（应用数学专业论文）金融时间序列的非线性分析.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：金融市场信息的特征是不确定性多、很强的非线性和信息数据的模糊性及 非结构性。本文的研究目的是针对金融市场信息的非线性特征，将混沌理论、分 形理论等非线性分析方法和金融理论相结合，通过建模、特征提取和金融市场时 间序列的数据分析，将金融信息的研究建立在更加切合实际的理论和更加智能化 的基础上。 本文详细研究了金融市场信息的非线性特征及非线性分析方法，并将这些研 究结果运用到了金融市场的实际工程案例中，是将非线性理论和分析方法应用于 金融市场的探索性研究。一共分五章： 第一章，回顾非线性科学的发展历史。 第二章，介绍混沌、分形的发展历程及其特点和应用。 第三章，中国股市的非线性分析。 第四章，利用d f a 方法研究股市的相关性，并与上面表述的方差法和r s 分 析进行比较。 第五章，结合多重分形理论，利用h 6 l d e r 指数来预测股市的风险。 其中图1 4 幅，表1 个，参考文献2 1 篇。 关键词：非线性科学；金融市场；混沌；分形；多重分形；时间序列 分类号：0 2 9 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：t h e 丘n a n d a lm a r k e tf e a t u 瑚i t s 删m e r 0 璐u n c e r t a i n t i 岛，h i g h n o n h n e 撕t y a n dt h eo b s c u r i t ya sw e u8 sl m s t r u c t u r 拍t yo ft h ei n f b r m a t i o nd a t a t h ep u r p 0 8 eo ft h er 鹤e 盯c hi nt h i 8p a p e rj 8t oc 0 皿【b i n ev a r i o u 8n 0 i l l i n e a ra n a l y s i s m e t h o d ss u c ha sf r a c t a lt h r y c h st h e o r yi nt e r m 8o ft h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i t i 饼o ft h e 矗n a n c i a lm a r k e t ，觚db 蹦et h er e s e a r c ho nam o r ei t e l l i g e n tf o u n d a t i o n 柏w e n 蠲t h e o r i 朗t h a t m ed j e rt ot h er e a l i t yb yc 0 瑚t r u c t i n gm o d e l s ，e x t r 比仁 i n gf e a t l l r 髑，a n d 缸a l y z i n gt h et i m es e r i 髓d a t ao ft h e 缸a n c i a lm a r k e t t h i sp 印e rd j s p l 8 ，8ad e t a i l e dr e 鼬a r c h b o t hn o m 缸e a rt h e o r i e sa n dn o n h n e a ra n a l y s i 8m e t h o d 8i nt h ef i n 明d a lm 跗k e t t h e 印p l i c a t i o l l so ft h er e s e 觚 h r 鹊1 1 l t st or e a lp r o j e c tc 孵皤i nt h e 丘n a n d a lm a r k e ta r ea l s op r 鹤e n t e di nt h ep 舡 p e r i tc 眦b er e g a r d e d 舾a 瑚e f l l le 圩b r tt oa p p l yn o n l i n e a rt h 硎鹄卸dn o n l i n e a r a n 蝴i sm e t h o l st ot h e 丘n 缸c i 越m a r r h ep 印e rc o 瑚i s t so ft h ef o l l o 丽n g 丘v e c h a p t e r 8 i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e 丑yr e v i e w e dt h ed e 、r e l o p m e n th i s t o r yo fn o n l i n e a rb c i - e n c e i nd h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c e dt h ed e 、r e l o p m e n tc o u r ，t h ec h a r a ( 触t i ca n d t h ea p p h c a t i o no fc h a o sa n df i a c t a l i nc h a p t e rt h 瑚，w eg a 、r et h en o n l i n e a r 粕a l y 吕i 8o fc h i n e 鼬s t oc ：km a r k e t i nc h a p t e r f o l l r ，w e m a d e l l 8 e0 f d f a t o8 t u d y t h ec o r r e l a t i o no fs t o c k m a r - 蛾，a n dc o m p a r e dw i t hf o 咖e rm e t h o d s - 、w i a j l c ea n dr s 1 nc h a p t e r 丘w ，w e 瑚e dt h eh 6 1 d e r 既p o n e n tt of o r e c a s tt h er i 8 ko fb t o c k m 盯k e tb ym l l l t i f r a c t 越t h e 0 珥 t h e r ea 鹏f o l l l - t e e np i c t u r 朗，o n et a b l ea dt w e n t y - o n er e f e 呦c e 8 k e y w o r d s ：n o n l i n e 盯8 c i e n c e ；曲8 i l c i a lm a r k e t ；c h a ；行a c t a l ；m _ 1 1 l t i a c t a l ； t i m e8 e r i 铭 c l a s s n o ：0 2 9 致谢 本论文的工作是在我的导师商朋见教授的悉心指导下完成的，商老师严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来商老 师对我的关心和指导。 商老师悉心指导我完成了论文的科研工作，在学习上和生活上都给予了我很 大的关心和帮助，在此向商老师表示衷心的谢意。 商老师对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的 感谢。 在实验室撰写论文期间，于建玲、许娜等同学对我论文中的研究工作给予了 热情帮助，在此向她们表达我的感激之情。 另外也感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 北京交通大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 非线性科学的回顾 1 绪论 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以 来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合学科，被誉 为2 0 世纪自然科学的“第三次革命”。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重 大的科学意义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的 各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。在非线性科学的研究中，已 涉及对确定论与随机性，有序与无序，偶然性与必然性，量变与质变，整体与局部 等范畴和概念的重新认识，它将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的 逻辑体系的根本性问题。一般认为非线性科学的主体包括：混沌( c h a o s ) 、分形 ( n 撒m ) 、孤子( s o 眦o n ) 。 1 9 9 9 年美国出版的“s c i e n c e ”2 8 4 卷以“超越还原论”为题发表了一组文章【l 】， 可说是非线性科学问题的专刊。一些权威专家从化学、生物以至她貌、气候、经 济等各自的学科领域综述了非线性科学，可以见到“非线性科学”是完全脱离了 “还原论”和简单的线性思维的方式。“非线性科学”是把所研究的对象看成是一 个开放的复杂系统，其中包含着不同尺度层次问的相互作用。这种层次之间的相 互作用是按照“自组织原理”进行的，具有涌现性，会产生新质，从而使系统中 各个要素之问的关系脱离了简单的线性关系，呈现出非线性的复杂关系。让我们 来考察一下一些重要的复杂性非线性科学的创立，及其开创性的重要作用。其中 最值得关注而起着本质的原始性开创作用的是诺贝尔奖金获得者i p r i g o 西n e 提出 的“耗散结构理论”与“自组织原理”1 2 j 。接着h h8 t k e n 创建的“协同论”，f 3 j 亦 提到了“自组织”的概念，作了深刻的阐释。这些开创性理论与“非线性科学” 的形成密切相关，也关系到非线性问题产生的本质根源。更而，在l o r e n z 发现混 沌【4 】，m 锄d e l b r o t 提出分形1 5 】以来，非线性科学有了更为飞速的发展。 1 2 本文特色及研究方法 一门学科的发展水平，很大程度上取决于它对事物的定量化描述水平。本文 主要利用混沌、分形理论等非线性分析方法对国内外股市存在的分形结构进行全 面、系统、深入的研究，使得看起来非常复杂的股市变化可用仅含很少参数的简单 公式就可描述，并且利用多重分形的参数表示h j l d e r 指数为股市预测奠定基础。 北京交通大学硕士学位论文 1 绪论 本文的研究方法在于，通过多角度( 自相似分析、相空间重构、r s 分析、 k o l m o g 叩o v 熵) 、多方法( 方差法、r s 法、多重分形谱等) 研究了金融时间序列 的非线性性质，并通过分析这些性质与现实股市的关系，定量阐述股市的非线性 强弱程度。最后一章，结合多重分形理论，利用h 6 l d e r 指数的特殊行为对股市收盘 价迸行分析，为下一步进行股市预测打下基础。 在实证工具上，选择以m a t l a b 7 0 为主，以c 、m a t h e m a t i c 、e x c e l 为辅的应用 程序，除特别注明外，实证结果均为通过自行编写程序来实现的。 2 北京交通大学硕士学位论文2 混沌、分形的发展历程及其特点和摩塑 2 混沌、分形的发展历程及其特点和应用 2 1 混沌 2 1 1 混沌理论的发展历程 1 9 0 3 年庞加莱在科学与方法一书中提出了庞加莱猜想，把动力学系统和 拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题( 太阳、月亮和地球) 中，在一定范围内， 其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使其成为世界上最先了 解混沌可能存在的第一人。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫发表哈密顿( h 锄i l t o n ) 函数中微小 变化时条件周期运动的保持一文，这篇文章表述了在混沌未发生之初，在保守 系统中如何出现混沌，是k a m 定理的雏形。1 9 6 3 年该文所述内容获得严格的数学 证明，为确认不仅耗散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。 1 9 6 3 年，洛伦兹在确定性的非周期流一文中指出：在三阶非线性自治系统 中可能会出现混乱解。这是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第 一个实例。2 0 0 0 年自然杂志发表论文t h el o r e 叮a t t r a c t o re ) d 8 t 8 ，首次从 数学上严格证明了l 0 r e n z 吸引子在自然界中的存在。 1 9 6 4 年，法国天文学家伊侬( h e n o n ) 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到 启发，给出了h e n o n 映射，并用它建立了“热引力崩坍”理论，揭示了几个世纪以 来一直遗留的太阳系的稳定性问题。1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r 肛e e 和荷兰 学者f i 龇e n 8 联名发表了著名论文论湍流的本质，发现动力系统中存在着特 别复杂的新型吸引子，并描绘了它的几何特征，证明了与这种吸引子有关的运动 即为混沌，并命名这种新型的吸引子为奇怪吸引予。 2 1 2 混沌运动的特点 一般认为，混沌是确定性系统中出现的貌似无规则的有序运动，混沌运动的 特点可以概括为：( 1 ) 内在随机性。描述混沌系统的演化方程确定，但演化行为不 确定；系统短期行为确定，但长期行为不确定。系统的这种行为既不同于传统的 确定性现象也不同于传统的随机性现象，而是系统确定性与随机性的有机结合。 研究表明，产生混沌的本质原因在于确定性系统的非线性。( 2 ) 对初值的敏感依赖 性。混沌运动的振荡解不是渐近稳定的，它的解在一定范围内表现出整体的稳定 性，但是系统的非线性使进入吸引子内部的轨线不断彼此互相排斥，反复分离和 3 北京交通大学硕士学位论文2 混沌、分形的发展历程及其特点和应用 折叠，使得系统的局部不稳定。这种局部不稳定就是对初始条件的敏感依赖性，即 使系统初始值出现小的偏差，也会引起轨道按指数分离，这就是所谓的“蝴蝶效 应”。系统对初值敏感性依赖的根源仍然在于系统内的非线性相互作用，对于一维 迭代系统就表现为非线性迭代方程。( 3 ) 奇异性。从整体上看系统稳定；从局部上 看系统不稳定。其解轨道在有限范围内作无数次的分离、折叠和靠拢，形成一种 称为奇怪吸引子或混沌吸引子的结构。系统吸引子内部具有无穷层次的自相似结 构，奇怪吸引子的维数一般为非整数。 ，一 2 1 3 混沌的主要应用领域 混沌时间序列是混沌的主要应用领域之一。从时间序列的角度研究混沌，始 于p a c k a r d 等在1 9 8 0 年提出的重构相空间理论。该理论揭示了决定性系统中任一变 量的长期时间演化序列，均包含了该系统所有变量长期演化的信息。因此，可以通 过系统中任一单变量时间序列来研究系统的混沌行为。而吸引子的不变量一关联 维( 系统复杂度的估计) ，k 0 1 m 0 9 0 r o v 熵( 动力系统的混沌水平) 、l y a p l l n o 、r 指数( 系 统的特征指数) 等在表征系统的混沌性质方面一直起着重要作用。 2 2 分形 2 2 1 分形理论的发展历程 分形( n 础a 1 ) 理论是由美籍法国数学家芒德勃罗( b b m a n d e l r o t ) 创建的。 1 9 6 7 年他发表在美国科学杂志上的论文英国的海岸线有多长中，首次阐明了 分形的思想。1 9 7 3 年在法兰西学院讲学时他又正式提出了分形几何的概念。1 9 7 5 年 他的法文专著分形：形状、机遇和维数的出版，是分形学理论诞生的标志。在 其著作中总结了一系列在1 9 世纪后期与2 0 世纪初曾困惑着大量数学家的病态曲线 或几何体。如1 8 8 3 年由德国数学家康托尔所构造的康托尔三分集、由法国数学家 魏尔斯特拉斯在1 8 7 2 年7 月1 8 日向柏林科学院报告中提出的在分析数学中的一条处 处连续又处处不可微的w d e r s t r a b 函数。 2 2 2 分形集的特点 芒德勃罗在1 9 8 2 年曾给分形下过定义：若一个集合的h a m d o r 圩维大于其拓扑 维，则该集合属分形。1 9 8 6 年，他认为上述定义不完善，又重新定义为：分形是 一种由许多个与整体有某种相似性的局部所构成的形体。其实分形的基本特征是 4 北京交通大学硕士学位论文2 混沌、分形的发展历程及其特点和应用 明确的，即：( 1 ) 该集合整体与局部间有某种自相似性：( 2 ) 该集合有无穷细微的结 构( 无限可分) ；( 3 ) 该集合具有分数维，即分形集合的维数一般不是整数，而是分 数。 2 2 3 分形在金融市场方面的的研究和发展 m a n d e l b r o t ( 1 9 6 0 ，1 9 6 l ，1 9 6 3 a ，1 9 6 3 b ) 通过研究股票价格时间序列的波动规律， 发现股票价格序列不符合正态分布，而是表现出尖峰胖尾的统计特征，由此，他 提出用分形分布来描述股票收益序列。e d g a re p e t e r s 也为分形理论在金融市场 的研究和应用作出了杰出的贡献。他不仅给资本市场研究者深入浅出地介绍了 分形几何学，而且将分形理论和混沌理论应用于资本市场的研究中，取得了颁 有影响力的研究成果。p e t e r s ( 1 9 9 1 ，1 1 9 4 ，1 9 9 9 ) 从资本市场上的资产价格变 化的正态性检验开始，应用r s ( 鼬s c a l e dm m g e ，h 1 1 r 8 t ，1 9 5 1 ) 分析方法有力地证 实了资本市场的资产价格序列或收益序列符合分形布朗运动或有偏的随机游走规 律。k o g o n 和w i m a i n s ( 1 9 9 8 ) 、n o l a n ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 a ，b ) 、r a c h e v 和m i t t i l i k ( 2 0 0 0 ) 等学 者均对分形分布族及在股票市场的适用性做过许多研究。这些实证研究表明，分 形分布对股票市场收益的拟合效果确实较好。近些年来围绕金融波动的分形性、 相关性、长记忆性、异方差普遍性等展开了深入而广泛的讨论，并进一步研究和 改进了一些新的数学模型和方法。 5 北京交通大学硕士学位论文 3 股市时间序列的非线性分析 3 1 引言 3 股市时间序列的非线性分析 自2 0 世纪6 0 年代以来，非线性科学取得了蓬勃发展，其中运用混沌等非线性 系统的理论和方法来解决社会经济问题成为研究的热点。因为它用特殊的思想和 方法研究自然界和人类社会，解决和说明了一些用传统科学所不能解决的问题和 现象，其应用和研究也已经渗透到了众多学科和领域。股票系统作为典型的非线 性系统，其运动及动力学规律涵盖了许多物理、生物、社会及思维系统，相关研究 对于非线性科学具有极大的理论价值。因此本章把股票市场作为一个时间序列来 研究，目的是找到股票市场的混沌分形特征，以寻求非线性方法研究股市时间序列 的可能性。用到的方法有以下几种：( 1 ) 方差法；( 2 ) 相空间重构；( 3 ) r s 法；( 4 ) 关联维数；( 5 ) k o l m 0 9 0 r o v 熵。 本章首先给出了数据描述和数据分析，接着第二节是时间序列非线性分析的 理论和方法，最后给出结论。 3 2 股市时间序列的非线性分析与讨论 3 2 1 数据描述 香港恒生指数是香港股票市场上历史最久、影响最大的股票价格指数，由香港 恒生银行于1 9 6 9 年1 1 月2 4 日开始发表。恒生股票价格指数包括从香港5 0 0 多家上市 公司挑选出来的3 3 家有代表性且经济实力雄厚的大公司股票作为成份股，这3 3 种 成分股中包含金融业4 种、公用事业6 种、地产业9 种、其他工商业1 4 种，系统反映 香港股票市场行情变动最有代表性和影响最大的指数。这些股票分布在香港的主 要行业，都是最具有代表性和实力雄厚的大公司。它们的市价总值要占香港所有 上市股票市价总值的7 0 左右。恒生指数的成分股并不固定，自1 9 6 9 年以来，已 作了十多次调整，从而使成分股更具有代表性，使恒生指数更能准确反映市场变 动状况。由于恒生指数具有基期选择恰当、成分股代表性强、计算频率高指数连 续性好等特点，因此一直是反映和衡量香港股市变动趋势的主要指标。 在此我们选取了2 0 0 1 年6 月1 1 日至2 0 0 5 年6 月2 7 日共计1 0 0 0 天的恒生 指数日收盘价( 数据来自h t t p ：c 缸a n c e ) 曲o o 锄网站) 时f h j 序列( 如图1 ) 作为 研究对象，选取日收盘价指数是因为日收盘价指数比较有代表性，更能反映市场 6 北京交通大学硕士学位论文 3 股市时间序列的非线性分析 行情，无论是对投资者还是对融资者来说，日收盘价指数都是很重要的。我们运 用混沌理论对其分析，其中包括自相似性分析、相空间重构、r s 分析、关联维数 和k o l m o g o r o v 的计算，以讨论其非线性结构。 圈1 恒生指数日收盘价波动田 f i g1c l o s i n gp r i c eo fh s i 3 2 2 恒生指数日收盘价数据流中的自相似性现象 自相似性( 分形性) 是复杂系统中常见的一种现象【6 】。直观上看，自相似系统经 常在某种测度的不同尺度上表现出相似的特征。这里的测度可以是空日j 、时白j 或 任何其它合理的定义。设x ( t ) 是一个统计意义上的随机过程，其均值p = e ( 五) ， 有限方差口2 = 驯( 咒一p ) 2 】 o ，自相关函数 附，= 警意产一叫一 假设一个独立过程x 有如下的自相似函数形式： r ( 7 - ) 一i r 阿4 ，r o 。，o 卢 l ( 1 ) 其中p 与h u r s t 指数有关n 即日= 1 一鲁。对每一个m = 1 ，2 ，3 ，构造一个新的时 间序列x ( m ) = x ，七= l ，2 ) ，m 代表平移的时间单位，x ：m = 丝2 璺芸= = = 塾! 。 随机过程x 称为自相似的，如果x ( m ) 与x 二者具有相同的相关结构，即月( 帕( r ) = r ( f ) ，m = 1 ，2 ，r = 1 ，2 。自相似过程的最显著特征就是重新组合的时 间序列x ( m ) 会随着m 趋于无穷大而具有非退化相关结构。为了计算日，我们使用 y d r ( m ) ) 是因为在这种情况下的白相似性与其原来变化程度不大，产生的误差 7 北京交通大学硕士学位论文 3 股市时间序列的非线性分析 也会相对较小些。c 0 。【( 1 9 8 4 ) 指出，满足方程( 1 ) 的自相似函数形式中的p 与序 列y n r ( x ( 帕：m = 1 ，2 ) ，即 y 8 r ( x ( m ) 一啪一，m _ o 。 形式中的是一样的，这里是一个独立于m 的有限正数，o l 。图2 是以横坐 标为1 n ( m ) 纵坐标为l n ( y o r ( x ( m ) ) ) ，在平面内通过最小二乘法用一条直线拟合图 上的点而成。我们用口( 一1 声 o ) 表示直线斜率，其值显示相似性，并且相似程 度可以由疗= 1 一g 给出。在1 n ( y n r ( x ( m ) ) ) 一l n ( m ) 关系图中，可以很容易的得到 斜率为o 5 7 3 1 ，h u m t 指数的估计值大约为o 7 1 3 4 。因此得出结论：恒生指数日收盘 价数据流具有自相似性，也就是分形性质。另外h i l r 8 t 指数也可以通过r s 分析法 得出，其大小表示长程相关性。 田2 l i l ( y o r ( x ( ”) ) 一1 n ( m ) 关系 f i g2i k l a t i o 璐h i pb e t w e e n2 礼( y 口r ( x ( m ) ) a n df n ( m ) 3 2 3 恒生指数日收盘价数据流长程相关性侦测一r s 分析 r s 分析( 胁s 砌ef 妇啦a n a l y s i s ) 最早来自于水文学1 8 】，又称为重标极差分 析法。h l l r 8 t 率先运用该方法对尼罗河潮汐数据进行了研究，发现水文时间序列 中的长期记忆性，随后该方法被广泛运用到流体学、气象学等自然科研领域。最 近2 0 年r s 分析法由于约束条件少而成为挑战传统有效资本市场理论分形市场假 设的主要分析工具之一。它与传统的方法( 如自相关分析，谱分析等) 相比，r s 分 析是侦测长程相关性方面的一个更为有力的工具。它主要通过h 1 1 r 8 t 指数的计算来 侦测时间序列中的长程相关性。 8 j ! 壅奎望盔堂堡主兰笪迨皇 ! 墼立堕塑壁型塑j ! 垡丝坌堑 3 2 3 1h l l r 8 t 指数的计算与长程相关性的判别 h l l r s t 指数反映了时间序列均值的累计离差随时问变化的范围，并且h l l r s t 建 立了以下关系： ( 争= 日 ( 2 ) 其中r 为时间序列的极差，s 为标准差( 即重标极差) ，1 - 为时间间隔，g 为常数，日为 h l l r s t 指数。 设已知时间序列为他) 磐l ，f 为时间间隔，则r 个时间序列数据的均值为 由此可求得累计偏差 x ( i ，r ) = 一( e f ) ，】= 一 ( 联) r ，( 1 l 7 ) ( 4 ) 极差 r ( 下) = m o $ x ( i ，下) 一m t 仡x ( i ，下) ，( 1 t r ) ( 5 ) 标准差 ， s ( r ) = ：峨一( 联) ，】2 ) ( 6 ) 根据( 2 ) ，一旦通过( 3 ) 一( 6 ) 估计出来r s ，则h u r 8 t 指数可通过最小二乘法回 归计算出 z 礼船地( 卅胁( ) 其中0 日1 。 如果时间序列具有分数b r o 咖运动特性，给定一个从一t 到。的过去增量一 以。) 。与未来增量阮一句) 的相关系数为 ) = 业掣， 因为 e 【( 匈一z t ) + ( 一翱) 】2 = e k t ，t 】2 代入上式整理有 口( t ) = 壁簪= 2 2 日一1 1 9 6 ，：l 1 一r = h g 北京交通大学硕士学位论文 3 股市时间序列的非线性分析 根据上式有如下结论： ( 1 ) 当日= ；时，g ( t ) = o ，这标志着时间序列是随机的，事件是随机和不相关的， 即过去与将来不存在相关性，时间序列为完全独立过程。 ( 2 ) 当； 0 。因此通过的计算可给出系统的粗略分类。当不知道系 统的微分方程时，k 是难以计算的。但由于k 是口阶娜熵的下界，且 凰+ l ，尬= j 岛，因此常计算鲍熵作为影的近似。 由g p 公式得 恐= 墨；h 器 这里时间间隔r 和嵌入维数m 的选择同第4 节选取一致。在这里我们给出了k o l - m 昭d r o v 熵和嵌入维数m 之间的关系( 如图6 ) ，可以看出当嵌入维数m 增大到2 0 时， k o l m o g o r 0 、r 熵值k 趋于饱和。 根据上述算法，对收盘价数据流基本分析数据进行计算得到k o l 1 0 9 0 r o v 熵 j 已= o 0 3 5 4 6 0 ，结合收盘价数据流关联维数的计算，可以初步得出结论：收盘 价数据流系统是一个混沌系统。 北京交通大学硕士学位论文 3 股市时间序列的非线性分析 田6k o l m o g o r o v 熵与嵌入维数m 的关系 f i g6m l a t i o n s h i pb e t 骶e nk o l m o g o r a ve n t r o p y 弛dm 3 3 结论 通过本文的研究，初步获得了一些结论，总结如下： 1 ) 收盘价数据流具有自相似性。 2 1 收盘价数据流具有长程相关性。通过对收盘价数据流时间序列r s 分析和 h u r s t 指数( h u r 8 t 指数大于o 5 ) 的计算，发现收盘价数据流具有较强的正相关性和 长记忆性。 3 ) 收盘价数据流既非确定性系统，又非完全的随机性系统。通过关联积分的 计算，可以充分支持此结论。 4 1 收盘价数据流存在混沌和混沌吸引子。从关联维数上) 2 4 ，k o l m o g o r 0 、，熵 鲍= 0 0 3 5 4 6 0 ，可以初步得出：收盘价数据流存在混沌和混沌吸引子。 5 1 收盘价数据流系统是一个复杂系统，至少需要5 个变量方可充分描述收盘价 数据流的基本动力学特性。 6 1 收盘价数据流系统是一个混沌系统。 上述结论具有一定的实际意义。例如，收盘价数据流变化具有较强自相似性 的结论为其短时预测奠定了坚实的理论基础。再如，经计算初步得出的收盘价数 据流关联维数d 2 = 4 1 3 5 5 ，说明至少需要五个以上变量可充分描述收盘价数据流 的基本动力学特性，从实际情况来看，这些变量主要包括经济增长率、利率、储蓄 率、通货膨胀率、股市的扩容和技术等。股票市场的非线性结构表明，股票市场的 信息是以非线性方式呈现，人们也以非线性的方式对信息作出反应，所有这一切 都将最终通过股票交易市场的交易活动反映在股票价格上，使其变化呈现出非线 性。因此应用非线性时间序列分析方法考察股票市场，对其混沌性、确定性和随 1 4 些室奎望查堂堡主兰焦堡壅 ! 墼立堕塑壁型塑j ! 垡堡! 逝 机性可以有更进一步的认识和理解，这对我国股票市场的健康持续发展具有重要 意义。 北京交通大学硕士学位论文 4 侦测股市时阃序列相关性的二种方法 4 1 引言 4 侦测股市时间序列相关性的三种方法 自2 0 世纪6 0 年代以来，一些学者为了研究需要，把分形数学开始引入到金融 经济中来。经过大量的深入研究分析，发现了证券市场中具有h 哪d o 雠数特征。 自此，分形学异军突起，在金融数学方面发挥了不可估量的作用，在自然科学研究 中占有重要的一席之地。这对现实证券市场及其他领域如：医学、地质学、天文学 等具有十分重要的理论指导意义。在此我们选取了美国股市标准普尔5 0 0 指数的收 盘价，从1 9 7 4 年8 月1 2 日至2 0 0 6 年4 月1 9 日共计8 0 0 0 天的标准普尔指数日收 盘价( 数据来自h t t p ：c 1 1 丘n a n c e y 曲o o c o m 网站) 时间序列( 如图7 ) 作为研究对象。 运用消除趋势波动分析方法，方差方法及重标极差方法进行分析，以侦测它的相关 性。方差方法与重标极差方法中的序列相关性与h l l r s t 指数大小有关系。消除趋势 波动分析方法中序列的相关性是通过标度指数。来体现的。当0 5 口1 时，时间 序列具有状态持续性；当o a 0 5 时，时间序列具有状态反持续性；当a l 时，序 列的相关性不再是幂律形式。特别地，a = 0 5 时，序列是一个独立过程；当a = 1 时， 时间序列相关性与 噪音相似；当口= 1 5 时，时间序列的相关性与布朗噪音相似。 相关性通常与金融调控政策的影响有关系。研究这些，对我们研究金融数学的长 足发展起到了一定指导作用。 田7 标准普尔5 0 0 指数日收盘价波动田 f i g7c l o s i n gp r i c eo fs & p 5 0 0 北京交通大学硕士学位论文4 侦测股市时间序列相关性的二种方法 4 2 消除趋势波动分析( d e t r e n d e df l t u a t i o na n 由s i s ，简记d f a ) d f a 自从p e n g 等人【1 3 j 在1 9 9 4 年提出以来，已成功的应用在许多领域口4 l 钉。如： d n a 序列、心率动力学、云层结构、地质学及经济学领域。此方法是根据脱氧核 糖核酸d n a 机理提出的分析幂律函数关系的方法，它能测出陷入在表面看来为非 平稳时间序列中的长程相关性，可消除人造非平稳时间列中的伪相关现象，比常 规的谱分析、r s 分析更具有优越性【1 6 】。 近几年消除趋势波动分析( d f a ) 方法在噪声序列、非平稳时自j 序列上探测分 形标度特性与长程相关性分析中成为广泛使用的技术。对给定长度为的序列 f 钆 = 1 ，2 ，) ，d f a 方法的般过程如下1 1 3 - 1 7 3 ： 第一步通过求和把原序列归并成一个新的轮廓序列 o ) ；陋k 一 l ，a = l ，2 ，) 式中 是序列 z k 的平均值。 第二步把轮廓序列 y ( t ) ) 分割成长度为s 的也= l m ( s ) 个不相交的等长予 区间。但因序列长度通常不是分割跨度s 的整数倍，一般对轮廓序列末端剩余的 一小部分保留待用。若为了这一小段末端剩余的部分不至于被忽略，可以从原轮 廓序列末端开始往回重复分割一次。这样就可以一共获得2 虬个( 当为s 的整数倍 时，只要虬个) 等长子区间。 第三步通过最小二乘法拟合每一子区日j 口上的局部趋势函数砖( j ) ，其中砖0 ) 是七阶多项式。七可以为1 ，2 ，等( 一般记为删l ，d 蹦2 ，) ，消除子区间u 中的 局部趋势，得其消除趋势序列 磊u ) ；k 0 ) 巧砷0 ) ，0 = l ，2 ，s ) 第四步分别计算2 m 个消除趋势子区间序列的平方均值 即瑚= = ；骞旧洲 这里口= 1 ，2 ，2 。进而求这2 他个庐( s ，口) 的均值的平方根。 1 7 北京交通大学硕士学位论文4 侦型堕塑堕塑壁型塑丝堕三登查堡 t 2 肌 删= 【焘善脚，蚶 ( 加) 第五步在双对数图中分析波动函数，0 ) 与s 的关系 p ( s ) o o 矿 式中n 为消除趋势阶数，口为标度指数，它体现序列的相关性。 通常波动函数值f n ( 。) 是分割长度s 的增函数。作出1 0 9 ( f “( 8 ) ) 对1 0 9 ( s ) 的函数 关系图，求出1 0 9 ( p ( s ) ) 相对于1 0 9 ( s ) 的变化斜率，其斜率即为所得的标度指数口。 田8 崦( p ( s ) ) 一1 0 9 ( s ) 美系 f i g8鼬h t i o 璐h i pb e 锄日瞰1 0 9 ( p 0 ) ) 锄d1 0 9 ( s ) 图8 所示为双对数豳数图。收盘价先经取对数进行了处理，然后根据d f a 方 法编程1 1 目进行计算口为0 7 3 3 5 ，说明标准普尔5 0 0 指数的时日j 序列具有状态持续性， 也即它具有长期记忆性的特征。从理论上讲，现在所发生的一切将一直影响未来 用混沌动力学的术语来说，既存在着对初始条件的敏感性。 4 3 方差法和r s 分析 下面分别运用第三章内容方差法和r s 分析得到相关性指数。图9 是以横坐标 为m 纵坐标为y n r 忡) ) ，在平面内通过最小二乘法用一条直线拟合图上的点而 1 8 北京交通大学硕士学位论文4 侦测股市时问序列相关性的二种方法 成。我们用口( 一1 口 o ) 表示直线斜率，其值显示相似性，并且相似程度可 以由矗= 1 2 给出。在p 么r ( x ( 嘲) 一m 关系图中，可以很容易的得到斜率为 0 3 3 ，h m s t 指数的估计值大约为o 8 3 5 。因此得出结论：标准普尔5 叩指数日收盘价 数据流具有自相似性，也就是分形性质。另外h u r 8 t 指数也可以通过r s 分析法得 出，其大小表示长程相关性。 匡盈 v = 一0 j 3 + 1 j h - 5 ”。1 m 朋9 v r ( x 忡) m 美景 f i g9m h t i o 璐h i p b e 胁e ny 吖) 柚dm 本文利用m a t l a b 程序对采样进行处理，从1 9 7 4 年8 月1 2 日至2 0 0 6 年4 月1 9 日间 隔为一天的时间序列取8 0 0 0 个采样点进行计算，可以得到其1 0 9 ( 善) ，一l 0 9 r 关系， 如图1 0 所示。 翟1 0 l o g ( 善) ，1 0 9 r 若系 f i g1 0i l e l a t i o 鹏h i pb e 细e 吼1 0 9 ( 暑) ，a n d1 0 9 r 对图1 0 中的数据，通过最小二乘法回归计算得到其h 1 】r 8 t 指数日= 0 7 9 8 8 。由 于计算得到的h u r 8 t 指数大于o ，5 ，根据第三章结论( 2 ) ，不难得出：标准普尔5 0 0 指数 1 9 一；xjj墨 北京交通大学硕士学位论文4 侦测股市时间序列相关性的二种方法 收盘价数据流时间序列具有较强的正相关性和长记忆性，它的长程相关性( l o n g - t e md 印e n d e n c e ) 是其自相似性产生和存在的根源。 4 4 结论 通过本文的研究，初步获得了一些结论，总结如下： 1 1 收盘价数据流具有自相似性。 2 ) 收盘价数据流具有长程相关性。通过对收盘价数据流时问序列r s 分析和 h 1 l r s t 指数( h u r 8 t 指数大于o 5 ) 的计算，发现收盘价数据流具有较强的正相关性和 长记忆性。 3 ) h 值远较0 5 要高，表明美国股票市场不仅不是遵循随机游走的完全正态市 场，而且其市场的持续性趋势还相当强烈，是一个有偏随机游走。 4 ) d f a 方法中的标度指数与r s 方法中的h l l r 8 t 指数都是用来检验时间序列的 相关性。只是d f a 方法可消除人造非平稳时自j 序列的伪相关现象，d f a 方法优 于r s 方法。 5 ) 结果表明，我们用这三种方法研究同一股市得到的结论是一致的：标准普 尔5 0 0 股市具有长程相关性特征。 上述结论具有一定的实际意义。例如，收盘价数据流变化具有较强自相似性 的结论为其短期预测奠定了坚实的理论基础。本文运用了方差方法、重标极差方 法及消除趋势波动分析方法对同一股市进行分析，结果表明：标准普尔5 0 0 股市具 有标度不变性，这种特性是市场中的一个重要特性，而这种特性在传统的金融数 学理论中没有得到应有的重视，标度不变性反映了市场中价格变化的相似性和相 关性，它改变了金融理论的传统研究方法，要求人们在不同的时间标度上考虑整 个金融市场的行为。股票市场的非线性结构表明，在股票市场上，人们对信息的 消化和吸收是非均衡的，同时其具有非对称性：造成交易者对信息理解的不一致， 股票价格不能及时调整到新信息所反映的真实水平，拥有最新关于未来价格信息 的知情者或能对新信息迸行合理解读的投资者，将对价格趋势有较好的把握。此 三种方法对金融市场健康发展将有不可磨灭的作用。 2 0 北京交通大学硕士学位论文 5 侦测金融危机的多重分形方法 5 侦测金融危机的多重分形方法 5 1 金融危机的研究简介 学者们一致认为资本市场是有效的，仅仅一些负面信息可以引起波动。线性理 论第一次出现在s 锄u e k o n ( 1 9 6 5 年) 和f h m a f l 9 7 0 年，1 9 9 0 年) 的文章中。就分析而 言，这种信息的概念已经被严格的定义。就统计而言，随机游走理论已经被概括为 一般性的i t 0 过程。但看似这种线性范式是不能很好的用来解释广泛散布在金融市 场上的重大事件。如今又有一些一般的方法来解释资本市场的动力学行为。此外各 种各样的文章都在专注于经典的经济观点，例如c o m e u ( 1 9 7 7 年) ，f i a n k e l ( 1 9 8 0 年) 以及s h a r p ( 2 0 0 3 年) 等，他们运用了很多非线性技术，来寻找不同经济系统的确定 性和混沌性( h i l b o m ，1 9 9 4 年，k t z ，s c h r e i b e r l 9 9 7 年，b l e 龃e y l 9 9 6 年等) 以及市 场中的细节。最后，b 酏e r 和h i l b o m 发明了一种能够给出金融时间序列许多有效信 息的分形和重分形技术。此外，资产收益率的重分形模型也已经被发展( m a n d e l b r o t 等人1 9 9 7 年) 。金融市场研究的关键环节是在1 9 9 7 年由m 觚t e g i i a 和s t a n l e y 提出的， 证明了金融数据满足稳定的i j e v i 分布。在接下来的一些文章中( s t 眦l e y ，2 0 0 1 年， m a n t e g n a ，2 0 0 0 年) ，研究了股票的累积分布，得出股市在其尾部分布具有幂律形 式。这便给出了对于所要研究的数据具有尺度特性的依据。 这个重要的步骤产生了运用多重分形理论去分析各种不同的金融模型。在本 文我们运用了m a t l a b 来进行数据分析，并且按如下结构安排：在第二部分，我 们简要的回忆下分析函数重分形方法一h 6 l d e r 指数，然后设计了一个算法去计 算h 6 l d e r 指数，并通过w j r i 8 t r 8 b 函数证明了其有效性；在第三部分，两个金融市 场( 香港和深圳股票市场) 的h 6 l d e r 指数通过上述算法被很好的给出，并且我们通 过指数分布找到了一些很好的结果；最后结论放在了第四部分。 5 2 局部h 6 1 d e r 指数 函数( 数据) 通常被认为是分形，如果它的图形显示如下的性质：( 局部) 自相 似，不规则，好的结构和分形维数。一个函数在不同的点处显示各种局部标度被 认为多重分形。我们先简要的回忆一下关于多重分形的理论。在重分形分析中基 本的数据表达就是所谓的h n d e r 指数。之后成为在许多领域解决不规则和快速震 动数据的信号处理工具。h 6 l d e r 指数捕捉了局部重分形信息，而全局的重分形通 过h 6 l d e r 指数的几何和随机分布来描述，如多重分形谱。在这里我们关注金融数 2 1 北京交通大学硕士学位论文 5 侦测金融危机的多重分形方法 据流的局部分形性，因此h f h d e r 指数成为我们最主要的数据工具。另外在研究中 使用h 6 l d e r 指数的原因是它在实际的时间试验中相对容易估计。函数的h 6 l d e r 指 数是一个局部特性，由