（基础数学专业论文）一类点本原区传递的区组设计.pdf

漩江大学颟学莅论文 摘要 设p 是由v 个点组成的集合，b 是p 的一些元子集( 称为区缎) 组成的集合。则 偶对d = ( p ，b ) 称为是一个f 一( v ，五) 设计，妇果对于p 的任意f 元子集，恰有五个区组 包含它。通常假设r k v 。p 上保持b 不动的置换编成的群叫作设计d 的自同构群。 投握自罚构群农设计上豹爨粥方式，一般肖2 传递设计，旗传递设诗，区转递设诗， 点本原设计，区本原设计等。本文中只讨论2 一( v ，k ，1 ) 设计。 1 9 8 5 年，k a n t o r 1 2 分类了2 转递设计；1 9 9 0 每，b u e k e n h o u t 2 等a 分类了簇传 递设计。目前，对区传递的研究是该领域的前沿课题。 理 对于吴毒点零漾区簧遂熬叁1 0 掏癸豹2 一( v ，k ，1 ) 设计，c a m i n a 蠢这样一个蘩要定 定瑾( c a m i n a 1 ) 设g 是菲平凡静2 扣，k ，1 ) 设计静点本原区传递豹垂间鞫群， 则s o c ( g ) 是初等交换群或非交换单群。 c a m i n a 在c 1 】中还写磷，毹们正在考虑矮有基柱为交错群或散程单群的自同构群 的设计。 在这篇文鬻中我考虑了s o t ( g ) = a 。的情况而得到下面的定理： 定理设d z ( p b ) 是非乎凡的2 - ( v ，k ，1 ) 设计，g a u t d ，g 在p 上本原，在b 上传 递，并且s o c ( g ) = 4 ，行5 。则仅存在一个满足一e 述条件的设计d ：p g ( 3 ，2 ) g = 4 兰p s l ( 4 ，2 ) 或g = 4 。 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t af 一( v ，k ， ) d e s i g n d = ( p b ) i sa p a i ro f a s e tp o f p o i n t sa n d ac o l l e c t i o n bo fs o m e k - s u b s e t so f p , c a l l e db l o c k s s u c ht h a ta n yf - s u b s e to fpi sc o n t a i n e di np r e c i s e l y 五b l o c k s w e u s u a l l ya s s u l r l et h a t t k 肘，贝0 v p ( p 一1 ) 。 证明：因为v ( v 1 ) = 6 七( 女一1 ) ，p v 一1 ，所以p l 掀( 一1 ) ，由g 夜d 上区传递知 矗爿g l | ( | l 援，瑟p 黠，耩鞋p 挣，予爨p l 戡| | 一1 ) ，所黻k 芦。所噬 v 2 l + r ( k 1 ) ，( 七一1 ) ( 七一1 ) p ( p i ) 。 4 浙江丈学硕土学位论文 2 定理的诫明 首先确定基柱为以( 月5 ) 的群g 有那些。 口6 瓣，a u r a 。= s n ：a u t a 6 = 扩兰& z 2 ，嚣w i a 6 兰z 2 z 2 ，w 中笆含a 6 舞子 群除a 。和外，还有分别与磊z ：的三个二阶予群相对应的三个子群，其中一个为 s 6 ，另外两个记为弼和。又a n g 兰a u t ( a 。) ，敞。，s 。，枷5 ) ，彤，职和w 即所 有满足勋氓) = 磊的群。 因为g 在d 上点本原，故对v 删p ，g 。是g 的极大子群。若g s 。，则g 的极大 子群 乍为g 在= 1 , 2 ，h 上豹爨换群可分为三类：裴传递，待递且本蹶，传递菲本原。 弓l 理2 1 设g 在d 上匿传递但非旗传递，x g ，x 2 ：1 且嚣1 ，则3 9 p ，x g a 。 证鞠：缀设羔在d 上没有不凌患，刘蠢| v ，由c a m i n a - g a g e n 4 知g 溪鼗遴，矛盾。 引理2 2 若g = s 。，”5 ，则瓯不能为g 的本原极大子群；若g = a 。， 8 粼瓯不麓为g 爨本覆极大子群。 证明：游g = 最，假设嚷为g 的本原极大子群，由推论1 2 知g 在d 上非旗传递。 令z = ( 1 2 ) 瓯，则由引理2 1 知l 口p ，3 x 嚷，再由瓯是本原群知瓯：只，矛 蜃。 若g = “。冷y = ( 1 2 ) ( 3 4 ) 以，则由引理2 1 知l 口p ，工瓯，又h 8 ，由0 援拉大学硕士学位论i ：霆= 理1 4 ，g 。a 。，矛盾。 本文总设= 1 2 。胛) 。则s 的非传递极大予群总可表示为瓯s 。一。，其中亡 f ! o l a l n 2 。这墨墨表示( & ) p 。 ，s ：一。表示( 爰) ，它察都善傣& 豹子群。本文 在不需要将a ，一a 明确指出的情况下将s 。s z 一简记为s ，瓯一，= i 。若日为 s ：的传递饕本原极大予群，不妨设c = ；，a z , - - | - , a 。 是爿在上的一个究全菲本原系， 本文总设la ，净dt i c i = c ，嬲栉= c d ，于是臀= ( s 籼s 6 ：。) ) 噜s 。，其中s & 与 上面的s 。，s 。相类似看作s 。的子群。本文衣不需要将，明确指出的情况下将 努= 黾，s a ：黾) 麓记为s 。w r s 。 弓 理2 3 设( d ，g ) 是点本原区传递设计，g = 瓯，”5 ，则 ( 1 ) 若瓯是g 的非传递极大予群，则( d ，a 。) 也是点本原区传递设计 2 ) 蓉瓯跫g 藜簧递本缀凝大子群，麴涂嚣= 8 r d = 2 ，e = 4 魏潺凝终， 8 时，t a z ，故月 8 时，g 。n a 。是a 。的极大子群。 于是只需考虑h = 6 j ； d = 2 ，c = 3 和 = 8 且d = 2 ，c = 4 的情况。若g 。n a 。不是a 。的 极大子群，则它必可嵌入一。的一个本原群中。而6 级和8 级本原群都已经全部确定了 经检验，= 8 时，( s 2 聊蛋。) n a 8 可嵌入a 。的一个本原子群z ；u p s l ( 3 ，2 ) 中，而月= 6 时，( s ：w r s ，) na 。是a 。的极大子群。 上面证明了除一种情况外4 在d 上点本原，下面说明一。在d 上区传递。 由引理1 5 知，3 b b ，3 ( 1 2 ) g 8 ，所以i a 。：g 日n 爿。i = 1 g ：g 口 b ，所以彳。在 d 上区传递。 根据引理2 2 和2 3 可以把定理的证明分为三个部分 ( 1 ) g = a n , 5 s 8 ，g = w 兰瓯z 2 ，g = ，g = 或g = & 且瓯= s 2 w r s 。； ( 2 ) g = a ，n 8 ，且瓯是g 的传递非本原极大子群。 ( 3 ) g = 爿。，n 8 ，且g 。是g 的非传递极大子群 下面一，二，三节分别处理情况( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 。 浙江大学额士学位论文 本节处理g = a 。，5 n s8 ，g = w 兰s 6h z 2 ，g = 啊，g = 和g = 瓯且 g 。= s ：w r s 。的情况。为了第二，三节中辙述的方便，本节将g = a ，且 g = ( s 3 w r s ，) f l 与，窥g = 4 2 且嚷= ( s 3 w r s 4 ) f q 童1 2 以及g = a 显 瓯= ( 马x s ，) f q a 。这三种情7 兄也一并处理。 ( 1 ) g = a ，。a ；在同构意义下肖三个极大子群，a 。，d 1 。和最。 若g 矗一& ，测p = 5 。焉撰搬v = 1 + r ( k 一1 ) 1 + k ( k 一1 ) 旦k 3 ，知v 7 ，矛盾。 若瓯一d 1 0 ，则v = 6 2 知此时无解。 ( 2 ) g = 磊。幺在目构意义下商三个极大子群，a ，霹z 4 和文。 若瓯= a s ，剐v = 6 7 ，矛疆。 若g 。= z ；x z 。，则v = 1 0 ，与( 1 ) 中类似可推出矛盾。 若6 0 一氐，n v = 1 5 ，由v - 1 一r ( k 一1 ) hr k 知七= 3 ，由【1 l 】圭g - 4 专递2 - 0 5 ，3 ，1 ) 浚诗只程一个，d = p g ( 3 ，2 ) ，a u t d = 磊兰飚( 4 ，2 ) 。n ) b = 3 5 ，b l a 6 | ，繇竣 a 作为a 。的子群在d 上非区传递。 ( 3 ) g = a ，。a ，在同构慧义下有四个极大予群，爿。，e s l ( 3 ，2 ) ，s ，和 a 4 z 3 ) 埔z 2 。 若( k = 以，则v = 7 ，由v l = ， 一1 ) 且r 惫k 知k = 3 ，由( 1 1 】知区传递 2 - ( 7 ，3 ，1 ) 设计只有一个，d = p g ( 2 ，2 ) ，a u t d = p v l ( 3 ，2 ) 兰e s l ( 3 ，2 ) 以，所以不 存在以一，麓鑫曩撼群翡2 一( 7 ，3 ，| ) 竣诗。 若嚷= p s l ( 3 ，2 ) ，则v = 1 5 ，区传递2 0 5 ，3 ，1 ) 设计只有一个，即d ：p g ( 3 ，2 ) ， a u t d 。a s 兰e s l ( 4 ，2 ) ，而4 7 作为a 8 的予群在d 的点集合p 上的作用是2 传递的， r 浙江大学硕上学位论文 经检验，此时a ，关于p 中一点的稳定子群确为p s l ( 3 ，2 ) ，故( d ，a ，) 为一个满足 条件的设计。 若g 。= s 5 ，则v = 2 1 ，由v 一1 = ，( 一1 ) 且r k 知r = 5 ，k = 5 或r = 1 0 ，k = 3 。若存 在一个以a ，为自同构群的点本原的2 一( 2 1 ，5 ，1 ) 对称设计，则由引理13 ， p s l ( 3 ，4 ) a 7 e r l ( 3 ，4 ) ，这显然不成立；而由 1 l 】知不存在区传递2 一( 2 1 ，3 ，1 ) 设 计。 若g 。= ( 4 。z 3 ) z 2 ，则v = 3 5 ，4 - p = 1 7 ，则v 2 知此时无解。 若g 。= s s ，则v = 2 8 。由v 一1 r ( k1 ) nr k 知r = 9 ，k = 4 ，因为以不可解，根 据 9 】，这个区传递设计是旗传递的，而根据推论1 2 ，以4 为自同构群的旗传递 设计只有一个2 0 5 ，3 ，1 ) 设计p g ( 3 ，2 ) 。 若g 。= z ip s l ( 3 ，2 ) ，则v = 1 5 ，区传递 2 一( 1 5 ，3 ，1 ) 设计只有一个，即 d 2 p g ( 3 ，2 ) ，a u t d = a 8 兰p s l ( 4 ，2 ) ，经检验，此时a b 关于p 中一点的稳定子群确 为z i p s l ( 3 ，2 ) ，故( d ，4 ) 为一个满足条件的设计。 若嚷= z ：x ( 墨s o ，则v = 3 5 ，令p = 1 7 ，则v j 口( p - 1 ) ，与引理1 7 矛盾。 若g 。= ( 4 s 乙) x z 2 ，则v = 5 6 ，令p = 1 1 ，则v p ( p 1 ) ，与引理1 7 矛盾。 ( 5 ) g = w 兰s 6 z 2 ，g = 暇或g = 。 首先考虑g = 的情况。g 的包含以的极大子群的阶都为6 1 ，它们如果作为嚷 则 v = 2 ，这是不可能的；g 的不包含彳。的极大子群有三种情况，第一种为 z i o ”z a ，第二种为z ；和一个1 6 阶群的半直积，第三种为一个3 2 阶群。 9 浙江大学硕士学位论文 若瓯= z l 。z 。，则v = 3 6 ，令p = 7 ，注意到p l t g l ，所以p + b ，此时引理1 7 仍适用，而v 8 。 引理2 4 设 ，：，。 为瓯的一个完全非本原系，则除d = 2 ，c = 2 的情况外瓯 没有其它的非本原区。 证明：落d 3 ，对v i ，1 i 2 时，( g 。) ( 山) = a j s 。：s “炙。艮) 疋一1 n a ： 在一矗。上传递，子是嚷豹与a ；交菲空豹菲奉娠联f 不剪能包含一a ，中豹点，联以 只能f ；a ，。 当d = 2 鼠c = 2 时，经验证，( 是所马) n 4 确有3 个不同的完全非本原系，但非本 原区的长度都为2 。 弓 褒2 , 5 令a = 矗t u 矗2 u u 矗；，1 ( g 。n 6 苫) ( a ) = ( s a + ，s 也+ ：。- 咒。) 4 疋一， n a ：= h ，若d 3 ，贝u h 6 彳。，于是m 包含在h 的一个轨道中；若d = 2 ，当c f 2 时，( d ，。a l + 1 2 ) ( n m t d m ，z ) h ，同样得到m 包含在h 的一个轨道中。显然何在 。，a 。，a 。 上 诱导的置换群疋一，是传递的，于是。u a 。u u a 。= 一整个包含在h 的一个轨 道中，从而包含在g 。n g ：的一个轨道中。 下面说明一在g 。n 嘭的任意元素作用下不变：假设j x g 。n g ：，j 口：日， 其中a i 一，d 2 ，不妨设d l 。，则d 2 筵+ 。= j l ，1 ，l - 8 时 五除- ，一，。外没有其它的非本原区，于是暑：1 = j 2 ，1 j ：f ，与引理的假设 矛盾。 所以当c i 2 1 d 3 时，一a 是g 。n g ：的一个轨道。 弓f 理2 6 令，= n u f 2 ，且1 n a ，2 = a ，i j li = e , i = 1 2 ，c ，且1 e 2 时令g i ：( 口。l 口2 1 。) 心2 哆2 吒2 ) a t , ) ；9 2 2 ( d i l 2 l 。a 1 2 a 2 2 t 口。2 ) ( 口1 3 口2 3 n 。3 ) ( q 。d 2 。) ；令占 为蜀，g z 中的偶置换，g 为g 。，g ：中的奇置换，于是知g 满足要求；d ：2 且c 为奇数 浙江大学硕士学位论文 时，g = ( 。口：- 。；) 即满足要求；而d = 2 且c 为偶数时， 9 2 ( d 。d ：，t 日。、) 是奇置换， 此时不存在满足要求的g ； 2 ) 当g 存在时，首先说明，f 2 分别包含在g 。n g ：= h 的某个轨道中。 g ：在上的一个完全非本原系为 硝，缒，衅) ，其中g = h ，u a 啦， i = 1 ，2 ，c 一1 ，雠= ，u 。：。于是 ，2 - ，a 和 衅，越，越 是的在g 。n g ：下 不变的两个分划，由于对一切i ，a ，：= 。n 鳞；对i 1 ，a 。= n 雌。以及 a i l = a 。n 鳞，所以中= a 2 i 一，a 。，a 1 2 ，2 2 ，。2 ) 为的在g 。n g 善下不变的分 划。 当 i ，2l = d p 1 时 ，类似1)可知 s h g ( n ) 且 雹2 = 2 ，f - 1 , 2 ，c l ，鲣2 = a 1 2 ，令“= h g ；当i ，2f - d e = 1 时， 令 h = ( q 。d ：。a c d ) 。若8 = 1 ，则由g 的存在可知c 为奇数，故厅为偶置换，令u = 蛔： 若e 1 ，令“为坛+ 和垤中的偶置换。 易见“g 。n g ：= h ，j z u 在巾上诱导的置换作用为( 1 1 2 i 。) ( 1 2 a ：2 。2 ) 。 下面说明。包含在日的某个轨道中：若i 。l = 1 ，这是明显的；若l ，。p 1 ，对 v a 。q ，( 口。a 1 从口2 ，口2 ) 何，所以1 l 包含在h 的某个轨道中。可同样说明 。：包含在日的某个轨道中。又考虑到u 在巾上诱导的置换作用为 ( 1 i 2 1 d ) ( 1 2 2 2 。2 ) ， 亍t 黾= a l l u a2 l u u d ，f 2 = a 1 2 u 2 2 u u 。2 分 别包含在h 的某个轨道中。 当e d 1 2 时， ，a 。，a 1 2 , - , ，a 。：) 中的非本原区的长度不全相等，所以h 在 上不传递，e ，r 2 就是的两个轨道。 当e = d 2 ，即l 。h ，：l 时，我们来寻找h 在上传递的条件。如果h 在上传 递，则 厅h ，) 雀。= 1 2a 由于h g 。且是g 。的非本原区，由 ，：。：知 缱= a ，于是础：z a ：又 ( 磋g n g 。= ：u a 。：，越= 。u c 2 是g ：的非本原区， 1 1 游汪天学硬士举能论文 由硝i = a 1 2 ，趟2 = 1 l 可知( l iu a c 2 ) “= a 2 iu 1 2 ，( 2ju a l 2 ) 6 = i lu 以，所以 砖：= 矗。；，然，= a 。：褥由h g 。且2 ，a 。是g 。的非本艨照可知，整= ：， 鹂一矗。，所班越；= 矗：2 ，鼙：= 矗。；继续藏过程，于是褥到h 在 矗1 l ，。矗。：，a 。2 上诱导的置换作用当c = 2 k 时必为( a l l a l 2 )( 。2 2 i ) ( a d 2 2 )( 。2 a 3 1 ) ( “l ，2 a 女“i ) ，当c = 2 k 一1 时必为( 1 2 ) ( a 。2 矗2 1 ) ( d 2 2 ) ( 。吨2 a 3 1 ) ( 女吐2 ) ( 矗，1 a 如) ：当| a l 每2 帮d 兰4 露，慧萄+ 农磊中取嚣透磊，髓h g 。门霹，骚以 g 。n 锘在上传递。而d = 2 ，p = 1 时，这时c 为奇数2 k - 1 ，h = ( q l a 2 ) 扣。2 a 2 1 ) ( 衅。l a 2 2 ) k + l , 2 a k , i ) ( 盯，i a k ，2 ) 为奇置换，所以d = 2 ，e = 1 时，g 。n g ：不传递，这时 f l ，疋蹩g o c l 霹鲍嚣令等长鞔遘。 铡用引理2 5 ，2 6 可以涯明： 簪i 理2 7 在一切情况下，g 。在上传递。 诞明： 1 ) d 为援数豆4 辩，令矗。= 矗；lu 矗m | ；l 闷，2 | _ d 2 1 ，取g 瀵是萼| 瑗 2 6 中的条件，于是g 。n g ：在上传递，所以g 。在上传递。 2 ) a 为奇数且 4 时，令。= 。u i a 。1 = 2 ，取g i 使g 。n g ：t 有两轨道 r l ，疋，t r , 2 c ，| f 2 | - 一2 ) c 。令矗；= 矗；0 矗 戈净4 ，取g ：鼗g 。门g 的嚣鞔遵长 为4 c ，搿一4 ) c 。于是g 嚣谢两子群，其孰道长分别为2 c ，( d 一2 ) c 和4 c ，搿一4 k ，所以 g 。传递。 3 ) d ；3 时，同巴w 知g 。的一个子群商弧轨道，长鸯2 c ，e 。令8 ：2 ，在 一- ，a “ 土致g 滚跫| 疆2 5 孛豹条摊，应月 l 理2 5 ，2 + 6 ，可知g 。静菜子群 g “n ( 蹬有三轨道，长分别为2 c - 2 ，c 一1 ，3 ；于是知当c 3 时g 。传递。而在一( 7 ) 中 已经知邀d = c = 3 时不存在符合条件的设计。 1 4 壤甄夫学醺士学经论文 4 ) d = 2 时c 5 ，c 为奇数时，令g l = ( q i a 2 1 a c l ) ，由引理2 6 知g 。n g ：。有两长 为c 的轨道；令9 2 = ( d l l a 2 l “c - 2 3 ) ，设c = 2 k + l ，令趣= 0 a f 2 ) 妞c - 2 , 2 a 2 1 ) ( 盯f - 2 ，l 口2 2 ) t ( 壤砘2 6 t i ，1 ) ( 嚷十i a ，2 ) ( 敝吨l 疗一2 ) ，令鸣= ( q l 拄2 。4 a t - 2 , 1 ) ( 氆2 旌2 2 一a c 2 ) ，壶曩， h ：g 。n s ：2 ，再结合引理2 , 5 ，可知u ：u u 。和h u a 。是g 。n g ：2 的两个 轨道。所以g 。有两子群，k ，h 有两长为c 的轨道，k 有两个长分别为2 c 一4 , 4 的轨 道，又n 8 ，所以g 8 爨嚣上传递。 g 为偶数时，令g i = ( 嘎，搿2 ，a c - , 1 ) ，9 2 一( q ，a ：。q _ 3 ，) ，与前两类似可知g 。n g ：t 有两个长为2 c 一2 , 2 的轨邋，g 。n g ：2 有个两长为2 c 一6 , 6 的轨道，于是知此时g b 在 上传递。 予怒该弓 理证明了盔一窃可爱骜渣嚣下g 。+ 在上黉递。 引理2 8 g 。在上非本原。 证en y j ：由引理1 5 ，( 12 ) ( 34 ) g 。，若吼狂e 上本原，则由引理1 , 4 ，g 。4 ，矛盾。 犊下来证明 弓i 瑷2 9g 。在上有长为d 的非本原区。 证明；先考虑c 2 的情况e 设a ；= ，q 2 ，一， ，g = 0 l l a 2 娌2 1 ) ，贝哇驺b ， 瓯瓯q g 耋( 嚷) ( 矗l u 籼) ，( g 二) f 矗i u 矗：，= 嚣，s a 。x - - , s 趣) s 。2 j 门0 z 。壹群 8 ， 所以c 3 或d - 3 ，而当f 3 或d 3 时( 瓯) ( 加u 如) 在= a 3 u 乜u u 。上是传递的。 设r 为g 4 的极小非本原区，r f n a 彩，不妨设 f d 。糟r l n ( a ，u a ：) o ， 刚虫( 嚷) f 矗l u 。： 在上传遴知矗c f ，这仪凌e = 3 辩可能残烹；嚣当e 3 晦， f n ( a l u a 2 ) = o ，予跫f g a ，所戳f 是( 瓯) ( 山：) 在a 中的非本原区。由假设 f f 陋d ，根据引理2 4 可知r = 。而r = 仅在。= 4 时可能成立，所以； 浙江大学硕士学位论文 t ) c 5 时，g b 只有长为d 的非本原区，j i g 。在上的一个完全非本原系为 i ，赴，a 3 ，a 4 ，a 。，。 2 ) c = 4 嚣寸，由假设i f | d ，则r = a ，u 。，l r 净2 d 。由一( 8 ) 知d = 3 ，c = 4 露不存在镑合条释鹃设诗，予楚不筋设d 4 。 取h = ( q ，9 2 ，龟，) ， 粼3 b e b ， ，g r2 g 。n 饿，由引理2 5 ，2 6 知瓯n g ：在上有三个轨道，f im 他l ，a 2 l ，a 3 1 ) ， f 2 = lu a 2u a 3 一r 】，l = a 4 。 ( g 矿) 籼有子群满足h 舢= a “凰“= 1 。与 引理2 4 豹诞疆类叛可知g 矿款与a 4 交菲空载辍枣攀零瑟区，满足f + 。矗。，交零| 理2 6 知( g 矿) 涵) 在r i ，r 2 上分剐传递，于是f + = a 。u 一或f = a 。u r 2 ，第一种情况 ir + 户d + 3 2 d ，第二种情况l r p2 d ，皆与lf + 卜2 d 矛盾。于是i r 卜d ，且r = 3 或r = 。予是g 。在z 上的一个完全菲本原系为 戈，蛀，3 ，a ； 。 ( 3 。3 时，南霰设 f d ，鲻a ，c f ，藏澈仪当d = 2 k ，聋2 辩篷成立， 这时| f | 黼3 k 。 令h 1 = ( d l l 盯2 i ) ( 口1 2 口2 2 ) ( 盯1 a 2 )，j = ( 4 i 】a 2 ld 1 2 甜2 2 ) ( 。1 3 口2 ) ( 口。t 口：t ) ，令h 为h ih ：中的偶置换，则3 b b ， g s 瓯n 磁，由引理2 6 知 嚷门霹褒x 上骞嚣个辘遭，分剃为a ；u a ：秘磊，。交瓯门霹) ( 。，潍，鸯孑群胃滚是 h 也= a 如e h “6 3 = l 。与引瑗2 4 的证明类似可知g e 的与a ，交非空的极小非本原区 f 满足3 簟f 由引理2 6 知( g 矿) ( 如) 在1 u a 2 上传递，于是r = ，矛盾。 于是| f 睁d ，且1 1 = 3 ，q 程苫上静一个完全非零艨系为 矗，筵，屯，。 最蓐楚壤f = 2 静情况，这辩露5 。仍令g = 如l a ；：挂2 ，) ，于是岛嚷n 嘭- h ， 这里h 如一= a 屯一( ，在2 一 n 2 1 上本原，。一6 x + = 1 。所以a 2 一 甜2 l 包含在 g 占的某一个爿# 本原区中，此时q # 本原区的长度只能为d 。 瑗土诞暌了瓯在主必毒长麓d 熬 本爨区。 引理2 1 0 l 瓯| - i 瓯l 。 塑坚查堂堡圭堂堡丝兰 - - - r _ _ 一 证明：仍设g ：( q i 口i 2 口2 ，) ，b e b ，且g 。g 。n g ：。由上一引理的证明可知： 1 ) c 5 时，g 。在上的一个完全非本原系为c = ，2 ，一，a 。) 。由 g b g 。n g ：- g 舭，u ：) = 【( s 虬x s 乜x s k ) x s 。一2 n a 知，g 8 在c 上诱导的置换 群为一个包含足一：的c 级传递群，又c 5 ，故即为s c ；g b 在c 上的作用的核丘满足 m = ( s ，s 一x s 。) n a k n = ( s t 。s 正。s ，。s 。) n a ，且k 司g 口， 上= ( & ，s 虬s “) n a k ，s l g 。在c 上诱导的置换群为s 。，故j g b , 3 鸹= ， 越= 2 ，缒= a ，于是= ( 弘s 芷“s a ，) n a z 臣，n m 兰黾s t 兰l m m k m n m ，所以k = 。于是i g 口l 爿s ci | n 降i 瓯i 。 2 ) c = 4 时，g 。在上的一个完全非本原系为c = ，盐，a ，a 。 。g 。在c 上诱 导的置换群为 1 ，2 ，3 ，4 ) 上一个包含( 3 ，4 ) 的4 级传递群h 。令h = ( q 。a ：。吒。) ，因为 a 3 i a 3 而q l ，口2 l 1 u 2 ，所以h 硭g 。，从而( q i a 2 i 乜3 1 ) ( q 2 口2 2 a 3 2 ) ( d l d 乜2 d a 3 d ) g 。n g ：g 。，于是知h 中含3 阶元，又h 传递，所以1 2 1i h i ，h a t ，又 ( 3 , 4 ) h ，所以h = s 。 g 。在c 上的作用的核k 满足 m = ( s a ，s 虬) n a k n = ( s a ；。s a ，s ) n a z ，且足司g b 。 与1 ) 中类似可知( “s 虬) n a z 五，( k 。s a ，) n a z 臣，于是置m s a ；“s 6 兰n m ，所以k = n 。于是j g bl 爿s 。i ln i = 1 晚l 。 3 ) c = 3 时，g 。在上的一个完全非本原系为c = ，芷，a 3 。g b 在c 上诱导 的置换群为( 1 ，2 ，3 ) 上一个传递群h 。令h = ( 口l 。a 2 ，) ( q ：a 2 2 ) ，容易看出h 芒瓯， 从而 ( q - n 2 1 ) ( q ：口z z ) ( q 一口2 d ) 或( 4 - 啦! q 2 口z z ) ( q d 日2 d ) 中的偶置换g 。n g ：g 8 ，于是知 片中含2 阶元，又日传递，所以日= s 3 。g b 在c 上的作用的核置满足a a ，k 堂鋈奎兰鳖主鲎燕笙兰 一 _ d m m _ _ _ _ d _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ ，一 = ( s m s t 。s 。，) n a ， 且屉司g b ，幽h 二马可知k - a a 一砖a ，= 肼，渤 g 8 g 。n g 2 ，其中g = ( 盯l a 1 2 疗2 1 ) ，。霹篝鞋0 1 3 a 1 4 ) ( g ”牙辩) g o ，( a 2 3 a 2 4 ) a 3 3 a 3 4 ) g s ， 容茹辫糖扣。口。 稻 聪2 ，撑2 。 分襄处于鞠蕊e e ，于是| k m | 4 毫n m i ，所以 k = n 。于是l g 。l _ i 墨1 j n h 嚷f 。 4 ) c = 2 时，岛在上有两个非本原醒，由引理2 9 的证明知，其中一块 a 2 一驷2 ， ，不兢竣e = a ：一 疆2 u 挤 ，a 每矗；u a ：l ，雯一浚l = 一。邑鞠 ( g 8 ) 麓1 a 肾h ，麒g 分在1 1 ，上传递，予照g 予_ a 下面说明( 吼) 麓) a l 。 因为g ；。 ，所以3 h e ( g 口) l ，d “= 川2 一 ：1 ) 。设( d 1 口2 吧) 是2 一扣2 1 上的一令3 轮换，鲻