（基础数学专业论文）关于半导体中一维拟中性飘流扩散模型的研究.pdf

摘要 关于半导体器件的数学模型有两大类。一类是微观模型，即以半导体玻尔兹曼方 程为基础的动力学模型。另一类是宏观模型，其直接描述电荷密度，电流密度，能 量密度和温度等一些宏观量。最具代表性的宏观模型是关于半导体的流体动力学模 型。通过时间的松弛极限得到流体动力学模型的一种简化形式，即飘流扩散模型。 飘流扩散模型是应用于半导体模拟和实际最中早也是最广泛的模型。对于飘流扩散 模型，通过拟中性极限，我们得到拟中性飘流扩散模型。虽然拟中性飘流扩散模型 是半导体模拟中最简单的模型，但文献中关于此模型的结果很少。主要困难在于其 第三个方程是代数方程。因此我们不能采用一些成功应用于经典飘流扩散模型的方 法去解决拟中性飘流扩散模型。在这篇文章中，我们主要研究一维拟咿陛飘流扩散 模型。 本文分为两个部分。在第一部分，我们研究了一维拟中性飘流扩散模型的局部 适定性和整体适定性。我们将利用正则化方法和上下解技巧给出局部古典解和整体 古典解的存在唯一性。同时，我们还给出了一些奇性稳态解的例子。在第二部分， 我们主要研究此模型整体光滑解的渐近性态。我们采用不同于第一部分的方法，不 动点论证法，来证明局部光滑解的存在唯一性。然后利用能量方法做一个有用的先 验估计，由此估计和局部存在性结果即可得到光滑解的整体存在性和渐近性结果。 关键词：半导体，拟中性飘流扩散模型，局部存在性，整体存在性，唯一性 渐近性。 a b s t r a c t t h e r 【la r et w ob i gc l a s so fm a t h e m a t i c mm o d e l sf o rs e m i c o n d u c t o rd e v i c e s o n ea r e t h et n i c r o s c o p i cm o d e l s ，n a m e l yt h ek i n e t i cm o d e l sb a s e do i l s e m i c o n d u c t o rb o l t z m a n n e q u a t i o n t h e ns e c o n dc l a s so r et h em a c r o s c o p i cm o d e l sd e s c r i b i n gd i r e c t l ym a c r o s c o p i c q u a n t i t i e ss u c ha sc h a r g ed e n s i t y ) c h a r g ec u r r e n td e n s i t y , e n e r g yd e n s i t ya n dt e m p e r a t u r e e t c t i l em o s tr e p r e s e n t a t i v el n a c r o s c o p i cm o d e lf o rs e m i c o u d u c t o r si sh y d r o d y n a m i c m o d e l as i m p l i f i c a t i o nf o rh y d r o d y n a m i cm o d e lt h r o u g hr e l a x a t i o nl i m i tl e a d st od r i f t d i f f u s i o nm o d e l d r i f td i f f u s i o nm o d e li st h ef i r s tm o d e lw h i c hi sw i d e l yu s e di ns e m i c o n d u c - t o ts i m u l a t i o na n dr e a la p p l i c a t i o n f o rt h es c a l e dd r i f td i f f u s i o nm o d e l ，b yq u a s i n e u t r a l 1 i m i tl e a d st ot h eq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l i nt h el i t e r a t u r et h e r ea x ev e r yf e w r e s u l t sa b o u tq u a s i n e u t r a ld r i gd i f f u s i o nm o d e le v e nt h o u g hi ti sas i m p l e s tm o d e li nt h e m o d e l l i n g s e t so fs e m i c o n d u c t o r s t h em a i nd i f f i c u l t yt ob em e ti st h a tt h et h i r de q u a t i o n o fi t i sa l g e b r a i ce q u a t i o n ，w h i c hi sv e r yd i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a ld r i f t - d i f f u s i o nm o d e l t h i si st h er e a s o n w h y w ec a l ln o tu s et h em e t h o d sw h i c hh a v es u c c e s s f u l l yu s e di nc l a s s i c a l d r i f td i f f u s i o nm o d e ls y s t e mi nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h e1 - dq u a s i n e u t r a ld r i f t d i f f u s i o nm o d e l t h e r ea r ea l t o g e t h e rt w op a r t si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tp a r t ，w es t u d yt h el o c a la n d g l o b a lw e l l p o s e d n e s so ft h e1 - dq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l w ew i l lu s er e g u l a r - i z a t i o nm e t h o da n du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nt e c h n i q u et og i v et h el o c a le x i s t e n c e g l o b a l e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t ss o m es i n g u l a rs t a t i o n a r ys o l u t i o n sa r ea l s op r e s e n t e d i nt h i sp a r t i nt h es e c o n dp a r t ，w em a i n l yi n v e s t i g a t ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fg l o b a l l y s m o o t hs o l u t i o no ft h i sm o d e l u s i n gad i f f e r e n tm e t h o d ，f i x e dp o i n ta r g u m e n t ，f r o mt h e f i r s tp a r t ，w eg i v el o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs m o o t hs o l u t i o n t h e nw ea p p l ye l l e r g ym e t h o d t og e ta p r i o r ie s t i m a t ew l d c hy i e l d st h et h eg l o b a le x i s t e n c ea n da s y m p t o t i c r e s u l tw i t ht h eh e l po ft h el o c a le x i s t e n c er e s u l t k e yw o r d s ：s e m i c o n d u c t o r ，q u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l ，l o c a le x i s t e n c e ，g l o b a l e x i s t e n c e ju n i q u e n e s s ，a s y m p t o t i c s i n t r o d u c t i o n i nt h i st h e s i sw ed e v o t et os t u d y1 - dq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e lf o rs e m i c o n - d u c t o r sw h i c hi sd e r i v e df r o mt h es c a l e d1 - dd r i f td i f f u s i o nm o d e l ( s e ep a r ti ) f o rd r i f t d i f f u s i o nm o d e l ，i tb e l o n g st ot h ec l a s so ff l u i dd y n a m i cm o d e l sw h i c hg i v eag o o dc o i n - p r o m i s eb e t w e e np h y s i c a la c c u r a c ya n dt h er e d u c t i o no fc o m p u t a t i o nc o s t s oi ti sn o t o n l yo fi m p o r t a n tt h e o r e t i c a li n t e r e s tb u to fe x t e n s i v ea p p l i c a t i o np r o s p e c tt os t u d yt h i s m o d e l r o u g h l ys p e a k i n g ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rs e m i c o n d u c t o r sc a l lb ec l a s s i f i e di n t o t w oc l a s s o n ea r em i c r o s c o p i cm o d e l s ，i e k i n e t i cm o d e l sw h i c hc o n t a i nv l a s o ve q u a t i o n a n db o l t z m a n n e q u a t i o n t h e s e c o n dc l a s sa r em a c r o s c o p i c m o d e l s ，n a m e l y ，f l u i dd y n a m i c m o d e l sw h i c hc o n t a i nd r i f td i f f u s i o nm o d e l ，h y d r o d y n a m i cm o d e la n de n e r g yt r a n s p o r t m o d e l ，t h e yd e s c r i b ed i r e c t l yt h et h em a c r o s c o p i cq u a n t i t i e ss u c ha 8p a r t i c l ed e n s i t y c h a r g ec u r r e n td e n s i t y ，e n e r g yd e n s i t ya n dt e m p e r a t u r e ，e t c o nb o t hl e v e l st h e r ee x i s t sc o r r e s p o n d i n gq u a n t u mm e c h a n i c a lm o d e l sw h i c hd e s c r i b e t h ei n f l u e n c eo fq u a n t u mm e c h a n i s mw h e r ei ti s n e c e s s a r y t h e1 h o s tr e p r e s e n t a t i v em a c r o s c o p i cm o d e li st h eh y d r o d y n a m i cm o d e lf o rs e m i c o n - d u c t o r s d r i f td i f f u s i o nm o d e lc o j lb ev i e w e da sa s i m p l i f i c a t i o no fi tt h r o u g har e l a x a t i o n l i m i t d r i f td i f f u s i o nm o d e li st h ef i r s tm o d e lw h i c hh a db e e n w i d e l yu s e di nr e a ls e m i c o n d u c t o rd e v i c es i m u l a t i o n f o rt h es c a l e dd r i f td i f f u s i o nm o d e lb yq u a s i n e u t r a ll i m i t ( z e r o d e b y el e n g t hl i m i t ) l e a d st oq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l ，w h i c hi sas i m p l e s tm o d e l i nt h en m d e l l i n gs e t so fs e m i c o n d u c t o r s b u ti ti sv e r yd i f f i c u l tt od e a lw i t ht h i sm o d e l i n s o m es e n s eb e c a u s ei t st h i r de q u a t i o ni sa n a l g e b r a i ce q u a t i o nw h i c h i sv e r yd i f f e r e n tf r o m t h ec l a s s i c a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l s ot h em e t h o d sw h i c hh a db e e ns u c c e s s f u l l vu s e di n t i l ec l a s s i c a ld r i f td i f f u s i o nm n o d e ld on o tw o r kh e r e a sa r e s u l t ，w en e e do t h e rt e c f i n i q u e s i i it h i st h e s i s f o rm o r ei n f o r m a t i o no i ls e m i c o n d u c t o rd e v i c em o d e l l i n ga n dm a t h e m a t i c a la n a l y s i s i n v o l v e d ，w er e f e rt om a r k w i c he t a 1 1 0 ，s e l b c r h e r r 【2 3 】，j e r o m e 【2 4 i np a r ti ，w es t u d yl o c a la n dg l o b a lw e l l p o s e d n e s so f1 - dq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o n m o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r s w es h a l lp r o v el o c a la n d g l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n 1 a n du n i q u e n e s sr e s u l t sb yu s i n gt h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o da n du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n t e c h n i q u e w ea l s og i v es o m ee x a m p l e so fs t a t i o n a r ys i n g u l a rs o l u t i o n si nt h i sp a r t ， i np a r ti i ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f g l o b a l l ys m o o t hs o l u t i o no f 1 - dq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r s b yu s i n gf i x e dp o i n ta r g m n e n t w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mp a r ti ，w ep r o v et h el o c a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o fs o o t hs o l u t i o n t h e nw ea p p l ye n e r g ym e t h o dt op r o v eap r i o r ie s t i m a t e ，w h i c ht o g e t h e rw i t ht h el o c a l e x i s t e n c er e s u l ty i e l dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o rr e s u l t s p a r ti w e l l p o s e d n e s s o f1 - dq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o n m o d e ls e m i c o n d u c t o r s 1 i n t r o d u c t i o n t h es c a l e do n ed i m e n s i o n a la n di s o t h e r m a ld r i f td i f f u s i o nm o d e lf o r s e m 、i c o n d u c t o r s r e a d s 扎 p 一a 2 磁 ( n ：+ 一e 1 ) 。 ( 砖一矿e 1 ) 。， 一一矿一d ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) w i t h0 占 0 ，w h e r e 巧i sap o s i t i v ec o n s t a n t t h e nt h ei n i t i a l 。b o “n d a r 掣l u e p r o b l e m “，r 纠，r 砂a n d0 0 ) h a s a nc l a s s i c a ls o l u t i o n ( 礼，p ，e ) ( c 2 , 1 ( 【o ，l 】1 0 ，j r m 。) ) ) 2 c 1 , 1 ( o ，1 】( 0 ，n 。) ) d e f i n e do n 0 ，n 。) ，0 d 。i st h em a x i m 耐e z 龇扎c et i m e m o r e o v e r , 矿7 m n z o 。，t h e n 地。一o r a 。i 0i o ra l l ( z ，) 【o ，1 】 0 ，了k ) a n d1 - 而m t _ rm a x o 。1e = 。i np a r t i c u l a r , i fe i t h e rdec o r t t to rd 0 f o ra n y 。 o ，1 ，t h e nt 1 m 口z = o 。i nt h i sc a s e ，w es a yt h a t 如et h es o l u t i o ne x i s t sg l o b a l l y i nt i m e t h e o r e m 2 ( u n i q u e n e s s ) t h e c l a s s i c a ls o l u t i o no f t h ei n i t i a l b o u n d a r y p r o b l e m ( 4 ) ( 6 ) ( 趵 a n d ( i o ) i si su n i q u e ? t h e o r e m3 ( g l o b a le x i s t e n c e ) u n d e rt h e a s s u m p t i o no ft h e o r e mj ，f o rs u i t a b l yl a r g e i n i t i a ld a t a 饿ei n i t i a l b o u n d a r y p r o b l e m ( ) 一( 6 ) ，( 9 ) a n d ( i 0 ) h a s u n i q u eg l o b a lc l a s s i c a l s o l u t i o n ( n ，p ，e ) s a t i s y i n gt h a tn + p h a sap o s i t i v el o w e rb o u n d i nt h el i t e r a t u r et h e r ea r e v e r yf e wr e s u l t sa b o u tq u a s i n e u t r a ld r i f td i f f u s i o nm o d e le v e n t h o u g h i t i sa s i m p l e s tm o d e li nt h em o d e l l i n gs e t so fs e m i c o n d u c t o r sa n dp l a s m a p h y s i c s t h em a i n d i f f i c u l t yi st h a ti t st h i r de q u a t i o ni sa l g e b r a i ce q u a t i o n ，w h i c hi s v e r yd i f f e r e n t f r o mt h ec l a s s i c a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l f o rs e m i c o n d u c t o r s t h i si st h er e a 8 0 i lw 1 1 yw ec a n 4 n o tu 8 et h em e t h o d sw h i c hh a v eb e e ns u c c e s s f u l l yu s e di nc l a s s i c a ld r i f td i f f u s i o nm o d e l s y s t e m t os h o wt h i s ，w er e w r i t e ( 4 ) 一( 6 ) ，( 9 ) a n d ( 1 0 ) a c c o r d i n gt o u n k n o w nv a r i a b l e s ( p ，e ) o r ( n ，e ) a s p $ p ( t p = ( p 。一p e ) 。，0 $ 0 0 p e ：0 ) ( d ，+ ( 2 p4 - d ) e ) 。， 仇+ ( 2 p 4 - d ) e = 0 p 0 ，0 z 墨1 0 0 ， ( 1 1 ) 毗= ( n 。+ n e ) 。，0 善 0 ，( 1 2 ) 0 = ( d # 4 - ( 2 n d ) e ) ，0 。 0 ， n z 4 - n e = d 。+ ( 2 n d ) e = 0 ，。= 0 ，1 ，t 0 n ( t = 0 ) = n 0 ，0 z 1 t h e s ea r et h ed e g e n e r a t em i x e dp a r a b o l i c e l l i p t i cs y s t e me v e nt h o u g hi n i t i a ld a t ah a sa p o s i t i v el o w e rb o u n d h o w e v e r ，c l a s s i c a ld r i f td i f f u s i o nm o d e li sj u s tam i x e dp a r a b o l i c - e l l i p t i cs y s t e mb u ti s n o td e g e n e r a t ea n ds ot h ee l e c t r i cf i e l dh a sn os i n g u l a r i t y i ti s e a s yt ou n d e r s t a n df r o m ( 1 1 ) o r ( 1 2 ) t h a tt h ep o s i t i v i t yo ft h ed e n s i t i e sc a nn o tp r e v e n t t h es i n g u l a r i t yo ft h ee l e c t r i cf i e l d ，i np a r t i c u l a r ，w h e nt h ed o p i n gp r o f i l ec h a n g e si t ss i g n h e n c et h em a i n d i f f i c u l t yt ob em e t i sh o wt oe s t a b l i s he n o u g h g o o d p o s i t i v el o w e rb o u n d o f t h ed e n s i t i e st oo v e r c o m et h es i n g u l a r i t i c so ft h ee l e c t r i cf i e l d t od ot h i s ，f i r s tw ei n t r o d u c e at r a n s f o r m ( 2 7 ) a n dr e d u c e ( 4 ) - ( 6 ) ，( 9 ) a n d ( 1 0 ) t oan e wm i x e d p a r a b o l i c e l l i p t i cs y s t e m ( 2 7 ) - ( 3 1 ) ( i ti ss t i l ld e g e n e r a t ea tt h es e t so f e x t i n c t i o no ft h ed e n s i t yi nf i n i t et i m ew h e n t h ed o p i n gp r o f i l ec a nc h a n g e si t ss i g n ! ) t h e nb yu s i n gp a r a b o l i cr e g u l a r i z a t i o nt h e o r y a n du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nt e c h n i q u e sw ee x c l u d et h ev a c u u n ls e to ft h ed e n s i t ya n dt h e s i n g u l a r i t yo ft h ee l e c t r i cf i e l da tt h ev a c u u ms e to ft h ed e n s i t ya n do b t a i no u rr e s u l t s w es h o u l dm e n t i o nt h a tf o rt h er e l a t e dc l a s s i c a ld r i f td i f f u s i o nm o d e lt h e r eh a v eb e e n m a n yr e s u l t sa b o u te x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，l a r g et i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o r s ，s t a b i l i t yo f s t a t i o n a r ys t a t ea n dr e g u l a r i t i e so fw e a ks o l u t i o n se t c ，f o re x a m p l e ，s e e 【1 ，2 ，3 ，6 ，1 0 1 5 t h ep l a no ft h i sp a r ti so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e s t a t i o n a r ys o l u t i o n sa n dg i v es o m er e g u l a ra n ds i n g u l a rs o l u t i o n s s e c t i o n3i s d e v o t e dt o t h ep r o o f so ft h em a i nt h e o r e m s 2 s t a t i o n a r ys o l u t i o n s i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v es o m er e g u l a ra n ds i n g u l a rs t a t i o n a r ys o l u t i o n so f ( 4 ) - ( 6 ) j ( 9 ) a n d ( 1 0 ) s t c a d ys t a t es y s t e mo f ( 4 ) ( 6 ) ，