（基础数学专业论文）二元二次型理论的发展演化.pdf

中文摘要 作为数论的一个分支，二元二次型理论有着悠久的历史。从对平方数的注意到 对特殊二元二次型的研究，再到对一般二元二次型的探索与发展，中问经历了一个 漫长曲折的历史过程。 本文在详尽占有资料的基础上，对二元二次型理论的发展演化做了系统的分析 与总结。以二元二次型的发展为中心，阐明了它与后来许多重要数学思想的关系 强调了从特殊到一般、化无穷为有穷、从具体到抽象的重大作用，以期给现代数学 研究提供借鉴意义。 关键词：二元二次型等价型型的合成群代数数论一般二次型 a b s t r a c t a sab r a n c ho fn u m b e rt h e o r y ，t h et h e o 叫o fb i n a r yq u a d r a t i cf o m sh a s al o n gh i s t o r y f r o mn o t i c i n gs q u a r en u m b e r st os t u d y i n gs p e c i a lb i n a 可 q u a d r a t i cf o m l s ，a n dt oe x p l o r i n g t 1 1 eg e n e r a lb i n a r yq u a d r a t i cf o r m s ，i tw a sa l o n ga n dh a r dp r o c e s s o nt h eb a s i so fa b u n 出m tm a t e r i a l ，t h ep r e s e n tp 叩e rt r i e st os u m m a r i z e a i l da n a l y z et h ee v o l u t i o no ft h et h e o r yo fb i n a r yq u a d r a t i cf b r m s ；c e n t e r i n g 0 nt h ed e v e l o p m e n to fb i n a uq u a d r a t i cf o m s ，t h i sp a p e ri l l u m i n a t ei t s r e l a t i o n s h i pt om u c hi m p o r t a n ti d e a si nm a t h e m a t i c s ；i te m p h a s i z e st h eg r e a t s i g n i f i c a n c eo ft h ed e v e l o p m e n t 丹o ms p e c i f i c a t i o nt og e n e m l i z a t i o n ，f r o m i n f i n i t yt of i n i t u d e ，a n df ! - o mc o n c r e t i o nt oa b s t r a c t i o n ih o p et h a ti ti su s e 向l t ot h er e s e a r c ho fm o d e mm a t h e m a t i c s k e yw o r d s ：b i n a r yq u a d r a t i cf o r n le q u i v a l e n tf o mc o m p o s i t i o no ff o m s g r o u pa l g e b r a i cn u m b e rt h e o 巧g e n e r a lq u a d r a t i cf o r m 州北师范人学坝f j 研究生论文 己i 喜 丁l f j 数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。整数概念早在古代的生产 实践中就产生了。随着实践活动的发展和科学技术的不断进步，包括数论在内的整 个离散数学成为了解决实际问题的重要工具，同时，对不断出现的新的实际问题的 研究也促进了数论的发展，所以实践永远是数学发展的最根本动力。但是数学的发 展还有追求自身完美的内在动力，这在数论中表现得尤为明显。整数概念一旦产生， 对其性质的探讨便成为世代数学家执著追求的目标。本文试图对二元二次型理论的 发展演化进行系统介绍，阐明它与后来许多重要思想的关系，同时也希望读者能充 分体会到“从特殊到般、化无穷为有穷、从具体到抽象”进行数学研究的重大作 用。 二元二次型理论起源于不定方程与整数的加法表示问题。自希腊的d i o 口h a n t u s ( 2 4 6 3 3 0 ) 在算术中注意到某些特殊的数，特别是平方数之后，把每个f 整 数都表示成若干特殊的数之和就成了许多数学家追求的目标。法国数学家p i e r r ed e f e 咖a t ( 1 6 0 1 一1 6 6 5 ) 与瑞士数学家l e o n a r de u l e r ( 1 7 0 7 1 7 8 3 ) 先后研究了特殊的二 元二次型x 2 + 彳y 2 以及 2 + ”，2 。可以说1 7 、1 8 世纪的数论研究，基本上是凭借 数学家的才智和技巧一个一个地解决问题。他们把提出问题和解决问题分割开来， 一个问题需要一种特殊的理论和技巧，几乎有多少问题就有多少理论，这种混乱状 况久而久之便减弱了人们的研究热情。 1 8 世纪行将结束的时候，数论中那些零碎的散乱局面有了变化。j o s e p hl o u i s l a g m n g e ( 1 7 3 6 1 8 1 3 ) 的二元二次型理论标志着数论研究方法上的一个飞跃，孕育着 一种新的时代精神。他考虑了一般的二元二次型理论。他的探索不是仅仅针对个别 的型，而是囊括所有型，是一种高度抽象的理论研究，他从一大堆互不关联的结果 的丛集中走上了统一理论的道路。l a g r a l l g e 通过其约化理论，对型进行分类，把对 “无穷”的研究化简成对“有限”的研究，从数学思想发展的角度来说，这一点特 别有意义。 1 9 世纪c a df r i e d r i c hg a u s s ( 1 7 7 7 1 8 5 5 ) 的算术研究( d 却甜括f f f 。唧甜 ，泐州8 出口e ) 的出版i ”标志着二元二次型理论的研究进入了一个新的篇章。他在 河北师范人学坝l ： ：l f 究生论义 2 l a g r a l l g e 的基础上进一步找到了求各种型的约化型的方法，然后根据约化型把所有 型分成有限个等价类，进而开辟了一个全新的领域型的合成理论。此部分是本 文的重点与难点，因为其中涉及到一种重要的数学结构群。现有的一些文献曾 讨论过群的起源问题，l o b o n o v 严1 从代数学角度详细地分析了群的起源，h a l l s w u s s i n 矿1 宏观地从代数、数论、几何三个方面阐述了群的起源。本文在花费大量精 力认真研读g a u s s 原著的基础上，克服重重困难，详尽地分析了群在数论中二元二 次型理论中的起源，以期能向读者展示出：早在1 8 0 1 年，g a u s s 的工作就已经孕育 着群的思想。此外，二元二次型理论并不是孤立的一部分，它对我们现在的代数数 论的产生以及一般二次型的发展都有着重要影响。 本文共分为三部分。第一部分是二元二次型思想的萌芽，介绍了d i o p h a n t u s 、 f e r m a t 和e u l e r 的工作。第二部分是二元二次型理论的形成，系统而全面地介绍了 l a g r a n g e 对一般二元二次型理论的初步探索与g u a s s 对此理论的深化发展，从中抽 象出群结构。第三部分为二元二次型理论的影响。 河北师范大学硕：l ：研究生论文 二元二次型思想的萌芽 我们知道，正整数有加法和乘法两种基本运算。正整数与正整数之和是正整数， 正整数与正整数之积还是正整数。这样一来，正整数就有不同的表示方法。显然， 按照算术基本定理，每个正整数都可以唯一地表示成素因子的乘积。因此，正整数 的乘法表示问题比较简单，但如果把乘法换成加法，问题就要交得复杂得多。 为了研究正整数的加法分拆眭质，我们转而去研究加法表示中的那些合乎规律 的内容，去寻求是否每个数都能用一些特殊的数来进行加法表示，如果可能，需要 用多少个。其中特殊的数包括平方数、立方数、素数以及图形数等等。证明每个正 整数都能表示为若干个特殊的数之和是十分困难的问题，数学家往往花费几十年、 甚至几百年的时间也不能对其加以解决，这些问题就构成加法数论的主题。整数的 加法表示问题又与不定方程密不可分，数论中二元二次型的研究正是来源于这两个 方面，我们可以追溯到d i o p h a n t u s 、f e r m a t 以及e u l e r 的工作。 1 1 d i o p h a n t u s 对特殊数的注意 据历史记载，d i o p h a n t u s 曾献给亚历山大的主教d i o n y s i u s 一部杰出的著作 算术( 彳r f 珐川8 ，f c d ) 。1 这是一部划时代的著作，它的历史影响之大可以和e u c l i d ( 约公元前3 0 0 年) 的几何原本( e k m 8 柚r ) 相媲美。 算术是一本问题集，据作者自序，全书共1 3 卷，【4 】但1 4 6 4 年j r e g i o m o n t a l l u s ( 1 4 3 6 1 4 6 7 ) 发现的希腊文本仅有6 卷。1 9 7 3 年，在伊朗境内的马什哈德又发现了 4 卷阿拉伯译本，据专家鉴定应属原著第4 、5 、6 、7 卷( 含1 0 1 个问题) ，而先前 的希腊文本则为第1 、2 、3 、8 、9 、1 0 卷( 含1 8 9 个问题) 。这样，现存的d i o p h a n t u s 的算术共1 0 卷，含2 9 0 个问题。这部具有东方色彩的问题集用纯分析的途径处 理数论问题，可以看作是希腊算术成就的最高标志。d i o p h a n t u s 在其中讲述了一些 深刻的数的定理。例如，他谈到衍论中的一个定理，即两个有理数的立方差也 是两个有理数的立方和，但没有给出证明。书中还有许多把一个数表示成两个、三 个或四个数的平方和的命题。此研究领域后来由f e n n a t 、e u l e r 、l a g 咖1 9 e 完成。下 1 希腊时代的“算术”主要是指“数的理论”，大致相当于现在的“数论”。而数字的加、减、乘、除等运算叫 做“计算的技巧”( 1 0 9 i s t i c a l ) ，与前者有明显的区别。【数学历史典故，粱宗巨】 河北师范大学硕上研究生论文 面列出 第二卷， 第二卷， 数。【5 】 第三卷， 第三卷， 第三卷， 第四卷， 第四卷， 第四卷， 第五卷， 平方数。 算术中的几个有趣的、非常引人入胜的问题。 问题1 8 ：将一个已知的平方数分为两个平方数。 阅题2 8 ：求两个平方数，使它们的乘积加到任何一个上面仍给出一个平方 问题6 ： 问题7 ： 问题1 3 ： 问题3 ： 问题1 0 ： 问题2 l ： 问题9 ： 求三个数，使得它们的和为平方数，且任何两个数的和为平方数。 求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数。 求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数。 求两个平方数，使其和为一个立方数。【6 j 求两个数，使得它们的和等于它们的立方和。 求成几何级数的三个数，使得其中任何两个数的差为平方数。 将1 分成两部分，使同一个已知数加到任何一部分上，结果都为 第六卷，问题l ：求一毕氏三数组，使其斜边减去每一个直角边均为立方数。 第六卷，问题1 9 ：求一个直角三角形，使它的面积加上一个直角边为一个平方数， 而它的周长为一个立方数。 第六卷，问题2 1 ：求一直角三角形，使其周长为一平方数，周长加上面积为一立方 数。【7 l d i o p h a i l t u s 在算术中也讲述了其它许多数论命题，例如，形为8 + 7 的整数 不能表示成三个平方数之和，等等。 注意，d i o d h a m u s 在算术中所提到的“数”是指“正有理数”。即使是这样， 我们也可以发现他不论是在加法表示还是在不定方程中都注意到了某些特殊的数， 如立方数，特别是平方数，他把平方数当作了自己的研究对象。我们后面将会看到， 平方数是构成二元二次型的基本元素。算术曾被文艺复兴时期的数学家翻成许多 译本。1 6 2 1 年，b a c h e td em 6 z 砸a c ( 1 5 8 1 一1 6 3 8 ) 出版了拉丁文译本。此后，这部著 作开始在欧洲流行，成为后世许多大数学家研究数论的出发点，法国数学家f e r m a t 手头有的就是这个版本。阎 1 2f e m l a t 对x ：+ 爿l ，：的初步考察 f e r m a t 对解析几何、微积分以及概率论的开创都做出了重要的贡献。但是，最 河北师范大学顾二l 二研究生论文 能显示他的才华且对后人影响最大的还是他在数论方面的工作。在其生命的最后1 5 年中，他几乎把全部精力都投入到了对数论的研究之中。f e 胁砒认为数论被人忽略 了，有一次他抱怨说几乎没有什么人懂得算术问题。f e 肿a t 相信算术有自己的特殊 园地：整数论。 f e r m a t 在1 6 4 0 年1 2 月2 5 同给好友m a r i nm e r s e n n e ( 1 5 8 8 1 6 4 8 ) 写信时，很 高兴地告诉他：“我对素数已经做出了许多定理。”他得出，形如4 ”+ 1 的素数以及它 的平方能以一种方式表示成两个平方数之和( 换句话说，当素数p = 1 ( m o d 4 ) 时，方 程x 2 + y 2 = p 必有唯一整数解) ；它的三次方和四次方能以两种方式表示为两个平方 数之和；它的五次方和六次方能以三种方式表示成两个平方数之和：如此等等，乃 至无穷。例如，当疗= 1 时，有5 = 4 + l ，5 2 = 9 + 1 6 ，5 3 = 4 + 1 2 l = 2 5 + 1 0 0 ，等等。 他在信中接着说：若等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个具有同样性质的素 数，则其乘积将能以两种方式表示为两个平方数之和：若乘以具有该性质的素数的 平方，则乘积将能以三种方式表示为两个平方数之和：若乘以具有该性质的素数的 立方，则乘积将能以四种方式表示为两个平方数之和：如此等等，乃至无穷。 当然，f e r m a t 最重要的数论遗产是1 6 5 0 年8 月写给p i e r r cd e c a r c a v i ( 1 6 0 0 一1 6 8 4 ) 的信，他在这封信的开头，描述了自己发现的某些证明方法，然后阐述了在以前信 件和论文中提到的定理，但是显然他希望把自己认为最漂亮、最重要的定理收集起 来。【9 1 我们现在列出其中的某些定理。 ( 1 ) 二平方定理：每个形如4 + l 的素数都可以唯一地表示为两个平方数之和。 ( 2 ) 四平方定理：每个自然数都是四个自然数的平方和( 被加数可以为o ) 。 ( 3 ) 定理：方程，+ 少= ，不可能有自然数解。 ( 4 ) 定理：方程p = y 2 + 2 的唯一自然数解是y = 5 ，x = 3 。 1 6 5 4 年，在给p a s c a l 的信中，f e r m a t 又说：奇素数p 可以表示成x 2 + 2 y 2 当且 仅当p z l ，3 ( m o d 8 ) ：2 奇素数p ( p 3 ) 可以表示成x 2 + 3 y 2 当且仅当p = l ( m o d 3 ) 。 尽管f e r m a t 在信中没有给出任何证明，但是他却是把它们作为定理陈述出来的。 f e r m a t 声称他证明了这些论断，并且使用了无穷下推法。为了说明这一方法，我们 2 当时没有同余的符号，这里是为了表述方便 河北师范大学硕士研究生论文 6 考察一下上面的二平方定理，即要证明“若形如4 n + l 的一个素数并不具有所需性质， 则存在形如4 ”+ l 的一个较小素数也不具有这样的性质”。于是由于月的任意性，肯 定存在一个更小的不具有该性质的素数。这样通过”的正整数值往下推就必定能推 到”= i ，即素数5 ( 4 1 + l = 5 ) 不能具有所需性质，然而5 却能以唯一方式表示成 两个平方数之和，因而每个形如4 门+ l 的素数都能这样表示。f e r m a t 说他用这个方法 证明了上述定理，但后人从未找到他的证明。此外，他还说他也用这个方法证明了 其它一些定理。事实上，这些论断是后来由e u l c r 证明的，并且确实采用了无穷下推 法，但需要技巧。 上面的结果只不过是f e m a t 关于x 2 + 删2 的研究工作的一部分。例如，对于 石2 + y 2 ，f e 咖a t 知道正整数j v 是两个平方数之和，当且仅当与它的最大平方因子 的商是模4 余1 的素数的积，1 他也知道j v 的不同表示的方法数问题。除了研究 x 2 + y 2 、x 2 + 2 y 2 和x 2 + 3 y 2 这样的型之外，f e r m a t 在1 6 5 8 年写给d i g b y 的信中还 提到了关于x 2 + 5 y 2 的猜想，【o l 在研究这类问题时，他产生了困惑。通过试验性的运 算，他意识到素数p 可否写成x 2 + 5 y 2 的形式与p 模2 0 的剩余有关，但是他没有提 出像前面那样精确的论断。他发现当p s3 ，7 ( m o d 2 0 ) 时，p 不能写成x 2 + 5 y 2 的形式， 但是两个这样的素数的乘积却可以写成x 2 + 5 y 2 的形式，例如2 l = 3 - 7 = 1 2 + 5 2 2 。这 种现象在过去没有发生过，例如对工2 + y 2 ，当p = 3 ( m o d 4 ) 时，p 不是二平方和，并 且这样的任意两个不同素数的乘积( 例如2 1 = 3 7 ) 也不是二平方和。所以f e r m a t 只提出如下论断：若p 和g 是模2 0 同余3 或7 的两个素数，则p 日可以写成x 2 + 5 y 2 的 形式。 关于方程z 2 一爿y 2 = 1 ( 爿是任意非平方正整数) ，在希腊和印度有着悠久的历史， f e n n a t 重新发现并求解了这个方程。他在1 6 5 7 年2 月致b c r n a r df r 6 n i c l ed eb e s s y ( 1 6 0 5 1 6 7 5 ) 的一封信中提出一个定理：x 2 一缈2 = l 在4 是整数而非完全平方数 时有无穷多个解。f e h n a t 在同一封信中向所有数学家挑战，要求他们求出无穷多个 整数解。l o r dw i l l i a i i lb m u n c k e r ( 1 6 2 0 一1 6 8 4 ) 勋爵给出了解，但并未证明解有无 穷多个。j o l l i lw j i l i s ( 1 6 1 6 一1 7 0 3 ) 则全部解决了这个问题，并在1 6 5 7 年、1 6 5 8 年 河北师范大学颂七研究生论文 的信中以及他的代数的第9 8 章中给出了解法。f e r m a t 又说对于给定的彳和b ， 他能指出石2 由2 = 层在什么情况下可解，并能把它解出来。我们并不知道f e 皿a t 是怎样解这两个方程的，尽管他在1 6 5 8 年的一封信中说他是用下推法解第一个方程 的。 f e n l l a t 在数论上的工作决定了在g a u s s 之前这门学科的研究方向。从根本上说， 整数的分析所揭示的是数之间的关系，这种关系遍及全部整数，构成了一张数的关 系网。f e n n a t 的这些工作是一种更深、更丰富的理论的起点。相对d i o p h a n t u s 的工 作而言，他在两方面又向二元二次型理论迈进了一步：一方面，他把d i o p h a n t u s 对 有理数的考察限定到了整数范围：另一方面他把d i o p h a m u s 的系数为l 的平方和的 问题进行了推广，不但研究了将一个数表示成石2 + y 2 ，x 2 + 2 y 2 ，x 2 + 3 y 2 ， x 2 + 删2 ，的可能性问题，还研究了表示的方法数问题，在不定方程中，也就相当 于是解的存在性与个数问题。尽管如此，我们可以看出f e 肌a t 从未超出对x 2 + 4 y 2 这类型的研究。自从1 7 世纪f e r f n a t 在二次型领域中打了一个前哨战之后，他留下 来的一系列问题为以后数学家提供了充分施展才能的机会。关于f e r m a t 对这些最简 单的“二次型”论断，c a r lg u s t a vj a c o bj a c o b i ( 1 8 0 4 1 8 5 1 ) 评价说：一“在证明这些 论断的过程中，数学家创立了二次型的算术理论”。【9 1 3 e u l e r 对f e 瑚a t 工作的推进 f e 肌a t 对数论的贡献是巨大的。但他一生从未写过一部著作，只写过一篇关于 解析几何的文章，他的思想都写在了读书评注以及和朋友的通信中。f e r n l a t 有一个 奇怪的习惯，即只写结论，很少给出证明。他的这些评注和信件在他死后由他的儿 子于1 6 7 0 年收集出版。 e m e r 在与c l l r i s t i a ng 0 1 d b a c h ( 1 6 9 0 一1 7 6 4 ) 的通信中首次听说了f e r m a t 的结 果。事实上，g o l d b a c h 给e u l e r 的第一封信写于1 7 2 9 年1 2 月，他在信中提到了f e m a t 关于“2 2 ”+ l 总是素数”的猜想。不久之后，e u l e r 读到了w a l l i s 在0 忉e ，口中附有 的f e 舯a t 的信件( 其中包括上面引用的f e r m a t 写给d i 曲y 的那封信) ，便对它产生 了兴趣，例如，在1 7 3 0 年6 月写给g o l d b a c h 的信中，他评论道：f e 珊a t 的四平方 塑! ! 墅苎查兰堡土里! 塞竺丝壅 墨 定理是一个“非常完美的定理( n o ni n e i e g a n st h e o r e m a ) ”。对e u l e r 而言，f e h n a t 的论断是非常重要的定理，值得他去证明并成为其一生的事业。e u l e r 关于数论的第 一篇论文写于1 7 3 2 年，他得出6 4 l 是2 3 2 + l 的一个因子，因而推翻了f e r m a t 对2 2 “+ l 的断言。在接下来的51 年中，e u l e r 对数论的兴趣丝毫没有减退许多介绍数论 中的重要概念的论文不断涌现，甚至1 7 8 3 年去世之后，他的论文还在不断发表。经 过多年不懈的努力，e u l e r 证明了f e m l a t 的大多数天才性论断。实际上好像是f e 啪a t 编写了一本水平很高的习题集，e u l e r 则是解题者。在f e h n a t 开辟的道路上，e u l e r 几乎走完了它的全程。1 1 3 】 如上所述，f e r m a t 曾指出“奇素数p = x 2 + y 2 的充分必要条件是p s l ( m o d 4 ) ”， 现在我们给出e u l e r 对这一猜想的证明思想。首先若p = x 2 + ，很容易得到 p = l ( m o d 4 ) ；但要证明其充分性则非常困难。给定一个奇素数p ，欲证明该定理需 要两步，第一步称为“下推步( d e s c e n ts t e p ) ”：若p f x 2 + y 2 且g c d ( x ，y ) = 1 ，则p 可 以写成工2 + y 2 的形式：第二步称为“互反步( r e c i p r o c i t ys t e p ) ”：若p ；l ( m o d 4 ) ， 则p f 工2 + y 2 且g c d ( x ，y ) = 1 。既然按照历史顺序，首先证明的是下推，我们也就从此 步谈起。e u l e r 在1 7 4 7 年5 月给g o l d b a c h 的信中谈到了这一点，其中下面的引理起 着关键性的作用：假设是两个互素的平方数之和且口= x 2 + y 2 是的一个素因子， 则乃也是两个互素的平方数之和。像后来w i l 所说的那样，e u i e r 关于下推步的 证明很可能与f e m l a t 的类似。【1 4 】对互反步的证明给e u l e r 带来了很大的麻烦，直到 1 7 4 9 年此步才得以解决。e u l c r 在给g o l d b a c h 写信时讲到：“现在我终于找到了一个 有效的证明。”e u l e r 在证明“p = x 2 + 2 y 2 营p 5 1 ，3 ( m o d 8 ) ”和“p = z 2 + 3 y 2 铮p = 3 或j 口z l ( m o d 3 ) ”时也使用了同样的方法。在每一种情况下，互反步都要比下推步证 明起来困难得多。直到1 7 7 2 年，也就是在e u l e r 看到这些定理4 0 年之后，他才对上 面f e 珊a t 提到的定理给出了完整证明( 这些定理和其它几个类似的定理都是由 、e h n a t 在1 6 5 4 年提出的) 。需要指出的是，1 7 7 3 年，l a g r a n g e 利用二元二次型的约 七与等价的一般理论证明了许多这样的事实。 我们接下来讨论e u l e r 对形如x 2 + 砂2 0 3 ) 的素数的猜想，首先以疗= 5 和拧= 1 4 河北| l 【| j 范大学钡i ：i j f 究生论义 为例。e u l e r 虽然没能证明f e r m a t 关于“若p 和q 是模2 0 同余3 或7 的两个素数 9 则p g 可以写成z 2 + 5 y 2 的形式”的论断，因为他也不明白其中的原因，但是他在1 7 4 4 年提出了下面的猜想：设p 为奇素数，则p 可表示成x 2 + 5 y 2 当且仅当p z l 9 ( m o d 2 0 ) ：2 p 可表示成x 2 + 5 y 2 当且仅当p ；3 ，7 ( m o d 2 0 ) ( 该猜想和其中的秘密于 1 7 7 3 年由l a g r a n g e 证明和揭示) 。当打= 1 4 时，情况变得更为复杂。e u l e r 猜想：对 于奇素数p ，有p = 薹誓等p ；，9 ，t s ，z s ，z s 3 9 ( m o a s s ) ； 3 p = x 2 + 1 4 y 2 舒p = 3 ，5 ，1 3 ，1 9 ，2 7 ，4 5 ( m o d 5 6 ) 。接下来的例子选自e u l e r 在1 7 4 8 一 1 7 5 0 年著成的z 妇c 耐淞出九枷p m r “肌如c 驴加口s e 如c f mq “口口j 印b 坩“。就像无 穷小分析引论( 加加幽c r f 。加口月惦加f 明n f f o r “m ) 是分析中一部真正的教科书一样， e u l e r 打算使这部著作成为数论方面的基础教材。遗憾的是，e u l e r 一直没有完成 开d c 胁f “j ，直到1 8 4 9 年这部著作刊。得以首次发表。当2 是模奇素数p 的三次剩 余或双二次剩余时，e u l e r 提出猜想：p = x 2 + 2 7 y 2 营p ；1 ( m o d 3 ) 且2 是模p 的三 次剩余：p = x 2 + 6 4 y 2 铮p ；1 ( m o d 4 ) 且2 是模p 的双二次剩余。 在e u l e r 的信件及论文中，我们还可以找到其它各种算术定理，但是他并没有给 出证明，甚至也没有详细地将其表述出来。其中的一个如下所述：【9 1 数d = l ，2 ，3 ， 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，l o ，1 2 ，1 3 ，1 5 ，1 6 ，1 8 ，2 l ，1 3 2 0 ，1 3 6 5 ，1 8 4 8 ( 总共 6 5 个) 具有性质：若曲= d ，且一个数可以唯一地表示成型删2 + 咖2 ，其中( 似，砂) = l ， 则这个数的形式为p 、2 p 或2 ，其中p 是一个素数。特别地，可以唯一表示成这种 形式的任何大于1 的奇数都是素数。对于这样的d ，e u l e r 给出应用：当d = 5 7 时， 因为1 0 0 0 0 0 3 可以唯一地表示成1 9 | 8 2 + 3 5 7 7 2 ，所以1 0 0 0 0 0 3 是一个素数：当 d ：1 8 4 8 时，因为1 8 5 1 8 8 0 9 可以唯地表示成1 9 7 2 + 1 8 4 8 1 0 0 2 ，所以1 8 5 1 8 8 0 9 是 一个素数。e u l e r 在1 7 4 2 年3 月6 日致g o l d b a c h 的信中提到：两个互素的数的平方 和没有形如4 一1 的因数，或者说，只能有2 和形如4 + l 的因数。他还巧妙地利用 这一结论来解决某些数是素数或合数的问题，例如对于1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l ，因为它可以 4 北师 ! 【：f 人学f ! l 二研究生论义 写成l o o o 0 0 2 + 1 2 ，所以可以断定它没有形如锨一l 的因数。 求方程x 2 一爿y 2 = l 的整数解问题已经讨论过了。e u l e r 在1 7 3 2 一1 7 3 3 年的一篇 论文中，错误地把它叫p e l l 方程，此名称就这样固定下来了。e u l e r 之所以对这个方 程感兴趣，是因为他需要用它的解去求戤z + 撕+ c = y 2 的整数解。关于这个题目 他写过几篇文章。1 7 5 9 年，他通过把j 表成连分式，给出了一种解p e u 方程的方 法。他的想法是：满足方程的x 和y 的值是使叫y 收敛到彳的值。在证明他的方法 总能求出解来，而且所有解都是由万的连分式展开的时候，他失败了。e u l e r 未能 证明p e l l 方程的非平凡解的存在。这个存在性由l a g r a n g e 在1 7 6 6 一1 7 6 9 年给出。 后来，他又给出了一个非试验性的理论方法，可据以得到方程x 2 一匆2 = b 的所有整 数解。 从e u l e r 的上述工作我们可以看到，他除了对f e m a t 用型表示数的部分研究工 作给出了证明和推广以外，还通过型来判断一个数及其因子的特征。此外，他考虑 了型硝2 + n y2 ，在处理x 2 + 3 y2 的过程中，他又不可避免地遇到了型z 2 + 删+ 】，2 。 事实上，从某种程度上说，e u l e r 并没有真正成功地处理f e r m a t 的问题。在经过 许多失败的尝试之后，e u l e r 仅仅对二平方定理给出了一个完整的证明。他对四平方 定理的贡献或者对方程x 2 = j ，2 + 2 或+ ，= z 3 理论的建立几乎获得成功，但是还存 在着严重漏洞，e u l e r 的真正成就在于他介绍了许多例子，并且使用了分析的方法。 在数论方面，l a g r a n g e 是f e r m a t 的真正继承者。他首先对f e r m a t 提到的一系列命题 给出了证明，其中的许多技巧都是他独创的。l a g r a n g e 的重大进步在于他意识到了 有必要考虑一般的二元二次型似2 + 6 砂+ 叫2 ( 日，6 ，c z ) 理论。3 3 l a g r a n g e 定义的二次型为n ，+ 6 砂+ c j 2 ，g a u s s 定义的二次型为麟2 + 2 6 砂+ o 2 。 扣町北师范人学坝i ：研究生论文 二元二次型理论的形成 2 1 一般二元二次型理论初探 2 l a g r a n g e 与数论 l a g r a n g e 出生于都灵，他家本来非常富裕，但因其父亲在金融事务中的投机行 为而倾家荡产。据说，l a g r a n g e 曾讲道：“要是我继承了一笔财产，也许就不会研究 数学了。 l a g r a l l g e 是稍后于e u l e r 的大数学家，其影响仅次于e u l e r 。他从1 9 世纪起与 e u l e r 通信，讨论等周问题的一般解法，引起了变分法的诞生。等周问题是e u l e r 多 年来苦心考虑的问题，l a g r a n g e 的解法博得了e u l e r 的赞赏。1 7 5 9 年，e u l e r 在回信 中盛称l a g r a j l g e 的成就，并谦恭地暂不发表自己在这方面较不成熟的作品，使年青 的l a g r a n g e 的著作得以发表和流传，进而赢得了巨大声誉。【1 7 】拿破仑称l a g r a n g e 是“数学科学中高耸的金字塔。” l a g r a n g e 对数论的兴趣大约产生于1 7 6 5 年前后。他仔细阅读了e u l e r 的著作， 看起来他所受的启发主要来源于此。尽管e u l e r 和l a g r a n g e 之间的信件来往非常频 繁，但是他们从未见过面。其实不仅是在数论方面，在许多问题的研究中，l a g r a n g e 都明显地表现出对e u l e r 所研究的问题怀有特殊的兴趣，尤其是对e u l e r 尚未解出的 问题。1 7 5 9 年，在e u l e r 试图用连分数求解所谓p e l l 方程失败后，l a g r a n g e 就开始 了对该方程的注意。1 7 6 6 年，他首先获得其存在性证明，接着又连续四年对原先的 结果作出推广。 在1 7 6 8 年8 月1 5 日，l a g r a n g e 写信给j e a nl er o n dd a l e m b e r t ( 1 7 1 7 1 7 8 3 ) ， “最近几天我一直在用一些算术问题来使我的研究有点儿变化，我向你保证，我发 现的困难比所预期的多得多。例如，下面是我费了很大力气才得出解答的一个问题： 己知任一不是平方数的正整数力，求一个整数的平方x 2 ，使珊2 + l 是个平方数。这 个问题在二次型理论中具有非常重大的作用，另外，我这一次发现了一些美妙的算 术定理。如果你想知道，我在下一次信上告诉你。” l a g r a i l g e 的另一封信( 1 7 6 9 年2 月2 8 曰) 记述了这件事的结果。“我谈到过的 河北帅托人学埘研究生论史 问题让我花的时间要比我预想的多得多；但是最后我很高兴地完成了自己的工作， 我相信我实际上已经完全解决了两个未知数的二阶不定方程的问题。”数论研究中 取得的成功给了l a g r a n g e 很大鼓舞，他一鼓作气在这个领域做了一系列研究。1 7 7 0 年，他成功地证明了e u l e r 花了大约四十年时间尚未证明的f e r m a t 断言，即每一个 正整数都是不多于四个的平方数之和。 l a g r a n g e 对数论的研究，曾引起d a l e m b e r t 的不安。他希望l a g r a n g e 把功夫花 在分析方面，而不是花在数论上，因为他认为数论不会有什么用处。在数学上， d a l e m b e n 关心的是分析、微分方程、代数等领域，并在其中做出了重要贡献。也 许是对自己所研究的对象的偏爱，当他看到l a g r a n g e 在他爱好的领域做出成绩时， 就显得特别高兴，反之就感到焦虑。d a l e m b e n 对l a g r a l l g e 的关心是真诚的，其实 他在l a g r a r i g e l 7 6 3 年第一次去巴黎之前，从未见过l a g r a n g e ，仅从都灵文集中 注视着l a g r a n g e 的工作与成就。d a l e m b e r t 对l a g r a i l g e 在都灵未被重视而感到忧虑， 他趁自己去普鲁士的机会请柏林当局向都灵宫廷说情，把l a g r a n g e 说成是都灵的无 价之宝。d a l e m b e r t 的干预在都灵取得了成功，不过这更多地表现在都灵皇室对 l a g r a n g e 的重视上。 对d a l e m b e r t 的关心，l a g r a n g e 是感激的，但是他不能像d a l e 舶b e n 那样无视 数论。l a g r a n g e 似乎更从数学家的角度来看待数论，他认为数论问题具有奇妙的性 质和很深的难度，因此很值得数学家们为之倾倒。为了得到d a l e m b e r f 的谅解，他 还专门写了一封信，十分委婉地向他说明了自己研究数论的情由和遇到的困难。 l a g 咖g e 在数论中有三篇论文尤为重要： “s o l u t i o nd u np r o b l e m ed a r i f h m 6 t i q u e ”( 1 7 6 8 ) mj ，1 7 6 8 年呈交给都灵。l a g r a n g e 在其中处理了p e l l 方程工2 一咖2 = l ，首次证明了这个方程不仅存在解，而且还存在 无穷多解。l a g r 1 1 1 9 e 认为这个证明“很长而且非常不直接”，尤其令他感到愤愤不平 的是，此论文直到1 7 7 3 年刁+ 得以发表出版。 “d m o n s t r a t i o nd u nt h d o r e m ed a r i c h m 6 t i q u e ”( 1 7 7 0 ) f ，这篇论文包含着 l a g r a n g e 对四平方定理的首次证明。 “r e c h e r c h e sd a r i t h m 6 t i q u e ”( 1 7 7 3 ) 【9 1 ，l a 盯a n g e 从f e n a t 关于用x 2 + 2 y 2 和 x 2 + 3 y 2 表示素数的定理的一般理论中得到了二元二次型理论。 河北师范人学颂| ：研究生论文 我们对第三篇论文尤为感兴趣，因为它是首次系统发展起来的一种完善的算术 理论，远远超出了f e r m a t 和e u l e r 所讨论的个别问题，这对数论以及代数的进一步 发展有着非常重要的作用。可以说，他是研究二元二次型一般理论的第一人。【2 0 1 2 1 2 l a g r a n g e 第三篇论文简介 l a g m n g e 的论文是以“当时”的数学风格写成的，它的内容非常容易读懂，甚 至其清晰的、有组织的表达方式也是当时的典范。现在，我们将按照l a g m n g e 的说 明考察一下他对二元二次型理论的系统发展。让我们首先从论文“算术研究” ( r p c 口r c e sd o r f 胁小自由材p ) 引言中的摘录开始谈起： 这些研究与可以写成 b f 2 + c f “+ d 。，2 的数有关，其中b 、c 、d 为整数，r 和“虽然也为整数，但它们表示变量。因此我 将可以确定出一些型，使得这些型所表示的数的因子也能以同样的方式表示。接着， 我给出把这些型化简成最简单的型的技巧。这就会产生一个实用的表，我将在研究一 个数的因子的过程中说明如何使用它。最后，我要对有关型为b ，2 + c r “，d “2 的素 数的几个定理给出证明；其中一些定理是已知的，但是从来没有证明过，还有一些则 是全新的。 l a g r a n g e 考察了一般的二元二次型 g ( x ，y ) = 删2 + 丘砂+ 砂2 。 首先他研究了可以表示成戚2 + 缸y + 纠2 的数的因子。我们说若方程 m = 鲫2 + 6 砂+ 叫3 有整数解，则称m 可以由这个型表出。l a 目a n g e 证明了： 定理l 若一个数可以表示成型删2 + 叻+ 纠2 ，其中x = ，j ，= ，且( ，儿) = l ， 令r 是这个数的一个因子，则，可以用一个型倒2 + 脚+ c 】，2 表出，其中x = 五， y = k ，且( 五，) = l ，另外有b 2 4 4 c = 6 2 4 钟。 我们称数川可以用一个二元二次型真表示，若方程肌= 口( x ，_ y ) 有互素的整数解。 1 j j 北帅托人学顾i 棚f 究生论文 进一步，若m 是一个可以用q 真表示的数的因子，则称m 是q 的一个因子。表达式 6 2 4 日c 称为拉格朗日型甜2 + 6 掣+ 钞2 的判别式，其中鼎2 + 6 驯+ 砂2 可以简记成 ( 日，6 ，c ) 。在这里顺便提一下，对g a u s s 而言，( 口，6 ，c ) 是二元二次型d 2 + 2 如7 + c j ，2 的记号，该型的中间项系数是2 6 ：【i l g a u s s 一直坚持说这是最合适的记号，然后他 根据它们的“行列式( d e t e r m i n a n t ) ”6 2 一口c 对这些型进行分类。拉格朗日型尽管在 1 9 世纪的大半部分时间在科学文化中都处于一种沉寂状态( 主要是受g a u s s 的影 响) ，但是当r i c h a r dd e d e k i n d ( 1 8 3 l 1 9 1 6 ) 根据二次域的理想理论重新对二次型加 以解释以后，它们变得重要起来。【1 4 】 接下来，为了表述方便，我们不再考虑烈2 + 6 驯+ 掣2 ，而是考虑一类稍特殊的 二元二次型 甜2 + 2 岫+ 叫2 以此来表述l a g r a n g e 的思想。定理1 对这个新的型同样成立，因为若6 为偶数，根 据定理1 的证明，b 也是偶数。表示成矩阵的形式4 ，我们有 甜2 嘞小y ，( ( ；) 由此可以看到，这个型完全可以用口、6 、c 为整数的2 2 矩阵刻画出来，因此我们 认为这个型和这个矩阵一致。另外， 。=