（金融学专业论文）倒向随机微分方程在传统寿险定价方面的应用.pdf

摘要 经过几十年长期曲折的发展，我国寿险业对国民经济的作用日益显著，这主 要表现在以下三个方面：( 1 ) 人寿保险公司数目的逐步增加。( 2 ) 人寿保险公司 保费规模的快速增长。( 3 ) 人寿保险的赔付规模的扩大与保险深度的增加。从目 前寿险业发展的情况来看，随着政府相关政策的变动与金融产品的创新，可进行 直接投资的领域与资产日益增多，这使得寿险资金合理有效地运用成为了各保险 公司相互竞争的关键，建立一个能够将投资与寿险产品定价相结合的模型显得十 分重要。 倒向随机微分方程的是一个上世纪9 0 年代才发展起来的理论，它研究的主要 内容是：在一个有随机干扰的环境下，为了未来能够达到预期的目标，当前时刻 应该如何进行决策。虽然关于倒向随机微分方程的研究起步较晚，但是由于其良 好的数学性质与特殊的数学思维，在期权定价等方面已经得到了较为广泛的运用， 但在寿险定价方面才刚刚开始。石玉凤( 2 0 0 6 ) 运用倒向随机微分方程理论对寿 险保单定价进行了研究，得到了投资结构与保费的解析表达式，并进行了实证分 析。虽然该模型对投资与定价之间的互动关系进行了描述，但仍有以下几点不足： ( 1 ) 没有对影响定价的相关因素进行详细分析。( 2 ) 该研究所给出的实证数据并 没有根据我国实际情况或者按照精算要求给出。针对以上几点，本文在前人的基 础上，以常数期末资产份额为利润目标的特例作为研究对象，进行以下研究：( 1 ) 对影响定价的各因素进行分析，将通胀率等因素考虑进定价模型，以实际数据为 基础，无法得到的数据以满足精算规定为前提，进行实证分析。( 2 ) 在对保单定 价时，并不直接使用保费定价公式，而是在求出投资结构的基础上，结合计算机 技术与迭代思想，对传统寿险保单类型的均衡保费与趸缴保费进行研究。 通过理论与实证分析，本文得到以下几个结论：( 】) 通过对我国1 9 9 0 年1 月 至2 0 0 9 年6 月的c p i 同比月度数据的分析，发现a r i m a ( 2 ，1 ，0 ) 模型能够很好的 描述我国通货膨胀的变化趋势。实证结果还表明：保险人在设定利润目标、保险 金额，估计营业费用时必须考虑未来有效保单年度内的通胀水平，否则将会给合 同双方带来不同程度的利益损失。( 2 ) 在无风险资产瞬时收益率，风险资产投资 组合瞬时收益率与波动率已知的情况下便可以得到u ( f ) ( f 时刻可进行投资的资金 数额) 与r ( ，1 ( ，时刻投资与风险资产组合的资金数额) 所占期末资产份额的比率， 并且该比率的大小与目标利润的大小无关。( 3 ) 风险资产投资组合的投资资金数 额的理论表达式与实证结果都表明：随着无风险资产瞬时收益率的上升，投资于 风险资产组合的资金数额占目标值的比率也随之增加。同样我们还可以发现，当 风险资产投资组合瞬时收益率上升，其他情况保持不变时，投资于风险资产投资 组合的资金数额占目标值的比率将会下降。( 4 ) 在其他条件不变的情况下，保险 人需要提高保费来达到一个更高的利润目标。这与倒向随机微分方程的比较定理 相吻合，进一步说明了将其应用于寿险定价的合理性。 综上所述，本论文对以确定的期末资产份额为利润目标的传统寿险类型的保 单定价进行了详细的分析与求解，并进行了实证分析。在未来研究里，随着对寿 险定价理论与寿险实务了解的加深，我们可以在考虑到准备金等其他要求的情形 下，运用倒向随机微分方程与现代计算机技术对不同利润目标的保单、新型寿险 产品类型的保单、半连续式保单类型的保单、再保险保单等进行定价分析。 关键词：倒向随机微分方程寿险定价伊藤引理 a b s t r a c t a f t e rd e c a d e so fd e v e l o p m e n t ，l i f ei n s u r a n c ei n d u s t r yi nc h i n ah a sb e c o m e i n c r e a s i n g l yi m p o r t a n t ，m a i n l ys h o w n i nt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ：( 1 ) t h ei n c r e a s eo f t h en u m b e ro fl i f ei n s u r a n c ec o m p a n y ( 2 ) ar a p i dg r o w t ho ft h ep r e m i u m so fl i f e i n s u r a n c e ( 3 ) t h ei n c r e a s ei nt h ei n s u r a n c e s c a l ea n dd e p t ho fl i f ei n s u r a n c e b a s e do n t h ec u r r e n ts i t u a t i o n ，w i t ht h ec h a n g eo fr e l e v a n tp o l i c i e sa n df i n a n c i a lp r o d u c t i n n o v a t i o n ，t h en u m b e ro ff i e l do fd i r e c ti n v e s t m e n ti sg r o w i n g ，w h i c hm a k e sw h e t h e r o rn o tl i f ei n s u r a n c ef u n d sh a v eb e e nu s ee f f e c t i v e l yk e yf a c t o rt ot h ec o m p e t i t i o n t h e r e f o r e ，b u i l d i n gam o d e lt h a tc a nc o m b i n el i f ei n s u r a n c ep r o d u c tp r i c i n gm o d e l sa n d i n v e s t m e n ti sv e r yc r u c i a l b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，at h e o r yd e v e l o p e di nl a s tc e n t u r y9 0 p e r i o d ，t e l l su sh o wt od e c i d en o wf o rf u t u r ei nar a n d o m l yi n t e r f e r e n c ee n v i r o n m e n t w h i l et h es t u d yo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss t a r t e dl a t e ，i th a sb e e n w i d e l yu s e di no p t i o np r i c i n gd u et oi t sg o o dn a t u r ea n ds p e c i a lm a t h e m a t i c a lt h i n k i n g h o w e v e r , i ti sb a r e l yu s e di nt h el i f ei n s u r a n c ep r i c i n ga r e a y u f e n gs h i ( 2 0 0 6 ) u s e dt h e t h e o r yo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt os t u d yt h ep r i c i n go f l i f ei n s u r a n c e ， r e a c h e da n a l y t i c a le x p r e s s i o na b o u tt h ei n v e s t m e n ts t r u c t u r ea n dt h ep r e m i u ma n d c o n d u c t e da ne m p i r i c a la n a l y s i s a l t h o u g ht h em o d e li s a ni n t e r a c t i o nb e t w e e n i n v e s t m e n ta n dp r i c i n g ，t h e r ea r es o m ew e a k n e s s e s ：( 1 ) d on o ta n a l y z ea l lt h ef a c t o r s t h a tc a na f f e c tp r i c i n g ( 2 ) t h ee m p i r i c a ld a t ag i v e nb yt h ei n s t i t u t i o ni sn o ti n a c c o r d a n t ew i t ha c t u a lc o n d i t i o n s t os o l v e t h e s ep r o b l e m s ，t h i sd i s s e r t a t i o nh a ss t u d i e d t h ee x a m p l e st h a tk e e p i n gc o n s t a n tc l o s i n gb a l a n c ea sg o a l sa n dc o n d u c t e ds o m e a n a l y s i s ：( 1 ) a n a l y z ev a r i o u sf a c t o r sa f f e c t i n gp r i c i n ga n a l y s i s f o ri n s t a n c e ，w et a k e i n t oa c c o u n tt h ei n f l a t i o na n dc o n d u c t e dt h ee m p i r i c a la n a l y s i so na c t u a ld a t aa sm u c h a sp o s s i b l e ( a s s u m et h a ta l lt h eu n a v a i l a b l ed a t am e e tt h er e q u i r e m e n to fp r i c i n g ) ( 2 ) d on o tu s ep r e m i u mp r i c i n gf o r m u l ad i r e c t l y , b u tr a t h e rb a s e do nt h ei n v e s t m e n t s t r u c t u r e ，u s i n gc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n di t e r a t i v es t r u c t u r et os t u d yt h eb a l a n c eo f p r e m i u m sa n dw h o l e s a l ep r e m i u mo f t r a d i t i o n a lt y p eo fl i f ei n s u r a n c ep o l i c i e s t h r o u g ht h e o r e t i c a la n de m p i r i c a la n a l y s i s ，w er e a c ht h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ：( 1 ) t h r o u g hd a t aa n a l y s i so ft h ec p io fc h i n af r o mj a n ，19 9 0t oj u n e ，2 0 0 9 ，w ef i n dt h a t o u rm o d e lc a nw e l ld e s c r i b et h et r e n do fi n f l a t i o n t h er e s u l t sa l s os h o wt h a tt h ei n s u r e r n e e dt ot a k ei n t oa c c o u n tt h ei n f l a t i o nw h e nt h ei n s u r e rw a n t st os e tu pp r o f i tt a r g e t s ， i n s u r a n c ea m o u n ta n do p e r a t i n ge x p e n s e s o t h e r w i s e ，i tw i l ll e a dt ov a r i o u sl o s s e so f 3 p r o f i t s ( 2 ) w h e ng i v e nt h ep o r t f o l i oa n dv o l a t i l i t yo fr i s k ya s s e ta n dt h ei n s t a n t a n e o u s r a t eo fr e t u r no fr i s k f r e ea s s e t ，w ec o u l dr e a c ht h ep o r t f o l i oo f ( a m o u n to ff u n d s a v a i l a b l et oi n v e s t ) a n d ( a m o u n to ff u n d st h a tu s e di ni n v e s t m e n to rr i s k ya s s e t ) t ot h e a s s e t sa tt h ee n do fy e a r a n dt h i sr a t i oh a sn o t h i n gt od ow i t ht a r g e tp r o f i t ( 3 ) b o t ht h e t h e o r ya n de m p i r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ：w i t ht h ei n c r e a s eo fi n s t a n t a n e o u sr a t eo fr e t u m o fr i s k f r e ea s s e t s t h er a t i ot h a tr i s k ya s s e ti n v e s t m e n tt ot a r g e tn u m b e rd e c r e a s e s a t t h es a m et i m e ，w ef i n dt h a tk e e pe v e r y t h i n ge q u a l ，w h e nt h ei n s t a n t a n e o u sr e t u r nr a t eo f r i s k ya s s e ti n c r e a s e ，t h ep e r c e n t a g et h a tt h ei n v e s t m e n tp o r t f o l i oo fr i s k ya s s e t st ot a r g e t n u m b e rd e c r e a s e s f 4 ) a s s u m i n gt h a to t h e rc o n d i t i o n sr e m a i nt h es a m e ，i n s u r e r sn e e dt o r a i s ep r e m i u m st oa c h i e v eah i g h e rp r o f i tt a r g e t t h i sa g r e e sw i t ht h ec o m p a r i s o n t h e o r e mo fb a c ks t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n ds t a t e st h a ti ti sr e a s o n a b l et ou s e t h a tf o rp r i c i n go fl i f ei n s u r a n c e i nc o n c l u s i o n ，w eh a v ec o n d u c t e dd e t a i l e da n a l y s i sa b o u tp r i c i n go ft r a d i t i o n a ll i f e i n s u r a n c ea n de m p i r i c a la n a l y s i s i nt h ef u t u r e ，w i t hg a i n i n gh i g he x p o s u r eo fp r i c i n g t h e o r yo fl i f ei n s u r a n c ea n dp r a c t i c e s ，w ec o u l dc o n s i d e rt oe x p a n dt h i sm o d e lt oo t h e r s i t u a t i o n ：d i f f e r e n tp r o f i tt a r g e t si n s u r a n c ep o l i c y , t h en e wt y p eo fi n s u r a n c ep o l i c yl i f e i n s u r a n c ep r o d u c t s ，s e m i c o n t i n u o u st y p eo fi n s u r a n c ep o l i c i e s ，r e i n s u r a n c ep o l i c i e se t c k e yw o r d s ：b s d e l i f ei n s u r a n c ep r i c i n g i t o sl e m m a 4 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得江西财经大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：捌l 一日期：严 关于论文使用授权的说明 本人完全了解江西财经大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 签名： 立数导师签名：幽型 日期：蝉：垒：! 厶 k r 、 1 导言 1 导言 1 1 研究背景与选题意义 1 9 4 9 年6 月，中国独立开办了第一家保险公司中国人民保险公司，该保 险公司在很长的一段时期内都处于一个垄断的地位。随着时间的推移，我国社会 环境的变化，保险行业取得了长足的发展，保险公司的数目在不断地增加，产品 种类日益丰富，竞争变得十分激烈。与此同时，从国际的角度上来看，世界已经 进入了经济全球化，金融一体化的时代，各种风险因素涌现，保险业作为经营风 险，为被保险人提供风险保障的一个特殊的金融服务业，其对国民经济的发展与 稳定发挥着越来越重要的作用，这主要体现在两个方面：一是在经济补偿与社会 管理方面。赔付数额与赔付比率在逐步增加，尤其是在重大灾害发生后，对社会 的稳定起了很大的作用；二是社会经济发展与资金融通方面。保费收入的不断增 加使得可投资资金也在不断增加，总体经济的扩张加速。寿险业作为保险行业中 的一部分，其作用也日益显著，下面将从三个方面进行阐述。 ( 1 ) 人寿保险公司数目递增。 1 9 8 6 年以前，中国仅仅只有中国人民保险一家保险公司，直至1 9 9 1 年才初步 形成了以中国人民保险公司、中国平安保险公司和中国太平洋保险公司为组成的 中国保险市场。通过保险业长期的发展，市场主体正逐步增加，当然其中还包括 一些外资公司的加入。截至2 0 0 8 年1 2 月，我国境内共有人寿保险公司5 6 家，其 中中资公司3 0 家，外资公司2 6 家。( 2 0 0 4 2 0 0 8 年人寿保险公司数目统计数据见 表1 1 ) 表1 1 中国人寿保险公司数目统计 年份2 0 0 4 2 0 0 52 0 0 62 0 0 72 0 0 8 人寿保险公司数目 2 84 34 45 35 6 中资公司数目91 92 02 93 0 外资公司数目 1 92 42 42 42 6 资料来源：中国保险监督管理委员会网站自行整理所得。 ( 2 ) 人寿保险公司保费规模增长。 我国寿险业发展的一个直接体现就是保费规模的迅速扩张。据统计，2 0 0 8 年 年底的寿险业保费收入为7 3 3 7 5 6 6 7 3 5 万元，是2 0 0 4 年的2 3 0 倍，年均增长率为 2 3 1 2 。( 2 0 0 4 - 2 0 0 8 年人寿保险公司保费收入数据见表1 2 ) 倒向随机微分方程在传统寿险定价方面的应用 表1 2 中国人寿保险公司保费收入统计( 单位：万元) 年份2 0 0 42 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 72 0 0 8 人寿保险公司3 1 9 3 5 8 5 9 2 13 6 4 6 2 2 7 2 9 34 0 6 1 0 9 0 1 2 24 9 4 8 9 6 8 1 1 87 3 3 7 5 6 6 7 3 5 保费收入 增长率 1 4 1 7 1 1 3 8 2 1 8 6 4 8 2 6 资料来源：中国保险监督管理委员会网站白行整理所得。 ( 3 ) 人寿保险公司对国民经济的影响程度日益加深。 人寿保险对国民经济的影响衡量主要有两个指标，一个是人寿保险的赔付规 模，另外一个是人寿保险的保险深度。人寿保险的赔付规模主要衡量的是其对社 会经济损失的补偿能力，人寿保险的保险深度( 寿险保费收入占当年g d p 的比重) 主要衡量的是其在宏观经济中的相对规模。随着我国寿险公司的发展，其在国民 经济中的地位越来越重要，作用和功能逐步正得到发挥。据统计，2 0 0 8 年年底， 人寿保险的赔付规模是1 5 5 2 8 3 3 5 2 6 万元，是2 0 0 4 年的3 5 5 倍，年均增长率为 3 7 3 0 。从寿险业的保险深度来看，到2 0 0 8 年年末，寿险业的保险深度达到了 2 4 4 ，是2 0 0 4 年的1 2 2 倍，年均增长率为5 1 2 。( 2 0 0 4 - - - 2 0 0 8 年人寿保险公司 保费赔付与保险深度数据见表1 3 、1 4 ) 表1 3 人寿保险公司保费赔付统计( 单位：万元) 年份2 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 72 0 0 8 赔付支出4 3 6 9 1 7 7 1 94 5 7 9 2 2 6 5 91 4 3 8 4 6 3 8 7 51 2 4 4 7 4 4 5 9 215 5 2 8 3 3 5 2 6 增长率4 8 1 2 1 4 1 3 1 3 4 7 2 4 7 5 ( 同比) 资料来源：中国保险监督管理委员会网站自行整理所得。 表1 4 人寿保险公司深度统计 年份2 0 0 42 0 0 52 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8 深度1 9 9 8 1 9 9 0 1 9 1 6 1 9 2 4 2 4 4 g d p ( 亿元) 15 9 8 7 8 3 01 8 3 2 1 7 4 02 1 1 9 2 3 5 02 5 7 3 0 5 6 03 0 0 6 7 0 o o 深度增长率o 3 7 3 7 1 o 3 7 2 6 8 8 资料来源：中国保险监督管理委员会网站自行整理所得。 通过以上分析可以发现我国寿险业对国民经济发展的重要程度同益加深，而 寿险公司生存与发展的关键又是对寿险产品准确合理的定价，所以，我们有必要 1 导言 对定价方法进行关注和研究。同时，我们又知道，目前保险资金的运用不仅仅只 局限于银行存款等方面，它已经可以投资于金融领域里的其它的一些金融产品， 因此保单的定价除了会受到银行利率、死亡率等因素影响外，肯定还会受到其它 风险投资收益的影响。并且，从发展的角度上来看，保险业与金融投资的关系今 后也会越来越密切，所以得出一个能够同时反应利率，死亡率，退保率，通胀率， 投资结构的模型十分重要。 1 2文献综述 1 2 1寿险定价文献综述 由于上世纪7 0 年代的高通胀与利率上扬等现实情况与传统的精算假设并不吻 合，大量学者开始了对寿险精算理论与技术的深入研究。 在利率假设方面，b o y l e ( 1 9 7 6 ) 研究了寿险与年金中死亡率与利率均为随机 的双随机性情况。p a n j e r 和b e l l h o u s e ( 1 9 8 0 ，1 9 8 1 ) 建立了随机利率的一般理论。 随后有不少学者以时间序列方法与摄动方法等建模对随机利率进行研究。在通货 膨胀方面，d e b a b b e l ( 1 9 7 9 ) 根据净成本收益比建立了一个模型去衡量寿险成本 ( 保费) ，并且依据此模型，采用数学的微分方法研究了通货膨胀对寿险成本的影 响。模型表明，当规章不允许保险人将较高的利率纳入非分红保单条款时，通胀 预期与较高的寿险保障真实成本有关，所以该文章认为，在消费者不存在任何形 式的货币幻觉的情况下，当非分红寿险类型的保费和保险金额所作的调整不足以 弥补通货膨胀率的变动所导致的投保人的损失时，通货膨胀率的上升总会导致非 分红寿险保障成本的上升1 。n e c a m e r o n ( 1 9 8 7 ) 调查了为了弥补通货膨胀给保险 客户带来的损失，分红寿险保单持有人的保单收益的调整幅度。以加拿大保单作 为样本进行的研究表明，6 0 年代尤其是7 0 年代，加拿大的这种保单的收益几乎没 调整，发生这种情况的原因是从通货膨胀发生到保单分红需经历多个环节，每一 个环节都会有显著的时滞，这样就使得保单红利的变动远慢于通货膨胀的变动。 同时该文还认为，在未来这种时滞可能不会发生甚至可能对保险客户有利2 。我国 学者楚军红( 1 9 9 7 ) 对寿险反通胀措施进行了探讨，并认为适度的通货膨胀有利 于寿险业的发展，也有利于寿险经营的稳定。 随着金融市场与寿险市场的发展，保险资金可进行投资的金融产品日益丰富， 于是从上世纪7 0 年代开始，国外就有学者研究将保险定价与金融资产定价相结合 的保单定价方法，其中绝大部分都是以期权定价模型为基础来进行分析的。b r e n n a 1 楚军红：通货膨胀与中国的人寿保险。北京大学出版社，第1 版，1 9 9 8 年6 月，p 1 5 2 楚车红：通货膨胀与中国的人寿保险，北京大学出版社，第l 版，1 9 9 8 年6 月，p 1 6 3 倒向随机微分方程在传统寿险定价方面的应用 与s c h w a r t z ( 1 9 7 6 ) 运用了期权定价模型对有可变保证的生存保险的趸缴保费进 行了研究。随后，b a c i n e l l o 与o r t u ( 1 9 9 3 ) 将随机利率引入了该模型。a a s e 与p e r s s o n ( 1 9 9 4 ) 又在b r e n n a 与s c h w a r t z 的基础上提出了一个连续型的保单定价模型。 g m s e n 与j o r g e n s e n ( 2 0 0 0 ) 采用修正的b l a c k m e n o n s c h l o e s 模型与蒙特卡洛方法 分析了具有最低保证收益率的分红保险。b a c i n e l l o ( 2 0 0 2 ) 以期权定价模型为基础， 分别讨论了趸缴和分期均衡支付保费的投资连接两全保险的费率厘定问题。阙紫 康( 2 0 0 0 ) 研究了保险的定价风险，认为其产生的根源是保险人的信息不完全， 同时还在一般意义上讨论了保险定价风险防范的方法。王玉梅和胥会平( 2 0 0 2 ) 采用偏微分方程方法与推广的期望贴现方法，运用期权定价理论对两类投资连接 保单定价进行了分析，并得到了解析解。石玉凤，王立杰( 2 0 0 5 ) 运用倒向随机 微分方程建立动态资产份额定价理论模型，对资产份额定价法进行了改进，并且 求得了保单定价的理论公式，但结果过于抽象。随后，石玉风( 2 0 0 6 ) 对此进行 了进一步分析，得出了保单定价的解析解。 1 2 2 倒向随机微分方程理论文献综述 倒向随机微分方程的是一个9 0 年代才发展起来的理论，到目前为止已经获得 了一定的研究成果。它研究的主要内容是在一个有随机干扰的环境下，为了未来 能够达到预期的目标，当前应该如何去做的问题，与经典的正向随机微分方程相 比，是一个新兴的领域。倒向随机微分方程的线性形式首先由b i s m u t ( 1 9 7 8 ) z j i 入。 后来，p a r d o u x 与彭实戈( 1 9 9 0 ) 在b i s m u t 的基础上建立了非线性情况下的基本 框架，研究并证明了在l i p s c h i t z s 条件下的非线性倒向随机微分方程解的存在且唯 一。随后，彭实戈( 1 9 9 2 ) 又得出了非线性的f e y n m a n n k a c 公式，从而使反应扩 散方程和n a v i e r - s t o k e r 方程等重要的非线性偏微分方程得以解决。在经济领域中， d u 衔e 与e p s t e i n ( 1 9 9 2 ) 提出了一个典型特例用来描述在不确定的经济环境下的 消费偏好。k a r o u i 和q u e n e z ( 1 9 9 5 ) 认为衍生证券的价格可用倒向随机微分方程 解出，并且系统总结了倒向随机微分方程在金融中的应用。随着倒向随机微分方 程广泛的应用与理论研究的深入，出现了一类正倒向随机微分方程。a n t o n e l l i ( 1 9 9 3 ) 首先对其进行了研究。马进、p r o t t e r 和雍炯敏( 1 9 9 4 ) 在特定的条件下 证明了解的存在唯一性。与此同时，由于相当多的倒向随机微分方程是无法得出 解析解的，因此对该方程的数值解法得到了广泛的研究。 4 1 导言 1 3 研究思路与主要创新 1 3 1 研究思路 首先，本论文给出寿险实务中常用的一些定价方法，并且分析它们的优缺点。 其次，对我国影响定价的各因素进行分析，给出模型中各因素的设想。接着，给 出倒向随机微分方程的定义，分析其性质，从理论上阐述将倒向随机微分方程理 论应用于寿险产品定价的合理性。再来，以合理的假设为前提，以随机过程为基 础，建立模型，推导并分析公式。最后，进行实证分析。采用实际数据，结合m a t l a b 语言编写程序，给出定价，同时从数据上进一步验证其理论性质。 1 3 2 主要创新 倒向随机微分方程是一种新的定价方法，它在寿险定价方面的运用才刚刚开 始，有很多值得研究与改进的地方。石玉凤( 2 0 0 6 ) 运用倒向随机微分方程理论 对寿险保单定价进行了研究，得到了投资结构与保费的解析表达式，并进行了相 关实证分析。虽然该模型较完美的诠释了投资与定价之间的互动关系，但是仍有 以下几点不足： ( 1 ) 没有对影响定价的相关因素进行详细分析。如：没有将通货膨胀等因素具 体的考虑进所建立的定价模型。 ( 2 ) 该研究所给出的实证数据并没有根据我国实际情况或者按照精算要求给 出。 针对以上几点，以利润目标为常数的特例为研究对象，进行以下改进： ( 1 ) 本论文对影响定价的各因素进行了分析，将将通胀率等因素考虑进了定价 模型，以实际数据为基础，对无法得到的数据以满足精算规定为前提，进行了实 证分析。 ( 2 ) 石玉风( 2 0 0 6 ) 在运用倒向随机微分方程进行定价时，首先设定了每个年 度的利润目标，根据这些设定的利润目标进行每个保单年度的保费定价。在该文 给出的具体算例中，由于所设定的利润目标是一个递增的趋势，导致每个保单年 度所收取的保费也呈现出一个递增态势，然而投保人所获得保险金额却没有相应 的得到提高，在这样的一个情况下，投保人退保的可能性非常大，定价思路与该 定价算例并不十分合理。所以，本论文在对保单定价时，并没有使用保费的定价 公式，而是在求出投资结构的基础上，结合计算机技术与迭代思想，对均衡保费 与趸缴保费进行了研究。 倒向随机微分方程在传统寿险定价方面的应用 1 4 论文结构 本论文共分为七章： 第一章：首先，简单地介绍了寿险业的发展情况，总体上阐述了本论文的选 题意义。其次，重点说明了寿险定价与倒向随机微分方程的国内外研究概况。最 后，阐明了本论文的研究思路与主要创新。 第二章：主要介绍了寿险定价实务中的定价方法，净保费加成法与资产份额 定价法，详细说明了它们的优缺点，并给出了相应的定价公式。 第三章：对影响定价的各因素进行分析，说明本论文中建立的寿险定价模型 中的各影响因素将如何给出，并解释原因。 第四章：简单地介绍了倒向随机微分方程的定义及其相关的性质，从理论上 说明了倒向随机微分方程应用到寿险定价研究中的合理性。 第五章：首先建立倒向随机微分方程模型，得出各期投资结构信息的理论解， 并对其进行分析。然后运用迭代的思想对各种保单类型进行定价。 第六章：给出算例，应用理论结果与计算机技术进行保单定价，并从数据上 验证相关性质。 第七章：首先，总结前六章的研究成果。然后，分析论文的不足之处，说明 未来的研究方向。 6 2 寿险定价介绍 2 寿险定价介绍 2 1基本概念 2 1 1趸缴保费与均衡保费 趸缴纯保费指的是投保人在投保时将保费一次性付清的情况。按照保险金支 付的时刻来划分，可以分为( 以终身寿险为例) ： ( 1 ) 离散型趸缴纯保费。 离散性趸缴纯保费的保险金在被保险人死亡所处的保单年度末进行支付。假 设被保险人在投保时的年龄为x 岁，取整余寿为k ( x ) 年，则其概率分布律为 p r ( k ( x ) = 七) = i 见吼+ i = 坤q x k = o ，1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 其中，。见表示( x ) 在七年后仍然生存的概率，q x + 。表示( x + 七) 将在未来1 年内 死亡的概率，柚吼表示( x ) 在七年后仍然生存，但在第k + 1 个保单年度内死亡的概 率。 设k + 。为在k ( x ) + 1 处所支付的保险金额，k + ，为在k ( x ) + 1 处给付的单位保 险金额在签单时的利息贴现系数，z 为给付保险金额在签单时的现值，则 z = k + l k + lk = 0 ，1 ，2 ， ( 2 1 2 ) 则离散型趸缴纯保费为( 即给付保险金额在签单时的精算现值) ： e ( z ) = 唯+ 。玩+ 。- q ， ( 2 1 3 ) k = 0 若保单保障并不是即时生效的，而是在保单签订一定年限后保险人才负有责 任的话，则式( 2 1 - 3 ) 要改写为 e ( z ) = 屹+ 。玩+ l 巾q ， ( 2 1 4 ) 七吉j i ， 其中，m 为延期的年限。 ( 2 ) 连续型趸缴纯保费。 连续型趸缴纯保费的保险金在被保险人死亡时即刻进行支付。假设被保险人 在投保时的年龄为x 岁，余寿为r ( x 1 年，则其概率密度函数为 力( ，) = f 以以+ f t 0( 2 1 5 ) 其中，p x 表示( 石) 在f 年后仍然生存的概率，以+ ，表示( x + f ) 时的死力，即瞬 时死亡率。 设坼为r 时刻的保险金额，坼为在丁处给付单位保险金额在签单时的利息贴 现系数，z 为给付保险金额在签单时的现值，则 z = 坼t 0 ( 2 1 6 ) 7 倒向随机微分方程在传统寿险定价方面的应用 则连续型趸缴纯保费为( 即给付保险金额在签单时的精算现值) ： e ( z ) = f v f 包，致以+ ，d t ( 2 1 7 ) 若保单保障并不是即时生效的，而是在保单签订一定年限后保险人才负有责 任的话，则式( 2 1 7 ) 要改写为 e ( z ) = e u 岛，见以+ ，d t ( 2 1 8 ) 其中，m 为延期的年限。 在趸缴纯保费的基础上再考虑费用与预定利润等其它因素的保费称为趸缴总 保费。 均衡纯保费指的是投保人在保单年度内以等额支付的方式支付的保费，它的 计算原理为：未来保险人给付保险金额的精算现值( 即趸缴纯保费) 等于投保人 缴纳纯保费的精算现值，其数学表达为 e ( l ) = o ( 2 1 9 ) 其中，三保费损失变量，即保险人给付金额现值与投保人缴纳纯保费现值之差。 同样，在均衡纯保费的基础上再考虑费用与预定利润等其它因素的保费称为 均衡总保费。 2 1 2 生存年金 生存年金以指定的领取人的生存为前提的，按照保单合同里确定的金额，以 定时间为周期进行一系列金额的给付。按照被保险人领取的方式可以分为( 以 终身生存年金为例) ： ( 1 ) 离散型生存年金。 离散型生存年金的领取人领取年金的方式是离散的。假设指定的领取人在投 保时的年龄为x 岁，在第j + 1 个保单年度初领取的年金为屯，b 为在第d + 1 个保 单年度初给付的单位年金在签单时的利息贴现系数，z 为给付的年金在签单时的 现值，则 z = 6 ，v s j = o ，1 ，2 ， ( 2 1 1 0 ) 则离散型生存年金签单时的精算现值为： e ( z ) = b ，见 ( 2 1 1 1 ) ，= 0 若保单保障并不是即时生效的，而是在保单签订一定年限后保险人才负有责 任的话，则式( 2 1 1 1 ) 要改写为 e ( z ) = 吩易，p x ( 2 1 1 2 ) ，；? l 其中，m 为延期的年限。 2 寿险定价介绍 ( 2 ) 连续型生存年金。 连续型生存年金的领取人领取年金的方式是连续的。假设指定的领取人在投 保时的年龄为x 岁，在时刻丁领取的年金为易，咋为在时刻丁给付的单位年金在签 单时的利息贴现系数，z 为给付的年金在签单时的现值，则 z = b t 叶t 0 ( 2 1 1 3 ) 则连续型生存年金在签单时的精算现值为： e ( z ) = 【6 f ，见出 ( 2 1 1 4 ) 若保单保障并不是即时生效的，而是在保单签订一定年限后保险人才负有责 任的话，则式( 2 1 1 4 ) 要改写为 e ( z ) 2 【k 岛，以西 ( 2 1 1 5 ) 其中，m 为延期的年限。 2 。1 3 人寿保险模型种类 按照保险人给付保险金的方式与投保人交纳保费的方式来分，有 ( 1 ) 全离散型人寿保险模型。 在全离散型人寿保险模型中，保险人在被保险人死亡的年度末进行保险金的支 付，投保人保费在每个保单年度初进行支付( 即期初付离散型生存年金) 。 ( 2 ) 半连续型人寿保险模型。 在半连续型人寿保险模型中，保险人在被保险人死亡时进行保险金的支付，投 保人保费在每个保单年度初进行支付( 即期初付离散型生存年金) 。 ( 3 ) 全连续型人寿保险模型。 在全连续型人寿保险模型中，保险人在被保险人死亡时进行保险金的支付，投 保人保费按连续型生存年金的方式进行缴付。 2 2 寿险定价方法 寿险产品的定价方法主要经历了两个阶段：第一个阶段是2 0 世纪6 0 年代以前 的净保费加成法；第二阶段是2 0 世纪6 0 年代以后资产份额定价法。 2 2 1 净保费加成法 在寿险业发展初期，寿险业主要采用的是净保费加成法。该方法在计算纯保 费时只考虑死亡率与利息率。确定了纯保费后，然后根据精算等价原理把费用和 预期利润分摊到每一年的纯保费上就确认总保费。下面给出根据此原理建立的几 。种传统的寿险产品的纯保费定价模型1 。 1 注：以全离散型人寿保险模型为例。 9 倒向随机微分方程在传统寿险定价方面的应用 ( 1 ) 定期寿险。 定期寿险是指保险期限固定，以被保险人死亡为给付保险金的条件的人寿保 险。当被保险人在保险有效期内死亡时，保险人具有支付保险金进行赔付的责任， 但是当被保险人在保险合同满期时仍然生存时，保险人则无任何支付责任。 设保单有效期为，1 年，保险金额为一个单位，则给付金额在签单时的现值为 z = = ：+ 1 姜盂。，1 2 ，。，2 _ 1 c 2 2 - ， 若以趸缴方式和支付保费，则保费的精算现值为 a = 1 ，“1 砷q ， ( 2 2 2 ) 其中，a 表示投保时被保险人为x 岁，保险金额为一个单位时的刀年定期寿险的 趸缴纯保费。 若保费支付方式为均衡年缴，则保费为 尸1 ，：竺丑 ( 2 2 3 ) 工川 吒o l 司 其中，或司表示刀年定期年金保险精算现值，珐表示投保时被保险人为x 岁， 保险金额为一个单位时的刀年定期寿险的均衡纯保费。 ( 2 ) 终身寿险。 终身寿险是指保险期限为终身，以被保险人死亡为给付保险金的条件的人寿保 险。这意味着无论被保险人在何时死亡，保险人都有支付保险金的义务。设保险 金额为一个单位，则给付保险金额在签单时的现值为 z = 嚣1 2 晓2 舢 若以趸缴方式和支付保费，则保费的精算现值为 a ，= v “1 剧l q ， ( 2 2 5 ) 其中，a ，表示投保时被保险人为x 岁，保险金额为一个单位时