs i ，如果k = 1 j3 1 ，如果k = 2 1s 击，如果k = 3 【s 百k - - 4 ，如果k 4 时，在日s ( r ) 中获得了( 0 4 ) 的局部适定性，据此结合能量守恒，当 is 1 ，如果= l ，2 ，3 ls 错，如果k 4 对，获得了整体适定性以后他们在文【7 4 】中，利用由j b o u r g a i n 开刨的双线性估计方法， 对k = 1 获得了当s 一；时的局部适定性f o n s e c a ，l i n a r e s 和p o n c e 3 t 用高低频分解法对 k = 2 证明了当s 时( o 4 ) 在h 8 ( r ) 整体适定，改进了文 7 l 】中k = 2 时整体适定性的结 果不久之前，c o l l i a n d e r ，k e e l ，s t a f f i l a n i ，t a k a o k a 和t a o 2 1 】发明了i 方法，并成功地应用这 个方法证明了当 js 一：，如果k = 1 is ，如果= 2 时，在日8 ( r ) 的整体适定性这些结果是最佳的，即不能再改进 4 方程( 0 4 ) 的初值问题在b e s o v 空间中的适定性由m o l i n e t 和r i b a u d 8 7 获得。受p l a n c h o n 的方法的启发，他们利用s t r i c h a r t z 估计以及l i t t l e w o o d - p a l e y 分解，对k 4 获得了当8 k 万- - 4 时， ( o 4 ) 的初值问题在b e s o v 空问台2 , q 萨和b ；，。( 1 口曼。) 的局部适定性和小初值的整体 适定性，并且在空间奄吾中获得了自相似解 3 非线性s c h r s d i n g e r 方程 、 对非线性s c h r s d i n g e r 方程的初值问题 i a u + a u = l u l 一1 ，。舻，r ， ( 0 5 ) u ( 0 ，z ) = u o ( o ) ， 茁r ”，( 0 + 6 ) 人们进行了广泛深入的研究【4 ，【3 2 ，【3 6 】， 3 7 1 ，【39 】，【1 27 | ， 1 2 8 ， 1 2 9 最好的局部适定性结果被 t s u t s u m i n 1 2 8 ，g a z e n a v e 和w e i s s l e r 1 5 】利用s t r i c h a r t z 估计和在b e s o v 空间的非线性估计 获得，他们证明了问题( o 5 ) 一( o 6 ) 当 fs s o ，如果8 0 0 1s 0 ，如果s o 一1 时k a r a h a r a 方程初值问题在日，( r ) 的局部适定性，据此结合驴守恒律建立了3 0 时整体适定的结果最近，w a n g ，c u i 和 d e n g 1 3 2 获得了当s 一；时k a x a h a x a 方程初值问题在h s ( r ) 的局部适定和s 一时整 体适定的结果我们将在第一章考虑广义k a w a h a r a 方程( 1 1 ) 在b e s o v 空间中的适定性由 于技术的原因只考虑k 5 的情形我们将证明对任意的t 0 问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的小初值问 题在c ( 【_ t ，t 】；奄j ( r ) ) 和g ( _ t ，2 1 ；b 薹。口( r ) ) 中有唯一的解，其中l q o o ，5 k = 5 荣，且 3 s ；特别当卢= 0 或所 s ) 中的局部或整体适定性又注意到通过类似于文献【7 l 】，【7 2 】中 的s c a l i n g 技术知8 k 是临界值，因此类似于文【7 l 】，【7 2 l 我们推断在b e s o y 空间中指标8 k 是最优 的，也就是说如果s 0 ，使得问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 在r 【一z t 中 存在唯一的解u ，满足 u c ( f _ t ，卅；鼋：) n ，t ( 2 ) 对任意的u 0 b ；且m a x ( 0 ，s k ) 8 给定t 0 ，下面的结论成立： ( 1 ) 存在d = d 女) 0 ，使得对任意的u 。雪；且满足l l u 。l 畸6 ，问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 在 r 一t ，t 】中存在唯一的解u ，满足 u g ( 【_ t ，卅；鼋) n 如 ( 2 ) 对任意的1 q 0 ，使得对任意的u o 砬品且满足 7 i | 咖i l 6 ，问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 2 ) 在r 【一z 列中存在唯一的解u 满足 u c ( - t ，t 】；亩；) n 五，t ( 3 ) 对任意的l q 0 ，使得对任意的u o b ；，qs m a x ( 0 ，“) 且满足i i t 0 1 1 ：ls d ，问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 在r 【* t 引中存在唯一的解u 满足 1 l l 。( 卜t ，t 】；b ；，q ) 如果卢：0 或卢1 m a x ( 0 ，s k ) ， 且满足i i o l i ；l j ，问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 存在唯一的整体解u ，满足 u l 。( a ；日；，口) 空间x q t 的定义见第一章 由定理1 3 得到下面的推论： 推论1 4 假设卢= 0 ，且初值函数满足o ( z ) = “o ( h ) ，那么定理1 3 ( 1 ) 中所得到的解是 同题( 1 1 卜( l 2 ) 的自相似解 二 非线性梁方程在b e s o v 空间中的适定性 第二章研究非线性梁方程的c a u c h y 问题t 砰“( z ，t ) + 2 u ( z ，t ) = 士u p ( z ，t ) z 础， 0 ，( 2 - 1 ) r u ( ，0 ) = t 正0 ( 霉) o t u ( z ，0 ) = “1 ( z )z r ”，( 2 2 ) 其中是舻上的l a p l a c i a n 算子，p 是正整数，且p 2 ，u o 和u l 是给定的函数 梁方程产生于弹性力学理论，有关其详细物理背景可以参考文献【8 2 ，l z 2 0 因为梁方程出现 在力学中已经很久，所以已有许多文献从不同的方面对其进行了研究，例如考虑初边值问题解 的存在性，解的爆破，周期解的存在性等等，对此有关的新进展可参考文献【l8 】， 8 0 】，【8 1 ，【7 8 】， 1 3 3 ， 第二章将在b e s o v 空间霹：( r “) 和避，q ( r ”) 中建立问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的局部和整体适定性， 其中。p = 一刍，s b p ，l 口o o 通过s c a l i n g 知道8 p 是方程( 2 1 ) 在s o b o l e v 空间 矗。( j p ) 的i 临界指标，从而类似于其它非线性色散方程我们推断如果s 如，那么问题( 2 1 ) 一 ( 2 , 2 ) 在日5 ( f ) 中至少是局部适定的；如果s l + i 8 ，则问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在空同b 。n n 、n ) ( 1sq 卸，且当n = 3 时p l + 击，或当讹4 时p 1 + i 8 ，则 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在b i 。( r ”) ( 15q 0 ，( 2 3 ) u ( z ，0 ) = o ( 。) ，侥u 扛，0 ) = u l 扛)z r ”，( 2 4 ) 这里，( u ) 是性态类似于矿的函数，证明了如果1 sn 4 且p 1 ，或n 5 且1 p 1 + 鲁和1 q 0 ，使得问题( 2 ，1 ) 一( 2 2 ) 在r “【o ，列上有唯一的解u ，且满足 u c ( 【o ，列；雪器) ，毗c ( 【o ，卅；西i 了2 ) ( 2 ) 设n 3 ，p n 和1 茎g 1 + 刍，或n 4 且p 1 + i 8 ，则对任 意的( 如，u 1 ) ( b i ，口，啦石2 n 膏_ 2 ) ，如 1 + i 8 则存在相应的6 0 ，使得对任意的( 如，毗) ( 西；x ，麓= 2 ) 且满足i l u o l i e 恐+ 0 u 10 ：p = t d ，问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 有唯一的整体解 ，满足 u g ( 【0 ，+ ) ；雪；) ， u t c ( 【o ，+ o o ) ；b 2 , 。0 2 ) ( 2 ) 设n 1 ，p n ，p 1 + ：和1s 口 0 ，使得对任意的 ( 咖，u 1 ) ( 台象，彰万2 ) 且满足1 1 o l i p 曲+ i i u l l i b ；, - 。sj ，问题( 1 r 1 ) 一( 1 2 ) 有唯一的整体解u ， 满足 口( 【o ，+ o o ) ；雪；：) ，u t c ( 【0 ，+ o 。) ；彰彳2 ) ( 3 ) 设n 3 ，p n 和1 g l + 刍，或n 4 且p 1 + 鲁，则存在相 应的6 o ，使得对任意的( 啪，“1 ) ( b g ，q ，鹋二2 n 膏一2 ) ，s 如，且满足珈i k + 忆l l 直妊。 6 ，问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 有唯一的整体解u ，满足 “工o 。( o ，+ 。o ) ；b i ，口) ，“t l 。( 【o ，+ o 。) ；b 2 s i n 口2 广1 宙一2 ) 由定理2 2 得到下面的推论： 推论2 3 假设初值函数满足如( 。) = 击t o ( z ) ，“1 ( 曲= i 与+ 2 u 0 ( 功，那么定理2 2 ( 1 ) 中 所得到的解是( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的自相似解 我们还获得了如下的散射结果t 定理2 4 设n 1 ，p n ，p 1 + ：和1 口 o u ：( z ，0 ) = ，哦u ：( z ，o ) = “ z 尺“ 1 0 那么成立 。当眦t ) 一u 土( t ) lj 皖2 0 三 四阶非线性s c h r s d i n g e r 方程在b e s o v 空间的适定性 第三章研究四阶非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的c a u c h y 同题 i & u + a a u + b a 2 u = q - u p( z ，t ) j 矿+ l ，( 3 1 ) ( z ，0 ) = 如( z )z 舻，( 3 2 ) 这里p 是大于1 的整数，1 sn s4 ，a ，b 是实常数，b o ，且u 0 是给定的函数 方程( 3 1 ) 起源于孤立波的研究它被用来研究孤立波在磁介质中的形状和传播中高阶色散 项所起的作用( 见( 5 6 】，【5 9 l ， 6 4 1 ，【1 3 1 ) f i b i c h 等人利用守恒律在c ( r ，h 2 ( 舻) ) 中研究了整体 解的存在性，但没有考虑局部解的存在性( 见【3 0 1 ) 最近，c u i 和g u o 在s o b o l e v 空间日5 ( 兄”) 中对局部和整体适定性作了严密的分析论证【2 7 】我们应用由c u i 以及c l i i 和g u o 分别在文 【2 4 j ，【2 6 】和 2 8 l 中建立的2 一p 估计和s t r i c h a r t z 估计考虑问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 在b e s o v 空间母+ 2 8 p ，口 和b ；，q 中的局部和整体适定性，这里3 p = ；一者，s s ，1sq 利用s c a l i n g 方法知如 是s c a l i n g 意义下的临界值，因此类似于文【7 1 】，【7 2 】的讨论可以推断我们获得的指标如是最优 的即如果s l + i 8 则下面结论成立： ( 1 ) 对。鼋备，哥g o ，使得同题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 在舻卜t ，t 】 中有解u ，满足 u g ( 【一t ，t ；台；名) ( 2 ) 对u o 磁1 sq s p ，存在相应的t 0 ，使得问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 在只“【一t ，t 】 中有解u ，满足 u g ( 卜t 硼；_ b ；口) 定理3 2 ( 几乎整体可解性) 设1 茎n 茎4 ，p n ，p 1 + i 8 给定t 0 ，下面结论成立 1 1 ( 1 ) 存在相应的6 0 ，使得对u o 西；麓，且满足i l u 0 0 或 6 ，问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 在 r “ 一t ，卅有解u ，满足 u g ( i _ t ，t i ；西；k ) ( 2 ) 对1 兰g 0 ，使得对咖奄岛，且满足l t 0 0 e 乙 0 ，使得对u o 磁，口，且满足i l o | | 唐 l + i 8 ，下面结论成立： ( 1 ) 存在6 0 ，使得对u o 或，且满足i i u o i i b ；, 5 ，问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 在r ”r 中有解 u ，满足 u g ( r ；磋) ( 2 ) 对1sg 0 ，使得对u o b 一2 , q ，且满足l i u o | | 或 0 ，使得对u o b 耋，q ，且满足i l t 0 i i 。恐 0 u ( z ，0 ) = t | 0 ( z ) ，z r 8 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 的自相似解，这里a r ，p 0 ，m 1 是一个整数，u ( 日t ) ，咖( z ) 都为复值函数若u ( z ，) 是 方程( 4 1 ) 的解，容易看出嘶( z ，t ) = r 等u ( r z ，r 2 m t ) 也是( 4 1 ) 的解如果( 41 ) 的个解u ( z ，t ) 满足u ，( z ，) = u ( z ，t ) ，v r 0 ，即 r 警u ( r z ，r 2 m t ) = u ( z ，t ) ，v r 0 ， 则称u ( z ，) 是方程( 41 ) 的一个自相似解 当m = 2 时，在第三章的推论1 4 中，我们获得了在b e s o v 空间霹：；中的自相似解，但 是必须要求p = 8 ，为了去掉这个条件，扩大p 的取值范围，第四章我们用包含自相似结构初 值函数的更一般的函数空间去代替b e s o v 空间霹丁，对一般的m 1 ，研究方程( 4 1 ) 一( 4 2 ) 的 自相似解的存在性，所得结果涵盖m = 1 ，2 的情况主要结果为以下定理： 定理4 1 假设条件( a i ) 一( a 3 ) 满足，s 则存在6 0 ，使得当i l s ( ) o i k 6 时，问题 ( 4 1 ) 一( 4 2 ) 存在唯一的整体解( 马) 毋，且她| | 乜2 5 特别，当u o ( z ) = u ( 击) h 一予，其中 u g ”( 扩1 ) 且i i u l l c n 充分小时，问题( 4 1 ) 一( 4 2 ) 存在唯一的整体解，这个解是方程( 5 1 ) 的 自相似解，这里函数空间毋为； 昂= 缸g ( 【o ，c o ) ，群) ：e 。= s u p 州u 0 加 o ” 这里s ，p = 必p s + n ，口= i 1 十击( s 一；) ，条件( a 1 ) 一( a 3 ) 的表述，集合的定义见第四章 五 非线性梁方程的自相似解 第五章研究非线性梁方程 砖u + 2 u = i 缸l 。一1 u ，r “t 0 ，( 5 1 ) “( z ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( 窖) ，z 舻( 5 2 ) 】3 的自相似解，这里a r ，n 1 u ( ，t ) ，咖( z ) ，u l ( x ) 都为实值函数若u ( z ，) 是方程( 5 1 ) 的解，容易看出，( z ，) = r 刍u ( r z ，r 2 ) 也是( 5 1 ) 的解如果( 5 1 ) 的一个解“( z ，t ) 满足 “，( 蜀t ) 一 ( z ，) ，朴 0 ，即 r 南u ( r z ，r 2 ) = u ( z ，巩v r 0 ， 则称u ( 毛t ) 是方程( 5 1 ) 的一个自相似解由于方程的自相似解是其某些整体解的渐进行为， 所以对自相似解的研究很有意义 第二章在b e s o v 空间中研究了方程( 5 1 ) 一( 5 2 ) 的整体解的存在性，并且在第二章的推论1 3 中，我们获得了在b e s o v 空间启磊4 中的自相似解，但是必须要求口是大于l + ：的整数，为 了扩大o c 的取值范围，第五章我们用包含自相似结构的初值的更一般的函数空间去代替b e s o v 空间雪丢二。研究方程( 5 1 ) 一( 5 2 ) 的自相似解的存在性，当n 4 时扩大了在第二章的推论 1 3 中a 的取值范围 第五章的主要结果为以下定理： 定理5 1 假设条件( h 1 ) 一( a 3 ) 满足，3 l 则存在6 0 ，使得当i i g ( 0 f l l e 。+ | j k ( ) 9 | k 6 时，问题( 5 1 ) 一( 5 2 ) 存在唯一的整体解u ( 。，t ) e ，且i i i i e ，s2 5 特别，当n 3 ，a 1 + 芸i ， u o ( z ) = ( 向) 一矗，u ( z ) = 仉( 南) _ 2 措，其中c “( p 一1 ) ，u i c n - 2 ( p 一1 ) 且 0 l i c n ，l l 巩0 0 一。充分小时，问蹶( 5 1 ) 一( 5 2 ) 存在唯一的整体解，这个解是方程( 5 1 ) 的自相 似解，这里函数空间b 为： b = u g ( 【o ，o o ) ，由：) 这里s l ，r = 再篝棠b ，日= 击+ ( s 五壹 i l u l l e 。s u p t 8r l 岫 一i 1 时整 体适定本章考虑广义k a w a h a r a 方程( 1 - 1 ) 在b e s o v 空间磁。( r ) 中的适定性，由于技术的 原因只考虑k 芝5 的情形我们将证明对任意的初值u o 岛岛( r ) ，存在相应的t 0 使得问 题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 在g ( 【_ t ，卅；就；( r ) ) 和g ( 【- 正别；b ；，( r ) ) 中有唯一的解，其中1 q s k ；并且对任意的t 0 和1 茎q ! 小初值问题在c ( 一t ，t 】；馥名( r ) ) 和 g ( 【_ z 纠；蟛，口( r ) ) 中有唯一的解，特别当卢= 0 或所 s 女) 中的局部或整体适定性( 注t 本文对 问题适定性的建立主要建立解的存在唯性，解对初值的连续依赖性容易由存在唯性的证明 过程直接看出，因为我们的证明用到压缩映照原理，这个原理蕴涵着解对初值的连续依赖性) 又注意到通过类似于文献【7 1 】， 7 2 中的s c a l i n g 论证知s 是临界值，因此类似于文【7 l 】， 7 2 】，我 们推断在b e s o v 空间中指标s k 是最优的，也就是说如果s s k 则可以推断在空间b ；。( 且) 中 适定性不成立，这里1 墨口s 在陈述主要结果之前我们首先引入一些记号对1 茎p o o 和l 茎q ，分别用记号工；职 和醒目表示r 2 上的可测函数f = ，( qt ) 构成的函数空间，并分别满足下面的条件： | | ，| i 毕；= ( 仁( 仁i f ( 州妒出) “d r ；) 1 q o 。， 和 忖忆聊= ( 仁i f ：州妒出) 吖。出) v 9 o o ； 对p = o o 或q = o o ，空间工 醒和工 醒被类似地定义为取上确界范数的函数空间对o t o o ，1s p o 。和1 q o o ，分别用记号工 醒和醒工 表示r x 【_ t ，卅上的可测函数 f = ，( ) 构成的函数空间，并分别满足下面的条件： i i f l t 串：= ( ( 仁叭州妒如) 咖出) l q o o ， 和 | | ，1 | m ；= ( 仁( 叭州妒矿哟“ 一 对p = o 。或q = 0 0 ，空间工；醒和碍圮被类似地定义为取上确界范数的函数